2017九年级数学上册全一册教案（打包76套）（新版）湘教版

2.5
一元二次方程的应用
第2课时
图形面积问题
教学目标：
１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；
２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。
教学过程：
情境问题
问题1、一根长22cm的铁丝。
（1）能否围成面积是30cm2的矩形？
（2）能否围成面积是32
cm2的矩形？并说明理由。
分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，那么矩形的宽是__________。
根据相等关系：
矩形的长×矩形的宽=矩形的面积，
可以列出方程求解。
解：
问题2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）。那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2
解：
问题3．如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
（1）小岛D和小岛F相距多少海里
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里 （结果精确到0.1海里）
分析：（1）因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长．
（2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．
解：（1）连结DF，则DF⊥BC
∵AB⊥BC，AB=BC=200海里．
∴AC=AB=200海里，∠C=45°
∴CD=AC=100海里
DF=CF，DF=CD
∴DF=CF=CD=×100=100（海里）
所以，小岛D和小岛F相距100海里．
（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里，
EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
x2=1002+（300-2x）2
整理，得3x2-1200x+100000=0
解这个方程，得：x1=200-≈118.4
x2=200+（不合题意，舍去）
所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里．
二、练一练
1、用长为100
cm的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是600
cm2？能制成面积是800
cm2的矩形框子吗？
解：
2、如图，在矩形ABCD中，AB=6
cm，BC=12
cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，几秒后△PBQ的面积等于8
cm2？
解：
三、课后自测：
1、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
2、如图，在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，问点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？
3、如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置O点的正北方向10海里外的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/时的速度追赶。在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问需要几小时才能追上（点B为追上时的位置）？
4、如图，把长AD=10cm，宽AB=8cm的矩形沿着AE对折，使D点落在BC边的F点上，求DE的长。
5、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。
（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？
（2）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。5.1
总体平均数与方差的估计
教学目标：
理解总体与样本的关系，认识并体会统计估计的意义，实施办法及在实际问题中的应用。
理解用样本平均数、方差推断总体平均数与方差。
重点、难点
体会统计思想，并会用样本平均数和方差估计总体平均数和方差。
教学过程：
旧知回顾：
在调查研究过程中，总体是
，个体是
，样本是
，样本容量是
平均数的计算公式是
方差的计算公式是
二情景导入：
阅读教材P140-144
完成下列练习。
1.某班第一小组6名女生在测仰卧起坐时，记录下她们的成绩（单位：个/分）：45，48，46，50，50，49．这组数据的平均数是（　　）
A．49
B．48
C．47
D．46
2（2014 贵港中考）一组数据1，3，0，4的方差是_____．
3.下列各组数据中，方差最小的是（　　）
　
A．
1，2，3，4，5
B．
2，3，4，5，6
C．
2，4，6，8，10
D．
3，3，1，3.14，π，
4.（2014 自贡中考）一组数据，6、4、a、3、2的平均数是5，这组数据的方差为（　　）
A．8
B．5
C．2
D．3
巩固练习:
1.（2014 乐山中考）如表是10支不同型号签字笔的相关信息，则这10支签字笔的平均价格是（　　）
型号
A
B
C
价格（元/支）
1
1.5
2
数量（支）
3
2
5
A．1.4元B．1.5元C．1.6元
D．1.7元
2.（2014 盘锦中考）某公司欲招聘职员若干名，公司对候选人进行了面试和笔试（满分均为100分），规定面试成绩占20%，笔试成绩占80%．一候选人面试成绩和笔试成绩分别为80分和95分，该候选人的最终得分是_____
分．
3.（2014 台湾）已知甲校有a人，其中男生占60%；乙校有b人，其中男生占50%．今将甲、乙两校合并后，小清认为：「因为=55%，所以合并后的男生占总人数的55%．」如果是你，你会怎么列式求出合并后男生在总人数中占的百分比？你认为小清的答案在任何情况都对吗？请指出你认为小清的答案会对的情况．请依据你的列式检验你指出的情况下小清的答案会对的理由．
4.（2014 佛山中考）甲、乙两组数据（单位：厘米）如下表
甲组
173
172
174
174
173
173
172
173
172
174
乙组
173
172
174
171
173
175
175
173
171
173
（1）根据以上数据填表
众数（单位：厘米）
平均数（单位：厘米）
方差（单位：厘米2）
甲组



乙组



（2）那一组数据比较稳定？
四、归纳小结
本节课你有什么收获？还有什么问题？
五、达标检测
1.
为了让人们感受丢塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下（单位：个）33，25，28，26，25，31．如果该班有45名学生，那么根据提供的数据，估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量约（　　）
A．900个
B．1080个
C．1260个
D．1800个
2.
某食品店购进2000箱苹果，从中任选10箱，称得重量分别为（单位：千克）：
16，16.5，14.5，13.5，15，16.5，15.5，14，14，14.5
若每千克苹果售价为2.8元，则利用样本平均数估计这批苹果的销售额是元________．
3．从总体中抽取一个样本，计算出样本方差为2，可以估计总体方差（　　）
A．一定大于2
B．约等于2
C．一定等于2
D．与样本方差无关
4．（2014 上海中考）甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图，那么三人中成绩最稳定的是第3课时　用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
1．利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．(重点)
2．能熟练灵活地运用配方法解一元二次方程．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？
二、合作探究
探究点一：利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
用配方法解方程：－x2＋x－＝0.
解：方程两边同除以－，得x2－5x＋＝0.
移项，得x2－5x＝－.
配方，得x2－5x＋()2＝－＋()2，
即(x－)2＝.
所以x－＝或x－＝－.
所以x1＝，x2＝.
易错提醒：用配方法解一元二次方程时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常数项：(2)忘记将二次项系数化为1；(3)在二次项系数化为1时，常数项忘记除以二次项系数；(4)配方时，只在一边加上一次项系数一半的平方．
探究点二：配方法的应用
【类型一】
利用配方法求代数式的值
已知a2－3a＋b2－＋＝0，求a－4的值．
解：原等式可以写成：(a－)2＋(b－)2＝0.
∴a－＝0，b－＝0，解得：a＝，b＝.
∴a－4＝－4×＝－.
方法总结：这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．
【类型二】
利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与0的关系
请用配方法说明：不论x取何值，代数式x2－5x＋7的值恒为正．
解：∵x2－5x＋7＝x2－5x＋()2＋7－()2
＝(x－)2＋，而(x－)2≥0，
∴(x－)2＋≥.
∴代数式x2－5x＋7的值恒为正．
方法总结：对于代数式是一个关于x的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方式是一个非负数，从而就可以求出原代数式的最值．
三、板书设计
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：
(1)把原方程化为一般形式；
(2)二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；
(3)移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项；
(4)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；
(5)用直接开平方法解方程．
通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，发现解二次项系数不是1的一元二次方程的方法，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识．培养学生发现问题的能力，通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯．1．1　反比例函数
1．了解反比例函数的基本概念及确定反比例函数自变量的范围．
2．学会根据实际情况确定反比例函数自变量的取值范围．(重点，难点)
3．学会利用反比例函数的基本形式建立简单的数学模型．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
你吃过拉面吗？有人能拉到细如发丝，同时还能做到丝丝分明．实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识．
一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与面条的粗细之间有什么关系呢？
二、合作探究
探究点一：反比例函数的相关概念
【类型一】反比例函数的识别及比例系数
下列函数中，哪些一定是反比例函数，若是，写出其比例系数．
①y＝3x；②y＝(m为常数)；③y＝；④y＝－；⑤y＝－4x－1；⑥xy＝2.
解析：②中m2＋1≠0，故y＝是反比例函数；④中y＝－是反比例函数；⑤中y＝－4x－1＝－是反比例函数；⑥中xy＝2可变形为y＝，也满足定义．所以②④⑤⑥是反比例函数．①为正比例函数，③中y与x－2成反比例，但y不是x的反比例函数．求比例系数先将其化为y＝的形式，k即为比例系数．
解：一定是反比例函数的有：②④⑤⑥；②y＝(m为常数)的比例系数为m2＋1，④y＝－的比例系数为－6，⑤y＝－4x－1的比例系数是－4，⑥xy＝2的比例系数为2.
方法总结：(1)辨别一个函数是否为反比例函数，必须具备y＝(k为常数，k≠0)的形式，且比例系数不为0；(2)反比例函数可写成如下三种形式：①y＝，②xy＝k，③y＝kx－1，但要注意三种形式中都有k≠0.
【类型二】根据反比例函数的概念求字母系数的值
若函数y＝(m＋1)xm2－2是反比例函数，求m的值．
解：由反比例函数的定义可知，解得m＝1.
方法总结：反比例函数的基本形式y＝kx－1(k≠0，k为常数)，解题时k的取值不为0及x项的次数为－1，两个条件缺一不可．
探究点二：反比例函数自变量的取值范围及函数值
已知反比例函数y＝－.
(1)写出这个函数自变量的取值范围；
(2)求当x＝－时函数的值；
(3)求当y＝2时自变量x的值．
解析：(1)中反比例函数的自变量x位于分母的位置，其取值范围为x≠0，(2)(3)中求函数和自变量的值，分别把已知量代入y＝－中即可求出结果．
解：(1)x≠0；
(2)把x＝－代入y＝－得，y＝－＝1.即当x＝－时，函数的值为1；
(3)当y＝2时，－＝2，解得x＝－.即当y＝2时，自变量x的值为－.
方法总结：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但在实际问题中，应该根据具体情况来确定(如例4)．
探究点三：建立简单的反比例函数模型
如图所示，某学校广场有一段25米长的旧围栏(图中用线段AB表示)．现打算利用该围栏的一部分(或全部)为一边建成一块面积为100米2的矩形草坪(图中的矩形CDEF，CD(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若利用旧围栏12米，整修旧围栏的价格为1.75元/米，建新围栏的价格为4.5元/米，则计划修建费用应为多少元？
解析：可先利用面积把长与宽表示出来，再写出y与x之间的关系，再利用x＝12求出y的值．
解：(1)∵S矩形CDEF＝CD·CF＝xy＝100，∴y＝(10(2)由(1)知，当x＝12时，y＝.计划修建费用为：1.75x＋4.5(x＋)＝6.25x＋＝6.25×12＋＝150(元)．即计划修建费用应为150元．
方法总结：解此类题型，首先要理解题意，然后根据已知条件选择合适的数学模型，最后根据实际情况确定自变量的取值范围．
三、板书设计
.
教学过程中，注重引导学生就生活实例展开联想，直观地感受数学的魅力所在．在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识．并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力．4.1
正弦和余弦
第2课时
特殊角的正弦、用计算器求锐角的正弦
教学目标
【知识与技能】
1.使学生理解锐角正弦的定义.
2.会求直三角形中锐角的正弦值.
3.会用计算器计算任意一个锐角的正弦值.
【过程与方法】
使学生经历探索正弦定义的过程.逐步培养学生观察、比较、分析、归纳的能力.
【情感态度】
通过探索、发现,培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
【教学重点】
根据定义求锐角的正弦值.
【教学难点】
探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程.
教学过程
一、情景导入，初步认知
1.下图是上海东方明珠电视塔的远景图，你能想办法求出旗杆的高度吗？
2.学习了本章内容你就能简捷地解决这类问题，本章将介绍锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”.
【教学说明】通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望，有利于引导学生进行数学思考.
二、思考探究，获取新知
1.画一个直角三角形，其中一个锐角为65°,量出65°角的对边长度和斜边长度，计算：
65°角的对边/斜边=_______=_______.
（1）与同桌和邻桌的同学交流，看看你们计算出的比值是否相等.
（2）根据计算的结果，你能得到什么结论？
（3）这个结论是正确的吗？
（4）若把65°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？
2.如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α、∠C=∠F=90°,则BC/AB=EF/DE成立吗？请说出你的证明过程.
通过我们的证明，这就说明，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
【归纳结论】在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦.记作sinα.
3.计算sin30°、sin45°、sin60°的值.
【教学说明】引导学生利用“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”和“勾股定理”进行计算.
【归纳结论】sin30°=1/2；sin45°=/2；sin60°=/2.
4.我们已经知道了三个特殊角（30°、45°、60°）的正弦值，而对于一般锐角α的正弦值，我们应该如何来计算呢？
5.利用计算器计算sin50°的值.
在计算器上依次按键sin
5
0，则屏幕上显示的就是sin50°的值，
6.如果已知正弦值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数.
例如：已知sinα=0.7071，求α的度数.我们可以依次按键2ndF
sin
0
.
7
0
7
1，则屏幕上显示的就是α的度数.
【教学说明】学生先了解计算器各按键的功能，为利用计算器正确求锐角三角函数值打下基础.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P110例1、P113例2.
2.在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于()
A.6
B.2
C.3
D．26
【答案】
A
3.计算sin36°=_____.
(保留四个有效数字)．
【答案】
0.5878
4.若sinA=0.1234sinB=0.2135,则A_____B（填＜、＞、＝）
解析：根据sin30°=1/2,sin45°=/2,sin60°=/2，我们可以发现锐角的度数越大，正弦值越大.
【答案】
＜
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
(1)求∠A的正弦sinA.
(2)求∠B的正弦sinB.
分析：先利用勾股定理算出AB的长，再利用正弦的计算方法进行计算.
解：(1)
∠A的对边BC=3，斜边AB=5
，
于是sinA=
3/5.
(2)∠B的对边是AC，
因此sinB=
AC/AB=4/5.
6.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A的正弦值（）
A.不变化
B.扩大3倍
C.缩小1/3
D.缩小3倍
分析：因为各边值都扩大3倍，所以锐角A的对边与斜边的比值不变.
【答案】
A
7.已知：在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=2，求BC的长．
分析：作△ABC的一条高，把原三角形转化成直角三角形，并注意保留原三角形中的特殊角．
8.求sin63°52′41″的值.（精确到0.0001）
解：先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
所以sin63°52′41″≈0.8979.
【教学说明】收集学生在课堂上学习的时候出现的易错点和难点，引导学生查找、
分析原因，并且有针对性补充练习，促进提高，由基础慢慢进入到提高，照顾每个层次的学生的能力，提高学生学习数学的积极性和主动性.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题4.1”中第3、4
题.
教学反思
本节课重难点就是对比值的理解，可以从以下几方面着手研究：（1）讨论角的任意性（从特殊到一般），（2）运用相似三角形性质，让学生领悟到：在直角三角形中，对于固定角，无论直角三角形大小怎么样改变，都影响不到其对边与斜边的比值.2.1
一元二次方程
【教学目标】
知识与技能：探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识
过程与方法：在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系
情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
【教学重难点】
重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．
难点：根的作用的理解．
【教学过程】
一、情境引入
问题1
如图，有一块矩形铁皮，长100
cm，宽50
cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3
600
cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
　　　　　　　　　　
学生通过分析设出合适的未知数，列出方程．问题1考虑从不同角度列方程，角度一：等量关系是底面的长×宽等于底面积，设切去的正方形的边长是x
cm，则有方程(100－2x)(50－2x)＝3
600；角度二：等量关系是底面积等于大长方形的面积减去四个小正方形的面积，再减去四个长方形的面积，同样设正方形的长是x
cm，则有方程通过整理得到方程．
问题2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？
分析：全部比赛共28场，若设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场，于是得到方程，经过整理得到方程．
教师应注意：（1）学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚；（2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题．
说明：由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．
二、探索新知
观察下列得到的方程：
（1）；
（2）；
（3）＝28．
学生活动：请口答下面问题．
（1）上面几个方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
结论：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．
归纳定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a≠0）．
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
思考：为什么规定a≠0
强调：一元二次方程定义中的三个条件：（1）是整式方程，（2）含有一个未知数，（3）未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可
说明：主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．
三、新知应用
例：将方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．
解：去括号得
，
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
．
其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．
学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．
教师活动：在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．
说明：进一步巩固一元二次方程的基本概念．
例　猜测方程的解是什么？
学生活动：学生可以采取多种方法得到方程的解，比如可以用尝试的方法取x＝1、2、3、4、5等，发现x＝8时等号成立，于是x＝8是方程的一个解，如此等等．
教师活动：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结：
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作一元二次方程的根）．
四、反馈练习
课本P28　
补充习题：将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
五、课堂小结
1.一元二次方程的概念.
一元二次方程的定义要求的三个条件。要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围
2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念
3.一元二次方程根的概念以及作用4.4
探索三角形相似的条件
第1课时
利用两角判定三角形相似
教学目的：
1.使学生理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件．
2.使学生掌握相似三角形判定定理1．
3.使学生初步掌握相似三角形的判定定理1的应用．
重点：准确找出相似三角形的对应边和对应角度．
难点：掌握相似三角形判定定理1及其应用．
教学过程：
一、讨论相似三角形的定义
请同学们都拿出文具盒中的三角板，观察它们之间的关系，再与教师手中的木制三角板比较，观察这些三角形的关系，这是有全等的关系也有相似的关系．从全等与相似的类比，不难得到相似三角形的定义．
二、
给出定义
从∠A=∠A,∠B=∠B,∠C=∠C,AB:A’B’=BC:B’C’=AC:A’C’
可知△ABC∽△A’B’C’.
板书定义．叫学生写在笔记本上．
三、合作学习：
合探1
同学们观察我们的直角三角尺，直观上看它们是什么关系？到底需要满足几个条件两个三角形能够相相似？
合探2
与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A′B′C′,使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β，此时，∠C与∠C′相等吗？三边的比相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试.
四、导入定理
判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
这个定理的出现为判定两三角形相似增加了一条新的途径．
例：如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC,AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长。
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).
∴=.
∴BC=
=
=14.
五、学生练习：
1.
讨论随堂练习第1题
有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似？为什么？
2.自己独立完成随堂练习第2题
六、小结
本节主要学习了相似三角形的定义及相似三角形的判定定理1，一定要掌握好这个定理．
七、作业：
板书设计：第3课时　余弦
1.理解并掌握锐角余弦的定义并能够进行相关运算.（重点，难点）
2.学会利用计算器求锐角的余弦值或根据余弦值求锐角.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
通过前几个课时的学习，我们知道在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是一个常数.（图△ABC是直角三角形）
那么，它的邻边与斜边的比值是否也是一个常数呢？
二、合作探究
探究点一：锐角余弦的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝7，则cosA＝　　　　Ｗ.
解析：由题可知，在Rt△ABC中，cosA＝＝，故填.
　　方法总结：正确理解锐角的余弦的概念，在实际解题的过程中要注意确定斜边和邻边，可以借助简单的图形帮助解题.
探究点二：特殊角的余弦值
计算：2cos45°＋sin60°－.
解析：cos45°＝，sin60°＝，代入求解.
解：原式＝2×＋－＝.
　　方法总结：0°，30°，45°，60°，90°等特殊角的三角函数值要牢记，有助于我们解题.
探究点三：互余两角的正弦与余弦的关系
已知∠α＋∠β＝90°，若sinα＝0.4321，则cosβ＝　　　　Ｗ.
解析：∵∠α＋∠β＝90°，∴由正余弦的关系得sinα＝cosβ，∴cosβ＝0.4321，故填0.4321.
　　方法总结：对于任意锐角α，有sinα＝cos（90°－α），根据公式，我们能快速求解.
探究点四：用计算器求锐角的余弦值或根据余弦值求锐角
【类型一】用计算器求锐角的余弦值
用计算器求cos44°的结果（精确到0.01）约是（　　）
A.0.90
B.0.72
C.0.69
D.0.719
解析：按键，再依次按，则屏幕上显示结果为0.7193398.故选B.
　　方法总结：在使用计算器求锐角的三角函数值时，要注意按键顺序.
【类型二】用计算器根据余弦值求锐角
若cosα＝0.5273，则锐角α≈　　　　Ｗ.（精确到0.1°）
解析：按键顺序为，屏幕显示结果为58.17679243.故填58.2°.
三、板书设计
本次教学是对前面课时内容的进一步扩充，知识点存在一定的相似性，情景导入环节可以借助类比的方式，让学生自己发现两者之间的联系.本课时还需要对现阶段的知识进行梳理和总结，及时了解学生的学习情况，帮助学生夯实基础.1．3　反比例函数的应用
1．学会利用反比例函数解决简单几何问题．(重点，难点)
2．利用反比例函数构建数学模型解决实际问题．(重点，难点)
一、情境导入
小明和小华相约早晨一起骑自行车从A镇出发前往相距20km的B镇游玩，在返回时，小明依旧以原来的速度骑自行车，小华则乘坐公交车返回A镇．
假设两人经过的路程一样，而且自行车和公交车是速度保持不变，且自行车速度小于公交车速度．你能找出两人来回时间与所乘交通工具速度间的关系吗？
二、合作探究
探究点一：反比例函数与简单的数学问题相结合
三角形面积为6，它的底边a与这条边上的高h的函数关系式是____________．
解析：由三角形面积公式得6＝ah，∴h＝，又a>0，故填h＝(a>0)．
方法总结：数学中一些常见问题可以利用反比例函数进行求解，在构建基本的数学模型时，不要忽略反比例函数的基本性质．
探究点二：反比例函数在实际生活中的应用
某村的粮食总产量为a(a为常数)吨，该村的人均粮食产量为y吨，人口数为x，则y与x之间的函数关系式的大致图象应为(　　)
解析：由题可知，a＝x·y，∴y＝(a为常数)是反比例函数．∵a>0，x>0，y>0，∴图象位于第一象限，故选C.
方法总结：将生活中的问题转化成为数学问题，利用所学知识构建数学模型．本题考查的是反比例函数的图象的性质，在解题时要准确理解题意，选择正确的数学模型．
探究点三：反比例函数在物理问题中的应用
一人站在平放在湿地上的木板上，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力为600N，回答下列问题：
(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
(3)如果要求压强不超过6000Pa，那么木板面积至少要多大？
(4)画出相应的函数图象．
解析：根据两个变量之间的关系确定两个变量之间的函数解析式，首先要判断它属于哪一类函数，然后根据实际意义解题，并注意自变量的取值范围，进而画出正确的函数图象．
解：随着木板面积S(m2)变小(或大)，压强p(Pa)将变大(或小)．
(1)p＝，所以p是S的反比例函数，符合反比例函数的定义．
(2)p＝＝3000(Pa)，所以当面积为0.2m2时，压强是3000Pa.
(3)若压强p＝≤6000，解得S≥0.1，故木板面积至少为0.1m2.
