配方法(2)
一、教材分析
运用配方法解一元二次方程的步骤．用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程
二、学情分析
根据已学的平方根的意义来解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方程．这样容易完成学习内容。
三、教学目标
通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，解二次项系数不是1的一元二次方程，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识.
四、教学重点难点
重点
用配方法解一元二次方程
难点
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1的类型.
五、教学过程设计
一、复习引入导语：我们在上节课，已经学习了用直接开平方法解形如x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，以及用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，这节课继续学习配方法解一元二次方程.二、探究新知1.填空：
2.填空：
=
3.解下列方程：
x2-8x+7=0
2x2+8x-2=0
2x2+1=3x
3x2-6x+4=0题目设置说明：1.与上节课衔接（二次项系数为1）2.至二次项系数不为1.二次项系数化为1后，的一次项系数为偶数.为后面做铺垫.的一次项系数为分数，无解.分析：（1）解方程，复习用配方法解二次项系数为1的一元二次方程步骤；（2）对比的解法得到方程的解法，总结出用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：.把常数项移到方程右边；.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；.方程两边都加上一次项系数一半的平方；.原方程变形为（x+m）2=n的形式；.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．(3)运用总结的配方法步骤解方程，先观察将其变形，即将一次项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；解方程配方后右边是负数，确定原方程无解.(4)
不写出完整的解方程过程，到哪一步就可以确定方程的解得情况？三、课堂训练四、小结归纳用配方法解一元二次方程的步骤：1.把原方程化为的形式，2.把常数项移到方程右边；3.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；4.方程两边都加上一次项系数一半的平方；5.原方程变形为（x+m）2=n的形式；6.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．不写出完整的解方程过程，原方程变形为（x+m）2=n的形式后，若n为0，原方程有两个相等的实数根；若n为正数，原方程有两个不相等的实数根；若n为负数，则原方程无实数根.五、作业设计
六、练习及检测题
1.方程(
)A.
B.
C.
D.
2．配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（
）．
A．（x-）2=
B．（x-）2=0
C．（x-）2=
D．（x-）2=3．下列方程中，一定有实数解的是（
）．
A．x2+1=0
B．（2x+1）2=0
C．（2x+1）2+3=0
D．（x-a）2=a4.解决课本练习2（2）到（6）5.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（
）．
A．1
B．2
C．-1
D．-26.
，，是的三条边当时，试判断的形状.证明
七、作业设计
必做：P9：2;P17：321.3实际问题与一元二次方程（面积）
一、教材分析
本节课是九年级数学第二十一章一元二次方程的第三节实际问题与一元二次方程的第三课时：几何图形面积问题。内容解析：实际问题与一元二次方程是进一步讨论如何建立和利用方程模型解决实际问题的范例，这种数学建模思想的体现与前面有关方程各章是一致的，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展，数学模型由一元一次方程或可以化为一次方程的分式方程变为一元二次方程。列一元二次方程是中心内容，解一元二次方程已属于巩固性内容。对本节的学习和研究，丰富了教学内容，同时也拓宽了学生的视野，是本章重点内容之一，也是以后二次函数的研究的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可或缺的数学工具．
二、学情分析
本节课是在学生会看图的基础上运用原来学过的知识加以引导，替换来引入一元二次方程来解决实际生活中的面积问题有部分同学对分割后面积的组合还存在一定的困难。所以计算起来有些吃力。因此在教学的过程中老师尽量引导学生看图。拼图，这样在计算面积的时候才不会叠加和遗漏。。
三、教学目标
1、利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题；2、用面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
四、教学重点难点
重点
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
难点
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．图形的拆分和拼接。
五、教学过程设计
一、复习引入
（口述）1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
3．梯形的面积公式是什么？
4．菱形的面积公式是什么？
5．平行四边形的面积公式是什么？
6．圆的面积公式是什么？
（学生口答，老师点评）
二、探索新知
现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．探究二（有关面积问题）要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21
cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1
cm）问题：（1）所设计的矩形图案的长宽之比应为多少？（2）所设计的矩形图案的面积应为多少？（3）题目中的等量关系是什么？分析：封面的长宽之比为27:21=9:7，所设计的矩形图案的长宽之比也应为9:7
设：上、下边衬的宽为9xcm,
左、右边衬的宽为7xcm.通过所设计的矩形图案是封面面积的四分之三可列出方程.解：设上、下边衬的宽均为9xcm,
左、右边衬的宽为7xcm.根据题意，得(27-18x)(21-14x)=2721探究四：一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车．（1）从刹车到停车用了多少时间 （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少 （3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）
