课题：2.4二次函数的应用
课型：新授课
年级：九年级
教学目标：
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值.
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值问题．
3．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．进一步体会数学与人类社会的密切联系.
教学重点与难点：
重点：
经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值.
难点：
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
课前准备：导学案,多媒体课件．
教学过程:
一、创设情境，导入新课
活动内容：（利用导学案）
探究活动：以小组为单位，用长1米的绳子围成不同的图形，看哪个小组围成的图形最多，并估算出所围成的这些图形中，哪个图形的面积最大？
图
形
面
积
处理方式：学生先把答案写在导学案上，然后小组内交流，班级内比较的到当场合款相等时面积最大.
设计意图:增加学生的动手能力和小组合作探究能力，同时也为了复习图形的面积公式，会用估算的方法比较这些图形的面积大小，探究其中的规律，为本节课学习最大面积问题做好铺垫．
二、探究学习，感悟新知
活动内容：（多媒体展示）
问题一：探究两边在直角三角形直角边上内接矩形的最大面积
如图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．
（1）设长方形的一边AB＝x
m，那么AD边的长度如何表示？
（2）设长方形的面积为y
m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
解：（1）∵BC∥AD，
∴△EBC∽△EAF．∴．
又AB＝x，BE＝40－x，
∴．∴BC＝(40－x)．
∴AD＝BC＝(40－x)＝30－x．
（2）y＝AB·AD＝x(30－x)＝－x2＋30x
＝－（x2－40x＋400－400）
＝－（x2－40x＋400）＋300
＝－（x－20）2＋300．
当x＝20时，y最大＝300．
即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2．
处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后，学生之间互相展示结果讨论补充,教师适时点评，并在多媒体上展示正确结果.
设计意图：从矩形的面积公式入手，利用相似三角形的性质表示出另外一条边，才能列出函数表达式，这一过程先由学生独立思考后，分组合作探究、交流，帮助个别存在困难的同学解决．此题的思路也是解决矩形最大面积问题最常用的方法．
问题二：探究一边在直角三角形斜边上内接矩形的最大面积（多媒体展示）
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中在斜边上，在直角边上．如果设矩形的一边，那么边的长度如何表示？当取何值时，矩形面积的值最大？最大值是多少？
解：设矩形的一边，
由，得，
即，
∴．
∴．
．
当时，有最大值，最大值为
处理方式：在有了前面解答问题的经验之后，让学生自主探究，寻求变量与不变量之间的关系，仿照第一种情况，再一次体验解决此类问题的步骤和方法，本环节相当于对问题1的巩固练习，学生在认真听讲的前提下完成应该没有问题，提醒学生计算要认真．
设计意图：在上一道题的基础上，利用相似三角形的性质表示出矩形的另一条边长，列出二次函数表达式，但此题上了难度，难度在于利用的是相似三角形对应高的比等于相似比这一性质，而且还要用到等积法求直角三角形斜边上的高．充分发挥学生的主动探究能力，并由个别程度较好的学生讲解，最后再板书进行反思总结．
三、例题解析,新知应用
活动内容：（多媒体出示例题）
某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？
解：∵7x＋4y＋πx＝15，
∴y＝．
设窗户的面积是S(m2)，则
S＝πx2＋2xy
＝πx2＋2x·
＝πx2＋
＝－3.5x2＋7.5x
＝－3.5(x2－x)
＝－3.5(x－)2＋．
∴当x＝≈1.07时，
S最大＝≈4.02．
即当x≈1.07m时，S最大≈4.02m2，此时，窗户通过的光线最多．
答案：
处理方式：本题含有两个图形的面积计算，主要是想进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，巩固训练列二次函数表达式和求最值的方法．让学生理解通过窗户光线多少与窗户面积大小有关．此题处理起来比较繁琐，教师要给予学生及时的指导和帮助，同时也告诉学生数学基本运算也是培养大家做事严谨、有耐心的一个很好的途径．
设计意图：在学生已有的探究“面积最大值”经验获取的体会中，让学生继续沿着这条探究路线走下去，既能巩固前面的探究方法，又能让学生再次感受“数学来源于生活”.
方法提炼：
我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交流．（学生讨论，教师多媒体展示）
(1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)用数学的方式表示它们之间的关系；
(4)做函数求解；
(5)检验结果的合理性，拓展等．
设计意图：趁热打铁，及时进行小结，总结做题的方法及思路，抓住这种题目的本质，达到举一反三的目的和效果．
四、拓展提升,学以致用
一养鸡专业户计划用116m长的竹篱笆靠墙围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大为多少？
解：设AB长为x
m，则BC长为(116－2x)m，长方形面积为S
m2．
根据题意得S＝x(116－2x)
＝－2x2＋116x
＝－2(x2－58x＋292－292)
＝－2(x－29)2＋1682．
当x＝29时，S有最大值1682，这时116－2x＝58．
即设计成长为58m，宽为29m的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为1682m2．
处理方式：学生通过思考并交流讨论，探索出需要利用本节课学的知识解决题目，教师利用多媒体展示答案.
活动的设计意在通过问题的变式促使学生灵活运用知识，在解决实际问题中,重视知识的发展,有利于后续学习兴趣的培养.
