27.2.2相似三角形的性质
一、教材分析
本节教学内容是本章的重要内容之一。本节内容是在完成对相似三角形的判定条件进行研究的基础上，进一步探索研究相似三角形的性质，从而达到对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究。从知识的前后联系来看，相似三角形可看作是全等三角形的拓广，相似三角形的性质研究也可看成是对全等三角形性质的进一步拓展研究。另外相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础，也是今后研究圆中线段关系的有效工具。 从新课程对几何部分的编写来看，几何知识的结论较之老教材已经大为减少，教材首要关注的不是掌握多少几何知识的结论，相对更重视的是对学生合情推理能力的训练与培养。从这个角度上说，不论是全等还是相似，教材只是将它们作为训练学生合情推理的一个有效素材而已，正因为此，本节课应重视学生有条理的思考及有条理的表达。
二、学情分析
从七上开始到现在，学生已经经历了一些平面图形的认识与探究活动，尤其是全等三角形性质的探究等活动，让学生初步积累了一定的合情推理的经验与能力，这是学生顺利完成本节学习内容的一个有利条件。 对相似形的性质的结论，学生是有生活经验与直观感受的。
三、教学目标
1．
经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性。2．理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。3．探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。
四、教学重点难点
重点
理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
难点
探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方
五、教学过程设计
一.
新课引入：1．回顾相似三角形的性质。2.
除了角和边外，三角形中还有三种重要线段：高，中线，角平分线.
相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比和相似比有什么关系？已知：⊿ABC∽⊿A'B'C'
，⊿ABC
与⊿A'B'C'
的相似比是k
，AD、A'D'是对应高。求证：
=k。分析：⊿ABC∽⊿A'B'C'
，
AD、A'D'是对应高∠B=∠B'
，∠ADB=∠
A'D'B'=90°⊿ABD∽⊿A'B'D'=k（对应中线、对应角平分线的证明略）结论：相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比.3.在4×4正方形网格中（1）⊿ABC与⊿A'B'C'有什么关系？为什么？（2）⊿ABC与⊿A'B'C'的相似比是多少？（3）⊿ABC与⊿A'B'C'的周长比是多少 面积比是多少 二.
提出问题：如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？ ABC∽ A1B1C1，相似比为kAB=kA1B1,BC=kB1C1,CA=kC1A1相似三角形周长的比等于相似比如果两个三角形相似，它们的面积之间什么关系？探究：如图， ABC∽ A1B1C1，相似比为k1
，它们的面积比是多少？
分析：分别作出 ABC和 A1B1C1的高AD和A1D1。∠ADB=∠A1D1B1=900又∠B=∠B1
ABD∽ A1B1D1=三.
结论：相似三角形面积比等于相似比的平方延伸问题：两个相似多边形的周长、面积之间有什么关系？结论：相似多边形周长的比等于相似比。相似多边形的面积比等于相似比的平方。四.
应用新知：例1：如图27．2-12，在 ABC和 DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D， ABC的周长是24，面积是48，求
DEF的周长和面积。图27．2-12分析：
ABC和 DEF中，AB=2DE，AC=2DF又∠A=∠D ABC∽ DEF，相似比为 DEF的周长=24=12，面积=248=12。的一边长FG。五.
练习：六.
课堂小结：说说你在本节课的收获。
六、练习及检测题
1.判断：（1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍,那么它的周长也扩大为原来的5倍.（
）
（2）如果把一个四边形的面积扩大为原来的9倍,那么它的各边也扩大为原来的9倍.(
)2、填空：（1）已知⊿ABC∽⊿A'B'C'
，且面积之比为9：4，则周长之比为
，相似比
，对应边上的高线之比
.
（2）如图，在⊿ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=3，则⊿ADE与⊿ABC周长之比为
，面积之比为
.3、解答：（1）如图，△ABC∽△A'B'C'，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，B'C'=24cm，求BC、AC、A'B'、A'C'的长.（2）如图，CD是Rt⊿ABC斜边AB上的高,若AC:BC=3：2
，求AD:BD.
