2017年秋九年级数学上册全一册学案（打包49套）（新版）华东师大版

23.4中位线
【学习目标】
1.掌握三角形中位线的概念和三角形中位线定理；
2．能够应用三角形中位线概念及定理进行有关论证和计算，进一步提高学生的计算能力；
【学习重点】三角形中位线的概论与性质.
【学习难点】三角形中位线定理的证明.
【课标要求】
【知识回顾】
在△ABC中，DE‖BC，找出图中的相似三角形.当点D是AB中点时，点E是AC的中点吗？
【自学指导】
1阅读教材77页—78页内容，回答问题
三角形中位线：
三角形中位线定理：
你有其他的证明方法吗？
【例题学习】
1、如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G.
求证：。
三角形的重心：
【巩固训练】
如图；三角形三条中位线组成的图形与原三角形有怎样的大小关系（面积和周长）？
说说你的理由。
【拓展运用】
已知：在四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G分别是BD、AC、BC的中点。求证：⊿EFG是等腰三角形。
【归纳小结】
【作业】
1、已知：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
2、已知:AD是⊿
ABC的中线,E是AD的中点.求证:
FC=2AF。
【教学反思】22.3
实践与探索
第三课时
【学习目标】
1、在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
2、积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力。
【学习重点】利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题。
【学习难点】学生分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案。
【课标要求】能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理
【巩固旧知识】
1、解方程，并叙述解一元二次方程的解法。
【设疑自探－－解疑合探】
1、小明把一张边长为的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。
（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？
（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？
2、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。
解：设截去正方形的边长x厘米，底面（图中虚线线部分）长等于
厘米，宽等于
厘米，底面=
。
【质疑再探】
【拓展运用】
要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
解：设
【归纳小结】
【作业】
1、从正方形铁片上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（
）．
A．8cm
B．64cm
C．8cm2
D．64cm2
2、、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形，若能够，求出它的长与宽；若不能，请说明理由。
解：
3、要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两竖两横的彩条，横、竖彩条的宽度之比为3：2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（精确到0.1cm）。
解：
4、围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800m2求这个公园的长与宽.
5、如图，一个院子长，宽，要在它的里沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的，试求这花圃的宽度。（花圃的宽度为）
6、.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为（
）
A．400cm2
B．500cm2
C．600cm2
D．4000cm2
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
7、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．
8.
在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（
）25.3解直角三角形(4)
【学习目标】根据直角三角形的知识解决有关坡度坡角的实际问题．逐步培养分析问题、解决问题的能力。
【学习重点】善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。
【学习难点】实际问题转化成数学模型。
【课标要求】能利用三角函数的知识解决实际问题。
【自主学习】
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．
如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即．
坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有＝tanα．显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．
【例题学习】
如图，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路
基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0．1米sin32°≈0.529,cos32°≈0.848,tan32°≈0.624，sin28°≈0.469,cos28°≈0.848,tan28°≈0.532）
【巩固练习】
2、如图，有一段斜坡长为10米，坡角，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．
（1）求坡高;
（2）求斜坡新起点与原起点的距离（精确到0.1米，sin12°≈0.208,cos12°≈0.978,tan12°≈0.213，sin5°≈0.087,cos5°≈0.996,tan5°≈0.087）
3、庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速
度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度，
山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时
到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）
D
C
B
A
5°
12°22.1一元二次方程
学习目标
1．知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0）
2．在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
3．正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项.
重点：一元二次方程的一般形式。
难点：正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项。
教学过程：
一、问题导入：
问题一：
绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
分析：现设长方形绿地的宽为x米，则长为
米，可列方程
整理得
问题二：
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7．2万册．求这两年的年平均增长率．
分析：
设这两年的年平均增长率为x．
已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是
万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的
万册．可列得方程
整理可得
二、一元一次方程：
问题三：
前面我们已经认识了一元一次方程，那么方程和是一元一次方程吗？答案显而易见，不是。那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
概括：
方程，中都只含有
个未知数，并且未知数的最高次数都是
，这样的整式方程叫做一个一元二次方程．
一元二次方程的一般形式：
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)
其中a叫做二次项系数、b叫一次项系数，c叫常数项.
三、例题讲解
例：把方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数，常数项。
解：原方程可化为：3x2－5x－12＝0
∴二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－12.
四、巩固练习：
1、判断下列方程是否是一元二次方程;
（1）
（
）
（2）
(
)
（3）
（
）
(4)
(
)
说明：由一元二次方程的定义可得（1）是（2）是（3）不一定（4）否
2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2；
（2）7x－3=2x2;
（3）(2x－1)－3x(x－2)=0
（4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.
说明：（1）3；－1；2.（2）2；－7；3.（3）－3；8；－1.（4）2；－5；－11.
3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；
（1）
±1
±2；
（2）
±2，
±4
说明：（1）－1；2.（2）2；－4.
4、已知关于x的方程。
（1）当k为何值时，方程为一元二次方程？
（2）当k为何值时，方程为一元一次方程？
说明：（1）方程整理得，当方程的二次项系数k－3≠0，即k≠3时，方程为一元二次方程.
（2）当方程的二次项系数k－3＝0，即k＝3时，方程为一元一次方程.
五、课堂小结
这节课你学会了什么？
六、作业：习题1、2、3
备课资料：
A组：
1.填空：
⑴下列有8个方程：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
其中是一元二次方程的有
；
⑵将方程化为一元二次方程的一般形式为
；
⑶一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为
.
⑷如果一元二次方程
的系数满足，那么方程必有一个根为
。
2.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）
；
（2）
（3）；
（4）
B组：
1、写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）
（
（2）
（
2、把方程
(化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
3、试判断关于x的方程是不是一元二次方程，如果是，指出其二次项系数、一次项系数及常数项。
4、已知方程
当k为何值时，是一元二次方程？
当k为何值时，是一元一次方程？
5.已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值.23.6.2
图形的变换与坐标
课前知识管理
1、坐标轴上的坐标的特征
点P所在位置
轴
轴
原点
点P的坐标
2、对称点的坐标特征
点P关于轴对称的点的坐标是，关于轴对称的点的坐标是.
3、图形坐标变换规律
平移:
上下平移：横坐标不变,纵坐标改变；
左右平移：横坐标改变,纵坐标不变.
对称:
关于x轴对称：横坐标不变,纵坐标改变；关于y轴对称：横坐标不变,纵坐标不变.
关于原点中心对称：横坐标、纵坐标都互为相反数.
旋转：改变图形的位置，不改变图形的大小和形状.
名师导学互动
典例精析：
知识点1：建坐标系求点的坐标
例1、如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（-7，-4），白棋④的坐标为（-6，-8），那么黑棋①的坐标应该是___________.
【解题思路】只要我们能找出坐标系的原点，问题即可很快解决.由白棋②的坐标为（-7，-4），白棋④的坐标为（-6，-8），可得x轴正方向向右，y轴正方向向上，从④坐标开始向右平移3个，再向上平移1个即到黑棋①的位置，可得坐标（-3，-7）.
【解】（-3，-7）
【方法归纳】在同一个图形中，建立不同的坐标系，点的坐标也不同，但如果点的坐标知道了，那么坐标系也就确定了.在解题时，要根据题目特点建立适当的平面直角坐标系来描述物体的位置.
对应练习：如图，平行四边形的中心在原点，AD∥BC，D（3，2），C（1，-2），则其他点的坐标为_________________________．
答案：A（-1，2），B（-3，-2）
知识点2：对称变换
例2、在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．（1）请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点，不写画法）；（2）直接写出三点的坐标：．
【解题思路】如图，根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以，可求出相应点的坐标，之后再连线画出对称变换后的图形.
【解】（1）如上图；（2），，
【方法归纳】关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，即纵坐标乘以；关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以；关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以.
对应练习：如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）求出的面积．（2）在图中作出关于轴的对称图形．
（3）写出点的坐标．
答案：（1）（或7.5）（平方单位）；（2）如图（2）；（3）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）
知识点3：位似变换
例3如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)．
(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；
(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标．
【解题思路】本题是一道在直角坐标系内画位似图形的试题，根据位似比为2∶1，可延长BO到B′，使OB′=2BO，延长CO到C′，使C′O=2CO，连结B′C′，则△OB′C′即位所作的位似图形.进一步可以求到B′、C′点的坐标.
【解】（1）延长BO到B′，使B′O=2BO，延长CO到C′，使C′O=2CO，连结B′、C′.则△OB′C′即为△OBC的位似图形（如图）.（2）观察可知B′(-6,2)，C′(-4,-2).（3）M′(-2x．-2y).
【方法归纳】若以点O为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到n倍，则对应点坐标为原坐标的倍；
若以点O为位似中心在y轴的右侧将△OBC放大到n倍，则对应点坐标为原坐标的倍.
对应练习：如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼．（1）在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的图案；（2）在同一方格纸中，并在轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后小金鱼的图案．
答案：如图：
知识点4：根据已知点坐标求对称点坐标
例4、点A（-1，2）关于x轴的对称点坐标是__________；点A关于y轴的对称点坐标是__________；点A关于原点的对称点的坐标是____________.
【解题思路】本题考查关于x轴、y轴、原点对称点的坐标的特征，关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数.
【解】（-1，-2）
（1，2）
（1，-2）
【方法归纳】根据已知点坐标求对称点坐标在中考题中出现的频率较高，有时会结合其他知识点来考查，但只要我们记住它的变化规律就不会出错了.规律为：关于什么轴对称，什么轴的坐标就不变；关于原点对称横坐标、纵坐标都要改变.
对应练习：M(1,2)关于x轴对称的点的坐标为(
)
A.(-1,2)
B.(-1,-2)
C.(1,-2)
D.(2,-1)
答案：C
知识点5：旋转变换
例5.如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）.点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：
点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，….对称中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标.
【解题思路】本题是一道和对称有关的探索题，是在中心对称和点的坐标知识基础上的拓宽题，由于是规律循环的对称，所以解决问题的关键是找出循环规律.如图，标出P1到P7各点，可以发现点P7和点P1重合，继续下去可以发现点P8和点P2循环,所以6个点循环一次，这样可以求出各点的坐标.
【解】如图P2(1,-1)，
P7(1,1)，因为100除以6余4，所以点P100和点P4的坐标相同，所以P100的坐标为(1,-3).
【方法归纳】一般而言，对于这样的图形旋转及点的坐标的问题，通过画图来探究可以达到一目了然之效．
对应练习：如图，在一个的正方形DEFG网格中有一个．
（1）在网格中画出向下平移3个单位得到的；
（2）在网格中画出绕Ｃ点逆时针方向旋转得到的；
（3）若以所在直线为x轴，所在的直线为y轴建立直角坐标系，写出，两点的坐标．
解：（1）、（2）见图；（3），，
知识点6：确定图形变换后图形中点的坐标
例6、（1）请在如图所示的方格纸中，将向上平移格，再向右平移格，得，再将绕点按顺时针方向旋转，得，最后将以点为位似中心放大到倍，得；
（2）请在方格纸的适当位置画上坐标轴（一个小正方形的边长为个单位长度），在你所建立的直角坐标系中，点的坐标分别为：　点（　　　　），点（　　　　），点（　　　　）．
【解题思路】本题求解的步骤为：首先按要求画出相应的图形，再建立适当的坐标系，最后观察坐标系中的各个图形中所求点的位置，即求出相应点的坐标．
【解】（1）小题的答案见上图；（2）小题的答案不唯一，略．
【方法归纳】本题是一道集平移、旋转、位似图形知识和直角坐标系知识为一体的考题，考察了综合利用所学知识求解问题的能力．
例7、如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T(1，1)，A(2，3)，B(4，2)
．
(1)以点T(1，1)为位似中心，按比例尺(TA∶TA)3∶1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B，放大后点A,B的对应点分别为A，B．画出△TA′B，并写出点A′，B的坐标；
(2)在(1)中，若C(a，b)为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C
的坐标．
【解题思路】利用位似的方法将一个图形放大，从特殊到一般，探究、归纳位置变换后点的坐标的变化．也可利用相似的性质，进一步验证．
【解】(1)如图所示，点A，B的坐标分别为(4，7)，(10，4)；(2)变化后点C的对应点C′的坐标为．
【方法归纳】将图形放入平面直角坐标系里，通过量化的方式来研究图形和图形之间的关系，体现了形与数的统一，它是用代数方法研究图形的起始与基础．如果题目中“在位似中心的同侧”这一条件去掉,那么还要考虑两种情况.
对应练习：如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（
）
A.（2，2）,（3，4）,（1，7）
B.（-2，2）,（4，3）,（1，7）
C.（-2，2）,（3，4）,（1，7）
D.（2，-2）,（3，3）,（1，7）
答案：C.
知识点七：平移变换
例8、如图，要把线段AB平移，使得点A到达点A'(4，2)，点B到达点B'，那么点B'的坐标是_______.
【解题思路】平移时点的坐标变化规律是：左右平移，横变纵不变；上下平移，纵变横不变.点向上（右）移为加法，点向下（左）移为减法.
【解】由图可知点A移动到A/可以认为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，∴经过相同的平移后可得.
【方法归纳】平移时点的坐标变化规律：左右平移时：向左平移个单位，向右平移
个单位；上下平移时：向上平移个单位，向下平移
个单位.
对应练习：在平面直角坐标系内，把点P（－2，1）向右平移一个单位，则得到的对应点P′的坐标是（
）
A．（－2，2）
B．（－1，1）
C．（－3，1）
D．（－2，0）
答案：B
课堂练习评测
考点1：旋转变换
1、正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转后，B点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
考点2：平移变换
2、如图，把图①中的△ABC经过一定的变换得到图②中的△A′B′C′，如果图①中△ABC上点P的坐标为（a，b），那么这个点在图②中的对应点P′的坐标为（
）
A．(a-2,b-3)
B．(a-3,b-2)
C．(a+3,b+2)
D．(a+2,b+3)
3、如图，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(-4，2)，(-2，2)，右图中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右眼的坐标是
.
考点3：对称变换
4、已知点P(5，a)与P′(b，-1)是关于原点的对称点，则a、b的值是（
）.
A.a=1，b=5
B.a=1，b=-5
C.a=-1，b=5
D.a=-1，b=-5
考点4：位似变换
5、已知：如图，，，以为位似中心，按比例尺，把缩小，则点的对应点的坐标为（
）
A．或
B．或
C．
D．
考点5：综合应用
6、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1,0）.
①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；
③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；
④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标.
7、在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．
（1）填空：
①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（
，
）；
②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为
；
（2）如图3，分别以锐角三角形的三边，，为边向外作正方形，，，点，，分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用与，与之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段与之间的关系．
课后作业练习
基础训练
一、选择题(每小题3分，共30分)
1、点M（-5，y）向下平移5个单位的像关于x轴对称，则y的值是（
）
A、-5
B、5
C、
D、－
2、在直角坐标系中，点A（2，1）向左平移2个单位长度后的坐标为（
）
A、（4，1）
B、（0，1）
C、（2，3）
D、（2，-1）
3、观察图（1）与（2）中的两个三角形，可把（1）中的三角形的三个顶点，怎样变化就得到（2）中的三角形的三个顶点（
）
A、每个点的横坐标加上2
B、每个点的纵坐标加上2
C、每个点的横坐标减去2
D、每个点的纵坐标减去2
4、如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用(－40，－30)表示，那么(10，20)表示的位置是（
）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
5、在平面直角坐标系中，将点A（1，2）的横坐标乘以-1，纵坐标不变，得到点A ，则点A与点A 的关系是（
）
A、关于x轴对称
B、关于y轴对称
C、关于原点对称
D、将点A向x轴负方向平移一个单位得点A
6、如图，一个机器人从Ｏ点出发，向正东方向走到达点，再向正北方向走到达点，再向正西方向走到达点，再向正南方向走到达点，再向正东方向走到达点．按如此规律走下去，当机器人走到点时，离Ｏ点的距离是（
）
A、
10
B、
12
C、
15
D、
20
二、填空题：
7、将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x，-1)，则xy=___________.
8、如图，在平面直角坐标系中，线段是由线段平移得到的，已知两点的坐标分别为，，若的坐标为，则的坐标为　　　　．
9、若B地在A地的南偏东500方向,5km处，则A地在B地的
方向
处.
10、已知点A（a，-3），B（4，b）关于y轴对称，则a-b=
.
三、解答题：
11、如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3．已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）；.
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则的坐标是________，的坐标是________．
（2）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行了次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是________，的坐标是________．
12、在某河流的北岸有A、B两个村子，A村距河北岸的距离为1千米，B村距河北岸的距离为4千米，且两村相距5千米，现以河北岸为x轴，A村在y轴正半轴上（单位：千米）.
（1）请建立平面直角坐标系，并描出A、B两村的位置，写出其坐标.
（2）近几年，由于乱砍滥伐，生态环境受到破坏，A、B两村面临缺水的危险.两村商议，共同在河北岸修一个水泵站，分别向两村各铺一条水管，要使所用水管最短，水泵站应修在什么位置？在图中标出水泵站的位置，并求出所用水管的长度.
23.6.2图形的变换与坐标作业参考答案：
1、D
2、C
3、(5，4)
4、B
5、A
6、解：如下图所示，（4）对称中心是（0，0）
7、解：（1）①，；
②；
（2）经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段；经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段．，，，.
课后作业参考答案
一、选择题
CBBBB
C
二、填空题：
7、-10；
8、（2，2）
9、北偏西500，5km；
10、-1；
三、解答题：
11、（1）
（16，3），（32，0）；
（2）
（2n，3），（2n+1，0）；
12、（1）如图，点A（0，1），点B（4，4）；
（2）找A关于x轴的对称点A′，连结A′B交x轴于点P，则P点即为水泵站的位置，
PA＋PB=PA′＋PB=A′B且最短（如上图）.过B、A′分别作x轴、y轴的垂线交于E，作AD⊥BE，垂足为D，则BD=3，
在Rt△ABD中,AD==4，所以A点坐标为（0，1），B点坐标为（4，4）；A′点坐标为（0，－1），由A′E=4，BE=5，在Rt△A′BE中，A′B==.
故所用水管最短长度为千米.第25章单元小结与复习
一、知识网络
二、典例分析：
例1、黑暗中小明从他的一大串钥匙中，随便选择一把，用它开门，下列叙述正确的是（
）
A.能开门的可能性大于不能开门的可能性
B.不能开门的可能性大于能开门的可能性
C.能开门的可能性与不能开门的可能性相等
D.无法确定
【解题思路】这是随机事件，拿到任何一把钥匙的概率相等，正确的钥匙只有一把，而所有的可能是很多的，所以不能开门的可能性大于能开门的可能性.
【解】B
【方法归纳】P（关注结果）=.
例2、若自然数n使得三个数的加法运算“n＋(n＋1)＋(n＋2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2＋3＋4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4＋5＋6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51＋52＋53＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是（
）
A．0.88
B．0.89
C．0.90
D．0.91
【解题思路】自然数n使得三个数的加法运算“n＋(n＋1)＋(n＋2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”.从0，1，2，…，99这100个自然数中，各位进位到十位时，n＋(n＋1)＋(n＋2)≥10，解得n≥满足条件的各位数有3，4，5，6，7，8，9共计7个；从十位进位到百位时，n＋(n＋1)＋(n＋2)≥100解得n≥，所以满足条件的十位数有33，34，3599共67个数字；由进位数的定义可知如15+16+17=（10+5）+（10+6）+（10+7）=30+（5+6+7）=30+18=48,即十位与十位相加，各位与各位相加也出现进位现象的数也是进位数，所以在10到32之间有13，14，15，16，17，18，19，23，24，25，27，27，28，29共计14个数字为进位数，综上可知在0，1，2，…，99这100个自然数中进位数共有88个，所以从这100个数字中任意取一个数字为进位数的概率为=0.88．
【解】A
【方法归纳】本题将进位数和概率组合在一起，综合性强，其中涉及的进位数的概念对学生来说可能有些难以理解，特别是23，24这样的数也为进位数时学生不容易找到，但是只要学生认真阅读题目，再参考给出的被选答案不难找出所有的进位数，简易概率求法公式P（A）＝，其中0≤P（A）≤1．
例3、小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球3000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.7附近波动，据此可以估计黑球的个数约是_______．
【解题思路】黑球的个数为：3000×0.7＝2100个．
【解】2100
【方法归纳】本题考查同学们用稳定的频率估计概率的能力，概率=稳定的频率=频数/总数，运用这个公式可求出频数.
例4、某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次抽奖机会，该项厂拟按10%设大奖，其余90%为小奖．厂家设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入10黄球和90个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖．
（1）厂家请教了一位数学老师，他设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入2黄球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球的顾客获得大奖，其余的顾客获得小奖．该抽奖方案符合厂家的设奖要求吗？请说明理由；
（2）下图是一个可以自由转动的转盘，请你交转盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，使其符合厂家的设奖要求．（友情提醒：1．在用文字说明和扇形的圆心角的度数．2．结合转盘简述获奖方式，不需说明理由．）
【解题思路】（1）是否符合要求是指该数学老师设计的方案能否体现“10%得大奖，90%得小奖”的厂家意图，因此可将数学老师的方案用排列法或画树状图的方法得到概率．如用黄1、黄2、白1、白2、白3表示这5个球．从中任意摸出2个球，可能出现的结果有：（黄1，黄2）、（黄1，白1）、（黄1，白2）、（黄1，白3）、（黄2，白1）、（黄2，白2）、（黄2，白3）、（白1，白2）、（白1，白3）、（白2，白3），共有10种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足摸到2个球都是黄球（记为事件A）的结果有1种，即（黄1，黄2），所以P（A）=．即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%．数学老师设计的方案符合要求；（2）本题求解方法不唯一，画图时只需将该转盘（圆）平均分为10份，某种颜色占1份，另一种颜色占9分．顾客购买该型号电视机时获得一次转动转盘的机会，指向1份颜色获得大奖，指向9份颜色获得小奖即可．
【解】（1）该抽奖方案符合厂家的设奖要求．分别用黄1、黄2、白1、白2、白3表示这5个球．从中任意摸出2个球，可能出现的结果有：（黄1，黄2）、（黄1，白1）、（黄1，白2）、（黄1，白3）、（黄2，白1）、（黄2，白2）、（黄2，白3）、（白1，白2）、（白1，白3）、（白2，白3），共有10种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足摸到2个球都是黄球（记为事件A）的结果有1种，即（黄1，黄2），所以P（A）=．即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%．
（2）本题答案不唯一，下列解法供参考．如图，将转盘中圆心角为36°的扇形区域涂上黄色，其余的区域涂上白色．顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次转动转盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得小奖．
【方法归纳】考查概率知识点通常有三种事件、画树状图（或列表格）求等可能事件的概率，本题难度不大，注重基础性，体现综合性.
第25章末测试
一、选择题：
1、给出下列结论，其中正确的结论有（
）
①打开电视机它正在播广告的可能性大于不播广告的可能性②小明上次的体育测试是“优秀”，这次测试它百分之百的为“优秀”③小明射中目标的概率为，因此，小明连射三枪一定能够击中目标④随意掷一枚骰子，“掷得的数是奇数”的概率与“掷得的数是偶数”的概率相等
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：A
2、一个口袋内装有大小和形状相同的一个白球和两个红球，“从中任取一球，得到白球”这个事件是（
）
A.必然事件
B.不能确定事件
C.不可能事件
D.不能确定
答案：B
3、有5个人站成一排，则甲站在正中间的概率与甲站在两端的概率的比值为（
）
A.
B.2
C.或2
D.无法确定
答案：A
4、如图，阴影部分表示在一定条件下小明击中目标的概率，空白部分表示小亮击中目标的概率，图形说明了（
）
A.小明击中目标的可能性比小亮大
B.小明击中目标的可能性比小亮小
C.因为小明和小亮击中目标都有可能，且可能性都不是100%，因此，他们击中目标的可能性相等
D.无法确定
答案：B
5、将一个各面涂有颜色的正方体，分割成同样大小的27个小正方体，从这些正方体中任取一个，恰有3个面涂有颜色的概率是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：D
6、六·一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数
68
108
140
355
560
690
落在“铅笔”区域的频率
0.68
0.72
0.70
0.71
0.70
0.69
下列说法不正确的是（
）
A．当很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70
B．假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70
C．如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次
D．转动转盘10次，一定有3次获得文具盒
答案：D
7、一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（
）
A．18个
B．15个
C．12个
D．10个
答案：C
8、在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类，速度类和力量类。其中必测项目为耐力类，抽测项目为：速度类有50米、100米、50米×2往返跑三项，力量类有原地掷实心球、立定跳远，引体向上（男）或仰卧起坐（女）三项。市中考领导小组要从速度类和力量类中各随机抽取一项进行测试，请问同时抽中50米×2往返跑、引体向上（男）或仰卧起坐（女）两项的概率是（　　　）
答案：D
二、填空题：
9、给出以下结论：①如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生；
②二战时期美国某公司生产的降落伞合格率达99.9%，使用该公司的降落伞不会发生危险；
③如果一件事不是必然发生的，那么它就不可能发生；
④从1、2、3、4、5中任取一个数是奇数的可能性要大于偶数的可能性.
其中正确的结论是___________.
10、小明和小华做抛硬币的游戏，实验结果如下：
实验结果的次数
小华
小明
两个正面的次数
2
1
不是两个正面的次数
8
9
在小华的10次实验中，抛出两个正面________次，出现两次正面的概率为________，小明抛出两个正面的概率是________.
11、小明和小亮各写一张贺卡，先集中起来，然后每人拿一张贺卡，则他们各自拿到对方送出的贺卡的概率是________.
12、从4台A型电脑和5台B型电脑中任选一台，选中A型电脑的概率为________，B型电脑的概率为________.
13、小亮从3本语文书，4本数学书，5本英语书中任选一本，则选中语文书的概率为________，选中数学书的概率为________，选中英语书的概率为________.
14、某停车厂共有12个停车位置，今从中任取一个给某车停放，两端停车位置被选中的概率为________.
15、在研究抛掷分别标有1、2、3、4、5、6的质地均匀的正六面体骰子时，提出了一个问题：连续抛掷三次骰子，正面朝上的点数是三个连续整数的概率有多大？
假设下表是几位同学抛掷骰子的实验数据：
同学编号抛掷情况
1
2
3
4
5
6
7
8
抛掷次数
100
150
200
250
300
350
400
450
正面朝上的点数是三个连续整数的次数
10
12
20
22
25
33
36
41
请你根据这些数据估计上面问题的答案大约是
16、从一幅52张（没有大、小王）的扑克牌中每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，研究恰好出现红心的机会.若用计算器模拟实验，则要在
到
范围中产生随机数；若产生的随机数是
，则代表“出现红心”，否则就不是.
三、解答题：
17、从男女学生共36人的班级中，选一名班长，任何人都有同样的当选机会，如果选得男生的概率为，求男女生数各多少？
18、准备三张纸片，两张纸片上各画一个三角形，另一张纸片上画一个正方形，如果将这三张纸片放在一个盒子里搅匀，那么，随机地抽取两张纸片，可能拼成一个菱形(取出的是两张画三角形的纸片)，也可能拼成一个房子(取出的是一张画三角形，一张画正方形的纸片)，这个游戏的规则是这样的：若拼成一个菱形甲赢，若拼成一个房子乙赢，你认为这个游戏是公平的吗？请玩一玩这个游戏，用你的数据说明你的观点.
