课题：2.3.2确定二次函数的表达式
课型：新授课
年级：九年级
教学目标：
1.经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识.
2.会用待定系数法求二次函数的表达式.
3.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
教学重点与难点：
重点：用待定系数法求二次函数的解析式.
难点：建立适当的直角坐标系,求出函数解析式,与环保知识相结合解决实际问题.
教法与学学指导：
本节课主要采用“学研一体的教学模式”.坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用讲练结合法、引导学生自主学习、合作学习和探究学习．鼓励学生多思、多说、多练．
课前准备：
多媒体课件
教学过程：
一、创设情境，导入新课
生命在于运动，保持健康的身体，离不开运动.生命在于运动，运动在于锻炼，锻炼贵在坚持，坚持就是胜利.同学们,让我们行动起来吧.
活动内容:你能求出在投篮的过程中得到的抛物线的解析式吗
(温馨提示：建立适当的直角坐标系，求出这段抛物线所对应的二次函数表达式)
处理方式：1.学生自主解决;
2.小组合作,质疑解惑;
3.集体交流,展示成果.
二次函数解析式有哪几种表达方式？
【设计意图】创设愉悦宽松的学习氛围，让学生在完全放松的情绪下感知生活，增加新鲜感，激发学生兴趣，锻炼学生的反应能力，体会二次函数的重要意义.产生学习函数的兴趣，激发学习数学的热情，同时也进行了思想及责任感教育.教育家霍姆林斯曾经说过：如果教师不想方设法使学生进入情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度，而不动感情的脑力劳动就会带来疲惫.
二、探究学习，感悟新知
活动内容：三个不同类型的典型例题
【例1】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个函数的解析式,并写出它的对称轴和顶点坐标.
解:设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
将(-1,10)
,（1，4），（2，7）的坐标分别代人表达式,得
a-b+c=10，
a+b+c=4，
4a+2b+c=7，
解这个方程组，得：
a
=2，
b=-3，
c=5，
因此，所求二次函数的解析式是：y=2x2-3x+5.
∵y=2x2-3x+5=2(x-）2+
∴二次函数图像的对称轴为直线x=,顶点坐标为（,）
【例2】已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为（0，－5）,求该抛物线的解析式？
解：因为已知抛物线的顶点为（－1，－3），
所以设所求的二次函数解析式为：y=a(x＋1)2-3
又点(
0,-5
)在抛物线上
a-3=-5,
解得a=
-2
故所求的抛物线解析式为
y=－2(x＋1)2-3
即：y=－2x2-4x－5
【例3】已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的
解析式？
解：设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1)
点M(
0,1
)在抛物线上
所以：
a(0+1)(0-1)=1
解得：
a=
-1
故所求的抛物线解析式为
y=-
(x＋1)(x-1)
即：y=－x2+1
处理方式：学生讨论交流，在练习本上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，归纳出求二次函数表达式的步骤.
学生归纳总结：（确定二次函数表达式的步骤）
学生先自主解决，然后组内交换一下看法，拿出最后的解决方案.
学生讨论交流，小组代表回答：设--代--解--还原
议一议：已知抛物线经过三点A（0，1），B（1，2），C（2，1），求二次函数的解析式，你有几种方法？与同伴进行交流.
处理方式：学生自己尝试完成，然后教师通过屏幕演示，加深做题印象，强化做题步骤.
【设计意图】做题过程中，鼓励学生采用多种方法去解题，然后对各种方法进行比较，从而得出用顶点式的表达式的方法更为简单；也让学生明确了什么时候该用顶点式的表达式.
三、慧眼识珠,感悟新知：
活动内容：试判断下列各题分别用哪种方法来求表达式，并说明理由.
1.已知抛物线经过三点A（0，3），B（－1，0） C（1，－5），求二次函数的表达式.
2.已知抛物线其顶点坐标为（1，4），且该图像经过点A（4，6），求二次函数的表达式.
3.已知抛物线顶点在坐标原点，且图像经过（2，8），求二次函数的表达式.
处理方式：学生讨论交流，在练习本上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评.
【设计意图】通过几个不同形式的练习题，让学生明确什么时候用一般式，什么时候该用顶点式；采用顶点式的表达式时，它的主要标志有：顶点坐标、最值、对称轴、增减性等.从而达到灵活应用不同形式的抛物线表达式去解题的目的.
四、提升运用、回归生活
活动内容：一个涵洞的截面边缘成抛物线形，如图，当水面宽AB＝6m时，测得涵洞顶点与水面的距离为2m.
(1)建立适当的平面直角坐标系
(2)求出抛物线的函数解析式
处理方式：1.学生自主解决;
2.小组合作,质疑解惑;
3.集体交流,展示成果.
相信自己，推荐自我!