七、作业设计
A组：39页：2.3题。B组：42页：4.5题。
D
A
B
C
B'
A'
C'
D'
A
B
C
A'
B'
C'
B
C
D
E
C
C'
B'
C
A
B
D27.3位似（2）
一、教材分析
节课是义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》九年级下册27.3.用坐标表示位似变换，本节课内容是在平面直角坐系下研究位似图形的点的坐标的变化特点及应用这个特点画图，是在平面直角坐标系下研究相似变换的基础，在学习本节课前学生已学习了在平面内画位似图形，在平面直角坐标系中画平移、轴对称和旋转（中心对称），由于一般的相似变换在平面直角坐标系下的描述比较复杂，所以只研究平面直角坐标系下的位似变换，而且是位似中心在原点的特殊情况，也是最简单的情况。在生活和生产中有时需要放大（或缩小）一个图形，利用位似（特别是利用平面直角坐系下的位似）可以很方便地将一个图形放大或缩小，学习本节知识有一定的实际意义。
二、学情分析
九年级学生已形成了一定的数学研究的思想方法，但学生分化严重，学习本节内容前，学生已经能够画某个图形关于某点的位似图形，大部分学生能够通过自主探究的形式完成本节的规律归纳，但在有限时间内让学生形成规律并运用规律，对大多数学生来说还存在一定的难度，所以在此采用教师画板演示，学生观察思考并大胆发表意见，师生共同归纳规律的方法，这样就把规律应用部分让学生充分展现。
三、教学目标
1．巩固位似图形及其有关概念．2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．
四、教学重点难点
重点
用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换
难点
把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律。
五、教学过程设计
一、创设情境活动1
教师活动：提出问题：（教材P48-49页探究：）（1）如图27.3-3(1)，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？(1)
(2)图27.3-3(2)如图27.3-3(2)，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？学生活动:
学生小组讨论，共同交流,回答结果．教师活动：分析：略（见教材P49的分析）解：略（见教材P49的解答）【归纳】
位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．二、应用例题（教材P49-50页
例）活动2例（教材P49的例题）分析：略（见教材P49的例题分析）解：略（见教材P50的例题解答）问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！三、课堂练习活动3
教材P50页．习题1、2四、在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．活动41．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，写出A1、B1、C1三点的坐标；（2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标；（3）将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，写出A3、B3、C3三点的坐标．2．（教材P50）图27.3-5所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？27.3-5分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……．
解：答案不惟一，略．五、小结活动51、谈谈你这节课学习的收获.2、课后作业
六、练习及检测题
50页：1.2.题。
七、作业设计
A组：51页．第5、6题B组：50页2题，51页：4题。相似三角形的判定
一、教材分析
《相似三角形的判定》是人教版九年级下册中继学生学习了“相似图形”“相似图形的性质判定”、“相似三角形”之后的一个学习内容。它为后面测量和研究三角函数做了铺垫，在学习平面几何中起着承上启下的作用。因此必须熟练掌握三角形相似的判定，并能灵活运用。教材从三对角、两对角、一对角对应相等的顺序展开探究，符合学生认知规律。
二、学情分析
学生通过前面的学习已认识了相似图形的性质和判定，认识了相似三角形，这为探究三角形相似的判定做好了知识上的准备。九年级学生动手操作能力逐渐成熟，能主动参与本节课的操作、探究，充分体验获得知识的快乐。
三、教学目标
1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
四、教学重点难点
重点
掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似
难点
（1）三角形相似的条件归纳、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．
五、教学过程设计
一．课堂引入1．复习提问：(1)
两个三角形全等有哪些判定方法？(2)
我们学习过哪些判定三角形相似的方法？(3)
全等三角形与相似三角形有怎样的关系？(4)
如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？（2）带领学生画图探究；（3）【归纳】
三角形相似的判定方法1
如果两个三角形的三组对应边的比相等，
那么这两个三角形相似．3．（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）教师带领学生探求证明方法．4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：（1）提出问题：由三角形全等的SAS判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？（2）让学生画图，自主展开探究活动．（3）【归纳】
三角形相似的判定方法2
两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．二．例题探究：例1（教材P33例1）分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，看是不是符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法，对于（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边．
解：略※例2
（补充）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出，结合∠B=∠ACD，证明△ABC∽△DCA，再利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式，从而求出AD的长．解：略（AD=）．三．课堂练习2.题图1．教材P34．2．2．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4cm，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10