设计意图：让同学们通过刚才的学习和体验后进行练习，深入浅出地对题目进行分析和理解并解决问题，虽然并不要求他们在以后都用这样的方法解题，但对于培养他们形成良好的心理素质和培养他们分析问题、解决问题的能力是很有帮助的．
五、回顾反思，提炼升华
师：同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获？那些疑惑？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
（1）通过本节课掌握了利用相似三角形的性质表示矩形的另一边，是列矩形面积函数关系式的关键．
（2）图形最大面积问题，实质上是二次函数的最值问题．
（3）解决此类问题，首先要理解问题，分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系是难点，用数学的方式表示它们间的关系是关键，化归为二次函数运用公式求解是易错点，要做对做全需要我们一定基本功扎实，养成良好的数学素养！
处理方式：学生畅谈自己的收获，教师补充.
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，进一步培养学生总结归纳的能力与合作互助的意识.
六、达标检测，反馈提高
师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）
1.如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.
问矩形DEFG的最大面积是多少
2.如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB边向点B
以每秒1cm的速度移动;点Q从点B开始,沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q
同时出发,问经过几秒钟△PBQ的面积最大 最大面积是多少
参考答案
1.过A作AM⊥BC于M,交DG于N,则AM==16cm.
设DE=xcm,S矩形=ycm2,则由△ADG∽△ABC,
故,即,故DG=(16-x).
∴y=DG·DE=(16-x)x=-(x2-16x)=-(x-8)2+96,
从而当x=8时,y有最大值96.即矩形DEFG的最大面积是96cm2.
2.设第t秒时,△PBQ的面积为ycm2.则∵AP=tcm,∴PB=(6-t)cm;
又BQ=2t.∴y=PB·BQ=(6-t)·2t=(6-t)t=-t2+6t=-(t-3)2+9,
当t=3时,y有最大值9.
故第3秒钟时△PBQ的面积最大,最大值是9cm2.
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
七、布置作业，课堂延伸
必做题：课本47页，习题2.8第1、2、3题．
选做题：课本48页，习题2.8第4题．
结束语：
师：同学们，本节课的学习你们给我留下了深刻的印象，同时也给了我太多的感动与惊喜，谢谢你们！就让我把这份感动与惊喜埋在心底“一生一世”，相信你们的明天会更美好！祝愿同学们：象雄鹰一样飞的更高，飞的更远！（多媒体播放歌曲“飞的更高”结束本课）
板书设计：
§2.7最大面积是多少
1、直角三角形的内接矩形最大面积：矩形两边在直角边上
2、直角三角形的内接矩形最大面积：矩形一边在斜边上
窗户的最大面积
用二次函数解决实际问题的基本思路：：
投影区
学
生
活
动
区
A
C
B
D
E
F
40m
30m
A
C
B
D
E
F
40m
30m
G
M
N(共14张PPT)
第二章
二次函数
探究活动
图
形
面
积
(1)
设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大 最大值是多少
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
E
40m
30m
A
B
C
D
┐
(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大 最大值是多少
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
A
B
C
D
┐
E
F
40m
30m
xm
bm
何时面积最大
(1)设矩形的一边AD=xm,那么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大 最大值是多少
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
A
B
C
D
┐
E
F
G
40m
30m
xm
bm
N
M
┛
┛
(
)
.
24
,
50
1
:
m
GN
m
EF
=
=
由勾股定理得
解
何时面积最大
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时,窗户的面积是多少
x
x
y
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时,窗户的面积是多少
x
x
y
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时,窗户的面积是多少
x
x
y
1.理解问题;
“二次函数应用”
的思路
回顾本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.运用数学知识求解;
5.检验结果的合理性,
给出问题的解答.
一养鸡专业户计划用116m长的竹篱笆靠墙围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大为多少？
拓展提升
解：设AB长为x
m，则BC长为(116－2x)m，
长方形面积为S
m2．
根据题意得S＝x(116－2x)
＝－2x2＋116x
＝－2(x2－58x＋292－292)
＝－2(x－29)2＋1682．
当x＝29时，S有最大值1682，这时116－2x＝58．
即设计成长为58m，宽为29m的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为1682m2．
（1）通过本节课掌握了利用相似三角形的性质表示矩形的另一边，是列矩形面积函数关系式的关键．
（2）图形最大面积问题，实质上是二次函数的最值问题．
（3）解决此类问题，首先要理解问题，分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系是难点，用数学的方式表示它们间的关系是关键，化归为二次函数运用公式求解是易错点，要做对做全需要我们一定基本功扎实，养成良好的数学素养！
同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获？那些疑惑？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
回顾反思
目标检测
1.如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少
解：过A作AM⊥BC于M,交DG于N,则AM
=
16cm.设DE=xcm,S矩形=ycm2,△ADG∽△ABC,
故
,即
,故DG=
(16-x).
∴y=DG·DE=
(16-x)x=-
(x2-16x)=-
(x-8)2+96,
从而当x=8时,y有最大值96.即矩形DEFG的最大面积是96cm2.
目标检测
2.如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB边向点B
以每秒1cm的速度移动;点Q从点B开始,沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q
同时出发,问经过几秒钟△PBQ的面积最大 最大面积是多少
解：设第t
秒时,△PBQ的面积为ycm2.则∵AP=tcm,∴PB=(6-t)cm;
又BQ=2t.∴y=
PB·BQ=(6-t)·2t=(6-t)t
=-t2+6t=-(t-3)2+9,
当t=3时,y有最大值9.
故第3秒钟时△PBQ的面积最大,最大值是9cm2.
