2017-2018学年高二数学人教A版选修2-2章末综合测评1　导数及其应用

章末综合测评(一)　导数及其应用
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则的值为(　　)
A．f′(x0)
B．2f′(x0)
C．－2f′(x0)
D．0
【解析】　
＝2
＝2f′(x0)，故选B.
【答案】　B
2．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝(　　)
A．1　　　B.
C．－　　　D．－1
【解析】　y′＝2ax，于是切线斜率k＝y′|x＝1＝2a，由题意知2a＝2，∴a＝1.
【答案】　A
3．下列各式正确的是(　　)
A．(sin
a)′＝cos
a(a为常数)
B．(cos
x)′＝sin
x
C．(sin
x)′＝cos
x
D．(x－5)′＝－x－6
【解析】　由导数公式知选项A中(sin
a)′＝0；选项B中(cos
x)′＝－sin
x；选项D中(x－5)′＝－5x－6.
【答案】　C
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2)
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
【解析】　f′(x)＝(x－2)ex，由f′(x)>0，得x>2，所以函数f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．
【答案】　D
5．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为(　　)
A．0
B．2
C．1　　　　D．－1
【解析】　f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.
【答案】　A
6．如图1所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是(　　)
图1
A.
B.(x2－1)dx
C.|x2－1|dx
D.(x2－1)dx－(x2－1)dx
【解析】　S＝[－(x2－1)]dx＋(x2－1)dx＝|x2－1|dx.
【答案】　C7．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是(　　)
A．2
B．1
C．0
D．由a确定
【解析】　f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值．故选C.
【答案】　C
8．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为(　　)
A．－5
B．7
C．10
D．－19
【解析】　∵f(x)′＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，
所以函数在[－2，－1]内单调递减，
所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2.
∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5.
【答案】　A
9．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是(　　)
A．(0,1)
B．(－1,0)∪(0,1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】　不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，
设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1，
由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，
∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，
∴原不等式 g(x)>0 g(x)>g(1)．
∴x>1，故选C.
【答案】　C
10．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥0
B．a<－4
C．a≥0或a≤－4
D．a>0或a<－4
【解析】　f′(x)＝2x＋2＋，x∈(0,1)，
∵f(x)在(0,1)上单调，
∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，
∴2x＋2＋≥0或2x＋2＋≤0在(0,1)上恒成立，
即a≥－2x2－2x或a≤－2x2－2x在(0,1)上恒成立．
设g(x)＝－2x2－2x＝－2＋，则g(x)在(0,1)上单调递减，
∴g(x)max＝g(0)＝0，g(x)min＝g(1)＝－4.
∴a≥g(x)max＝0或a≤g(x)min＝－4.
【答案】　C
11．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为(　　)
A.
B．2
C．3
D．2
【解析】　设曲线上的点A(x0，ln(2x0－1))到直线2x－y＋3＝0的距离最短，
则曲线上过点A的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
因为y′＝·(2x－1)′＝，
所以y′|＝＝2，解得x0＝1.
所以点A的坐标为(1,0)．
所以点A到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝＝.
【答案】　A
12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为(　　)
A．3
B.
C．2
D.
【解析】　由题意，得f′(x)＝2ax＋b.
由对任意实数x，有f(x)≥0，知图象开口向上，所以a>0，且Δ＝b2－4ac≤0，所以ac≥.
因为f′(0)>0，所以b>0，且在x＝0处函数递增．
由此知f(0)＝c>0.
所以＝≥≥＝2.
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．
(3x＋sin
x)dx＝__________.
【解析】　
(3x＋sin
x)dx＝＝－(0－cos
0)＝＋1.
【答案】　＋1
14．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
【解析】　设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，
∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
∴－x0＝ln
2，∴x0＝－ln
2，
∴y0＝eln
2＝2，
∴点P的坐标为(－ln
2,2)．
【答案】　(－ln
2,2)
15．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是__________.
【解析】　令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，
极小值为f(1)＝－2，
如图所示，－2【答案】　(－2,2)
16．周长为20
cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3.
【解析】　设矩形的长为x，则宽为10－x(0∴V′(x)＝20πx－3πx2.
由V′(x)＝0，得x＝0(舍去)，x＝，
且当x∈时，V′(x)>0，
当x∈时，V′(x)<0，
∴当x＝时，V(x)取得最大值为π
cm3.
【答案】　π
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限，
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．【解】　(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知得3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又因为点P0在第三象限，
所以切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，
所以直线l的斜率为－，
因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋1(a>0)．
(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．
【解】　(1)f(0)＝1，f′(x)＝＋x－a＝，f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，
即＝0.
解得x＝0或x＝a－1.
当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的变化情况为
x
(－1,0)
0
(0，a－1)
a－1
(a－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增↗
极大值
单调递减↘
极小值
单调递增↗
21世纪教育网21世纪教育网可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，单调增区间是(－1,0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝aln
a－a2＋.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－mln
x，h(x)＝x2－x＋a，
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
【解】　(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，
得m≤在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝，则g′(x)＝，故g′(e)＝0，
当x∈(1，e)时，g′(x)<0；
x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.
所以m≤e.
(2)由已知可知k(x)＝x－2ln
x－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2ln
x与直线y＝a有两个不同的交点，
φ′(x)＝1－＝，故φ′(2)＝0，
所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，
当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．
所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln
3，φ(2)＝2－2ln
2，
且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，
所以2－2ln
23.
所以实数a的取值范围为(2－2ln
2,3－2ln
3]．
20．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V
m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12
000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
【解】　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，
底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意200πrh＋160πr2＝12
000π，
所以h＝(300－4r2)，从而
V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得r<5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
21．(本小题满分12分)抛物线y＝ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y＝4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值．
【解】　由题设可知抛物线为凸形，它与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝－，
所以S＝
(ax2＋bx)dx＝b3，
①
又直线x＋y＝4与抛物线y＝ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组得
ax2＋(b＋1)x－4＝0，其判别式Δ＝0，
即(b＋1)2＋16a＝0.
于是a＝－(b＋1)2，代入①式得：
S(b)＝(b>0)，S′(b)＝；
令S′(b)＝0，得b＝3，且当00；
当b>3时，S′(b)<0.
故在b＝3时，S(b)取得极大值，也是最大值，
即a＝－1，b＝3时，S取得最大值，且Smax＝.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求证：当x>0，且x≠1时，f(x)>.
【解】　(1)f′(x)＝－，
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
故即解得
(2)证明：由(1)知，f(x)＝＋，
所以f(x)－＝.
设函数h(x)＝2ln
x－(x>0)，
则h′(x)＝－＝－.
所以当x≠1时，h′(x)<0，而h(1)＝0，
所以当x∈(0,1)时，h(x)>0，得f(x)>；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，得f(x)>.
故当x>0，且x≠1时，f(x)>.