分析：（1）刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为0．因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为=10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间．
（2）很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可．
（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs．由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出x的值．
解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是=10（m/s）
那么从刹车到停车所用的时间是=2.5（s）
（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20
从刹车到停车每秒平均车速减少值是=8（m/s）
（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s
则这段路程内的平均车速为=（20-4x）m/s
所以x（20-4x）=15
整理得：4x2-20x+15=0
解方程：得x=
x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s）
答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s．
六、练习及检测题
（1）同上题，求刹车后汽车行驶10m时约用了多少时间．（精确到0.1s）
（2）刹车后汽车行驶到20m时约用了多少时间．（精确到0.1s）
七、作业设计
AZU
必做：22页：5，8,
选做：9
B组做5.21.2.4一元二次方程的根与系数关系
一、教材分析
知道一元二次方程的根与系数的关系，学习运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.
二、学情分析
已经知道因式分解中的十字交叉法，这对认识一元二次方程的根与系数的关系，学生有点基础，再多加练习，是能够学会的。
三、教学目标
1.知道一元二次方程的根与系数关系.2.学会运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.
四、教学重点难点
重点
一元二次方程的根与系数关系
难点
对根与系数关系的理解和推导
五、教学过程设计
一、复习引入导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？二、探究新知1.课本思考分析：将（x-
x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-(
x1
+x2)x+
x1
x2=0与x2+px+
q=0对比,易知p=-(
x1
+x2)，
q=
x1
x2.
即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.2.跟踪练习求下列方程的两根x1
、x2.
的和与积.x2+3x+2=0；
x2+2x-3=0;
x2-6x+5=0;
x2-6x-15=03.
方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1
、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.
求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.5.跟踪练习求下列方程的两根x1
、x2.
的和与积.3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0;
3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x6.拓展练习已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b=
,c=
.已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是
,k的值是
.若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，则p=
;
若两个根互为倒数，则q=
.分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项.两个根均为负数的一元二次方程是(
)
A.4x2+21x+5=0
B.6x2-13x-5=0
C.7x2-12x+5=0
D.2x2+15x-8=0.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（
）A.4x2-3=0
B.-3x2+5x-4=0
C.0.5x2-4x-3=0
D.2x2+x-=0.若关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0,当m
时方程有两个正根；当m
时方程有两个负根；当m
时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方程各项系数的符号，中还需考虑m的值还得受根的判别式的限制.三、课堂训练四、小结归纳本节课应掌握：1.
韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系2.
运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；3.韦达定理的应用常见题型：不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；判断两个根的符号；不解方程求含有方程的两根的式子的值.
六、练习及检测题
1.完成课本练习2.补充练习：x1
，x2是方程3x2-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：；
；
；
七、作业设计
必做：P17：7选做：补充作业：已知一元二次方程x2+3x+1=0的两个根是，求
的值.21.3实际问题与一元二次方程（增长率）
一、教材分析
本课的主要内容是以列一元二次方程解应用题为中心，深入探究有关成本下降和增长率问题。活动的侧重点是列方程解应用题，提高学生应用方程分析解决问题的能力。活动中涉及了一元二次方程解法，列方程解应用题的一般规律等。这些问题在现实世界中有许多原型，让学生理解两个时间段的平均变化率可以用一元二次方程作为数学模型，从而使问题得到解决。
二、学情分析
本节课是在初二学习增长率，下降率的基础上来用一元二次方程的方法来解决的问题，在本课的学习中，应重视相关内容与实际的联系，加强对一元二次方程是解决现实问题的一种数学模型的认识。分析和解决的关键是找出问题中的相关数量之间的相等关系，并把这样的关系
“翻译”为一元二次方程。在教学中借助现代化教学媒体和网络资源，让学生通过观察、类比，分解、等方法指导怎样试。加强对这类题的把握。
三、教学目标
通过列一元二次方程的方法解决日常生活及生产实际中遇到的有关成本下降和增长率问题.