cm，A’C’=8
cm，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？
3．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．四．课堂小结：
六、练习及检测题
1．教材P34．2．2．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4cm，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10
cm，A’C’=8
cm，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？
3．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．
七、作业设计
B组：教材P42．1、3．A组：1．教材P42．1、3．2．如图，AB AC=AD AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED．※3．已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD AD，求证：△ADC∽△CDP．27．2．3相似三角形应用举例
一、教材分析
让学生了解：利用三角形的相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题。通过解决“泰勒斯测量金字塔的高度”问题，培养学生学习数学的兴趣，让学生在浓厚的数学文化熏陶中探究解决问题的方法。让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型，通过建模培养学生的归纳能力。
二、学情分析
初三学生对平面图形的认识能力正在形成，抽象思维还不够，学习几何知识处于现象描述和说理的过渡时期。学生还没有真正理解推理方法，书写过程有一定困难，应抓住对方法思考与推理能力的培养。因此，对这部分内容的学习，要引导学生学会正确的说理，理清相似三角形在什么条件下用识别方法，在什么条件下用特征。
三、教学目标
1．让学生学会运用两个三角形相似解决实际问题。2．培养学生的观察﹑归纳﹑建模﹑应用能力。3．让学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。
四、教学重点难点
重点
运用两个三角形相似解决实际问题
难点
在实际问题中建立数学模型
五、教学过程设计
一、新课引入：复习相似三角形的判定方法回顾相似三角形的性质
二、提出问题：
利用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题。应用一：测量金字塔的高度
例1：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。
如图27．2-8，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3
m，测得OA为201
m，求金字塔的高度BO。分析：BF∥ED∠BAO=∠EDF
又∠AOB=∠DFE=900 ABO∽ DEF
练习1：在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m.同时测得一栋高楼的影长为90m.这栋高楼的高度是多少 练习2：为了测量大树的高度，在同一时刻小明分别进行如下操作：（1）测得竹竿AB长为0.8m，其影长BC为1m；（2）测得大树落在地面上的影长DF为2.8m，落在墙上的影长EF高1.2m，求大树的高度GD是多少？
应用二：测量河宽例2：如图27．2-9，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得QS=45
m，ST=90
m，QR=60
m，求河的宽度PQ。分析：∠PQR=∠PST=900，∠P=∠P PQR∽ PST
，即，，。解得PQ=90在河对岸选定一个目标点A，在近岸选点B和C，使AB⊥BC，再选点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D.练习3：如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，
求河宽AB.应用三：盲区问题例3：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1．6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？分析：AB∥CD， AFH∽ CFK。，即，解得FH=8。三、练习四、课堂小结：说说你在本节课的收获
六、练习及检测题
练习：如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB、PQ，并且AB∥PQ
.建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N.小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在P点的位置等候小亮.（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置
（用点C标出）；（2）已知MN=20m,MD=8m,PN=24m，求（1）中的C点到胜利街街口的距离CM.
七、作业设计
A组：42页：4.5.7.题。B组：41页：1.2.题。
A
B
C
F
D
E
G
.
.
A
B
.
D
.
.
E
C
A
B
M
N
Q
E
D
P
建筑物
小亮
小明
胜利街27.1图形的相似（一）
一、教材分析
本节课是图形相似的第一课时，来研究最简单而又常用的相似图形，体验由一般到特殊的思想方法。由于三角形的特殊性，所以研究相似三角形更有特殊意义，既促进相似多边形有关概念又丰富相似多边形的特征，另一方面又为后继的三角函数等知识奠定基础，还有重要的实际意义。
二、学情分析
由于刚学过全等三角形，学生在学习过程中容易将全等三角形的定义和相似三角形的定义混在一起，学习时应强调对应角相等、对应边成比例的三角形叫相似三角形。 在学习过程中，对应角和对应边这个概念容易出错，作为教师应该耐心说明。在记两个三角形相似时，跟记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
三、教学目标
1．
理解并掌握两个图形相似的概念．2．
了解成比例线段的概念，会确定线段的比。
四、教学重点难点
重点
相似图形的概念与成比例线段的概念．
难点
成比例线段概念．
五、教学过程设计
一．引入：
1．（1）请同学们看黑板正上方的五星红旗，五星红旗上的大五角星与小五角星他们的形状、大小有什么关系？再如下图的两个画面，他们的形状、大小有什么关系．（还可以再举几个例子（2）教材P36引入．（3）相似图形概念：把形状相同的图形说成是相似图形．（强调：见前面）（4）让学生再举几个相似图形的例子．（5）讲解例1．2．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的长度比是多少？归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比．3．成比例线段：对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如