19、开学前，小明去商场买书包，商场在搞促销活动，买一只书包可以送2支笔和1本书．
（1）若有3支不同笔可供选择，其中黑色2支，红色1支，试用树状图表示小明依次抽取2支笔的所有可能情况，并求出抽取的2支笔均是黑色的概率；
（2）若有6本不同书可供选择，要在其中抽1本，请你帮助小明设计一种用替代物模拟抽书的方法．
20、甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2，3，4，6．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负．
（1）若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？
（2）若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？
（3）若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？
21、桌面上放有质地均匀、反面相同的3张卡片，正面分别标有数字1，2，3，这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出1张，记下卡片上的数字后仍反面朝上放回洗匀，乙再从中任意抽出1张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加．
（1）请用列表或画树形图的方法求两数和为4的概率；
（2）若甲与乙按上述方式做游戏，当两数之和为4时，甲胜，反之则乙胜；若甲胜一次得6分，那么乙胜一次得多少分，这个游戏才对双方公平？
22、张红和王伟为了争取到一张观看安全知识竞赛的入场券，他们各自设计了一个方案：
张红的方案是：转动如图所示的转盘，如果指针停在阴影区域，则张红得到入场券；如果指针停在白色区域，则王伟得到入场券（转盘被等分成6个扇形．若指针停在边界处，则重新转动转盘）．
王伟的方案是：从一副扑克牌中取出方块1、2、3，将它们背面朝上重新洗牌后，从中摸出一张，记录下牌面数字后放回，洗匀后再摸出一张．若摸出两张牌面数字之和为奇数，则张红得到入场劵；若摸出两张牌面数字之和为偶数，则王伟得到入场券．
（1）计算张红获得入场券的概率，并说明张红的方案是否公平？
（2）计算王伟获得入场券的概率，并说明王伟的方案是否公平？
参考答案
一、选择题：
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
二、填空题：
9、答案：
④
10、答案：
2
20%
10%
11、答案：
12、答案：
13、答案：
14、答案：
15、答案：～之间的任意一个数值.
16、答案：1，52，除以4余1的数（答案不惟一）
三、解答题：
17、解：因为选得男生的概率是，说明男生在总人数上占有，所以是男生24人，女生12人
18、解：这是随机事件，抽到哪两张的概率是相等的；随机的抽取两张，结果是“两张画三角形的纸片”，“一张画三角形，一张画正方形的纸片”，“一张画三角形，一张画正方形的纸片”所以说拼成小房子的可能要大，对于甲和乙机会不是均等的，游戏不公平.
19、解：（1）用分别表示2支黑色笔，表示红色笔，树状图为：
．
（2）方法不唯一，例举一个如下：记6本书分别为，．用普通的正方体骰子掷1次，规定：掷得的点数为1，2，3，4，5，6分别代表抽得的书为，．
20解：（1）若甲先摸，共有15张卡片可供选择，其中写有“石头”的卡片共3张，
故甲摸出“石头”的概率为．
（2）若甲先摸且摸出“石头”，则可供乙选择的卡片还有14张，其中乙只有摸出卡片“锤子”或“布”才能获胜，这样的卡片共有8张，故乙获胜的概率为．
（3）若甲先摸，则“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”四种卡片都有可能被摸出．
若甲先摸出“锤子”，则甲获胜（即乙摸出“石头”或“剪子”）的概率为；
若甲先摸出“石头”，则甲获胜（即乙摸出“剪子”）的概率为；
若甲先摸出“剪子”，则甲获胜（即乙摸出“布”）的概率为；
若甲先摸出“布”，则甲获胜（即乙摸出“锤子”或“石头”）的概率为．
故甲先摸出“锤子”获胜的可能性最大．
21、解：（1）
（2）由（1），
设乙胜一次得分，这个游戏才对双方公平，根据题意得：，.
答：乙胜一次得3分，这个游戏才对双方公平．
22、解：（1）
∴张红的设计方案是公平的．
（2）∵P
＞
∴王伟的设计方案不公平.
三名同学站成一排，其中小明站在中间的概率是________，站在两端的概率是________.
思路分析：这是随机事件，每一个的概率是相等的.三名同学站成一排，结果是6种可能，小明站在中间的可能是2个，站在两端的可能是4个.
解：
铅笔
文具盒
转盘
A1
A2
B
A2
A1
B
B
A1
A2
第1次抽取
第2次抽取
1
2
3
1
1
2
3
2
1
2
3
3
甲：
乙：
PAGE
722.2
一元二次方程的解法
第一课时
直接开平方法和因式分解法（1）
【学习目标】
会用开平方法、因式分解法解形如x2=p的一元二次方程。
能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍。
【学习重难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。
【课标要求】会用因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程
【知识回顾】
1、求出或表示出下列各数的平方根。
（1）25
（2）0.04
（3）0
（4）7
（5）
（6）121
解：
2、求出下列各式中的x.
（1）x2=49
(2)
9
x2
=16
(3)
x2=6
(4)
x2=－9
【自主学习】
自学课本20---22页思考下列问题：
1、教材“试一试”中由x2=4得x=±2依据是什么？
2、“试一试”中所列的方程是一元二次方程吗？有几个解？它们都符合问题的实际意义吗？为什么？
3、请你总结一下“试一试”中解方程的过程。
　
4、什么是直接开平方法？什么是因式分解法？
【例题学习】
1、解下列方程：
（1）2x2-8=0
(2)9x2-5x=0
（3）
(4)x(x+1)-5x=0
【巩固训练】
（1）x2=169
（2）45-
x2=0
（3）12
y2-25=0
(3)
x2-2x=0
(4)(t-2)(t+1)=0
【归纳小结】
幸福绝大多数是朴素的
“尊重、自主、高效”
华师九上23章一元二次方程　
【板书设计】标题
直接开方法
例1
习题
因式分解法
例2
【堂清】
1、已知一元二次方程，若方程有解，则c
。
2、解下列方程：
（1）36x2-1=0
(2)
4x2=81
解：
解：
【作业】
1、解下列方程
（1）
（2）
（3）(x+3)(x－3)=9
（4）(1－)x2=(1+)x
2、方程=0的解是
。
　
3、下面解方程的过程中，正确的是
（
）
A.x2=2
解：。
B.2y2=16
解：2y=±4，∴y1=2，y2=－2。
C.2(x－1)2=8
解：(x－1)2=4，
x－1=±，x－1=±2。∴x1=3，x2=－1。
D.x2=－3
解：，x2=。
4、解下列方程
（1）x2=5；
（2）3y2=6；
（3）2x2－8=0；
（4）－3x2=0
（5）
(x－1)(x+1)=1
（6）2x2+4x=0。
5、方程x2=的根是
。
6、解下列方程
（1）3y2－6y=0；
（2）25x2－16=0；23.3相似三角形
23.3.1
相似三角形
课前知识管理
1、相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似符号用“～”表示，读作“相似于”，在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∠C=∠C′（对应角相等），且（对应边成比例），那么△ABC和
△A′B′C′相似，记作△ABC～△A′B′C′，读作△ABC相似于△A′B′C′，其中对应顶点要写在对应位置上.
2、相似比：相似三角形对应边的比，也叫做相似系数，相似比具有顺序性：△ABC和
△A′B′C′的相似比是，那么△A′B′C′和△ABC的相似比是.当相似比是1时，两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例，全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特例.
3、相似三角形的判定方法：（1）根据相似三角形的定义；（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
名师导学互动
典例精析：
知识点1：相似三角形的概念
例1、已知△ABC的三边长分别为3，4，5，与其相似的△A′B′C′的最小边长为15，则
△A′B′C′的周长是多少？
【解题思路】要求较大的三角形的周长，必须知道其三边长，根据相似三角形的性质可求出大三角形的另两边长.
【解】设△A′B′C′的另外两边长分别为，则，经计算，得，所以周长为15+20+25=60，因此△A′B′C′的周长为60.
【方法归纳】此题运用了相似三角形的定义，求出了大三角形的另两边长.
对应练习：从下面这些三角形中，选出相似的三角形．
解
①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似
知识点2：会用相似三角形的概念进行推理
例2、根据下列已知条件，写出各组相似三角形的对应边的比例式.
（1）如图，△ADE～△ABC，其中DE∥BC；
（2）如图，△OAB～△OA′B′，其中AB∥A′B′；
（3）如图，△ADE～△ABC，其中∠ADE=∠B.
【解题思路】本题是结合图形，写出相似三角形对应边的比例式，区别（1）和（3），（1）中的AD与AB，AE与AC，DE与BC是对应边；（3）中AE与AC，AD与AB，DE与BC是对应边，不能和（1）相混淆，把AE与AB对应起来.
【解】（1）；（2）；（3）.
【方法归纳】写相似三角形对应边比例式关键是抓住“对应”二字.
对应练习：已知的三边长分别为5、12、13，与其相似的的最大边长为26，求的面积S．
解：设的三边依次为，，则，
∴．又∵∽，
∴．，
又，∴．∴．
知识点3：会用平行线判定三角形相似
例3、填空题：如图，□ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F，则图中共有________对相似三角形.
【解题思路】因为平行四边形对边平行，所以有AB//CD即BF//CD，又有AD//BC，所以图中相似三角形有ΔEBF∽ΔECD,ΔEBF∽ΔDAF，ΔECD∽ΔDAF，共3对.
【解】3对.
【方法归纳】找准平行线是推断出相似三角形的前提.
对应练习：在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．
你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．
解：这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高．过F作于G，交CE于H（如图）．∴∽．
∵，
∴．
由∽，得，即，∴，解得（米），所以旗杆的高为21.5米．
知识点8证明多边形相似
例9、如下图，梯形与梯形中，，，．
请说明：梯形∽梯形．
【解题思路】要说明梯形∽梯形．已知四个角已对应相等，只需说明四条边对应成比例即可．
【解】由，，可连结，则．于是．而在和中，由于，，所以．即，所以．故梯形∽梯形．
【方法归纳】研究多边形的问题，常常把多边形分成若干个三角形，从而把求解多边形的问题转化为求解三角形的问题．
对应练习：具备下列各组条件的两个三角形中，一定相似的是（
）
A.
两个任意三角形
B.
两个等腰三角形
C.
两个等边三角形
D.
两个直角三角形
答案：C
课堂练习评测
　　　
已知△ABC∽A`B`C`,且BC：B`C`＝AC：A`C`,若AC＝3，A`C`＝1.8。则△A`B`C`与△ABC的相似比为_______
△ABC的边长分别为，△A`B`C`的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A`B`C`，那么△A`B`C`的第三边长为_______
已知△ABC∽△A`B`C`，如果∠A＝55o，∠B＝100，那么∠C`等于_______
若两个相似三角形的相似比为1，则这两个三角形必_______
一个三角形三边长度之比为2：5：6，；另一个与它相似的三角形最长边为24cm，则此三角形最短边为________.
答案：
1．3:5
2．
　3．25度　4．全等
　5．8cm
　23.3.2相似三角形的判定（1）
【学习目标】
掌握三角形相似的判定方法1.
会用相似三角形的判定方法1来证明及计算.
【学习重点】相似三角形的判定方法及推导过程，并会用判定方法来证明和计算.
【学习难点】判定方法的运用
【课标要求】探索两个三角形相似的条件
【知识回顾】
如何判断两个三角形是否相似？
全等三角形的识别方法？
【合作学习】
合探1
同学们观察我们的直角三角尺，直观上看它们是什么关系？到底需要满足几个条件两个三角形能够相相似？
合探2
与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′,使得∠A=∠A′，
∠B=∠B′，∠C=∠C′，A
B
=2
A′B′，比较你们画的两个三角形，对应边的比相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变角度的大小及A
B与
A′B′的倍数关系，再试一试.
思考：在实际画图过程中，同学们画了几个角相等？为什么？
由此得到相似三角形的判定方法1：
【例题学习】
如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC.（1）图中有哪些相等的角？（2）找出图中的相似三角形，并说明理由；（3）写出三组成比例的线段.
【巩固训练】
1、如图D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，∠AED=∠C，△ABC与△ADE相似吗？如果相似请写出证明过程.
2、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
【拓展运用】
在Rt⊿ABC中，CD是斜边上的高，则⊿ABC∽⊿CBD∽⊿ACD。
【归纳小结】
【堂清】
如图，点A、O、D与点B、O、C分别在一条直线上，如果AB∥CD，那么
△AOB与△DOC相似吗？为什么？
【作业】
1.已知：△ABC和△A′B′C′中，∠A=40°，∠B=70°，∠A′=40°，∠C′=70°.求证：△ABC∽△A′C′B′.
2、如图，△ABC中，DE‖BC，EF‖AB，证明：△ADE∽△EFC．
3、已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．
4、已知：如图，△ABC
的高AD、BE交于点F．求证：．
5、如图，AF∥CD,∠1=∠2,∠B=∠D,你能找出图中几对相似三角形？并逐一说明相似的理由.
【教学反思】23.3.2相似三角形的判定(2)
【学习目标】
1.掌握三角形相似的判定方法2和3；
2.会用相似三角形的判定方法2和3来判断、证明及计算.
【学习重点】相似三角形判定方法2和3的推导过程，掌握判定方法2和3，并能灵活运用.
【学习难点】判定方法的推导及运用。
【课标要求】探索两个三角形相似的条件。
【知识回顾】
如图，，添加一个条件使得∽
.
【合作学习】
1、画△ABC与△A′B′C′，使∠A=∠A′，和都等于给定的值k=2.比较
∠B与∠B′的大小（或∠C与∠C′的大小）、△ABC与△A′B′C′相似吗？
改变k值的大小，再试一试.
判定方法2：
2、画△ABC与△A′B′C′，使、和都等于给定的值k.
（1）设法比较∠A与∠A′的大小、∠B与∠B′的大小、∠C与∠C′的大小.
（2）△ABC与△A′B′C′相似吗？说说你的理由.改变k值的大小，再试一试.
判定方法3：
【例题学习】
1、已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．
2、在△ABC与△A′B′C′中，已知AB=6
cm,BC=14
cm,AC=10
cm,A′B′=18cm,
B′C′=24
cm，A′C′=30cm，证明△ABC与△A′B′C′相似。
【巩固练习】
1、如图，AB AE=AD AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
2、依据下列条件，证明△ABC与△A′B′C′相似
AB=10
cm,BC=8cm,AC=16cm,A′B′=16cm,B′C′=12.8
cm，A′C′=25.6cm，
【拓展运用】
如图△ABC与△ADE有公共点A，∠DAB=∠CAE，试添加一个条件，使△ABC∽
△ADE，并加以证明。
【归纳小结】
【作业】
1、已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD AD，
求证：△ADC∽△CDP．
2、在△ABC中，D为AC上的一点，CD：AD=1：2，∠BCA=45°，∠BDA=60°，AE⊥BD，E为垂足，连结CE。
（1）写出图中相等的线段；（2）找出图中各对相似三角形，并加以证明24.3.4
相似三角形的应用(2)
【学习目标】
学会把一已知线段几等分，灵活运用相似三角形知识解决几何问题.
【基础知识演练】
1.相似三角形的知识不但在实践中有着广泛的应用，还可用来解决许多有趣的数学问题.如把线段AB五等分（如图）就可以用相似三角形的知识来解决.方法是：（1）过线段AB的一端点A任意画一射线；（2）在AP上依次截取五段相等的线段AAl、
AA2、AA3、AA4、AA5.（3）连结A5B.（4）分别过A4、A3、A3、Al点画BA5的平行线，这些平行线与线段AB交于点
F、E、D、C，这样就把线段AB五等分.请仿照这种方法把线段AB七等分.
2.
如图，DE与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E两点，且DE∥BC．若DE＝2㎝，BC＝3㎝，EC＝㎝，求AC的长．
3.
如图，△ABC中，∠B=900，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，求CD的长.
4.
如图，在△ABC中，AB＝14cm，，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12cm，求△ADE的面积和周长.
5．如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，若AB=6，求线段BP的长.
【思维技能整合】
6.
如图，设M，N分别是直角梯形ABCD两腰AD，CB的中点，DE上AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（
）
A．2:1
B．1:2
C．3:2
D．2:3
7.
如图，王华晚上由路灯A下的B处走到Ｃ处时，测得影子CD的长为１米，继续往前走３米到达Ｅ处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（
）
Ａ．4.5米
Ｂ．6米
Ｃ．7.2米
Ｄ．8米
8.
如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（
）
A.AE⊥AF
B.EF∶AF=∶1
C.AF2=FH·FE
D.FB∶FC=HB∶EC
9.
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，AD∶BC＝3∶5，则AO∶OC＝
，∶＝
，∶＝
.
10.
在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16
cm，点P从A点开始沿AB边向点B以2
cm／秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以4
cm／秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒之后，△PBQ与△ABC相似？这样的三角形有几个.
【发散创新尝试】
11.如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠
COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．
(1)求点B的坐标；
(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标.
【回顾体会联想】
12.
相似三角形在解题中起着举足轻重的作用：如证两角相等、计算角的大小、证线段成比例、求线段长度、等积线段、求函数解析式等，解题时要认真审题，分析、选用适当的方法.你能总结出解决问题的关键吗？
参考答案
1.略
2.
2
3.
4.△ADE的面积为cm2，周长为15
cm.
5．BP=2
6.
A
7.
B
8.
C
9.
3∶5，9∶25，3∶5
10.
2秒或0.8秒，这样的三角形有两个
11.
（1）过C作CD⊥OA于A，BE⊥OA于E,则△OCD≌△ABE，四边形CDEB为矩形.
∴OD=AE，CD=BE.
∵OC=AB=4，∠COA=60°.∴CD=，OD=2.
∴CB=DE=3,∴OE=OD+DE=5.
∵BE=CD=,∴B（5，）.
（2）∵∠COA=60°，△OCP为等腰三角形,
∴△OCP是等边三角形.∴OP=OC=4.∴P（4，0）.
即P运动到（4，0）时，△OCP为等腰三角形,
（3）∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60°,∴∠OPC+∠DPA=120°.
又∵∠PDA+∠DPA=120°,∴∠OPC=∠PDA.∵∠OCP=∠A=60°,∴△COP∽△PAD.
∴.
∵，AB=4,∴BD=.∴AD=.即
.
∴.
得OP=1或6.
∴P点坐标为（1，0）或（6，0）.21.1
二次根式
第一课时
课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）
二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.二次根式的概念主要包括三点内容：①二次根式必须含有二次根号“”；②二次根式是非负数的算术平方根，当时，；当时，.③在二次根式中被开方数可以是数，也可以是代数式，并且被开方数必须是非负的.
名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）
典例精析
类型一：二次根式的识别
例1、小明在作业本上写出了以下几个式子，你认为是二次根式的有
.①；②；③；④；⑤；⑥.（只填序号）
【解题思路】在式子中只有当被开方数是非负数时，才是二次根式，因为，所以、、是二次根式.
【解】①、④、⑤.
【方法归纳】理解二次根式的定义是判断一个式子是否为二次根式的基本前提，一个式子是否为二次根式要有以下两个条件：①被开方数为非负数；②根指数为2，不要误认为只要带有二次根号，就为二次根式.
类型二：确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
例2、函数的自变量的取值范围是
.
【解题思路】二次根式要有意义，被开方数必须大于或等于零；分式要有意义，分母必须为等于零.此函数既含有二次根式又含有分式，必须同时使它们有意义.
【解】，即且.
【方法归纳】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母为能为0；（3）当函数的表达式是二次根式时，被开方的数为非负数.
类型三：二次根式的非负数性的应用
例3、代数式的值等于
.
【解题思路】根据二次根式的意义先求出的值，再对式子化简.
【解】根据二次根式的意义，可知，解得=1，∴=1+3=4.
【方法归纳】主要考查二次根式的意义，二次根式的被开方数为非负数，二次根式才有意义.
例4、当时，=
.
【解题思路】根据已知条件判断出的符号，再根据二次根式的性质、去绝对值的法则解答.
【解】∵，∴.原式==3.
【方法归纳】解答此题，要弄清二次根式的非负性及去绝对值的符号法则。
类型四：实践应用题
例5、生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子最稳定.如图，现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，他的顶端能达到5.6米高的墙头吗？（）
【解题思路】由已知可得当AB=6时，BC=AB=2，由勾股定理求得AC的值即可比较出结果.
【解】能.当BC=AB时，∵AB=6，∴
BC=2.在R△ABC中，由勾股定理得：
AC=（米）.∵5.656＞5.6，∴梯子顶端能到5.6米高的墙头.
易错警示
例6、当为何值时，
有意义？
【错解】
∵,
∴0≤≤2.
【错因分析】这是一道容易混淆的两个概念的例子，解答中≥0是多余的，出现此错误也是混淆了二次根式与三次根式的本质区别.二次根式要求被开方数非负，三次根式对被开方数没有要求.
【正解】由题意得：，∴≤2
且≠-1.
课堂练习评测（检验学习效果的时候到了，快试试身手吧）
知识点1：二次根式的概念
1、若是一个二次根式，则（
）
A、
B、
C、
D、
2、在式子中，是二次根式的有
.
知识点2：确定二次根式中被开方数的取值范围
3、如果是二次根式，那么应满足
.
4、若有意义，则能取的最小整数值是（
）
A、
B、1
C、2
D、3
课后作业练习
一、选择题：
1、要使式子
有意义，a的取值范围是（
）
A．a≠0
B．a＞－2且a≠0
C．a＞－2或a≠0
D．a≥－2且a≠0
3、已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（
）.
A．4
B．2
C．
D．
±2
4、若a、b为实数，且满足│a－2│+=0，则b－a的值为（
）
A．2
B．0
C．－2
D．以上都不对
5、下列各式中，计算正确的是（
）
A、
B、
C、
D、
6、对有下面几种说法：①是二次根式；②是非负数的算术平方根；③是非负数；④是非负数的平方根.其中正确的说法有（
）种.
A、2
B、3
C、4
D、以上都不对
7、下列一定是二次根式的是（
）
A、
B、
C、
D、
二、填空题：
8、二次根式有意义的条件是
.
9、若整数满足条件＝且＜，则的值是
．
10、若为实数，且，则的值为___________．
12、已知实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：=
.
三、解答题：
13、已知，想一想代数式的值是多少？
14、先观察下列等式，再回答问题：①；
②；③.
（1）请根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果.
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用（为正整数）表示的等式.
15、计算：（1）；（2）；（3）
17、已知实数满足，试问长度分别为的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求该三角形的面积；如果不能，请说明理由.
课堂作业参考答案：
1、A
2、
3、
4、B
.
课后作业答案：
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.答案：D
5.答案：B
6.答案：D
7.答案：且.
8.【答案】0或－1
9.【答案】1
10.答案：
11.解：因，所以，，，∴，故=0.
12.解：（1）；（2）（为正整数）.
13.答案：（1）；（2）
；（3）
14.解：根据二次根式的意义，得：，解得.所以，根据非负数的意义，得：，解得：.故可组成直角三角形，其面积为6.24.
3
锐角三角函数(1)
【学习目标】
经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、的比值固定这一事实。
能根据三角函数的概念进行计算
【学习重点】理解三角函数的概念
【学习难点】当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、的比值固定这一事实。
【课标要求】掌握锐角三角函数
【知识回顾】
如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？
【自主学习】
探究1：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，
∠A=∠A′，那么
有什么关系．你能解释一下吗？
结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比
∠A的邻边与斜边的比
∠A的对边与邻边的比
∠A的邻边与对边的比
概念：在Rt△BC中，∠C=90，∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．
在Rt△BC中，∠C=90°，
我们把
叫做∠A的正弦，记作
，即
．
我们把
叫做∠A的余弦，记作
，即
．
我们把
叫做∠A的正切，记作
，即
．
【例题学习】
例1
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求△ABC
中∠B的三个三角函数值．
你有什么发现？
【巩固训练】
1．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（
）
A．
　B．
C．
　D．
2．
在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是(
)
A．
B．3
C．
D．
3?在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（?）
A．?B．?C．?D．
本题主要考查锐解三角函数的定义，同学们只要依据的图形，不难写出，从而可判断C正确.
4.
在中，∠C＝90°，如果cos
A=那么的值为（?）
A．?B．?C．?D．
分析
本题主要考查锐解三角函数及三角变换知识。其思路是：依据条件，可求出；再由，可求出，从而，故应选D.
5、如图：P是∠的边OA上一点，且P
点的坐标为（3，4），
则cosα＝_____________.
【归纳小结】
【作业】
1如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.
∠P的对边是__________,∠P的邻边是_______________;
∠M的对边是__________,∠M的邻边是_____________;
设Rt△ABC中，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求∠B的三个三角函数值.
（1）a=3,b=4;
　（2）a=5,c=10.
4、Rt△ABC中，∠C＝90゜，已知AC=21，AB=29，分别求∠A、∠B的三个三角函数值21.2二次根式的乘除法
第二课时
教学目标
1、理解二次根式的除法公式及其逆用，并能利用他们进行计算
理解最简二次根式的概念并运用它进行化简。
2、培养学生归纳总结能力，应用数学知识解决实际问题的能力
3、培养学生团结合作互助的精神，激发学习数学的学习兴趣。
重难点：理解二次根式除法法则，最简二次根式的运用。
教学过程：
一、做一做
计算下列各题，观察计算结果：
（1）
　
（2）
（3）
（4）
二、想一想：
两个二次根式相除，怎样进行呢？商的算术平方根又等于什么？试参考前两小节的研究，和同伴讨论，提出你的见解．
三、概括
一般地，有
________（a≥0，b＞0）．
文字语言叙述：两个二次根式相除，___________________________．
四、用一用
（1）；
（2）．
解
（1）；
（2）；
小题（2）还有别的解法吗？
五、知识拓展
上面得到的等式，也可以写成
______（a≥0，b＞0）．
文字叙述：商的算术平方根，等于__________________．
利用这个性质可以进行二次根式的化简．
六、用一用
化简．（要求分母中不含二次根式，并且二次根式中不含分母）
解
．
思考
：1、二次根式的被开方数中含有分母，怎样把它开方出来？
2、二次根式的除法，还可以采用是么方法来进行？
．
七、练一练
1．化简：
（1）
（2）
（3）
（4）．
2．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
课堂小结：
１、通过今天的学习你有什么收获？
２、化简二次根式的方法以及公式的准确运用。
当
堂
检
测
1．化简：
（1）
（2）
（3）
（4）．
2．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）．
当
堂
检
测
答案:
1．化简：
（1）;
（2）;
（3）;
（4）．
2．计算：
（1）
（2）
（3）
;
（4）;
（5）;
（6）．22.1
一元二次方程
【学习目标】
理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
会依据简单的实际问题列一元二次方程并将其转化为一般形式。
【学习重点】一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。
【学习难点】理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。
【课标要求】能鸲根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型
【温故知新】1、观察方程：2x=1；3x+2=x-4;2(x+2)-3(x-1)=0它们都含有　　　个未知数，并且未知数的最高次数是　　，这样的整式方程叫做一元一次方程。
2、下列方程是一元一次方程的是（　　　）
（1）５ｘ＋３＝０，（２）２ｘ＋ｙ＝３，（３），
（４）　；　　　（５）ｘ2－２ｘ＋１＝０
【自主学习】
自学课本Ｐ18---P19思考下列问题：
在教材中两个问题得出的两个方程有什么共同点？未知数的个数和最高次数各是多少？
什么叫一元二次方程？类比一元一次方程的概念，一元二次方程概念中的关键词是什么？举例说明。
一元二次方程的一般形式是什么？为什么规定a≠0？对b、ｃ有什么要求吗？
对一个一元二次方程是怎样转化成它的一般形式的？并说出它的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数？
５、若方程ax2+bx+c=0中a＝０、ｂ≠0，则它是你学过的哪一类方程？
【例题学习】
例１将方程３ｘ（ｘ－１）＝５（ｘ＋２）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。
例２、若关于ｘ的方程（ｋ＋３）ｘ2－ｋｘ＋１＝０是一元二次方程，求ｋ的取值范围。
【课堂练习】
1、判断下列方程，哪些是一元二次方程（
）
（1）x3－２ｘ2＋５＝０；　（２）ｘ2＝１；　（３）；
（４）２（ｘ＋１）2＝３（ｘ＋１）；（５）ｘ2－２ｘ＝ｘ2＋１；（６）ax2＋bx＋c＝０
2、将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。
（1）（2）（3）（4）
3、根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式。
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x。
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x。
（3）把长为1的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长。
（4）一个直角三角形的面积为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x。
【总结反思】
【堂清】
１、下列方程中不含一次项的是（
）
（A）、（B）、（C）、（D）、
2、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值是（
）
（A）、1
（B）、-1
（C）、±1
（D）、±2
3、将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项。
（１）　　　　　　　　　　　　　　（２）　　　　
解：
解：
（３）
　解：
【作业】
１、下列方程一定是一元二次方程的是（　　）
Ａ、ax2＋bx＋c＝０　　　　　　Ｂ、５ｘ2－６ｙ－１＝０　　
Ｃ、ax2－ｘ－２＝０　　　　　　Ｄ、（ａ2＋１）x2＋ｂｘ＋ｃ＝０
２、（中考题）若方程（ｍ＋２）ｘ︱m︱＋３ｍｘ＋１＝０是关于ｘ的一元二次方程，则ｍ的值为（　　）
Aｍ＝±２　　　　B、ｍ＝２　　　　Ｃ、ｍ＝－２　　　　Ｄ、ｍ≠±２
３、已知关于ｘ的方程（２ｍ－１）x2－ｍｘ＋（ｍ＋２）＝０
（１）当ｍ为何值时，此方程是一元一次方程？
（２）当ｍ为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
4、根据下列问题列方程，并将其化成一般形式。
（１）一个圆的面积是6.28m2，求半径（∏≈3.14）
解：
（２）一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm2，求较长的直角边的长。
解：
5、若３ｘ2m-1＋10ｘ－１＝０是关于ｘ的一元二次方程，则ｍ的值应为（　　）
Ａ、ｍ＝２　　　Ｂ、　　Ｃ、　　　Ｄ、无法确定24.3.4
相似三角形的应用（1）
【学习目标】
会应用相似三角形的有关性质解决实际问题.