(4)函数图象如图所示．
方法总结：反比例函数应用的常用解题思路是：(1)根据题意确定反比例函数解析式；(2)由反比例解析式及题中条件去解决实际问题．
三、板书设计
教学过程中，将实际问题和数学问题相结合，引导学生根据所学自主构建数学模型，直观地感受数学的魅力所在．在引导学生建立新的数学模型解决实际问题的同时，开拓思维，培养创新意识，提升学生解题技能．4.4
解直角三角形的应用
第2课时
坡度、坡比问题
一．教学三维目标
(一)知识目标明
巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
(三)德育目标
培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：能熟练运用有关三角函数知识．
2．难点：解决实际问题．
3．疑点：株距指相邻两树间的水平距离，学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误．
三、教学过程
1．探究活动一
引入概念——
水平面的夹角α叫做____，显然，tanα=___。利用这个知识我们可以解直角三角形来解决一些实际问题。
教师出示投影片，出示例题．
例1
如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．
．
如图，我们通常把坡面的垂直高度h与水平宽度l的比___叫做坡面的___（或___），坡面与
2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．
3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．
2．探究活动二
例2
.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i=1：5，则AC的长度是___
cm．
练习P95
练习1，2。
(三)小结与扩展
教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
四、布置作业1．2　反比例函数的图象与性质
第1课时　反比例函数y＝(k>0)的图象与性质
1．了解反比例函数图象绘制的一般步骤并学会绘制简单的反比例函数图象．
2．了解并学会应用反比例函数y＝(k>0)图象的基本性质．(重点，难点)
一、情境导入
已知某面粉厂加工出4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市．
所需要的时间t(天)和每天运出的面粉总重量m(吨)之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中形象地画出这个图形吗？
二、合作探究
探究点一：作反比例函数y＝(k>0)图象的步骤
画出反比例函数y＝的图象．
解析：画出函数的图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x≠0.
解：列表如下：
x
－8
－4
－2
－1
1
2
4
8
y＝
－1
－2
－4
－8
8
4
2
1
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得y＝的图象．如图：
方法总结：绘制反比例函数的图象与绘制一次函数的图象的步骤基本一致，不同之处在于反比例函数图象为曲线，连线时应该尽量保证线条自然．
探究点二：反比例函数y＝(k>0)的图象与性质
【类型一】反比例函数y＝(k>0)图象上的点
已知函数y＝的图象经过点(6，1)，则下列各点在该函数图象上的是(　　)
A．(－2，3)
B．(－1，－6)
C．(1，－6)
D．(2，－6)
解析：把(6，1)代入y＝，k＝1×6＝6.即y＝.∵(－2)×3＝－6，(－1)×(－6)＝6，1×(－6)＝－6，2×(－6)＝－12，∴(－1，
－6)符合y＝，故选B.
方法总结：根据题意可求得函数解析式，将各项中点的坐标代入即可得正确选项．
【类型二】反比例函数y＝(k>0)图象的增减性
已知反比例函数y＝的图象过点(－2，－3)，函数图象上有两点A(2，y1)，B(5，y2)，则y1与y2的大小关系为(　　)
A．y1>y2
B．y1＝y2
C．y1D．无法确定
解析：由题设可知反比例函数的解析式为y＝，根据其图象性质可知点A，B均位于第一象限内的函数图象上，∵xA>xB，∴y1方法总结：解此类题型时，先要由k的符号判断函数的增减性，再确定是不是在同一个分支上，再根据情况解题．
三、板书设计
本次教学过程中，引导学生动手绘制函数图象，切实感受函数图象的基本特性，在加深学生理解的同时提升学生动手解决问题的能力．在自主探究和合作交流过程中，学生能力得到有效提升，并为下一课时的学习打下良好的基础．第2课时　相似三角形的判定定理1
1.理解并掌握相似三角形的判定定理1.（重点，难点）
2.运用相似三角形的判定定理1解决简单数学问题.（重点，难点）
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
观察下列几组图形，探究其中规律.
试着判断这几组图形是否相似，并探究其中规律.
二、合作探究
探究点一：相似三角形的判定定理1
如图所示，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是（　　）
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：由相似三角形的判定定理1可得△ADE∽△ACB，即可得＝，故选C.
　　方法总结：在解此题时一定要明确对应关系，由于△ADE∽△ACB，所以AE对应AB，AD对应AC，ED对应BC.
探究点二：相似三角形的判定定理1的应用
【类型一】利用相似三角形的判定定理1求值
如图所示，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，点B，D，C分别为垂足，点C是线段BD的中点，若ED＝1，BD＝4，则AB＝　　　　Ｗ.
解析：由题设可证△ABC∽△CDE，∴＝，又∵ED＝1，BD＝4，C为BD的中点，∴AB＝＝＝4.故填4.
　　方法总结：根据三角形内角和可判定∠ACB＝∠CED，再结合相似三角形判定定理1得出△ABC与△CDE的相似关系，从而求解.
【类型二】利用相似三角形的判定定理1证明相似
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.
解析：已知∠B是公共角，判定两三角形相似，再找一组角相等即可，由题易证AD⊥BC，有∠ADB＝∠CEB＝90°，即可得证.
证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.
　　方法总结：解此类题型时首先要根据题设寻求两三角形相似的条件，再证明两三角形相似，并根据相似获得题目要求的数量关系.
三、板书设计
教学过程中，注重引导学生自主探究并且验证相关定理，在实际学习的过程中反复验证定理的准确性，进而加深学生对定理的理解和记忆，巩固基础知识.为进一步学习打下坚实基础.3.4　相似三角形的判定与性质
3.4.1　相似三角形的判定
第1课时　利用平行判定三角形相似
1.理解并掌握判定三角形相似的预备定理.（重点）
2.运用判定三角形相似的预备定理解决简单问题.（重点，难点）
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
观察下列一组图形，观察其中的规律，图①中l1∥l2∥l3，图②中l1，l2，l3不存在平行关系.
　　　　　　　图①　　　　　　　　图②
试着判断△AB1C1，△AB2C2，△AB3C3之间是否相似，并探究其中规律.
二、合作探究
探究点一：判定三角形相似的预备定理
如图所示，DE∥FG∥BC，图中相似三角形共有（　　）
A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
解析：△ADE∽△AFG，△ADE∽△ABC，△AFG∽△ABC，故选B.
　　方法总结：本题考查判定三角形相似的预备定理，解题时要考虑到所有情况，避免错解.
探究点二：判定三角形相似的预备定理的简单应用
【类型一】利用平行线判定三角形相似
如图，EF在平行四边形ABCD的边AB的延长线上，且EF＝AB，DE交CB于点M.求证：△BME∽△BCF.
解析：要证△BMF∽△BCF，可先证ME∥CF.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.又∵EF在AB的延长线上，且EF＝AB，∴EF∥CD，EF=CD.即四边形CDEF为平行四边形，∴ME∥CF，∴△BME∽△BCF.
　　方法总结：本题考查判定三角形相似的预备定理的基本运用，与平行四边形的性质相结合，解题时要注意利用平行关系进行转化.
【类型二】利用平行线判定三角形相似求值
如图所示，在平行四边形ABCD中，E是对角线BD上的点，且EF∥AB，DE∶EB＝2∶3，EF＝4，则CD的长为　　　　Ｗ.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB,EF∥AB∥CD，又∵DE∶EB＝2∶3，∴＝＝，又∵EF＝4，∴AB＝10＝CD.故填10.
　　方法总结：本题考查应用相似三角形的判定的预备定理求值，解题时利用到比例的性质和平行四边形的性质.
如图，DE∥BC交AB于点D，交AC于E，若AD∶DB＝3∶5，求DE∶BC的值.
解析：由DE∥BC得△ADE∽△ABC，进而推出对应边成比例.
解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝.
　　方法总结：由平行线?三角形相似?线段成比例，上述过程是求线段比值的一个基本思路.
三、板书设计
教学过程中，将对前几课时涉及的问题进行深入学习讨论，在情景导入环节需要引发学生学习兴趣，使学生自发学习，自主探究，在学习过程中形成良好的学习习惯，提升逻辑思维能力.2.2
一元二次方程的解法
2.2.2
公式法
教学目标
1、理解求根公式法与配方法的联系.
2、会用求根公式法解一元二次方程.
3、注意培养学生良好的运算习惯.
重点难点
重点：会运用求根公式法解一元二次方程.
难点：由配方法导出一元二次方程的求根公式.
教学过程
（一）创设情境
由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？
这样做了以后，我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解，取得一通百通的效果．
（二）探究新知
按课本P35的方式引导学生，用配方法导出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-40c≥0时的求根公式为：
(b2-4ac≥0).并让学生知道，运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫公式法.
（三）讲解例题
1、按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程，并提醒学生注意a，b，c的符号.
2、引导学生完成P37，并提醒学生在确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式.
3、引导学生归纳用公式法解一元二次方程的基本步骤：首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解.
（四）应用新知
课本P37练习，第(1)~(4)题.
（五）课堂小结
1、熟记一元二次方程的求根公式，并注意公式成立的条件：a≠0，b2-4ac≥0.
2、熟悉用公式法解一元二次方程的基本步骤.
3、公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一元二次方程.1.3
反比例函数的应用
一、教学目标
1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力
二、重点、难点
1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式
3．难点的突破方法：
用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。
三、教学过程：
寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理吗？
四、例习题分析
例1．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）
（1）写出这个函数的解析式；
（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
分析：题中已知变量P与V是反比例函数关系，并且图象经过点A，利用待定系数法可以求出P与V的解析式，得，（3）问中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即当P不超过144千帕时，是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，P随V的增大而减小，可先求出气压P＝144千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于立方米
五、随堂练习
1．京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为
2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式
3．一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10时，＝1.43，（1）求与V的函数关系式；（2）求当V＝2时氧气的密度
答案：＝，当V＝2时，＝7.15
六、课后练习
1．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）
（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？
（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？
答案：，v＝240，t＝12
2．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天
（1）则y与x之间有怎样的函数关系？
（2）画函数图象
（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？
七、教学反思
：2.5
一元二次方程的应用
第1课时
增长率问题与经济问题
教学目标
知识与技能：
能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。
2、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
过程与方法：
经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
2、通过成本降低、能源增长等实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，发展实践应用意识。
情感与态度：通过用一元一次方程解决身边的问题，体会数学知识的应用价值，提高学生学习数学的兴趣。
教学重点和难点
重点：利用增长率问题中的数量关系，列出方程解决问题
难点：理清增长率问题中的数量关系
教学环节
（一）创设情境导入新课
今天我们继续来探究这类问题的新类型。请同学们思考四个小问题。
1、某厂今年1月份的总产量为100吨，平均每月增长20%，则:
二月份总产量为吨；三月份总产量为吨。（填具体数字）
2、某厂今年1月份的总产量为500吨，设平均每月增长率是x
，则：
二月份总产量为吨；三月份总产量为吨。（填含有X的式子）
3、某种商品原价是100元，平均每次降价10%，则：第一次降价后的价格是________元；第二次降价后的价格是_______元。（填具体数字）
4、某种商品原价是100元，平均每次降价的百分率为x，则：第一次降价后的价格是________元；第二次降价后的价格是_______元。（填含有X的式子）
组织学生讨论，请四位同学回答，师生共同完善，引导学生发现问题的联系。
合作探究得出规律
通过上面四个小问题的探究发现，请同学们小显身手试一试：
1、(2010台州中考)
某种商品原价是100元，经过两次提价后的价格是120元，求平均每次提价的百分率。设平均每次提价的百分率为x，下列所列方程中正确的是（
）
A、100（1+x）2=120
B、100（1-x）2=120
C、120（1+x）2=100
D、120（1-x）2=100
2、（2010兰州中考）上海世博会的某种纪念品原价是168元，连续两次降价x%后售价为128元。下列所列方程中正确的是（
）
A
、168（1+x）2=128
B、168（1-x）2=128
C、128（1+x）2=168
D、128（1-x）2=168
对比增长与减少的问题，你有什么发现？与同学交流，归纳：平均增长率（或平均减少率）问题：
原数（1
＋
平均增长率）n
=
。（n为相距时间）
原数（1
－
平均减少率）n
=
。
鼓励学生合作交流，引导学生语言清楚、准确的表达规律。
（三）自主探究加深理解
问题1：你是如何理解下降额与下降率的？他们之间的联系与区别是什么？试举例说明
问题2：在该题中，若设甲种药品成本的平均下降率为x
，请填下表
甲种药品
两年前1吨甲种药品成本
一年后甲种药品成本
两年后甲种药品成本
根据题意列出一元二次方程
问题3：请解出①，得X1
=；X2
=。
问题4：对问题3的结果你还有什么见解吗？
问题5：根据下表请求出乙种药品的年平均下降率，比较两种药品哪个的年平均下降率大。
乙种药品
两年前1吨乙种药品成本
一年后乙种药品成本
两年后乙种药品成本
根据题意列出一元二次方程
请解出②，得
X1=；
X2=。
问题6：经过这个问题的解决，你对下降额与下降率有了新的认识吗？
分别请两位同学完成问题1、2，注意鼓励与评价，独立解决问题3，组织学生讨论问题4引导学生根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。完成后，学生独立完成问题5，组织学生讨论问题6，关注学生的语言表达，引导学生举例形成认识。
（五）总结反思3.1.2　成比例线段
1.理解线段的比与成比例的线段的关系.（重点，难点）
2.了解并掌握黄金分割问题.（重点，难点）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
古希腊时期的巴台农神庙的正面轮廓为矩形（如图所示），以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现＝.
你能求出的值吗？
二、合作探究
探究点一：线段的比与成比例线段
【类型一】线段的比
在等腰直角三角形中，直角边与斜边的比是　　　　　，斜边与直角边的比是　　　　，斜边上的高与斜边的比是　　　　Ｗ.
解析：作一等腰三角形如图所示，设边长为x，由勾股定理可得，斜边长为x，斜边上的高为x，即直角边与斜边的比为1∶，斜边与直角边的比是∶1，斜边上的高与斜边的比为1∶2.故填1∶，∶1，1∶2.
　　方法总结：在解答此题时要明确等腰直角三角形各边的比例关系，并且注意题目要求，避免错解.
【类型二】与比例尺相关的线段的比
在比例尺为1∶200的地图上，测得A、B两地之间的图上距离为4.5cm，则A、B两地间的实际距离是多少？
解析：根据比例尺＝图上距离∶实际距离，列出比例式，求解即可.
解：设A、B两地间的实际距离为xcm，则1∶200＝4.5∶x，∴x＝900（cm）＝9（m），故A、B两地间的实际距离为9m.
　　方法总结：熟练利用成比例线段的概念是解决本题的关键，要注意长度单位的换算.
【类型三】成比例线段
下列线段的长度成比例的是（　　）
A.2cm，3cm，4cm，5cm
B.1.5cm，2.5cm，4cm，5cm
C.1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm
D.1cm，2cm，3cm，6cm
解析：A项中≠，B项中≠，C项中≠，D项中＝＝2，故选D.
　　方法总结：判断四条线段是不是成比例的步骤是：（1）化成相同的单位；（2）按照大小排列；（3）分组求比值；（4）看是否相等，相等即成比例，不等则不成比例.
探究点二：黄金分割
【类型一】黄金分割的基本概念
如果点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且＝，那么下列说法中错误的是（　　）
A.线段AB被点C黄金分割
B.点C叫做线段AB的黄金分割点
C.AB与AC的比叫黄金分割比
D.AC与AB的比叫黄金分割比
解析：黄金分割比是分得的两条线段中的较长的一条与整条线段的比，即AC与AB的比，不是AB与AC的比，故选C.
　　方法总结：准确掌握黄金分割的概念是解决问题的关键.
【类型二】黄金分割的相关计算
如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA，PB，当PA2＝PB·AB，即PA≈0.618AB时，则称点P是线段AB的黄金分割点，现在已知线段AB＝10，点P是线段AB的黄金分割点（PA>PB），那么线段PB的长约为（　　）
A.6.18
B.0.382
C.0.618
D.3.82
解析：PA≈0.618AB＝0.618×10＝6.18，PB≈10－6.18＝3.82，故选D.
　　易错提醒：本题易错选A，产生错解的原因是误认为PB就是黄金分割所得较长线段，事实上，较长线段是PA，所以PA≈10×0.618＝6.18，PB≈10－6.18＝3.82.
【类型三】黄金分割的实际应用
在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金分割比.已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　）
A.12.36cm
B.13.6cm
C.32.36cm
D.7.64cm
解析：书的宽与长之比为黄金分割比，即约为0.618.∴书的宽度约为20×0.618＝12.36（cm）.故选A.
　　方法总结：解决此类问题要先将实际问题转化为数学模型，然后利用黄金分割的定义求解.
三、板书设计
教学过程中，注重引导学生就生活实例展开联想，直观感受数学的魅力所在.在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识.并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力.第3课时　相似三角形的判定定理2
1.理解并掌握相似三角形的判定定理2.（重点，难点）
2.相似三角形的判定定理2的相关应用.（重点，难点）
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
观察下列几组图形，探究其中规律.
二、合作探究
探究点一：相似三角形的判定定理2
根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝120°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm.
解析：根据已知条件，两夹角相等，证两边是否成比例，即可判断是否相似.
解：∵＝＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠A′＝120°，∴△ABC∽△A′B′C′.　　方法总结：判定两个三角形相似，如果已知条件中给出两组对应边成比例，一般可以考虑判断两边所夹的角是否相等，若相等，则两个三角形相似.
探究点二：相似三角形的判定定理2的应用
【类型一】利用相似三角形的判定定理2求值
如图所示，在△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝＝，BC＝6，则DE＝　　　　Ｗ.
解析：∵∠A＝∠A，＝＝，∴△ADE∽△ABC.∵△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，又∵BC＝6，∴DE＝3，故填3.
　　方法总结：此题考查相似三角形判定定理2的应用，首先根据已知条件证明两三角形相似，再利用相似得出相应结论求解.
【类型二】利用相似三角形的判定定理2证明相似
如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且OA＝1，OB＝1.5，OC＝3，OD＝2，求证：△OAD∽△OBC.
解析：已有对顶角相等，再证两边对应成比例，即可得△OAD∽△OBC.
解：∵＝＝，＝，∴＝，且∠AOD＝∠BOC，∴根据相似三角形的判定定理2得△OAD∽△OBC，即证.
　　方法总结：解答此类问题应先找成比例线段，再利用判定定理2证三角形相似.
三、板书设计
相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
此次教学过程中，对前一课时内容进行拓展.而本课时所涉及的知识点在考试中多出现在综合应用问题中，综合性和变化性强，在教学过程中需学生应用创新意识，结合实际情况灵活运用.第2课时　特殊角的正弦值、用计算器求锐角的正弦值
1.学习并掌握一些特殊锐角的正弦值.（重点）
2.学会利用计算器求锐角的正弦值或根据正弦值求锐角.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
通过上一课时的学习讨论，我们明白了锐角的正弦值的概念，在我们生活中随处可见直角三角形，就拿我们手边的直角三角板为例.
观察并测量直角三角板各边长，你能否发现其锐角正弦值存在的特殊性？
二、合作探究
探究点一：特殊角的正弦值
在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则∠A＝　　　　Ｗ.
解析：由特殊角的三角函数值，知sin30°＝，∠A为锐角，∴∠A＝30°，故填30°.
　　方法总结：在锐角三角函数中有一些特殊的角，我们需要牢记这些特殊的角，在解题时往往能有事半功倍的效果.
探究点二：利用计算器求已知锐角的正弦值或根据正弦值求锐角
【类型一】利用计算器求已知锐角的正弦值
计算sin44°≈　　　　Ｗ.（精确到0.0001）
解析：按键，再依次按键，则屏幕上显示结果为0.69465837.故填0.6947.
　　方法总结：在使用计算器计算已知角度的正弦值时，要注意按键顺序.在计算非整数角度锐角三角函数时，也可以把分，秒转化为度输入.
【类型二】利用计算器根据正弦值求锐角
若sinA＝0.5018，则∠A≈　　　　Ｗ.（精确到0.1°）
解析：按键顺序为，屏幕显示结果为30.119158.故填30.1°.
　　方法总结：在使用计算器求锐角时，要注意按键顺序.
三、板书设计
本次教学是在上一课时的基础上进行进一步的衍生，让学生在掌握基本概念的基础上，通过适当的联系，在解题的过程中总结规律方法.在合作探究环节注重引导学生自主学习，提高学生的动手能力.1.2
反比例函数的图象与性质
第3课时
反比例函数的图象与性质的综合应用
教学目标：
(一)教学知识点
1.进一步巩固作反比例函数的图象.
2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.
(二)能力训练要求
1.通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力.
2.通过从图象中获取信息.训练学生的识图能力.
3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力.
(三)情感与价值观要求
让学生积极投身于数学学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心.由学生自己思考再经过合作交流完成的数学活动，不仅能使学生学到知识，还能使他们互相增进友谊.
教学重点：通过观察图象，概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质.
教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质.
教学方法：教师引导学生类推归纳概括学习法.
教具准备：多媒体课件
教学过程：
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]上节课我们学习了画反比例函数的图象，并通过图象总结出当k＞0时,函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内；当k＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内.并讨论了反比例函数y=与y=-的图象的异同点.这是从函数的图象位于哪些象限来研究了反比例函数的.
我们知道在学习正比例函数和一次函数图象时，还研究了当k＞0时，y的值随x的增大而增大，当k＜0时，y的值随x值的增大而减小，即函数值随自变量的变化而变化的情况，以及函数图象与x轴，y轴的交点坐标.本节课我们来研究一下反比例函数的有关性质.
Ⅱ.
新课讲解
1.做—做
[师]观察反比例函数y=，y=,y=的形式，它们有什么共同点
[生]表达式中的k都是大于零的.
[师]大家的观察能力非同一般呐!
下面再用你们的慧眼观察它们的
图象，总结它们的共同特征.
(1)函数图象分别位于哪几个象限
(2)在每一个象限内，随着x值的增大.y的值是怎样变化
的 能说明这是为什么吗？
(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗 可能与y轴相
交吗？为什么？
[师]请大家先独立思考，再互相交流得出结论.
[生](1)函数图象分别位于第一、三象限内.
(2)从图象的变化趋势来看，当自变量x逐渐增大时，
函数值y逐渐减小.
(3)因为图象在逐渐接近x轴,y轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与x轴y轴相交.
[师]大家同意他的观点吗
[生]不同意(3)的观点.
[师]能解释一下你的观点吗？
[生]从关系式y＝中看,因为x≠0，所以图象与y轴不可能能有交点；因为不论x取任何实数，2是常数，y＝永远也不为0，所以图象与x轴心也不可能有交点.
[师]对于(1)和(3)我不需要再说什么了，因为大家都回答的非常棒，不面我再补充—下(2).观察函数y＝的图象，在第一象限我任取两点A（x1,y1），B(x2,y2)，分别向x轴,y轴作垂线，找到对应的x1,x2,y1,y2,因为在坐标轴上能比较出x1与x2,y1与y2的大小，所以就可判断函数值的变化随自变址的变化是如何变化的.山图可知x1＜x2,y2＜y1,所以在第一象限内有y随x的增大而减小.
同理可知在其他象限内y随x的增大而如何变化.大家可以分组验证上图中的其他五种情况.
[生]情况都一样.
[师]能不能总结一下.
[生]当k>0时，函数图象分别位于第一、三象限内，并且在每一个象限内，y随x的增大而减小.
2.议一议
[师]刚才我们研究了y＝，y＝,y=的图象的性质，下面用类推的方法来研究y＝-，y＝-,y=-的图象有哪些共同特征
[生](1)y=-，y=-，y=-中的k都小于0，它们的图象都位于第二，四象限，所以当A<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限内.
(2)在图象y=-中，在第二象限内任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),可知x1>x2，y1>y2，所以可以得出当自变量逐渐减小时，函数值也逐渐减小，即函数值y随自变量x的增大而增大.
(3)这些反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.
[师]通过我们刚才的讨论，可以得出如下结论：
反比例函数y＝的图象，当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.