（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【注意】
（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d成比例，记作
或a:b=c:d；（4）若四条线段满足
，则有ad=bc．二、例题讲解例1（补充：选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（
）分析：因为图A是把图拉长了，而图D是把图压扁了，因此它们与左图都不相似；图B是正六边形，与左图的正五边形的边数不同，故图B与左图也不相似；而图C是将左图绕正五边形的中心旋转180o后，再按一定比例缩小得到的，因此图C与左图相似，故此题应选C.例2（补充）一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，那么长与宽的比是多少？（1）如果a=125cm，b=75cm，那么长与宽的比是多少？（2）如果a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比是多少？解：略．（
）小结：上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的
的值是相等的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致．例3（补充）已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km？分析：根据比例尺=
，可求出北京到上海的实际距离．解：
略答：北京到上海的实际距离大约是1120
km．三、课堂练习1．教材P37的观察．2．下列说法正确的是（
）A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B．商店新买来的一副三角板是相似的.C．所有的课本都是相似的.D．国旗的五角星都是相似的.3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，（1）（小）长是_______cm，宽是_______cm；
（大）长是_______cm，宽是_______cm；（2）（小）
；（大）
．（3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？（答：相似的长方形的宽与长之比相等）4．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？5．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？四．小结：
六、练习及检测题
1．教材P37的观察．2．下列说法正确的是（
）A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B．商店新买来的一副三角板是相似的.C．所有的课本都是相似的.D．国旗的五角星都是相似的.3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，（1）（小）长是_______cm，宽是_______cm；
（大）长是_______cm，宽是_______cm；（2）（小）
；（大）
．（3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？（答：相似的长方形的宽与长之比相等）4．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？5．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？
七、作业设计27.1图形的相似（二）
一、教材分析
本节课是图形的相似的第二课时，是在研究图形的相似、相似多边形的特征和识别，研究最简单而又常用的相似三角形，体验由一般到特殊的思想方法。由于三角形的特殊性，所以研究相似三角形更有特殊意义，既促进相似多边形有关概念又丰富相似多边形的特征，另一方面又为后继的圆、三角函数等知识奠定基础，还有重要的实际意义。
二、学情分析
初三学生对平面图形的认识能力正在形成，抽象思维还不够，学习几何知识处于现象描述和说理的过渡时期。学生还没有真正理解推理方法，书写过程有一定困难，应抓住对方法思考与推理能力的培养。因此，对这部分内容的学习，要引导学生学会正确的说理，理清相似图形在什么条件下用识别方法，在什么条件下用特征。
三、教学目标
1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．
四、教学重点难点
重点
相似多边形的主要特征与识别．
难点
运用相似多边形的特征进行相关的计算．
五、教学过程设计
一．引入：
1．
如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．2．
问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．3．【结论】：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．反之，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．
（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比．问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？
结论：相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形．二．例题讲解例1（补充）（选择题）下列说法正确的是（
）A．所有的平行四边形都相似
B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似
D．所有的正方形都相似
分析：A中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故A错；B中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B错；C中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C也错；D中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D说法正确，因此此题应选D．例2（教材P39例题）．
分析：求相似多边形中的某些角的度数和某些线段的长，可根据相似多边形的对应角相等，对应边的比相等来解题，关键是找准对应角与对应边，从而列出正确的比例式．
解：略例3（补充）已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题．解：∵