【基础知识演练】
1.
相似三角形的有关知识在生活、生产中有着广泛的应用.如：
（1）利用阳光下的影子测高度.
如图，人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形,即△EAD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据可得BC=
，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度.
（2）利用标杆测高度.
如图，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G,交标杆EF于H,于是得△DHF∽△DGC.
因为可以量得AE、AB,观测者身高AD、标杆长EF,且DH=AE
DG=AB，由得GC=
，∴旗杆高度BC=GC+GB=GC+AD.
2.
如图，高4
m的旗杆在水平地面上的影子长6
m，此时测得附近一个建筑物的影子长24
m，求该建筑物的高度.
3.
为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，求树（AB）的高度.（精确到0.1米）.
4.
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12
cm，高AD=8
cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问这个正方形材料的边长是多少？
5.
马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1.2米．
（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？
（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？
【思维技能整合】
6.
如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是（
）
A.
B.
C.
D.
7.
如图，铁道口的栏道木短臂长1米，长臂长16米，当短臂下降0.5米时，长臂的端点升高（
）
A.11.25米
B.6.6米
C.8米
D.10.5米
8．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（
）
A．增大1.5米
B.
减小1.5米
C.
增大3.5米
D.
减小3.5米
9.
如图，若OA∶OD=OB∶OC=n，则x=________（用a,b,n表示）.
10.
如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O/P/=,两灯柱之间的距离OO/=m.
(l)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；
(2)若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值？请说明理由；
(3)若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度.
【发散创新尝试】
11.
某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木（如图所示），他们想在地带种植单价为10元/米2的太阳花，当地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.
【回顾体会联想】
12.
相似形的性质与识别在日常生活中有非常广泛的应用，如运用相似三角形的原理来进行测量等.请你想一想：利用相似形的性质与识别还可以解决哪些问题
参考答案
1.
（1）；（2）
2.
△ABC∽△A′B′C′，所以=，BC==16
（m）.
即该建筑物的高度是16
m.
3.
5.6米
4.
4.8
cm.
5.
（1）狮子能将公鸡送到吊环上．当狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ，AB＝1.2（米）.∴QH＝2.4＞2（米）．
（2）支点A移到跷跷板PQ的三分之一处（PA＝PQ），狮子刚好能将公鸡送到吊环上，如图，△PAB∽△PQH，∴QH＝3AH＝3.6（米）
6.
C
7.
C
8．D
9.
10.
（1）AC=；（2）DA+AC=是定植；（3）=
11.
梯形ABCD中AD//BC∽，AD=10，BC=20，.
∵，还需要资金200×10=2000（元），
而剩余资金为2000－500=1500＜2000，
所以资金不够用.22.1
一元二次方程
课前知识管理
1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．理解一元二次方程的概念时应注意：形如的方程不一定是一元二次方程.当时，是一元二次方程；当，且时，是一元一次方程.注意一元二次方程应满足的条件：（1）是整式方程，即方程两边都是关于未知数的整式；（2）只含有一个未知数（即一种未知数）；（3）未知数的最高次数是2（即未知数的指数最高是2）.
2．要判定一个整式方程是不是一元二次方程，一般需要将这个整式方程变形成为的形式.变形时，允许去分母、去括号、移项、合并同类项.在变形之后的形式中，若，则原来的方程便是一元二次方程；否则就不是一元二次方程.如：，所以它是一元二次方程；而，它不是一元二次方程.
3．一元二次方程的一般形式是（是已知数，）．它的特征是：等式左边是一个关于未知数的二次三项式，右边是零，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项.任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为一般形式，在理解一元二次方程的一般形式时，要注意以下几点：①在求一元二次方程各项的系数时，首先必须把一元二次方程化成一般形式；②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的.
4．一元二次方程的根：能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
名师导学互动
典例精析
1．一元二次方程的识别
【例1】下列方程中,关于x的一元二次方程是(
)
A.3(x+1)2=2(x+1)
B.=0
C.ax2+bx+c=0
D.x2+2x=x2－1
【解题思路】因B中的分母含有未知数,所以它不是一元二次方程.C中字母a没有强调不为0,若a=0,则C中未知数的最高次数低于2,因此,不能肯定C中的方程是否是一元二次方程.D中方程化简后是一元一次方程.只有A中的方程符合一元二次方程的三个条件.
【解】选A．
【方法归纳】(1)判断一个方程是否是一元二次方程,应以化简后的结果为准.如化简前含有未知数是2次的项,但是化简后未知数最高次数是1,那它就不是一元二次方程；(2)当方程中含有字母系数(又叫参数)时,应区分未知数和字母.如“关于x的方程……”,则表明x是未知数,而方程中其它字母均是常数；(3)“×元×次方程”中的“元”指未知数,“次”指未知数的最高次数.
2．确定方程中未知字母的值
【例2】方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则(
)
A.m=±2
B.m=2
C.m=－2
D.m≠±2
【解题思路】由于一元二次方程中未知数的最高次数是2,所以|m|=2,即m=±2.但当m=－2时,原方程变为－6x+1=0,它是一元一次方程,不合题意,舍去.当m=2时,原方程变为4x2+6x+1=0,它是一元二次方程．
【解】选B．
【方法归纳】二次项系数不为0是一元二次方程的前提条件，未知数指数含字母常常出现讨论不全面而造成漏解或增解．
3.确定一元二次方程
【例3】设是二次项的系数，是一次项的系数，是常数项，且满足，求满足条件的一元二次方程为
.
【解题思路】由，得，解得.
∵是二次项的系数，是一次项的系数，是常数项，∴所求的方程为.
【解】.
【方法归纳】此题关键是理解算术平方根、完全平方数和绝对值的非负性，即.求解时主要应用性质：有且只有使各项为0时，几个非负数的和才为0.无论题中的非负数是哪种形式，都可以应用此结论列方程组求出多个未知数的值.
4、一元二次方程的根
【例4】已知2是关于的方程的一个根，则的值为（
）
A、2
B、
C、3
D、－
【解题思路】利用方程根的定义，可以先将关于的方程转化为关于的方程，从而求出的值.因为2是关于的方程的一个根，所以，解得.
【解】选A.
【方法归纳】由本题分析，我们可得以下发现：①涉及基本概念的问题应充分利用基本概念；②代解、求解是解决与方程有关的问题的两个基本方法.
易错警示
【例5】如果关于的方程是一元二次方程，则的值是（
）
A、2
B、－2
C、2或－2
D、0
【错解】由，得，故选C.
【错因分析】一元二次方程中隐含着一个相等关系和一个不等关系，相等关系是未知数的最高指数等于2；不等关系是二次项系数，错解正是忽视了这个不等关系造成的.
【正解】由，得，由得，故只能是，选B.
课堂练习评测
知识点1：列一元二次方程
1．（2010贵州毕节）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008年投入3
000万元，预计2010年投入5
000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
知识点2：一元二次方程的识别
2．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（
）
（A）x2+－2=0
（B）ax2+bx+c=0
（C）（n2+1）x2+n=0
（D）mx2+3x=n
3．有下列方程：①
2x2－3=0；②
=1；③
；④
ay2+2y+c=0(其中a为常数)；⑤
(x+1)(x－3)=x2+5；⑥
x－x2=0
.其中是整式方程的有
，是一元二次方程的有
.(只需填写序号)
知识点3：确定一元二次方程
4．（2010年福建德化）已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：
．
5．若方程(a－1)+5x=4
是一元二次方程，则a=
6．关于x的方程(m2－16)x2+(m+4)x+2m+3=0.当m_________时,是一元一次方程；当m_________时,是一元二次方程.
知识点4：一元二次方程的根
7.下列各组取值是方程的根的是（
）
A、2或3
B、3或4
C、4或5
D、5或6
课后作业练习
基本能力
1．方程化为形式后，的值为（
）
（A）1，－2，－15
（B）1，－2，－15
（C）1，2，－15
（D）－1，2，－15
2．把方程(1－3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.
3.
（2010大兴安岭）代数式3x2－4x－5的值为7，则x2－
x－5的值为_______________．
4.
方程中，二次项系数、一次项系数与常数项的和为___________
5.在－3，－2，－1，0，1，2，3这七个数中，是方程的根的是
.
拓展能力
6
.（2010年浙江台州）某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程为
．
7.在解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的一元二次方程的一般形式是
.
8.
在下列方程：①
3x2+(1+x)+1=0；②
3x2++1=0；③
4x2=ax
(其中a为常数)；④
2x2+3x；⑤
=2x；⑥
=2x；⑦
｜x2+2x｜=4.
其中是一元二次方程的有
.(只需填写序号)
9.方程5(x2－x+1)=－3x+2的一般形式是__
________，其二次项系数是__________，一次项系数是__________，常数项是__________.
10.
关于的方程，当为何值时该方程是一元一次方程？当为何值时该方程是一元二次方程？
拓展探究
11．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：__________．
12.
方程是关于x的一元二次方程，则的值为
.
13.
若方程是一元二次方程，则下列不可能的是（
）
A.
==2
B.
=2,
=1
C.
=2,
=1
D.
==1
14.
（2010年佛山市）教材或资料出现这样的题目：把方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项.现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：
（1）下面式子中有哪些是方程化为一元二次方程的一般形式？（只填写序号）
①，②，③，④，⑤
（2）方程化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有上面关系？
课堂作业练习答案
1.答案：A.
2.答案：C
3.答案：①、③、④、⑤、⑥；①、③、⑥
4.答案：先写出一个关于1的平方的等式，然后再用未知数x代替1即可等到符合题意的一元二次方程.答案不惟一，如等.
5.答案：－1
6.答案：4，≠±4
7.答案：C
课后作业答案：
1.答案：C
2.解析：原方程化为一般形式是:5x2+8x－2=0(若写成－5x2－8x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).
3.答案：－1
4.答案：－1
5.答案：1，2
6.答案：
7.答案：
8.答案：①、⑤、⑥、⑦.
9.答案：
.
10.解：由一元二次方程和一元一次方程的概念可知，当时，该方程是一元二次方程，而当且时，该方程是一元一次方程．
11.解：答案不唯一，如
，
等.
12.答案：2
13.答案：B
14.解：（1）①②④⑤
；（2）若说它的二次系数为a（a≠0），则一次项系数为－2a、常数项为－2a.第22章知识升华
本章内容主要分为三部分，第一部分是一元二次方程的有关概念第二部分是一元二次方程的解法第三部分是实际与探索（即一元二次方程的应用），该章是初中数学中十分重要的一个内容，是各地中考基本题、中档题和高分题命题的一个热点题源．主要题型有：（1）不解方程，判断方程根的情况（2）求方程中的参系数值、范围或相互关系（3）验根、求根或确定方程根的符号（5）求与方程根有关的代数式的值（6）列方程解应用题．应用题主要讨论行程问题、工程问题等及其他类型的常见应用问题．近年出现的一些与市场经济、社会重大问题等有关的新颖情境问题层出不断，且已成为中考命题的方向．
一、知识脉络图
二、重点、难点与关键
重点：一元二次方程的解法；
难点：一元二次方程的应用；
关键：通过分析题意，从中提炼有用信息，确定问题中各量之间的数量关系，建立一元二次方程模型．
三、主要知识解读
1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是．
2、一元二次方程的解法
直接开平方法
配方法
求根公式法
因式分解法
理论依据
平方根的定义
完全平方公式直接开平方法
配方法和直接开平方法
，则或
适用题型
，
所有的一元二次方程
所有的一元二次方程
左边能分解因式，右边为的方程
方法或步骤
观察方程是否符合或；直接开平方，得两个一次方程；3、解一元一次方程得原方程的两个根
化二次项系数为1移项，使方程左边之含有二次项和一次项，右边为常数项方程两边都加上一次项系数一半的平方原方程变为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1、把方程化为一般形式2、确定
的值3、求出的值4、的值代入
1、将方程右边化为2、将方程左边进行因式分解3、令每个因式等于，得两个一元一次方程4、解这两个一元一次
方程，得方程的两个根．
五、典型例题解析
例1．方程是一元二次方程，则
=
．
命题意图：考查一元二次方程的概念及其成立的条件（二次项系数不为零）．
思路分析：首先根据一元二次方程的定义得，；再由一元二次方程的定义
中这一条件得来求的值．
解：．
例2．请写出一个根为，另一个根满足的一元二次方程
．
命题意图：本题考查一元二次方程根的定义．
思路分析：本题是道开放型试题，答案不唯一．首先要明确一元二次方程的概念及其解的含义，其次要选用恰当的
方法——待定系数法，即可以先假定中中一个数的值已给定，然后将方程的根代入原方程，求
得另两个数，从而求得的值．
解：因为另一个根满足，所以不妨设另一根为0，那么满足条件的方程可以为．
例3．用配方法解方程：．
命题意图：本题考查用配方法解一元二次方程．
思路分析：用配方法解一元二次方程的关键是：首先将二次项系数化为，并将常数项移到方程右边后，关键是方程
两边都加上一次项系数一半的平方，然后写出完全平方的形式，用直接开平方法求得．
解：，，所以，所以，．
例4．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为kg，出油率为（即每千克花生可加工成花生油kg）．
现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油kg，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的，求新品种花生亩产量的增长率．
命题意图：考查学生运用增长率解决实际问题的能力．
思路分析：增长率问题在近年中考试题中频频出现，解决此类问题应掌握：（1）增长率是指增长数与基准数的比；
（2）如果设基准数为，增长率为，那么第一次增长后的亩产量为．
解：设新品种花生亩产量的增长率为，根据题意，得.
解得
(不合题意舍去)．
答：新品种花生亩产量的增长率为．
例5．某百货商场服装柜在销售中发现“宝乐”牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“六·一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现；如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价多少元？
命题意图：本题考查一元二次方程解应用题及分析问题和解决实际问题的能力．
思路分析：解决本题的关键是根据“每天所卖童装件数×每件童装赢利=每件赢利元”关系式建立方程．不妨设每
件降价元，可知在每天售件，每天盈利元的基础上，根据每降价元，就多售件得降价元，多售件，即售
件，相应每件盈利减少元，即盈利元，列出方程并求解，对所求结果，还要结合“减少库存”进行取舍，
从而得到最后结果．
解：设降价元，则，解得，由于要减少库存，故降价越多，售出越多，库
存越少，故取．
答：每件降价元．
章末测试题
一、选择题：
1、（2010湖北鄂州）庆“五一”,市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）,共进行了45场比赛,这次有____
队参加比赛.
A.12
B.11
C.
9
D10
选D.
2、（2010江苏苏州）下列四个说法中，正确的是
A．一元二次方程有实数根；
B．一元二次方程有实数根；
C．一元二次方程有实数根；
D．一元二次方程x2+4x+5=a(a≥1)有实数根．
选D
3、（2010安徽芜湖）关于x的方程(a
－5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（
）
A．a≥1
B．a＞1且a≠5
C．a≥1且a≠5
D．a≠5
选A
4、（2010
嵊州市）已知是方程的两根，且，则的值等于
（
）
A．－5
B.5
C.-9
D.9
选C
5、已知反比例函数,当x＞0时,随x的增大而增大,则关于x的方程的根的情况是（
）
A.有两个正根
B.有两个负根
C.有一个正根一个负根
D.没有实数根
答案：C
6、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间(min)之间满足：，则当=59时所用的时间为（
）
A、10或16分钟
B、10分钟
C、16分钟
D、8或16分钟
答案：A
7、三国时期的数学家赵爽,在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：A
8、用换元法解方程，设，则原方程可化为
（
）
A.
B.
C.
D.
答案：A
二、填空题：
9、（2010辽宁大连）如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12
的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为
答案：
10、（2010
四川自贡）关于x的一元二次方程－x2＋（2m＋1）x＋1－m2=0无实数根，则m的取值范围是_______________。
答案：＜－
11、设A是方程的所有根的绝对值之和，则=
.
12、若一元二次方程有一个根为1,则=
;若有一个根为-1,则与之间的关系为
;若有一个根为零,则=
.
13、如果是一个完全平方式，则
14、已知是方程的一个根,则=
,另一根为
.
15、已知一个小灯泡的额定功率为1.8，额定电压小于8.当它与一个30的电阻并联后接入电路时，干流电路的电流是0.5，且灯泡正常发光，则小灯泡的额定电压是
.（提示：干流电路的电流计算公式为）
16、国家为了加强对香烟产销的宏观管理，对销售香烟实行征收附加税政策.现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元，不加收附加税时，每年产销100万条.若国家征收附加税，每销售100元征税元（叫做税率%），则每年的产销量将减少10万条.要使每年对此项经营收取附加税金为168万元，并使香烟的产销量得到宏观控制，年产销量不超过50万条，则税率应确定为
.
答案：11、4083
12、.
13、2
14、－6,
15、6.提示：设小灯泡的额定电压为，根据题意，得，解得（舍去），因额定电压小于8，所以=6.
16、6%.提示：由题意，易得，整理后得，解得，当时，100－10×4=60＞50，不符合题意，舍去.当时，100－10×6=40＜50，故税率应确定为6%.
三、解答题：
17、（1）
(2)
(3)
答案：（1）；
（2）；
（3）.
18、（2010四川达州）在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案.
(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由.
(2)你还有其他的设计方案吗？请在图中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明.
解：（1）不符合.
设小路宽度均为
m，根据题意得：,解这个方程得：但不符合题意，应舍去,∴.∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2m.
（2）答案不唯一.例如：
19、（2010湖南长沙）长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？
解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得，解得，（不合题意舍去）.所以平均每次下调的百分率为0.1.
（2）方案①购房少花4050×100×0.02＝8100（元），但需要交两年的物业管理费1.5×100×12×2＝3600（元），实际得到的优惠是8100－3600＝4500（元）；方案②省两年物业管理费1.5×100×12×2＝3600（元）．因此方案①更优惠．
20、在某次数字变换游戏中，我们把整数0，1，2，…，200称为“旧数”，游戏的变换规则是：将旧数先平方，再除以100，所得到的数称为“新数”.
（1）请把旧数60按照上述规则变成新数；
（2）是否存在这样的旧数，经过上述规则变换后，新数比旧数大75，如果存在，请求出这个旧数；如果不存在，请说明理由.
解：（1）；（2）存在.设这个旧数为，依题意得，整理得.解得（不合题意，舍去）.
21、（2010浙江绍兴）某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5
000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5
000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？
解：（1）∵
30
000÷5
000=6，∴
能租出24间.
（2）设每间商铺的年租金增加x万元，则（30-）×（10+x）-（30-）×1-×0.5=275，2
x2-11x+5=0，∴
x=5或0.5，∴
每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.24.4解直角三角形(1)
【学习目标】
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
【学习重点】直角三角形的解法．
【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用
【课标要求】能利用三角函数的知识解决实际问题
【知识回顾】
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系
(2)三边之间关系
(3)锐角之间关系
【自主学习】
1、如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高多少？
【例题学习】
2、一个公共房屋门前的台阶共高出地面1．2米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°．从斜坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16，精确到0．1米）
【巩固训练】
3、如图，从点C测得树的顶角为33 ，BC＝20米，则树高AB多少米？（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65，结果精确到0.1米）
4、小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．他的风筝有多高？（sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，精确到1米）
【归纳小结】
【作业】
1、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
2、在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值是（
）
A．
B．
C．
3、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB．CD分别表示一楼．二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8
m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（
）
A．
m
B．4
m
C．
m
D．8
m
4、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（　　）
A．8米
B．米
C．米
D．米
5、在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？
6、如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．
7、若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是600，船的速度为5米/秒，求船从A到B处约需时间几分。
【教学反思】
A
B
C
D
150°
h25.2随机事件的概率（1）
学习目标：
1．了解频率与概率的关系，进一步提高用数学知识解决实际问题的能力。
2．初步学理由频率对一个简单的问题的概率进行估计。
3．提高学生动手能力，加强集体合作意识，丰富知识面，激发学习兴趣。
学习重难点：
重点：通过实验，理解当实验次数较大时实验频率稳定于理论频率，并据此估计某一事件发生的概率。
难点：理解频率与概率的关系。
学习过程：
一、提出问题
1．在硬币还未抛出前，猜想当硬币抛出后是正面朝上，还是反面朝上 为什么 假如你已经抛掷了1000次，你能否预测到第l001次抛掷的结果
2．假如你已经抛掷了400次，你能否猜测出“出现正面”的频数是多少 频率是多少 800次呢 随着我们抛掷一枚硬币的次数逐渐增多，你猜想有什么规律
3．当我们抛掷两枚硬币时，猜一猜当抛掷次数很多以后，“出现正面”和“出现一正一反”这两个不确定事件的频率是多少 是否比较稳定
二、实验验证。
抛掷次数
50
100
150
200
250
300
350
400
出现正面的频数
出现正面的频率
抛掷次数
450
500
550
600
650
700
750
800
出现正面的频数
出现正面的频率
三、讨论交流，寻找规律。
1．通过实验，你发现了随机事件在每次实验中发生与否具有什么特点？
2．保持实验条件不变，随机事件的发生频率会表现出什么规律？
四、巩固练习
1．某林业部门要考察某种幼树的移植成活率，制作了下面的根据统计表，请完成表中的空缺，并完成表后的问题。
移植总数(n)
成活数（m）
成活的频率（m/n）
10
8
0.8
50
47
270
235
0.871
400
369
750
662
1500
1335
0.890
3500
3203
0.915
7000
6335
9000
8073
14000
12628
从表中发现，幼树移植成活的频率在______左右摆动，并且随着统计数值的增加，这规律越明显，所以幼树移植成活的概率为：_______________.
2．某公司以2元/千克的成本新进了一批柑橘，
为估算橘子损坏统计如下表：
柑橘总质量（n）/千克
损坏柑橘质量（m）/千克
柑橘损坏的频率（m/n）
50
5.50
0.110
100
10.50
0.105
150
15.15
200
19.42
250
24.25
300
30.93
400
35.32
根据上表：柑橘损坏的频率在______
常数左右摆动，并且随统计量的增加逐渐明显。因此可以估计柑橘损坏率为：________；则柑橘完好的概率为：________。
五、课堂小结：（学生畅所欲言）
六、达标检测:
一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）
1．盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为
(
)
A．90个
B．24个
C．70个
D．32个
2．从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为（
）．
A．
B．
C．
D．
3．下列说法正确的是(
)．
A．抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大；
B．为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行；
C．彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖；
D．中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占100％，于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100％的结论．
4．小亮把全班50名同学的期中数学测试成绩，绘成如图所示的条形图，其中从左起第一、二、三、四个小长方形高的比是1∶3∶5∶1．从中同时抽一份最低分数段和一份最高分数段的成绩的概率分别是（
）．
A．、
B．、
C．、
D．、
5．某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有（
）．
A．10粒
B．160粒
C．
450粒
D．500粒
6．某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是，这个的含义是（
）．
A．只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷；
B．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8；
C．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的；
D．在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是不喜欢足球．
7．要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是（
）．
A．口袋中装入10个小球，其中只有两个红球；
B．装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球；
C．装入红球5个，白球13个，黑球2个；
D．装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个．
8．某学生调查了同班同学身上的零用钱数，将每位同学的零用钱数记录了下来（单位：元）：2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5，5，8，6，5，2，5，
5，2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，0.
假如老师随机问一个同学的零用钱，老师最有可能得到的回答是（
）．
A．
2元
B．5元
C．6元
D．0元
二、填一填
9．
同时抛掷两枚硬币，按照正面出现的次数，可以分为“2个正面”、“1个正面”和“没有正面”这3种可能的结果，小红与小明两人共做了6组实验，每组实验都为同时抛掷两枚硬币10次，下表为实验记录的统计表：
结果
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
两个正面
3
3
5
1
4
2
一个正面
6
5
5
5
5
7
没有正面
1
2
0
4
1
1
由上表结果，计算得出现“2个正面”、“1个正面”和“没有正面”这3种结果的频率分别是___________________．当试验组数增加到很大时，请你对这三种结果的可能性的大小作出预测：______________．
10．红星养猪场400头猪的质量(质量均为整数千克)频率分布如下，其中数据不在分点上
组别
频数
频率
46
~
50
40
51
~
55
80
56
~
60
160
61
~
65
80
66
~
70
30
71~
75
10
从中任选一头猪，质量在65kg以上的概率是___________．
11．为配和新课程的实施，某市举行了“应用与创新”知识竞赛，共有1万名学生参加了这次竞赛（满分100分，得分全为整数）。为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩，进行统计，整理见下表：
组别
分
组
频
数
频率
1
49.5～59.5
60
0.12
2
59.5～69.5
120
0.24
3
69.5～79.5
180
0.36
4
79.5～89.5
130
c
5
89.5～99.5
b
0.02
合
计
a
1.00
表中a=________,b=________,
c＝_______；若成绩在90分以上（含90分）的学生获一等奖，估计全市获一等奖的人数为___________．
三、做一做
12．小颖有20张大小相同的卡片，上面写有1~20这20个数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如下：
实验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
3的倍数的频数
5
13
17
26
32
36
39
49
55
61
3的倍数的频率
（1）完成上表；
（2）频率随着实验次数的增加，稳定于什么值左右？
（3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是多少？
（4）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是多少？
参考答案
1．D
2．B
3．B
4．A
5．C
6．C
7．C
8．B
9．
；
10.
0.1,0.2,0.4,0.2,0.075,0.025；0.1
11．50,10,0.26；200
12．（1）0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.30,0.33,0.31,0.31,0.31；
（2）0.31；（3）0.31；（4）0.3
PAGE22.2一元二次方程的解法
第五课时
一元二次方程的根与系数的关系
学习目标：
1．理解并掌握根与系数关系：，；
2．会用根的判别式及根与系数关系解题.
重点、难点
重点：理解并掌握根的判别式及根与系数关系.
