课件47张PPT。第一讲 坐 标 系
一 平面直角坐标系【自主预习】
1.直角坐标系
(1)数轴.
①定义:规定了原点、正方向和_________的直线.
②对应关系:数轴上的点与_____之间一一对应.单位长度实数(2)直角坐标系.
①定义:在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条
数轴构成平面直角坐标系,简称直角坐标系.
②相关概念:
数轴的正方向:水平放置的数轴_____的方向、竖直放
置的数轴_____的方向分别是数轴的正方向.向右向上x轴或横轴:坐标轴_____的数轴.
y轴或纵轴:坐标轴_____的数轴.
坐标原点:坐标轴的__________.
③对应关系:平面直角坐标系内的点与___________
______之间一一对应.水平竖直公共原点O有序实数对(x,y)④公式:
设平面直角坐标系中,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点为P,填表:2.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
φ:____________的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,
y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称
伸缩变换.【即时小测】
1.函数y=ln|x|的图象为 ( )【解析】选D.函数y=ln|x|是偶函数,图象关于y轴对称,又y=lnx在(0,+∞)上为增函数,故选D.2.曲线C经过伸缩变换 后,对应曲线的方程
为:x2+y2=1,则曲线C的方程为 ( )【解析】选A.曲线C经过伸缩变换 ①后,对应
曲线的方程为x′2+y′2=1②,
把①代入②得到: +9y2=1.【知识探究】
探究点 平面直角坐标系中点的位置
1.平面直角坐标系中点的坐标的符号有什么特点?
提示:平面直角坐标系内的点,第一象限符号全正,第二象限横坐标为负,纵坐标为正,第三象限全负,第四象限横坐标为正,纵坐标为负,即一三同号,二四异号.2.伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗?
提示:不一定.伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的点的坐标和位置,但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限.【归纳总结】
1.平面直角坐标系的作用与建立
平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形状和位置的平台.建立平面直角坐标系,常常利用垂直直线为坐标轴,充分利用图形的对称性等特征.2.伸缩变换的类型与特点
伸缩变换包括点的伸缩变换,以及曲线的伸缩变换,曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化,通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系.
特别提醒:实数与数轴上的点是一一对应的,所以一个实数就能确定数轴上一个点的位置.类型一 坐标法求轨迹方程
【典例】已知△ABC的边AB长为2a,若BC的中线为定长m,求顶点C的轨迹方程.【解题探究】求轨迹方程的一般步骤是什么?
提示:建系-设点-列条件-得方程、整理.【解析】由题意,以线段AB的中点为原点,AB边所在的
直线为x轴建立直角坐标系,如图所示,
则A(-a,0),B(a,0).
设C(x,y),
则线段BC的中点为
因为|AE|=m,所以 化简得(x+3a)2+y2=4m2.
由于点C在直线AB上时,不能构成三角形,故去掉曲线与x轴的两个交点,从而所求的轨迹方程是(x+3a)2+y2
=4m2(y≠0).(建系不同,轨迹方程不同)【方法技巧】
1.建立平面直角坐标系的技巧
(1)如果平面几何图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点.
(2)如果平面几何图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴.特别提醒:建系时尽量使平面几何图形上的特殊点在坐标轴上.2.运用解析法解决实际问题的步骤
(1)建系——建立平面直角坐标系.建系原则是利于运用已知条件,使表达式简明,运算简便.因此,要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴.
(2)建模——选取一组基本量,用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程.(3)运算——通过运算,得到所需要的结果.
(4)回归——回归到实际问题作答.【变式训练】1.已知点(5-m,3-2m)不在第四象限,求实数m的取值范围.【解析】若点(5-m,3-2m)在第四象限,
则5-m>0,且3-2m<0,解得 故点(5-m,3-2m)不在第四象限时,
实数m的取值范围是m≤ 或m≥5.2.四边形ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在平面内的任意一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2.【证明】如图所示,
以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在
直线为y轴,建立平面直角坐标系,设
A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y),
则PA2=x2+y2,PB2=(x-a)2+y2,
PC2=(x-a)2+(y-b)2,PD2=x2+(y-b)2.所以PA2+PC2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2,
PB2+PD2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2.
故PA2+PC2=PB2+PD2.类型二 伸缩变换公式与应用
【典例】求曲线x2+y2=1经过φ: 变换后得到的
新曲线的方程.【解题探究】如何求变换后的新曲线的方程?
提示:将x,y表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的方程.【解析】曲线x2+y2=1经过φ: 变换后,
即 代入到圆的方程,可得
即所求新曲线的方程为 【延伸探究】
1.若曲线C经过 变换后得到圆x2+y2=1,求曲线
C的方程.【解析】将 代入到方程x′2+y′2=1,
得 即曲线C的方程.2.若圆x2+y2=1经过变换φ′后得到曲线
求变换φ′的坐标变换公式.【解析】设φ′:
代入到C′中得
与圆的方程比较得λ=5,μ=4.
故φ′的变换公式为【方法技巧】与伸缩变换相关问题的处理方法
(1)已知变换前的曲线方程及伸缩变换,求变换后的曲线方程的方法:利用伸缩变换用(x′,y′)表示出(x,y),代入变换前的曲线方程.(2)已知变换后的曲线方程及伸缩变换,求变换前的曲线方程:利用伸缩变换用(x,y)表示(x′,y′),代入变换后的曲线方程.