四、教学重点难点
重点
会用列一元二次方程的方法解有关下降和增长率问题.
难点
有关成本下降和增长率问题的数量关系.
五、教学过程设计
一、复习第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；第四步：解这个方程，求出未知数的值；第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案（及单位名称）。二、实践探究探究二：两年前生产
1
吨甲种药品的成本是5000元,生产吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为
5000(1-x)2
元,依题意得
六、练习及检测题
练习：1.据报道：2008年底某市自然保护区覆盖率（即自然保护区面积占全市面积的百分比）为4.65％，尚未达到国家A级标准．因此，市政府决定加快绿化建设，力争到2010年底自然保护区覆盖率达到8％以上．若要达到最低目标8％，则该自然保护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位有效数字）2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为
七、作业设计
22页：A组做6.7.8题。B组做第7题。21.3实际问题与一元二次方程（传播）
一、教材分析
本课的主要内容是以列一元二次方程解应用题为中心，深入探究传播问题问题中的数量关系。活动的侧重点是列方程解应用题，提高学生应用方程分析解决问题的能力。活动中涉及了一元二次方程解法，列方程解应用题的一般规律等。这些问题在现实世界中有许多原型，让学生理解两轮传播可以用一元二次方程作为数学模型，从而使问题得到解决。
二、学情分析
一元二次方程的实际应用：首先引导学生回忆一元一次方程和二元一次方程的实际应用问题，也是学生最头疼的问题，首先：学生对应用题的分析比较困难，在本课的学习中，应重视相关内容与实际的联系，加强对一元二次方程是解决现实问题的一种数学模型的认识。分析和解决的关键是找出问题中的相关数量之间的相等关系，，让学生通过观察、试验、操作、分析、猜想、得出等量关系式，学生对分析题意理解能力不是很好，因此对列方程还存在一定的难度。希望在本节课的学习中得到提高。
三、教学目标
1、会根据具体问题（传播速度传播的问题）中的数量关系列一元二次方程并求解。
2、能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。
3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。对计算的结果要回头和实际情况相符合注意取舍。
四、教学重点难点
重点
列方程解应用题。
难点
找相等关系列方程。
五、教学过程设计
一、复习第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；第四步：解这个方程，求出未知数的值；第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案（及单位名称）。二、实践探究探究一：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人
教师提出问题：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人开始有一人患了流感,第一轮的传染源就是这个人,他传染了x个人,用代数式表示,第一轮后共有_____人患了流感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人,用代数式表示,第二轮后共有____________人患了流感.
六、练习及检测题
练习一：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？（提示：这棵植物的主干长出多少支干？一个支干又长出多少分支）
七、作业设计
21页：A组2、4、6
。B组做2.4题因式分解法解一元二次方程
一、教材分析
用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，根据两个因式的积等于0，必有因式为0，从而降次解方程.
二、学情分析
学生已学过的因式分解知识为学习本节新知识作铺垫，学生根据
ab=0得到a=0或b=0，解左边是两个一次式的积，右边是0的一元二次方程，来体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.通过这样过度来达到学习目标。有部分学生过去的因式分解三种方法有待加强
三、教学目标
1.
学习用因式分解法解一元二次方程．2.
通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．
四、教学重点难点
重点
用因式分解法解一元二次方程．
难点
学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．
五、教学过程设计
一、复习引入
问题
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10
m/s的速度竖直上抛，那么经过x
s物体离开地面的高度（单位：m)为
.你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗（精确到0.01s)方程①的右边为0，左边可因式分解，得
可以发现，上述解法中，不是用开方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．二、探索新知一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用因式分解的方法求解.这种用当因式分解解一元二次方程的方法称为因式分解法.