3.想一想
(1)在一个反比例函数图象任取两点P、Q，过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系 为什么
(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后.能与原来的图象重合吗
[师]在下面的图象上进行探讨.
[生]设P(x1,y1)，过P点分别作x轴，y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为S1，则S1=｜x1｜·｜y1｜=｜x1y1｜.
∵(x1,y1)在反比例函数y＝图象上，所以y1＝，即x1y1＝k.
∴S1＝｜k｜.
同理可知S2＝｜k｜，
所以S1＝S2
[师]从上面的图中可以看出，P、Q两点在同一支曲线上，如果P，Q分别在不同的曲线，情况又怎样呢
[生]S1＝｜x1y1｜=｜k｜，
S2=｜x2y2｜=｜k｜.
[师]因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P、Q.不管P、Q是在同一支曲线上，还是在不同的曲线上.过P、Q分别作x.轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则有S1＝S2.
(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合，这个问题在上节课中我们已做过研究.
Ⅲ.课堂练习
P155
随堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课学习了如下内容.
1.反比例函数y＝的图象，当k0时，在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随，值的增大而减小；当k2.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，分别过P，Q作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2，则有S1＝S2.
3.将反比例函数的图象绕原点旋转180°后,能与原来的图形重合.即反比例函数是中心对称图形.
4.反比例函数的图象既不能与x轴相交也不能与y轴相交,但是当x的值越来越接近于0时，y的值将逐渐变得很大；反之，y的值将逐渐接近于0.因此，图象的两个分支无限接近；轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.
Ⅴ.课后作业
习题6.3
Ⅵ.活动与探究
反比例函数图象与三等分角
历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.
任取一锐角∠POH，过点P作OH的平行线，过点O作直线，两线相交于点M,OM交PH于点Q，并使QM=20P，设N为OM的中点.
∵NP=NM＝OP,∴∠1＝∠2=2∠3.
∵∠4=∠3，∴∠1=2∠4.
∴∠MOH＝∠POH.
问题在于，如何确定线段OM两端点的位置，并且保证O，Q，M在同一条直线上 事实上，用尺规作图无法解决这一问题.那么,退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢
帕普斯(Pappus，公元300前后)给出的一种方法是：如下图，将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，角的一边OA与y＝的图象交于点P，以P为圆心；以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和B作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，连接OM得到∠MOB.
(1)为什么矩形PQRM的顶点Q在直线OM上
(2)你能说明∠MOB＝∠AOB的理由吗
(3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办
解：(1)设P、R两点的坐标分别为P(a1，),R(a2,
)则Q(a1，)，M(a2,
）.
设直线OM的关系式为y＝kx.
∵当x＝a2时，y=
∴=ka2,∴k=.∴y=x.
当x=a1时，y=
∴Q(a1，)在直线OM上.
(2)∵四边形PQRM是矩形.
∴PC=PR=CM.∴∠2＝2∠3.
∵PC=OP，∴∠1＝∠2，
∵∠3=∠4，∴∠1=2∠4，
即∠MOB=∠AOB.
(3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方法三等分.
备课资料
参考例题
如图能表示函数y＝k(1-x)和y＝(k≠0)在同一直角坐标系小的图象大致是(
)
分析：从对函数y＝的讨论入手，若k>0，双曲线分布在一、三象限，因此可考虑A，
C两个答案，这时对于一次函数来说，y的值随x值的增大而减小，且一次函数的图象与y轴正半轴相交，显然A，C两个答案都不对.
若k＜0，双曲线分布在二四象限，因此考虑B，D两个答案，对于一次函数来说，y的
值随x的增大而增大，且一次函数的图象与y轴的负半轴相交，应选D.
解：选D.反比例函数的图象与性质
第2课时
反比例函数（k<0）的图象与性质
[教学目标]
1、体会并了解反比例函数的图象的意义
2、能描点画出反比例函数的图象
3、通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质
[教学重点和难点]
本节教学的重点是反比例函数的图象及图象的性质
由于反比例函数的图象分两支，给画图带来了复杂性是本节教学的难点
[教学过程]
1、情境创设
可以从复习一次函数的图象开始：你还记得一次函数的图象吗 在回忆与交流中，进一步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质。转而导人关注新的函数——反比例函数的图象研究：反比例函数的图象又会是什么样子呢
2、探索活动
探索活动2
反比例函数的图象．
可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动：
(1)可以用画反比例函数的图象的方式与步骤进行自主探索其图象；
(2)可以通过探索函数与之间的关系，画出的图象．
探索活动3
反比例函数与的图象有什么共同特征
引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．
反比例函数(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线。当时，图象在一、三象限：当时，图象在二、四象限。
反比例函数(k≠0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。
3、例题教学
课本安排例1，（1）巩固反比例函数的图象的性质。（2）是为了引导学生认识到：由于在反比例函数(k≠0)中，只要常数k的值确定，反比例函数就确定了．因此要确定一个反比例函数，只需要一对对应值或图象上一个点的坐标即可．（3）可以先设问：能否利用图象的性质来画图？
4、应用知识，体验成功
练笔：课本“课内练习”
1.2.3
5、归纳小结，反思提高
用描点法作图象的步骤
反比例函数的图象的性质
6、布置作业
作业本（1）课本“作业题”
「教学反思」：3.5　相似三角形的应用
1.学会利用相似三角形解决高度（长度）测量问题.（重点，难点）
2.学会利用相似三角形解决河宽测量等问题.（重点，难点）
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.
你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？
二、合作探究
探究点一：运用相似三角形解决高度（长度）测量问题
【类型一】利用影长测量高度（长度）
如图所示，某同学身高（AB）是1.66m，测得他在地面上的影长（BC）为2.49m，如果这时操场上旗杆的影长为42.3m（BE），那么旗杆的高度（DE）是多少米？
解析：首先根据已知条件求△ABC∽△DEB.然后得出比例式，最后求出结果.
解：∵AC∥DB（平行光），∴∠ACB＝∠DBE，∵∠ABC＝∠DEB＝90°，∴△ABC∽△DEB，∴有＝，DE＝＝28.2m，即旗杆高度是28.2m.
　　方法总结：同一时刻，同一地点对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的影长之比等于它们的高度之比.
【类型二】利用标杆测量高度（长度）
如图所示，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿和树的顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时竹竿的底端与这一点相距6m，与树的底端相距15m，则树的高度为　　　　m.
解析：∵∠DOC＝∠BOA，∠BAO＝∠DCO＝90°，∴△OBA∽△ODC，∴＝＝，又∵AO＝6m，BA＝2m，AC＝15m，∴DC＝＝7m，故填7.
　　方法总结：本题把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形性质列出比例式求解即可.
【类型三】利用镜面反射测量高度（长度）
如图所示，某同学用如下方法测量教学楼AB的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离EA＝21m，当他与镜子的距离CE＝2.5m时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端B，已知他眼睛距地面的高度为DC＝1.6m，求教学楼AB的高度.
解析：由题意知△BAE∽△DCE，所以＝，即可求出结果.
解：∵∠BAE＝∠DCE＝90°，∠BEA＝∠DEC（光的反射定律），∴△BEA∽△DEC，∴＝，∴AB＝，∵CE＝2.5m，DC＝1.6m，EA＝21m，∴AB＝13.44m，即教学楼AB的高度为13.44m.
　　方法总结：解决此类问题，应先把实际问题转化为数学问题，找到相似三角形，利用相似三角形的性质求解.
探究点二：运用相似三角形解决宽度测量问题
如图所示，为了估算河的宽度，在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，则河宽为　　　　m.
解析：∵∠ABD＝∠DCE＝90°，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△ECD，∴＝，AB＝，又∵BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，∴AB＝＝＝150m，故填150.
　　方法总结：被测量对象无法接近，对其宽度的测量便采用此间接的方式完成，构造相似三角形就是一种行之有效的途径.
三、板书设计
本次教学过程是对本章理论和概念性知识进行系统全面的回顾，教学过程中不仅要引导学生认真归纳总结，进行知识点的系统梳理，更为重要的是发现学生疏忽的知识点，及时有效地帮助学生解决知识的疏漏，打下坚实的基础.4.4　解直角三角形的应用
第1课时　仰角、俯角问题
1.巩固解直角三角形相关知识.
2.能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角的问题.（重点，难点）
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
秋千是我们生活中常见的娱乐器材，如图所示是秋千的简图，秋千拉绳（OA）的长为3m，静止时秋千踏板（B，大小忽略不计）距离地面的距离（BE）为0.5m，秋千向两边摆动时，若最大的摆角（摆角是指秋千拉绳与铅垂线的夹角∠AOB或∠COB）约为52°.
你能否通过所学知识求出秋千踏板与地面最大距离约为多少？
二、合作探究
探究点一：仰角、俯角问题
【类型一】仰角问题
如图所示，为了测量山高AC，在水平面点B处测得山顶A的仰角是（　　）
A.∠A
B.∠ABC
C.∠ABD
D.以上都不对
解析：B.
　　方法总结：解此类问题，要弄清仰角的概念，即视线与水平线的夹角.
【类型二】俯角问题
如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是　　　　Ｗ.
解析：由题意可知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，∴BC＝＝＝1000（m），故填1000m.
　　方法总结：解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形.
探究点二：有关张角、夹角问题
【类型一】张角问题
如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB，已知观察点C到旗杆的距离（CE的长度）为8m，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°，旗杆底边的俯角∠ECB为45°，那么，旗杆AB的高度是（　　）
　　A.（8＋8）m
B.（8＋8）m
C.（8＋）m
D.（8＋）m
解析：由题意可知，在Rt△BCE中，CE＝8m，∠ECB＝45°，∴BE＝CE·tan∠ECB＝8×tan45°＝8（m）.∴AE＝EC·tan∠ACE＝8×tan30°＝（m），∴AB＝AE＋BE＝（8＋）m.故选D.
　　方法总结：解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角形.
【类型二】夹角问题
如图所示，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB，则∠α的余弦值为　　　　Ｗ.
解析：在Rt△COD中，∠C＝30°，∠D＝60°，∵CD∥AB，∴∠α＝∠D＝60°，∴cosα＝.故填.
　　方法总结：本题考查的有关夹角的问题，解题时要灵活运用题目中的已知条件.
三、板书设计
本次教学过程中涉及实际应用问题，在合作探究环节可引导学生探究几个具有代表性的数学模型，从这些数学模型中总结规律并积累解题技巧，培养学生的创新意识和逻辑思维能力.4.1
正弦和余弦
第3课时
余弦
教学目标
【知识与技能】
1.使学生理解锐角余弦的定义.
2.会求直三角形中锐角的余弦值.
3.会用计算器求一般锐角的余弦值.
【过程与方法】
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
【情感态度】
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
【教学重点】
求直三角形中锐角的余弦值.
【教学难点】
求直三角形中锐角的余弦值.
教学过程
一、情景导入，初步认知
1.什么叫作正弦？
2.sin30°、sin45°、sin60°的值分别是多少？
【教学说明】对上节课的内容进行复习.
二、思考探究，获取新知
1.如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α,∠C=∠F=90°,则成立吗？为什么？
由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
【归纳结论】在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦.记作cosα.即cosα=角α的邻边/斜边.
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有cosα=sin(90°-α),从而有：
sinα=cos(90°-α).
2.计算cos30°，cos45°，cos60°的值.
3.我们已经知道了三个特殊角（30°、45°、60°）的余弦值，而对于一般锐角α的余弦值，我们可以用计算器来计算.
例如，求cos50°角的余弦值，我们可以在计算器上依次按键，则屏幕上显示的就是cos50°的值.
4.如果已知余弦值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数.
例如：已知cosα=0.8661，求α的度数.我们可以依次按键，则屏幕上显示的就是α的度数.
【教学说明】学生先了解计算器各按键的功能，为利用计算器正确求锐角三角函数值打下了基础.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P115例4.
2.下列说法正确的个数有(
)
(1)对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1和0＜cosα＜1
(2)对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cosα1＜cosα2
(3)如果sinα1＜sinα2，那么锐角α1＜锐角α2
(4)对于任意锐角α，都有sinα=cos(90°-α)
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】
C
3.在△ABC中，∠C=90°，若2AC=AB，求∠A的度数及cosB的值．
分析:利用三角形中边的比值关系，结合三角函数的定义解决问题，注意对特殊角三角函数值的逆向应用．
4.计算：
（1）｜-｜-2sin60°+sin45°·cos45°;
(2)cos260°+cos245°+sin30°·sin45°.
5.用计算器求值(保留四位小数)：
(1)sin38°19′；(2)cos78°43′16″．
解：（1）按MODE，出现：DEG，按sin，38，“．”，19，“．”，=，显示：0.620007287,则结果为0.6200.
（2）按MODE，出现：DEG，按cos，78，“．”，43，“．”，16，“．”=，显示：0.195584815,则结果为0.1956.
6.若sin40°=cosα，求α的度数．
解：∵sin40°=cosα，
∴α=90°-40°=50°.
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=3/5，求BC/AB的值.
解：∵sin2B+cos2B=1，∠B为Rt△ABC的内角，
∴cosB=
=4/5，
即cosB=BC/AB=4/5．
8.正方形网格中，∠AOB如图放置，求cos∠AOB的值.
解：如图，在OA上取一点E,过点E作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．
【教学说明】引导学生分析问题，作出辅助线，再写出解答过程.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题4.1”中第6、7、8题.
教学反思
教学中，我一直比较关注学生的情感态度，对那些积极动脑，热情参与的同学都给予鼓励和表扬，促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态，从而保证施教活动的有效性.在学生“心求通而未得，口欲言而不能”的状态下，适时导出概念，自然而合理，符合新课标的理念.若干年后，或许对余弦概念的表达式已经彻底忘记，但对探索概念的过程，创新意识，数学思想，将深深铭刻在他们的脑海中.4.4
解直角三角形的应用
第1课时
仰角、俯角问题
一．教学三维目标
(一)、知识目标
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
(二)、能力目标

逐步培养分析问题、解决问题的能力．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
三、教学过程
（一）回忆知识
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a2+b2=c2
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系：
tanA=
（二）新授概念
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．
2．例1：如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度
AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，
求飞机A到控制点B距离(精确到1米)
解：在Rt△ABC中sinB=
AB===4221(米)
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．

例2：2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）
分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。将问题放到直角三角形FOQ中解决。
例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式
sinA=
来解决的两个实际问题即已知和斜边，
求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．

（三）．巩固练习
1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m）
2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)

四、布置作业3.5
相似三角形的应用
〔教学目标〕
1．让学生学会运用两个三角形相似解决实际问题。
2．培养学生的观察﹑归纳﹑建模﹑应用能力。
3．让学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。
〔教学重点与难点〕
重点：运用两个三角形相似解决实际问题
难点：在实际问题中建立数学模型
〔教学设计〕
教学过程
设计意图说明
新课引入：复习相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义回顾相似三角形的概念及判定方法
以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系。
提出问题：
利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度的问题？（学生小组讨论）↓
“相似三角形对应边的比相等”四条对应边中若已知三条则可求第四条。一试牛刀：
例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。
如图27．2-8，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3
m，测得OA为201
m，求金字塔的高度BO。分析：BF∥ED∠BAO=∠EDF
又∠AOB=∠DFE=900 ABO∽ DEF二试牛刀：例4：如图27．2-9，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得QS=45
m，ST=90
m，QR=60
m，求河的宽度PQ。分析：∠PQR=∠PST=900，∠P=∠P PQR∽ PST，即，，。解得PQ=90三试牛刀：例5：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1．6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？分析：AB∥CD， AFH∽ CFK。，即，解得FH=8。
让学生了解：利用三角形的相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题。通过解决“泰勒斯测量金字塔的高度”问题，培养学生学习数学的兴趣，让学生在浓厚的数学文化熏陶中探究解决问题的方法。让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型，通过建模培养学生的归纳能力。数学建模的关键是把生活中的实际问题转化为数学问题，转化的方法之一是画数学示意图，在画图的过程中可以逐渐明问题中的数量关系与位置关系，进而形成解题思路。
运用提高：1．P92
练习题2
让学生在练习中熟悉利用三角形的相似去解决一些不能直接测量的物体的长度的问题。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：P93
习题3.5备选题：已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。备选题答案：x=2
设计思想：
本节课主要是让学生学会运用两个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。因此在教学设计中突出了“审题画示意图明确数量关系解决问题”数学建模过程，学生可以从中锻炼把生活中的实际问题转化为数学问题的能力，另外，学生在富有故事性或现实性的数学情景问题中，探究解决问题的方法，这一过程有利于培养学生的数学学习兴趣。3.4.2
相似三角形的性质
第2课时
相似三角形对应周长和面积的性质
教学目标：
1、探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；
2、发展学生合情推理，和有条理的表达能力
教学重点：相似三角形的性质
教学难点：有条理的表达与推理
教学设计：
一、情境创设
（1）前面学习了相似三角形、相似多边形的概念，知道如果两个三角形或两个多边形相似，那么它们的对应角、对应边成比例。相似三角形、相似多边形是否还有其他的一些性质呢？
（2）所有的正方形都是相似形（它们的对应角相等，对应边成比例）。
若正方形的边长为1，则周长为4，面积是1；若正方形的边长为2，则周长为8，面积是4；
若正方形的边长为3，则周长为12，面积是9；若正方形的边长为a，则周长为4a,面积是a2。
这些正方形间周长的比，面积的比与其边长的比之间有怎样的关系呢？
二、探索活动
1、若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的周长比等于相似比吗？
问题1.
为了解决这个问题，不妨设这个相似比为k，只要考虑什么就可以了？
问题2.
相似比为k，那么哪些线段的比也等于k？
问题3.
这两个三角形的周长又分别与哪些线段有关？
问题4.
如何得出这两个三角形的周长比与相似比k的关系？
得出：相似三角形的周长的比等于相似比
问题5.
你能运用类似的方法说明“相似多边形的周长等于相似比吗？”
得出：相似多边形的周长等于相似比
2、问题1.若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的面积比与相似比又有什么关系呢？
已知△ABC∽△A′B′C′，相似比是k，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高。
因为∠B=∠B′，∠ADB=∠A′D′B′=90°所以△ABD∽△A′B′D′
所以
，即AD=kA′D′，
所以
得出：相似三角形的面积比等于相似比的平方
问题2.你能类似地得出相似多边形的面积比与相似比的关系吗？
得出：相似多边形的面积比等于相似比的平方。
三、例题讲解
例1、（P106例1）在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长和实际面积。
2、若△ABC∽△DEF,△ABC的面积为81cm2,△DEF的面积为36cm2,且AB=12cm,则DE=
cm
3、在△ABC中，F、G分别是AB、AC的中点，那么△AFG与四边形FBCG的面积之比是
4、如图,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD：DF：FB=1：2：3,则S四边形DFGE：S四边形FBCG=_________.

5、如图，在△ABC中，DE//BC，若
，试求△DOE与△BOC的周长比与面积比。
6、如图，梯形DBCE中，DE∥BC，若S△EOD:S△BOC
=1:9，求DE:BC的值.
添加：S1=2，求梯形DBCE的面积。

练习：如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB=2，求此三角形移动的距离BE的长。

7、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，且AD=AC，DE⊥BC交AB于E，EC交AD于F
（1）说明：△ABC∽△FCD
（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长。
四、作业：3.6　位　似
第1课时　位似图形的概念及画法
1.理解并掌握位似图形的基本概念.（重点）
2.理解并掌握位似图形的基本性质.（重点，难点）
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
利用复印机把图片放大或缩小（如图所示），得到如下的图象.
仔细观察这些图片，试着探讨它们之间的关系.
二、合作探究
探究点一：位似图形的概念及性质
【类型一】位似图形的概念
指出下图中各组图形是不是位似图形，如果是，指出位似中心.
解：图1是位似图形，位似中心是A；图2是位似图形，位似中心是P；图3不是位似图形；图4是位似图形，位似中心是O.
　　方法总结：本题的解题关键是看它们是否相似，然后看每组对应点所在直线是否经过同一点，对应边是否互相平行.
【类型二】位似图形的性质
如图所示，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为2∶5，且三角尺一边长为8cm，则其投影的对应边长为（　　）
A.8cm
B.20cm
C.32cm
D.10cm
解析：根据位似图形的相似比为2∶5，可得对应边之比为2∶5，设对应边长为xcm，则有＝，∴x＝20.故选B.
　　方法总结：位似图形一定是相似图形，位似是相似的特殊情况，位似图形具有相似图形的所有性质，而且还有它独特的性质.
【类型三】位似图形性质的应用
如图，△ABC与△A′B′C′关于点O位似，BO＝3，B′O＝6.
（1）若AC＝5，求A′C′的长；
（2）若△ABC的面积为7，求△A′B′C′的面积.
解析：△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为＝，＝（）2.
解：（1）∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为＝＝，即＝，∴A′C′＝10.
（2）根据题意，得＝（）2＝，即＝，∴S△A′B′C′＝7×4＝28.
　　方法总结：由每一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比，而面积的比等于位似比的平方，得出结果.
探究点二：作位似图形
如图所示，已知四边形ABCD，以点O为位似中心，位似比为，画出四边形ABCD在这个变换下的图形.
解：画法（1）连接AO并延长AO到A′，使A′O＝OA；
（2）用同样的方法得到B′，C′，D′三点；
（3）顺次连接A′，B′，C′，D′，则四边形A′B′C′D′就是满足条件的四边形.
　　方法总结：画位似图形，关键有两点：（1）确定位似中心（位似中心可以在对应点之间，也可以在对应点的同侧）；（2）确定位似比（即相似比）.
三、板书设计
本课时所涉及知识较前面所学知识有所差异，因此在情景引入的过程中要采用生动有趣的事例激发学生的学习热情，引导学生积极展开联想，发散思维，拓宽学生的知识储备，注重学生创新意识的培养.3.2　平行线分线段成比例
1.理解并掌握平行线等分线段定理.（重点）
2.掌握平行线分线段成比例定理的推论.（重点，难点）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
梯子是我们生活中常见的工具，观察如图所示的梯子简图，仔细观察每一级梯子.
你能从中发现那些熟悉的数学规律？
二、合作探究
探究点一：平行线等分线段定理
如图，l1∥l2∥l3，若AB＝BC，则DE＝　　　　.
解析：∵l1∥l2∥l3，AB＝BC，由平行线等分线段定理知DE＝EF，故填EF.
　　方法总结：本题利用平行线等分线段定理求解，要注意是截同一直线上的两线段相等.
探究点二：平行线分线段成比例的概念
【类型一】利用平行线分线段成比例进行判断
如图，AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：∵AB∥CD∥EF，∴由平行线分线段成比例知＝，故选A.
　　方法总结：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，解题时要注意线段的对应.
【类型二】平行线分线段成比例的运用
如图所示，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AB＝3，DE＝4，EF＝2，则（　　）
A.AC∶DE＝1∶2
B.BC∶DE＝2∶3
C.BC·DE＝8
D.BC·DE＝6
解析：由平行线分线段成比例定理，∵l1∥l2∥l3，∴＝.∵AB＝3，DE＝4，EF＝2，∴BC·DE＝AB·EF＝6，故选D.
