2017-2018学年高二数学（人教B版）选修2-2学业分层测评：第1章 导数及其应用 1.1.3

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝
(　　)
A．4　　　
B．－4　　　
C．－2　　　
D．2
【解析】　由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.
【答案】　D
2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则(　　)
A．f′(x0)>0　　　　　　
B．f′(x0)＝0
C．f′(x0)<0
D．f′(x0)不存在
【解析】　切线的斜率为k＝－2，
由导数的几何意义知f′(x0)＝－2<0，故选C.
【答案】　C
3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是(　　)
A．(1,1)
B．(－1,1)
C．(1,1)或(－1，－1)
D．(2,8)或(－2，－8)
【解析】　因为y＝x3，所以y′＝
＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.
当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.
故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)，故选C.
【答案】　C
4．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)
A．4x－y－4＝0
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
【解析】　设切点为(x0，y0)，
∵f′(x)＝
＝
(2x＋Δx)＝2x.
由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，
∴x0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.
【答案】　A
5．曲线y＝在点处的切线的斜率为(　　)
A．2
B．－4
C．3
D.
【解】　因为y′＝
＝
＝
＝－，
所以曲线在点处的切线斜率为
k＝－4，故选B.
【答案】　B
二、填空题
6．已知函数y＝f(x)的图象如图1 1 3所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．
图1 1 3
【解析】　由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．
【答案】　②
7．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1,6)处的切线方程是
__________.
【解析】　因为y＝x2－2x＋3，切点为点A(－1,6)，所以斜率k＝
＝
(Δx－4)＝－4，
所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.
【答案】　4x＋y－2＝0
8．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________．
【解析】　设P(x0，y0)，则
y′＝
＝
(2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.
因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，
所以点P处的切线的斜率为2，
所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0,0)．
【答案】　(0,0)
三、解答题
9．已知抛物线y＝f(x)＝x2＋3与直线y＝2x＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．
【解】　由方程组得x2－2x＋1＝0，
解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1,4)，又＝Δx＋2.
当Δx趋于0时，Δx＋2趋于2，所以在点(1,4)处的切线斜率k＝2，
所以切线方程为y－4＝2(x－1)，
即y＝2x＋2.
10．试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．
【解】　y′＝
＝
＝2x.
设所求切线的切点为A(x0，y0)．
∵点A在曲线y＝x2上，
∴y0＝x，
又∵A是切点，
∴过点A的切线的斜率k＝2x0，
∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，
∴其斜率为＝.
∴2x0＝，
解得x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．
当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.
[能力提升]
1．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于
(　　)
A．2
B．－1C．1
D．－2【解析】　依导数定义可求得，y′＝3x2＋a，则由此解得所以2a＋b＝1，选C.
【答案】　C
2．设f(x)为可导函数，且满足
＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)
A．2
B．－1
C．1
D．－2【解析】　∵
＝
＝－1，
∴
＝－2，即f′(1)＝－2.
由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2，故选D.
【答案】　D
3．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a的值为________．
【解析】　设切点为P(x0，y0)．
则f′(x0)＝
＝
＝
(2ax0＋aΔx)＝2ax0，即2ax0＝1.
又y0＝ax，x0－y0－1＝0，
联立以上三式，得
解得a＝.
【答案】　
4．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，求a，b的值．
【解】　因为f′(x)＝
＝
＝2ax，
所以f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
因为g′(x)＝
＝
＝3x2＋b，
所以g′(1)＝3＋b，即切线的斜率k2＝3＋b.
因为在交点(1，c)处有公切线，
所以2a＝3＋b.①
又因为c＝a＋1，c＝1＋b，
所以a＋1＝1＋b，即a＝b，
代入①式，得