四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，∴
AB:BC:CD:DA=
A1B1:B1C1:C1D1:D1A1．∵
A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，∴
AB:BC:CD:DA=
7:8:11:14．设AB=7m，则BC=8m，CD=11m，DA=14m．∵
四边形ABCD的周长为40，∴
7m+8m+11m+14m=40．∴
m=1．∴
AB=7，则BC=8，CD=11，DA=14．三．课堂练习1．教材P40练习2、3．2．教材P41习题4．3．（选择题）△ABC与△DEF相似，且相似比是
，则△DEF
与△ABC与的相似比是（
）．A．
B．
C．
D．
4．（选择题）下列所给的条件中，能确定相似的有（
）（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．A．3个
B．4个
C．5个
D．6个5．已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm，那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少？四．小结：
六、练习及检测题
1．教材P40练习2、3．2．教材P41习题4．3．（选择题）△ABC与△DEF相似，且相似比是
，则△DEF
与△ABC与的相似比是（
）．A．
B．
C．
D．
4．（选择题）下列所给的条件中，能确定相似的有（
）（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．A．3个
B．4个
C．5个
D．6个5．已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm，那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少？
七、作业设计
1．如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长．※3．如图，一个矩形ABCD的长AD=
a
cm，宽AB=
b
cm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，求a:b的值．27.3位似（1）
一、教材分析
本节课是义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》九年级下册27.3.用坐标表示位似变换，本节课内容是在平面直角坐系下研究位似图形的点的坐标的变化特点及应用这个特点画图，是在平面直角坐标系下研究相似变换的基础，在学习本节课前学生已学习了在平面内画位似图形，在平面直角坐标系中画平移、轴对称和旋转（中心对称），由于一般的相似变换在平面直角坐标系下的描述比较复杂，所以只研究平面直角坐标系下的位似变换，而且是位似中心在原点的特殊情况，也是最简单的情况。在生活和生产中有时需要放大（或缩小）一个图形，利用位似（特别是利用平面直角坐系下的位似）可以很方便地将一个图形放大或缩小，学习本节知识有一定的实际意义。
二、学情分析
九年级学生已形成了一定的数学研究的思想方法，但学生分化严重，学习本节内容前，学生已经能够画某个图形关于某点的位似图形，大部分学生能够通过自主探究的形式完成本节的规律归纳，但在有限时间内让学生形成规律并运用规律，对大多数学生来说还存在一定的难度，所以在此采用教师画板演示，学生观察思考并大胆发表意见，师生共同归纳规律的方法，这样就把规律应用部分让学生充分展现。
三、教学目标
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
四、教学重点难点
重点
位似图形的有关概念、性质与作图．
难点
利用位似将一个图形放大或缩小．
五、教学过程设计
一、创设情境活动1
教师活动：提出问题：生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的.
（教材P47页思考）观察图27.3-1图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？
图27.3-1学生活动：学生通过观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形.
这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为相似比.（位似中心可在形上、形外、形内.)
每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．二、利用位似，可以将一个图形放大或缩小活动2
教师活动：提出问题：
（教材P47）把图1中的四边形ABCD缩小到原来的．
分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2
．作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，使得；（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．问：此题目还可以如何画出图形？作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；（2）过点O分别作射线OA，
OB，
OC，OD；（3）分别在射线OA，
OB，
OC，
OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得；（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3．
作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，使得；（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）三、课堂练习
活动3
教材P48页．1、2四、课堂小结：谈谈你这节课学习的收获．
六、练习及检测题
教材P48页．1、2。
七、作业设计
A组：51页：1.2.题B组：2.3.4题。27.1图形的相似
一、教材分析
本章是在研究了形状和大小完全相同的两个三角形的性质和判定方法。类似的，两个形状相同、大小不同的三角形，它们的边和角有什么关系？对应线段（如高、中线和角平分线等）和面积有什么关系？如何判断两个三角形的形状会否相同？如何按要求放大或缩小一个图形呢？本小节主要研究相似图形。
二、学情分析
在“全等三角形”一章中，我们已经研究了形状和大小完全相同的两个三角形的性质和判定方法。在全等的基础上，研究“形状相同，但大小不同的两个图形是相似图形。”
三、教学目标
1.通过实例知道相似图形的意义.2.经历观察、猜想和分析过程，知道相似多边形对应角相等，对应边的比相等，反之亦然.3．初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。4．经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。5.
四、教学重点难点
重点
相似图形和相似多边形的意义.
难点
探索相似多边形对应角相等，对应边的比相等.
