数与形
课题
数与形（1）
课型
新授课
设计说明
数与形是数学中两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来进行分析与思考的一种数学思想方法。鉴于此，本节课在教学设计上重点突出。
合作探究，渗透“数形结合”的思想。
教学时先合作探究数与形之间的对应关系相对明确的例1，引导学生掌握分析此类题的方法，再应用发
现的规律去解决相对复杂的问题，使学生充分体验到“数形结合”化繁为简的好处。
学习目标
1.通过数与形的对照，利用图形形象的特点表示出数的规律。
2.培养学生归纳、推理、探索规律的能力。
学习重点
通过数与形的对照，利用图形形象的特点表示出数的规律，解决问题。
学习难点
学前准备
教具准备：PPT课件
课时安排
1课时
教学环节
导案
学案
达标检测
一、设疑激趣。（5分钟）
1.现在来做一个口算题，抢答出结果。
1＋3＝？
1＋3＋5＋7＝？
1＋3＋5＋7＋9＋……＋21＝？
2.导入新课。
老师可以很快地告诉大家第三个小题的结果是121。大家想知道其中的奥秘吗？（板书课题）
学生口算，抢答结果，并说说是如何思考的。
1.管理图表示算式的意义。
二、探究新知。（16分钟）
1.教学例1。
（1）引导学生观察、发现算式左边的加数与对应图形中小正方形的关系。
（2）引导学生观察、发现算式结果与对应图形中小正方形的关系。
（3）引导学生应用规律直接得出结果。
2.引导学生总结数形结合的方法解决问题的好处。
1.小组合作，学习例1。
（1）观察、讨论、总结：
算式左边的加数是大正方形右上角的小正方形和其他“L”形图形所包含的小正方形个数之和。
（2）发现、总结规律：
版式结果正好是每行（每列）正方形个数的平方。
（3）应用规律填完，也可以画图帮助理解。
1＋3＋5＋7＝（4）2
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝（7）2
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝(9)2
2.自主总结：形象、化繁为简。
2.用小木棒摆正方形。
3.A、B、C、D、E五位运动员进行乒乓球比赛，每两个人之间进行一场比赛，一共要进行多少场比赛？先画图，再计算。
三、拓展提高。（17分钟）
1.独立完成第108页“做一做”的第1题。
2.引导完成教材109页第1题。
3.引导完成教材110页第
3题。
1.独立完成，集体订正。
2.教师指导完成。
（1）第5个图形最外圈有40个小正方形。
（2）道理：如果图形的序数用n表示，那么第n个图形最外圈的小正方形的个数为（1＋2n）2－（2n－1）2＝8n（个）
3.独立完成，全班订正。
三角形个数：1、4、9、16。
周长：3、6、9、12。
关系：大三角形包含的小三角形的个数等于大三角形的周长除以3所得高的平方。
4.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第八个图形需要黑色棋子的
个数是（80）
四、课堂总结。（4分钟）
1.通过本节课的学习，你有什么收获？
2.布置作业第109页第2题。
生谈自己本节课的收获。
教学过程中老师的疑问：
五、教学板书
六、教学反思
本节课教学时从数与形的不同角度，让学生观察、发现数学规律。而在探索规律的过程中，培养了学生的思维能力以及与人交流、沟通、互动、互助的学习品质。
教师点评和总结：(共31张PPT)
第
1
课时
数与形
8
数学广角—数与形
R
六年级上册
这首诗的意思是：从不同的角度看庐山，庐山的模样各不相同。其实在数学学习中也是如
此，对待同一个问题，如果从不同的角度去观察、去思考，得出的结论、规律可能会不同。接下来
我们就一起来探秘数学中的规律吧。
课后作业
探索新知
课堂小结
当堂检测
（1）认识正方形数
（2）初步感受极限思想
1
课堂探究点
2
课时流程
1＋3＝（
）
4
1＋3
＋5＝（
）
9
1＋3＋5＋7＝（
）
16
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝（
）
100
计算出结果。
你发现了什么？
探究点
1
认识正方形数
（
）
1
1＝
1
＋3＝
（
）
2
1
＋3
＋5
＝
（
）
2
2
3
观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。
我发现，算式左边的加数是大正方形右上角的小正方形和其他“L”形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方。
2
观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。
我发现，从1开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。
1
＋3
＋5
＝
（
）
2
3
1
＋3＝
（
）
2
2
（
）
1
1＝
2
回头看
1
＝
（
）
1
1＋3
＝
4
（
2
）
1＋3
＋5
＝
9
（
3
）
1＋3
＋5
＋7
＝
（
）
4
1＋3
＋5
＋7
＋
9＝
（
）
1＋3
＋5
＋7
＋
9
＋11
＝
（
）
5
6
观察上面的算式，想一想，你能发现什么规律？
从1开始的几个连续奇数的和正好是几的平方。
教你一招
解决数形结合找规律的题目：首先要根据直观图形填出数，从而发现算式的规律，最后达到运用规律解决复杂问题的目的。
点击播放例题动画
解决这类问题可以通过数形结合的思想，通过构造与之相适应的图形，通过探究图形的规律率解决问题。
归纳总结：
1＋3＋5＋7＝（
）
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13
＝（
）
1.
你能利用规律直接写一写吗？
4
7
如果遇到困难,可以画图来帮助。
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17
＝9
2
2
2
小试牛刀
1＋3＋5＋7＋5＋3＋1
＝（
）
2.
请根据例1的结论算一算。
（选题源于教材P108做一做第1题）
可以看成两部分：1＋3＋5＋7＝42
5＋3＋1＝
32
42＋
32
＝25
25
点击播放习题动画
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（
）
85
2
2
原式＝7
＋6
＝85
2.
