2017-2018学年高二数学（人教B版）选修2-2学业分层测评：第1章 导数及其应用 1.1.1、1.1.2

学业分层测评
(建议用时：45分钟)[学业达标]
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为(　　)
A．3　
B．2
C．1
D．4【解析】　由已知得：＝3，
∴m＋1＝3，∴m＝2.
【答案】　B
2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)
A．－3
B．3
C．6
D．－6
【解析】　由平均速度和瞬时速度的关系可知，
v＝s′(1)＝
(－3Δt－6)＝－6.
【答案】　D
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则＝(　　)
A．4
B．4x
C．4＋2Δx
D．4＋2(Δx)2
【解析】　因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2×12－4)＝4Δx＋2(Δx)2，
所以＝＝4＋2Δx.
【答案】　C
4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)
A．f′(x)＝a
B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a
D．f′(x0)＝b
【解析】　∵f′(x0)＝
＝
＝
(a＋bΔx)＝a，
∴f′(x0)＝a.
【答案】　C
5．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且
＝1，则f′(x0)等于(　　)
A．1
B．－1
C．－
D.
【解析】　∵
＝[·(－3)]
＝－3f′(x0)＝1，
∴f′(x0)＝－.
【答案】　C
二、填空题
6．若f′(x0)＝1，则
＝__________.
【解析】　
＝－
＝－f′(x0)＝－.
【答案】　－
7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1 1 1所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________．
图1 1 1
【解析】　∵1＝＝kMA，
2＝＝kAB，
3＝＝kBC，
由图象可知：kMA2>1.
【答案】　3>2>1
8．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．
【解析】　物体的速度为v＝s′(t)，
∴s′(t)＝
＝
＝
＝2－6t.
即v＝2－6t，
所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2.
【答案】　2
三、解答题
9．已知某物体按照s(t)＝3t2＋t＋4(t的单位：s，s的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4
s附近的平均速度．
【解】　＝＝
＝
＝(25＋3Δt)m/s，
即该物体在4
s附近的平均速度为(25＋3Δt)m/s.
10．求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．
【解】　因为Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，故＝＝(2x＋a)＋Δx，
＝
(2x＋a＋Δx)＝2x＋a，所以y′＝2x＋a.
[能力提升]
1．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是(　　)
A．1
B．－1
C．±1
D．3
【解析】　∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x，
由f′(x0)＝3，得3x＝3，∴x0＝±1.
【答案】　C
2．如果函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，那么
＝(　　)
A.
B．1
C．2
D.
【解析】　因为f′(1)＝1，所以
＝1，
所以
＝
＝.
【答案】　A
3．已知f′(x0)>0，若a＝
，b＝
，c＝
，
d＝
，e＝
，
则a，b，c，d，e的大小关系为__________．
【解析】　a＝
＝f′(x0)，
b＝
＝－
＝－f′(x0)，
c＝
＝2
＝2f′(x0)，
d＝
＝f′(x0)，
e＝
＝f′(x0)．
即c>a＝d＝e>b.
【答案】　c>a＝d＝e>b
4．某一运动物体，在x(s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)＝x3＋x2＋2x.
(1)求在第1
s内的平均速度；
(2)求在1
s末的瞬时速度；(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14
m/s
【解】　(1)物体在第1
s内的平均变化率(即平均速度)为＝
m/s.
(2)＝
＝
＝6＋3Δx＋(Δx)2.
当Δx→0时，→6，
所以物体在1
s末的瞬时速度为6
m/s.
(3)＝＝
＝2x2＋2x＋2＋(Δx)2＋2x·Δx＋Δx.
当Δx→0时，→2x2＋2x＋2，
令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2，
即经过2
s该物体的运动速度达到14
m/s.