2017-2018学年高中数学（苏教版）选修2-2学业分层测评：3常见函数的导数

学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知f(x)＝x2，则f′(－2)＝________.
【解析】　f′(x)＝2x，∴f′(－2)＝2×(－2)＝－4.
【答案】　－4
2．若函数f(x)＝，则f′(8)＝________.
【解析】　f′(x)＝(x)′＝x－，则f′(8)＝×(23)－＝×2－2＝.
【答案】　
3．已知f(x)＝xz(z为常数)，若f′(－1)＝－4，则z的值是________．
【解析】　f′(x)＝zxz－1，由f′(－1)＝－4，得z·(－1)z－1＝－4，所以z＝4.
【答案】　4
4．点P在曲线y＝上，曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P的坐标为________．
【解析】　y′＝(4x－2)′＝－8x－3，设点P(x0，y0)，依题意得
－8x＝tan
135°＝－1，∴x0＝2.
又P(x0，y0)在曲线y＝上，∴y0＝1.
【答案】　(2,1)
5．曲线y＝x2的平行于直线x－y＋1＝0的切线方程为________．
【解析】　∵y′＝x，设切点坐标为，
∴x0＝1，则y0＝，切点为，切线的斜率为1，
∴切线方程为：y－＝x－1，即x－y－＝0.
【答案】　x－y－＝0
6．已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝，则m＝________.
【解析】　∵f′(x)＝－，∴f′(2)＝－，
又g′(x)＝m，∴g′(2)＝m，
由g′(2)＝，∴m＝－4.
【答案】　－4
7．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N
，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
【解析】　由y＝x2(x>0)得，y′＝2x，
∴函数y＝x2(x>0)在点(ak，a)处的切线方程为：
y－a＝2ak(x－ak)，
令y＝0，得x＝，即ak＋1＝，
∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.
【答案】　21
8．已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.
【解析】　依题意知，f(1)＝×1＋2＝，
f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
【答案】　3
二、解答题
9．求下列函数的导数
(1)y＝；(2)y＝sin；
(3)y＝2sin
cos
；(4)y＝logx2－logx.
【解】　(1)y′＝()′＝(x)′＝x＝x.
(2)∵y＝sin
＝cos
x，
∴y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
(3)∵y＝2sin
cos
＝sin
x，
∴y′＝(sin
x)′＝cos
x.
(4)∵y＝logx2－logx＝logx，
∴y′＝(logx)′＝＝－.
10．求证：双曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．
【证明】　由xy＝1，得y＝，从而y′＝－.
在双曲线xy＝1上任取一点P，
则在点P处的切线斜率k＝－.
切线方程为y－＝－(x－x0)，
即y＝－x＋.
设该切线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，
则A(2x0,0)，B，
故S△OAB＝|OA|·|OB|＝|2x0|·＝2.
所以双曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．
[能力提升]1．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln
x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
【解析】　f′(x)＝2x，g′(x)＝，由f′(x)－g′(x)＝1，得2x－＝1，解之得x1＝－，x2＝1.∵x>0，∴x＝1.
【答案】　1
2．设f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2
016(x)＝________.【解析】　由题意f1(x)＝cos
x，f2(x)＝－sin
x，f3(x)＝－cos
x，f4(x)＝sin
x，f5(x)＝cos
x，…，则可知周期为4.从而f2
016(x)＝f4(x)＝sin
x.
【答案】　sin
x
3．设曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg
xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
【解析】　∵y′＝(n＋1)xn，∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，则xn＝.故an＝lg＝lg
n－lg
(n＋1)．所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg
1－lg
2)＋(lg
2－lg
3)＋…＋(lg
98－lg
99)＋(lg
99－lg
100)＝lg
1－lg
100＝－2.
【答案】　－2
4．已知曲线C：y＝x2－2x＋3，直线l：x－y－4＝0，在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最短，并求出最短距离．
【解】　设与直线l：x－y－4＝0平行，且与曲线C：y＝x2－2x＋3相切的直线为x－y＋k＝0
设P(x0，y0)，y′＝2x－2
∴2x0－2＝1，解得x0＝
y0＝2－2×＋3＝，∴P
∴k＝－＝
∴d＝＝
综上所述，点P为，最短距离为d＝.