请根据例1的结论算一算。
点击播放习题动画
3.
下面每个图中最外圈有多少个小正方形？
（选题源于教材P109第1题）
照这样画下去，第5个图形最外圈有（
）个小正方形。
40
3
－1＝
8
2
5
－3
＝
16
2
2
7
－5
＝
24
2
2
11
－9
＝
40
2
2
点击播放习题动画
例2
2
1
1
16
4
1
8
1
1
32
1
64
...
在这列数中，你能发现什么规律？
从第二个数开始，每个数是前一个数
。
2
1
计算
＋
＋
＋
＋
＋
＋
算一算、猜一猜，结果可能是多少？然后借助线段图或圆形图来帮助思考，验证你的猜测是否正确
探究点
2
初步感受极限思想
1
1
2
1
1
4
1
8
1
32
＋
64
＋
＋
16
＋
＋
＋
……
你能发现什么规律？
我一个一个加下去看看，
答案好像有点规律。
1
2
＋
1
4
＝
3
4
3
4
＋
1
8
＝
7
8
＋
1
16
7
8
＝
15
16
1
32
＋
＝
31
32
15
16
…
加下去，等号右边的分数越来越接近于1。
计算。
线段图理解
2
1
1
16
4
1
8
1
1
32
1
64
...
计算
＋
＋
＋
＋
＋
＋
2
1
1
16
4
1
8
1
1
32
1
64
...
＋
＋
＋
＋
＋
＋
＝
1
有些问题通过画图，解决起来更直观、容易。
2
1
4
1
8
1
1
16
1
32
1
1
2
1
1
4
1
8
1
32
＋
64
＋
＋
16
＋
＋
＋
…
＝1
1
2
＋
1
4
＝
3
4
3
4
＋
1
8
＝
7
8
＋
1
16
7
8
＝
15
16
1
32
＋
＝
15
16
…
31
32
2
1
4
1
16
1
8
1
…
32
1
8
7
4
3
16
15
32
31
64
63
128
127
计算。
圆形图理解
点击播放例题动画
先在图形上表示出
，再表示出
，
，
等，并不断地累加下去，其结果越来越接近1。当这个过程无止境地持续下去时，相加之和为1，这种数学思考方式体现了极限思想。
1
2
1
4
1
8
1
16
如上图所示：
的和等于单位“1”减去最后一个小正方形的面积，
即
1－
=
。
除了借助线段图和圆形图进行理解，我们还可以用什么图形表示单位“1”呢？
用一个正方形表示单位“1”：
2
1
1
16
4
1
8
1
1
32
1
64
＋
＋
＋
＋
＋
1
64
63
64
解决较复杂的计算问题，通过画图可以帮助理解计算方法，使计算更直观、简单。
归纳总结：
小试牛刀
狗的速度是人的速度的2倍
1.
一条马路长200
m，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发。当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点。然后小狗返回与小亮相向而行，遇到小亮以后再跑向终点，到达终点以后再与小亮相向而行……直到小亮到达终点。小狗从出发开始，一共跑了多少米？
起点
终点
200×2＝400（米）
答：小狗从出发开始，一共跑了400米。
答：小刚一共下了2盘，分别和小林、小强。
小刚
小林
小强
小芳
小兵
2
4
3
1
2
2.
小林、小强、小芳、小兵和小刚5
人进行象棋
比赛，每2
人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小芳下了2
盘，小兵下了1
盘。请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？
用连线的方法试试。
点击播放习题动画
我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。你能发现右面“杨辉三角”图中各数之间的关系吗？你能按照发现的规律把这个三角形表继续写下去吗？试试看。
小试牛刀
答案略。
8
.你能利用右面的图发现
这一公式吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。
也可以写成
该图的面积可以写成
，
所以
。
，
1.
从1开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。
2.
有些计算问题或较为复杂的题目可以通过画图，把数字、算式转化成图形，使复杂的问题简单化、抽象的问题直观化，解决起来会更直观、更简单。
数与形：
1．画一画，填一填。
（1）按照规律画一画，如果这样画下去，第10个图形中有（
）个点。
（2）先观察下列图形的规律，再填空。
第6个图形一共由（
）个小三角形组成，第n个图形一共由（
）个小三角形组成。
100
1
1+3
1+3+5
1+3+(
)+(
)
5
7
36
n2
夯实基础
（3）我们可以从一角向外扩展来看找规律，再填空。
图（1）：1＝12
图（2）：1＋3＝4＝22
图（3）：1＋3＋5＝9＝32
图（4）：1＋3＋5＋7＝
(
)
＝
(
)
2
图（5）：
(
)
＋
(
)
＋
(
)
＋
(
)
＋
(
)
＝
(
)
＝
(
)
2
……
我会用：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝
(
)
2
92＝______________________________
4
16
3
1
25
9
7
5
5
7
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13
＋
15＋17
（4）看图找规律，再填空。
① 2＝1×2
② 2＋4＝____×____
③ 2＋4＋6＝____×____
④ 2＋4＋6＋8＝____×____
根据上面的规律写一写。
2＋4＋6＋8＋10＝____×____＝______
2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＝____×____＝______
4
3
3
2
4
5
5
6
30
8
9
72
2．想一想，填一填。
所以
3．用围棋子按下面的规律摆图形，第5个图形需要多少枚棋子？第10个图形呢？
5＋（5－1）×6
=29（枚）
5＋（10－1）×6
=59（枚）
易错辨析
辨析：在数围棋个数时，需要仔细认真。从第二个图形开始，每次边长都会比之前的增加1。
作
业
请完成教材第108页“做一做”
第2题，第109页练习二十二第2题、第3题、第5题。