难点：会用根的判别式及根与系数关系解题；
【课前预习】阅读教材P40
—
42
,
完成课前预习
1、知识准备
(
1
)
一元二次方程的一般式：
（2）一元二次方程的解法：
（3）一元二次方程的求根公式：
2、探究1：完成下列表格
方
程
2
5
x2+3x-10=0
-3
问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
②x2+px+q=0的两根,用式子表示你发现的规律。
探究2：完成下列表格
方
程
2x2-3x-2=0
2
-1
3x2-4x+1=0
1
问题：上面发现的结论在这里成立吗？
请完善规律；
①用语言叙述发现的规律；
②
ax2+bx+c=0的两根,用式子表示你发现的规律。
3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）
ax2+bx+c=0的两根=
,
=
=
=
=
=
=
=
=
=
练习1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：
（1）
（2）
（3）
【课堂活动】
活动1：预习反馈
活动2：典型例题
例1：不解方程，求下列方程的两根和与两根积：
（1）x2-6x-15=0
（2）3x2+7x-9=0
（3）5x-1=4x2
例2：已知方程的一个根是
-3
，求另一根及k的值。
例3:已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值
例4:已知关于x的方程3x2-5x-2=0,且关于y的方程的两根
是x方程的两根的平方,则关于y的方程是__________
活动3：随堂训练
不解方程求下列方程的两根和与积：
（1）x2-3x=15
（2）5x2-1=4x2+x
（3）x2-3x+2=10
（4）4x2-144=0
（5）3x（x-1）=2（x-1）
（6）（2x-1）2=（3-x）2
活动4：课堂小结
一元二次方程的根与系数的关系：
【课后巩固】
一、填空
1．
若方程(a≠0)的两根为，则=
，=
__
2
．若方程
则=
，=
__
3
．若方程的一个根2，则它的另一个根为____
p=____
4
．已知方程的一个根1，则它的另一根是____
m=
____
5
．若0和-3是方程的两根，则p+q=
____
6
．在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p=——，q=——。
二、选择
1
．两根均为负数的一元二次方程是
（
）
A
BC
D
2
．若方程的两根中只有一个为0，那么
（
）
A
p=q=0
B
P=0,q≠0
C
p≠0,q=0
D
p≠0,
q≠0）
三、不解方程，求下列方程的两根和与两根积：
（1）x2-5x-10=0
（2）2x2+7x+1=0
（3）3x2-1=2x+5
（5）x（x-1）=3x+7
（5）x2-3x+1=0
(6)3x2-
2x=221.1二次根式
第二课时
学习目标：
1、经历二次根式性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法。
2、了解二次根式的两个性质。
3、会运用两个性质进行有关计算。
重点难点：
重点是理解二次根式的两个性质。
难点是灵活运用两个性质进行有关计算。
学习过程：
想一想
1、回顾绝对值的性质完成以下填空
：
│a
│=
2、回顾平方根的定义完成以下填空
：
你发现什么规律？
二次根式性质1：
二、练一练
二、读一读，说一说
（自学课本第3页，独立完成计算题目然后小组合作交流）
二次根式性质2：│a│=
三、学一学
解：
四、查一查（独立完成后小组讨论并纠错）
　
　　
　
五、谈一谈
回顾本节课的学习谈一谈你的收获和体会
六、比一比（完成后组长批阅并指导纠错）
当堂小测验
1、下列等式不成立的是
（
）
A
、
B、
C、
D、
2、，那么x的取值范围是（
）
A、x≤
B、x＜2
C、x≥2
D、x＞2
3、若a＜1，化简＝（
）
A．a﹣2
B．2－a
C．a
D．－a
4、若正比例函数的图象经过第一、三象限，化简的结果为
.
5、计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
6、已知2＜x＜3，化简：．
7、（选做题）长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
8、阅读下面的文字后，回答问题：
甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：，其中.”甲、乙两人的解答不同；
甲的解答是：.
乙的解答是：.
（1）
的解答是错误的.
（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：
.
（3）模仿上题解答，化简并求值：，其中.第21章知识升华
一、知识结构图
二、重、难点梳理
1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．事实上（a≥0）表示非负数a的算术平方根.
2．满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．如等是最简二次根式.但等不是最简二次根式.
3．几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.如是同类二次根式.
4、二次根式的主要性质
（1）（a≥0）是一个非负数，即≥0（a≥0）；
（2）()2=a
(a≥0)；
（3）；
（4）二次根式的乘法法则：
（5）二次根式的除法法则：
5、二次根式的运算
（1）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（类似整式中的合并同类项）.
（2）二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变.
三、考点例析
考点1:
最简二次根式
例1
、(2010年哈尔滨市)
在下列根式中,最简二次根式的个数为(
)
A．4个
B.
3
个
C.
2个
D.1个
分析:
是最简二次根式,
中有因式可以开出,中有因数可以开出，所以不是最简二次根式.故选C.
考点2:
同类二次根式
例2
、(2010年北京市)
下列根式中,能与合并的是(
)
A．
B.
C.
D.
分析:
能与合并的应是的同类二次根式,这几个二次根式都不是最简二次根式,
应先化为最简二次根式,=;
;;.所以与是同类二次根式的是,故选B.
例3
、(2010年青海省)若最简二次根式与的被开方数相同,则的值为(
)
A．
B.
C.
D..
分析:
最简二次根式与的被开方数相同;即,解得，
故选C.
考点3:
二次根式的运算
例4、
(2010年山东省东营市)
下列计算正确的是
(
)
A．
B.
C.
D..
分析:
由二次根式的性质和运算法则的.
而B选项中明显用被开方数除以非被开方数,错用二次根式除法法则;C选项用平方差公式即可得4－5
=－1;
D选项丢了=-1这一项.故选A.
例5、（2010年江西省）化简得(
)
A．－2
B.
C.
2
D.
分析:由二次根式的性质和运算法则得,.故选A.
考点4:化简
例6、
（2010年北京市）计算
分析：原式=.
考点5:
运用二次根式的性质化简
例7、（2010年江西省）已知　　　　　　　　．
分析：
例8、
（2010年绍兴）化简得（
）
A．2
B.
C.
－2
D..
分析:由,所以==,故应选A.
考点6：二次根式成立的条件
例9、（2010年山西省课该实验区）代数式有意义时，字母的取值范围（　　）
A．
B.
C.
D..
分析:由分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，所以即故选A
考点7：估算二次根式
例10、（2010年沈阳课改）估算的值为(
)
A．在5和6之间
B.
在6和7之间
C.
在7和8之间
D.在8和9之间.
分析：因为即，所以.故选C.
四、热点、易混点追踪
1、概念理解模糊、审题不清
例1、有下列命题：（1）二次根式的被开方数是相负数，则其值是非负数；（2）是最简二次根式；（3）若是二次根式，则.其中正确的个数有（
）个.
A、0
B、1
C、2
D、3
错解：选D.
剖析：本例中，（1）错在对二次根式概念的狭隘理解，认为形如的式子就是二次根式，而二次根式的值是非负数的.事实上，－2等也是二次根式，但它是非正数.（2）错在忽视了的条件.（3）错在将二次根式的概念与其性质混为一谈了，事实上只要满足即可.故选A.
例2、已知与是同类二次根式，则的值为（
）
A、4
B、5
C、无数个
D、非上述答案
错解：选A.
剖析：选项A错在是解而得，这考虑仅仅是最简二次根式的情况.当或52×5也是同类二次根式，故选C.
2、对性质成立的条件理解不透
例3、有下列各式：（1）；（2）；（3）一定成立的有（
）个.
A、0
B、1
C、2
D、3
错解：选D.
剖析：（1）错在不一定是非负数，（2）错在忽视了的条件，（3）错在等式要成立，必须满足.故选A.
3、忽视几何图形中的条件限制
例4、已知为△ABC的三边长，求的值.
错解：原式=.
剖析：本例错在忽视了“三角形两边之和大于第三边”条件的限制，而导致错误.
原式=.
4、计算不依据法则，随意而为
例5、下列计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.正确的个数有（
）
A、3
B、4
C、5
D、非上述答案
错解：选C.
剖析：（1）错在臆造；（2）错在合并同类二次根式是只考虑了“系数”；（3）错在套用了整数与分数相加的法则；（4）、（5）错在想巧算、快算反而弄巧成拙.故5个都错，选D.
5、求解顾后不瞻前
例6、若有意义，则的取值范围是
.
错解：由题意，得，解得.
剖析：本例虽然考虑到被开方数的取值情况，但忽视了分母不能为零这个条件，正确结果为且.
例7、先化简，然后再选择合适的数求值.
错解：原式=.当=0时，原式=0.
剖析：由题意，知，当=0时，原式无意义，因此只可取的数求值.如取=4时，原式=6.
例8、解方程：
错解：原方程变为：，解得：.
剖析：只顾一直做下去，以为求得解了就大功告成，是犯这类错误的特点.如果解题后，回过头来验证一下，就可以避免这类错误了，本题中，=－2时，无意义，所以=2.
6、忽视隐含条件，使结论多解、漏解
例9、化简.
错解：原式=.
剖析：本例隐含着，故，则，化简得原式=1.
7、已知，那么的值是
.
错解：原式=.
剖析：虽然，但我们并不知道的取值符号，因此要进行讨论.（1）当时，原式=；（2）当时，原式=.故填.
五、本章达标测试
一、选择题（每小题3分，共30分）：
1、已知与是同类二次根式，则的值为（
）
A、4
B、5
C、无数个
D、非上述答案
2、有下列各式：（1）；（2）；（3）.一定成立的有（
）
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
3、如果实数满足，则的值为（
）
A、0
B、5
C、2
D、－5
4、若，且，则的值为（
）
A、14.02
B、
C、
D、1.402
5、如果，则的关系为（
）
A、
B、
C、
D、
6、下列运算正确的是（
）
A、
B、
C、
D、
7、如果代数式有意义，那么直角坐标系中点P的位置在（
）
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
8、下列各组二次根式中，的取值范围相同的是（
）
A、与
B、与
C、与
D、与
9、如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由大小完全相同的黑白方砖密铺而成，则每一块方砖的边长为（
）
A、
B、＋1
C、
D、
EQ
\F(＋1,2)
二、填空题（每小题2分，共20分）：
10、请写出一个无理数使它与的积是有理数：
.
11、若，则a的取值范围是__________________．若
EQ
\R(,)
＝
EQ
\F(,a)
，则a的取值范围是
.
12、已知二次根式与是同类二次根式，试写出三个a的可能取值
.
13、一个密码系统的原理如下所示：输入→→输出，如果输出结果为13时，则输入的=
.
14、已知，那么的值是
.
15、已知，，则用含的代数式表示为
.
16、已知（为正整数），当时，有.请用计算器计算当时，A、B的若干值，并由此归纳出当时，A、B间的大小关系为
.
17、数a、b在数轴上的位置如图所示，化简=
．
18、已知长方形相邻两边之比为2︰3，
对角线长为，则长方形的面积为
.
19、规定两种新运算：，如，那么=
.
三、解答题（70分）：
20、（8分）不使用计算器，计算
21、（10分）已知，求的值.
22、（10分）图1是一种两种口味的火锅，为了制造这种火锅，我们把这个实际问题转化为一个数学问题就是在一圆筒里放入两种不同的物体，并用一个长方形的金属薄片（金属厚度忽略不计）分隔开来（如图2），已知圆筒高为，容积为，问这个长方形玻璃薄片的面积为多少？（取3.14，玻璃薄片的上边与圆筒的上底面持平）
图1
图2
23、（10分）边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
24、（7分）已知：=│a│，，一个同学在化简时是这样化简的：=2+．
请仿照这个同学的做法化简：.
25、（7分）阅读理解：
我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，现在请你计算.
26、（10分）同学们都知道对于的式子，可以将分子、分母同乘以来化去分母中的根号，如，那么如果分母中是形如的形式，该怎么办呢？办法有的是，我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以，从而化去分母中的根号，如.根据以上介绍，请你解答下面的问题：
（1）已知的整数部分为，小数部分为，求的值.
（2）试着化简：
参考答案
一、1～9
、C
A
D
C
B
D
B
C
C
二、10、
11、，0＜a≤1
12、3，31，87
13、±
14、±
15、
16、
17、－2
18、18
19、
三、20、
21、
22、解：设圆柱形圆筒的底面半径为，则：=，故长方形玻璃薄片的面积应为：.
23、解：设新正方形的边长为，根据题意有：，解得.
24、3－
25、
26、（1）
（2）原式==23.5位似图形
一、教学目标
1．理解位似图形的定义及相关性质。
2．能利用图形的位似将一个图形放大或缩小.
二、教学过程
知识点1：位似图形
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
例1：指出下图中的图形是否是位似图形？若是，指出位似中心。
注意：位似图形满足两个条件：（1）是相似图形；（2）两图形每组对应点所在的直线都经过同一点。
知识点2：位似图形的性质
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
位似图形上对应点和位似中心在同一直线上。
位似图形上的对应线段平行或在同一条直线上。
位似图形是特殊的相似图形，因此位似图形具有相似图形的一切性质。
例2：如图，与关于点O位似，BO=3，B′O=6。
若AC=5，求A′C′的长；
若的面积为7，求的面积。
知识点3：位似图形的画法
一般步骤为：（1）确定位似中心；
（2）确定原图形的关键点，通常是多边形的顶点；
（3）确定位似比；
（4）找出新图形的对应关键点。
例3：把图中的四边形ABCD以点O为位似中心沿AO方向放大2倍（即位似比为2：1）。
三、针对性练习：请你利用所学知识将下图的三角形放大到原来的2倍。
A
D
B
C
E
（4）
(2)
P
(3)
O
(1)
A
B
C
O
A
B
C
D
O
.
A
B
C21.3二次根式的加减法
第一课时
课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）
1、同类二次根式：如果几个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.注意：同类二次根式与同类项是两个相类似的概念，前者是二次根式之间的关系，后者是单项式之间的关系.判断几个二次根式是不是同类二次根式的关键在于化简，化为最简二次根式后再看被开方数是否相同；而判断几个单项式是不是同类项，则只需看所含字母是否相同，再看相同字母的指数是否也相同.
2、同类二次根式的合并法则：同类二次根式相加减，被开方数不变，把系数（最简二次根式外的因子叫做二次根式的系数）相加减，用字母表示为：.合并时要注意两点：①不是同类二次根式的不能合并.如就不能合并；②系数为1或－1的二次根式，如的系数为1，－的系数为－1，运算时不要漏掉.
3、二次根式的加减法运算法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.
4、二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除及乘方这五种运算中含有两种或两种以上的运算，其运算顺序与实数的混合运算顺序、整式的混合运算顺序一样，也是先乘方、再乘除，最后算加减，如果有括号的仍然要先算括号里的（或先去掉括号）.
名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）
典例精析
类型一：同类二次根式
例1、下列二次根式中与是同类二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】解此题首先应将所给的选择项中的二次根式化简，然后再看化简的最简二次根式中哪个被开方数是3．∵，，，∴与是同类二次根式．
【解】选D．
【方法归纳】同类二次根式的判断方法：先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同．
例2、最简根式与是同类根式，求，的值．
【解题思路】本题考查同类二次根式的概念，两个最简根式互为同类根式，说明根指数与被开方数的相同.
【解】∵与为同类根式，∴，，解方程组得，当，时，两根式都为，符合题意．
【方法归纳】这种类型的题目，求得字母的值后，要注意检查是否符合题意，这包括是否有意义，是否是最简根式等等．
类型二：同类二次根式的合并
例2、计算：
【解题思路】题中每个二次根式都是最简二次根式，可直接判断同类二次根式再分别合并.
【解】原式.
【方法归纳】二次根式不管是否为同类二次根式都可以相乘除，但只有同类二次根式才能相加减，即二次根式加减法的前提条件是具备同类二次根式，本题中不是同类二次根式，不能再进行加减运算.
类型三：二次根式的加减运算
例3、计算：
【解题思路】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应按“先化简——再判断——最后合并”三步曲进行计算.
【解】原式
.
【方法归纳】二次根式前面的系数要写成假分数的形式，不能写成带分数。本题中的系数不能写成，的系数不能写成.
例4、计算：
【解题思路】二次根式加减运算中如果有括号要先去括号，再按三步曲进行计算.
【解】原式.
【方法归纳】合并同类二次根式时，不可忽视系数为1或的二次根式.本题中的系数不是0，而是，另外，当括号前是“－”，去掉括号时括号内各项要改变符号.
例5、计算：
【解题思路】二次根式内有分式加减运算，要先将根号内分式计算出最后结果，再按三步曲进行解答.
【解】原式
.
【方法归纳】根号内有分式加减运算时，如本题中的，不能错误地化简成，正确的做法是在根号内将分式通分求出结果，再进行二次根式的加减.
类型四：二次根式的混合运算
例6、计算
【解题思路】先用分配律进行二次根式乘法运算，将括号去掉，这时要注意符号的变化，再进行二次根式的加减运算.
【解】.
类型四：阅读理解题
例7、化简，甲、乙两同学的解法如下：
甲：；乙：.对于他们的解法,正确的判断是(
).
（A）
甲、乙的解法都正确
（B）
甲的解法正确，乙的解法不正确
（C）
乙的解法正确，甲的解法不正确
（D）
甲、乙的解法都不正确
【解题思路】化简分母通常有两种方法：一是应用分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以一个恰当的因式（不为零），使这个因式与原分母相乘后得到一个平方差公式，然后再化简；二是把分子进行因式分解，使分子和分母能够约分，把分母中的二次根式约去，然后再化简.本题中甲使用的第一种方法，乙使用的第二种方法，因此计算都正确.
【解】A.
易错警示
1、混淆同类项与同类二次根式
例8、与是同类二次根式吗？为什么？
【错解】因为含字母，而中含字母，所以与不是同类二次根式.
【错因分析】同类二次根式判断标准是化简后被开方数相同，与根号外的因式无关，造成错解的原因显然是混淆同类项判定标准“看字母”
【正解】因为与的被开方数都是2，所以它们是同类二次根式.
2、混淆计算原则
例9、
【错解】.
【错因分析】造成错解的原因是受二次根式乘、除的影响，错误地认为二次根式相加减类似于二次根式的乘除.
【正解】
3、忽视运算过程中分母为0而致错.
例10、化简
【错解】
【错因分析】当时，分子、分母同时乘以相当于分子、分母同时乘以0.造成这种错误的原因是忽视了隐含的.
【正解】
课堂练习评测（检验学习效果的时候到了，快试试身手吧）
知识点1：同类二次根式
1、如果最简二次根式与是同类根式，那么使有意义的x取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
2、若和是同类二次根式，则的值分别为
.
3、最简二次根式与能是同类二次根式吗 若能，求出的值，若不能，说明理由．
知识点2：二次根式的加减运算
4、计算：_________.
5、小明的作业本上有以下四题：（1）；（2）；（3）；（4）.其中错误的是（
）
A、（1）
B、（2）
C、（3）
D、（4）
6、计算下面各题：
（1）
、
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
7、因实际需要，用钢材焊制三个面积为的正方形铁框，则需准备的钢材的总长度是多少米？
课后作业练习
一、选择题：
1、下列根式，不能与合并的是（
）
A.
B.
C.
D.
2、的值为(
)
A．2010
B．2011
C．2009
D.2008
3、设则的值为(
)
A．47
B．135
C．141
D.153
4、若x=是方程k（x－2）+12=0的解，则k的值为（
）．
A．2（+2）
B．2（－2）
C．－2（2+）
D．－2（2－）
5、下列各组代数式中，两个式子相乘的积不含根号的是（
）．
A．a+与－a
B．+b与－－b
C．2－与－2
D．与
6、下列各组根式中是同类二次根式的是（
）．
A．与
7、如果（－）的相反数与（+）互为倒数，那么（
）．
A．│a│=│b│
B．a－b=1
C．a－b=－1
D．a、b之中必有一个为0
二、填空题：
8、要焊接如图所示的钢架，大约需要
米钢材（结果保留根号）.
9、化简：
.
10、已知x==________．
11、计算2+－的结果是________．
12、已知，则的值为
.
三、解答题：
13、计算或化简：（1）（－）－（－）；
（2）（5＋－）÷；
（3）＋－4＋2(－1)0；
（4）（－＋2＋）÷．
14、已知直角三角形斜边长为（2＋）cm，一直角边长为（＋2）cm，求这个直角三角形的面积．
15、已知x=+1，求（x2+）2－4（x2+）+4的值．
16、同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（-1）2=（）2-2×1×+12=2-2+1=3-2，反之，3-2=2-2+1=（-1）2，
∴3-2=（-1）2，∴=-1.
求：（1）；
（2）；
（3）你会算吗？
（4）若=，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
21.3二次根式的加减法课后作业参考答案：
1、解析：由同类二次根式的定义，得，即
，即使有意义，需，即，故应选A.
2、
3、解：它们不能是同类二次根式．假设它们是同类二次根式，则有解此方程解得把代入原式得两根式分别为此二次根式无意义，故它们不能是同类二次根式．
4、提示：原式.
5、D
6、答案：（1）0.3
（2）－2
（3）
（4）
（5）
13
（6）
7、解：由题意，得：三个正方形边长分别为，故钢材的总长度为：.
课后作业答案：
1.提示：，又.
故应选B.
2.提示：原式
故B正确．
3.提示：
故C正确．
4.答案：C
5.答案：A
6.D
7.C
提示：由相反数的意义可求得－的相反数为－，再根据互为倒数的两个数的积等于1，可求得a、b的关系．
8.答案：3+7
9.答案：1－
10.答案：－1
11.答案：－
12.答案：5
13.答案：（1）．
（2）【解】原式＝（20＋2－）×＝20×＋2×－×＝20＋2－×＝22－2．
（3）【解】原式＝5＋2(－1)－4×＋2×1＝5＋2－2－2＋2＝5．
（4）【解】原式＝（－＋2＋）·＝·－·＋2·＋·＝－＋2＋＝a2＋a－＋2．
14.答案：在直角三角形中，根据勾股定理，另一条直角边长为：＝3（cm）．
∴　直角三角形的面积为：S＝×3×（）＝（cm2）
15.解：（x2+）2－4（x2+）+4=（x2+－2）2=（x－）4．
当x=+1时，原式=（+1－）4=（+1－+1）4=24=16．
16.解：（1）==+1
；（2）==+1
（3）==-1
；
（4）
理由：两边平方得a±2=m+n±2
，所以.24.2直角三角形的性质
一、知识回顾
如图，在△ABC中，∠C=90°
（1）若∠A=40°,则∠B=

（2）若AB=10,BC=6,则AC=
设计意图：通过题组引导，培养学生将直角三角形的性质不断提取再现与归纳，引导学生学会总结，学会数学地思维.
二、新知导学
1.若CD是中线,若AC=8,BC=6,则
CD=

2.若∠A=30°,BC=6,则AB=
三、例题讲解
四、当堂检测
1
如图，在△ABC中，
∠ACB=90°,
CD⊥AB于D，∠A=30°,BC=4，
那么∠1=
，
BD=
，AD=

2、已知△ABC中,
∠A=900,
∠B=4
∠C,则∠B=

3、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（
）
A、b2
=
c2
-
a2
B、∠C=∠A
-
∠B
C、∠A︰∠B︰
∠
C=3︰4︰5
D、a︰b︰c=3︰4︰5
4、现有两根木棒长为4cm和3cm，若要钉成一个直角三角形木架，则所需的木棒长为多少_________cm.
5、如图，在Rt△ABC中，
AB=10，BC=8
CD是斜边AB上的高线，则CD=
。
CE是斜边AB上的中线，则CE=
。
6、今年“莫拉克”台风严重影响了我们宝岛台湾，一棵树在离开地面6米A处折断倒下，与地面成30°，那么树折断之前是______米？
(A)
12
(B)
18
(C)
20
(D)24；
设计意图：
复习直角三角形有关角的特有性质：进行巩固并回忆。
设计意图：通过题组引导，培养学生将直角三角形的性质不断提取再现与归纳，引导学生学会总结，学会数学地思维.
四、综合应用
如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的一点F处。已知AB=8,BC=10,求
EC的长
并求出最小路程。
五、小结
设计意图：学生讲知识点、收获、一点遗憾，并强调数学思想方法.
七、作业21.2
二次根式的乘除法
第一课时
学习目标：
1、掌握二次根式的乘法法则并会应用它进行二次根式的乘法运算
2、会利用公式=·(a0,b0)进行二次根式的化简
3、经历观察，比较，总结和应用等数学活动过程，感受和体验发现的快乐,并提高应用意识。
学习重点:
·=(a0,b0)，
学习难点:
发现规律导出·=(a0,b0)
教学过程：
活动一
一、做一做（独立完成，疑难问题小组合作）
1、计算下列各题，观察计算结果：
（1）=
=
（2）=
=
二、想一想：
1、观察以上计算的结果你发现了怎样的结论？
2、两个二次根式相乘可以怎样计算？
3、对于任意两个二次根式相乘是否都可以这样算？
猜想：
请解释说明你的结论：
三、归纳一下：
（a≥0，b≥0）．
文字语言：两个二次根式相乘，
.
注意，在上式中，a、b都表示非负数．在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数．
四、试一试
1、口答下列各题：
=；
=
=
=
2、
计算：
（1）；
（2）．
（3）··
（4）
２×３
活动二
一、探究一下
公式·=(a0,b0)
可逆用得：
　　　
用文字语言叙述公式含义：
积的算术平方根，等于
=
=
二、用一用
利用这个性质可以进行二次根式的化简．
阅读课本例2的化简过程思考问题：
分别说明被开方数变成了哪些因式的积？为什么这样变？
（2）怎样的因式能开方出来？
（3）因式开方出来主要应用了那个公式？应注意什么问题？
三、练一练
（1）化简：
　
　
　
（2）计算下列各式，并将所得的结果化简：
；
．
；
；
课堂小结：
１、通过今天的学习你有什么收获？
２、化简二次根式的方法以及公式的准确运用。
当
堂
检
测
1、判断下列各式是否正确。
①＝
（
）
②=ab
（
）
③×=4
×＝４×３＝１２
（
）
2．化简，使被开方数不含完全平方的因式（或因数）：
；
；
；
3、计算：
（1）；
（2）；
（3）
当
堂
检
测
答案：
1、判断下列各式是否正确。
①×；②√；
③×.
2．化简，使被开方数不含完全平方的因式（或因数）：
；；；.
3、计算：
（1）；
（2）；（3）.23.2
相似图形（2）
课前知识管理
1、生活中，我们常会遇到很多形状相同而大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形.注意：相似图形是指形状相同的图形，其大小可以相同，也可以不相同.全等图形是指相似图形的特例，两个全等图形一定相似，但相似图形不一定全等.
2、相似多边形的形状相同，由此可以得出对应角相等，对应边的比相等.
名师导学互动
典例精析：
知识点1：识别相似图形
例1、观察下面图形，指出（1）～（9）中的图形有没有与给出的图形（a）、（b）、（c）形状相同的？
【解题思路】相似图形的实质是形状相同，对于图形大小、位置并没有什么要求，在识别时，要注意避免漏掉位置不同的相似图形.
【解】与图形（a）形状相同的有(4)(8),与图形（b）形状相同的有(6),
与图形（c）形状相同的有(5)．
【方法归纳】判断两个图形是不是相似图形的标准是：形状完全相同，若形状不同或部分相同，则不是相似形．
对应练习：下面图形中，相似的一组是（　　）
答案：D
知识点2：相似多边形
例2、如图，四边形ABCD～四边形A′B′C′D′，AB=12，A′B′=6，C′D′=4，∠C=78°，求CD的长及∠C′的度数.
【解题思路】相似多边形的对应角相等，对应边成比例.所以，，∠C=∠C′.
【解】因为四边形ABCD～四边形A′B′C′D′，所以由相似多边形对应边成比例，得即，∴CD=8.
由相似多边形对应角相等，得∠C=∠C′=78°.
【方法归纳】解题的关键是要分清它们的对应边及对应角.
对应练习：已知△ABC∽△A1B1C1,且∠A=50°,∠B=95°,则∠C1等于(
)
A、50°
B、95°
C、35°
D、25°
答案：C
知识点3：图形的放大与缩小
例3、把△ABC放大一倍（要求放大后的顶点在格点上）.
【解题思路】把△ABC放大一倍，可以利用网格将对应的边长扩大成原来的2倍.
【解】如图.
【方法归纳】图形的放大或缩小，指的是边长的放大或缩小，角是不变的，此时图形的大小发生了变化，但形状不变，即放大或缩小前后的两个图形形状相同，这种由放大或缩小得到的图形与原来的图形相似.在网格中放大或缩小图形时，先确定对应点，再连线.