例1．解方程
（1）4x2=11x
（2）（x-2）2=2x-4
分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式
解：（1）移项，得：4x2-11x=0
因式分解，得：x（4x-11）=0
于是，得：x=0或4x-11=0
x1=0，x2=
（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0
（x-2）2-2（x-2）=0
因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0
整理，得：（x-2）（x-4）=0
于是，得x-2=0或x-4=0
x1=2，x2=4例2.用因式分解法解方程:
（1）x2-4=0;
（2）(x+1)2-25=0.解：（1）(x+2)(x-2)=0,∴x+2=0,或x-2=0.∴x1=-2,
x2=2.（2）[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,∴x+6=0,或x-4=0.∴x1=-6,
x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法 你是否还有其它方法来解
三、巩固练习
四、应用拓展
例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0
（2）x2-7x+6=0
（3）x2+4x-5=0
分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．
解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）
∴（x-4）（x+1）=0
∴x-4=0或x+1=0
∴x1=4，x2=-1
（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）
∴（x-6）（x-1）=0
∴x-6=0或x-1=0
∴x1=6，x2=1
（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）
∴（x+5）（x-1）=0
∴x+5=0或x-1=0
∴x1=-5，x2=1
上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．
五、归纳小结
本节课要掌握：
（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．
（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：
联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．
②公式法是由配方法推导而得到．
③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．
区别：①配方法要先配方，再开方求根．
②公式法直接利用公式求根．
③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
六、练习及检测题
教材
练习1、2．
七、作业设计
习题21.2:
6.21.1
一元二次方程
一、教材分析
1.一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.2.一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式。3，一元二次方程的根概念。
二、学情分析
在学了方程以及一元一次方程，二元一次方程的基础上学习一元二次方程的概念，容易理解和掌握。
三、教学目标
1..通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式.3.经历观察，归纳，类比得出一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念，
四、教学重点难点
重点
一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念
难点
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
五、教学过程设计
一、复习引入导语：小学五年级学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念.二、探究新知探究课本问题2分析：1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x个队参赛，如何用含x的代数式表示全部比赛场数？整理所列方程后观察：1.方程中未知数的个数和次数各是多少？2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？4x+3=0；
；
；；概念归纳：1.一元二次方程定义：分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2.2.一元二次方程的一般形式：分析：.为什么规定≠0？.方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x的一元二次方程的各项分别是什么？各项系数是什么？3.特殊形式：；；课本例题分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号.一元二次方程的根的概念1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念2.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0（2）x2+1=0
（3）x2-3x=0
（4）4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？5.排球邀请赛问题中，所列方程的根是8和-7，但是答案只能有一个，应该是哪个？归纳：一元二次方程的根的情况一元二次方程的解要满足实际问题三、课堂训练四、小结归纳1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数.2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根.五、作业设计
六、练习及检测题
1.课本练习2补充：1).在下列方程中，一元二次方程的个数是（
）．
①3x2+7=0
②ax2+bx+c=0
③（x-2）（x+5）=x2-1
④3x2-=0
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个2）.关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a范围________．3).已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________4).关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？
七、作业设计
必做：P4：1.2.4.6.7选做：.P29：3.5.721.2.1配方法(1)解一元二次方程
一、教材分析
根据平方根的意义解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方程．把一般形式的一元二次方程（二次项系数是1，一次项系数是偶数）与左边是含有未知数的完全平方式右边是非负常数的一元二次方程对比，引入配方法，并掌握.