(3)已知变换前后的曲线方程求伸缩变换,将变换前后的方程变形,确定出(x′,y′)与(x,y)的关系即为所求的伸缩变换,也可用待定系数法.【补偿训练】1.(2016·蚌埠高二检测)在同一平面直
角坐标系中,经过伸缩变换 后,曲线C变为曲线
x′2+y′2=1,则曲线C的方程为 ( )【解析】选B.设曲线C上任意一点的坐标为P(x,y),按
φ: 变换后的对应的坐标为P′(x′,y′),代入
x′2+y′2=1,得16x2+9y2=1.2.将曲线y=sin(2016x)按φ: 变换后的曲线
与直线x=0,x=π,y=0围成图形的面积为________.【解析】设曲线y=sin(2016x)上任意一点的坐标为
P(x,y),按φ变换后的对应点的坐标为P′(x′,y′),
由φ:
代入y=sin(2016x),得2y′=sinx′,所以y′= sinx′,
即y= sinx,所以y= sinx与直线x=0,x=π,y=0围成图形的面积为S=
答案:1
自我纠错 伸缩变换公式的应用
【典例】将曲线 按照φ:
变换为曲线 求曲线y=cos4x在φ变换后
的曲线的最小正周期与最大值.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:出错的根本原因是弄错了变换顺序,错误代入方程.正确解答过程如下:【解析】由φ:
得φ:
将曲线 按照φ:
变换为曲线的方程为 由题意,得3μ=1,
故λ=2,
则曲线y=cos4x在φ变换后的曲线的方程为
所以变换后的曲线的最小正周期为π,最大值为 课件40张PPT。二 极坐标系
第1课时 极坐标系的概念【自主预习】
1.极坐标系
(1)取极点:平面内取一个______.
(2)作极轴:自极点引一条射线Ox.
(3)定单位:选定一个长度单位,一个角度单位(通常取
弧度)及其正方向(通常取逆时针方向).定点O2.点的极坐标
(1)定义:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为
_________.
(2)意义:ρ=_____,即极点O与点M的距离(ρ≥0).
θ=______,即以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角.M(ρ,θ)|OM|∠xOM【即时小测】
1.极坐标系中,下列与点(1,π)相同的点为 ( )
A.(1,0) B.(2,π)
C.(1,2016π) D.(1,2017π)【解析】选D.点(1,π)的极径为1,极角为π,由终边相同的角的概念得,点(1,π)与点(1,2017π)相同.2.点M的直角坐标是(-1, ),则点M的极点坐标为
( )【解析】选C.由ρ2=x2+y2,得ρ2=4,ρ=2,
则ρcosθ=x得:cosθ=- ,
结合点在第二象限得:θ= ,
则点M的极坐标为 【知识探究】
探究点 极坐标系
1.平面直角坐标系与极坐标系有什么不同?提示:(1)两种坐标系形式上的区别是直角坐标系有原点,x轴,y轴,极坐标系有极点、极轴.
(2)点的直角坐标是有序实数对(x,y),点的极坐标是(ρ,θ).2.极坐标系中,点的极坐标唯一吗?提示:(1)由于极坐标系中,对于给定的有序数对(ρ,θ)都有唯一确定的点与之对应,但是,对于给定一点M,可以有无数个有序数对(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)与之对应,所以极坐标系中的点与极坐标不能建立一一对应关系.
(2)如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外的任意一点都有唯一的极坐标(ρ,θ)与之对应,反之亦然.【归纳总结】
1.极坐标系的四要素
①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.
2.在极坐标系中找点的位置,应先确定极角,再确定极径,最终确定点的位置.特别提醒:若已知点的极坐标(ρ,θ),则点是确定的,反之,若已知点,则其极坐标不确定.类型一 极坐标系与点的极坐标
【典例】在极坐标系中,点P 到极点的距离为
________,点P 到极轴的距离为________.【解题探究】怎样求点到极点和极轴的距离?
提示:点到极点的距离等于极径,点到极轴的距离转化为三角函数计算.【解析】因为在极坐标系中,点P ,ρ=2,θ= ,所
以点P到极点的距离为2,点P到极轴的距离为2sin =1.
答案:2 1【方法技巧】确定点的极坐标的方法
点P的极坐标的一般形式为(ρ,θ+2kπ),k∈Z,则
(1)ρ为点P到极点的距离,是个定值.
(2)极角为满足θ+2kπ,k∈Z的任意角,不唯一,其中θ是始边在极轴上,终边过OP的任意一个角,一般取绝对值较小的角.【变式训练】1.在极坐标系中,极轴的反向延长线上一点M与极点的距离为2,则点M的极坐标的下列表示:
①(2,0);②(2,π);③(2,-π);④(2,2kπ)(k∈Z).
其中,正确表示的序号为____________.【解析】由于极轴的反向延长线上一点M与极点的距离为2,极角的始边为Ox,终边与平角的终边相同,故点M的极坐标为(2,π+2kπ)(k∈Z),故②③正确.
答案:②③2.如图,在极坐标系中,
(1)作出以下各点:
(2)求点E,F的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,θ∈R). 【解析】(1)如图,在极坐标系中,点A,B,C,D的位置是
确定的.
(2)由于点E的极径为4,
在θ∈[0,2π)内,极角
又因为点的极坐标为(ρ,θ)(ρ≥0,θ∈R),所以点E的极坐标为
同理,点F的极坐标为 类型二 极坐标系中两点间的距离
【典例】在极坐标系中,点O为极点,已知点
求|AB|的值.【解题探究】根据点A,B在极坐标系中的位置关系,可得∠AOB为多少度?
提示:∠AOB=90°.【解析】因为
故∠AOB=90°,故 【延伸探究】
1.本例已知条件不变,试求△AOB的面积.【解析】因为 故∠AOB=90°,
所以S△AOB= 2.本例已知条件不变,试求线段AB中点的极坐标.【解析】设线段AB中点M的极坐标为(ρ,θ),
则
故线段AB中点M的极坐标为 【方法技巧】点与极坐标的对应关系以及两点间的距离公式
(1)在极坐标系中,点的极坐标不唯一,这是由于与角θ1的终边相同的角的集合为{θ|θ=θ1+2kπ,k∈Z}.
如果限定ρ≥0,θ∈[0,2π),那么,除极点外,点与有序数对(ρ,θ)可以建立一一对应关系.(2)在极坐标系中,如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2),那么
两点间的距离公式 的两种
特殊情形为:
①当θ1=θ2+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1-ρ2|;
②当θ1=θ2+π+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1+ρ2|.【变式训练】1.(2016·南昌高二检测)在极坐标系中,
两点 间的距离是 ( )
A. B. C.6 D. 4【解析】选B.|AB|= 2.在极坐标系中,若△ABC的三个顶点为
判断三角形的形状.【解析】
所以△ABC是等边三角形.自我纠错 已知距离求点的极坐标
【典例】已知在极坐标系中,O为极点, B(ρ,
θ),OA⊥OB,|AB|=5,ρ≥0,θ∈[0,2π),求点B的极坐
标.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:出错的根本原因是对题目中的垂直条件理解不全面,导致确定极角时漏掉一种情况.
