2017-2018学年高二数学人教A版选修2-2章末综合测评3　数系的扩充与复数的引入

章末综合测评(三)　数系的扩充与复数的引入
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b∈C，下列命题正确的是(　　)
A．3i<5i
B．a＝0 |a|＝0C．若|a|＝|b|，则a＝±b
D．a2≥0
【解析】　A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，b∈R时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝，但i≠－＋i或－i；D选项中，当a∈R时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2＝－1<0.
【答案】　B
2．i是虚数单位，则的虚部是(　　)
A.i
B．－i
C.
D．－
【解析】　＝＝＝＋i.
【答案】　C
3.＝(　　)
A．2
B．2
C.
D．1
【解析】　由＝＝＝1－i，
∴＝|1－i|＝.故选C.
【答案】　C
4.是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝(　　)
A．1＋i
B．－1－iC．－1＋i
D．1－i
【解析】　法一：设z＝a＋bi，a，b为实数，则＝a－bi，∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.
法二：∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.又z＋＝2，
∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，
∴z＝1－i.
【答案】　D
5．复数的共轭复数为(　　)
A．－＋i
B.＋i
C.－i
D．－－i
【解析】　∵＝＝＝－＋i，
∴其共轭复数为－－i.故选D.
【答案】　D
6．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；
p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为(　　)
A．p2，p3
B．p1，p2
C．p2，p4
D．p3，p4
【解析】　∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，
∴p1是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；
∵＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
其中的真命题为p2，p4.
【答案】　C
7．复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数是(　　)
A．－2＋3i
B．－3－2i
C．2－3i
D．3－2i
【解析】　设D(x，y)，由平行四边形对角线互相平分得∴
∴D(－3，－2)，∴对应复数为－3－2i.
【答案】　B
8．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)
A．a＝－1
B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1
D．a≠2
【解析】　要使复数不是纯虚数，则有
∴解得a≠－1.
【答案】　C
9．若a，b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】　复数对应点的坐标为(a2－6a＋10，－b2＋4b－5)，
又∵a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，
－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0.
所以复数对应的点在第四象限．故选D.
【答案】　D
10．如果复数z＝3＋ai满足条件|z－2|<2，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(－2，2)
B．(－2,2)
C．(－1,1)
D．(－，
)
【解析】　因为|z－2|＝|3＋ai－2|＝|1＋ai|＝<2，所以a2＋1<4，所以a2<3，即－【答案】　D
11．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　)
A．b＝2，c＝3
B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1
D．b＝2，c＝－1
【解析】　因为1＋i是实系数方程的一个复数根，所以1－i也是方程的根，则1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)(1－i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.
【答案】　B
12．设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0【解析】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．
选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．
选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，
由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．
选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知i是虚数单位，计算＝________.
【解析】　＝＝＝＝＝－－i.
【答案】　－－i
14．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝__________.
【解析】　＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.
【答案】　
15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为__________．
【解析】　a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.
从而a＋b＝8.
【答案】　8
16．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
【解析】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－i|≤可得≤，即x2＋(y－1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π.
【答案】　2π
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：
(1)(＋i)2(4＋5i)；
(2)＋.
【解】　(1)(＋i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)
＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.
(2)＋
＝＋
＝i(1＋i)＋
＝－1＋i＋(－i)1
008
＝－1＋i＋1
＝i.
18．(本小题满分12分)已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值．
【解】　由①得解得
将x，y代入②得(5＋4a)－(6＋b)i＝9－8i，
所以
所以a＝1，b＝2.
19．(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.
【解】　(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．
(3)当即k＝4时，z是纯虚数．
(4)当即k＝－1时，z是0.
20．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积.
【解】　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.
21．(本小题满分12分)已知复数z1＝i，z2＝－i，z3＝2－i，z4＝－在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.
(1)求证：A，B，C，D四点共圆；
(2)已知＝2
，求点P对应的复数．
【解】　(1)∵|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝，
即|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，
∴A，B，C，D四点都在圆x2＋y2＝5上，即A，B，C，D四点共圆．
(2)∵A(0，)，B(，－)，
∴＝(，－－)．
设P(x，y)，则＝(x，y－)，
若＝2
，那么(，－－)＝(2x,2y－2)，
∴
解得
∴点P对应的复数为＋i.
22．(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量1，2分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R.若1＋z2可以与任意实数比较大小，求1·2的值．
【解】　由题意，得1＝－(10－a2)i，
则1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i
＝＋(a2＋2a－15)i.
因为1＋z2可以与任意实数比较大小，
所以1＋z2是实数，
所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又因为a＋5≠0，所以a＝3，所以z1＝＋i，z2＝－1＋i.
所以1＝，2＝(－1,1)．
所以1·2＝×(－1)＋1×1＝.