高中数学选修2-2（高二理科）第一章 导数及其应用

1.1.1-1.1.2
变化率与导数的概念
学习目标：
1.理解函数平均变化率的概念，会求已知函数的平均变化率．
2.理解瞬时速度，进一步理解导数的概念.
学习重点：理解导数的概念
学习难点：平均变化率的概念与导数的概念的理解．
学习过程：
一．自主学习
（阅读P2
–
P3页完成以下内容）
1.气球膨胀率：可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率_______________．
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少
______________________.
2.高台跳水：如何计算运动员在这段时间里的平均速度=________________.计算运动员在这段时间里的平均速度=___________.
思考：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？___________________
3．平均变化率:
上述问题中的函数关系用y=f(x)表示那么问题中的变化率可用式子________________表示,
称为函数______从_____到________的平均变化率
若设,同样则平均变化率为___________.
思考：观察P74页函数f(x)的图象
平均变化率表示什么____________________________
（阅读P4-
P5页内容完成以下内容）
4．瞬时速度：
思考：当时平均速度有什么样的变化趋势_____________________________
物体在时的瞬时速度就是运动物体在到一段时间内的平均速度，当时的极限，即
5．导数的概念：
在处的导数的定义：一般地，在处的瞬时变化率是
我们称之为在处的
记作或即
6．求导数的步骤：
①求函数的增量：
②求平均变化率：
③取极限，得导数：
上述求导方法可简记为：一差、二比、三极限．
二．合作探究
例：（1）以初速度为做竖直上抛运动的物体，秒时的高度为，求物体在时刻处的瞬时速度．
（2）求在到之间的平均变化率．
（3）设+1，求，，
三．课堂练习
1.质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为
．
2.按照的规律作直线运动物体的在4s附近的平均变化率为___________.
四．达标检测：
1.设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为
（
）
A.
B.
C.
D.
2.一质点运动的方程为，则在一段时间内的平均速度为（　　）
A．－4　
　
B．－8　　
C．6　
D．－6
3．任一做直线运动的物体，其位移与时间的关系是，则物体的初速度是（
）
A．0
B．3
C．－2
D．
4.求函数，在处的导数
5．若，，则的值是（
）
A．1
B．－1
C．
D．
六．作业
1．设一物体在秒内所经过的路程为米，并且，试求=5时的瞬时速度.
2．设函数，若，求值.
1.1.3
导数的几何意义
学习目标
：
1．通过作函数图像上过点的割线和切线，直观感受由割线过渡到切线的变化过程；
2．理解函数在某一点处的导数的几何意义，进一步理解导数的定义；
3．会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程．
学习重点：理解函数在某一点处的导数的几何意义．
学习难点：会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程．
学习过程：
一．自主学习（阅读P6-9页内容完成）
1．对于函数的曲线上的定点和动点，直线称为这条函数曲线上过点的一条__________；其斜率＝_________________；当时，直线就无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过P点的__________；其斜率＝________________=___________________（其中），切线方程为________________________________；过函数曲线上任意一点的切线最多有__________条，而割线可以作_______条．
2．导数的几何意义是______________________________________．
3．什么是导函数（导数）？_________________________________________________.
4．与有什么区别与联系？_________________________________________
_________________________________________________________________________.
二．合作探究
例．已知曲线上的一点，求：（1）点P处切线的斜率；（2）点P处的切线方程．
三、课堂练习
1．
已知曲线上的一点A（2，8），则点A处的切线斜率为（
）
A．4
B．16
C．8
D．2
2．
已知曲线上的一点A（2，3）求曲线在点A处的切线方程．
四、达标检测
1．一木块沿某一平面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系为，则秒时，此木块在水平方向上的瞬时速度为（
）
A．2
B．1
C．
D．
2．已知曲线上一点P，则过点P的切线的倾斜角为（
）
A．
B．
C．
D．
3．曲线在P点处的切线平行于直线，求出P点处的切线方程．
五．课堂小结：
六．作业
1．已知曲线求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；
2．在曲线上过哪一点的切线，（1）平行于直线；
（2）垂直于直线；
1.2.1
几个常用函数的导数
学习目标：
学会根据导数定义求常用函数的导数．
学习重点：根据导数的定义求常用函数的导数．
学习难点：会求曲线上某点处的切线方程．
学习过程：
一．自主学习
1.函数在处的导数定义为____________________________________________________________．
2.（阅读P12—P14页内容）根据导数的定义求下列函数的导数
（1）(为常数)
(2)
(3)
(4)
二．合作探究
例1.