二、学情分析
根据已学的平方根的意义来解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方程．这样容易完成学习内容。
三、教学目标
.通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法-----直接开平方法，配方法。
四、教学重点难点
重点
1.运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2用配方法解二次项是1，一次项系数是偶数的一元二次方程
难点
降次思想，配方法
五、教学过程设计
一、复习引入导语：已经学习了一元二次方程的概念，本节课开始学习其解法,首先学习直接开平方法，配方法.二、探究新知探究课本问题1分析：1.用列方程方法解题的等量关系是什么？2.解方程的依据是什么？3.方程的解是什么？问题的答案是什么？4.该方程的结构是怎样的？归纳：可根据数的开方的知识解形如
x2=p（p≥0）的一元二次方程，方程有两个根，但是不一定都是实际问题的解.解决课本思考1如何理解降次？2本题中的一元二次方程是通过什么方法降次的？3能化为（x+m）2=n（n≥0）的形式的方程需要具备什么特点？归纳：1运用平方根知识将形如
x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可；2左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为（x+m）2=n（n≥0）.探究课本问题21.根据题意列方程并整理成一般形式.2.将方程
x2+6x-16=0和x2+6x+9=2对比，怎样将方程
x2+6x-16=0化为像
x2+6x+9=2一样，左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的方程？完成填空：
x2+6x+
=（x+
）2方程移项之后，两边应加什么数，可将左边配成完全平方式？归纳：用配方法解二次项系数是1且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般步骤及注意事项:先将常数项移到方程右边，然后给方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成完全平方式的三项式形式，再将左边写成平方形式，右边完成有理数加法运算，到此，方程变形为（x+m）2=n（n≥0）的形式.三、课堂训练课本练习:四、小结归纳1.根据平方根的意义，用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程.2.用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，特别地，移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方.3.在用方程解决实际问题时，方程的根一定全实际是问题的解，但是实际问题的解一定是方程的根.五、作业设计
六、练习及检测题
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（
）．
A．p=4，q=2
B．p=4，q=-2
C．p=-4，q=2
D．p=-4，q=-24．方程3x2+9=0的根为（
）．
A．3
B．-3
C．±3
D．无实数根5.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（
）．
A．x2-8x+（-4）2=31
B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1
D．x2-4x+4=-116．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
七、作业设计
必做：P16：1、2、选做：3（1）（2）21.3实际问题与一元二次方程
一、教材分析
用列一元二次方程的方法解决有关成本下降和增长率问题.
二、学情分析
学生对应用题的分析比较困难，本节内容应讲江详细些。讲练结合，重在列方程。
三、教学目标
通过列一元二次方程的方法解决日常生活及生产实际中遇到的有关成本下降和增长率问题.
四、教学重点难点
重点
会用列一元二次方程的方法解有关下降和增长率问题.
难点
有关成本下降和增长率问题的数量关系.
五、教学过程设计
一、复习第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；第四步：解这个方程，求出未知数的值；第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案（及单位名称）。二、实践探究探究一：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人
教师提出问题：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人开始有一人患了流感,第一轮的传染源就是这个人,他传染了x个人,用代数式表示,第一轮后共有_____人患了流感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人,用代数式表示,第二轮后共有____________人患了流感.探究二：两年前生产
1
吨甲种药品的成本是5000元,生产吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为
5000(1-x)2
元,依题意得
六、练习及检测题
练习一：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？（提示：这棵植物的主干长出多少支干？一个支干又长出多少分支）2.据报道：2008年底某市自然保护区覆盖率（即自然保护区面积占全市面积的百分比）为4.65％，尚未达到国家A级标准．因此，市政府决定加快绿化建设，力争到2010年底自然保护区覆盖率达到8％以上．若要达到最低目标8％，则该自然保护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位有效数字）3.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为
七、作业设计
21页：2.
22页：7
选做：
26页：9公式法解一元二次方程
一、教材分析
1.一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程
二、学情分析
通过复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．这样比较适合一班和四班的学生完成学习任务。
三、教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程
四、教学重点难点
重点
求根公式的推导和公式法的应用．
难点
一元二次方程求根公式法的推导．
五、教学过程设计
一、温故知新
（学生活动）用配方法解下列方程
总结用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
二、探索新知
明晰新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+x=-
配方，得：x2+x+（）2=-+（）2
即（x+）2=
∵b2-4ac>0且4a2>0
∴≥0
直接开平方，得：x+=±
即x=
∴x1=，x2=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
通过上面三个方程的求解，你发现了b2-4ac
与方程的根有什么关系吗？
三、师生互动
促进理解五、小结与反思1、这节课你获得了哪些知识与方法？2、这节课你在解决问题的过程中，有哪些易错点？3、这节课你还有哪些疑惑未解决？
六、练习及检测题
求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程解：得如果上面的解题过程看作思维操的话，下面的两题就是花样体操。1、关于x的一元二次方程
有两个实根，则m的取值范围是——
解：∴注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根的两种情况。2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k的取值范围是
（
）A.k>-1
B.