　　方法总结：本题考查平行线分线段成比例定理的基本运用.
探究点三：平行线分线段成比例定理的推论
【类型一】平行线分线段成比例定理的推论的运用
如图所示，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，已知AE＝1，AC＝5，AB＝6，则AD的长是（　　）
A.1
B.1.2
C.2
D.2.5
解析：∵DE∥BC，∴＝，又∵AE＝1，AC＝5，AB＝6，∴AD＝＝＝1.2.故选B.
　　方法总结：本题涉及比例的基本性质及平行线分线段成比例的推论，解题时要注意线段间比例的对应.
【类型二】平行线分线段成比例定理的推论在实际生活中的运用
如图所示的是一块三角形梨园，梨园的一边BC靠近河边，A处建有恒温保鲜库，把这块梨园按人口分给三户人家，这三户人家的人口分别为2人，3人，5人，要求都能利用河水浇地，并且保证不经过其他家的梨园把梨运往公用恒温保鲜库储存，你将如何分配？
解：按以下方法进行分割：①过B点作射线BD；②在射线BD上依次截取线段BE，EF，FG，使BE∶EF∶FG＝2∶3∶5；③连接CG，过点E，F分别作CG的平行线交BC于P，Q；④连接AP，AQ.三户人家分别分得三角形地块ABP，APQ，AQC.
　　方法总结：将线段按比例分割问题，常利用平行线分线段成比例的推论，作一条射线并按比例在射线上依次截取线段，最后作平行线，将线段分割.
三、板书设计
本课时的教学是在上一课时的基础上进行的适当延伸，在开展新的教学内容并引入新的知识点之前，应该引导学生进行回顾反思，巩固基础.自主探究过程中鼓励学生自己动手应用新的知识，更好地吸收所学知识.4.1
正弦和余弦
第1课时
正弦
教学目标：
1、知识与技能：
（1）使学生理解锐角正弦的定义。
（2）会求直三角形中锐角的正弦值。
2、过程与方法：
使学生经历探索正弦定义的过程。逐步培养学生观察、比较、分析、归纳的能力。
3、情感态度与价值观：
（1）在自主探索、共同发现、共同交流的过程中分享成功的喜悦；
（2）在讨论的过程中使学生感受集体的力量，培养团队意识；
（3）通过探索、发现、培养学生独立思考，勇于创新的精神和良好的学习习惯。
教学重点：
1、理解和掌握锐角正弦的定义。
2、根据定义求锐角的正弦值。
教学难点：探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程
教学准备：课件、计算器、
量角器、刻度尺
教学流程:
一、创设情景
引入新课
[活动1]
1、上图是学校举行升国旗仪式的情景，你能想办法求出旗杆的高度吗？（课件演示）
2、学习了本章内容你就能简捷地解决这类问题，本章将介绍的锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”（第一课时）
学生可能会采用相似三角形的知识来解决，也可能无法解决，从而带着问题学习。
二、师生互动
探究新知
[活动2]
如图2一艘轮船从西向东航行到B处时，灯塔A在船的正北方向轮船从B处继续向正北方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65°的方向；试问：C处和灯塔A的距离AC约等于多少米（精确到10m）？（课件演示）
启发：你能建立一个方位图，根据题意把这个实际问题转化为数学问题吗？
由题意△ABC是直角三角形，其中∠B＝90°,∠A＝65°，∠A所对的边(简称对边)BC＝2000m，如何求斜边AC的长度呢？
上述问题就是：知道直角三角形的一个为65°锐角和这个锐角的对边长度，想求斜边长度。
启发：能否使用已学的直角三角形的有关知识来解决？
为了解决这个问题，可以去探究在直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值有什么规律？
[活动3]
(1)每位同学画一个直角三角形其中一个锐角为65°，量出65°角的对边长度和斜边长度，并计算:
＝？
(2)与同桌和前后桌的同学交流计算结果，你有什么发现(精确到0.
1)？
由于各人画的直角三角形大小不一样，所以量得的长度也不一样，但比值为什么相等呢？学生议论纷纷，激起疑问。
发现:在有一个锐角为65°直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是常数，它约等于0.9。
(3)为什么演扳的两位同学画的直角三角形大小不一样，但65°角的对边与斜边的比值：与相等呢？你能证明这个结论吗？
∵∠D＝∠D′
∠E＝∠E′
∴△DEF∽△D′E′F′
∴
即：
因此：在有一个锐角等于65°的直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值为一个常数。
[活动4]
问:现在你能解决轮船航行到C处时与灯塔A的距离约等于多少米的问题吗？
[活动5]
可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数
定义：在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫角α
的正弦，记作Sinα
即
如图:
三、应用新知
解决问题
[活动6]
如图AB=5，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC=3，AB=5
(1)求∠A的正弦SinA.
(2)求∠B的正弦SinB.
解：(1)
∠A的对边BC=3，斜边AB=5
，
于是SinA=
(2)∠B的对边是AC，根据勾股定理，得AC =AB -BC =5 -3 =16
于是AC=4，
因此SinB=
北
东
65°
B
A
C
⌒
D’
E’
F’
E
F
D
C
A
Bα5.2　统计的简单应用
1.掌握简单随机样本数据分析的基本方法.
2.学会用简单随机样本中的“率”估计总体的“率”.（重点，难点）
3.学习并掌握利用样本推断总体的方法.（重点）
4.能够利用统计数据进行合理的预测.（重点，难点）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
学校打算从九年级全体600名学生中抽查其中60名学生的成绩，以检验九年级学生的复习备考情况.
试着求出学生每个分数段的具体人数.
二、合作探究
探究点一：用简单随机样本的“率”估计总体的“率”
【类型一】用样本百分比估计总体百分比
某油桃种植户今年喜获丰收，他从采摘的一批总质量为900千克的油桃中随机抽取了10个油桃，称得其质量（单位：克）分别为：106，99，100，113，111，97，104，112，98，110.
（1）估计这批油桃中每个油桃的平均质量；
（2）若质量不小于110克的油桃可定为优级，估计这批油桃中，优级油桃占油桃总数的百分之几？达到优级的油桃有多少千克？
解析：（1）用样本平均数估计，即用10个油桃的总质量除以10；
（2）10个油桃中有4个优级，用样本估计总体.
解：（1）这批油桃中每个油桃的平均质量为（106＋99＋100＋113＋111＋97＋104＋112＋98＋110）＝105（克）.由此估计这一批油桃中，每个油桃的平均质量为105克；
（2）×100%＝40%，900×40%＝360（千克）.
估计这一批油桃中优级油桃占总数的40%，其质量为360千克.
　　方法总结：生产中遇到的估算产量问题，通常采用样本估计总体的方法.
【类型二】用样本估计总体思想的应用
为增强学生体质，各校要求学生每天在校参加体育锻炼的时间不少于1小时，我区为了解初三学生参加体育锻炼的情况，对部分初三学生进行了抽样调查，并将调查统计图表绘制如下.请你根据图表中信息解答下列问题：
时间（h）
0.5
1.0
1.5
2.0
人数
60
a
40
b
估计我区4000名初三学生体育锻炼时间达标的约有多少人？
解析：首先根据表格和扇形图可计算出抽样调查的总人数，然后再计算出锻炼0.5小时所占的百分数，从而得到锻炼的时间不少于1小时人数所占百分比，再利用总人数4000乘以百分比可得答案.
解：∵抽样调查的总人数为40÷20%＝200（人），∴锻炼0.5小时所占的百分数为×100%＝30%，∴锻炼的时间不少于1小时人数为4000×（1－30%）＝2800（人）.
答：我区4000名初三学生体育锻炼时间达标的约有2800人.
　　方法总结：此题主要考查了扇形统计图，利用样本估计总体，关键是计算出锻炼的时间不少于1小时人数所占百分比.
探究点二：用样本频率估计总体频率
某班同学为了解2015年某小区家庭月均用水情况，随机调查该小区部分家庭，并将调查数据整理如下：
月均用水量x（t）
频数（户）
频率
06
0.12
50.24
1016
0.32
1510
0.20
204
252
0.04
若该小区有1500户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20t的家庭大约有　　　　户.
解析：通过计算补全表中数据12，0.08，则月均用水量超过20t的家庭的频率为0.08＋0.04＝0.12，则全小区月均用水量超过20t的家庭大约有1500×0.12＝180（户），故填180.
　　方法总结：本题是用样本估计总体在日常生活中的具体应用，解此类题，首先求出样本的频率，然后估计总体的频率.
探究点三：用样本推断总体的实际应用
某运动鞋经销商随机调查某校40名女生的运动鞋号码，结果如下表：
鞋的号码
35.5
36
36.5
37
37.5
人数
4
6
16
12
2
现在该经销商要进200双上述五种运动鞋，你认为应该怎样进货比较合理？
解析：先求出各鞋码所占比例，再乘200，即可得到所需进货数.
解：由表中数据可知各鞋码的女生的比例，根据比例进货.
需要进35.5码运动鞋：200×＝20（双）
需要进36码运动鞋：200×＝30（双）
需要进36.5码运动鞋：200×＝80（双）
需要进37码运动鞋：200×＝60（双）
需要进37.5码运动鞋：200×＝10（双）
　　方法总结：对于这种进货方案问题，通常是根据销售数量的比例进货.
探究点四：利用统计数据预测
今年某市发布了一份空气质量的抽样调查报告，其中该市2～5月随机调查了25天，各空气质量级别的天数如下表所示
空气污染指数
0～50
51～100
101～150
151～200
201～250
空气质量级别
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
天数
8
12
2
2
1
　　（1）试估计该市今年的空气质量主要是哪个级别？
（2）根据抽样数据，预测该市今年空气质量级别为优和良的天数共多少天？
解：（1）根据表格可得该市今年的空气质量主要为良.
（2）该市今年空气质量级别为优和良所占百分比为20÷25＝80%，则该市今年空气质量级别为优和良的天数为365×80%＝292（天）.
　　方法总结：解决此类问题，一般从统计表中读出数据，进行数据的分析，正确解答本题的关键在于准确理解表格.
三、板书设计
本课时所学习的内容强调实际应用，因此在教学过程中要引导学生展开联想，从日常生活中发现问题，并联系所学知识，自己动手来解决问题.此类与实际应用联系紧密的知识，能更为有效地提升学生的应用能力.2．2.2　公式法
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；
2．会用公式法解一元二次方程；(重点)
3．会用根的判别式b2－4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用配方法求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x1＝，x2＝.
二、合作探究
探究点一：求根公式
方程3x2－8＝7x化为一般形式是__________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根为____________．
解析：将方程移项可化为3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8，因为b2－4ac＝49－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x＝.
故答案为：3x2－7x－8＝0，3，－7，－8，.
方法总结：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根．
探究点二：用公式法解一元二次方程
用公式法解下列方程：
(1)－3x2－5x＋2＝0;
(2)2x2＋3x＋3＝0；
(3)x2－2x＋1＝0.
解：(1)－3x2－5x＋2＝0，3x2＋5x－2＝0.
∵a＝3，b＝5，c＝－2，
∴b2－4ac＝52－4×3×(－2)＝49＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝－2.
(2)∵a＝2，b＝3，c＝3，
∴b2－4ac＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0，
∴原方程没有实数根．
(3)∵a＝1，b＝－2，c＝1，
∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝x2＝1.
方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a，b，c的值，再求出b2－4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．
探究点三：根的判别式
【类型一】
用根的判别式判断一元二次方程根的情况
已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判断正确的是(　　)
A．该方程有两个相等的实数根
B．该方程有两个不相等的实数根
C．该方程无实数根
D．该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝1－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根．
【类型二】
根据方程根的情况确定字母的取值范围
若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)
A．k>－1
B．k>－1且k≠0
C．k<1
D．k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即解得k>－1且k≠0，故选B.
易错提醒：利用b2－4ac判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题容易误选A.
【类型三】
利用根的判别式判断三角形的形状
已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2ax＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状．
解：将原方程转化为一般形式，得(b＋c)x2－2ax＋(c－b)m＝0.
∵原方程有两个相等的实数根，
∴(－2a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0，
即4m(a2＋b2－c2)＝0.
又∵m≠0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.
根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形．
方法总结：利用根的判别式判断三角形形状的方法：根据一元二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题．
【类型四】
利用根的判别式解存在性问题
是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：不存在，理由如下：
假设m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则[－(2m－1)]2－4m2>0，解得m<.∵m为非负整数，∴m＝0.
而当m＝0时，原方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾．
∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根．
易错提醒：在求出m＝0后，常常会草率地认为m＝0就是满足条件的非负整数，而忽略了m2≠0这一隐含条件，因此解题过程中务必细心警惕．
三、板书设计
　
经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，认识配方法是理解公式的基础．通过对公式的推导，认识一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯．第2课时
利用两边及夹角判定三角形相似
一、教学目标
1．初步掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．
2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．
3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
二、重点、难点
重点：掌握判定方法，会运用判定方法判定两个三角形相似．
难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；
（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．
难点的突破方法
判定方法2一定要注意区别“夹角相等”
的条件，如果对应相等的角不是两条边的夹角，这两个三角形不一定相似，课堂练习2就是通过让学生联想、类比全等三角形中SSA条件下三角形的不确定性，来达到加深理解判定方法2的条件的目的的．
三、课堂引入
1.提出问题：由三角形全等的SAS判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
2.教材P81动脑筋
让学生画图，自主展开探究活动．
【归纳】
三角形相似的判定方法2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
四、例题讲解
例1（教材P82例5）
解：略
例2（教材P82例6）
解：略
例3
（补充）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．
分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出，结合∠B=∠ACD，证明△ABC∽△DCA，再利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式，从而求出AD的长．
解：略（AD=）．
五、课堂练习
1．教材P82
随堂练习
2．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看。
六、课后练习
1．教材P89
习题3.4
2．如图，AB AC=AD AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED．
※3．已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD AD，
求证：△ADC∽△CDP．
教学反思2.2.3　因式分解法
第1课时　因式分解法解一元二次方程
1．理解并掌握用因式分解法解方程的依据．
2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
我们知道ab＝0，那么a＝0或b＝0，类似的解方程(x＋1)(x－1)＝0时，可转化为两个一元一次方程x＋1＝0或x－1＝0来解，你能求(x＋3)(x－5)＝0的解吗？
二、合作探究
探究点：用因式分解法解一元二次方程
【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程
用因式分解法解下列方程
(1)x2＋5x＝0；
(2)(x－5)(x－6)＝x－5.
解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次多项式，可用因式分解法．
解：(1)原方程转化为x(x＋5)＝0，
所以x＝0或x＋5＝0，
所以原方程的解为x1＝0，x2＝－5；
(2)原方程转化为(x－5)(x－6)－(x－5)＝0；
所以(x－5)[(x－6)－1]＝0；
所以(x－5)(x－7)＝0；
所以x－5＝0或x－7＝0；
所以原方程的解为x1＝5，x2＝7.
方法总结：先将方程右边化为0，观察方程左边是否有公因式，若有公因式，就能利用提公因式法快速分解因式．
【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程
用公式法分解因式解下列方程：
(1)x2－6x＝－9；
(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.
解：(1)原方程可变形为：x2－6x＋9＝0，
则(x－3)2＝0，
所以x－3＝0，
因此原方程的解为：x1＝x2＝3.(2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0；
[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0；
(7x－16)(－3x＋4)＝0；
∴7x－16＝0或－3x＋4＝0；
∴原方程的解为x1＝，x2＝.
方法总结：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
三、板书设计
因式分解法
利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键．因此，要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因式分解的能力，来提高用因式分解法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法．2．3　一元二次方程根的判别式
1．理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念．
2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．(重点，难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？
二、合作探究
探究点：一元二次方程根的判别式
【类型一】不解方程判断一元二次方程的根的情况
不解方程，判断下列方程的根的情况．
(1)2x2＋3x－4＝0；
(2)x2－x＋＝0；
(3)x2－x＋1＝0.
解析：根据求根公式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．
解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)x2－x＋＝0，a＝1，b＝－1，c＝.
∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×＝0.
∴方程有两个相等的实数根．
(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.
∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.
∴方程没有实数根．
方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．
【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值
已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　)
A．a>2
B．a<2
C．a<2且a≠1
D．a<－2
解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C.
方法总结：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac<0时，一元二次方程没有实数根．反之也成立．若方程有实数根，则b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．
三、板书设计
(1)一元二次方程根的判别式：b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作“Δ”．
(2)利用判别式判断ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况：
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ<0时，方程没有实数根．
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法．2.2一元二次方程的解法
2.2.1
配方法
第1课时
用直接开平方法解一元二次方程
教学内容
运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
教学目标
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
重难点关键
1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
教学过程
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题
问题1．填空
（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．
问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
老师点评：
问题1：根据完全平方公式可得：（1）16
4；（2）4
2；（3）（）2
．
问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x，BQ=2x
依题意，得：x·2x=8
x2=8
根据平方根的意义，得x=±2
即x1=2，x2=-2
可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．
所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2．
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？
（学生分组讨论）
老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2
即2t+1=2，2t+1=-2
方程的两根为t1=-，t2=--
例1：解方程：x2+4x+4=1
分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．
解：由已知，得：（x+2）2=1
直接开平方，得：x+2=±1
即x+2=1，x+2=-1
所以，方程的两根x1=-1，x2=-3
例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
三、巩固练习
教材P31
练习．
四、应用拓展
例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．
解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．
那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31
把（1+x）当成一个数，配方得：
（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56
x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6
方程的根为x1=10%，x2=-3.1
因为增长率为正数，
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．
五、归纳小结
本节课应掌握：
由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．
六、布置作业
1．教材P45
复习巩固1、2．
2．选用作业设计:
一、选择题
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（
）．
A．p=4，q=2
B．p=4，q=-2
C．p=-4，q=2
D．p=-4，q=-2
2．方程3x2+9=0的根为（
）．
A．3
B．-3
C．±3
D．无实数根
3．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（
）．
A．（x-）2=，x=±
B．（x-）2=-，原方程无解
C．（x-）2=，x1=+，x2=
D．（x-）2=1，x1=，x2=-
二、填空题
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
三、综合提高题
1．解关于x的方程（x+m）2=n．
2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？
答案:
一、1．B
2．D
3．B
二、1．±
2．9或-3
3．-8
三、1．当n≥0时，x+m=±，x1=-m，x2=--m．当n<0时，无解
2．（1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，
依题意，得：x（40-2x）=180
整理，得：x2-20x+90=0，x1=10+，x2=10-；
同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20．
（2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，
b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．
3．因要制矩形方框，面积尽可能大，
所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．第2课时　相似三角形对应周长和面积的性质
1.理解并掌握相似三角形的周长和面积的有关性质.（重点）
2.学会综合运用相似三角形的性质解题.（难点）
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
如图所示是一个三角形的花坛，要在上面种满花草，园丁沿与AB平行的方向画一条直线，将花坛分割出一片三角形地块，测出△CDE的面积为10平方米，CE长为4m，BE长为6m.
根据所测得的数据，请你计算出整个花坛△ABC的面积.
二、合作探究
探究点一：相似三角形的面积的比等于相似比的平方
【类型一】与相似三角形的面积相关的性质
如图所示，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则下列说法中不正确的为（　　）
A.△ADE∽△ABC
B.S△ABF＝S△AFC
C.S△ADE＝S△ABC
D.DF＝EF
解析：∵D，E，F分别为△ABC三边的中点，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1∶2，∴S△ADE＝S△ABC，由AF是中线得S△ABF＝S△AFC.故选D.
　　方法总结：本题考查运用相似三角形解决面积问题，要注意相似三角形的面积等于相似比的平方.
【类型二】利用相似三角形的性质求面积
如图，在?ABCD中，E为CD的中点，连接AE，BD且AE与BD交于点F，S△DEF＝4cm2，求S△ABF.
解析：先证明△DFE∽△BFA，然后依据相似三角线的性质求出面积比，从而求出S△ABF.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∴S△ABF∶S△DEF＝AB2∶DE2，又AB＝CD＝2DE，∴S△ABF＝4S△DEF＝16（cm2）.
　　方法总结：熟练运用相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键，避免出现面积比等于相似比的错误.
探究点二：相似三角形的周长的比等于相似比
如图所示，△ABC和△EBD中，＝＝＝，△ABC与△EBD的周长之差为10cm，求△ABC的周长.
解析：首先根据已知条件探索三角形相似，然后依据相似三角形的性质得出比例式，最后求得结果.
解：设△ABC与△EBD的周长分别为p1cm，p2cm.∵＝＝＝，∴△ABC∽△EBD，且＝，又∵△ABC与△EBD的周长之差为10cm，∴p1－p2＝10，∴＝，解得p1＝25，p2＝15，∴△ABC的周长为25cm.
　　方法总结：本题首先从条件出发判定两个三角形相似，进而利用相似三角形的性质求解.
三、板书设计
教学过程中，归纳总结相似三角形的性质，需要对前一段的学习进行复习.因此在自主探究过程中要帮助学生完善思考，构建完整的知识体系，进一步开发学生潜能，培养严谨的学习态度.3.4
相似三角形的判定与性质
3.4.1
相似三角形的判定
第4课时
相似三角形的判定定理3
教学目标
1.使学生了解相似三角形的判定定理3.
2.会用相似三角形的判定定理3判定两三角形相似.
重点难点
重点：会用相似三角形的判定定理3判定两三角形相似.
难点：理解判定定理的推理过程.
教学设计
一.预习导学
预习教材P83—P84的内容，完成下列问题.
1.相似三角形的判定定理1是：
.
2.三角形相似的判定定理2是：
.
二.探究新知
教师叙述：前面我们学习了判定两三角形相似的判定定理1和2，大家想一想，还有没有其他的判定方法或定理呢？想掌握更多的判定定理吗？这节课我们就来探讨一下.
设计意图：通过老师的叙述，激发学生的求知欲，打开学生思维，引导学生主动探索和解决问题的境界，从而引入新课学习.
出示课题：相似三角形的判定（3）
（一)相似三角形的判定定理3的学习
动脑筋
任意画两个三角形△ABC
和△，使△ABC的边长是△
的边长的k倍.
分别度量∠A和∠，∠B和∠
，∠C和∠的大小，它们分别相等吗？由此你有什么发现？
（过程与方法：完全由学生参照前一判定定理的学习方法进行学习.）
通过上面的分析证明，我们可得到相似三角形的判定定理3：
三边成比例的两个三角形相似.
设计意图：进一步提高学生的自学能力，不断接受新的数学知识与数学修养水平.
例1
如图，在Rt△ABC
和Rt△中，∠C
=90°，∠=90°，
求证：
Rt△ABC
∽Rt△
（思路与方法：已知两边成比例，
只要得到第三边成比例，即可完成证明）
（说明：同学们相互交流解答思路，但要独立完成，提高自己作答的能力，教师巡视指导.）
例2
判断下图中的两个三角形是否相似，并说明理由.
设计意图：通过两个例题的学习，巩固对三角形的判定定理2.3的理解与掌握，提高几何问题的分析能力.解决能力以及表达能力，从而有效提高课堂效率与质量.
三.知识梳理
以”本节课我们学到了什么 ”启发学生谈谈本节课的收获.
1.本节课重点有掌握的知识是什么？
2.