求下列函数的导数
(1)
(2)
例2.
阅读P82页探究内容完成
探究1
探究2求曲线在点(1,1)处的切线方程;
三．随堂练习
1．函数的导数是___________.
2．函数在处的导数为_____________
3．给出下列命题,其中正确的命题是___________________(填序号)
(1)任何常数的导数都为零;
(2)直线上任一点处的切线方程是这条直线本身;
(3)双曲线上任意一点处的切线斜率都是负值;
(4)函数和函数在(上函数值增长的速度一样快
四．达标检测
1.的导数是（
）
A．0
B．1
C．不存在
D．不确定
2.已知,则（
）
A．0
B．2
C．6
D．9
3.
在曲线上的切线的倾斜角为的点为（
）
A．
B．
C．
D．
4求曲线过点(2,3)的切线方程.
五．课堂小结：
六．作业
1．已知函数根据导数定义求出的导数．
2.
已知函数；（1）根据导数定义求出的导数；（2）求上点（2,8）处的切线方程．
1.2.2
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
学习目标：
1.熟记基本初等函数的导数公式；
2.记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则．
学习重点：能通过运算法则求出导数．
学习难点：理解导数运算法则是把一个复杂函数求导数转化为两个或多个简单函数的求题．
学习过程：
一．自主学习（阅读P14——P15页内容完成）
1.
熟记基本初等函数的导数公式后默写出公式．
（1）若则_________________________.
（2）若则________________.
（3）若则_____________________.
（4）若则____________________.
（5）若则______________________.
（6）若则_______________________.
（7）若则__________________.
（8）若则_____________________.
2.
导数运算法则
（1）=
；
推广：=
；
（2）=
；
（）；
（3）=
.
二．合作探究
1求下列函数的导数
(1)
(2)
（3）
（4）
2.求下列函数的导数
（1）
（2）
三．达标检测
1．函数的导数为
(
)
A.
B.
C.
D.
2.函数的导数为
(
)
A.
B.
C.
D.
3.求三次曲线过点(2,8)的切线方程.
四．课堂小结：
五．作业
P18
页5.6题
1.2.2
导数的运算法则（2）
学习目标：
1.熟记基本初等函数的导数公式；
2.记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则．
学习重点：能通过运算法则求出导数并解决实际问题．
学习难点：求复合函数的导数．
学习过程：
一．自主学习
1.
熟记基本初等函数的导数公式后默写出公式．
2.
导数运算法则
（1）=
；
（2）=
；；
（3）=
；.
二．合作探究
1.学习P16页思考
2.P17页
例4
三．随堂练习
P18页练习2
四．达标检测
1．下列四组函数中导数相等的是
（
）
2．下列运算中正确的是
（
）
3．过点作曲线的切线,求此切线的方程.
五．课堂小结：
六．作业
1.
求函数的导数及
．
P18
页4.
7.
8题
1.3.1
函数的单调性与导数（1）
学习目标
1.会熟练用求导,求函数单调区间,证明单调性;
2.会从导数的角度解释增减及增减的快慢情况．
学习重点：增函数与减函数的定义及判别方法．
学习难点：用导数的符号判别函数单调性的方法．
学习过程：
一．自主学习（阅读P22——P23页内容完成）
函数单调性定义（高一）_______________________________________________________________________________________________________________
函数单调性定义(导数)
函数在某区间上单调递增时,则其导函数在该区间内的符号为__________
函数在某区间上单调递减时,则其导函数在该区间内的符号为__________
二．合作探究
课本P24页例1、例2
三．随堂练习
P26页练习1．
（1）
（2）
（3）
（4）
练习2．
四．达标检测
1.是减函数的区间为
(
)
A.(2,+).
B.(-
,2)
C.(-
,0)
D.(0,2)
2.函数的单调增区间为
(
)
A.(0,+)
B.(-
,-1)
C.(-1,1)
D.(1,+
)
五．课堂小结：
六．作业
P31页1.