对应练习：请在如图所示的直角坐标系中，画一个五边形.（1）写出它的五个顶点的坐标，然后画出这个五边形关于原点成中心对称的对称图形，并写出对称图形的顶点的坐标；（2）关于原点成中心对称的两个五边形是否全等？是否相似？为什么？
答案：（1）图略，五边形ABCDE的各顶点的坐标为A（－3，0），B（－4，－2），C（－3，－4），D（－1，－3），E（0，－1）.关于原点成中心对称的五边形A′B′C′D′E′的各顶点的坐标为A′（3，0），B′（4，2），C′（3，4），D′（1，3），E′（0，1）.
（2）根据对称性知，两个图形的大小、形状不变，这样的两个图形全等.全等图形也是相似图形.
易错警示
1、忽视图形放大或缩小时角的大小不变
例4、在5倍放大镜下观看一个20°的角，所看到的角的度数是多少？
错解：5×20°=100°，所以在5倍放大镜下看一个20°的角，所看到的角的度数是100°.
错因分析：在放大镜下观看一个角，其大小不变，原来的角是多少度，不论放大镜放大的倍数是多少，所看到的角的度数与原来一样.
正解：20°.角的度数只取决于角的两边张开的大小.
例5、如图，矩形ABCD的四周加宽1个单位，所得到的矩形EFGH与原来的矩形ABCD相似吗？
错解：相似.
错因分析：矩形EFGH初看似乎是由矩形ABCD放大而得到的，但事实上由于矩形ABCD的长和宽不一样，放大某个倍数后，长和宽增加的长度也就不一样，而图中长和宽增加的长度却是相同的.
正解：矩形EFGH和ABCD不相似，只有当AB=BC时，二者才相似.
课堂练习评测
知识点1：判断图形是否相似
1、在下列四组图形中，不相似的有（　　）
A．1组　　　B．2组　　　C．3组　　　D．4组
2、下列图形中是____与_____相似的．
知识点2：相似比
3、如图，有两个形状相同的星星图案，则x的值为（
）
Ａ．15
B.
12
Ｃ.
10
D.8
知识点3：画相似图形
4、下列图形分别分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图相似，应怎样分？（画出大致图形即可）
课后作业练习
基础训练
1、下面给出的图形中，不是相似图形的是（　　）
A．刚买的一双手套的左右两只　　B．仅仅宽度不同的两快长方形木板
C．一对羽毛球球拍　　　　　　　D．复印出来的两个“春”字
2、手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是
3、如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（
）．
A．0．618
B．
C．
D．2
4、右图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是＿＿＿＿．
5、相似图形：
的图形称为相似形.相似是图形
之间的一种特殊关系，相似图形之间互相变换常称为
.
6、相似图形的实质是形状
，对于图形
、
并没有什么要求，在识别时，要注意避免漏掉位置不同的相似图形.
巩固提高
7、判断下列图形是否一定相似：
（1）医生借助显微镜完成脑外科手术.放大镜下的图形与从放大镜中观察到的图形.（
）
（2）在巴掌大的一块玉石上将曹雪芹的《红楼梦》雕刻上去，借助放大镜有人能办到.放大镜下的玉石和实际的玉石.
（
）
（3）哈哈镜是改变人形状的特殊镜子，可以把长变扁，圆变椭圆，以达到搞笑、开心效果.哈哈镜中的人形与实际人形.
（
）
（4）一对双胞胎兄弟的照片.
（
）
（5）比例不同的两张同一植物的照片.
（
）
（6）比例不同的两张世界地图.
（
）
（7）同一底片的两张照片.
（
）
（8）放大镜下的三角形的角.
（
）
（9）全等三角形.
（
）
（10）任意的两个矩形.
（
）
24.1课堂练习参考答案：
1、B
2、（1）、（2）
3、D
4、如图：
课后作业参考答案：
1、B
2、D
3、B
4、1︰2
5、形状相同，形状，相似变换
6、相同，大小，位置
7、（1）相似，（2）相似，（3）不相似，（4）不相似，（5）相似，（6）相似，（7）相似，（8）相似，（9）相似，（10）不一定相似.25.2
随机事件的概率(2)
学习目标：学会可能出现的结果数较大时，可以采用列表法来列出各种可能的结果，以避免重复或漏计。
活动过程：
活动一
列举事件发生的所有可能
各同学思考下列问题，小组长组织交流
同时掷两枚质地均匀的硬币有几种可能的结果？
同时掷两枚质地均匀的骰子有几种可能的结果？
问题2与问题1相比，可能产生的结果数目增多了，列举时很容易造成重复或遗漏。怎样避免这个问题呢？带着这个问题阅读课本第135页分析与表25—2
活动二
运用列表法求概率
各同学自主完成例1的解题过程，小组交流、订正，并完成题后小结
例1：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
(1)
两个骰子的点数相同；
(2)
两个骰子的点数的和是9；
(3)
至少有一个骰子的点数为2。
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
解：
思考
：将题中的“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”,所得的结果有变化吗？（就本例的3个问题而言，“同时掷两个骰子”与“把一个骰子掷两次”可以取同样的试验的所有可能的结果，因此作此改动对所得结果没有影响。）
题后小结：当一个事件涉及两个因素且可能出现的结果数目较多时，通常采用
法。其步骤如下：①
②
③
活动三
运用树状图法求概率
问题：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；
乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；从两个口袋中各随机地取出1个小球。用列表法写出所有可能的结果
如果还有丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。从甲、乙、丙三个口袋中各随机地取出1个小球。你能写出所有可能的结果吗？与你的同伴交流一下。
当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。当一次试验涉及三个因素时，列表法就不方便了，那么为不重不漏地列出所有可能的结果，我们该怎么办呢？
活动四
牛刀小试
小组长组织交流，将解答过程展示于小黑板上
某联欢会上，组织者为活跃气氛设计了以下转盘游戏：A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。选择2名同学分别转动A、B两个转盘，停止后指针所指数字较大的一方为获胜者，另一方需表演节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）。作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由。
活动五
再回首
本堂课你学到了哪些知识与方法？在运用时有哪些细节要向大家做个提醒呢？
课堂反馈：
1.在6张卡片上分别写有1~6的整数,随机的抽取一张后放回,再随机的抽取一张,那么,第一次取出的数字能够整除第2次取出的数字的概率是多少
2．在一个口袋有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸一个小球，求下列事件的概率：
（1）两次取的小球标号相同
（2）两次取的小球标号的和为4
3．一天晚上小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，此时突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随即地搭配在一起，求颜色搭配正确和颜色搭配错误的概率各是多少？
课后反思：
填写表格过程中，注意数对的有序性。
4
5
7
游戏转盘B
B
1
6
8
游戏转盘A
A
PAGE
322.3实践与探索
第四课时
【学习目标】
掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．
复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．
【学习重点】如何全面地比较几个对象的变化状况．
【学习难点】某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．
【课标要求】能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理
【复习引入】
某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元
（总利润=每件平均利润×总件数）
【自主学习】
自探１某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．
【运用拓展】
新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少
【归纳小结】
【作业】
1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多销售2件，若商场每天要盈利1200元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？
2、有一个两位数，它的十位上的数学字比个位上的数字大3，这两个数位上的数字之积等于这两位数的，求这个两位数。
3、阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
4、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
5、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
6某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少 22.2一元二次方程的解法
第四课时
公式法和一元二次方程根的判别式
教学目标
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
重点：求根公式的推导和公式法的应用．
难点：一元二次方程求根公式法的推导．
【课前预习】
导学过程
阅读教材第28页至第32页的部分，完成以下问题
1、用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0
（2）4x2-3x=52
总结用配方法解一元二次方程的步骤：
2、如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）试推导它的两个根x1=
x2=
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：
，二次项系数化为1，得
配方，得：
即
∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：
b2-4ac＞0，则＞0
直接开平方，得：
即x=
∴x1=
，x2=
b2-4ac=0，则=0此时方程的根为
即一元二次程
ax2+bx+c=0（a≠0）有两个
的实根。
b2-4ac＜0，则＜0，此时（x+）2
＜0，而x取任何实数都不
能使（x+）2
＜0，因此方程
实数根。
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根，当b2-4ac＜0，方程没有实数根。
（2）x=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有
实数根，也可能有
实根或者
实根。
（5）一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ=
b2-4ac
用公式法解下列方程．
（1）2x2-4x-1=0
（2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0
（4）4x2-3x+1=0
【课堂活动】
活动1、预习反馈
活动2、例习题分析
例2、用公式法解下列方程．
（1）x2-4x-7=0
（2）2x2-x+1=0
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17=8x
练习：
1、在什么情况下，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？
2、写出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的求根公式。
3、方程x2-4x+4=0的根的情况是（
）
A有两个不相等的实数根
B有两个相等的实数根
C有一个实数根
D没有实数根
4、用公式法解下列方程．
（1）2x2-4x-1=0
（2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0
（4）4x2-3x+1=0
（5）x2+x-6=0
（6）x2-x-=0
（7）3x2-6x-2=0
（8）4x2-6=0
（9）x2+4x+8=4x+11
(10)
x（2x-4）=5-8x
【课堂练习】：
活动3、知识运用
1、利用判别式判定下列方程的根的情况：
（1）2x2-3x-=0
（2）16x2-24x+9=0
（3）x2-x+9=0
（4）3x2+10x=2x2+8x
2、用公式法解下列方程．
（1）x2+x-12=0
（2）x2-x-=0
（3）x2+4x+8=2x+11
（4）x（x-4）=2-8x
（5）x2+2x=0
(6)
x2+x+10=0
归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程；
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
【课后巩固】
一、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（
）．
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=
2．方程x2+4x+6=0的根是（
）．
A.x1=，x2=
B.x1=6，x2=
C.x1=2，x2=
D.x1=x2=-
3．若（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（
）．
A．4
B．-2
C．4或-2
D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．
3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
2、
某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？23.4
中位线
课前知识管理
1、连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图1.在△ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则线段EF就是△ABC的一条中位线.
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表述为：如图，在△ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则EF∥BC，并且.
名师导学互动
典例精析：
知识点1：用三角形中位线判断四边形形状
例1、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是（
）
（A）等腰梯形
（B）矩形
（C）菱形
（D）正方形
【解题思路】因为梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，所以梯形为等腰梯形，等腰梯形的对角线长相等，即AC=BD，而根据三角形中位线定理，可知EF与HG都平行且等于AC的一半，同理，EH和FG都平行且等于BG的一半，所以EF=FG=GH=HE，所以四边形为菱形.
【解】选C.
【方法归纳】顺次连结四边形各边中点，原四边形的两条对角线和中点四边形之间的关系为：
对应练习：顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连结所得四边形各边中点得到的图形是
.
答案：矩形.
知识点2：利用三角形中位线计算
例2、如图，在等腰梯形中，，，，相交于点，且，顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长是（
）
A．24
B．20
C．16
D．12
【解题思路】过D作FD∥AC交BC的延长线交于E,由已知条件易知是等边三角形,而四边形ACED为平行四边形,易得AC=BD=BE=DE=AD+BC=8,由三角形中位线定理可得,中位线等于第三边的一半,所以顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形的周长为16.
【解】选C.
【方法归纳】梯形中常见的辅助线常有平移一腰，作底边上的高线，平移一条对角线，延长两腰等方法.通过辅助线将梯形转化为特殊三角形，或平行四边形，矩形等以便找出等量关系.
对应练习：如图所示，EF是△ABC的中位线，BD平分交EF于D，若ED=2，则EB=________________.
答案：2
知识点3：应用三角形中位线定理说明角相等
例3、已知，如图，四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是AD、BC的中点，BA、FE的延长线相交于点M，CD、FE的延长线相交于点N.试说明：∠AME＝∠DNE.
【解题思路】因E、F分别是AD、BC的中点，可考虑连结BD，构造出中位线.
【解】连结BD，取BD的中点O，连结OE、OF.易得EO＝AB，且EO∥AB，FO＝CD，且FO∥CD.
∴∠OEF＝∠AME，∠OFE＝∠DNE.
又因为AB＝CD，∴EO＝FO，∴∠OEF＝∠OFE，∴∠AME＝∠DNE.
【方法归纳】要善于利用点构造“中位线”研究相关问题，一般是由“中点”联想到“中位线”，多数情况下这个想法是行得通的.
对应练习：如图所示，在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则AB边的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：B
知识点4：应用三角形中位线定理证明线段相等
例4、如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE、CD的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于点Q.求证：AP=AQ.
【解题思路】欲证AP=AQ，可考虑证明.根据题设条件，可取BC的中点F，连结FM，FN，（如图3）则MF、NF分别是△BCE和△BCD的中位线.利用BD=CE易证FM=FN，从而，由平行线的性质可知，于是成立，进而结论成立.
【解】证明：取BC的中点F，连结FM，FN，由条件知：MF、NF分别是△BCE和△BCD的中位线，∴FM∥AC，FN∥BD，，∴.又因为BD=CE，所以
FM=FN。
∴，所以，所以
AP=AQ.
【方法归纳】若已知条件中有中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等.
对应练习：已知，如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于点M、N.试说明：OM＝ON.
解：取AB的中点P，连结EP、FP.易得EP＝BD且EP∥BD，FP＝AC且FP∥AC.∴∠DNE＝∠PEN，∠CMF＝∠PFM，
又∵AC＝BD，∴PE＝PF，∴∠PEN＝∠PFM，∴∠DNE＝∠CMF，∴OM＝ON.
知识点5：应用中位线定理求面积
例5、如图，在△ABC中，BC>AC,点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF，若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.
【解题思路】由题意，易得EF∥BD
，，并推出
△AEF∽△ABD
，，即
，从而可求出△ABD的面积.
【解】，∴
.又∵
，∴
CF是△ACD的中线，∴
点F是AD的中点.∵
点E是AB的中点，∴
EF∥BD，
∴
△AEF∽△ABD，，
，∵，∴
，∴
，即
的面积为8.
【方法归纳】在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比.不要犯由EF︰BD=1︰2，
得S△AEF︰S△ABD
=1︰2，或S△AEF︰S四边形BDFE
=1︰2，之类的错误.
对应练习：已知，如图，△ABC的中线AD、BE交于点G.试说明：S△ABG＝S四边形CEGD.
解：连结DE，易得DE∥AB，∴S△ABE＝S△ABD.
又因为AD是△ABC的BC边上的中线，∴S△ABD＝S△ACD，∴S△ABE＝S△ACD.∴S△ABE－S△AEG＝S△ACD－S△AEG，即S△ABG＝S四边形CEGD.
易错警示
例6、已知等腰△ABC中，∠C=90°，AB=10，D、E分别是AB、AC的中点，求DE的长.
错解：由已知可得，DE是△ABC的中位线，所以DE=AB=5.
错因分析：DE是△ABC的中位线没错，但中位线DE的第三边却不是AB，而是BC，造成错解的原因是对中位线定理中的“第三边”理解不透.
正解：由已知可得：BC=AB÷=5，因此DE=BC=.
课堂练习评测
考点1：三角形中位线
1、如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有（
）
（A）3个
（B）2个
（C）1个
（D）0个
2、如图，AD是ΔABC的中线，∠ADC=45°，把ΔADC沿AD
对折，点C落在点C′的位置，则BC′与BC之间的数量关系是
.
3、如图，是的中位线，cm，cm，则
cm，梯形的周长为
cm．
课后作业练习
【基础过关】
1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线．
2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．
3．一个三角形的中位线有_________条．
4．如图(1)所示，EF是△ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_______cm．
(1)
(2)
(3)
(4)
5．三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则连结两条直角边中点的线段长为_______．
7．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（
）
A．4.5cm
B．18cm
C．9cm
D．36cm
8．如图(2)所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为（
）
A．15m
B．25m
C．30m
D．20m
9．已知△ABC的周长为1，连结△ABC的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2007个三角形的周长是（
）
A．
10．如图(3)所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，
那么下列结论成立的是（
）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长不能确定
11．如图(4),在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（
）
A．10
B．20
C．30
D．40
【应用拓展】
12．如图所示，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，求证：OE∥BC．
13．如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=BD．
14．如图所示，已知在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MN∥BC．
【综合提高】
15．某厂有一块如图所示的△ABC铁板，根据需要，现要把它加工成一个平行四边形铁板．要把材料完全利用起来，可怎样加工？请你利用学过的知识帮助工人师傅把切割的线用虚线画出来，并指出加工后的平行四边形．能否将此三角形铁板加工成长方形？请予以探索．
16、如图所示，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点.试说明AF、FC的关系.
17、如图所示，AE平分∠BAC，BE⊥AE，垂足为E，D为BC的中点，∠BAE=36°，则试求BED的度数.
18、已知：如图①所示，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G．连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG=
（AB+BC+AC）．若（1）BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图②）；（2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图③），则在图②、图③两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．
23.4课堂作业参考答案：
1、A
2、BC′=BC
[点拨：因为∠ADC=45°，由轴对称性质可知DC′=DC，∠C′DC=90°.又BD=CD，由勾股定理可知，BC′=
BC]
3、4，12
课后作业参考答案：
1、两边中点
2、平行，第三边的一半
3、3
4、4
5、7
6、6.5
7、B
8、D
9、C
10、C
11、A
12、由BO=DO和EA=EB得OE是中位线，所以OE∥BC.
13、由等腰三角形三线合一得FA=FD．又由E是中点，所以EF是中位线，即得结论.
14、提示：证△AEM≌△FBM得ME=MB，同理得NE=NC，于是MN是△EBC的中位线，即得结论.
15、参照图形：
16、取BF的中点G，连结DG，则DG是△BCF的中位线，DG=FC，再证明AF=DG.
17、延长BE交AC于F，则，那么，DE是△BCF的中位线，所以有.
18.解：猜想结果：图②中，FG=（AB+AC-BC）；图③中，FG=（BC+AC-AB）．
证明图②的结果如下：如图所示，分别延长AG、AF交BC于H、K．
在△ABF和△KBF中，∵∠ABF=∠KBF，BF=BF，∠BFA=∠BFK=90°，∴△ABF≌△KBF（ASA）．
∴AF=FK，AB=BK（全等三角形的对应边相等）．
同理△ACG≌△HCG．∴AG=GH，AC=HC．∴FG=HK（三角形中位线定理）．
又∵HK=BK-BH=AB-（BC-CH）=AB-（BC-AC）=AB+AC-BC，∴FG=（AB+AC-BC）．
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中德鹏24.1测量
课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）
1、利用影长测量物体的高度：在同一时刻物体的高度与影长成正比例，此时测出同一时刻某已知物体的高度和它的影长，估算出测量物体的高度.如图所示，由标杆高，标杆的影长，物体影长，可得，则.
2、测得观察物体的顶部高度的视线与水平方向的夹角为观测点距物体的距离，按某一比例尺画出直角三角形，测得纸上物体的高度′，再利用比例尺算得实际高度.如图所示，测得所画图形中′后，用比例尺算出的值.
3、利用光线反射原理：用一面小镜子反射光线，使观察者的视线通过镜子看到物体的顶点处，测得观察者的目高、观察者与镜子的距离及物体与镜子的距离，计算出物体的高度.如图所示，由观察者的目高，观察者与镜子的距离，物体与镜子的距离，可得，从而有.
名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）
典例精析
类型一：利用影长测量物体高度
例1、如图，在同一时刻，小明测得他的影长为米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为米，已知小明的身高为米，则这棵槟榔树的高是__________米．
【解题思路】设槟榔树的高为米，根据同一时刻物体的高度与影长成正比例可知解得米.
【解】
【方法归纳】由于太阳光可以看作是一束平行线，人和旗杆都是垂直于地面的，所以太阳光线、实物及实物的影子构成的三角形是相似的（在同一时刻）.
类型二：测量不可到达的两点间的距离
例2、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为
米．
【解题思路】如图所示，作PE⊥AB，交CD于点F，由题意知：CD=20，AB=50，PF=15，因为两岸是平行的，所以△PCD∽△PAB，根据相似三角形的对应高的比等于相似比得：CD︰AB=PF︰PE，所以20︰50=15︰（15+EF），解得EF=22.5.
【解】22.5．
【方法归纳】对于一些实际问题，要构建数学模型来解决，本例是把实际问题转化为数学中的三角形的相似，利用相似三角形的性质解决的.
类型三：利用镜子反射测量
例3、雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2米远一块小积水处，他看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40米，该生眼睛高度为1.5米，那么旗杆的高度是
米.
【解题思路】如图所示，设人在A处，积水为B处，旗杆为CD，人的眼部为E，则由光线反射原理，知∠EBA=∠DBC，从而△AEB～△CBD，故，所以（米）.
【解】30.
类型四：利用标杆测量物体高度
例4、如图所示，学校的围墙外有一旗杆AB，甲在操场上C处，直立3m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶端B重合，量得CE=3m，乙的眼睛到地面的距离EF=1.5m，丙在处也直立3m高的竹竿，乙从E处退后6m到处，恰好看到两根竹竿与旗杆重合，且竹竿顶端与旗杆顶点B也重合，量得，求旗杆AB的高.
【解题思路】本题考查的是相似三角形中比例线段的应用，解题时运用比例式求解.
【解】∵设直线与AB、CD、分别交于点G、M、N，BG=，GM=.
∵MD//BG，∴△FDM∽△FBG.∴①；又∵//GB，∴△∽△，∴.②
由①、②联立方程组，求得故旗杆AB的高为9+1.5=10.5（m）.
【方法归纳】在本题的计算中要注意不要忽视加上EF的高度。本题的测量方法是运用相似三角形对应边成比例，从而设出辅助未知数，列出方程组求解.
易错警示
1、在求物体的高度时容易因考虑不周而出现计算错误.
例5、有一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得小树高为1米，树影长为0.9米.但当他马上测量大树影长时，因大树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（如图），他先测得地面部分的影长为2.7米，又测得墙上树影高1.2米，求树高多少米？
【错解】树的影子长为BC+CD=2.7+1.2=3.9（米）.根据同一时刻物体的高度与影长成正比例，可知，解得AB=（米）.所以这棵大树的高度为米.
【错因分析】没有明确影子的含义，要注意大树的影子落在墙上的部分CD的长要比它落在地面上的影子会比较长或短一些.也就是说大树的影子并不是BC+CD.过D作DE⊥AB于E，则相当于AE的影长为DE.由同一时刻物体高度与影长成比例可求AE，从而可求AB.
【正解】过D作
DE⊥AB于E，则，即，∴AE=3（米）.∴AB=AE+EB=3+1.2=4.2（米）.
2、忽视影子与物体平行
例6、教学楼旁边有一棵树，学完相似三角形性质后，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时在阳光下他们测得一根长为的竹竿的影长是，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图1），经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高．他们测得落在地面的影长，落在墙壁上的影长，请你和他们一起算一算，树高为多少？
【错解】树的影长为1.2+2.7=3.9（米），设树高为米，则，解得（米）.
【错因分析】错在树顶端的影子与树本身平行，该部分影子的长与地面上影子的长不可“同日而语”，如果不仅是被墙挡住，它落在地面上的影子会比较长或短一些，因此，按照这种计算方法，得到的树高会比实际树高低些或高些.
【正解】由于太阳光线是平行的，因此．又因为，所以．
．
．
故，即大树高为米．
课堂练习评测（检验学习效果的时候到了，快试试身手吧）
1、在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖公园与雨花台烈士陵园之间的距离约为20厘米，则它们之间的实际距离约为（
）．
A、1900厘米
B、0.76千米
C、1.9千米
D、7.6千米
2、如图，PA为旗杆PQ的影子，小明站在A处，AC为小明的影子，在同一时刻，测得PA=20米，AC=2米，如果小明身高AB=1.6米，则旗杆PQ的高度是（
）
A.20米
B.
16米
C.21.6米
D.18米
3、星期天小川和他爸爸到公园散步，小川身高是160cm，在阳光下他的影长为80cm，爸爸身高180cm，则此时爸爸的影长为________cm.
4、如图，有一池塘，现要测量两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=BC，连结ED，如果量出DE的长为25m，求池塘宽AB是多少m
5、如图，平面上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60米，另一幢建筑物EF与铁塔相距20米，某人发现AB的顶端A与建筑物EF的顶端E、铁塔的顶端C恰好在一条直线上.已知AB高为15米，EF高为25米，求铁塔的高.
6、如图，直立在点处的标杆，立在点处的观测者从点处看到标杆顶，树顶点恰好在一条直线上．已知，人目高，求树高（精确到0.1m）．
课后作业练习
1、在△ABC中，∠A=52°，AB=2米，现用1︰200的比例尺，把△ABC画在纸上记作△A′B′C′，则A′B′=
，∠A′=
.
2、在没有太阳的情况下，想知道操场上旗杆的高度，只需测出
，没可以计算出旗杆的高度.
3、如图，A、B两点被隔开，在AB外取一点C，连结AC、BC，并分别找出其中点M、N，若测得MN=15米，则A、B两点之间的距离为
.
4、小明的身高为1.6米，他的影长是2米，已知同一时刻古塔的影长是15米，则古塔的高度是
米.
5、测量的结果与实际结果之间的关系是（
）
A、测量结果不可能与实际结果相同
B、测量结果一定大于实际结果
C、测量结果一定小于实际结果
D、测量结果近似等于实际结果
6、在比例尺是1︰3000的交通图上，量得A地与B地的距离约为20厘米，则它们之间的距离是（
）.
A、600厘米
B、0.60千米
C、6千米
D、60千米
7、测量小玻璃口径的量具ABC，AB的长为为10，BC被分成60等份，如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE∥AB），则小管口径DE的长为（
）
A、5
B、6
C、7
D、8
8、请你设计两种方案，测量学校的教学楼的高度.
9、为了测量一棵大树的高度，现准备了如下测量工具：①镜子，②皮尺，③长为2米的标杆，④高为1.5米的测角仪.请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）在你设计的方案中，选用了哪些测量工具？（只写所用工具的序号）；（2）画出测量方案示意图；（3）你需要测量示意图中的哪些数据？请用等字母表示测量的数据.（4）写出求树高AB的算式.
10、如图所示，一人拿着一支刻有厘米刻度的直尺，他站在距大树约的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约厘米恰好遮住大树，已知他臂长约，估计大树的高．
11、小明用这样的方法来测量一棵大树的高度：如图3所示，在地面上放一面镜子，他刚好能从镜子中看到大树的顶端，此时测得镜子与大树的距离，他与镜子的距离．已知他的眼睛距地面高度．请你帮助小明计算出大树的高度是多少米？（根据光的反射规律：反射角＝入射角）
12、在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法，小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高.
你认为这种测量方法是否可行？请说明理由.
13、如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A、B、D，使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C，测得AC=120，
CB=60，BD=50，你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？
24.1课堂练习参考答案：
1、D
2、B
3、90
4、提示：证明△ACB∽△DCE是解题的关键所在.
解：由题意知，且∠ACB=∠DCE，∴△ACB∽△DCE，∴，∴，∴AB=50米.
5、解：过点A作AMCD于点M，交EF于N，
则EN=25-15=10，AN=60-20=40，AM=60，由题可得△AEN∽△ACM，∴，即：，
∴CM=15，∴CD=
CM+MD=15+15=30（米），答：铁塔的高度为30米.
6、解：过点作，交于，交于．因为，，所以．所以．
．故大树高米．
课后作业答案：
1.答案：1厘米，52°
2.答案：旗杆的影长和目高及仰角的度数
3.答案：30米
4.答案：12
5.答案：D
6.答案：B
7.答案：A
8.解：方案1：站在距楼底一定远的地方看楼顶，然后拿一根竹竿竖直立在人和楼之间的某处，使竹竿的顶端恰好在人看楼顶的视线上，如图，由于人、竹竿、楼房都垂直于地面，所以△PDE∽△PAB，则由相似三角形的知识计算出楼房的高度.若人站在距楼底米（用皮尺量得），人的高度为米，竹竿的长为米，人和竹竿的距离为米，则楼房高度为米.