在学习的过程中你的困惑是什么？
3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪里？
（说明：学生独立总结出本节知识点，小组内讨论交流，互相补充完善，教师及时给与指导，形成正确的知识归纳.）
四.当堂检测
1.如图，已知点D，E，F分别是△ABC
三边的中点，求证：△EDF∽△ACB.
2.判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.
五.教学反思
本节课的教学与上一节课判定定理1的学习具有一定的相似性，因此本教学设计注意方法上的“新旧联系”以帮助学生形成认识上的正迁移.上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充.第2课时　反比例函数y＝(k<0)的图象与性质
1．了解反比例函数y＝(k<0)的相关性质(重点，难点)．
2．理解双曲线的概念以及其与反比例函数的联系．(重点，难点)
3．利用双曲线的性质解决简单的数学问题．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
在一个平面直角坐标系中，根据所提供的数据描绘出相应的反比例函数图象.
x
－6
－3
－2
－1
1
2
3
6
y
－1
－2
－3
－6
6
3
2
1
x
－6
－3
－2
－1
1
2
3
6
y
1
2
3
6
－6
－3
－2
－1
观察这两个图象，试着求出它们的解析式，看看它们之间是否存在着某些关系？
二、合作探究
探究点一：作反比例函数y＝(k<0)图象的步骤
画出反比例函数y＝－的图象．
解析：画函数的图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，注意，k<0时，图象在第二、四象限．
x
－8
－4
－2
－1
1
2
4
8
y＝－
1
2
4
8
－8
－4
－2
－1
解：列表如下：
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得y＝－的图象．如图：
方法总结：y＝(k<0)图象的画法与y＝(k>0)的画法类似，但解题时要注意图象所在的象限．
探究点二：反比例函数y＝(k<0)的图象与性质
对于函数y＝－，下列说法正确的是(　　)
A．它的图象分别在第一、三象限
B．它的图象经过点(－1，2)
C．当x>0时，y的值随x的值增大而减小
D．当x<0时，y的值随x的值增大而减小
解析：函数y＝－的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，当x＝－1时，y＝2，所以A、C、D错误，B正确．故选B.
方法总结：解决这类问题需要熟练掌握反比例函数的基本图形和相关性质．
探究点三：双曲线的概念及性质
如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为(－1，3)，则它们的另一个交点坐标是(　　)
A．(1，3)
B．(3，1)
C．(1，－3)
D．(－1，3)
解析：双曲线是轴对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形，故选C.
方法总结：在解与反比例函数图象有关的问题时可以运用双曲线的对称性快速求解．
三、板书设计
教学的过程中，引导新的问题引发学生自主解答，在解决问题的过程中，加深对知识的理解和巩固．自主探究和合作交流相互结合，循序渐进，逐步积累解决问题的基本技巧，使学生能够适应考试命题方向．3.4.2　相似三角形的性质
第1课时　相似三角形对应高、中线、角平分线的性质
1.理解并掌握相似三角形的基本性质.（重点）
2.学会运用相似三角形的高，中线和角平分线解题.（难点）
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
下面几组图形，探究其中规律.（各图中△ABC∽△A′B′C′）
试探求与（△ABC与△A′B′C′的相似比）间的关系.
二、合作探究
探究点一：相似三角形对应高的比等于相似比
如图所示，在△ABC中，点E，F在BC边上，点D，G分别在AB，AC边上，四边形DEFG是矩形，若矩形DEFG的面积与△ADG的面积相等，设△ABC的BC边上的高AH与DG相交于点K，求的值.
解析：由矩形DEFG的面积与△ADG的面积相等，可以得到AH与AK的比，由矩形的对边平行，则可找到两个三角形相似，而DG与BC刚好是对应边，进而求解.
解：∵矩形DEFG的面积与△ADG的面积相等，∴＝，∴＝，即＝，又由DG∥BC可得△ADG∽△ABC，∴＝＝.
　　方法总结：本题考查相似三角形对应高的性质的应用，将已知面积关系转化成相似三角形的对应高的比，进而求解.
探究点二：相似三角形对应中线的比等于相似比
如图所示，已知△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，求证：AD·B′E′＝BE·A′D′.
解析：由△ABC∽△A′B′C′，可以得到，都等于相似比，即可得证.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，设△ABC和△A′B′C′的相似比为k，∵AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，∴＝k，＝k，∴＝，∴AD·B′E′＝BE·A′D′.
　　方法总结：本题考查相似三角形对应高和中线的性质，解题时应从三角形的相似出发，寻找对应的比例关系解题.
探究点三：相似三角形对应角平分线的比等于相似比
如图所示，△ABC∽△DEF，AG，DH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6cm，EF＝4cm，AG＝4.8cm，求DH的长.
解析：由△ABC∽△DEF，可以得到角平分线，AG∶DH等于相似比，已知BC、EF、AG的长，代入比例式，可求得DH.
解：∵△ABC∽△DEF，AG，DH分别是△ABC和△DEF的角平分线，∴＝，又∵BC＝6cm，EF＝4cm，AG＝4.8cm，∴DH＝＝＝3.2cm.
　　方法总结：本题考查相似三角形对应角平分线的性质，找准相似三角形，运用对应角平分线的比等于相似比解题.
三、板书设计
教学过程中，就前几课时所学习的理论知识进行进一步深入探讨.要求学生能够灵活运用，因此在自主探究过程中要帮助学生完善思考，形成正确的数学思维和严密的逻辑性，进一步提升学生自主探究和创新的能力.2．5　一元二次方程的应用
第1课时　增长率问题与经济问题
1．会用列一元二次方程的方法解决有关实际问题；(重点，难点)
2．进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？
二、合作探究
探究点一：增长(降低)率问题
某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3，4月份销售额的月平均增长率．
解：设3，4月份销售额的月平均增长率为x.
根据题意，得60×(1－10%)(1＋x)2＝121.5，则(1＋x)2＝2.25，
解得x1＝0.5，x2＝－2.5(不合题意，舍去)．
答：3，4月份销售额的月平均增长率为50%.
方法总结：解决平均增长率(或降低的百分数)问题的关键是明确基础量和变化后的量．如果设基础量为a，变化后的量为b，平均每年的增长率(或降低率)为x，则两年后的值为a(1±x)2.由此列出方程a(1±x)2＝b，求出所需要的量．
探究点二：经济问题
某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件．已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8
000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？
解：设每件商品涨价x元，根据题意，得
(50＋x－40)(500－10x)＝8
000，即x2－40x＋300＝0.解得x1＝10，x2＝30.
经检验，x1＝10，x2＝30都是原方程的解．
当x＝10时，售价为10＋50＝60(元)，销售量为500－10×10＝400(件)．
当x＝30时，售价为30＋50＝80(元)，销售量为500－10×30＝200(件)．
∵要尽量减少库存，∴售价应为60元．
答：售价应为60元．
方法总结：理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关键，另外，不能忽视“尽量减少库存”，它是取舍答案的一个重要依据．
三、板书设计
一元二次方程的应用
经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣．3.1
比例线段
3.1.2
成比例线段
（一）教学知识点
1、了解相似形、线段的比概念；
2、会求两条线段的比,
应用线段的比解决实际问题。
（二）能力训练要求
通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。
（三）情感与价值观要求
有关比例的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学好数学的信心；
通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识；
在与他人的共同探索、讨论问题的过程中，增强合作交流的意识。
教学重点：理解线段比的概念及其求解。
教学难点：求线段的比，注意线段长度单位要统一。
教学方法：探索、发现法
教学准备：多媒体课件
本节课设计了六个教学环节：第一环节：设置情境，引入新课；第二环节：新课讲解；第三环节：随堂练习；第四环节：想一想；第五环节：回顾与思考；第六环节：布置作业。
第一环节
设置情境，引入新课
活动内容：通过用幻灯片展示生活的的图片，引入本章的学习内容—相似图形。
活动目的：引发学生思考相似图形的特征，激发学生的学习兴趣。
实际效果：学生们都很兴奋，对学习充满了好奇心。
第二环节：新课讲解
活动内容：
请在下面图形中找出形状相同的图形？你发现这些形状相同的图形有什么不同？
2.
引入线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m，n,那么就说这两条线段的比（ratio）AB:CD=m:n,或写成其中,AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k,那么,或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比。
五边形
ABCDE与五边形A’B’C’D’E’形状相同，AB=5cm，A’B’=3cm。AB:
A’B’=5
:
3，就是线段AB与线段A‘B’的比。
这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。
3.想一想：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？
通过上面的活动学生应该对这个问题有了一定的认识:两条线段长度的比与所采用的长度单位无关.但要采用同一个长度单位.
做一做：
如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB，CD，EH，EF的长度分别是多少？分别计算
值。
你发现了什么？
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.
上图中AB,EH,AD,EF是成比例线段，AB,AD,EH,EF也是成比例线段。
议一议：如果a,b,c,d四个数成比例，即a/b=c/d，那么ad=bc吗？反过来如果ad=bc，那么a,b,c,d四个数成比例吗？
比例的基本性质
如果
=
,那么ad=bc。
如果ad=bc(a,b,c,d都不等于零)，那么
=
。
6.例题1：
如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即
,那么a的值应当是多少？
活动目的：通过发现这些形状相同的图形的不同点，引出线段的比的概念，中学生实际操作后并进行了讨论得出：两条线段长度的比与所采用的长度单位没有关系。并引入成比例线段的概念。再通过教科书上的例题，让学生利用所学的知识来解决实际生活中的问题。
活动效果:学生在动手操作实践中掌握了知识，并有效地攻克了本节课的重点、难点。
第三环节：随堂练习
活动内容：
1、一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，则这两条线段之比是______
2、一条线段的长度是另一条线段长度的，则这两条线段之比是______
3、已知a、b、c、d是成比线段,a=4cm,b=6cm,d=9cm,则c=____
4、如果，那么=____
5、把写成比例式，写错的是（
）
6、已知a:b:c=2:3:4,且a+b+c=15，则a=___,b=___,c=___.
活动目的：让学生巩固课堂上所学的知识。
活动效果：学生基本都能运用所学的知识解决比例问题，收到了较好的教学效果。
第四环节：想一想
活动内容：生活中还有哪些利用线段比的事例 你能举例吗？
房屋装修平面图，手机模型，汽车模型，深圳世界之窗，建筑物的效果图等等。
活动目的：进一步让学生体会线段的比在生活中的应用。
活动效果：活动中学生们很活跃，例举了很多例子，比如：地图、指示图、等等。
第五环节：回顾与思考
活动内容：这节课我们学习了哪些知识 你有什么收获 你有什么发现、探索
活动目的：让学生回顾本节课的学习内容，学会归纳，善于总结，做一个有心人。
活动效果：虽然学生的程度不同，但不同程度的学生都能够有所收获。学生回答不完整的，再由老师补充小结：
1）、线段的比的概念、表示方法；前项、后项及比值k；
2）、两条线段的比是有序的;与采用的单位无关，但要选用同一长度单位；
3）、两条线段的比在实际生活中的应用。
第六环节：布置作业
作业:略。
四、教学反思
1、教师可以根据学生的实际情况进行适当调整，设置出适合个人教学的情境。书上的情境设置应该是适用于广大地区的，老师也可以根据自己身边的熟悉的事物来设置情境，或是就用教科书上的情境。具有地方特色的教学资源，不仅丰富了学生对家乡风景的认识和了解，也上学生感受到数学知识在生活中的应用。
2、教学中穿插了让同桌之间用不同的单位测量课本的长与宽(精确到0.1cm),并求出这两条线段的长度之比。添加这个环节目的是对学生得出“两条线段长度的比与所采用的长度单位无关”的结论埋下伏笔。学生已经有了全等图形和比例的知识作为铺垫，生活中也存在大量相似图形的例子，所以学生学习起来不会很难，可以大胆的放手让学生自己去动手操作、动脑思考，老师可以在适当的时候给予帮助和补充。
3、教材上的例题可以交给学生自学，然后通过随堂联系加以巩固。如果不能达到预期效果，时间允许的话可以补充相关的练习。第2课时　图形面积问题
1．掌握列出一元二次方程解图形问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；(重点，难点)
2．学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)．
二、合作探究
探究点：利用一元二次方程解决图形问题
【类型一】
面积问题
要对一块长60米，宽40m的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化，设计方案如图所示，矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD的面积的，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽．
解：设P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为x米．
根据题意，得(60－3x)·(40－2x)＝60×40×，解得x1＝10，x2＝30.
检验：如果硬化路面宽为30米，则2×30＝60＞40，所以x2＝30不符合题意，舍去，故x＝10.
答：P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为10米．
易错提醒：在应用题中，未知数的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值是否满足所列方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义．在求出方程的解为10或30时，如果不进行验根，就会误以为本题有两个答案，而题目中明确有“荒地ABCD是一块长60米，宽40米的矩形”这个已知条件，显然x＝30不符合题意．
【类型二】
动点问题
如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．
(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
解析：这是一道动点问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程求解．
解：因为∠C＝90°，所以AB＝＝＝10(cm)．
(1)设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.
则根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
(2)设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半．
则根据题意，得·(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x＋12＝0.
由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻．
方法总结：解决动态几何问题的关键是寻找点运动的过程中变化的量与不变的量，寻找等量关系列方程．对于动点问题，常先假设出点的位置，根据面积关系列出方程，如果方程的根符合题目的要求，就说明假设成立，否则，假设不成立．
三、板书设计
利用一元二次方程解决图形问题eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(面积问题
经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型解决问题的过程，认识方程模型的重要性.通过列方程解应用题，观察、思考、交流，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.经历探索过程，培养合作学习的意识.体会数学与实际生活的联系，进一步感知方程的应用价值.第2课时　选择合适的方法解一元二次方程
1．理解解一元二次方程的基本思路．
2．能根据题目特点选用最恰当的方法求解．(重点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
王庄村在测量土地时，发现了一块正方形的土地和一块矩形的土地，矩形土地的宽和正方形土地的边长相等，矩形土地的长为80m，工作人员说，正方形土地的面积是矩形土地面积的一半，你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？
二、合作探究
探究点一：解一元二次方程的方法选择
方程(x－3)(x＋1)＝x－3的解是(　　)
A．x＝0
B．x＝－3
C．x＝3或x＝－1
D．x＝3或x＝0
解析：方程两边有公因式(x－3)，可以利用因式分解法解方程，原方程变形，得(x－3)(x＋1)－(x－3)＝0，所以(x－3)(x＋1－1)＝0，即x－3＝0或x＝0，所以原方程的解为x1＝3，x2＝0.故答案为D.
易错提醒：解形如ax2＝bx的方程，千万不可以在方程的两边同时除以x，得到x＝，这样会产生丢根现象，只能提公因式，得到x1＝0，x2＝.如本题中易出现在方程两边同除以(x－3)，从而得到x＝0的错误．
探究点二：选择适当的方法解一元二次方程
用适当的方法解方程：(1)3x(x＋5)＝5(x＋5)；(2)3x2＝4x＋1；(3)5x2＝4x－1.
解：(1)原方程可变形为3x(x＋5)－5(x＋5)＝0即(x＋5)(3x－5)＝0，
∴x＋5＝0，3x－5＝0，
∴x1＝－5，x2＝.
(2)将方程化为一般形式，得3x2－4x－1＝0.
这里a＝3，b＝－4，c＝－1，
∴b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝28＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝.
(3)将方程化为一般形式，得5x2－4x＋1＝0.
这里a＝5，b＝－4，c＝1，
∴b2－4ac＝(－4)2－4×5×1＝－4＜0，
∴原方程没有实数根．
方法总结：解一元二次方程时，若没有具体的要求，应尽量选择最简便的方法去解，能用因式分解或开平方法的选用因式分解或开平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解．在用公式法时，要先计算b2－4ac的值，若b2－4ac＜0，则判断原方程没有实数根．没有特殊要求时，一般不用配方法．
三、板书设计
经历探索不同解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力．积极探索方程不同的解法，体验解决问题方法的多样性．通过交流发现最优解法，在学习活动中获得成功的体验．第4课时　相似三角形的判定定理3
1.理解并掌握相似三角形的判定定理3.（重点，难点）
2.相似三角形的判定定理3的相关应用.（重点，难点）
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
观察下列几组图形，探究其中规律.
试判断与△ABC相似的三角形.
二、合作探究
探究点一：相似三角形的判定定理3
根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由.
（1）AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，DE＝18cm，EF＝24cm，DF＝30cm；
（2）AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，DE＝12cm，EF＝18cm，DF＝21cm.
解析：已知两个三角形三边边长，只需证三边是否成比例，即可判断是否相似.
解：（1）∵＝＝，＝＝，＝＝∴＝＝，∴△ABC∽△DEF.
（2）∵＝＝，＝＝，＝，∴＝≠，∴△ABC与△DEF不相似.
　　方法总结：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，首先要找准对应边，可以把两个三角形的边按从小到大排列，再看是否符合三角形相似的判定定理3即可.
探究点二：相似三角形的判定定理3的应用
【类型一】利用相似三角形的判定定理3求值
如图所示，已知＝＝，则∠ABD＝∠　　　Ｗ.
解析：∵＝＝，∴△ABC∽△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，而∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∴∠ABD＝∠CBE，故填CBE.
　　方法总结：解答此题时要注意对应边与对应角，根据三组对应边成比例得出相似，再通过转化得到结果.
【类型二】利用相似三角形的判定定理3证明相似
如图所示，在正方形ABCD中，P是BC边上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点.求证：△ADQ∽△QCP.
解析：先设参数，求出各边，证明三边成比例，即可证△ADQ∽△QCP.
证明：设正方形ABCD的边长为4a.∵P是BC边上的点，且BP＝3PC，∴PC＝a，∵Q是CD的中点，∴QC＝QD＝2a，AQ＝2a，QP＝a，而＝＝，＝＝，＝＝，即＝＝，∴△ADQ∽△QCP.
　　方法总结：在确定对应关系时，要注意最长边对应最长边，最短边对应最短边.本题也可以利用相似三角形的判定定理2证明.
三、板书设计
相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似
本次教学过程完成了对相似三角形判定定理的教学，在课程引入时，应注重引导学生就所学知识进行回顾归纳，并系统的回顾相关知识点，形成完整的知识架构，进一步锻炼学生的归纳总结能力，培养良好的逻辑思维能力.3.1
比例线段
3.1.1
比例线段的基本性质
【教学目标】
1、（理解）
能熟记比例的基本性质．
2、（掌握）
能够运用比例的性质进行简单的计算和证明.
【教学重点】
比例的基本性质及其应用.
【教学过程】
知识链接：
1、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题：
（1）如果a与b的比值和c与d的比值相等，应记为：
。
（2）已知2：3＝4：x，则x=
。
2、上节课教学了两条线段的比，成比例线段
（1）比例线段及其相关概念
“成比例线段”的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做
。
（2）
“成比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？
线段的比是指
条线段的比的关系，成比例线段是指
条线段之间的关系。
（3）注意：概念的有序性
线段的比有顺序性，a:b和b:a相等吗？请举例说明。
成比例线段也有顺序性，如能说成是b、a、c、d成比例吗？请举例说明。
预习交流：
比例的基本性质是：
。
请写出推理过程：
∵，在两边同乘以bd得，
=
∴
=
合比性质:如果，那么
请写出推理过程：
∵，在两边同时加上1得，
+
=+
.
两边分别通分得：
思考：请仿照上面的方法，证明“如果，那么”．
等比性质：
猜想（），与相等吗？能否证明你的猜想？（引导学生从上述实例中找出证明方法）
等比性质：如果（），那么＝．
思考：等比性质中，为什么要这个条件？
巩固练习：
1.在相同时刻的物高与影长成比例，如果一建筑在地面上影长为50米，高为1.5米的测竿的影长为2.5米，那么，该建筑的高是多少米？
2．若则
3．若，则
本课小结：
1．比例的基本性质：a:b=c:d
；
2.
合比性质：如果，那么
；
3.
等比性质：如果（），
布置作业：3.3
相似的图形
教学目标：
理解相似形的概念，了解相似形是两个图形之间的关系。由于需要的不同，要制定出大小不一定相同的图形，培养学生的观察能力。
教学过程：
思考探究
挂上大小不一样的中国地图两张及两张大小不同的长城图片，供同学观察，并看课本的图，提出问题：这几组图片有什么相同的地方呢
这些图片大小虽然不一样，但形状是相同。
问题引入
由于不同的需要，我们用同一底片冲洗、放大得到的相片有1寸的，也有2寸的，也有更大的，这些大小不一样的相片，其形状是相同。同学们想一想，在毕业证书贴的相片与学籍卡片上的相片、教学证的相片大小不一定一样，但形状相同，如果不相同会有什么后果呢
大小不相同的中国地图或世界地图，其形状也是相同的，只是由于需要的不同，印制成大小不一的图片。对于某一地区，也经常会绘制成各种大小不同的建筑物、山岗等所处的位置都是相同，同学们想一想，如果两张地图(同一地区)的形状不一样，那就会给我们许多错觉，就会产生许多麻烦的事情。
在日常生活中我们会看到许多这样形状相同，而大小不一定相同的图形。在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形。同学们你还能说出哪些相似的图形吗
如图所示的是一些相似的图形。
想一想：放大镜下的图形和原来的图形相似吗
　
你看过哈哈镜吗 哈哈镜中的形像与你本人相似吗
还有一些图形，看起来有点相像，但它们不是相似的图形。
为什么有一部分图形看起来相像，但不相似呢 这就是数学上说的相似图形还有其特征，就是这章要探索的内容。
三、课堂练习
你能画出两个或更多的相似形吗
四、小结
形状相同而大小不一定相同的图形称为相似形，相似形在日常生活中经常碰到。
五、作业4.2
正切
教学目标:
1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
2、了解计算一个锐角的正切值的方法。
教学重点：
理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
教学难点：
计算一个锐角的正切值的方法。
教学过程：
一、观察回答：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？
图（1）
图（2）
[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形
答：图
的台阶更陡，理由
二、探索活动
1、思考与探索一：
除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述
台阶的倾斜程度呢？
可通过测量BC与AC的长度，
再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。
（思考：BC与AC长度的比与台
阶的倾斜程度有何关系？）答：_________________.
讨论：你还可以用其它什么方法？
能说出你的理由吗？答：_____________________.
2、思考与探索二：
（1）如图，一般地，如果锐角A的大小已确定，
我们可以作出无数个相似的RtAB1C1，RtAB2C2，
RtAB3C3……，那么有：Rt△AB1C1∽_____∽____……
根据相似三角形的性质，
得：＝_________＝_________＝……
（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的
大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的
邻边的比值也_________。
3、正切的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边。我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A_______，记作______。
即：tanA＝________＝__________
（你能写出∠B的正切表达式吗？）试试看.