2
题
1.3.1
函数的单调性与导数（2）
学习目标
1.会熟练用求导的方法求函数单调区间,证明单调性;
2.会从导数的角度解释增减及增减的快慢情况．
学习重点：
增函数与减函数的定义及判别方法．
学习难点：
用导数的符号判别函数单调性的方法．
学习过程：
一．自主学习
函数单调性定义(导数)
函数在某区间上单调递增时,则其导函数在该区间内的符号为__________
函数在某区间上单调递减时,则其导函数在该区间内的符号为__________
二．合作探究
1．完成P25页例3与P26页思考，回答下面问题：
如何从导数的角度解释变化快慢？
2.
课本P26页练习3.
3.证明函数在(0,
)内是减函数.
三．随堂练习
课本P26页练习4
四．达标检测
1.在(0,5)上是
(
)
A.单调增函数
B.单调减函数
C.在(0,)上是递减函数,在(,5)上是递增函数.
D.在(0,)上是递减函数,
在(,5)上是递减函数.
2.在下面哪个区间内是增函数
(
).
A.(
B.(
C.(
,
D.(2
五．课堂小结：
六．作业
1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间
(1)
(2)
2.讨论二次函数
1.3.2
函数的极值与导数（1）
学习目标
1.理解极小值、极大值、极值点、极值定义；
2.掌握求极小值和极大值的方法．
学习重点：理解极小值、极大值、极值点、极值定义
．
学习难点：求极小值和极大值的方法．
学习过程：
一．自主学习（阅读P26——P27页内容完成）
1.______________________________________________________,我们把点叫做函数的极小值点,的极小值.
2.______________________________________________________,我们把点叫做函数的极大值点,的极大值.
（阅读P29页内容完成）
3.求函数的极值的步骤是:____________________________________
注意极大值和极小值统称为极值,极值刻画的是函数的局部性质.
二．合作探究
例1.求函数的极值.
例2.分别用二次函数和导数方法求的极小值.
三、随堂练习
P29页练习1
练习2
（1）
（2）
（3）
（4）
四．达标检测
1.关于函数的极值,下列说法正确的是
(
)
A.导数为0的点一定是函数的极值点
B.函数的极小值一定小于它的极大值
C.在定义域内最多只能有一个极大值,一个极小值
D.若在内有极值,那么在内不是单调函数.
2.函数,已知在时取得极值,则
(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
3.有
(
)
A.极大值为5,极小值为-27
B.极大值为5,极小值为-11
C.极大值为5,无极小值
D.极大值为-27,无极小值
五．课堂小结：
六．作业
P32页4.5题
1.3.2
函数的极值与导数（2）
学习目标
1.理解极小值、极大值、极值点、极值定义；
2.掌握求极小值和极大值的方法．
学习重点：理解极小值、极大值、极值点、极值定义
．
学习难点：求极小值和极大值的方法．
学习过程：
一．自主学习
1.______________________________________________________,我们把点叫做函数的极小值点,的极小值.
2.______________________________________________________,我们把点叫做函数的极大值点,的极大值.
3.求函数的极值的方法是:_________________________________
______________________________________________________________
二．合作探究
例1求函数y=2x2+5x的极值.
?
例2．设函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点是x=-2与x=4.
（1）求常数a,b的值;?
（2）判断函数在x=-2,x=4处的值是函数的极大值还是极小值,并说明理由.
三、随堂练习
求下列函数的极值.
1.y=x2-7x+6;
2.
y=x3-27x.?
四．达标检测
1.有极________
值是
____.
2.有极_____值是
_____
极_____值是
_____
3.若函数在内有极小值,则
(
)
A.0<
B.
C.
D.
五．课堂小结：
六．作业
1.求函数的极值．
2.已知函数,当时,的极大值为7;当时,有极小值.求；
(1)的值；
(2)函数的极小值.