方案2：站在距楼底米（用皮尺量得）的地方看楼顶，视线PA与水平面夹角∠APB=α（用量角器量得），然后按1：500的比例在纸上将△PAB画出来，记为△P′A′B′，用皮尺测量人的身高为米，用刻度尺量出纸上A′B′的长度，便可求出教学楼AC的实际高度，如图.
9.解：方案不唯一，如：（1）选用测量工具①②；（2）测量示意图如图所示.（3）EA（镜子到树的距离）=，CE（人到镜子的距离）=，DC（目高）=；（4）AB=（米）.
10.解：如图所示，过点作，垂足为，交于点，则有．易得．所以．即．
11.解：由，得，，得．所以．即．
12.解：这种测量方法可行，利用如下：设旗杆高AB=，过F作FG⊥AB于G，交CE与H（如图），所以△AGF∽△EHF，∵FD=1.5，GF=27+3=30，HF=3，∴EH=3.5－1.5=2，AG=－1.5.由△AGF∽△EHF，得，即.∴－1.5=20，解得（米）.所以旗杆的高是21.5米.
13.解：∵AB⊥AO，DB⊥AB，∴∠A=∠B=90°，∠ACO=∠BCD，∴△ACO～△BCD，∴，即，∴OA=100（）.22.3实践与探索
第二课时
课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）
1、一元二次方程的应用主要有以下几种题型：
（1）平均增长率方面的问题：如果原产量的基础数为，平均增长率为，那么对于时间的总产值，有公式，类似地还有降低率问题.
（2）几何图形方面的问题：这类问题的数量关系往往隐藏在图形中，可以通过布列一元二次方程求解，图形主要是三角形、四边形，数量关系主要有面积计算、体积计算、勾股定理等.
（3）行程问题中的匀速变速运动问题：匀变速运动问题在现实世界中有许多原型，它是物理运动学的基础，利用“路程=平均速度×时间”可列方程.
（4）营销问题：解决此类问题首先要弄清楚几个名称的意义，如成本价、售价、标价、折价、利润、利润率等以及它们之间的等量关系.
2、列一元二次方程的一般步骤是：①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)；②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；③找出相等关系，并用它列出方程；④解方程求出题中未知数的值；⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答．这里关键性的步骤是②和③，审题是解题的基础，列方程是解题的关键，在列方程时，要注意列出的方程必须满足以下三个条件：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边的同类量的单位一样；（3）方程两边的数值相等.
注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．
名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）
典例精析
类型一：平均增长率问题
例1、某商场今年月份的营业额为万元，月份的营业额比月份增加，月份的营业额达到万元，求月份到月份的营业额的平均月增长率．
【解题思路】月份到月份月增长是经过次增长，平均月增长率是每次增长的百分数相同．设平均月增长率为，则六月份的营业额是：月份的营业额，因此，应先求月份的营业额．显然，月份的营业额是月份的营业额.
【解】设平均月增长率为，依题意，得，，两边直接开平方，得，
所以（不合题意，舍去）．
类型二：几何图形问题
例2、如图，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格.将边为n（2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的为n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n－1）×(n－1)的正方形.如此摆放下去，最后直到纸片被盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.是否存在使得S1＝S2的n值，若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）把S1与S2分别用含n的代数式表示出来.根据S1＝S2或S1＝列出方程，答案是否存在，要看所列方程有没有整数解.（2）当小正方形边长为12时，只需1块正方形纸片.当小正方形边长为n（2≤n≤11，且n为整数）时，需要（13－n）块小正方形纸片.（3）S1等于由（12－n）个如图所示的图形和一个边长为n的小正方形的面积之和.
【解】当S1＝S2时，即S1＝时，（12－n）[n2－(n－1)2]＋n2＝,即－n2＋25n－84＝0.
解这个方程，得n1＝4,n2＝21(21>11,舍去).所以这样的n值是存在的，其值为4.
类型三：商品销售问题
例3、某商店购进一批服装，进货单价为50元，如果将每件按60元出售，那么只能销售800件.经测算，售价每提高1元，销售量将减少20件.若要求这批服装获利1200元，且进货成本不超过2400元，问这种服装售价定为多少元适宜？此时应购进这种服装多少件？
【解题思路】这种服装若按每件60元出售，则只能销售800件，利润最多是800×（60－50）=8000元，要想获得12000元的利润，必须提高售价，为了方便，可以设每件服装提价元，这时销售价为（60+）元，每件获利（60+－50）元，销售量为（800－20）件，因而根据销售利润12000可以建立等式，需要注意的是，本题还有进货成本不能超过24000元的限制.
【解】设这种服装每件提价元，根据题意，得：（60+－50）（800－20）=12000，∴.
当=10时，售价为60+10=70（元），需要购进服装800－20=600（件），此时进货成本是600×50=30000（元）＞24000元，不合题意，应舍去.
当=20时，售价为60+20=80（元），需要购进服装800－20=400（件），此时进货成本是400×50=20000（元）＜24000元，符合题意.
答：这种服装售价定为80元适宜，此时应购进这种服装400件.
类型四：生活热点题
例4、某水库水位已超过了警戒线，上游水位以的流量流入水库，为防洪打开闸门，每个闸门均以的流量放水，经测算，若打开一个放水闸，15可将水位降至警戒线，若打开两个放水闸，5可将水位降到警戒线，求的值.
【解题思路】该题是以水库开闸放水作为背景，题型新颖，解决这题的关键是紧紧扣住警戒线的高度是不变的，即水库中的水两次开闸所放的水量是相等的，打开一个闸门所放的水量是，打开两个水闸所放的水量是，因而有=，值可求.
【解】由题意，得：=，化简得：，解得（舍去）.故值为3.
易错警示
1、分不清商品经济营销中的概念
例5、某商品经过连续两次调价后的价格比原来翻两番，求平均每次调价的百分数.
【错解】
设平均每次调价的百分数为，原来的价格为1，则，解得，舍去负根，得，因此平均每次调价的百分数约为41%.
【错因分析】造成错解的原因是对“翻两番”这个概念的含义理解不透，“翻一番”后的数量是原来的数量乘以2，“翻两番”后的数量是原来的数量乘以4，也就是说，如果原来是，则翻一番后是2，翻两番后是4，翻番后是.
【正解】设平均每次调价的百分数为，原来的价格为1，则，解得（舍去）=100%，因此平均每次调价的百分数约为100%.
2、在解答实际问题中，对方程的解进行取舍时忽视实际情况造成错解.
例6、如图，要在一面靠墙（墙长18米）的地方用30米长的不锈钢修建一个面积为100平方米的矩形花圃的护栏，问矩形护栏的长和宽分别是多少？
【错解】设与墙相邻的一边长为米，则另一边长为（30－2）米，依题意，得（30－2）=100，整理，得，解得.
当=10时，30－2=10；当=5时，30－2=20.因此，矩形花圃的护栏的长和宽分别是10米和10米，或20米和5米.
【错因分析】错解忽视了墙长只有18米，也就是说墙的最大利用长度是18米，没有考虑到当=
5米时，与墙平行的那一边的长为20米，此时需要利用墙长20米，但这是不可能的.
【正解】前面的过程与错解中相同，略.
当=10时，30－2=10；当=5时，30－2=20＞18（应舍去）.因此，矩形花圃的护栏的长和宽分别是10米和10米.
课堂练习评测（检验学习效果的时候到了，快试试身手吧）
1、以大约与水平成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离（单位：）与标枪出手的速度
(单位：/)之间大致有如下关系：.如果抛出40米，则标枪出手速度为
（精确到0.1/）.
2、一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布的面积是桌面的面积的2倍，如果将台布铺在桌面上，各边垂下的长度相同，则这块台布的长和宽分别为
.
3、先从括号内①②③④备选项中选出合适的一项，填在横线上，将题目补充完整后再解答.
（1）如果a是关于的方程的根，并且，求________的值.①；②
；③；④.
（2）已知，且，求________的值.①；②
；③；④.
4、学校为了美化校园环境，在一块长米，宽米的长方形空地上计划新建一块长米，宽米的长方形花圃．（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案；（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由．
5、一个形如六边形的点阵.它的中心是一个点（算第一层）、第二层每边有两个点，第三层每边有三个点.依次类推.
（1）试写出第n层所对应的点数；（2）试写出n层六边形点阵的总点数；（3）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有几层？
课后作业练习
一、选择题：
1、在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
2、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为
（
）
A、20％
B、30%
C、50%
D、120%
3、若两个连续整数的积是56,则它们的和是
(
)
A、±15
B、15
C、-15
D、11
4、以墙为边，再用长为13米的铁丝围另外三边，围成面积为20平方米的长方形，已知长大于宽，则长方形的长、宽分别是（
）
A、5m、4m或9m、2m
B、9m、2m
C、10m、1.5m
D、8m、2.5m或5m、4m
5、下列判断，错误的是（
）
A、两个连续整数的积是30，则这两个数是5和6
B、已知三角形的面积为24
cm2，某边上的高比该边短2cm，若设该边长为cm，则可列出方程
C、将15
cm
长的铁丝围成一个面积为10
cm2的矩形，设长为cm，则可列出方程
D、某工厂计划用两年时间把产品的成本下降19%，则平均每一年比上一年下降10%.
6、李明同学在验算某数的平方时，将这个数的平方误写成它的2倍，使答案少了35，则这个数为（
）
A、－7
B、－5或7
C、5或－7
D、7
7、要用一条长为24
cm的铁丝围成一个斜边长为10
cm的直角三角形，则两条直角边的长分别为（
）
A、1
cm和3
cm
B、6
cm
和8
cm
C、4
cm
和10
cm
D、7
cm和7
cm
二、填空题：
8、汽车由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才停下，这段距离称为刹车距离，已知某汽车的刹车距离与车速之间关系为，当刹车距离为时，该车车速为
.
三、解答题：
9、编一道关于增长率的一元二次方程应用题，并解答.编题要求：①题目完整，题意清楚；②题意与方程的解都要符合实际.
10、（2010山东聊城）2009年我市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率来实现，并且2011年全市国民生产总值要达到1726亿元．
（1）求全市国民生产总值的年平均增长率（精确到1%）；
（2）求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿？（精确到1亿元）
11、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
22.3参考答案：
1、答案：B
2、解析：由规则得，解之得.x为正数，，故应选B.
3、3/
4、长为，宽为.
5、解析：由一元二次方程根的定义，得：，，即，因此选填③；对于第（2）题，可将恒等变形并分解因式，得，.故应选填②.
6、解：（1）学校计划新建的花圃的面积是（平方米），比它多平方米的长方形面积是平方米，因此可设计以下方案：方案一：长和宽都是米；方案二：长为米，宽为米；方案三：长为米，宽为米．
（2）假设在计划新建的长方形周长不变的情况下长方形花圃的面积能增加平方米．由于计划新建的长方形的周长是（米），设面积增加后的长方形的长为米，则宽是（米），依题意，得，整理，得，因为，此方程没有实数根，
所以，在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加平方米．
7、解：（1）第n层上的点数为6（n－1）（n≥2）.
（2）n层六边形点阵的总点数为＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝1＋＝3n(n－1)＋1.
（3）令3n(n－1)＋1＝169，得n＝8.所以，它一共是有8层.
课后作业答案：
1.答案：B
2.答案：A
3.答案：A
4.答案：D
5.答案：A
6.答案：B
7.答案：B
8.答案：30
9.答案：如：某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨，平均每年增产的百分率是多少？
解：设平均每年增产的百分率是，由题意，得，，.所以只能取，即平均每年增产的百分率是10%.
10.（1）解：设年平均增长率为，根据题意，得1376（1+）2＝1726，解得　1≈0.12，2＝-2.12（不合题意，舍去）．
（2）1376×（1+0.12）≈1541.12，1726×（1+0.12）≈1933.12，1541.12+1726+1933.12≈5200（亿元）．
答：年平均增长率为12%，2010年至2012年全市三年国民生产总值为5200亿元.
11.解：延长DA至M，使BM⊥BE.过B作BG⊥AM，G为垂足.易知四边形BCDG为正方形，所以BC＝BG.又∠CBE＝∠GBM，∴Rt△BEC≌Rt△BMG..∴BM＝BE，∠ABE＝∠ABM＝45°，∴△ABE≌△ABM，AM＝AE＝10.
设CE＝x，则AG＝10－x,AD＝12－(10－x)＝2＋x，DE＝12－x.
在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，∴100＝（x＋2）2＋（12－x）2，即x2－10x＋24＝0,解之，得x1＝4，x2＝6.故CE的长为4或6.
12.解：设该单位这次共有名员工去天水湾风景区旅游，因为，所以员工人数一定超过25人.可得方程，解得：.当时，，故舍去；当时，，符合题意.
答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.21.3
二次根式的加减法
第二课时
学习目标：
1、理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则
2、会进行简单的二次根式的加减运算
3、经历同类二次根式概念及加减法法则的发现过程，体验类比、猜想的思想方法。
重点难点：
1．重点：二次根式化简为最简根式．
2．难点：会判定是否是最简二次根式．
教学过程：
一、忆一忆
计算下列各式．
（1）2x+3x；
（2）2x2-3x2+5x2；
（3）x+2x+3y；
（4）3a2-2a2+a3
二、试一试
计算下列各式．（先自主学习，然后小组合作交流）
（1）；（2）．
概括：
与整式中同类项的意义相类似，我们把像与，、与这样的几个二次根式，称为
．
归纳：
是同类二次根式
二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是
．
三．学一学。
计算：
四．议一议（独立完成后小组合作交流并纠错）
计算：
归纳二次根式的加减法则：
五．练一练。
（1）；（2）．
六．学一学
计算：
（1）；
（2）
七．谈一谈
谈一谈本节课的收获和体会
八．比一比（独立完成后组长批阅并指导纠错）
当堂小测验
1．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？
（1），；
（2），；
；
（3）；
（4）．
（5），；
（6），．
3．计算：
（1）；
（2）．
（3）；
（4）；
（5）．
4．计算：
（1）；
（2）．
5．（选做题）已知二次根式与是同类二次根式，试写出三个a的可能取值．第23章知识升华
一、知识网络
二、典例分析
1、分类讨论题
例1、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且，则∠BCA的度数为___________.
解析：（1）当高AD在△ABC内时，如图1.
，又∠ADB＝∠CDA，∴△ADB∽△CDA，∴∠BAD＝∠ACD.∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＝90°.∵∠B＝25°，∴∠BCA＝65°.
（2）当高AD在△ABC外时，如图2.同理可证△ADB∽△CDA，∴∠ABD＝∠CAD＝25°，∴∠ACD＝65°，∴∠BCA＝180°－∠ACD＝115°.
说明：本题一方面考查相似三角形的判定和性质，另一方面考查分类讨论的思想方法.
2、新定义图形题
例2　定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形.
探究：（1）如图3，已知△ABC中∠C＝90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.　　　
（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，就可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF（图4）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图4-1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图4-2）……依此规则操作下去.n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为.①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）②当n＞1时，请写出一个反映之间关系的等式（不必证明）.
解析：（1）如图5，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线.
理由：∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠ACB＝90°，∴△BCD∽△ACB.
（2）①△DEF经n阶分割所得的小三角形的个数为，.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
当时，，当n＝6时，，当n＝7时，.∴当n＝6时，.②.
说明：这道题的求解过程反映了《标准》所倡导的数学活动方式，如观察、实验、推理、猜想，而不仅仅是记忆，模仿，从而明白：研究问题要由表及里，由此及彼，学以致用.
3、网格证明题
例3　如图6，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC＝__________°，BC＝__________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
解析：（1）∠ABC＝135°，；（2）能判断△ABC与△DEF相似（或△ABC∽△DEF），这是因为∠ABC＝∠DEF＝135°，，∴△ABC∽△DEF.
说明：本题寓填空、识图、说理于一体，利用网格解决相似问题，使学生基础知识得以应用，思维能力得以提高.
4、情景应用题
例4、如图7所示，某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米.自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC＝500米.若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元.
（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？　　　　　　
解析：（1）过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道线路.如图8所示.
（2）（米），（米）.
∵△ABE∽△CFE，得，（米），
∵△BHE∽△CFE，得，
（米）.
∵△ABE∽△DGA，，
（米）
所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是（元），（元），（元）.
说明：将相似与应用有机结合，是本题的一个特色，本题虽没有复杂的运算及偏怪之弊，但涉及的知识面宽，知识点多，它不仅综合考查学生能力，而且通过本题使学生明白，社会实践离不开数学.
5、运动变化题
例5　如图9，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A→B→C的路线以3m/s的速度跑向C地.当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上，此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.
（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？
（2）求张华追赶王刚的速度是多少（精确到0.1m/s）？
解析：（1）由阳光与影子的性质可知DE∥AC，∴∠BDE＝∠BAC，∠BED＝∠BCA　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴△BDE∽△BAC，
，
，.
（2），王刚到E点的时间为，张华追赶王刚的速度是.
说明：解决运动变化的问题，应认真地分析运动的全过程，把握运动变化过程中的各种情况，特别是关键的点，特殊的位置.
6、作图说理题
例6、小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1米25，甚至更高！”（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明.（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明.
解析：（1）小胖的话不对.小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米高”，情形如图10-1所示，OP是标准跷跷板支架的高度，AC是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，BC是地面.
∵OP⊥BC，AC⊥BC，∠OBP＝∠ABC，∴△OBP∽△ABC，.
又∵此跷跷板是标准跷跷板，BO＝OA，，而AC＝1米，得OP＝0.5米.
若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米（a＞0），如图10-2所示，BD＝a米，AE＝a米，，即DO＝OE.，同理可得△DOP∽△DEF，，由OP＝0.5米，得EF＝1米.综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP高度的两倍，所以不可能翘得更高.
（2）方案一：保持BO长度不变，将OA延长一半至E，即只将小瘦一边伸长一半.使，则.由△BOP∽△BEF，得，∴EF＝1.25米.
方案二：如图10-3所示，只将支架升高0.125米.，又米，，米
说明：本题为探究结论型开放题.第（1）题中，只要看构成的三角形的相似比是否变化.第（2）题中，只要改变构成的三角形的相似比.它虽未在难度上着墨，却令人颇感新意，体现出对灵活思维的要求，值得重视.
7、计算求值题
例7、
若，则
．
解析：根据已知条件，可用设k法，把x，y，z都用k表示，就可算出比值．设x＝2k，y＝3k，z＝4k，则．
【说明】设k法是求解比例问题的重要而又普遍适用的方法，它能把比例式中的各个量都统一用k来表示，清楚地揭示了各个量相互间的关系，从而使形式与内容达到统一，简化了计算，要熟练地掌握这一解题方法．
开放性问题
例8、如图11，在RT△ABC中，为直角，于点，BC＝3，AB＝5，写出其中的一对相似三角形是
和
；并写出它们的面积比
_____．
图11
解析：直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似(即有△ABC∽△ACD∽△CBD)，如选△ABC∽△CBD，则AB，BC为两三角形的对应边，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得面积比为25：9．
【说明】本题考查相似三角形的判定和性质．图中共有三对相似三角形，关键要准确找出相似三角形的对应边，复习时要强调相似三角形的对应关系．
9、学科间综合题
例9、如图12，是小明设计用手电来测量某古城墙高度示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1．2米，BP＝1．8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是(
)
A．6米
B．
8米
C．18米
D．24米
图12
解析：要求古城墙CD的高度，就要列出有关CD的比例线段，利用物理学知识入射角等于反射角，即可得出△ABP∽△CDP，从而得，解得CD＝8米．
【说明】相似三角形应用范围十分广泛，不仅局限于测量高度、距离，它在其他学科中的应用也较广泛，要注意和其他学科结合．
10、探究说理题
例10、在等边△ABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF＝60°．
　(1)如图13-1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
　(2)若直线向右平移到图13-2、图13-3的位置时(其它条件不变)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来(不证明)，若不成立，请说明理由；
　(3)探究：如图13-1，当BD满足什么条件时(其它条件不变)，？请写出探究结果，并说明理由．(说明：结论中不得含有未标识的字母)
解析：(1)
(2)根据已知∠BPF＝60以及等边三角形中60的内角，挖掘图中的公共角，即可找到与△BPF相似的三角形；(3)探索成立的条件，可考虑30°角所对的直角边与斜边的关系，故猜测为的平分线．
(1)，．以为例，证明如下：∵∠BPF＝∠EBF＝60，，∴．
(2)均成立，均为，．
(3)当平分时，．
证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBF＝30．∵∠BPF＝60，∴∠BFP＝90．∴．又∵∠B
EF＝60－30＝30＝∠ABP，∴BP＝EP．∴．
【说明】这是一个开放性问题,
既有探索结论，又有条件的探索，同时还结合了图形的变换，复习时要注意多进行变式训练，加强一题多解、一题多变、一题多思．
11、方案设计题
例11、有一块直角三角形木板如图14-1所示，已知∠C＝90，AB＝5cm，BC＝3cm，AC＝4cm．根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁，才能使正方形木板面积最大？并求出这个正方形木板的边长．
解析：要在Rt△ABC内裁出面积最大的正方形DEFG，有两种可能的裁法，如图14-2和14-3，可分别求出正方形的面积(正方形的顶点都在△ABC的边上)．
方案一：如图14-2，作CM⊥AB于M，交DE于N．设正方形边长为xcm．由得,．
∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，即：．∴．∴．
方案二：如图14-3，设正方形边长为y
cm．∵
EF∥AC，∴
△BFE∽△BCA．
∴
．
即．∴
．∵x＜y
，
∴方案二裁出的正方形的面积最大．这时正方形的边长是cm．
【说明】解决实际应用问题，探究设计方案，分析图形中与面积有关的线段数量关系，利用相似三角形对应边的比等于相似比，对应高的比也等于相似比这个性质来解决的．
第23章章末测试题
一、选择题：
1、已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1︰2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（
）
A.1︰2
B.1︰4
C.2︰1
D.4︰1
2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（
）
A．只有1个
B．可以有2个
C．有2个以上但有限
D．有无数个
3、在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（
）
A．12.36cm
B.13.6cm
C.32.36cm
D.7.64cm
4、小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为
（
）
A．3米
B．0.3米
C．0.03米
D．0.2米
5、如图，在长为8
cm、宽为4
cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（
）
A.
2
cm2
B.
4
cm2
C.
8
cm2
D.
16
cm2
6、在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（
）
A．9.5
B．10.5
C．11
D．15.5
7、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（
）
8、语句：“①所有度数相等的角都相似；②所有角相等的菱形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的圆都相似”中准确的有（
）
A.4句
B.3句
C.2句
D.1句
备用：
1.如图，AB、CD都是BD的垂线，AB=4，CD=6，BD=14，P是BD上一点，连结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是（
）
A.2
B.5.6
C.12
D.上述各值都有可能
答案：D
2.D、E分别是△ABC中边AB、AC上的点，若DE∥BC，且，则AD︰DB=（
）
A.
1︰1
B.1︰
C.
D.
答案：D
二、填空题：
9、如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是
▲
．
10、如图，E是平行四边形ABCD的边CD的中点，连结AE、BD，交于点O，如果已知△ADE的面积是6，试写出能求出的图形面积
（要求写出四个以上图形的面积）.
11、有一张简易活动餐桌，现测得OA=OB=30，OC=OD=50，现要求桌面离地面的高度为40，那么两条桌腿的张角∠COD的大小应为
.
12、阳光通过窗口AB照到房间里，在地上留下3.2米宽的亮区ED，如图，已知亮区一边到窗下墙角的距离CE=8米，窗口高AB=2米，那么窗口底边离地面的高BC=
.
13、下面这些三角形中，选出相似的三角形
．
14、如图，在△ABC中，P是边AB上一点，连结CP，使△ACP∽△ABC的条件是
15、如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高
米．
16、将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是
．
17、如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一个位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与△OAB的位似比________．
18、升旗仪式上，小明通过建立直角坐标系发现旗杆底端的位置在点A（3，1），顶端在点B（3，10），升旗前旗的三个顶点的位置分别在点P（3，2）、Q（3，3）、R（5，2），写出当旗的顶端Q升到旗杆的顶部B处时，点P和点R对应点的坐标分别为
.
三、解答题：
19、如图，D点是的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在的边上，并且点D、点E和的一个顶点组成的小三角形与相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法．
20、如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．
21、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=1，BC=8，AB=6，点P在高AB上滑动，当AP长为多少时，△DAP与△PBC相似，并说明你的理由．
22、如图，点C、D在线段AB上，且ΔPCD是等边三角形．
(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPDB；
(2)当ΔPDB∽ΔACP时，试求∠APB的度数．
23、已知如图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，设BQ＝，是否存在这样的实数，使得Q、C、P为顶点的三角形与△ADP相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
24、如图，有两个动点分别从正方形的两个顶点同时出发，以相同速度分别沿边和移动，问：
（1）在移动过程中，与的位置和大小有何关系？并给予证明．
（2）若和相交点，图中有多少对相似三角形？请把它们写出来．
25、如图：已知A（0，－2），B（－2，1），C（3，2）.（1）求线段AB、BC、AC的长.
（2）把A、B、C三点的横坐标、纵坐标都乘以2，得到A′、B′、C′的坐标,求A′B′、B′C′、A′C′的长.
（3）△ABC与△A′B′C′的形状相同吗？
（4）△ABC与△A′B′C′是位似图形吗 若是,请指出位似中心和位似比．
26、已知：△ABC中，AB=10．（1）如图①，若点D，E分别是AC，BC边的中点，求DE的长；
（2）如图②，若点A1，A2把AC边三等分，过A1，A2作AB边的平行线，分别交BC边于点B1，B2，求A1B1+A2B2的值；
（3）如图③，若点A1，A2，…，A10把AC边十一等分，过各点作AB边的平行线，分别交BC边于点B1，B2，…，B10．根据你所发现的规律，直接写出A1B1+A2B2+…+A10B10的结果．
27、如图，在水平桌面上的两个“Ｅ”，当点，，在一条直线上时，在点处用①号“Ｅ”测得的视力与用②号“Ｅ”测得的视力相同．
（1）图中，，，满足怎样的关系式？
（2）若cm，cm，①号“E”的测试距离m，要使测得的视力相同，则②号“E”的测试距离应为多少？
28、某班研究性学习小组，到校外进行数学探究活动，发现一个如图所示的支架PAB，于是他们利用手中已有的工具进行一系列操作，并得到了相关数据，从而可求得支架顶端P到地面的距离.
实验工具：①3米长的卷尺；②铅垂线(一端系着圆锥型铁块的细线)。
实验步骤：第一步，量得支架底部A、B两点之间的距离；
第二步，在AP上取一点C，挂上铅垂线CD，点D恰好落在直线AB上，量得CD和AD的长；
第三步，在BP上取一点E，挂上铅垂线EF，点F恰好落在直线AB上，量得EF和BF的长。
实验数据：
线段
AB
CD
AD
EF
BF
长度(米)
2.5
1
0.8
1.2
0.6
问：根据以上实验数据，请你计算支架顶端P到地面的距离(精确到0.1米)；
参考答案
一、选择题：
1～8、BBABCDAB
二、填空题：
9、答案：144;
10、如，以及相互组合成的图形的面积.
11、答案：120°
12、答案：3米
13、答案：①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似
14、答案：∠ACP＝∠B或∠APC＝∠ACB或
15、答案：1
16、答案：或2;
17、需根据图形,位似比可为1∶1或2∶1.
18、（3，9）、（5，9）
三、解答题：
19、解：方法一：过点D作DE∥BC交BC边于E点，则由，且∠A=∠A
，可知△ADE～△AC
B.
方法二：作∠ADE=∠ABC交AB边于E点，又有∠A=∠A，可知△ADE～△A
BC.
方法三：过点D作DE∥AB交BC边于E点，则由，且∠C=∠C
，可知△CDE～△CA
B.
方法四：作∠CDE=∠B交BC边于E点，又有∠C=∠C，可知△CDE～△CBA.
20、解
，∴，
∴∽．∴．
又，∴，
∴∽，∴，∴．
又厘米米，厘米米，米，
∴米．
即电线杆的高为6米．
21、设AP=x，则BP=6-x
∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=90°，∴∠A=∠B.
