长方体、正方体体积的统一公式
教学内容：
苏教版义务教育教科书第18页例11、“练一练”、练习四第5~8题。
教学目标：
1．让学生经历长方体和正方体的统一体积计算公式的推导过程，进一步认识两种几何体的基本特征及它们之间的关系。
2．使学生会应用长方体、正方体体积的统一计算公式解决一些简单的实际问题。
3．让学生知道我国古代数学家在两千多年前就掌握了长方体体积的计算方法，增强学生的民族自豪感和勇超先贤的信心和决心。
教学重点与难点：
会应用长方体、正方体体积的统一计算公式解决一些简单的实际问题。
教具：课件
教学过程：
一、以史料引入新课
1．古代数学家求长方体体积的方法．
课件展示：西汉末年我国古代数学家编撰了一本不朽的传世名著《九章算术》．这本书共九章，其中一章叫商功章，它收集的都是一些有关体积计算的问题．书中是这样叙述有两个面是正方形的长方体体积的计算方法的：“方自乘，以高乘之即积尺．”就是说，先用边长乘边长得底面积，再乘高就得到长方体的体积．
2．提出探究性问题．
（1）看完这段叙述，你想到什么？
（2）这段文字中描述的长方体有什么特征？底面积指的是哪一个面的面积？
（3）古代数学家是怎样计算长方体体积的？它与我们今天掌握的计算方法相同吗？为什么？
（4）怎样将这个长方体变成一个最大的正方体？它的体积怎样计算？
二、推导长方体和正方体统一的体积公式
1．长方体体积的另一种计算方法
让每个学生先独立思考上面4个问题，然后讨论（或同桌或小组）最后全班讨论、交流、总结出长方体体积的另一种计算方法。
（1）第（1）个问题是开放的，学生的回答会是多角度的．如，有的会从数学本身的角度出发，想到长方体的体积计算方法；有的会感受到数学是一种悠久的文化；有的会感受到数学是有的会仰慕祖先的睿智，从而激发自己努力寻探数学宝库的信心等等。
（2）弄清“底面”、“底面积”的含义．
当学生知道图中长方体的特征之一是有两个相对的面是正方形后，让他们指出图中哪一个面是底面，说说这个底面积怎样求．学生回答后，课件将这个底面涂上颜色．并标上底面积的计算方法：
底面积＝长×宽＝边长×边长．
告诉学生，一个长方体的6个面中，任何一个面都可以做底面，不一定要以水平放置的面做底面．应根据问题中的需要来决定，哪一个面利于问题的解决，就确定那个面为底面．
（3）推出长方体体积的另一种计算方法．
提问：“你们掌握的长方体体积计算公式是什么？”学生回答后板书：长方体体积＝长×宽×高
再问：“古代数学家是怎样计算长方体体积的？”学生回答后在上面计算公式的下方对着写：长方体体积＝底面积×高．
引导学生对照两个公式，找出它们的异同点及之间的联系．让学生认识到古人和今人计算长方体体积的方法是一致的，两个公式可以写成如下形式：
长方体体积＝长×宽×高
↓
↓
＝底面积×高
2．推出正方体体积的另一种计算方法．
（1）课件展示学生讨论前面第（4）个探究性问题的答案：将长方体的高减少到和底面边长相等时，这个长方体就变成了一个最大的正方体．
（2）让学生说出这个正方体的底面（课件随即涂上颜色），然后推出这个正方体体积的另一种计算方法：
正方体体积＝棱长×棱长×棱长
↓
↓
＝
底面积
×
高
3．归纳出长方体和正方体统一的体积公式，并用字母表示出来．
教师指着长方体、正方体体积计算公式提问：“这两个公式能统一起来吗？”学生回答后，教师写上长方体、正方体体积计算的统一公式，并用字母表示出来．
长方体（或正方体）的体积＝底面积×高
V＝Sh
三、应用统一的体积计算公式解决实际问题
1．做书上“练一练”第1、2题。
学生独立作业，对正时用课件显示答案．提醒学生正确书写体积单位“立方厘米”。
2、做“练一练”第3题
哪个面是横截面？应先求什么？再求什么？
3、练习四第5题
课件展示：什么叫“横截面”？
用一个平行于底面的平面去截一个长方体，所得的截面叫横截面，这个横截面的形状大小与底面是相同的。
学生在理解了什么是“横截面”后，让其独立完成第5题。
4、练习四第7题
课件展示题意：一个长方形的操场──在上面铺上10厘米厚的三合土形成一个扁扁的长方体情境──再铺上4厘米厚的煤渣形成一个更薄一些的长方体的情境。
课件展示后让学生独立作业，集体订正。
四、全课总结
这节课我们学习了什么知识，你受到了那些启发？(共22张PPT)
长方体、正方体体积的统一公式
SJ
六年级上册
一
长方体和正方体
1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为?V=abh。
2.