五、教学过程设计
（一）创设情境，导入新课师：（出示两张全等的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形形状相同，大小也相同，它们叫什么图形？生：（齐答）叫全等图形.师：（出示两张相似的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形只是形状相同，它们叫什么图形？（稍停）它们叫相似图形.也可以说，这两个图形相似（板书：相似）.师：和全等一样，相似也是两个图形的一种关系.从今天开始我们要学习新的一章，这一章要学的内容就是相似（在“相似”前板书：第二十七章）.（二）尝试指导，讲授新课师：相似图形在我们的生活中是很常见的，大家把课本翻到第34页，（稍停）34页上有几个图，左上方是用同一张底片洗出的不同尺寸的照片，它们是相似图形；还有大小不同的两个足球，它们也是相似图形；还有一辆汽车和它的模型，它们也是相似图形.师：看了这些相似图形，哪位同学能给相似图形下一个定义？生：……（让几名同学回答）
（师出示下面的板书）
形状相同的两个图形叫做相似图形.师：请大家一起把相似图形的概念读两遍.（生读）师：（出示两张全等的图片）全等图形，它们不仅形状相同，而且大小也相同；（出示两张相似的图片）而相似图形，它们只是形状相同，它们的大小可能相同，也可能不相同.师：明确了相似图形的概念，下面请同学们来举几个相似图形的例子，谁先来说？生：……（让几位同学说，如果学生说的题材不够广泛，师可以再举几个例子.譬如，放电影时，屏幕上的画面与胶片上的图形是相似图形；实际的建筑物与它的模型是相似图形；复印机把一个图形放大，放大后的图形和原来图形是相似图形）师：好了，下面请大家做一个练习.（三）试探练习，回授调节1.下列各组图形哪些是相似图形？2.如图，图中是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？（四）尝试指导，讲授新课
（师出示下图）师：（指准图）这个三角形和这个三角形形状相同，所以它们是相似三角形.从图上看，这两个相似三角形的角有什么关系？生：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′.（生答师板书：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′）师：（指图）这两个相似三角形的边有什么关系？（让生思考一会儿）师：（指准图）AB与A′B′的比是（板书：），BC与B′C′的比是（板书：），CA与C′A′的比是（板书：），这三个比相等吗？生：（齐答）相等.师：为什么相等？（稍停后指准图）△A′B′C′可以看成是△ABC缩小得到的，假如AB是A′B′的2倍，那么可以想象，BC也是B′C′的2倍，CA也是C′A′的2倍，所以这三个比相等（在式子中间写上两个等号）.师：我们再来看一个例子.
（师出示下图）师：（指准图）这个四边形和这个四边形形状相同，所以它们是相似四边形.从图上看，这两个相似四边形的角有什么关系？生：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′.（生答师板书：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′）师：（指图）这两个相似四边形的边有什么关系？生：===.（生答师板书：===）师：（指式子）这四个比为什么相等？（稍停后指准图）四边形A′B′C′D′可以看成是四边形ABCD放大得到的，假如AB是A′B′的一半，那么可以想象，BC也是B′C′的一半，CD也是C′D′的一半，DA也是D′A′的一半，所以这四个比相等.师：从这两个例子，大家想一想，你能得出一个什么结论？（等到有一部分同学举手再叫学生）生：……（多让几名学生发表看法）
（师出示下面的板书）
相似多边形对应角相等，对应边的比也相等.师：请大家把这个结论一起来读两遍.（生读）师：相似多边形对应角相等，对应边的比也相等.实际上，这个结论反过来也是成立的，反过来怎么说？生：……（让几名学生说）
（师出示下面的板书）
对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似多边形.师：请大家把反过来的结论一起来读两遍.（生读）师：我们知道，形状相同的多边形是相似多边形.但是，什么样才算形状相同呢？（稍停）从这两个结论我们可以看到，对多边形来说，所谓形状相同，实际上指的就是对应角相等，对应边的比也相等.对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似多边形.所以，现在我们可以给相似多边形下一个更明确的定义.
（师出示下面的板书）
对应角相等，对应边的比也相等的两个多边形叫做相似多边形.师：下面我们利用相似多边形的概念来做两个练习.（五）试探练习，回授调节3.如图，△ABC与△A′B′C′相似，则∠C′=
°，B′C′=
.4.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)两个等边三角形一定相似；
（
）(2)两个正方形一定相似；
（
）
(3)两个矩形一定相似；
（
）
(4)两个菱形一定相似.
（
）（六）归纳小结，布置作业师：（指准板书）本节课我们学习了相似图形和相似多边形的概念.什么叫做相似图形？形状相同的两个图形叫做相似图形.从这两个结论，我们进一步发现，对多边形来说，所谓形状相同指的就是对应角相等，对应边的比也相等.所以我们又给相似多边形下了一个更明确定义：对应角相等，对应边也相等的两个多边形叫做相似多边形.
（五）作业设计习题27.1
1,2,3题
六、练习及检测题
3.如图，△ABC与△A′B′C′相似，则∠C′=
°，B′C′=
.4.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)两个等边三角形一定相似；
（
）(2)两个正方形一定相似；
（
）
(3)两个矩形一定相似；
（
）
(4)两个菱形一定相似.