(1)当时，△APD∽△BPC
，
，x=.
(2)当时，△APD∽△BCP，，x=2，或x=4，∴所求的AP长为，2，或4
．
22、(1)∵△ACD为等边三角形
∴PC=CD=PD,∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°
∴∠PCA=∠PDB=120°，∴当时,△ACP∽△PDB
∴
∴CD2=AC·DB．
(2)∵△ACP∽△PDB，
∴∠BPD=∠A
.∴∠APC+∠BPD=∠APC+∠A=∠PCD=60°，∴∠APB=(∠APC+∠BPD)+∠CPD=60°+60°=120°．
23、解：假设存在满足条件的实数，则在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝900，由Rt△ADP∽Rt△QCP或Rt△ADP∽Rt△PCQ得：或，由此解得：CQ＝1或CQ＝，从而或，故当或时，△ADP与△QCP.
24、解：（1）在正方形中，，，，（SAS）..
，.
在中，，.
（2）有5对相似三角形：　　　　
　　．
25、(1)
(2)A′(0,-4)、B′(-4,2)、C′(6,4)，.
（3）
，
∴△ABC∽△
即此两个三角形相似.
(4)
△ABC与△A′B′C′是位似图形,位似中心为点O,位似比为
26、（1）依据三角形中位线定理，有DE=AB=5．
（2）设A1B1=x，则A2B2=2x．∵A1，A2是AC的三等分点，且A1B1∥A2B2∥AB．∴由梯形中位线定理，有x+10=4x，解之得x=．这时A1B1+A2B2=10．
（3）同理，可求出A1B1+A2B2+A3B3=15，A1B1+A2B2+A3B3+A4B4=20，…，从而A1B1+A2B2+…+A10B10=50．
27、(1)由相似的性质可知b1∶b2=l1∶l2　即b1l2=b2l1
(2)把数据代入上式即可求得
(m)
28、解：（1）过作,垂足为,则,,∴,
.
∴∴∴
∵∴∴
答：支架顶端P到地面的距离为8.3米.
图14-2
图14-3
图14-123.6.1用坐标确定位置
课前知识管理
1、坐标轴上的坐标的特征
点P所在位置
轴
轴
原点
点P的坐标
2、对称点的坐标特征
点P关于轴对称的点的坐标是，关于轴对称的点的坐标是.
名师导学互动
典例精析：
知识点1：建坐标系求点的坐标
例1、如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（-7，-4），白棋④的坐标为（-6，-8），那么黑棋①的坐标应该是___________.
【解题思路】只要我们能找出坐标系的原点，问题即可很快解决.由白棋②的坐标为（-7，-4），白棋④的坐标为（-6，-8），可得x轴正方向向右，y轴正方向向上，从④坐标开始向右平移3个，再向上平移1个即到黑棋①的位置，可得坐标（-3，-7）.
【解】（-3，-7）
【方法归纳】在同一个图形中，建立不同的坐标系，点的坐标也不同，但如果点的坐标知道了，那么坐标系也就确定了.在解题时，要根据题目特点建立适当的平面直角坐标系来描述物体的位置.
对应练习：如图，平行四边形的中心在原点，AD∥BC，D（3，2），C（1，-2），则其它点的坐标为_________________________．
答案：A（-1，2），B（-3，-2）
易错警示
例2、已知点P在第一象限，且点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标是
.
错解：（2，3）
错因分析：点的坐标是一对有序实数，横坐标写在前面，纵坐标写在后面，这是不能轻易更改的.第一象限内，点P到x轴的距离是2，说明点P的纵坐标是2，到y轴的距离是3，说明点P的横坐标为3.
正解：（3，2）.
例3、如图，在长方形OABC中，OA=3，OC=4，则点B的坐标是
.
错解：（4，3）
错因分析：距离虽然没有负数，但坐标可以是负数，用坐标表示距离时，坐标可能出现负数，是正、是负由点所在的象限决定，错解正是忽视坐标可为负数所造成的.
正解：由已知，点B在第二象限，所以点B的横坐标为负数，纵坐标为正数.由于AB=OC=4，所以点B的横坐标为－4，由于BC=OA=3，所以点B的纵坐标为3，因此，点B的坐标是（－4，3）.
课后作业练习
基础训练
一、选择题(每小题3分，共30分)
1、如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示A点，(0，4)表示B点，那么C点的位置可表示为(
)
A、(0，3)
B、(2，3)
C、(3，2)
D、(3，0)
2、已知△ABC的面积为3，边BC长为2，以B点为原点，BC所在的直线为x轴，则点A的纵坐标为(
)
A、3
B、-3
C、6
D、±3
3、在直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有（
）
A、4个
B、3个
C、2个
D、1个
4、已知正方形OABC各顶点坐标为O（0，0），A（1，0），B（1，1）C（0，1），若P为坐标平面上的点，且 POA、 PAB、 PBC、 PCO都是等腰三角形，问P点可能的不同位置数是（
）
A、1
B、5
C、9
D、13
5、如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用(－40，－30)表示，那么(10，20)表示的位置是（
）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
6、如图，一个机器人从Ｏ点出发，向正东方向走到达点，再向正北方向走到达点，再向正西方向走到达点，再向正南方向走到达点，再向正东方向走到达点．按如此规律走下去，当机器人走到点时，离Ｏ点的距离是（
）
A、
10
B、
12
C、
15
D、
20
二、填空题：
7、如图，根据坐标平面内点的位置，写出以下各点的坐标：
A(
)，B(
)，C(
)，D(
)，E(
)，F(
)
8、已知点A(4，y)，B(x,-3),若AB∥x轴，且线段AB的长为5，x=_______，y=_______.
9、已知线段MN平行于y轴，且MN的长度为3，若M（2，-2），那么点N的坐标是__________.
10、如图，在平面直角坐标系中，线段是由线段平移得到的，已知两点的坐标分别为，，若的坐标为，则的坐标为　　　　．
11、若B地在A地的南偏东500方向,5km处，则A地在B地的
方向
处.
12、在平面直角坐标系中,坐标轴上到点A(3,4)的距离等于5的点有____________个.
13、以A（-1，-1），B（5，-1），C（2，2）为顶点的三角形是
三角形.
14、在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.
观察右图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点个数共有_________个.
三、解答题：
15、建立适当的平面直角坐标系，并在图中描出坐标是A（2，3），B（-2，3），C（3，-2），D（5，1），
E（0，-4），F（-3，0）的各点.
16、如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(0,0)、B（9，0）、C（7，5）、D（2，7）．求四边形ABCD的面积．
17、已知在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），若有一个直角三角形与Rt ABO全等，且它们有一条公共边，请画出符合要求的图形，并直接写出这个直角三角形未知顶点的坐标.（不必写出计算过程）
18、已知直角三角形ABC的顶点A(2
，0)，B(2
，3)，A是直角顶点,斜边长为5，求顶点C的坐标.
19、在某河流的北岸有A、B两个村子，A村距河北岸的距离为1千米，B村距河北岸的距离为4千米，且两村相距5千米，现以河北岸为x轴，A村在y轴正半轴上（单位：千米）.
（1）请建立平面直角坐标系，并描出A、B两村的位置，写出其坐标.
（2）近几年，由于乱砍滥伐，生态环境受到破坏，A、B两村面临缺水的危险.两村商议，共同在河北岸修一个水泵站，分别向两村各铺一条水管，要使所用水管最短，水泵站应修在什么位置？在图中标出水泵站的位置，并求出所用水管的长度.
课后作业参考答案
一、选择题
CDACBC
二、填空题：
7、（-2，3），（3，-2），（-1，-1），（1，1），（1，0），（0，-3）；
8、9或-1，-3；
9、（2，1）或（2，-5）；
10、（2，2）
11、北偏西500，5km；
12、3；
13、等腰；
14、40；
三、解答题：
15、略；
16、过D，C分别做DE，CF垂直于AB，则四边形面积等于两个三角形加上一个梯形，S=42；
17、如图所示，符合要求的点有：（4，3），（-4，0），（0，-3），（2.88，3.84）；
18、（-2，0），（6，0）；
19、（1）如图，点A（0，1），点B（4，4）；
（2）找A关于x轴的对称点A′，连结A′B交x轴于点P，则P点即为水泵站的位置，
PA＋PB=PA′＋PB=A′B且最短（如上图）.过B、A′分别作x轴、y轴的垂线交于E，作AD⊥BE，垂足为D，则BD=3，
在Rt△ABD中,AD==4，所以A点坐标为（0，1），B点坐标为（4，4）；A′点坐标为（0，－1），由A′E=4，BE=5，在Rt△A′BE中，A′B==.
故所用水管最短长度为千米.25.1在重复试验中观察不确定现象
学习目标导航：了解随机事件、必然事件、不可能事件、等可能性事件、确定事件等基本概念。本节重点是随机事件、必然事件、不可能事件、等基本概念；形成对随机事件发生的可能性大小作定性分析的能力，了解影响随机事件发生的可能性大小的因素。
1．下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？
(1)太阳从西边下山；(2)某人的体温是100℃；(3)a2+b2=－1(其中a,b都是实数)；(4)水往低处流；(5)酸和碱反应生成盐和水；(6)三个人性别各不相同；
(7)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解。
1.客观世界中的事件分为
、
、
三类.其中
与
是确定事件。
【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件.
（1）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；
（2）在常温下，焊锡熔化；
（3）掷一枚硬币，出现正面；
（4）某地12月12日下雨；
（5）如果a>b，那么a－b>0；
（6）导体通电后发热；
（7）没有水分，种子发芽；
活动2：小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数。请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面：
（1）出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？
（2）出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？
（3）出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？
（4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？
摸球试验：袋中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球。
问题：把“摸到白球”记为事件A，把“摸到黑球”记为事件B：
（1）事件A和事件B是随机事件吗？
（2）哪个事件发生的可能性大？
在经过大量重复摸球以后，我们可以确定，事件A发生的可能性
（大于还是小于）事件B发生的可能性，请分析一下其原因是什么？
三、应用练习，巩固新知
1：指出下列事件中，哪些是必然事件，是不可能事件有
，是随机事件的有
。
（1）两直线平行，内错角相等；（2）刘翔再次打破110米栏的世界纪录；
（3）打靶命中靶心；（4）掷一次骰子，向上一面是3点；（5）13个人中，至少有两个人出生的月份相同；（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；（7）在装有3个球的布袋里摸出4个球
（8）物体在重力的作用下自由下落。（9）抛掷一千枚硬币，全部正面朝上。
2、下列事件是随机事件的是(
)
A:
人长生不老
B:
2008年奥运会中国队获100枚金牌
C:
掷两枚质地均匀的正方体骰子朝上一面的点数之积为21
D:
一个星期为七天
3、
指出下列事件各是哪类事件
①小王数学小考100分
②多哈亚运会中国队金牌总数第一名
③一年有四季
④明天下雨
⑤一袋中在若干球,其中有2个红球,小红从中摸出3个球,都是红球
4、.下列试验能够构成事件的是（
）
A.掷一次硬币
B.射击一次
C.标准大气压下，水烧至100℃
D.摸彩票中头奖
5、.在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是（
）
A.必然事件
B.不可能事件
C.随机事件
D.以上选项均不正确
6、下面事件是必然事件的有（
）
①如果a、b∈R，那么a·b=b·a
②某人买彩票中奖
③3+5>10
A.①
B.②
C.③
D.①②
7、下面事件是随机事件的有（
）
①连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面朝上
②异性电荷，相互吸引
③在标准大气压下，水在1℃时结冰
A.②
B.③
C.①
D.②③
8、下列事件中，是随机事件的是(
)
①从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中，任取3个，3个都是次品
②同一门炮向同一个目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标
③某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码
④异性电荷，相互吸引
⑤体操运动员滕海滨将在2008年奥运会上夺得冠军
⑥某人购买福利彩票中得大奖
A.②③④
B.①③⑤⑥
C.②③⑤⑥
D.②③⑤
9、下列说法错误的是(
)
A.“在标准大气压下，水加热到100
℃时沸腾”是必然事件
B.“姚明在一场比赛中投球的命中率为60%”是随机事件
C.“在不受外力作用的条件下，做匀速直线运动的物体改变其匀速直线运动状态”是不可能事件
D.“三台县明年今天的天气与今天一样”是必然事件
10、一个袋子里装有20个形状、质地、大小一样的球，其中4个白球，2个红球，3个黑球，其它都是黄球，从中任摸一个，摸中哪种球的可能性最大？
11、一个人随意翻书三次，三次都翻到了偶数页，我们能否说翻到偶数页的可能性就大？
12、袋子里装有红、白两种颜色的小球，质地、大小、形状一样，小明从中随机摸出一个球，然后放回，如果小明5次摸到红球，能否断定袋子里红球的数量比白球多？怎样做才能判断哪种颜色的球数量较多？
13、已知地球表面陆地面积与海洋面积的比均为3：7。如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？23.1.1
成比例线段
课前知识管理
1、线段比：在同一单位下两条线段的长度的比叫做线段的比.
2、比例线段：在四条线段中，如果与的比等于与的比，即（或︰=︰），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
3、比例的项：如果，那么叫做组成比例的项，线段叫做比例外项，线段叫做比例内项，线段还叫做的第四比例项.
4、比例中项：在比例线段︰=︰中，如果内项，即或︰=︰，那么叫做的比例中项.
5、比例的性质：（1）
→
ad=bc；
（2）
（3）
名师导学互动
典例精析：
知识点1：线段比
例1、已知线段AB=10，CD=25，则AB︰CD=
.
【解题思路】上述两条线段单位一致，可直接按照定义求值.
【解】AB︰CD=10︰25=2︰5.
【方法归纳】要注意所给线段的单位是否一致，若不一致，应先统一单位后再计算.
对应练习：如图，是一个比例尺的中国地图，则北京、佛山两地之间的实际直线距离大约是（　　）
Ａ．km
Ｂ．km
Ｃ．km
Ｄ．km
答案
：A
知识点2：比例线段
例2、已知线段，试判断四条线段是否成比例？
【解题思路】判断四条线段是否成比例的方法有下列两种：（1）把四条线段按长短排列好，判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等；（2）查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积.
【解】∵，∴，故四条线段是成比例的.
【方法归纳】判断四条线段是否成比例时，若所给的线段单位不一致，一定要先统一单位.
对应练习：已知四条线段a,b,c,d的长度分别如下，试判断它们是否成比例线段：a＝8，b＝4，c＝2.5，d＝5.
答案：四条线段的长度由小到大的顺序是c,b,d,a．∵c：b=d：a,
故c,b,d,a四条线段成比例．
知识点3：比例的性质
例3、如果，求，，，的值.
【解题思路】本题既可利用比例性质直接求值，还可设a=k1,b=3k1,c=k2,d=3k2,代入就可以求得各值．
【解】；；
；.
【方法归纳】利用公比k，将各未知数的关系联系起来，或直接利用比例性质，还可以用a表示b,即b=3a，用c表示d，即d=3c，再代入求之．
对应练习：如果，则下列各式不成立的是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：D
易错警示
1、对比的概念认识模糊
例4、因为＝，所以a＝4，b＝3，你认为这种说法正确吗？为什么？
错解：正确.
因为a＝4，b＝3，所以＝，反过来则有＝，即a＝4，b＝3.
错解剖析：＝仅表示a、b在同一长度单位下的比值，并不表示a＝4，b＝3.
正解：这种说法是错误的.因为＝仅表示a、b在同一长度单位下的比值，它表示a＝4k，b＝3k(k＞0)，所以这种说法是错误的.
2、对线段比的单位认识不足
例5、有两条线段，它们的长度之比为a∶b＝5∶3，则a＝5cm，b＝3cm，你认为这种说法正确吗？为什么？
错解：正确.
因为a＝5cm，b＝3cm，所以它们的长度之比为a∶b＝5∶3，即这种说法是正确的.
错解剖析：比值是没有单位的，它与采用共同单位无关.
正解：这种说法是错误的.因为a∶b＝5∶3仅表示a、b的比值，它表示a＝5k，b＝4k(k＞0)，所以这种说法是错误的.
3、忽视单位的统一
例6、A、B两地的实际距离AB＝250m，画在纸上的距离A′B′＝5cm，求纸上距离与实际距离的比.
错解：纸上距离与实际距离的比是A′B′∶AB＝5∶250＝1∶50.
错解剖析：求两条线段的比，就是求出这两条线段用统一单位量得的线段长度之比，这里要注意有三点：①两条线段的比与采用的长度单位无关，因此一般线段的长度单位可不写；
②如果给出的线段长度单位不同，则必须化为同一长度单位后再求线段的比；③两线段的比值总是正数，如在运算中出现负数，必须舍去，结果一般化为最简整数比.由此我们可以发现本题的错解是没有将单位化统一.
正解：因为AB＝250m＝25000
cm，所以纸上距离与实际距离的比是A′B′∶AB＝5∶25000＝1∶5000.
4、错误认为两个分式相等就有分子与分母分别相等
例7、若＝，求的值.
错解：因为＝，所以解得所以＝.
错解剖析：这里错误理解为两个分数相等，则它们的分子、分母分别相等，而事实上如＝，分子上的2与1、分母上的4与2都是不相等的，虽然结果是正确的，但是过程是错误的.
正解：设＝＝k(k≠0)，所以y＝(y－x)k，即xk＝yk－y＝y(k－1)，所以＝＝＝.
5、忽视使用性质的条件
例8、若＝＝＝k.
求k的值.
错解：因为＝＝＝k，所以由等比性质，得＝k，即k＝.
错解剖析：运用等比性质的条件是分母之和不等于0，而这里并没有说明a+b+c≠0，所以应分情况讨论.
正解：当a+b+c≠0时，由等比性质，得＝k，即k＝；当a+b+c＝0时，则有a+b＝－c，或a+c＝－b，或b+c＝－a，无论哪一种情况都有k＝－1，所以k的值为或－1.
6、错误地运用设k法解题
例9、已知x∶y∶z＝3∶5∶6，且2x－y+3z＝38，求3x+y－2z的值.
错解：设x∶y∶z＝3∶5∶6＝k，则x＝3k，y＝5k，z＝6k，又2x－y+3z＝38，所以6k－5k+18k＝38，即k＝2，所以3x+y－2z＝9k+5k－12k＝2k＝4.
错解剖析：本题不能用“设x∶y∶z＝3∶5∶6＝k”的方法求解，因为“3∶5∶6＝k”这个式子是错误的，所以虽然结果正确，但开始的设法就是错误的.
正解：因为x∶y∶z＝3∶5∶6，所以可设＝＝＝k，则x＝3k，y＝5k，z＝6k，又2x－y+3z＝38，所以6k－5k+18k＝38，即k＝2，所以3x+y－2z＝9k+5k－12k＝2k＝4.
7、忽视成线段成比例的顺序性
例10、已知线段a＝3
cm，b＝5
cm，c＝7
cm.
试求a、b、c的第四比例项x.
错解：因为a、b、c的第四比例项是x，所以有x∶a＝b∶c，即x＝，又a＝3
cm，b＝5
cm，c＝7
cm，所以x＝＝.
错解剖析：要求a、b、c的第四比例项x，就表示四条线段a、b、c、x成比例，即有a∶b＝c∶x，所以x＝，就是说线段成比例得讲究一个顺序性，错解正是忽略了这一点.
正解：因为四条线段a、b、c、x成比例，即有a∶b＝c∶x，所以x＝，又a＝3
cm，
b＝5
cm，c＝7
cm，所以x＝＝.
课堂练习评测
考点1：相似多边形的特征
1.
下列哪两个图形是相似图形（
）.
A、①与②
B、①与③
C、②与③
D、③与④
考点2：线段的比
2.
在比例尺为1︰10
000
000的地图上，量得A，B两地的距离是50cm，则A，B两地的实际距离为______．
3.
如果，那么的值是
(
).
A．
B．
C.
D．
课后作业练习
基础练习
1、若，则下列式子正确的是(　
　).
A.
　
B.
　　C.
　　D.
2、应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生．亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”．该园占地面积约为800000
m2，若按比例尺1：2000缩小后，其面积大约相当于（　　）
Ａ．一个篮球场的面积
B．一张乒乓球台台面的面积
C．《陕西日报》的一个版面的面积
D．《数学》课本封面的面积
3、正方形的边长与对角线的比是
.
4、若线段，则︰=
.
5、一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看，如图，是一个参加空姐选拨的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？（精确到1cm）参考数据：黄金分割比为.
拓展练习
6、一位同学想利用树影测出树高，他在某时刻测得直立的标杆高1米，影长是0.9米，但他去测树影时，发现树影的上半部分落在墙CD上，（如图所示）他测得BC=2．7米，CD=1．2米．你能帮他求出树高为多少米吗？
7、以长为2cm的定线段AB为边，作正方形ABCD，取AB的中点P．在BA的延长线上取点F，使PF＝PD．以AF为边长作正方形AFEM．点M落在AD上．（如图）
（1）试求AM，DM的长；
（2）点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．
23.1课堂练习评测参考答案：
1.B；
2.
5
000km；
3.A
课后作业参考答案：
1、B
2、C
3、5︰3
4、1︰
5、解：设应穿xcm高的鞋子，根据题意，得，解得x≈10cm.
6、解：如图，树的一部分AE的影投射到CD．即AE=CD=1.2米．根据题意，得，解得BE=3米，所以，AB=AE+BE=3+1.2=4.2米．
7、提示：要证明点M是AD的黄金分割点，只需证明等式或成立即可．
解：由AB=2cm，得AP=1cm，于是有DP=cm，PF=PD=cm，因为AM=AF=-1（cm），所以，从而点M是AD的黄金分割点．22.２一元二次方程的解法
第二课时
直接开平方法和因式分解法（2）
【学习目标】
1了解用因式分解法解方程的根据是：“如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中一个等于0，它们的积就等于0.”
2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
【学习重难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。
【课标要求】会用因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程
【温故知新】
1、什么叫因式分解？因式分解的方法都是有哪几种？（口答）
2、在实数范围内因式分解。
（1）4x2-12x
(2)4x2-9
解：
解：
(3)x2-7
(4)(2x-1)2-(x-3)2
解：
解：
【例题学习】
解下列方程：（用因式分解法）
（1）
(2)
【课堂练习】
1、（1）
（2）
（3）
解：
（4）
（5）
（6）
2、把小圆形场地的半径增加5cm得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。
【总结反思】
【作业】
1、方程3－(2x－1)2=0的解是
。
2、方程3x2－x=0的解是
。
3、解下列方程
（1）(3x+1)2－2=0
（2）(x+)2=(1+)2
（3）(x－2)2=6
（4）(x－5)(x+3)+(x－2)(x+4)=49
（5）(x+1)2=3；
（6）3(y－1)2=27；
（7）4(2x+5)2-1=0；
（8）3(x－2)2=27；
（9）y(y－2)=3；
（10）2y2－3y=0；
（11）(2x+1)2=(2－x)2；23.3相似三角形
23.3.3相似三角形的性质
【学习目标】
理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
能用相似三角形的性质解决简单的问题．
【学习重点】相似三角形的性质与运用．
【学习难点】相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．
【课标要求】知道相似三角形的性质。
【知识回顾】
ABC∽ A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？
【自主学习】
1、阅读教材中71页—72页内容，思考：
（1）如果两个三角形相似，它们的对应边上的高有什么关系？
（2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？
（3）如果两个三角形相似，它们的对应角的角平分线间有什么关系？
（4）如果两个三角形相似，它们的对应边上中线间有什么关系？
（5）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？
（6）两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？
【例题学习】
已知：△ABC
∽△A′B′C′，它们的周长分别是
60
cm
和72
cm，且AB＝15
cm，B′C′＝24
cm，求BC、AB、A′B′、A′C′的长．
【巩固训练】
如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长︰△ABC的周长是多少？
【归纳小结】
【堂清】
（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5
，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．
（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5
，那么它们的相似比为________，周长的比为________．
（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．
（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6
cm和18
cm，若较大三角形的周长是42
cm
，面积是12
cm
2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm2．
【作业】1．如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比．
2．已知：如图，△ABC中，DE∥BC，若，①
求的值；
②
求的值；③
若，求△ADE的面积；24.4解直角三角形(2)
【学习目标】
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
逐步培养分析问题、解决问题的能力．
【学习重点】要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
【学习难点】将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
【课标要求】能利用三角函数的知识解决实际问题
【知识回顾】三角函数定义？
【自主学习】
阅读教材113页，回答问题
仰角：
俯角：
【例题学习】
1、如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°，求飞机A到控制点B距离(精确到1米sin16°=0.275,cos16°=0.961,tan16°=0.286)
2、如图，课外活动中小明在离旗杆AB米的C处，用测角仪测得旗杆顶部的
仰角为，已知测角仪器的高CD=米，求旗杆AB的高。(精确到米，
＝0.64,＝0.77,＝0.84）
【巩固练习】
3、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22．7米的D处，用高1．20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角α＝22°，求电线杆AB的高．（sin22°=0.37,cos22°=0.93,tan22°=0.41，精确到0．1米）
4、两幢大楼相距110米，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为26°，如果甲楼高35米，那么乙楼的高为多少米？（sin26°=0.44,cos26°=0.90,tan26°=0.49,精确到1米）
【归纳小结】
【作业】
1、如图，飞机A在目标B的正上方1000米处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，求地面目标B、Ｃ之间的距离．（结果保留根号）
2、如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。已知他离树的水平距离BC为10m，测角仪的高度CD为1.5m，测得树顶A的仰角为33°.求树的高度AB。
（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
3、某课外活动小组测量学校旗杆的高度，当太阳光线与地面成35°角是，渢旗
杆AB在地面上的投影BC的长为20米（如图5）.求旗杆AB的高度.（sin35°≈0.6，
cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）
4、如图，在一滑梯侧面示意图中，BD//AF，BC⊥AF于点C，DE⊥AF于点E，BC=1.8m，BD=0.5m，∠A=450，∠F=290。
（1）求滑道DF的长（精确到0.1m）
（2）求踏梯AB底端A与滑道DF底端F的距离AF（精确到0.1m）
（参考数据：sin290=0.48，cos290=0.87，tan290=0.55）
【教学反思】
E
D
C
B
A22.3
实践与探索
第一课时
学习目标：
1.使学生掌握列方程解应用题中写“关系式”及找相等关系列方程方法；
2.使学生理解列方程实质在于会用含未知数的代数式表示题目里的关系式；
3.采用对面积的割补、移动的方法，培养学生灵活运用的能力．
重点和难点：
认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，列方程是重点也是难点.
学习过程：
一、创设情境
1.写出本节课的课题：一元二次方程的应用．
2.请同学们回忆并回答解一元一次方程应用题的一般步骤：
3.解一元二次方程的应用题的步骤与解一元一次方程应用题的步骤一样．我们先来解决§22.1的问题1，然后总结一些规律或应注意事项．
二、探究归纳
例1
绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？
分析
我们已经知道可以运用方程解决实际问题．现设长方形绿地宽为x米，不
难列出方程：
三、实践应用
例2
如图1，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为
540米2，道路的宽应为多少？
分析
此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2．
解法1
如图2，设道路的宽为x米，则横向的路面面积为______．
纵向的路面面积为______．
所列的方程是不是
32×20-(32x＋20x)＝540？
启发学生思考，务必把这一点弄明白！
解法2
利用“图形平行移动”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些，（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）
如图3，设路宽为x米，
耕地矩形的长(横向)为______．
耕地矩形的宽(纵向)为______．
例3
如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米．求截去正方形的边长．
分析
设截去正方形的边长为x厘米后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式．结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式．
解
设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得
练习：
1.学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的三分之二时较美观，求镶上彩纸条的宽（精确到0.1厘米）.