正确解答过程如下:【解析】由OA⊥OB,得 k∈Z,
即 k∈Z,由θ∈[0,2π),得
由 得
故ρ=4.
所以点B的极坐标为 课件46张PPT。第2课时
极坐标和直角坐标的互化【自主预习】
极坐标与直角坐标的互化公式
如图所示,把直角坐标系的原点作为
极点,x轴的正半轴作为极轴,且长度单位
相同,设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y),
(ρ,θ).ρcosθρsinθx2+y2【即时小测】
1.极坐标系中,点(1,π)的直角坐标为 ( )
A.(1,0) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(0,-1)【解析】选B.由公式 得 所以点(1,π)
对应的点的直角坐标为(-1,0).2.在直角坐标系中,点(2016,-2016)的极坐标为________(ρ>0,0≤θ<2π).【解析】在直角坐标系中,点(2016,-2016)到原点(极
点)的距离为2016 ,极角θ= +2kπ,k∈Z,
因为0≤θ<2π,所以θ= .
所以点(2016,-2016)的极坐标为 .
答案:【知识探究】
探究点 极坐标和直角坐标的互化
1.点与极坐标是一一对应的吗?提示:在直角坐标系和极坐标系中,点M与直角坐标(x,y)是一一对应的,点M与极坐标(ρ,θ)不是一一对应的,即点M的极坐标不唯一.2.将点的直角坐标化为极坐标的关键是什么?提示:将点的直角坐标化为极坐标的关键是运用公式
分别计算极径和极角,求极角时先计算
[0,2π)内的角θ0,再表示为θ0+2kπ,k∈Z.【归纳总结】
1.直角坐标与极坐标的关系
三角函数是点的直角坐标与极坐标的联系纽带,根据三
角函数定义,角θ的顶点在原点O(极点),始边为横轴的
正半轴,M(x,y)为角θ终边上的一点,|OM|=
则sinθ= ,cosθ= ,所以y=ρsinθ,x=ρcosθ.2.特殊角的三角函数值3.由点的直角坐标确定极角
当点不在y轴上时,由tanθ= 求出[0,2π)上的θ;
当点在y轴正半轴上时,θ= ;
当点在y轴负半轴上时,θ= .类型一 点的极坐标与直角坐标的转化
【典例】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的非
负半轴为极轴,ρ≥0,θ∈R完成下列各题:
(1)将极坐标M 化为直角坐标.
(2)将直角坐标N(-2016,2016)化为极坐标.【解题探究】将点的极坐标化为直角坐标的公式是什么?将点的直角坐标化为极坐标的公式是什么?提示:由公式 将点的极坐标化为直角坐标,由
公式 将点的直角坐标化为极坐标.【解析】(1)将点M的极坐标 代入公式
所以点的直角坐标为(-3 ,-3).(2)由点的直角坐标N(-2016,2016)与公式
且θ的终边经过点N(-2016,2016),所以θ= ,
所以点N的极坐标为 ,k∈Z.【方法技巧】极坐标与直角坐标互化的策略
(1)点的直角坐标化为极坐标的注意事项.
化点的直角坐标为极坐标时,一般取ρ≥0,θ∈[0,
2π),即θ取最小正角,由tanθ= (x≠0)求θ时,必须
根据角θ的终边经过点(x,y)所在的象限来确定θ的值.(2)掌握特殊角的三角函数值,还需要掌握一些常用的
三角变换公式,如半角公式 【变式训练】1.(2016·绵阳高二检测)将点M的极坐标
化成直角坐标是 ( )
A.(-1,-1) B.(1,1)
C.(1, ) D.( ,1)【解析】选C.由公式
所以(1, )即为所求.2.若已知极坐标平面内的点P ,求点P关于极点
对称的点的极坐标及直角坐标.【解析】点P关于极点的对称点P′到极点的距离仍为2,
即ρ=2.
又P与P′的极角间相差π+2kπ,k∈Z,
故θ=- +π+2kπ,k∈Z,
故P′的极坐标可以为 ,由x=2cos =-1,y=2sin =- ,
故点P′的直角坐标为(-1,- ).类型二 极坐标与直角坐标转化的应用
【典例】已知A,B两点的极坐标为 求线段
AB中点的直角坐标.【解题探究】怎样求线段中点的直角坐标?
提示:先求出端点的直角坐标,再利用中点坐标公式求中点的直角坐标.【解析】因为A点的极坐标为
所以
所以A(3, ),
同理可得B(-4, ).
设线段AB的中点为M(m,n),由线段的中点坐标公式可得所以线段AB中点的直角坐标为 【延伸探究】
1.试求线段AB中点的极坐标.【解析】方法一:因为A,B两点的极坐标为
故A,B两点在一条直线上,且到极点的距离分别为6,8,
故AB中点到极点的距离为1,且在线段OB上,故AB中点的
极坐标为 方法二:因为线段AB中点的直角坐标为
故
因为AB中点在第三象限,故
故中点的极坐标为 2.试求直线AB的方程.【解析】因为A点的极坐标为
所以
所以A(3, ),
又因为直线AB的倾斜角为 故斜率
故直线AB的方程为
即 【方法技巧】应用点的极坐标与直角坐标互化的策略
在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时,若不方便利用极坐标直接解决,可先将极坐标化为直角坐标,利用直角坐标系中的公式、性质解决,再转化成极坐标系中的问题即可.【变式训练】1.若点M的极坐标为 则点M关于y轴
对称点的极坐标为________.【解析】点M的极坐标为
所以点M的直角坐标为
所以点M关于y轴对称点的直角坐标为
由
又点(-3 ,-3)位于第三象限.故 则所求点的极坐标为
答案:2.在极坐标系中,已知 求|AB|.【解析】由点A的极坐标为 可得点A的直角坐标为
同理点B的直角坐标为(2 ,-2),则|AB|=自我纠错 点的极坐标及其表示
【典例】(2016·合肥高二检测)在极坐标系中,点
P(ρ,θ)关于极点对称的点的坐标可以是 ( )
①(ρ,-θ);②(-ρ,-θ);③(-ρ,θ);④(ρ,π+θ).