4、牛刀小试
根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值。
（通过上述计算，你有什么发现？___________________.）
5、思考与探索三：
怎样计算任意一个锐角的正切值呢？
（1）例如，根据书本P39图7—5，我们可以这样来确定tan65°的近似值：当一个点从点O出发沿着65°线移动到点P时，这个点向右水平方向前进了1个单位，那么在垂直方向上升了约2.14个单位。于是可知，tan65°的近似值为2.14。
（2）请用同样的方法，写出下表中各角正切的近似值。
θ
10°
20°
30°
45°
55°
65°
tanθ
2.14
（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正切值。
（4）思考：当锐角α越来越大时，α的正切值有什么变化？
三、随堂练习
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，
则tanA＝________，tanB＝______。
2、如图，在正方形ABCD中，点E为
AD的中点,连结EB，设∠EBA＝α，则tanα＝_________。
四、请你说说本节课有哪些收获？
五、作业p119
六、拓宽与提高
1、如图是一个梯形大坝的横断面，
根据图中的尺寸，请你通过计算判断
左右两个坡的倾斜程度更大一些？
2、在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标
分别为A（－4,1），B（－1，3），C（－4,3），
试求tanB的值。
A
C1
C2A
C3
B1
B2
B3
A
对边b
C
对边a
B
斜边c
B
C
A
1
B
A
C
3
5
A
2
C
1
B
A
BA
CBA
DCBA
ECBA
1.2m
2.5m
1m
(单位：米)第2课时　平面直角坐标系中的位似
1.学习巩固位似相关概念知识.（重点）
2.能够利用位似知识解决相关几何问题.（重点，难点）
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
观察如图所示的坐标系.
试着发现坐标系中几个图形间的联系，试着自己做出一个类似的图形.
二、合作探究
探究点一：已知坐标平面内图形的位似变换，求坐标
如图所示，已知O是坐标原点，△OBC与△ODE是以O点为位似中心的位似图形，且△OBC与△ODE的相似比为1∶2，如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），则M在△ODE中的对应点M′的坐标为（　　）
A.（－x，－y）
B.（－2x，－2y）
C.（－2x，2y）
D.（2x，－2y）
解析：△OBC与△ODE是以O为位似中心的位似图形.位似比为1∶2，∴M（x，y）经放大变换后的点M′的坐标为（－2x，－2y），故选B.
　　方法总结：在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，则点P（x，y）的对应点的坐标为（kx，ky）或者（－kx，－ky）.
如图，正方形ABCD缩小后得到正方形OEFG，点A和点F的坐标分别为（3，2），（－1，－1），则两个正方形的位似中心的坐标是　　　　Ｗ.
解析：当位似中心在两正方形之间时，此时位似中心为（1，0）；当位似中心在两正方形的左边时，此时位似中心为（－5，－2），故填（1，0）或（－5，－2）.
　　方法总结：位似中心是两位似图形对应点连线所在直线的交点，故当对应关系没有明确时，需分两种情况求出.
探究点二：在坐标平面内作位似图形
如图所示的平面直角坐标系中，△OAB的顶点O为原点，A（－2，0），B（－1，2），按要求作图.
　　以O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为3∶1，画出△OA1B1（△OA1B1与△OAB在原点两侧）.
解：根据题设可知A1的坐标为（6，0），B1的坐标为（3，－6），在平面直角坐标系中标出A1、B1两点，连接OB1，OA1，△OA1B1就是△OAB放大后的图形.
　　方法总结：画△AOB关于原点的位似图形，可先确定对应点的位置，然后连线即可得到所求图形.
三、板书设计
本课时所学习的内容多与实际相结合，因此在教学过程中要引导学生展开丰富的联想，在日常生活中发现问题，并进行合理的整合归纳，选择适宜的数学模型来解决问题.此类与实际应用联系紧密的知识，能更为有效地开发学生的各项潜能.1.1
反比例函数
一、教学目标
1．使学生理解并掌握反比例函数的概念
2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式
3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想
二、重、难点
1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式
2．难点：理解反比例函数的概念
三
教学过程：
随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？
创设情景
探究问题
情境1：
当路程一定时，速度与时间成什么关系？（s＝vt）
当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系
［说明］这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例关系，如xy＝m（m为一个定值），则x与y成反比例。
这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫。
情境2：
汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化.
问题：
（1）你能用含有v的代数式表示t吗？
（2）利用（1）的关系式完成下表：
v/(km/h)
60
80
90
100
120
t/h
（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？
情境3：
用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：
（1）一个面积为6400m2的长方形的长a（m）随宽b（m）的变化而变化；
（2）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化；
（3）游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水所需时间t（h）随注水速度v（m3/h）的变化而变化；
（4）实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化.
问题：
（1）这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？
（2）它们有一些什么特征？
（3）你能归纳出反比例函数的概念吗？
一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数.
反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数
二、例题教学
例1：下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝－
；(4)y＝－3；(5)y＝；(6)y＝＋2；(7)y＝.
例2：在函数y＝－1，y＝，y＝x－1，y＝中，y是x的反比例函数的有　　个.
［说明］这个例题也是引导学生从反比例函数概念入手，着重从形式上进行比较，识别一些反比例函数的变式,如y＝kx－1的形式.
还有y＝－1通分为y＝，y、x都是变量，分子不是常量，故不是反比例函数，但变为y＋1＝可说成（y＋1）与x成反比例.
例3：若y与x成反比例，且x＝－3时，y＝7，则y与x的函数关系式为　　　　　　.
［说明］这个例题引导学生观察、讨论，并回顾以前求一次函数关系式时所用的方法，初步感知用“待定系数法”来求比例系数，并引导学生归纳求反比例函数关系式的一般方法，即只需已知一组对应值即可求比例系数.
三、拓展练习
1、写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数.
如果是，指出比例系数k的值.
（1）底边为5cm的三角形的面积y（cm2）随底边上的高x（cm）的变化而变化；
（2）某村有耕地面积200ha，人均占有耕地面积y（ha）随人口数量x（人）的变化而变化；
（3）一个物体重120N，物体对地面的压强p（N/m2）随该物体与地面的接触面积S（m2）的变化而变化.
2、下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是，比例系数是多少？
（1）y＝x；
（2）y＝；
（3）xy＋2＝0；
（4）xy＝0；　　（5）x＝.
3、已知函数y＝（m＋1）x是反比例函数，则m的值为　　　　.
四、课堂小结
这节课你学到了什么？还有那些困惑？4.3　解直角三角形
1.了解并掌握解直角三角形的概念.
2.掌握解直角三角形的依据并能熟练解题.（重点，难点）
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
在直角三角形中，除了直角外，一共有五个元素，即三角形的三条边和两个锐角.
尝试探究已知哪些元素能够求出其他元素.
二、合作探究
探究点一：解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝2，解这个三角形.
解析：本题已知斜边AB和直角边AC，求另一个直角边和两锐角∠A，∠B.
解：在Rt△ABC中，BC＝＝＝.∵sinA＝＝＝，且∠A为锐角，∴∠A＝30°，∠B＝90°－∠A＝60°.
　　方法总结：在直角三角形中，除了直角外的5个元素，只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），利用关系式，就可以求出其他3个未知元素.
探究点二：利用解直角三角形求边、角
【类型一】利用解直角三角形求边
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为（　　）
A.4
B.2
C.
D.
解析：∵cosB＝＝，设BC＝2x，则AB＝3x＝6，∴x＝2，∴BC＝2x＝4.故选A.
　　方法总结：解此类题型时，首先利用三角函数求出边边关系，再根据已知条件或勾股定理求解.
【类型二】利用解直角三角形求角
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，那么∠B为（　　）
A.60°
B.60°或120°
C.30°或150°
D.30°
解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝＝，∠B为锐角，∴∠B＝30°.故选D.
　　方法总结：解此类问题时，首先利用已知边求出角的三角函数值，再求角的度数.
三、板书设计
教学过程中引导学生对所学理论知识进行系统的复习，归纳整合成为一个知识网络，能够清楚认识到各个知识点之间的联系，为接下来综合应用的学习打下基础.教学过程中还应当把握教学进度，确保学生能够牢牢把握基础知识.3.3　相似图形
1.理解相似图形的基本概念.（重点）
2.理解并掌握相似三角形的概念及其基本性质.（重点，难点）
3.理解并掌握相似多边形的概念及其基本性质.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
仔细观察图片内容.
试着比较每一组图片，发现它们之间存在的联系.
二、合作探究
探究点一：相似图形的概念及基本性质
【类型一】相似图形的概念
下列图形：①两个长方体；②两个半径不等的圆；③同一张底片冲洗出来的2寸和5寸照片；④圆柱和圆锥.其中相似的图形有（　　）
A.①③
B.②③
C.①④
D.②③④
解析：两个半径不等的圆的形状相同，是相似的；同一张底片冲洗出来的2寸和5寸照片的形状相同，只是大小不等，是相似的，所以相似的图形有②③.故选B.
　　方法总结：解决此类问题要紧扣定义中“图形”及“形状相同”.
【类型二】相似三角形概念及基本性质的运用
已知△ABC∽△A′B′C′，且BC＝3cm，B′C′＝6cm，△ABC与△A′B′C′的相似比为　　　　；△A′B′C′与△ABC的相似比为　　　　Ｗ.
解析：△ABC与△A′B′C′的相似比为＝＝，△A′B′C′与△ABC的相似比为＝＝2.故填；2.
　　方法总结：在一对相似的三角形中，三角形的前后次序不同，所得相似比不同.
探究点二：相似多边形
【类型一】相似多边形的概念
下列说法中正确的有（　　）
①所有的正三角形都相似；②所有的正方形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的菱形都相似.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解析：④所有矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不一定相似；⑤所有菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，也不一定相似；正确的说法：①②③.故选B.
　　方法总结：相似多边形的概念，同时也是它的判定定理，即两个边数相同的多边形在同时满足“对应边成比例，对应角相等”这两个条件时，才可判定这两个多边形相似.
【类型二】相似多边形的应用
如图所示，在小区绿化过程中，有一个矩形草坪，长20米，宽10米，沿草坪四周要修一宽度相等的环形中路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，能否做到？并说明理由.
解析：先假设能做到，列出比例式，求小路宽度，然后验证是否符合题意.
解：不能.假设能做到，设小路的宽为x米，因为小路内外边缘所成的矩形相似，所以其对应边成比例，即＝，解得x＝0.与题设不符，故舍去.所以不能做到.
　　方法总结：解决此类问题的方法是先假设问题成立，然后进行推理，若得出正确的结论，则说明成立；若得出错误的结论，则说明不成立.
三、板书设计
本课时中，将进一步对所学知识进行延伸，引入新知识的难度逐步增大.因此在教学过程中应当把握教学进度，关注学生对于新知识的理解和吸收程度，及时调整教学计划和方法.确保学生能够很好地理解掌握新知识，为日后的学习打好基础.2.2
一元二次方程的解法
2.2.3
因式分解法
第1课时
因式分解法解一元二次方程
教学目标
1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。
重点难点
重点：掌握用因式分解法解某些一元二次方程。
难点：用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程。
教学过程
（一）复习引入1、提问：
(1)
解一元二次方程的基本思路是什么？
(2)
现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次”为一元一次方程的方法
2、用两种方法解方程：9(1-3x)2=25
（二）创设情境
说明：可用因式分解法或直接开平方法解此方程。解得x1=
，，x2=-
。
1、说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。
归纳结论：因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、想一想：展示课本1．1节问题二中的方程0.01t2-2t
=0，这个方程能用因式分解法解吗
（三）探究新知
引导学生探索用因式分解法解方程0.01t2-2t=0，解答课本1．1节问题二。
把方程左边因式分解，得t(0.01t-2)=0，由此得出t=0或0.01t-2=0
解得
tl=0，t2=200。
t1=0表明小明与小亮第一次相遇；t2=200表明经过200s小明与小亮再次相遇。
（四）讲解例题
1、展示课本P37例3。
按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程。
要使学生明确：解方程时不能把方程两边都同除以一个含未知数的式子，若方程两边同除以含未知数的式子，可能使方程漏根。
3、展示课本P39。
让学生自己尝试着解，然后看书上的解答，交换批改，并说一说在解题时应注意什么。
（五）应用新知
课本P39练习。
（六）课堂小结
1、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：先把一个一元二次方程变形，使它的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，然后使每一个一次因式等于0，分别解这两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。
2、在解方程时，千万注意两边不能同时除以一个含有未知数的代数式，否则可能丢失方程的一个根。
（七）思考与拓展
用因式分解法解下列一元二次方程。议一议：对于含括号的一元二次方程，应怎样适当变形，再用因式分解法解。
(1)
2(3x-2)=(2-3x)(x+1)；
(2)
(x-1)(x+3)=12。
[解]
(1)
原方程可变形为
2(3x-2)+(3x-2)(x+1)=0，
(3x-2)(x+3)=0，
3x-2=0，或x+3=0，
所以xl=
，x2=-3
(2)
去括号、整理得
x2+2x-3=12，x2+2x-15=0，
(x+5)(x-3)=0，
x+5=0或x-3=0，
所以x1=-5，x2=3
先让学生动手解方程，然后交流自己的解题经验，教师引导学生归纳：对于含括号的一元二次方程，若能把括号看成一个整体变形，把方程化成一边为0，另一边为两个一次式的积，就不用去括号，如上述(1)；否则先去括号，把方程整理成一般形式，再看是否能将左边分解成两个一次式的积，如上述(2)。
布置作业
教学后记：3.1　比例线段
3.1.1　比例的基本性质
1.理解比例的定义并能熟练运用.
2.掌握比例的基本性质.（重点，难点）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
数学来源于生活，数学中很多定理都可以用生活中的常识来解释.例如配制糖水的问题，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度.
试着举出更多利用比例的生活实例.
二、合作探究
探究点一：比例的基本性质
已知＝，那么下列式子成立的是（　　）
A.3x＝2y
B.xy＝6
C.＝
D.＝
解析：根据比例的基本性质可知3y＝2x，所以可得＝，＝即得A、C项错误，B项“xy＝6”无法由“＝”变化得到，故选D.
　　方法总结：本题考查的知识点为比例的基本性质，解题时从基本性质出发进行变化.
探究点二：比例基本性质的拓展
【类型一】根据给定条件，求简单比值
若＝，求的值.
解析：根据比例的基本性质，将比例式变为等积式，然后化简，变形得出答案.
解：∵＝，∴3（3m－n）＝n，∴9m－3n＝n，9m＝4n，∴＝.
　　方法总结：解题时首先运用比例的基本性质对已知条件进行转化，化简，最后再利用比例的基本性质求比值.
【类型二】根据给定条件，求复杂比值
已知＝＝…＝＝3，且b＋a＋f…＋n≠0，求的值.
解析：把比例式化为等积式，可得a＝3b，c＝3d，…，m＝3n代入即可求解.
解：∵＝＝＝…＝＝3，∴a＝3b，c＝3d，e＝3f，…，m＝3n，又∵b＋d＋f＋…＋n≠0，∴＝＝＝3.
　　方法总结：本题考查比例的等比性质，需要用到等值替换的解题思想，在解答此类题目时，要充分运用题设条件，将复杂问题简单化求解.
三、板书设计
比例
在教学过程中，通过情景导入引导学生进入一个全新的数学情景，学生经过自主探究，发现事物间存在的规律，在激发学生学习兴趣的同时，适时引入新的知识，类比学习.本课时注重对学生创新思维的培养.1.2
反比例函数的图象与性质
第1课时
反比例函数（k>0）的图象与性质
[教学目标]
1、体会并了解反比例函数的图象的意义
2、能描点画出反比例函数的图象
3、通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质
[教学重点和难点]
本节教学的重点是反比例函数的图象及图象的性质
由于反比例函数的图象分两支，给画图带来了复杂性是本节教学的难点
[教学过程]
1、情境创设
可以从复习一次函数的图象开始：你还记得一次函数的图象吗 在回忆与交流中，进一步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质。转而导人关注新的函数——反比例函数的图象研究：反比例函数的图象又会是什么样子呢
2、探索活动
探索活动
反比例函数的图象．
由于反比例函数的图象是曲线型的，且分成两支．对此，学生第一次接触有一定的难度，因此需要分几个层次来探求：
(1)可以先估计——例如：位置(图象所在象限、图象与坐标轴的交点等)、趋势(上升、下降等)；
(2)方法与步骤——利用描点作图；
列表：取自变量x的哪些值
——x是不为零的任何实数，所以不能取x的值的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值。
描点：依据什么(数据、方法)找点
连线：怎样连线
——可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来。
3、例题教学
课本安排例1，（1）巩固反比例函数的图象的性质。（2）是为了引导学生认识到：由于在反比例函数(k>0)中，只要常数k的值确定，反比例函数就确定了．因此要确定一个反比例函数，只需要一对对应值或图象上一个点的坐标即可．（3）可以先设问：能否利用图象的性质来画图？
4、应用知识，体验成功
练笔：课本“课内练习”
1.2.3
5、归纳小结，反思提高
用描点法作图象的步骤
反比例函数的图象的性质
6、布置作业
作业本（1）
课本“作业题”
三、「教学反思」：2．1　一元二次方程
1．了解一元二次方程的概念；(重点)
2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式；(重点)
3．能根据具体问题的数量关系，建立方程模型．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
设苗圃的宽为xm，则长为(x＋2)m.
根据题意，得x(x＋2)＝120.
所列方程是否为一元一次方程？
(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)
二、合作探究
探究点一：一元二次方程的概念
【类型一】
判断一元二次方程
下列方程中，是一元二次方程的是________．(填入序号即可)
①－y＝0；②2x2－x－3＝0；③＝3；
④x2＝2＋3x；⑤x3－x＋4＝0；⑥t2＝2；
⑦x2＋3x－＝0；⑧＝2.
解析：③⑧不是整式方程，⑤是一元三次方程，⑦含有两个未知数，由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是，答案为①②④⑥.
方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看他是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．
【类型二】
根据一元二次方程的概念求字母的值
a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x＝2x2；　　(2)(a－1)x|a|＋1＋2x－7＝0.
解析：将方程转化为一般形式，得(a－2)x2－x＝0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a|＋1＝2，且a－1≠0知，当a＝－1时，原方程是一元二次方程．
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
探究点二：一元二次方程的一般形式
把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)x(x－2)＝4x2－3x；
(2)－＝；
(3)关于x的方程mx2－nx＋mx＋nx2＝q－p(m＋n≠0)．
解：(1)去括号，得x2－2x＝4x2－3x.移项、合并同类项，得3x2－x＝0.二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；
(2)去分母，得2x2－3(x＋1)＝－3x－3.去括号、移项、合并同类项，得2x2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；
(3)移项、合并同类项，得(m＋n)x2＋(m－n)x＋p－q＝0.二次项系数为m＋n，一次项系数为m－n，常数项为p－q.
方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负数，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；
(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；
(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项c，则c＝0.
探究点三：列一元二次方程
如图，现有一张长为19cm，宽15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程．
解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x)cm，宽为(15－2x)cm.
根据题意，得(19－2x)(15－2x)＝81.整理，得x2－17x＋51＝0.
方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．
三、板书设计
本课通过丰富的实例让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想．学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入地理解．通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣．3.4
相似三角形的判定与性质
3.4.1
相似三角形的判定
第1课时
利用平行判定三角形相似
教学目标
1.了解相似三角形的判定方法，即平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
2.会用上述方法判定两个三角形相似.
重点难点
重点：用“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.相似三角形的定义及相似比”
判定两个三角形相似.
难点：上述判定方法的推理过程.
教学设计
一.预习导学
预习教材P77—P78的内容，完成下列问题.
1.怎样的图形是相似的？
2.三角形相似的概念与性质？
3.三角形全等与相似的关系.
二.探究新知
在八年级上册，
我们已经探讨了两个三角形全等的条件，下面我们来探讨两个三角形相似的条件.
设计意图：通过老师的叙述，激发学生的求知欲，引导学生主动探索的兴趣，引入新课学习.
出示课题：相似三角形的判定
(一)
相似三角形的判定定理之引理的学习
动脑筋：
如图，在△ABC中，D
为AB上任意一点.
过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
（1）△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
（2）分别度量△ADE
与△ABC
的边长，它们的边长是否对应成比例？
（3）△ADE
与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
（教师提示：要说明两个三角形相似，现在我们只要找到满足相似三角形定义的条件，就能说明两个三角形相似，这是我们思考这个问题的方向.）
方法与过程：通过学生独立阅读，领悟出说明三角形相似要满足的条件是什么？如何寻找条件是关键.回顾相似三角形的定义，指出三角形相似的两个条件：（1）三角对应相等.（2）三边对应成比例.让学生思考寻找解题的方法.
小结：由此得到以下结论：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
例1
如图，在△ABC
中，已知点D，E分别是AB，AC边的中点.
求证：△ADE
∽△ABC
（说明：学生利用上述结论，自主学习解答，教师巡视观察，指正.）
例2
如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F
，使DE=EF.
求证：△CFE∽△ABC.
（说明：老师巡视，学生讨论完成.）
三.知识梳理
以”本节课我们学到了什么 ”启发学生谈谈本节课的收获.
1.本节课重点有掌握的知识是什么？
2.
在学习的过程中你的困惑是什么？
3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪里？
（说明：学生独立总结出本节知识点，小组内讨论交流，互相补充完善，教师及时给与指导，形成正确的知识归纳.）
四.当堂检测
1.如图，在Rt△ABC中，∠C
=
90°．正方形EFCD
的三个顶点E.F.D分别在边AB，BC，AC
上.
已知AC=
7.5，BC=
5，求正方形的边长．
2.如图，已知点O在四边形ABCD
的对角线AC上，
OE∥BC，OF∥CD.
试判断四边形AEOF与四边形
ABCD是否相似，并说明理由.
五.教学反思
在探究式教学中教师是学生学习的组织者.引导者.合作者.共同研究者，鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新，哪怕是微小的进步或幼稚的想法都给予热情的赞扬.备课时思考得更多的是学生的突破，上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充.教师与学生平等地交流，创设民主.和谐的学习氛围，促进教学相长.2.4　一元二次方程根与系数的关系
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点)
2．会利用根与系数的关系解有关的问题．(难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积同原来的方程有什么联系？
(1)x2－2x＝0；
(2)x2＋3x－4＝0；
(3)x2－5x＋6＝0.
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
二、合作探究
探究点一：一元二次方程的根与系数的关系
利用根与系数的关系，求方程3x2＋6x－1＝0的两根之和、两根之积．
解：这里a＝3，b＝6，c＝－1，
Δ＝b2－4ac＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根为x1，x2，
那么x1＋x2＝－2，x1·x2＝－.
方法总结：由一元二次方程根与系数的关系可求得．如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.
探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用
【类型一】
利用根与系数的关系求代数式的值
设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
(1)(x1＋2)(x2＋2)；　　(2)＋.
解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－.
(1)(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝－＋2×(－2)＋4＝－.
(2)＋＝＝＝＝－.
方法总结：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可．
【类型二】
利用根与系数的关系求方程的根或字母系数的值
已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一根及k的值．
解：设方程的另一个根是x1，则2x1＝－，
∴x1＝－.又∵x1＋2＝－，
∴－＋2＝－，∴k＝－7.
方法总结：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和．
【类型三】
判别式及根与系数关系的综合应用
已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，求m的值．
解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根，
∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2.
又∵＋＝＝＝－1，
化简整理，得m2－2m－3＝0.
解得m＝3或m＝－1.
当m＝－1时，方程为x2＋x＋1＝0，
此时Δ＝12－4＜0，方程无解，
∴m＝－1应舍去．
当m＝3时，方程为x2＋9x＋9＝0，
此时Δ＝92－4×9＞0，
方程有两个不相等的实数根，
综上所述，m＝3.