【设计意图】抛物线这部分的知识是非常抽象又枯燥的，所以与生活实际相联系可以提高学生学习数学的兴趣，达到学以致用的目的；同时通过学生自己动手建立坐标系，求表达式，让学生感受到不同的坐标系对应不同的表达式，使学生根据不同的条件灵活的掌握如何确定二次函数的表达式的方法.
五、回顾反思，提炼升华
活动内容：同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
处理方式：学生畅谈自己的收获！
六、达标检测，反馈提高
1．已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且经过（1，-3），那么这个二次函数的解析式是_______________.
2．已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点是(5，－2)，那么这个二次函数解析式是_______________.
3.二次函数y=mx2+2x+m－4m2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.
4.链接中考：
（2014 宁波）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
答案提示：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，
∴，
∴a=，b=﹣，c=﹣1，
∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣1；
（2）当y=0时，得x2﹣x﹣1=0；
解得x1=2，x2=﹣1，
∴点D坐标为（﹣1，0）；
（3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4．
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
【设计意图】学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
七、布置作业，课堂延伸
必做题：课本45页，习题2.7第1题、第2题、第3题．
选做题：
要求：自编一道求二次函数表达式的问题（谜底自己要知道哟）．
考考同学们，看谁编的题巧妙!
【设计意图】由于学生在知识、技能、能力等方面的发展不尽相同，所以分层次布置课外作业，兼顾学习有困难的和学有余力的学生，使他们都能达到数学标准中规定的基本要求并使部分学生能发展他们的数学才能.
板书设计：
§2.3..2
确定二次函数的表达式
一、引例：
三、拓展应用
例题展示
二、探究
例1：略
四、达标检测
例2：略(共18张PPT)
2.3.2确定二次函数的表达式
学习目标
1、会用待定系数法求二次函数解析式.
2、能根据不同的条件选择恰当的解析式求函数解析式。
如果要确定二次函数的关系式，需要几个条件呢？
二次函数关系:
y=ax2
(a≠0)
y=ax2+k
(a≠0)
y=a(x-h)2+k
(a≠0)
y=ax
2+bx+c
(a≠0)
y=a(x-h)2
(a≠0)
顶点式
一般式
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
交点式
例1：
已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
o
x
y
解：
设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
由条件得：
a-b+c=10
a+b+c=4
4a+2b+c=7
解方程组得：
a=2,
b=-3,
c=5
所以所求二次函数是：
y=2x2-3x+5
例2：
解：
已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为
（0，－5）,求该抛物线的解析式？
y
o
x
所以设所求的二次函数解析式为：y=a(x＋1)2-3
因为已知抛物线的顶点为（－1，－3）
又点(
0,-5
)在抛物线上
a-3=-5,
解得a=
-2
故所求的抛物线解析式为
y=－2(x＋1)2-3
即：y=－2x2-4x－5
已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）
并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？
y
o
x
例3：
解：
设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1）
由条件得：
点M(
0,1
)在抛物线上
所以：
a(0+1)(0-1)=1
解得：
a=
-1
故所求的抛物线解析式为
y=-
(x＋1)(x-1)
即：y=－x2+1
慧眼识金,感悟新知：
选择最优解法，求下列二次函数解析式：
1、已知抛物线经过三点A（0，3），B（－1，0）
C（1，－5），求二次函数的表达式.
2、已知抛物线其顶点坐标为（1，4），且该图像经过点A（4，6），求二次函数的表达式.
3、已知抛物线顶点在坐标原点，且图像经过（2，8），求二次函数的表达式.
议一议：
已知抛物线经过三点A（0，1），B（1，2），C（2，1），求二次函数的解析式，你有几种方法？与同伴进行交流.
1、
求二次函数的解析式的一般步骤：
知识盘点
一设、二代、三解、四还原.
2、求二次函数解析式常用方法：
（1）已知图象上三点或三点的对应值，通常选择一般式.
（2）已知图像的顶点坐标或对称轴和最值，通常选择顶点式.
（3）已知图像与x轴两个交点坐标，通常选择交点式
.
提升运用、回归生活
一个涵洞的截面边缘成抛物线形，如图，当水面宽AB＝6m时，测得涵洞顶点与水面的距离为2m.
(1)建立适当的平面直角坐标系
(2)求出抛物线的函数解析式
相信自己，推荐自我!
达标检测，反馈提高
1．已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且经过（1，-3），那么这个二次函数的解析式是_______________.
2．已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点是(5，－2)，那么这个二次函数解析式是_______________.
3.二次函数y=mx2+2x+m－4m2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.
达标检测，反馈提高
4.链接中考：（2014 宁波）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
通过本节课的学习，你有哪些收获？有何感想？你学会了哪些方法？
作业
必做题：课本45页，习题2.7第1题、第2题、第3题．
选做题：要求：自编一道求二次函数表达式的问题
（谜底自己要知道哟）．
考考同学们，看谁编的题巧妙!