A.④ B.①②
C.①③ D.③④【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:出错的根本原因是忽视了ρ∈R的情形,即点P(ρ,θ)关于极点对称的点的坐标也可以是(-ρ,θ).
事实上,当ρ>0时,点P(ρ,θ)在极角θ的终边上,
|OP|=ρ;当ρ<0时,点P(ρ,θ)在极角θ的终边的反向延长线上,|OP|=-ρ.
正确解答过程如下:【解析】选D.方法一:点P(ρ,θ)关于极点对称的点的
坐标可以是(ρ,π+θ)或(-ρ,θ).
方法二:以极点为原点,极轴方向为x轴正方向,建立平
面直角坐标系,点P(ρ,θ)的直角坐标为(ρcosθ,
ρsinθ),关于原点对称的点的坐标为(-ρcosθ,
-ρsinθ),结合选项,得③(-ρ,θ)与④(ρ,π+θ)的
直角坐标都是(-ρcosθ,-ρsinθ).课件53张PPT。三
简单曲线的极坐标方程【自主预习】
1.极坐标方程与平面曲线
在极坐标系中,方程f(ρ,θ)=0叫做平面曲线C的极坐
标方程,满足条件:
(1)平面曲线C上任意一点的极坐标中___________满足
方程f(ρ,θ)=0.至少有一个(2)坐标适合方程___________的点都在曲线C上.f(ρ,θ)=02.圆的极坐标方程r2rcosθ2rsinθ-2rcosθ-2rsinθ3.直线的极坐标方程(ρ∈R)απ+αρcosθρsinθ【即时小测】
1.极坐标系中,圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程为 ( )
A.ρ=2 B.ρ=4
C.ρcosθ=1 D.ρsinθ=1【解析】选A.由圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r,得圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程为ρ=2.2.极轴所在直线的极坐标方程为________.
【解析】如图,设M(ρ,θ)是极轴所在直线上的任意一
点,则θ=0(ρ∈R).
答案:θ=0(ρ∈R)【知识探究】
探究点 曲线的极坐标方程
1.在极坐标系中,点M(ρ,θ)的轨迹方程中一定同时含有ρ,θ吗?
提示:不一定,如圆心在极点,半径为1的极坐标方程为ρ=1,方程中只含有ρ.2.如何求圆心为C(ρ0,θ0),半径为r的圆的极坐标方程?提示:设圆C上任意一点的极坐标为M(ρ,θ),
如图,在△OCM中,由余弦定理,得
|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM=|CM|2,
即ρ2+ -2ρρ0cos(θ-θ0)=r2.
当O,C,M三点共线时,点M的极坐标也适合上式,所以圆
心为C(ρ0,θ0),半径为r的圆的极坐标方程为ρ2+ -
2ρρ0cos(θ-θ0)-r2=0.【归纳总结】
1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程
在极坐标系中,由于点的极坐标的表示形式不唯一,即
(ρ,θ),(ρ,θ+2π),(-ρ,θ+π),(-ρ,θ-π)都表
示同一点,这与点的直角坐标具有唯一性明显不同.所
以对于曲线上同一点的极坐标的多种表示形式,只要求点的极坐标中至少有一个能满足曲线的极坐标方程即可.2.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的相互转化及应用
(1)与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样,以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐标方程也可以进行互相转化.(2)较简单曲线的极坐标方程可直接求,较复杂曲线的极坐标方程可以先求直角坐标方程,然后再转化.
特别提醒:极坐标方程对应曲线的形状往往不易看出,通常是先转化为直角坐标方程,然后再分析形状.类型一 圆的极坐标方程
【典例】在极坐标系中,已知圆C的圆心为C ,半径
为1,求圆C的极坐标方程.【解题探究】求圆的极坐标方程时需要注意什么问题?
提示:求圆的极坐标方程时需要检验特殊点是否适合方程.【解析】在圆C上任取一点P(ρ,θ),
在△POC中,由余弦定理可得
CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos∠POC,
即
化简可得 当O,P,C共线时,此方程也成立,
故圆C的极坐标方程为 【延伸探究】
1.试求圆的直角坐标方程.【解析】圆心的极坐标为
故直角坐标为
又已知圆的半径为1,
故圆的直角坐标方程为 2.在极坐标系中,试求该圆上的点与点 距离的
最大值.【解析】圆心 与点 的距离
故圆上的点与点P的距离的最大值为 【方法技巧】求圆的极坐标方程的步骤
(1)设圆上任意一点的极坐标为M(ρ,θ).
(2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ,θ)=0并化简.
(3)验证极点、圆心与M三点共线时,点M(ρ,θ)的极坐标也适合上述极坐标方程.【补偿训练】1.在极坐标系中,圆C过极点,且圆心的极
坐标是 (a>0),则圆C的极坐标方程是 ( )
A.ρ=-2asinθ B.ρ=2asinθ
C.ρ=-2acosθ D.ρ=2acosθ【解析】选B.由于圆心的极坐标是 ,化为直角坐标
为(0,a),半径为a,故圆的直角坐标方程为x2+(y-a)2=a2,
再化为极坐标方程为ρ=2asinθ.2.(2016·西安高二检测)将极坐标方程ρ=2cosθ化成直角坐标方程为________.
【解析】由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ,
所以x2+y2-2x=0.
答案:x2+y2-2x=0类型二 直线的极坐标方程
【典例】在极坐标系中,求过点(2,π)且与极轴的倾斜
角为 的直线的极坐标方程.【解题探究】求直线极坐标方程的一般方法是什么?
提示:设出直线上任意一点的极坐标(ρ,θ),列出ρ,θ的关系式即可.【解析】令A(2,π),设直线上任意一点P(ρ,θ),
在△OAP中,∠APO=θ- ,
由正弦定理
得
又因为点A(2,π)适合上式,
故所求直线的极坐标方程为 【方法技巧】关于直线的极坐标方程
(1)求直线的极坐标方程的一般方法.
设出直线上的任意一点(ρ,θ),利用三角形中的定理,如正弦定理、余弦定理等列出ρ,θ的关系式,即为直线的极坐标方程.(2)求直线的极坐标方程的注意事项.