k>-1
且k≠
0
C.
k<1
D.
k<1
且k≠0解:∵
＞0∴k＞-1
又∵k≠0
∴
k＞-1且k≠0反思是数学思维活动的核心和动力，它可以优化我们的学习过程，提高学习效率。
七、作业设计
12页：1.
（2）当
时，有两个相等的实数根。
（1）当
时，有两个不等的实数根。
一元二次方程的根的情况
（3）
当
时，没有实数根。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
3、代入求根公式:
2、求出
的值，
4、写出方程的解：
注意：当
时，方程无解。
1、把方程化成一般形式，并写出
的值。
精确到0.001，x1≈
1.236，x2≈
－3.236
但是其中只有x1≈1.236符合问题的实际意义，所以雕像下部高度应设计为约1.236m。21.2.1直接开平方法解一元二次方程
一、教材分析
新课标要求，理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题。本节是九年级上册21.
2.1内容，一元二次方程的求解是初中代数学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视。首先“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；其次，在一元二次不等式的求解及求二次函数与x轴交点等问题中都必须应用一元二次方程的解法；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元、转化、类比等重要的数学思想方法。因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。
二、学情分析
根据已学的平方根的意义来解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方程．这样容易完成学习内容。
三、教学目标
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具
体问题。提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程。
四、教学重点难点
重点
1.运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2用配方法解二次项是1，一次项系数是偶数的一元二次方程
难点
降次思想，配方法
五、教学过程设计
一、复习引入导语：已经学习了一元二次方程的概念，本节课开始学习其解法,首先学习直接开平方法，配方法.二、探究新知探究课本问题1分析：1.用列方程方法解题的等量关系是什么？2.解方程的依据是什么？3.方程的解是什么？问题的答案是什么？4.该方程的结构是怎样的？归纳：可根据数的开方的知识解形如
x2=p（p≥0）的一元二次方程，方程有两个根，但是不一定都是实际问题的解.解决课本思考1如何理解降次？2本题中的一元二次方程是通过什么方法降次的？3能化为（x+m）2=n（n≥0）的形式的方程需要具备什么特点？归纳：1运用平方根知识将形如
x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可；2左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为（x+m）2=n（n≥0）.探究课本问题21.根据题意列方程并整理成一般形式.2.将方程
x2+6x-16=0和x2+6x+9=2对比，怎样将方程
x2+6x-16=0化为像
x2+6x+9=2一样，左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的方程？完成填空：
x2+6x+
=（x+
）2方程移项之后，两边应加什么数，可将左边配成完全平方式？归纳：用配方法解二次项系数是1且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般步骤及注意事项:先将常数项移到方程右边，然后给方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成完全平方式的三项式形式，再将左边写成平方形式，右边完成有理数加法运算，到此，方程变形为（x+m）2=n（n≥0）的形式.三、课堂训练课本练习:四、小结归纳1.根据平方根的意义，用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程.2.用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，特别地，移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方.3.在用方程解决实际问题时，方程的根一定全实际是问题的解，但是实际问题的解一定是方程的根.五、作业设计
六、练习及检测题
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（
）．
A．p=4，q=2
B．p=4，q=-2
C．p=-4，q=2
D．p=-4，q=-24．方程3x2+9=0的根为（
）．
A．3
B．-3
C．±3
D．无实数根5.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（
）．
A．x2-8x+（-4）2=31
B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1
D．x2-4x+4=-116．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
七、作业设计
必做：P16：1、2、选做：3（1）（2）