正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为?V=a3。
长方体和正方体的体积都是三条边长的乘积，这是他们的共同之处，那么他们在计算的时候，还有其他相同的地方吗？
上节课我们了解了长方体和正方体体积的计算公式：
课后作业
探索新知
当堂检测
课堂小结
长方体和正方体统一的体积计算公式
1
课堂探究点
2
课时流程
底面
底面
11
怎样计算长方体和正方体的底面积？
长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。
探究点
长方体和正方体统一的体积计算公式
想一想，长方体和正方体体积还可以怎样计算？
长方体(或正方体)的体积=底面积×高
底面
底面
11
长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。
长方体的底面积=长×宽
正方体的底面积=棱长×棱长
如果用S表示底面积，上面的公式可以写成：V=Sh
11
底面
底面
长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。
长方体(或正方体)的体积=底面积×高
你能说说这个公式是怎样得到的吗？
20×16=320（m2）
320×10=3200（m3）
5×5=25（m2）
25×5=125（m3）
1.先计算长方体和正方体的底面积，再计算它们的体积。
小试牛刀
2.一个长方体的底面积是15平方厘米，高6厘米。求它的体积。
15×6=90（立方厘米）
答：它的体积是90立方厘米。
3.一根长方体木料，长3米，横截面是一个
边长0.3米的正方形。这根木料的横截面面
积是多少平方米？体积是多少立方米？
0.3×0.3=0.09（平方米）
0.09×3=0.27（立方米）
答：这根木料的横截面面积是0.09平方米，体积是0.27立方米。
1．填一填。
长方体的体积＝长×宽×高
(
)×高
正方体的体积＝棱长×棱长×(
)
(
)×( )
底面积
棱长
底面积
高
底面积
高
小试牛刀
2．计算下面长方体的体积。
底面积是8
dm2
横截面是0.36
m2
8×1.2＝9.6(dm3)
0.36×5＝1.8(m3)
3．细心填写。
(1)一个长方体蓄水池，占地15平方米，池深1.6米，池内最多能蓄水( )立方米。
(2)将90升水倒进一个长6分米，宽5分米的长方体鱼缸内，正好把鱼缸倒满，这个鱼缸高( )分米。
4．一个正方体钢坯的棱长为6米，把它锻造成横截面是边长为3分米的正方形的长方体钢材，钢材的长是多少米？
24
3
3分米＝0.3米
(6×6×6)÷(0.3×0.3)＝2400(米)
答：钢材的长是2400米。
1.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。
2.
体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh
归纳总结：
4.
夯实基础
5.幼儿园有一排长方体的储物柜，共占地0.84平方米，储物柜高0.75米。这排储物柜所占的空间是多少立方米？
0.84×0.75＝0.63(立方米)
答：这排储物柜所占的空间是0.63立方米。
6.一辆运煤车的车厢是长方体。从里边量，底面积是4.5平方米，装的煤高0.6米。如果每立方米煤重1.32吨，这两运煤车大约装煤多少吨？（得数保留一位小数）
4.5×0.6×1.32≈3.6(吨)
答：这两运煤车大约装煤3.6吨。
7.工人把10.5立方米黄沙铺在一个长6米、宽3.5米的长方体沙坑，可以铺多厚？（用方程解）
解：设可以铺x米厚。
6×3.5×x＝10.5
21×x＝10.5
x＝0.5
答：可以铺0.5米。
8.光明小学修筑一条长60米、宽12米的直跑道。先铺上0.3米厚的三合土，再铺上0.03米厚的塑胶。需要三合土、塑胶各多少立方米？
三合土：60×12×0.3＝216(立方米)
塑胶：60×12×0.03＝21.6(立方米)
答：需要三合土216立方米，需要塑胶21.6立方米。
5．一块长方体铁块，横截面是周长为20分米的正方形，长是8分米。它的体积是多少立方分米？如果每立方分米铁重7.8千克，这块长方体铁块重多少千克？
20÷4＝5(分米)
5×5×8＝200(立方分米)
200×7.8＝1560(千克)
答：它的体积是200立方分米，这块长方体铁块重1560千克。
易错辨析
辨析：不能准确根据条件找出横截面或长。根据横截面为正方形，周长为20分米，求出长方体的宽和高。
6．在横截面是0.18平方米的长方体下水管里，水流的速度是每秒2米。这个下水管1分钟能排水多少立方米？
1分钟＝60秒
0.18×2×60＝21.6(立方米)
答：这个下水管1分钟能排水21.6立方米。
辨析：不能准确根据条件找出横截面或长。横截面的面积已经给出，只需要知道长就能计算。长可以根据水流的速度和时间计算出来。
作
业
请完成“应用提升练”和“思
维拓展练”习题。