①当ρ≥0时,直线上的点的极角不是常量,所以直线的极坐标方程需要转化为两条射线的极坐标方程,所以直线的极坐标方程不如直线的直角坐标方程唯一且简便.
②当规定了“负极径”的意义,即ρ∈R时,直线的极坐标方程就是唯一的了.【变式训练】
1.(2016·铜陵高二检测)已知点P的极坐标为(1,π),求过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程.【解析】点P(1,π)的直角坐标为(-1,0),所求直线的直角坐标方程为x=-1,化为极坐标方程为ρcosθ=-1.2.在极坐标系中,求过点 且与极轴平行的直线方程.
【解析】点 在直角坐标系下的坐标为
即(0,2),
所以过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y=2.
即为ρsinθ=2.类型三 直线与圆的极坐标方程综合题
【典例】(2016·衡阳高二检测)在极坐标系中,曲线
C:ρ=2acosθ(a>0),l: ,C与l有且仅有一
个公共点.
(1)求a的值.(2)O为极点,A,B为曲线C上的两点,且∠AOB= ,求|OA|
+|OB|的最大值.【解题探究】(1)如何判断曲线的形状?
提示:将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程判断曲线的形状.(2)如何求|OA|+|OB|的最大值?
提示:利用点的极坐标以及三角函数性质求最大值.【解析】(1)由曲线C:ρ=2acosθ(a>0)得
ρ2=2aρcosθ,化为直角坐标方程为(x-a)2+y2=a2,
直线l:
得
由于直线与圆有且只有一个公共点,
所以d= =a,解得a=1,a=-3(舍去).(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+ ,
当θ=- 时,|OA|+|OB|取得最大值2 .【方法技巧】将极坐标方程化为直角坐标方程的关键
因为直线和曲线是满足某种条件的点的集合,所以将极坐标方程化为直角坐标方程的公式仍然用点的极坐标化为直角坐标的公式y=ρsinθ,x=ρcosθ.【变式训练】1.(2016·衡水高二检测)在极坐标系中,
点 到圆ρ=-2cosθ的圆心的距离为 ( )【解析】选D.点 的直角坐标为(1,- ),圆ρ=
-2cosθ即ρ2=-2ρcosθ的直角坐标方程为(x+1)2+y2
=1,所以点(1,- )到圆心(-1,0)的距离为 .2.(2016·北京高考)在极坐标系中,直线ρcosθ-
ρsinθ-1=0与圆ρ=2cosθ交于A,B两点,则|AB|
=________.【解析】直线ρcosθ- ρsinθ-1=0可化为x- y-
1=0.圆ρ=2cosθ可化为ρ2(cos2θ+sin2θ)=2ρcosθ,
x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,所以圆心(1,0),半径长为1.圆
心在直线AB上,所以|AB|=2.
答案:2自我纠错 极坐标方程化为直角坐标方程
【典例】(2016·漳州高二检测)化极坐标方程
ρ2cosθ-ρ=0为直角坐标方程为 ( )
A.x2+y2=0或y=1 B.x=1
C.x2+y2=0或x=1 D.y=1【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:出错的根本原因是忽视了ρ≥0,遗漏了ρ=0的情形.
正确解答过程如下:【解析】选C.由ρ2cosθ-ρ=0,得ρ(ρcosθ-1)=0,
所以ρ=0或ρcosθ-1=0,即x2+y2=0或x=1.课件48张PPT。四
柱坐标系与球坐标系简介【自主预习】
1.柱坐标系
如图,在柱坐标系中,
ρ: _____
θ:______
z:___
范围:ρ≥0,__≤θ<____, ____如图,在球坐标系中,
r: _____
φ:______
θ:______
范围:r≥0, __________,__________.|OP|∠zOP∠xOQ0≤φ≤π0≤θ<2π3.点的空间坐标的互相转化公式设空间一点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),球坐标为(r,φ,θ),则ρcosθρsinθzrsinφcosθrsinφsinθrcosφ【即时小测】
1.柱坐标系中,点的柱坐标 化为直角坐标为
( )
A.(2,2,3) B.(2,3,0) C.(0,2,3) D.(2,0,3)【解析】选C.设点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),
因为(ρ,θ,z)=
所以点P 的直角坐标为(0,2,3).2.将球坐标 化为直角坐标为 ( )
A.(1, ,1) B.(1, ,0)
C.(1,0, ) D.(0, ,1)【解析】选D.点的球坐标(r,φ,θ)化为直角坐标为(x,y,z)=(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ),
所以 化为直角坐标为 【知识探究】
探究点 柱坐标系与球坐标系
1.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系中点的坐标有什么特点?提示:(1)柱坐标系与球坐标系都是以空间直角坐标系为背景,柱坐标系在平面xOy内构造平面极坐标系,球坐标系是构造点P到原点的距离|OP|=r与射线Oz构成极坐标系,且OP在平面xOy内的射影与射线Ox也构成平面极坐标系.(2)点P的直角坐标是有序实数组(x,y,z),柱坐标是含有一个极角的有序数组(ρ,θ,z),球坐标是含有两个极角的有序数组(r,φ,θ).2.要刻画空间一点的位置,就距离和角的个数来说有什么限制?
提示:空间点的坐标都是三个数值,至少有一个是距离.【归纳总结】
1.柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系
柱坐标系和球坐标系都要定位在空间直角坐标系中,柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标,竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同;球坐标系中,则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置.2.对球坐标系的三点说明
(1)在球心为O,r为半径的球中,建立球坐
标系,如图,
其中,|OP|=r与射线Oz构成极坐标系,且
OP在平面xOy内的射影OQ与射线Ox也构成极坐标系,所
以球坐标系也称为空间极坐标系.(2)球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用,在测量实践中,球坐标P(r,φ,θ)中的角θ称为被测点P的方位角,90°-φ称为高低角.
(3)在球坐标系中,方程r=r0(r0为正常数)表示球心在原点,半径为r0的球面;方程θ=θ0(0≤θ0<2π)表示过z轴的半平面,且与平
面xOz所成的二面角为θ0;
方程φ=φ0(0≤φ0≤π)表示顶点在原点,半顶角为φ0
的“圆锥面”,其中心轴为z轴,当φ0= 时,“圆锥
面”为平面xOy;当φ0< 时,“圆锥面”在平面xOy上
方;当φ0> 时,“圆锥面”在平面xOy下方.类型一 柱坐标与直角坐标的转化
【典例】把点P的直角坐标(2,2 ,4)化为柱坐标.【解题探究】直角坐标与柱坐标互化的依据是什么?