易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m的值，但一定要代入判别式验算，字母m的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略．
三、板书设计
引导学生经历探索，尝试发现根与系数的关系，感受不完全归纳验证以及演绎证明．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，养成独立思考的习惯，培养学生观察、分析和综合、判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神．4.3
解直角三角形
［教学目标］
1、能够根据直角三角形的边角关系进行计算；
2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。
［教学重点与难点］
用函数的观点理解正切，正弦、余弦
［教学过程］
一、知识回顾
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别写出∠A的三角函数关系式：sinA＝_____，cosA=_____，tanA＝_____。∠B的三角函数关系式_________________________。
2、比较上述中，sinA与cosB，cosA与sinB，tanA与tanB的表达式，你有什么发现？______________________________________
①如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=6,AC=8,则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____。
②如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=2,AC=4,则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____。
③在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=2BC,则sinC=_____。
④如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,sinA=，则BC=_____。
⑤在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10,sinB=,则AC=_____。
⑥如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=15,sinC=，则AB=_____。
⑦在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=12，则AB=_____,BC=_____。
二、例题
例1、小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m，求风筝此时的高度。（精确到1m）
（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002）
例2、工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶（如图），已知木板长为4m，车厢到地面的距离为1.4m。
（1）你能求出木板与地面的夹角吗？
（2）请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离。（精确到0.1m）
（参考数据：sin20.5°≈0.3500，cos20.5°≈0.9397，tan20.5°≈0.3739）
三、随堂练习
1、小明从8m长的笔直滑梯自上而下滑至地面，已知滑梯的倾斜角为40°，求滑梯的高度。（精确到0.1m）
（参考数据：sin40°≈0.6428,cos40°≈0.7660，tan40°≈0.8391）
2、一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是68°，而梯子底部离墙脚1.5m，求梯子的长度（精确到0.1m）
（参考数据：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.475）
四、本课小结
谈谈本课的收获和体会
五、课外练习
1、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8cm，AC＝10cm，求AB，BD的长。
2、等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值。
3、在△ABC中，∠C＝90°，cosB=,AC＝10，求△ABC的周长和斜边AB边上的高。
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cosA＝，请你求出sinA、cosB、tanA、tanB的值。2．2　一元二次方程的解法
2．2.1　配方法
第1课时　用直接开平方法解一元二次方程
1．理解并掌握一元二次方程的根的概念．
2．会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n>0)的方程．(重点，难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：h＝5x2，问石头经过多长时间落到地面？
二、合作探究
探究点一：一元二次方程的解(根)
已知x＝1是一元二次方程x2－mx＋2m＝0的一个解，则m的值是(　　)
A．－1
B．1
C．0
D．0或1
解析：把x＝1代入x2－mx＋2m＝0得1－m＋2m＝0，∴m＝－1，故选A.
方法总结：已知一元二次方程的根，求方程中未知系数的值，通常把根代入原方程，得到关于所求未知系数的方程．
探究点二：直接开平方法解一元二次方程
用直接开平方法解下列方程
(1)x2－16＝0;
(2)3x2－27＝0；
(3)(x－2)2＝9;
(4)(2y－3)2＝16.
解：(1)移项，得x2＝16.根据平方根的定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4.
(2)移项，得3x2＝27.两边同时除以3，得x2＝9.根据平方根的定义，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3.
(3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，即x1＝5，x2＝－1.
(4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，即y1＝，y2＝－.
方法总结：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解．注意开方后，等式的右边取“正、负两种情况”
三、板书设计
(1)一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根．
(2)直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n>0)的方程．
根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活．通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法——直接开平方法，领会降次——转化的数学思想．培养学生形成从不同角度进行探究的习惯和能力，使学生在数学活动中形成实事求是的态度以及独立思考的习惯．5.1　总体平均数与方差的估计
1.理解并掌握总体平均数与方差的概念.
2.掌握总体平均数与方差的基本计算.（重点，难点）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
要从两名田径运动员中选择一名代表我市参加省里的田径比赛.为了使选拔公平，每位运动员都进行了多次测试，结果两名运动员的测试结果的平均数是相同的.
那么怎样确定派谁去参赛更好？
二、合作探究
探究点一：样本平均数估计总体平均数
【类型一】利用样本平均数估算总体数量
“立定跳远”是我市初中毕业生体育测试项目之一.测试时，记录下学生立定跳远的成绩，然后按照评分标准转化为相应的分数，满分10分.其中男生立定跳远的评分标准如下：（注：成绩栏里的每个范围，含最低值，不含最高值）
成绩（米）
…
1.80～1.86
1.86～1.94
1.94～2.02
2.02～2.18
2.18～2.34
2.34～
得分（分）
…
5
6
7
8
9
10
　　某校九年级有480名男生参加立定跳远测试，现从中随机抽取10名男生测试成绩（单位：米）如下：
1.96　2.38　2.56　2.04　2.34　2.17　2.60
2.26　1.87　2.32
请完成下列问题：
（1）求这10名男生立定跳远成绩的平均数；
（2）如果将9分以上定为“优秀”，请你估计这480名男生中得优秀的人数.
解析：（1）根据平均数的计算公式x＝计算即可：
（2）根据图表得出优秀的人数，再用优秀的人数除以抽查的总人数求出频率，最后乘以480，即可得出答案.
解：（1）根据题意得：x＝（1.96＋2.38＋2.56＋2.04＋2.34＋2.17＋2.60＋2.26＋1.87＋2.32）＝2.25（米）；
（2）因为抽查的10名男生中得分（9分）（含9分）以上有6人，所以有480×＝288人；
答：该校480名男生中得到优秀的人数是288人.
　　方法总结：此题考查了用样本估计总体和平均数，用到的知识点是平均数的计算公式x＝，频率＝频数÷总数，用样本估计整体数量，用总体容量×样本的百分比即可.
【类型二】利用样本平均数估算总体水平
某农科所培育了两种玉米良种，在一样大小的甲、乙两块实验地里种植实验，一段时间后，从甲，乙两块实验地中各抽取10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm）：
甲：25，41，40，37，22，14，19，39，42，21；
乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40.
哪块实验地的玉米苗长得高一些？
解析：对甲、乙两块实验地的玉米苗的平均株高进行比较后作出判断.
解：x甲＝（25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋42＋21）＝×300＝30（cm），
x乙＝（27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40）＝×310＝31（cm），∵x甲　　方法总结：本题考查学生对于样本平均数的理解和应用，用样本平均数去估计总体平均数，要注意所选取的样本应为简单随机样本.
探究点二：样本方差估计总体方差
小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定.根据图中信息，估计这两个人中新手是　　　　　　Ｗ.
解析：从图中可以看出小李的成绩波动较大，估计小李是新手，故填小李.
　　方法总结：此题考查学生对于样本方差概念的理解和解读图表的能力，要能够从图表提供的数据中发现规律.方差反映了数据的稳定程度，其值越小，数据越稳定.三、板书设计
教学过程中，注重引导学生就生活实例展开联想，直观地感受数学与生活的紧密联系.在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识并鼓励学生积极思考.通过引导学生学习新的数学方法，开拓思维，进一步提升学生认知能力.第2课时　用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
1．理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．(重点)
2．通过配方法体会“等价转化”的数学思想．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
前面我们已经学习了直接开平方法解一元二次方程，你会解下列一元二次方程吗？
(1)x2＝5；(2)(x＋2)2＝5；(3)x2＋12x＋36＝5.
第(3)题的左边是个什么式子？
二、合作探究
探究点一：配方
填上适当的数，使下列等式成立．
(1)x2＋6x＋________＝(x＋________)2；
(2)x2－6x＋________＝(x－________)2；
(3)x2＋6x＋4＝x2＋6x＋________－________＋4＝(x＋________)2－________．
解：9　3　9　3　9　9　3　5
方法总结：当二次项系数为1时，配方的关键就是加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使含未知数的项在一个完全平方式里．
探究点二：利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
用配方法解方程：x2＋2x－1＝0.
解：移项，得x2＋2x＝1.
配方，得x2＋2x＋()2＝1＋()2，
即(x＋1)2＝2.
开平方，得x＋1＝±.
解得x1＝－1，x2＝－－1.
方法总结：用配方法解一元二次方程时，应按照步骤严格进行，以免出错．配方添加时，记住方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方．
三、板书设计
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤：
(1)移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项；
(2)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式；
(3)用直接开平方法求出它的解．
教学过程中，注重引导学生对已学知识进行归纳总结，在自主探究过程中，适时引入新知识，培养学生主动探究的精神和积极参与的意识．第3课时　反比例函数图象与性质的综合应用
1．归纳总结反比例函数的图象和性质．(重点)
2．理解并掌握反比例函数的比例系数k的几何意义．(重点，难点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
如图所示，对于反比例函数，在其图象上任取一点P，过P点作PQ⊥x轴于Q点并连接OP.
试着猜想△OPQ的面积与反比例函数的关系，并探讨反比例函数y＝(k≠0)中k值的几何意义．
二、合作探究
探究点一：用待定系数法确定反比例函数的解析式
已知点P(－1，4)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值是(　　)
A．－
B.
C．4
D．－4
解析：∵点P(－1，4)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，∴k＝xy＝(－1)×4＝－4，故选D.
方法总结：本题考查待定系数法确定反比例函数的解析式，已知反比例函数上一点的坐标，要求函数解析式，只要把这点的坐标代入就可求得．
探究点二：反比例函数解析式中k的几何意义
如图所示，点A在反比例函数y＝的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．
解析：先设点A的坐标，然后用A的坐标表示△AOC的面积，进而求出k的值．
解：S△AOC＝yA·xA，∵A在反比例函数y＝的解析式上，∴xA·yA＝k，∴S△AOC＝·k＝2，∴k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝.
方法总结：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴与向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k|值的一半．
探究点三：反比例函数的图象与性质的综合应用
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)都是反比例函数y＝的图象上的点，且x1<0解析：∵k＝1>0，∴y＝的图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，∵x1<0方法总结：解决这类问题时应该从反比例函数图象性质入手，通过图象在不同象限中的性质来判断点的坐标的大小关系，解题时可画出反比例函数的大致图象，方便解答．
探究点四：反比例函数与一次函数的综合
【类型一】反比例函数与一次函数图象的综合
在同一直角坐标系中，函数y＝kx－k与y＝(k≠0)的图象大致是(　　)
解析：在同一直角坐标系中，函数y＝kx－k与y＝(k≠0)的图象只有两种情况，当k>0时，y＝分布在第一、三象限，此时y＝kx－k经过第一、三、四象限；当k<0时，y＝分布在第二、四象限，此时y＝kx－k经过第一、二、四象限，故选D.
方法总结：判断函数图象分布是否正确，主要通过假设条件，根据函数的图象及性质判断，若与选项一致则正确；若相矛盾，则错误．
【类型二】反比例函数与一次函数图象与性质的综合
如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于M、N两点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
解析：(1)把点N(－1，－4)代入y＝即可求出反比例函数解析式，进而求出点M，再把M、N代入一次函数即可求出一次函数的解析式．
(2)由图象可知当反比例函数大于一次函数时x的取值范围是x<－1或0解：(1)由反比例函数定义可知k＝(－1)×(－4)＝4.
∴y＝，而M(2，m)在反比例函数图象上．
∴m＝＝2，∴M(2，2)．
即在一次函数图象上有
∴a＝2，b＝－2，∴y＝2x－2.
(2)由图中观察可知，满足题设x的取值范围为x<－1或0方法总结：分别利用反比例函数和一次函数的定义求出其解析式，根据图象和性质判断，在解题过程中要考虑全面，不要漏解．
三、板书设计
本次教学过程重在归纳总结，通过引导学生主动参与来加深其对知识的理解，在结合基本题型教学的同时，通过发散思维的引导，进一步提升学生的创新思维和实际动手能力，全面提升学生的认知水平．3.6
位似
第1课时
位似图形的概念及画法
教学目标
1．了解位似多边形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似多边形的性质．
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
重点、难点
1．重点：位似多边形的有关概念、性质与作图．
2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．
一.创设情境
活动1
教师活动：提出问题：
生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的.
观察图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？
学生活动：学生通过观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个相似多边形每组对应点的连线都经过同一个点，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，
这个点叫做位似中心.（位似中心可在形上、形外、形内.)
每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．
二、利用位似，可以将一个图形放大或缩小
活动2
教师活动：提出问题：
把图1中的四边形ABCD缩小到原来的．
分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2
．
作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．
问：此题目还可以如何画出图形？
作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，
OB，
OC，OD；
（3）分别在射线OA，
OB，
OC，
OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3．
作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．
（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）
三、课堂练习
活动3
教材习题
小结：谈谈你这节课学习的收获．2.3
一元二次方程根的判别式
教学目标：
理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。
教学过程：
精典例题：
【例1】当取什么值时，关于的方程。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；
（3）没有实根。
分析：用判别式△列出方程或不等式解题。
答案：（1）；（2）；（3）
【例2】求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实根。
分析：列出△的代数式，证其恒大于零。
【例3】当为什么值时，关于的方程有实根。
分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分＝0和≠0两种情形讨论。
略解：当＝0即时，≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当≠0即时，方程有根的条件是：
△＝≥0，解得≥
∴当≥且时，方程有实根。
综上所述：当≥时，方程有实根。
探索与创新：
【问题一】已知关于的方程有两个不相等的实数根、，问是否存在实数，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。
略解：
化简得
∴不存在。
【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF，CD＜CF）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。
（1）若计划修建费为150元，能否完成该草坪围栏修造任务？
（2）若计划修建费为120元，能否完成该草坪围栏修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由。
略解：设CF＝DE＝，则CD＝EF＝
修建总费用为：＝条件是：10＜≤25
（1）＝12
∴能完成
（2）
∵△＜0此方程元实根
∴不能完成
跟踪训练：
一、填空题：
1、下列方程①；②；③；④中，无实根的方程是
。
2、已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是
。
3、如果二次三项式在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则的取值范围是
。
4、在一元二次方程中，若系数、可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是
。
二、选择题：
1、下列方程中，无实数根的是（
）
A、
B、
C、
D、
2、若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（
）
A、
B、≤
C、且≠2
D、≥且≠2
3、在方程（≠0）中，若与异号，则方程（
）
A、有两个不等实根
B、有两个相等实根
C、没有实根
D、无法确定
三、试证：关于的方程必有实根。
四、已知关于的方程的根的判别式为零，方程的一个根为1，求、的值。
五、已知关于的方程有两个不等实根，试判断直线能否通过A（－2，4），并说明理由。
六、已知关于的方程，问：是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
七、已知＞0，关于的方程有两个相等的正实根，求的值。
参考答案
一、填空题：
1、①；2、；3、≤；4、10
二、选择题：CCAA
三、分两种情况讨论：（1）当时，；（2）当时，所以方程必有实根。
四、＝2，＝3
五、不能。由直线不通过第二象限
六、存在。
七、2.4
一元二次方程根与系数的关系
一、学生知识状况分析
“一元二次方程根与系数的关系”是《一元二次方程》中继“一元二次方程的解法”之后的一个学习内容，学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础。基于初中三年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
二、教学任务分析X
k
B
1
.
c
o
m
本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家），韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。同时通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。为此，确定本节课的教学目标为：
1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。
2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。
3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。
4、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：探究新知；第四环节：尝试发展；第五环节：拓展创新；第六环节：感悟与收获；第七环节：布置作业。
第一环节：复习回顾
内容：
1、一元二次方程的一般形式？
ax2+bx+c=0
(a≠0)（板书）

2、一元二次方程有实数根的条件是什么？
(△=b2-4ac≥0)
3、当△＞0，△=0，△＜0
根的情况如何？
4、一元二次方程的求根公式是什么？
目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。
效果：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“a≠0”。
后面的问题由于较简单，学生很快回答出来，提高了学生自信心。
第二环节：情景引入
内容：同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？
（1）x2+3x+4=0
（2）6x2+x-2=0
（3）
2x2-3x +1=0
目的：通过游戏入手，激发学生学习兴趣。
效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究新知的兴趣。自然引出本节课要学习的课题
第三环节：探究新知
内容：
计算填表（验证第一环节游戏的结果）
方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2+3x+4=0




6x2+x-2=0




2x2-3x +1=0




问题：
1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗？
2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？
3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。
4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。
（分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。）
目的：本环节采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手、动脑，又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
效果：在复习旧知的基础上，学生很快口完成了表格，为解决后面的问题做好了准备。问题串让学生合作解决，在探究的过程中体现了特殊到一般，从实践到理论的认知规律。
第四环节：尝试发展
尝试题1：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积
（方程两根为x1，x2、k是常数）
（1）2x2-3x-1=0
x1+x2=
________
x1x2=
________
（2）3x2+5x=0
x1+x2=
________
x1x2=
________
（3）x2+7x=-6
x1+x2=
_________ x1x2=
_________
（4）5x2+kx-6=0
x1+x2=
_________ x1x2=
_________
（学生迅速演算或口算）
尝试题2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的
（1）平方和
（2）倒数和
（3）差
尝试题3：已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值。
目的：“尝试题1”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，其中第（3）小题是培养学生思维严谨性和批判性；第（4）小题是起过渡作用设计。
“尝试题2”
将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式。例如：
x12+
x22=(
x1+x2)2-2
x1x2;
“尝试题3”
展示学生的不同作法，通过比较，学生可以体会到用根与系数的关系来解决此类问题比较简便。
效果：1、两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生的易错点
2、将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式时，部分学生不能熟练的掌握。
3、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验。
第五环节：拓展创新
1．已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长。X
k
B
1
.
c
o
m
2、变式训练：
已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c能等于15吗？
3、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3.
目的：1、第1、2题把一元二次方程根与系数的关系与三角形三边关系相组合，借此锻炼学生综合分析、推理、归纳的能力。
2、第3题已知方程的两根求作一个一元二次方程，是一元二次方程根与系数的关系的逆用，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度。同时要注意答案的多样性及其中的规律
效果：留给学生充分的独立思考和小组合作交流的时间与空间，使学生在资源共享的同时，充分体会到一元二次方程根与系数的关系的广泛应用和便捷，
第六环节
感悟与收获
内容：师生互相交流总结
在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c有哪些作用？
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况X
k
B
1
.
c
o
m
④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=
，x1x2=
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
目的：鼓励学生回顾本节课知识方面以及与之相联系的知识有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。
效果：学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑思维能力，提高了推理技能。
第七环节
布置作业
P52
A
知识技能1
B
数学理解3
C、已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
学法指导
本节课充分以学生为主体进行教学，采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程教学。让学生多实践，从实践中反思过程，经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。引导学生发现问题，师生共同解决问题。指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径，并将应用问题和规律归类。2.2
一元二次方程的解法
2.2.1
配方法
第3课时
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
教学目标
1、理解用配方法解一元二次方程的基本步骤。
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
3、进一步体会化归的思想方法。
重点难点
重点：会用配方法解一元二次方程．
难点：使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方式里。
教学过程
（一）复习引入
1、用配方法解方程x2+x-1=0，学生练习后再完成课本P．13的“做一做”．
2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤是什么
（二）创设情境
现在我们已经会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，而对于二次项系数不为1的一元二次方程能不能用配方法解
怎样解这类方程：2x2-4x-6=0
（三）探究新知
让学生议一议解方程2x2-4x-6=0的方法，然后总结得出：对于二次项系数不为1的一元二次方程，可将方程两边同除以二次项的系数，把二次项系数化为1，然后按上一节课所学的方法来解。让学生进一步体会化归的思想。
（四）讲解例题
1、展示课本P32，按课本方式讲解。
2、引导学生完成课本P33的填空。
3、归纳用配方法解一元二次方程的基本步骤：首先将方程化为二次项系数是1的一般形式；其次加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里；最后将配方后的一元二次方程用因式分解法或直接开平方法来解。
（五）应用新知
课本P33练习。
（六）课堂小结
1、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么
2、配方法是一种重要的数学方法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数，高中学习二次曲线时都要经常用到。
3、配方法是解一元二次方程的通法，但是由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少。
4、按图1—l的框图小结前面所学解
一元二次方程的算法。
（七）思考与拓展
不解方程，只通过配方判定下列方程解的
情况。
(1)
4x2+4x+1=0；
(2)
x2-2x-5=0；
(3)
–x2+2x-5=0；
[解]
把各方程分别配方得
(1)
(x+
)2=0；
(2)
(x-1)2=6；
(3)
(x-1)2=-4
由此可得方程(1)有两个相等的实数根，方程(2)有两个不相等的实数根，方程(3)没有实数根。
点评：通过解答这三个问题，使学生能灵活运用“配方法”，并强化学生对一元二次方程解的三种情况的认识。
布置作业4.2　正切
1.理解并掌握锐角的正切的定义并能够进行相关运算.（重点，难点）
2.学会利用计算器求锐角的正切值或根据正切值求锐角.
一、情境导入
根据我们已经学习过的知识可以知道，在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦，锐角α的邻边与斜边的比叫做角α的余弦.同样的，我们学习过直角三角形中两条直角边和斜边之间的数量关系，即勾股定理.
你能否根据所学知识猜想直角三角形中正弦和余弦与正切之间的数量关系？
二、合作探究
探究点一：正切的定义
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则tanB的值是（　　）
A.
B.
C.
D.
解析：tanB＝＝，故选A.
　　方法总结：根据三角形锐角正切的概念，正确判断边和角的关系.
探究点二：特殊角的正切值
计算sin30°＋cos30°·tan60°.
解：原式＝＋×＝＋＝2.
　　方法总结：分别把各特殊角的三角函数值代入，再根据实数混合运算的法则进行计算.
探究点三：同一锐角的正弦、余弦和正切的关系
在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA·cosA的值是　　　　Ｗ.
解析：因为tanA＝，所以sinA＝tanA·cosA＝，故填.
　　方法总结：根据公式tanα＝求解.
探究点四：用计算器求锐角的正切值或根据正切值求角
【类型一】用计算器求锐角的正切值
用计算器计算tan44°的结果（精确到0.01）约是（　　）
A.0.97
B.0.72
C.0.69
D.0.965
解析：按键，再依次按键，则屏幕上显示结果为0.9656887748.故选A.
　　方法总结：在使用计算器计算已知角度的正切值时，要注意按键顺序.在计算非整数角度锐角三角函数时，也可以把分，秒转化为度输入.
【类型二】用计算器根据正切值求锐角
若tanα＝0.8573，则锐角α≈　　　　Ｗ.（精确到0.1°）
解析：按键顺序为，屏幕显示结果为40.606484.故填40.6°.
　　方法总结：已知正切值使用计算器求角度时，要注意按键顺序.
三、板书设计
本课时内容是对前几课时所学知识进一步的延伸变换，在情景导入部分适当引导，学生即能够理解，
在合作探究环节依旧以引导为主，鼓励学生自主探究，发现问题，解决问题，进一步提升学生的独立思考能力.4.1　正弦和余弦
第1课时　正　弦
1.理解并掌握锐角正弦的定义.