（
）
七、作业设计
必做题：课本27页习题27.1第1、2、3题。选做题：4题相似三角形的判定
一、教材分析
《相似三角形的判定》是人教版九年级下册中继学生学习了“相似图形”“相似图形的性质判定”、“相似三角形”之后的一个学习内容。它为后面测量和研究三角函数做了铺垫，在学习平面几何中起着承上启下的作用。因此必须熟练掌握三角形相似的判定，并能灵活运用。教材从三对角、两对角、一对角对应相等的顺序展开探究，符合学生认知规律。
二、学情分析
学生通过前面的学习已认识了相似图形的性质和判定，认识了相似三角形，这为探究三角形相似的判定做好了知识上的准备。九年级学生动手操作能力逐渐成熟，能主动参与本节课的操作、探究，充分体验获得知识的快乐。
三、教学目标
1.掌握判定两个三角形相似的方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。2.培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法2与全等三角形判定方法（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。3.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力
四、教学重点难点
重点
两个三角形相似的判定方法2及其应用
难点
探究两个三角形相似判定方法2的过程。
五、教学过程设计
一．新课引入：复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系：
SSS如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程探究两个三角形相似判定方法2的途径
二．
提出问题：利用刻度尺和量角器画 ABC与 A1B1C1，使∠A=∠A1，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？
（学生独立操作并判断）↓分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。
延伸问题：改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）
探究方法：探究2改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生学习如何在动态变化中捕捉不变因素。）归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）若∠A=∠A1，==k则
ABC∽ A1B1C1辨析：对于 ABC与 A1B1C1，如果=，∠B=∠B1，这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。）讨论：上述判定方法中的“角”一定要是两对应边的夹角吗？也就是说：如果两边对应成比例且其中一边的对角对应相等的两个三角形是否相似呢？结论：两边对应成比例且其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定相似.三．例题探究：
例2
（补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．四．课堂练习1．教材P36的练习1、2．2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．3．下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．五．课堂小结：
六、练习及检测题
1．教材P36的练习1、2．2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．3．下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．
七、作业设计
1．已知：如图，△ABC
的高AD、BE交于点F．求证：．2．已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．（1）求证：AC BC=BE CD；（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．相似三角形的判定
一、教材分析
在这之前学生已经学习了相似形，知道了相似形的本质特征，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。相似三角形的知识是在全等三角形的基础上的拓广和发展,相似三角形承接全等三角形,从特殊的相等到一般的成比例予以深化,学好相似三角形的知识,为今后进一步学习多边形相似、三角函数及巩固有关的比例线段等知识打下良好的基础.本课由一般到特殊引出相似三角形的概念，并应用这一概念解决一些具体问题，在本章节的学习中占重要地位。同时对后续教学内容起奠基作用，也为学生今后学习和生活更好的运用数学做准备
二、学情分析
1、由于刚学过全等三角形，学生在学习过程中容易将全等三角形的定义和相似三角形的定义混在一起，学习时应强调对应角相等、对应边成比例的三角形叫相似三角形。 2、在学习过程中，对应角和对应边这个概念容易出错，作为教师应该耐心说明。在记两个三角形相似时，跟记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样就比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。
三、教学目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的
四、教学重点难点
重点
相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．
难点
三角形相似的预备定理的应用．
五、教学过程设计
一．课堂引入1．复习引入（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′,
∠B=∠B′,
∠C=∠C′,
且．
我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=∠A′,
∠B=∠B′,
∠C=∠C′,
且．
（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？2．教材P30的思考，并引导学生探索与证明．3．【归纳】三角形相似的预备定理
平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．二．例题讲解例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长．
解：略（AD=3，DC=5）例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．
分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有，又由AD=EC可求出AD的长，再根据求出DE的长．解：略（）．三．课堂练习1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（
）A．两个直角三角形
B．两个钝角三角形
C．两个等腰三角形
D．两个等边三角形
2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（
）A．1对
B．2对
C．3对
D．4对3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
（CD=
10）四．课堂小结：
六、练习及检测题
1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（
）A．两个直角三角形
B．两个钝角三角形
C．两个等腰三角形
D．两个等边三角形
2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（
）A．1对
B．2对
C．3对
D．4对3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
（CD=
10）
七、作业设计
1．如图，△ABC∽△AED,
其中DE∥BC，写出对应边的比例式．2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式．
3．如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．