提示:直角坐标与柱坐标互化的依据是公式【解析】点P的直角坐标(2,2 ,4)化为柱坐标
解得
所以点P的柱坐标为 【方法技巧】点的柱坐标与直角坐标的互相转化公式
设点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),
(1)柱坐标化为直角坐标的公式为
即柱坐标(ρ,θ,z)的直角坐标为(x,y,z)=(ρcosθ,
ρsinθ,z).(2)直角坐标化为柱坐标的公式为
即直角坐标(x,y,z)的柱坐标为
其中, 且θ的终边经过(x,y).【变式训练】1.将点的柱坐标 化为直角坐标
为 ( )
A.( ,1,-1) B.( ,-1,-1)
C.(- ,1,-1) D.(- ,-1,-1)【解析】选C.因为M点的柱坐标为
设点M的直角坐标为(x,y,z),
所以 即 所以 2.将点的直角坐标(- ,-3,4)化为柱坐标为________.【解析】设点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为
(ρ,θ,z),
因为(x,y,z)=(- ,-3,4),
由公式
且θ的终边经过点(- ,-3),故θ= ,所以点的直角坐标(- ,-3,4)化为柱坐标为 .
答案:类型二 球坐标与直角坐标的转化
【典例】已知点M的球坐标为 求它的直角坐标.【解题探究】球坐标与直角坐标互化的依据是什么?
提示:球坐标与直角坐标互化的依据是公式【解析】设点M的直角坐标为(x,y,z),
因为点M的球坐标为
所以
所以M的直角坐标为 【延伸探究】
1.若点M的球坐标变为 则它的直角坐标是什么?【解析】因为
故直角坐标为 2.求点M的柱坐标.
【解析】设点M的直角坐标为(x,y,z),
因为点M的球坐标为
所以
所以M的直角坐标为 所以
由 0≤θ<2π,得
故柱坐标为 【方法技巧】点的球坐标与直角坐标的互相转化公式
设点P的直角坐标为(x,y,z),球坐标为(r,φ,θ),
(1)球坐标化为直角坐标的公式为即球坐标(r,φ,θ)的直角坐标为(x,y,z)=
(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ).
(2)直角坐标化为球坐标的公式为即直角坐标(x,y,z)化为球坐标的步骤为:
先求 再求φ,最后求θ,
将球坐标表示为(r,φ,θ).【变式训练】
1.在球坐标系中,点的球坐标(2,π,0)化为直角坐标为
( )
A.(0,0,2) B.(0,0,-2)
C.(0,2,0) D.(0,-2,0)【解析】选B.点的球坐标(r,φ,θ)化为直角坐标为(x,y,z)=(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ),
所以球坐标(2,π,0)化为直角坐标为(2sinπcos0,
2sinπsin0,2cosπ)=(0,0,-2).2.求球坐标 对应的点的直角坐标与柱坐标.
【解析】因为点的球坐标为
所以即球坐标 对应的点的直角坐标是
又由 得
即对应点的柱坐标是 自我纠错 坐标互化公式的应用
【典例】求直角坐标 对应的球坐标.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:出错的根本原因是判断角θ的终边所在的象限,求θ值时出错.正确解答过程如下:【解析】由(x,y,z)= ,
得
由z=rcosφ(0≤φ≤π),
得
由 及θ的终边过点 得
故点的直角坐标 化为球坐标为 课件48张PPT。第二讲 参数方程
一 曲线的参数方程
第1课时 参数方程的概念、圆的参数方程【自主预习】
1.曲线的参数方程的定义
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x,y都是某个变数t的函数________①,并且对于t
的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这
条曲线上,那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程.变
数t叫做参变数,简称_____.参数2.圆的参数方程【即时小测】
1.曲线 (θ为参数)围成图形的面积等
于( )
A.π B.2π C.3π D.4π【解析】选D.曲线
即 (θ为参数)表示圆心为(-1,3),半径
为2的圆,所以面积等于4π.2.已知 (t为参数),若y=1,则x=________.
【解析】若y=1,则t2=1,则t=±1,x=0或2.
答案:0或2【知识探究】
探究点 参数方程的概念、圆的参数方程
1.曲线的参数方程中参数的实际意义是什么?
提示:在曲线的参数方程中,参数可以有明确的几何意义,也可以有明确的物理意义,如时间、旋转角等.当然也可以是没有实际意义的变数.2.圆的参数方程中参数的几何意义是什么?
提示:(1)圆的参数方程 中参数θ的几何意
义:
射线Ox绕点O逆时针旋转到OM(M(x,y)
是圆上的任意一点)位置时转过的角度.
如图所示.(2)圆的参数方程 中参数θ的几何意义:
如图所示,设其圆心为C,CM0∥x轴,则参数θ的几何意义是CM0绕点C逆时针旋转到CM(M(x,y)是圆上的任意一点)位置时转过的角度.【归纳总结】
1.曲线的参数方程的理解与认识
(1)参数方程的形式:曲线上点的横、纵坐标x,y都是变量t的函数,给出一个t能唯一地求出对应的x,y的值,因而得出唯一的对应点;但是横、纵坐标x,y之间的关系并不一定是函数关系.(2)参数的取值范围:在表示曲线的参数方程时,必须指明参数的取值范围.因为取值范围不同,所表示的曲线也会有所不同.2.参数方程与普通方程的统一性
(1)参数的作用:参数是间接地建立横、纵坐标x,y之间的关系的中间变量,起到了桥梁的作用.
(2)参数方程与普通方程的转化:曲线的普通方程是相对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变量x与y之间的直接联系,而参数方程是通过变数反映坐标变量x与y之间的间接联系.特别提醒:普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式,参数方程可以与普通方程进行互化.类型一 参数方程的表示与应用
【典例】已知曲线C的参数方程是 (t为参
数,a∈R)点M(-3,4)在曲线C上.
(1)求常数a的值.