2.竖直上抛物体的高度h和时间t符合关系式,其中重力加速度g以10米/秒2计算．爆竹点燃后以初速度v0＝20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米
四、归纳小结
1.列方程解应用题的步骤是：
2.面积问题常要用到割、补、运动等技法．例2中，纵、横两条路有一块重叠的面积最容易忽略，解法2采用了运动的办法，是一种灵活解题的能力．
总之：在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答．
五、作业
1.学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽（精确到0.1米）.
2.学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚．一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏．请你设计，如何搭建较适合
3.要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分面积为100平方米，求原正方形广场的边长（精确到0.1米）．
4.村里要修一条灌溉渠，其横截面是面积为1.6平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多2米，下底比渠深多0.4米，求灌溉渠横截面的上下底长和灌溉渠的深度．第24章知识升华
一、知识脉络：
二、典例分析：
例1
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的四个三角函数值．
【分析】求∠BCD的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于∠BCD是在Rt△BCD中的一个内角，根据定义，仅一边BC是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD和CD，二是把∠BCD转化成∠A，显然走第二条路较方便，因为在Rt△ABC中，三边均可得出，利用三角函数定义即可求出答案．
【解】
在Rt△ABC中，∵
∠ACB＝90°∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A．在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝10，∴sin∠BCD=sinA==,cos∠BCD=cosA==,
tan∠BCD=tanA==,cot∠BCD=cotA==．
【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义，把握其本质，应强调转化的思想，即本题中角的转换．
例2
如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪离AB为1.5米，求拉线CE的长．（结果保留根号）
【分析】求CE的长，此时就要借助于另一个直角三角形，故过点A作AG⊥CD，垂足为G，在Rt△ACG中，可求出CG，从而求得CD，在Rt△CED中，即可求出CE的长．
【解】
过点A作AG⊥CD，垂足为点G，在Rt△ACG中，∵∠CAG＝30°，BD＝6，∴tan30°=，∴CG=6×=2，∴CD=2+1.5,在Rt△CED中，sin60°=，∴EC===4+．
答：拉线CE的长为4+米．
【说明】在直角三角形的实际应用中，利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系，往往是解决这类问题的关键，在复习过程中应加以引导和总结．
例3
如图，某县为了加固长90米，高5米，坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均为1∶0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求⑴坡角的度数；⑵完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土？
【分析】大坝需要的土方＝橫断面面积×坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA与AB的坡度均为1∶0.5．
【解】
⑴∵i=tanB,即tanB==2，∴∠B=63.43°．
⑵过点M、N分别作ME⊥AD，NF⊥AD，垂足分别为E、F．由题意可知：ME＝NF＝5，∴＝，∴AE＝DF＝2.5，∵AD=4，
∴MN=EF=1.5，∴S梯形ADNM＝(1.5+4)×1＝2.75．∴需要土方为2.75×90=247.5
(m3)
．
【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题，坡度＝＝坡角的正切值．
例4
某风景区的湖心岛有一凉亭A,其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C间距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离．（结果精确到1米，参考数据：sin32°≈0.5299,cos32°≈0.8480,tan
s32°≈0.6249,cot32°≈1.600）
【分析】本题涉及到方位角的问题，要解出AB的长，只要去解Rt△ADC和Rt△BDC即可．
【解】过点C作CD⊥AB，垂足为D．由题知：∠=45°，∠=32°．在Rt△BDC中，sin32°=，∴BD＝100sin32°≈52.99．cos
32°=，∴CD=100
cos
32°≈84.80．在Rt△ADC中，∵∠ACD=45°，∴AD=DC=84.80．
∴AB=AD+BD≈138米．
答：AB间距离约为138米．
【说明】本题中涉及到方位角的问题，画图是本题的难点，找到两个直角三角形的公共边是解题的关键，在复习中应及时进行归纳、总结由两个直角三角形构成的各种情形．
例5
在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/
时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/
时速度不断扩张．
(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到
千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到
千米．
(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据，)．
【分析】先要计算出OH和PH的长，即可求得台风中心移动时间，而后求出台风侵袭的圆形区域半径，此圆半径与OH比较即可．
【解】⑴100；
．⑵作OH⊥PQ于点H，可算得（千米），设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则，算得（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：（千米）＜141（千米）．∴城市O不会受到侵袭．
【说明】本题是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形问题，对于此类问题常常要构造直角三角形,利用三角函数知识来解决．
第24章测试题设计
一、选择题：
1、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（　
　）
A．8米
B．米
C．米
D．米
2、如图，中边上的高为，中边上的高为，下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．无法确定
3、已知在中，，设，当是最小的内角时，的取值范围是
A．　　　　B．　　　　C．　　　　　D．
4、如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）(
)
A．a
B．
　
C．
D．
5、已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值（
）
A．m＞1
B．m=1
C．m＜1
D．m≥1
6、如果方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为（
）．
A、或
B、
C、
D、或
7、已知α为锐角，且cos（90°－α）＝，则α的度数为（
）
A．30°
B．60°
C．45°
D．75°
8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AM是BC边上的中线，，则的值为(
)．
A、
B、
C、
D、
9、在△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，AC=5，那么BC的长等于（
）
A、4
B、4+3
C、4－3
D、4+3或4－3
10、如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m
（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（
）
A．（）m
B．（）m
C．
m
D．4m
二、填空题：
11、如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点．C点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)
12、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了
m．
13、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为
．
14、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为_________.
15、如图，是一张宽的矩形台球桌，一球从点（点在长边上）出发沿虚线射向边，然后反弹到边上的点.
如果，.那么点与点的距离为
.
16、如图所示，某河堤的横断面是梯形，，迎水坡长13米，且，则河堤的高为
米．
17、如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC＝
米（用根号表示）．
18、水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度（指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC,其中AB为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则的余弦值为
.
19、如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=，则CD∶DB=
.
20、若等腰梯形的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为，则该等腰梯形的面积为
（结果保留根号的形式）．
三、解答题：
21、计算：（1）；
（2）；
22、一种千斤顶利用了四边形的不稳定性.
如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.若AB=40cm，当从变为时，千斤顶升高了多少？（，结果保留整数）
23、某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°、B地北偏西60°方向上有一牧民区C.一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I：从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C.方案II：从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C.已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍.（1）求牧民区到公路的最短距离CD.（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由.（结果精确到0.1，参考数据：取1.73，取1.41）
24、如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.
（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；
（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）
25、某大学计划为新生配备如图（1）所示的折叠椅．图（2）是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm，∠DOB＝100°，那么椅腿的长AB和篷布面的宽AD各应设计为多少cm？（结果精确到0.1cm）
26、路边的路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2米，灯杆与灯柱BC成120°角，锥形灯罩的轴线AD与灯杆AB垂直，且灯罩轴线AD正好通过道路里面的中心线（D在中心线上），已知C点与D点之间的距离为12米，求灯柱BC的高（结果保留根号）
27、如图，家住江北广场的小李经西湖桥到教育局上班，路线为→→→．因西湖桥维修封桥，他只能改道经临津门渡口乘船上班，路线为→→→．已知，，，，米，米，，．请你计算小李上班的路程因改道增加了多少？（结果保留整数）
温馨提示：．
28、如图，在小山的西侧A处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C处，这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点B，十分钟后，在D处测得着火点B的俯角为15°，求热气球升空点A与着火点B的距离.（结果保留根号，参考数据：(，，，）.
参考答案：
一、选择题：
1、C
2、C
3、A
4、C
5、A
6、D
7、B
8、A
9、D
10、A
二、填空题：
11、3.5
12、
13、
14、1:2
15、
16、12
17、
18、
19、1∶2
20、或
三、解答题：
21、（1）；（2）2.5
22、解:
连结AC，与BD相交于点O，
四边形ABCD是菱形，ACBD,ADB=CDB,AC=2AO
，
当ADC=时，△ADC是等边三角形，AC=AD=AB=40
.
当ADC=时，ADO=，AO=ADsinADO=40×=20，AC=40
，因此增加的高度为4040=400.73229（cm）
23、解：（1）设CD为x千米，由题意得，∠CBD=30°，∠CAD=45°，∴AD=CD=x.在Rt△BCD中，tan30°=，所以BD=x.
∵AD＋DB=AB=40，∴x＋x=40.解得
x≈14.7，所以，牧民区到公路的最短距离CD为14.7千米.
（2）设汽车在草地上行驶的速度为v，则在公路上行驶的速度为3v，在Rt△ADC中，∠CAD=45°，∴AC=CD，
方案I用的时间t1=；方案II用的时间t2=；
所以t1－t2==.因为3－4>0，所以t1－t2>0.所以方案I用的时间少，方案I比较合理.
24、解：(1)
在Rt△BPQ中，PQ=10米，∠B=30°，则BQ=cot30°×PQ＝,又在Rt△APQ中，∠PAB=45°，则AQ=cot45°×PQ=10，
即：AB=(+10)(米)；
(2)
过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=+10，∴
AE=sin30°×AB=（+10）=5+5，∵∠CAD=75°，∠B=30°，∴
∠C=45°，在Rt△CAE中，sin45°＝，∴AC=（5+5）=(5+5)(米)
25、解：连接AC，BD
，
∵OA=OB=OC=OB
，∴四边形ACBD为矩形
∵∠DOB=100 ,
∴∠ABC=50 ，由已知得AC=32，在Rt△ABC中，sin∠ABC=，∴AB==≈41.8（cm），tan∠ABC=，∴BC==≈26.9（cm），∴AD=BC
=26.9
（cm）
答：椅腿AB的长为41.8cm,篷布面的宽AD为26.9cm.
26、解：设灯柱BC的长为h米，过点A作AD⊥CD于点H，过B作BE⊥AH于点E，∴四边形BCHE为矩形，∵∠ABC＝120°，∴∠ABE＝30°，又∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ADC＝60°，在Rt△AEB中，∴AE＝ABsin30°＝1，BE＝ABcos30°＝，∴CH＝，又CD＝12，∴DH＝12－，在Rt△AHD中，tan∠ADH＝＝，解得，h＝12－4（米），∴灯柱BC的高为（12－4）米．
27、解：在中，，
四边形为平行四边形．．
在中，，，，，，
增加的路程=（米）．
28、解：由题意可知，AD＝(40＋10)×30＝1500（米）过点D作DH⊥BA，交BA延长线于点H.
在Rt△DAH中，DH＝AD·sin60°＝1500×＝750（米）.AH＝AD·cos60°＝1500×＝750（米）.
在Rt△DBH中，BH＝DH·cos15°＝750×(2＋)＝（1500＋2250）（米），∴BA＝BH－AH＝1500＋2250－750＝1500（＋1）（米）.答：热气球升空点A与着火点B的距离为1500（＋1）（米）21.2
二次根式的乘除法
第四课时
课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）
1、二次根式乘法法则：两个二次根式相等，把被开方数相乘，根指数不变.用字母表示为：.注意：①对于多个二次根式相乘也适用，即；②法则中可以是数也可以是代数式，只要满足成立条件即可；③根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内.
2、二次根式乘法法则的逆用：.注意：①二次根式的乘法法则的逆用实际上就是积的算术平方根，利用它可以进行二次根式的化简；②如果都是负数，，有意义，但在实数范围内无意义，因此应先进行符号运算，如.
3、二次根式除法法则：两个二次根式相除，结果仍为二次根式，只需把被开方数相除.用字母表示为：.
4、二次根式除法法则的逆用：.注意：①二次根式的除法法则的逆用实际上就是商的算术平方根，利用它可以进行二次根式的化简；②如果都是负数，虽然，有意义，但在实数范围内无意义，此时应先进行符号运算，如；③如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如必须先化成，以免出现这样的错误.
5、最简二次根式：我们把满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.它必须满足两个条件：①被开方数不含分母或小数；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.二次根式的计算和化简的结果，一般都要化成最简二次根式.
名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）
典例精析
类型一：二次根式的乘除法
例1、计算：（1）×；
（2）÷.
【解题思路】（1）用二次根式的乘法法则进行计算，运算时应视x+2y为一个整体；（2）直接运用公式÷＝化简.
【解】（1）×＝＝(x+2y)；
（2）÷＝＝＝3.
类型二：逆用二次根式的乘除法法则化简代数式
例2、计算：（1）
（2）
【解题思路】（1）题为具体数字的二次根式的乘、除法运算，要避免出现这样的算法：=.虽然结果是对的，但其计算过程是大错特错，其原因是忽视了公式成立的前提条件；（2）本题为二次根式的字母运算，方法与具体数字的二次根式的运算一样，所不同的是要注意根号下字母的取值范围，此题中的a、b、c均为正数.
【解】（1）=；
（2）原式=.
类型三：将根号外的因式或因数移入根号内
例3、把根号外的因式移入根号内.
【解题思路】根据及把根号外面的非负因式平方后移至根号里面；由被开方数，，又在分母的位置故，只有，所以把移至根号里边时，外面要加负号.
【解】.
【方法归纳】由二次根式的性质，如果被开方数中有的因式能开的尽，那么这些因式可用它们的算术平方根代替而移到根号外面，本题须利用上述开方的逆运算.如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面．
类型四：将根号内的因式或因数移出根号外
例4、计算（1）
（2）
【解题思路】首先中，被开方数是，它们是求差的运算.所以是错误的.对于根号内的被开方数要进行计算或因式分解，特别是根号内的被开方数能因式分解时，比直接计算要容易.
【解】（1）；
（2）
.
例5、化简：（1）
（2）
【解题思路】如果一个二次根式的被开方数中有完全平方形式的因式（或数）则要利用积的算术平方根的性质，将这些因式（或数）开出来.
解：，.
（2），；
.
【方法归纳】在二次根式的化简与计算中，凡是被开方数是多项式的，必先进行因式分解，再利用根式乘法法则进行计算，如果题目中没有给出字母的取值范围，则需要讨论，如上题。当时，及当，即为讨论.
类型五：综合运用二次根式乘除法法则计算或化简
例6、
化简:（1）；
（2）
【解题思路】运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时,一要注意运算顺序，二要注意整体观察被开方数之间的关系，合理搭配，达到简化运算的效果.
【解】（1）原式=
（2）原式=
=
.
类型六：最简二次根式
例7、下列二次根式中，是最简二次根式的是（
）
A、
B、
C、
D、
【解题思路】直接利用最简二次根式的定义来判断：、的被开方数含有能开得尽方的因数或因式，的被开方数中含有分母，均不是最简二次根式，而满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式这两个条件，所以是最简二次根式.
【解】B.
易错警示
1、不管字母正负，滥用积（商）的算术平方根性质而出错
例8、已知求
【错解】原式.
【错因分析】由＞0,知同号;又＜0,＜0.
【正解】原式=
2、化简不彻底，结果不是最简二次根式
例9、化简.
【错解】原式＝
【错因分析】化简二次根式的结果一定是最简二次根式，而.
【正解】原式＝，或原式＝
3、忽视题目中隐含条件而出错
例10、化简
【错解】.
【错因分析】题中只隐含即＞0，＞0，所以与有可能相等.故应分两种情况讨论.
【正解】（1）当时，原式=0；
（2）当时，
4、在化简时，忽视字母的具体取值而导致错误
例11、当时，求的值.
【错解】原式＝＝.
【错因分析】由,得,则＜0,.
【正解】
原式＝＝
5、忽视中的隐含条件≥0
例12、化简.
【错解】原式＝＝＝.
【错因分析】忽略了的隐含条件，即，此时
【正解】由原式＝
6、运算顺序不清导致错误
例13、计算
÷×
【错解】原式＝÷1＝.
【错因分析】忘记乘除是同一级运算，应按从左到右依次计算.
【正解】原式＝.
课堂练习评测（检验学习效果的时候到了，快试试身手吧）
知识点一：二次根式的乘除法
1、计算（1）
（2）
知识点二：逆用二次根式乘除法则化简或计算
2、计算：（1）
（2）
知识点三：最简二次根式
3、下列根式:①;②;③;④;⑤;⑥,其中最简二次根式是
(
)
A.①③④⑥
B.③④⑥
C.③④⑤⑥
D.②③⑥
知识点四：将根号外的因数或因式移入根号内
4、若把的根号外的适当变形后移入根号内，得（
）
A．
B．
C．
D．
知识五：综合运用二次根式乘除法法则计算或化简
5、已知求的值.
6、设，试求的值.
7、下面的推理过程错在哪里？并说明理由
∵　，∴　.
又∵　，∴－.
课后作业练习
一、选择题：
1、对式子作恒等变形，使根号外不含字母m，正确的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
2、下列各式中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3、能使成立的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4、下列各式中，一定能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
5、已知，=6，则的值为（
）
A．
B．2
C．
D．
6、下列各式不是最简二次根式的是（
）
A.
B.
C.
D.
7、已知xy＞0，化简二次根式的正确结果为（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：
8、（1）有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？A．
B．
C．
D．
E．.
问题的答案是（只需填字母）：
；（2）如果一个数与相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是
（用代数式）
9、星期天，刘红的妈妈和刘红做了一个小游戏，刘红的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若表示的整数部分，表示它的小数部分，我这个纸包里的钱数是元，你猜一下，这个纸包里的钱数是多少？若猜对了，包里的钱由你支配.”根据上述信息，你知道纸包里钱的数目是
.
10、化简=
11、等式成立的条件是
.
12、已知矩形的长是，宽为，那么与这个矩形面积相等的圆的半径是
.
三、解答题：
13、计算下面各题：
（1）、
（2）、
（3）、
（4）、
（5）、
（6）、
14、一个底面为的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形，高为的铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了，求铁桶的底面的边长是多少？
15、站在水平高度为的地方看到可见的水平距离为，它们近似地符合公式.如果某人登山从海拔登上海拔2处，那么他看到的水平距离是原来的多少倍？
16、化简：
解：原式=
①
=
②
=
③
=
④
=
⑤
问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号：
.
（2）错误的原因是
；
（3）本题的正确结论是
.
17、在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝；（一）
＝（二）　
＝＝　（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简：＝（四）　　
请用不同的方法化简.
　参照（三）式得＝______________________________________________；
参照（四）式得＝_________________________________________.
（2）化简：.
课堂作业参考答案：
1、解：（1）.（2）
2、解：（1）.
（2）
3、B
4、A
5、解:由题可知=
6、
7、解：上述推理中是错误的，因为没有意义，在应用公式＝，其中的条件a≥0，b≥0不能忽视，有意义的条件是ab≥0，这里可以a≥0，b≥0，也可能a≤0，b≤0，而＝有意义的条件是与同时有意义，因而必须是a≥0，b≥0.?
课后作业练习答案
1.答案：首先解释恒等变形：指的是m不论取什么样的实数，等号左、右两部分都相等；由.当把根号外的m移到根号内时，应是所以选C.
2.答案：C
3.答案：A
4.答案：A
5.提示：∵，∴（+）2=a+b+2=8，（－）2=a+b－2=4
∴，故选A．
6.答案：D
7.答案：D
8.答案：（1）；（2）设这个数为，则（为有理数），所以（为有理数）．
9.答案：1元
10.答案：
11.答案：
12.答案：
13.解：（1）、30
（2）、
（3）、
（4）、
（5）、
（6）、此题应注意观察：是两数之差与两数之和，若把分解为后，则原式=
.
14.解：设铁桶底面边长是，则：
，所以，所以.
15.答案：
16.答案：
（1）④；（2）错因在由忽略了这一条件，应是；（3）－
17.解：（1），
；
（2）原式=
==．§23.2相似图形（1）
学习目标：
1.通过生活实例，欣赏认识图形的相似，会识别相似图形，培养他们的认真细致的观察能力。
2.通过系列活动，使学生能在网格图中画出相似图形，培养他们的动手能力
3.通过本节课的学习，培养学生独立思考，合作交流的学习习惯。
重点：认识图形的相似，能识别出相似的图形。
难点：能在网格图中画出对应的相似图形
导学过程：
一、情境导入：
观察下面的几组图片，说一说它们
相同，
不同.你在生活中也遇到过这样的图形吗？，请举例说明..
（1）
（2）
（3）
结论：形状相同、大小不一定相同.
二、探索新知：
1．阅读课本，回答下列问题
（1）同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物的形状改变了吗？
（2）两个足球的形状相同吗？它们的大小呢？
（3）两个正方体物体的形状相同吗？
（4）复印前后纸上对应图形之间分别有什么关系？
（5）每一对图形有什么特点呢？相似图形的定义是
2．在下图中找一找，找出形状相同的图形：
（1）
（2）
3．画一画，画相似图形：
左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，和你的伙伴交流一下，看谁的方法又快又好.
三、巩固训练：
1.下列几组图形中相似的有
.
2.A、放大镜下的图像与原来的图形相似吗？放大镜下的角放大了吗？
B、你看过哈哈镜吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？
3.下面给出的图形中，不是相似的图形的是（
）
A．刚买的一双手套的左右两只
B．仅仅宽度不同的两快长方形木板

C．一对羽毛球球拍
D．复印出来的两个“春”字
4.下面两个图形一定是相似图形的一组式（
）
①两个边长不等的正方形；
②两个大小不等的等腰直角三角形
③
两个边长相等的菱形；
④两个圆；
⑤两个等腰三角形。
5）你看到过你在水中的倒影吗？倒影中的形象与你本人相似吗？
6、在平面直角坐标系中，将下列各点连结起来(-2,2),(2,2),(2,-2),(-2,-2)
（1）你能得到一个什么图形？
（2）请你再画一个与该图形相似的图形。
四、课时小结：
本节课你学会了什么？
五、拓展应用：
1.观察下面的图形(a)—(g)，其中哪些是与图形(1)、(2)或(3)相似的？
2.试着用本书最后所附的格点图把下面的图形放大．
3、学校需要画出操场平面图。已知操场是一个矩形，长约80米，宽约40米，你能把操场的平面图画到一张长方形纸上吗？(说出平面图上长和宽的数据，并计算出比例尺）
六、课后反思：21.2
二次根式的乘除法
第三课时
一、教学目标
　　1．使学生知道什么是最简二次根式，遇到实际式子能够判断是不是最简二次根式．
　　2．使学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法．
　　3．使学生了解把二次根式化简成最简二次根式在实际问题中的应用．
　　二、教学重点和难点
　　1．重点：能够把所给的二次根式，化成最简二次根式．
　　2．难点：正确运用化一个二次根式成为最简二次根式的方法．
教学过程:
一、知识回顾：
1、二次根式的乘法运算法则是
用文字语言表达
？
积的算术平方根的公式是
2、二次根式的除法运算法则
用文字语言怎么表达
？
商的算术平方根的公式是
3、化简
（1）
=
=
=
=
（2）=
=
=
=
二、探究问题：
1化简时必须化到最简形式，那么什么样的二次根式是“最简二次根式”呢？
2、观察两组题目的化简结果，看看被开放数达到了哪些的要求才算最简？
归纳：最简二次根式要求满足以下两条：
(1)被开方数中的不含
(2)被开方数中不含
我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
2、举出两个最简二次根式
3、判断下列各式是否为最简二次根式？
（1）；（2）；（3）；
（4）x；
（5）4；（6）5m；（7）
三、试一试：
例1：把下列各式化成最简二次根式：
（1）
（2）
解（1）=
（2）=
方法总结：化简时，往往需要把被开方数分解因式或分解因数，把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外。
练一练：（1）；
（2）2。
例2
把下列各式化成最简二次根式：
（1）4；
（2）x
（3）
解：
方法总结：（1）把被开方数中的带分数化成
（2）化去根号下的
（3）化去分母中的根号。
练一练
：（1）；
（2）；
（3）；
（4）x。
例3
把下列各式化成最简二次根式
（1）；（2）；
解：
方法总结：化简时，当被开方数是和的形式时先将它化为
四、课堂小结：
本节课学习了哪些知识？
如何辨析最简二次根式？如何化简二次根式
当
堂
检
测
一、判断下列各等式是否成立，若不成立请说出理由
（1）=4＋3；（2）=；
（3）=2；
（4）
2=
二、选择
（1）、下列各根式中，属最简二次根式的是（　　）
A、　　　　　　B、　　　　　　C、　　　　　　D、
(2)、如果，把化成最简二次根式的是（　　　）
A、　　　　　B、　　　　　C、　　　　D、
三
解答题
1、把下列各式化为最简二次根式：
⑴　　　　　
⑵
（3）
2、计算：
（1）
（2）
15
÷2
当
堂
检
测
答案：
一、判断下列各等式是否成立，若不成立请说出理由
（1）=4＋3；不成立.等式的左边的被开方数是两个数的和，不是两数的积.
（2）=；成立.
根据
（3）=2；不成立.
，应为
（4）
2=；不成立.
应为.
二、选择
（1）B；(2)
B.
三
解答题
1、把下列各式化为最简二次根式：
⑴；
⑵；（3）
2、计算：
（1）3
；（2）
.24.4解直角三角形(3)
【学习目标】
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
逐步培养分析问题、解决问题的能力．
【学习重点】要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
【学习难点】将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
【课标要求】能利用三角函数的知识解决实际问题
【知识回顾】三角函数定义？
【例题学习】
1、两座建筑AB与CD，其地面距离AC为50米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝25°，测得其底部C的俯角α＝50°，求两座建筑物AB与CD的高．（精确到0．1米，sin25°≈0.422,cos25°≈0.906,tan25°≈0.466,sin50°≈0.766,cos50°≈0.642,tan50°≈1.191）
2、如图，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，量得BC长为30米．求河的宽度（即求△ABC中BC边上的高）（精确到1米）
3、如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东32°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC多少米？（精确到1米，参考数据sin32°≈0.529,cos32°≈0.848,tan32°≈0.624）
【作业】
1、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）（参考数据：）
2、如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB．小刚在D处
用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进
40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．
3、如图，两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角α＝30°，测得点C的俯角β＝60°，求AB和CD两座建筑物的高．（结果保留根号）
4、热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋
高楼底部的俯角为60°，A处与高楼的水平距离为60m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m）
5、如图4，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋
大楼的高度．
P
北
60°
32°
B
A22.２
一元二次方程的解法
第三课时
配方法
【学习目标】
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．
2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。
3、在配方法的应用过程中体会
“转化”的思想，掌握一些转化的技能。
【学习重点】使学生掌握配方法，解一元二次方程。
【学习难点】把一元二次方程转化为
【课标要求】理解配方法、会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程
【设疑自探——解疑合探】
1.解下列方程，并说明解法的依据：
（1）
（2）
（3）
2、请写出完全平方公式：
【质疑再探】
1、完成书中25页的例题４
我们把方程+2x=5变形为+2x+1＝6，它左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。
2、试一试：对下列各式进行配方：
（1）；
（2）；
（3）
；
通过练习，配方的关键是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3、填空：
（1）
（2）－8x＋（
　　
）＝（x-
　　）2
（3）＋x＋（
　　
）＝（x＋
　）2；
（4）4－6x＋（
　）＝4（x－
）2
【运用拓展】
1、用配方法解下列方程：
（1）－6x－7＝0；　
（2）＋3x＋1＝0.　　　　（3）4x2－12x－1＝0;
（4）　　　（5）
（6）－5
x－6＝0.
　
【归纳小结】
【作业】
1、将二次三项式进行配方，正确的结果应为（
）
（A）
(B)
(C)
(D)
2、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（
）
A、x2-2x-99=0
化为(x-1)2
=100
B、x2+8x+9=0化为(x+4)2
=25
C、2x2-7x+4=0化为(x-)2
=
D、3x2-4x-2=0化为(x-)2
=
3、把一元二次方程化成的形式是
。
4、用配方法解下列方程：
（1）x2-6x-16=0
（2）2x2-3x-2=0
解：
解：
（3）2x2-10x+52=0
（4）
解：
解：
6、已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的（
）
（A）
(B)
(C)
(D)
7、方程ax2+bx+c=0(a≠0)经配方可以为
，并说明时方程有解，它的解为
。
8、（中考题）求证：不论a取何值，a2-a+1的值总是一个正数。
证明：
9、试用配方法证明：代数式3x2-6x+5的值不小于2。
10、用配方法解下列方程
(1)x2-8x+1=0
(2)2x2+1=-3x
解：
解：
(3)
3x2-6x+4=0
（4）x(x+4)
=8x+12