1.3.3
函数的最大（小）值与导数（1）
学习目标：
1．借助函数图像理解函数的最大值和最小值概念；
2．弄清函数最值与极值的区别与联系，理解函数有最值的充分条件；
3．掌握求闭区间上连续函数的最大值和最小值的方法和步骤．
学习重点：最值的理解和函数必有最大值和最小值的充分条件．
学习难点：求闭区间上连续的函数的最大值和最小值的方法和步骤．
学习过程：
一．自主学习
1.极值反映的是什么？
2什么是函数的最值？
3．求函数在区间上的最大值与最小值的步骤；
(1)____________________________________________
(2)______________________________________________________________
二．合作探究
1.学习P30页例5
2．求下列函数的最值：
（1）已知，则函数的最大值与最小值为多少．
（2）已知，则函数的最大值为______，最小值为______．
三、随堂练习
P31页练习
四．达标检测
1．已知，求出该函数的最大值与最小值．
2．求出该函数的最大值与最小值．
五．课堂小结：
六．作业
1．课本第32页第6题．
1.3.3
函数的最大（小）值与导数（2）
学习目标：
1．进一步理解函数的最大值和最小值概念；
2．巩固求闭区间上连续函数的最大值和最小值的方法和步骤．
学习重点：最值的理解和函数必有最大值和最小值的充分条件．
学习难点：求闭区间上连续的函数的最大值和最小值的方法和步骤．
学习过程：
一．自主学习
1.
极大值就是最大值吗
？
2．求函数在区间上的最大值与最小值的步骤；
(1)____________________________________________
(2)______________________________________________________________
二．合作探究
1.已知函数在[－2，2]上有最小值－37，
（1）求实数的值；
（2）求在[－2，2]上的最大值．
2.课本第32页B组第1题
三、随堂练习
1函数的最小值是
（
）
A．0
B．
C．
D．
2．函数的最大值是__________，最小值是______
四．达标检测
1．给出下面四个命题：
（1）函数的最大值为10，最小值为；
（2）函数的最大值为17，最小值为1；
（3）函数的最大值为16，最小值为－16；
（4）函数无最大值，无最小值．
其中正确的命题有
（
）
2．函数在内有最小值，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
五．课堂小结：
六．作业
1．求函数的最小值．
2．已知为常数），在[－2，2]上有最大值3，求函数在区间[－2，2]上的最小值．
1.4
生活中的优化问题举例
学习目标：
1
利润最大、用料最省、效率最高等优化问题；
2体会导数在解决实际问题中的作用．
学习重点：提高将实际问题转化为数学问题的能力．
学习难点：提高分析问题和解决问题的能力．
学习过程：
一．自主学习
1什么是优化问题？
2求函数最大（小）值的有力工具是？
3函数的最值要由_________
和_______
的函数值确定,当定义域是开区间,而且其上有_________
的极值，则它就是函数的最值．
（阅读P34——P35页内容完成）
4解决优化问题的基本思路是：
二．合作探究
学习P34——P35页例1、例2、例3内容
总结利用导数解决优化问题的一般步骤：
三、随堂练习
在边长为60
cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
四．达标检测
1．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
2．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？
五．课堂小结：
六．作业
P37页A组1
、
B组1
导数及其应用检测
一、选择题
1．f(x)=ax3+3x2+2，若，则a的值为（
）
A．
B、
C、
D、
2.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f＇(x)的图象是（
）
3．若函数y=x·2x
且，则x=(
)
A.
B.
C.-ln2
D.ln2
4.已知函数f(x)的导数为，且图象过点(0,-5),当函数f(x)取得极大值时x的值应为(
)
A.
-1
B.
0
C.
1
D.
±1
二．填空题
5、求下列函数的导数
(1),
;
(2),
;
(3),
;
(4),
;
6、函数的递增区间是
;递减区间是
.
7、曲线y＝x3－3x2＋1在点(1,－1)处的切线方程为____________________.
8、某质点的运动方程是
,
则在t=1时的瞬时速度为
9、函数在区间上的最大值是
;最小值是
10.曲线y=x3+x-2 在点P0处的切线平行于直线y
=
4x-1，则点P0点的坐标是
．
三、解答题
11、已知抛物线
y
=x2
-4与直线y
=
x
+
2，求：
（1）两曲线的交点；
（2）抛物线在交点处的切线方程
12、求函数的极值．
13.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？
_
x
_
x
_
60
_
60
x
x