(2)判断点P(1,0),Q(3,-1)是否在曲线C上.【解题探究】典例中如何求常数的值?如何判断点与曲线的位置关系?
提示:为了求常数的值,只需将点M的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x,y,消去参数t,求a即可.要判断点与曲线的位置关系,只要将点的坐标代入曲线的参数方程检验即可,若点的坐标是方程的解,则点在曲线上,否则,点不在曲线上.【解析】(1)将点M(-3,4)的坐标代入曲线C的参数方程
得
消去参数t,解得a=1.(2)由上述可得,曲线C的参数方程是
将点(1,0)的坐标代入参数方程得 得t=0,
因此点(1,0)在曲线C上.
将点(3,-1)的坐标代入参数方程得
方程组无解,因此点(3,-1)不在曲线C上.【方法技巧】点与曲线的位置关系
(1)动点的轨迹:满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线,点与曲线的位置关系有两种:点在曲线上,点不在曲线上.(2)对于曲线C的普通方程f(x,y)=0,若点M(x1,y1)在曲线上,则点M(x1,y1)的坐标是方程f(x,y)=0的解,即有f(x1,y1)=0.若点N(x2,y2)不在曲线上,则点N(x2,y2)的坐标不是方程f(x,y)=0的解,即有f(x2,y2)≠0.(3)对于曲线C的参数方程 (t为参数)若点M(x1,
y1)在曲线上,则 对应的参数t有解,否则无解,
即参数t不存在.【变式训练】已知曲线C的参数方程为 (t为
参数).
(1)判断点A(1,0),B(3,2)与曲线C的位置关系.
(2)若点M(10,a)在曲线C上,求实数a的值.【解析】(1)把点A(1,0)的坐标代入方程组,解得t=0,所以点A(1,0)在曲线上.
把点B(3,2)的坐标代入方程组,得
即 故方程组无解,所以点B不在曲线上.(2)因为点M(10,a)在曲线C上,所以 解得
所以a=±6.类型二 求曲线的参数方程
【典例】长为3的线段两端点A,B分别在x轴正半轴和y
轴正半轴上滑动, 点P的轨迹为曲线C.
(1)以直线AB的倾斜角α为参数,求曲线C的参数方程.
(2)求点P到点D(0,-2)距离的最大值.【解题探究】典例中点P是线段AB的几等分点?如何建立点的坐标的参数方程?如何求距离的最大值?
提示:点P是线段AB的一个三等分点,利用三角函数建立点的坐标的参数方程.建立距离的目标函数,转化为二次函数求最大值.【解析】(1)设P(x,y),由题意,得
所以曲线C的参数方程为(2)由(1)得|PD|2=(-2cosα)2+(sinα+2)2= 4cos2α+sin2α+4sinα+4=-3sin2α+4sinα+8=
当 时,|PD|取得最大值 【方法技巧】求曲线的参数方程的注意事项
(1)求曲线的参数方程关键是确定参数,本题以线段所在直线的倾斜角为参数,通过解直角三角形得到曲线上动点坐标的三角函数方程.(2)求两点间距离的最大值的关键是利用参数方程建立目标函数,通过配方法求函数的最值,要注意函数的定义域.
【变式训练】1.若x=t-1(t为参数),求直线x+y-1=0的参数方程.
【解析】把x=t-1代入x+y-1=0,得y=-t+2,
所以直线x+y-1=0的参数方程为 2.已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负半轴上移动,顶点B在x轴的非负半轴上移动,求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程.【解析】如图,设C(x,y),∠ABO=θ,
过点C作x轴的垂线段CM,垂足为M.
则
所以
（θ为参数，0≤θ≤ ）为所求.类型三 圆的参数方程与应用
【典例】(2016·漳州高二检测)已知曲线C1:
(t为参数),C2: (θ为参数).
(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什
么曲线.(2)若C1上的点P对应的参数为t= ,Q为C2上的动点,
求PQ中点M到直线C3: (t为参数)距离的最小值.
【解题探究】(1)如何根据参数方程判断曲线的形状?
提示:将参数方程化为普通方程再判断曲线形状.
(2)如何求点到直线距离的最小值?
提示:利用参数方程化为三角函数的最小值求解.【解析】(1)由曲线C1: (t为参数)
得 利用三角函数的平方和公式消去参数t,
得C1:(x+4)2+(y-3)2=1,
曲线C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.
同理,得C2: 曲线C2为中心是坐标原点,焦点
在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)当t= 时,P(-4,4),Q(8cosθ,3sinθ),
故
C3为直线x-2y-7=0,
M到C3的距离d= |4cosθ-3sinθ-13|=
|5cos(θ+φ)-13|,
当cos(θ+φ)=1时,d取得最小值 【方法技巧】
(1)圆的参数方程中的参数是角,所以圆上的点的坐标是三角函数.
(2)与距离有关的最大值或最小值问题,常常利用圆的参数方程转化为三角函数解决.【变式训练】
1.(2016·合肥高二检测)设曲线C的参数方程为
(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则
曲线C上到直线l距离为 的点的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.曲线C: (θ为参数)的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,
表示圆心C(2,-1),r=3的圆,
由于圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离为 又r-2d= 所以r-d所以圆C上到l距离为 的点有2个.
2.已知点 Q是圆 上的动点,
则|PQ|的最大值是________.【解析】由题意,设点Q(cosθ,sinθ),
则
故|PQ|max=
答案:2自我纠错 参数方程表示曲线的判断
【典例】(2016·漳州高二检测)参数方程为
(t为参数)表示的曲线是 ( )
A.一条直线 B.两条直线
C.一条射线 D.两条射线【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:出错的根本原因是忽视了参数的取值范围从而导致缩小了x的取值范围.
正确解答过程如下:【解析】选D.由参数方程 (t为参数),得t≠0,
当t>0时,x=t+ ≥2;
当t<0时,x=
所以参数方程化为普通方程为
y=2(x≤-2或x≥2),所以表示两条射线.课件65张PPT。第2课时
参数方程和普通方程的互化【自主预习】
1.普通方程
相对于参数方程而言,直接给出_________________的
方程叫做普通方程.点的坐标间的关系2.曲线的普通方程和参数方程的互相转化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.