2.在直角三角形中求锐角的正弦值.（重点）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站（点A）与水面（BC）的高度（AB）.斜坡与水面所成的角（∠C）可以用量角器测出来，水管的长度（AC）也能直接量得.
你能求出它的高度（AB）吗？
二、合作探究
探究点一：锐角的正弦的概念
在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinB＝（　　）
A.
B.
C.
D.
解析：由正弦的概念可得sinB＝，故选A.
　　方法总结：正确理解锐角的正弦的概念，在实际解题的过程中可以借助简单的图形帮助解题.
探究点二：已知直角三角形的边求锐角的正弦值
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，则sinA＝　　　　Ｗ.
解析：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∴斜边AC＝＝＝5，∴sinA＝＝，故填.
　　方法总结：在直角三角形中，sinα＝，在解题时运用勾股定理求出斜边，即可完成解答.
探究点三：构造直角三角形求锐角的正弦值
如图所示，P为∠α的边OM上的一点，且P点的坐标为（3，4），则sinα的值是（　　）
　　A.
　　　B.
C.
　　　D.
解析：过P作PA⊥x轴，垂足为A，则OA＝3，PA＝4，∴OP＝＝5，∴sinα＝＝，故选B.
　　方法总结：解此类题时，首先要根据已知条件构造出合适的直角三角形，然后利用正弦的定义求锐角的正弦.
三、板书设计
教学过程中，通过联系生活实例来引入新的知识，鼓励学生积极参与讨论，尝试发现生活中同类型的问题，在激发学习兴趣的同时快速切入主题.在合作探究环节用基础的练习帮助学生巩固基本概念，为下面的学习打下基础.3.6
位似
第2课时
平面直角坐标系中的位似
教学目标
1．巩固位似图形及其有关概念．
2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．
重点、难点
1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．
2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
一.创设情境
活动1
教师活动：提出问题：（教材P98页探究：）
（1）如图27.3-4(1)，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
图27.3-4
(2)如图27.3-4(2)，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
学生活动:
学生小组讨论，共同交流,回答结果．
教师活动：分析：略（见教材P61的例题分析）
解：略（见教材P98的例题解答）
【归纳】
位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
二、应用例题（教材P99页
例）
活动2
例（教材P62的例题）
分析：略（见教材P62的例题分析）
解：略（见教材P62的例题解答）
问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！
解法二：点A的对应点A′′的坐标为（-6×，6×），即A′′（3，-3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）
三、课堂练习
活动3
教材P62页．1、2
四、在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．
活动4
1．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，写出A1、B1、C1三点的坐标；
（2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标；
（3）将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，写出A3、B3、C3三点的坐标．
27.3-6
2．（教材P99）图27.3-6所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？
分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……．
解：答案不惟一，略．
五、小结
活动5
1、谈谈你这节课学习的收获.
2、课后作业
教材P99页．3.4.2
相似三角形的性质
第1课时
相似三角形对应高、中线、角平分线的性质
（一）教学知识点
相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.
（二）能力训练要求
1.经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似多边形的性质.
2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.
（三）情感与价值观要求
1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.
2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.
●教学重点
1.相似三角形中对应线段比值的推导.
2.运用相似三角形的性质解决实际问题.
●教学难点
相似三角形的性质的运用.
●教学方法
引导启发式
●教具准备
投影片两张
第一张：（记作§4.8.1
A）
第二张：（记作§4.8.1
B）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.
Ⅱ.新课讲解
1.做一做
投影片（§4.8.1
A）
钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图4－38，图纸上的△ABC表示该零件的横断面△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的高.
（1）,,各等于多少？
（2）△ABC与△A′B′C′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.
（3）请你在图4－38中再找出一对相似三角形.
（4）等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.
图4－38
［生］解：（1）===
（2）△ABC∽△A′B′C′
∵==
∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3∶4.
（3）△BCD∽△B′C′D′.（△ADC∽△A′D′C′）
∵由△ABC∽△A′B′C′得
∠B=∠B′
∵∠BCD=∠B′C′D′
∴△BCD∽△B′C′D′（同理△ADC∽△A′D′C′）
（4）=
∵△BDC∽△B′D′C′
∴=
=
2.议一议
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k.
（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么等于多少？
（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线,那么等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？
［师］请大家互相交流后写出过程.
［生甲］从刚才的做一做中可知，若△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′是它们的对应高，那么==k.
［生乙］如4－39图，△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′分别是它们的对应角平分线，那么=
=k.
图4－39
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠A=∠A′,∠ACB=∠A′C′B′
∵CD、C′D′分别是∠ACB、∠A′C′B′的角平分线.
∴∠ACD=∠A′C′D′
∴△ACD∽△A′C′D′
∴=
=k.
［生丙］如图4－40中，CD、C′D′分别是它们的对应中线，则=
=k.
图4－40
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠A=∠A′，=
=k.
∵CD、C′D′分别是中线
∴===k.
∴△ACD∽△A′C′D′
∴=
=k.
由此可知相似三角形还有以下性质.
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
3.例题讲解
投影片（§4.8.1
B）
图4－41
如图4－41所示，在等腰三角形ABC中，底边BC=60
cm,高AD=40
cm，四边形PQRS
是正方形.
（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？
（2）求正方形PQRS的边长.
解：（1）△ASR∽△ABC，理由是：
四边形PQRS是正方形?SR∥BC
（2）由（1）可知△ASR∽△ABC.
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得
设正方形PQRS的边长为x
cm，则AE=（40－x）cm，
所以
解得：
x=24
所以，正方形PQRS的边长为24
cm.
Ⅲ.课堂练习
如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？
（都是4∶5）.
Ⅳ.课时小结
本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.2.2
一元二次方程的解法
2.2.1
配方法
第2课时
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
教学目标
1、理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法。
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
重点难点
重点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
难点：用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方程。
教学过程
（一）复习引入
1、a2±2ab+b2=
2、用两种方法解方程(x+3)2-5=0。
如何解方程x2+6x+4=0呢
（二）创设情境
如何解方程x2+6x+4=0呢？
（三）探究新知
1、利用“复习引入”中的内容引导学生思考，得知：反过来把方程x2+6x+4=0化成(x+3)2-5=0的形式，就可用前面所学的因式分解法或直接开平方法解。
2、怎样把方程x2+6x+4=0化成(x+3)2-5=0的形式呢？让学生完成课本P．10的“做一做”并引导学生归纳：当二次项系数为“1”时，只要在二次项和一次项之后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．将方程一边化为0，另一边配方后就可以用因式分解法或直接开平方法解了，这样解一元二次方程的方法叫作配方法。
（四）讲解例题
例1（课本P32）
[解](1)
x2+2x-3
(观察二次项系数是否为“l”)
=x2+2x+12-12-3
(在一次项和二次项之后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使它与原式相等)
=(x+1)2-4。
(使含未知数的项在一个完全平方式里)
用同样的方法讲解(2)，让学生熟悉上述过程，进一步明确“配方”的意义。
例2
引导学生完成P．11~P．12例6的填空。
（五）应用新知
1、课本P33，练习。
2、学生相互交流解题经验。
（六）课堂小结
1、怎样将二次项系数为“1”的一元二次方程配方？
2、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？
（七）思考与拓展
解方程：(1)
x2-6x+10=0；
(2)
x2+x+
=0；
(3)
x2-x-1=0。
说一说一元二次方程解的情况。
[解]
(1)
将方程的左边配方，得(x-3)2+1=0，移项，得(x-3)2=-1，所以原方程无解。
(2)
用配方法可解得x1=x2=-
。
(3)
用配方法可解得x1=
，x2=
一元二次方程解的情况有三种：无实数解，如方程(1)；有两个相等的实数解，如方程(2)；有两个不相等的实数解，如方程(3)。
课后作业
课本习题
教学后记：3.2
平行线分线段成比例
教学目标：
知识目标
理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。
能力目标
通过应用，培养识图能力和推理论证能力。
情感与价值观目标
（1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。
（2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。
教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。
教学难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习设疑，引入新课；第二环节：探索发现平行线分线段成比例定理及其推论；第三环节：平行线分线段成比例定理及其推论的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．
第一环节：复习设疑，引入新课
内容：教师提问：
什么是成比例线段？
你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3？
目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。
效果：学生对不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3，这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法。
第二环节：小组活动，探究定理
1.
探究活动一：
内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线a
∥b∥
c
,分别交直线m,n于
A1，A2，A3，B1，B2，B3
。
计算
你有什么发现？
将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A2，B2
。你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？
　
(图2）
（３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？
归纳：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
目的：让学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动，达到对平行线分线段成比例定理的意会、感悟。
效果：学生在以前的学习中，尤其是本章前两节的探究也是通过表格中的多边形来完成的。所以学生有种熟悉感，并不感到困难。
议一议：
内容：教师提问：1.如何理解“对应线段”？
2.平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？
3.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
若a
∥b∥
c
，则。
由比例的性质还可以得到：，，等。
目的：让学生在探究得出结论的基础上，对平行线分线段成比例定理的有进一步的理解。并掌握定理的符号语言，进一步发展推理能力。
效果：学生从几何直观上很容易找出“对应线段”。利用比例的性质写出成比例线段时，感觉结论很多，老师这时可以引导总结出成比例线段的特点，那就是都体现了“对应”二字。
探究活动二：
内容：如图3，直线a
∥b∥
c
，分别交直线m,n于
A1，A2，A3，B1，B2，B3
。过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3。（如图4
），图4中有哪些成比例线段？
（图3）
(图4）
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
目的：让学生脱离表格，不通过计算，运用平行四边形的性质推理得出平行线等分线段定理的推论。
效果：学生已经学习过特殊四边形的性质与证明，所以很容易得出A1C2=B1B2，C2C3=B2B3，进而得出推论。而且让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力。
进一步探究内容：熟悉该定理及推论的几种基本图形
目的：加深对平行线分线段成比例定理及其推论的理解，发展学生的应用能力。
效果：经过这一环节的变式应用，学生能够归纳出平行线分线段成比例定理及其推论的本质特征。
探究活动三：
内容:直线l1//l2//l3,l4、l5、l6被l1、l2、l3所截且AB=BC则图中还有哪些线段相等？
思考：当平行线之间的距离相等时，对应线段的比是多少？
2.如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两部分，使这两部分之比是2:3
目的：让学生体会平行线等分线段定理可看作是平行线分线段成比例定理的特例。解决课堂引入时提出的问题。
效果：学生很容易得出此时的对应线段的比值为1，也为后面探究相似与全等的关系做了铺垫。
第三环节：灵活应用
内容：例1、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且
EF∥BC,
（1）.如果AE
=
7,
FC
=
4
，那么AF的长是多少？
（2）.如果AB
=
10,
AE=6，AF
=
5
，那么FC的长是多少？
课堂练习：
1、如图，已知l1//l2//l3,
（1）.在图（1）中AB
=
5,
BC
=
7
，EF=4，求DE的长。
（2）.在图（2）中DE
=
6,
EF
=
7
，AB=5，求AC的长。
2、如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且
DE∥BC,
（1）.如果AD
=
3.2cm,
DB
=
1.2cm
，AE=2.4cm,那么EC的长是多少？
（2）.如果AB
=
5cm,
AD=3cm，AC
=
4cm
，那么EC的长是多少？
目的：通过对平行线分线段成比例定理的简单应用，规范书写格式，培养学生严谨的逻辑推理能力，深化对知识的理解。
效果：由学生直观操作得出的结论与简单推理进行有机结合，是对探索活动的自然延续和必要发展，实现理性升华，培养语言表达能力。
第四环节：课堂小结：
内容：本节课你有哪些收获？
目的：
通过师生反思评价，实理知识的系统归纳，对知识和方法进行总结，并通过作业和考题全面巩固平行线分线段成比例定理及其推论。
效果：
学生都能归纳出：1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
第五环节：布置作业：
知识技能
1、2、
问题解决
3、4.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
A
B
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
l4
l3
l2
l6
A
B
C
D
E
F
M
N
O
l1
A
B
C
E
F
A
B
C
D
E
F
（1）
A
B
C
D
E
F
（2）
A
B
C
D
E5.2
统计的简单应用
教学目标
【知识与技能】
1.用样本中的“率”估计总体中的“率”.
2.借助统计图表、统计量作出正确决策．
3.能够利用统计的有关知识解决相关实际问题.
【过程与方法】
经历数据的收集、整理、描述与分析的过程，进一步发展统计的意识和数据处理能力.
【情感态度】
体会统计在生活中的应用.
【教学重点】
用样本中的“率”估计总体中的“率”.借助统计图表、统计量作出正确决策.
【教学难点】
用样本中的“率”估计总体中的“率”.能够利用统计的有关知识解决相关实际问题.
教学过程
一、情景导入，初步认知
在实践中，我们常常通过简单的随机抽样，用样本的“率”去估计总体相应的“率”，例如工厂为了估计一批产品的合格率，常常从产品中随机抽取一部分进行检查，通过对样本进行分析，推断出这批产品的合格率.那么有什么方法来对“率”作出合理的估计呢？
【教学说明】引入本节课所要学习的内容.
二、思考探究，获取新知
1.某工厂生产了一批产品，从中抽取1000件来检查，发现有10件次品，试估计这批产品的次品率.
解：由于是随机抽取，即总体中每一件产品都有相同的机会被抽取，因此，随机抽取的1000件产品组成了一个简单随机样本，因而可以用这个样本的次品率作为对这批产品的次品率的估计，从而这批产品的次品率为1％.
2.某地为提倡节约用水，准备实行“阶梯水价计费”方式，用户月用水量不超出基本月用水量的部分享受基本价格，超出基本月用水量的部分实行加价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的月用水量数据.并将这些数据绘制成了如下的图形：
如果自来水公司将基本月用水量定为每户12吨，那么该地区20万用户中约有多少用户能够全部享受基本价格？
【教学说明】教师引导学生分析问题，找出解决问题的办法.
3.李奶奶在小区开了一家便利店，供应A,B,C,D,E5个品种的食物，由于不同品种的食物的保质期不同，因此，有些品种因滞销而变质，造成浪费，有些品种因脱销而给居民带来不便.面对这种情况，李奶奶很着急.
请你想办法帮助李奶奶解决这一问题.
分析：随机抽取几天中这5个品种的食物的销售情况，再根据结果提出合理的建议.
（1）收集数据；
（2）分析数据和统计结果；
（3）估计结果确定进货方案.
4.利用样本来推断总体的过程是怎样的呢？
【归纳结论】我们可以利用已有的统计数据来对事物在未来一段时间内的发展趋势做出判断和预测，为正确的决策提供服务.
【教学说明】通过对具体的问题情境的分析，使学生掌握如何利用统计数据来对事物在未来一段时间内的发展趋势做出判断和预测.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P147例2.
2.某灯具厂从1万件同批次产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，估计该厂这一万件产品中不合格品约为多少件？
分析：首先可以求出样本的不合格率，然后利用样本估计总体的思想即可求出这一万件产品中不合格品约为多少件．
解：∵某灯具厂从1万件同批次产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，∴不合格率为：5÷100=5%，
∴估计该厂这一万件产品中不合格品为10000×5%=500件．
3.为了了解我市某县参加2008年初中毕业会考的6000名考生的数学成绩，从中抽查了200名学生的数学成绩（成绩为整数，满分120分）进行统计分析，并根据抽查结果绘制了如下的统计表和扇形统计图：
（1）请将以上统计表和扇形统计图补充完整；
（2）若规定60分以下（不含60分）为“不合格”，60分以上（含60分）为“合格”，80分以上（含80分）为“优秀”，试求该样本的合格率、优秀率；
（3）在（2）的规定下，请用上述样本的有关信息估计该县本次毕业会考中数学成绩优秀的人数和不合格的人数．
分析：（1）两图结合计算求值，根据每个分数段的人数=总人数200×这段所占的百分比；
（2）样本的合格率、优秀率就是每部分所占的百分比；
（3）求出抽查的样本的数学成绩优秀率和不合格率，用样本估计总体即可求出答案．
解：（1）79.5~89.5的人数是14%×200=28，
89.5~99.5的人数是11%×200=22，
69.5~79.5所占的百分比=46÷200×100%=23%；59.5以下所占的百分比=28÷200×100%=14%;79.5~89.5的人数是28.
（2）合格率：1-14%=86%，
优秀率：14%+11%+16%=41%；
（3）优秀人数：41%×6000=2460，
不合格人数：14%×6000=840．
4.2014年我市体卫站对某校九年级学生体育测试情况进行调研，从该校360名九年级学生中抽取了部分学生的成绩（成绩分为A、B、C三个层次）进行分析，绘制了频数分布表（如下），请根据图表信息解答下列问题：
（1）补全频数分布表；
（2）如果成绩为A等级的同学属于优秀，请你估计该校九年级约有多少人达到优秀水平.
分析：（1）首先利用C组的数据可以求出抽取了部分学生的总人数，然后利用频率或频数即可补全频数分布表；
（2）根据（1）可以得到A等级的同学的频率，然后乘以360即可得到该校九年级约有多少人达到优秀水平．
解：（1）略；
（2）A等级的同学人数为40人，频率为0.40，
∴估计该校九年级约有
0.4×360=144人达到优秀水平．
【教学说明】通过练习，使学生掌握如何用样本中的“率”来估计总体中的“率”.
5.见教材P151“做一做”.
6.小红的奶奶开了一个牛奶销售店，主要经营“学生奶”“酸牛奶”“原味奶”，可奶奶经营不善，经常有些品种的牛奶滞销（没卖完）或脱销（量不够），造成了浪费或亏损，细心的小红结合所学的统计知识帮奶奶统计了一个星期牛奶的销售情况，并绘制了下表：
（1）计算各品种牛奶的日平均销售量，并说明哪种牛奶销量最高；
（2）计算各品种牛奶的方差（保留两位小数），并比较哪种牛奶销量最稳定；
（3）假如你是小红，你会对奶奶有哪些好的建议？
（2）s2学生奶=12.57，s2酸牛奶=91.71，s2原味奶=96.86,学生奶销量最稳定.
（3）建议学生奶平常尽量少进或不进，周末可进几瓶
7.第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分：
（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为平方千米；
（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八两届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；
（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系，根据小娜的发现，请估计将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）.
第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表
解：(1)0.03
(2)陆地面积3.6平分千米
水面面积1.5平方千米
图略
（3）3700
【教学说明】本题综合考查统计的应用问题，通过练习，使学生熟练地掌握统计的相关知识.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题5.2”中第1、2、3、4
题.
教学反思
在统计学里我们通常是从总体中抽取一个样本，然后根据样本的某种特性去估计总体中其他个体的特性，这符合人们“从一般到特殊，再从特殊到一般”的认知规律.所有学生对本节课的内容掌握得较好.通过本节课的学习，使学生掌握如何利用统计数据来对事物在未来一段时间内的发展趋势做出判断和预测.根据练习情况来看，学生掌握的情况较好.第2课时　坡度问题
1.理解并掌握坡度、坡比的定义.
2.学会用坡度、坡比解决实际问题.（重点，难点）
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量，从F处进行测量和从A处进行测量的数据如图所示.
你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？
二、合作探究
探究点一：坡度（坡比）问题
【类型一】根据已知条件求坡面距离
如图所示，在平面上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距离为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（　　）
A.5m
B.6m
C.7m
D.8m
解析：由题知，水平距离l＝4m，i＝0.75，∴垂直高度h＝l·i＝4×0.75＝3（m），∴坡面距离为＝5（m）.故选A.
　　方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或垂直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离.
【类型二】根据已知条件求坡度
一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s，车速是2m/s，汽车行驶的水平距离是40m，则这个斜坡的坡度是　　　　Ｗ.
解析：坡面距离为30×2＝60m，水平距离为40m，∴垂直高度为＝20（m），∴坡度i＝20∶40＝∶2.
　　方法总结：根据坡度的定义i＝，解题时需先求得水平距离l和垂直高度h，故填∶2.
探究点二：方位角问题
如图所示，某渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/小时的速度航行30分钟到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（　　）
A.7海里
B.14海里
C.7海里
D.14海里
解析：作BN⊥AM，垂足为N，由题意知，在Rt△ABN中，∠BAN＝30°，AB＝14海里，∴BN＝AB·sin30°＝7（海里），∴在Rt△BMN中，∠MBN＝45°，BN＝7海里，∴MB＝＝＝7（海里）.故选A.
　　方法总结：这类题目，首先根据题意画出几何图形，然后将问题转化为解直角三角形问题，最后解直角三角形.
三、板书设计
本课时所学习的内容强调实际应用，在教学过程中要引导学生展开联想，在日常生活中发现问题，联系所学知识并灵活运用，鼓励学生自己动手来解决问题.此类与实际应用练习结合紧密的知识，能更为有效地提升学生的应用能力.2.2
一元二次方程的解法
2.2.3
因式分解法
第2课时
选择合适的方法解一元二次方程
教学目标
能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点，会根据不同的方程特点选用恰当的方法,使解题过程简单合理,通过揭示各种解法的本质联系,渗透降次化归的思想方法。
重难点关键
1.
重点:会根据不同的方程特点选用恰当的方法,使解题过程简单合理。
2.
难点:通过揭示各种解法的本质联系,渗透降次化归的思想。
教学过程
一、用不同的方法解一元二次方程3x2
-5x-2=0(配方法,公式法,因式分解法)
教师点评:三种不同的解法体现了同样的解题思路：把一元二次方程"降次"转化为一元一次方程求解。
二、把下列方程的最简洁解法选填在括号内。
(A)直接开平方法
(B)
配方法
(C)
公式法
(D)因式分解法
(1)7x-3=2x2
(
)
(2)4(9x-1)2=25
(
)
(3)(x+2)(x-1)=20
(
)
(4)
4x2+7x=2
(
)
(5)
x2+2x-4=0
(
)
小结:一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法,若没有特殊说明一般不采用配方法。其中,公式法是一般方法,适用于解所有的一元二次方程,因式分解法是特殊方法,在解符合方程左边易因式分解,右边为0的特点的一元二次方程时,非常简便。
三、
将下列方程化成一般形式,再选择恰当的方法求解。
(1)3x2=x+4
(2)(2x+1)(4x-2)=(2x-1)2+2
(3)(x+3)(x-4)=6(x+1)2-2(x-1)2
说明:将一元二次方程化成一般形式不仅是解一元二次方程的基本技能,而且能为解法的选择提供基础。
四、阅读材料,解答问题:
材料:为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以视(x2-1)为一个整体,然后设x2-1=y,原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1,y2=4。当y1=1时,x2-1=1即x2=2,x=±√2
.当y2=4时,x2-1=4即x2=5,
x=±√5。原方程的解为x1=√2
,x2=-√2
,x3=√5,
x4=-√5
解答问题:
(1)填空:在由原方程得到y2-5y+4=0的过程中利用_______法,达到了降次的目的,体现_______的数学思想。
五、小结
(1)说说你对解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的认识
(消元、降次、化归的思想)
(2)三种方法(配方法、公式法、因式分解法)的联系与区别:
联系：
①降次,即它的解题的基本思想是:将二次方程化为一次方程,即降次.
②公式法是由配方法推导而得到.
③配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法适用于某些一元二次方程.
区别:
①配方法要先配方,再开方求根.
②公式法直接利用公式求根.
③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0.
六、作业：