一般地,可以通过_________而从参数方程得到普通方程.消去参数(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如
_______,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的
关系_______,那么 就是曲线的参数方程.在参
数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的_________保
持一致.x=f(t)y=g(t)取值范围【即时小测】
1.圆x2+(y+1)2=2的参数方程为 ( )
A. (θ为参数)
B. (θ为参数)
C. (θ为参数)
D. (θ为参数)【解析】选D.圆x2+(y+1)2=2的圆心坐标为C(0,-1),半
径为 ,所以它的参数方程为 (θ为参
数).2.参数方程 (t为参数)化为普通方程为________.
【解析】消去参数方程 中的参数t,
得到普通方程为y2=4x.
答案:y2=4x【知识探究】
探究点 参数方程和普通方程的互化
1.同一曲线的参数方程是否唯一?
提示:求曲线的参数方程,关键是灵活确定参数,由于参数不同,同一曲线的参数方程也会有差异,但是一定要注意等价性.2.将曲线的参数方程和普通方程互相转化需要注意什么?
提示:尽管同一曲线的参数方程不唯一,但是一定要注意方程与曲线的等价性.【归纳总结】
1.曲线的参数方程与普通方程互化的作用
(1)将曲线的参数方程化为普通方程,可借助于熟悉的普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、性质等.(2)将曲线的普通方程化为参数方程,可用参变量作为中介来表示曲线上点的坐标,从而给研究与曲线有关的最大值、最小值以及取值范围等问题带来方便.2.参数方程化为普通方程的三种常用方法:
(1)代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数.
(2)三角函数法:利用三角恒等式消去参数.
(3)整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去.特别提醒:化参数方程为普通方程F(x,y)=0:在消参过程中注意变量x,y取值范围的一致性,必须根据参数的取值范围,确定f(t)和g(t)值域得x,y的取值范围.类型一 参数方程化为普通方程
【典例】将下列参数方程化为普通方程,并判断曲线的形状.
(1)
(2) 【解题探究】典例(1)(2)中如何分别消去参数?
提示:(1)利用三角函数基本关系式消去参数.
(2)两式相加消去参数或代入法消去参数.【解析】(1)由
所以(x-1)2+y=cos2θ+sin2θ=1,
即y=-(x-1)2+1(0≤y≤1),表示抛物线弧段,如图.(2)方法一:注意到两式中分子分母的结构特点,因而可以采取加减消参的办法.
所以所求的方程为x+y=1(x≠-1,y≠2).
方程表示直线(去掉一点(-1,2)).
方法二:只要把t用x或y表示,再代入另一表达式即可.
由 所以x+xt=1-t,
所以(x+1)t=1-x,即 代入
所以x+y=1(x≠-1,y≠2).
方程表示直线(去掉一点(-1,2)).【方法技巧】消去参数方程中参数的技巧
(1)加减消参数法:如果参数方程中参数的符号相等或相反,常常利用两式相减或相加的方法消去参数.(2)代入消参数法:利用方程思想,解出参数的值,代入另一个方程消去参数的方法,称为代入消参法,这是非常重要的消参方法.
(3)三角函数式消参数法:利用三角函数基本关系式sin2θ+cos2θ=1消去参数θ.【变式训练】1.将参数方程 化为普通
方程为________.【解析】将参数方程 两式相加,得x+y=2,其中
x=1+t2≥1.
答案:x+y=2(x≥1)2.将参数方程 (a,b为大于零的常数,t为参
数)化为普通方程,并判断曲线的形状.【解析】因为 所以t>0时,x∈[a,+∞),
t<0时,x∈(-∞,-a].
由 两边平方可得
由 两边平方可得
并化简,得
所以普通方程为
所以方程表示焦点在x轴上的双曲线.
类型二 普通方程化为参数方程
【典例】(1)把方程xy=1化为以t为参数的参数方程
是 ( )
A. B.
C. D.(2)根据下列条件求 的参数方程:
①设y=sinθ,θ为参数;
②设x=2t,t为参数.【解题探究】1.题(1)中x,y的范围是什么?
提示:x,y均为不等于0的实数.
2.普通方程化参数方程时需注意什么?
提示:普通方程化参数方程时要注意参数的范围.【解析】(1)选D.xy=1,x取非零实数,而A,B,C中的x的
范围不符合要求.
(2)①把y=sinθ代入方程,得到
于是x2=4(1-sin2θ)=4cos2θ,即x=±2|cosθ|,由于θ具有任意性,sinθ与cosθ的
符号可以描述平面直角坐标系中点的坐标的符号,所以
取x=2cosθ.
因此, 的参数方程是 ②把x=2t代入方程,得到 于是y2=1-t2,
即 .因此,方程 的参数方程是
【方法技巧】求曲线的参数方程的方法
(1)如果已知曲线的普通方程,根据所选参数可利用代入法确定其参数方程.
(2)求动点的轨迹的参数方程时,应先根据题意选择适当的参数,利用已知条件求参数方程.【变式训练】1.圆x2+y2+4x-6y=0的参数方程为______.【解析】圆x2+y2+4x-6y=0变为(x+2)2+(y-3)2=13,
即
令
则
令 得 故圆x2+y2+4x-6y=0的参数方程为
答案: 2.把下面曲线的普通方程化为参数方程.
设x=acos2φ,φ为参数.【解析】把x=acos2φ代入普通方程 得
所以
所以y=a(1-|cosφ|)2,
所以普通方程 化为参数方程为
类型三 参数方程与普通方程互化的应用
【典例】已知x,y满足x2+(y-1)2=1,求:
(1)3x+4y的最大值和最小值.
(2)(x-3)2+(y+3)2的最大值和最小值.【解题探究】典例中方程表示的曲线形状是什么?曲线的参数方程是什么?
提示:方程表示圆,参数方程为 【解析】由圆的普通方程x2+(y-1)2=1得圆的参数方程
为
(1)3x+4y=3cosθ+4sinθ+4=4+5sin(θ+φ),
其中 且φ的终边过点(4,3).
因为-5≤5sin(θ+φ)≤5,所以-1≤4+5sin(θ+φ)≤9,
所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1.(2)(x-3)2+(y+3)2=(cosθ-3)2+(sinθ+4)2
=26+8sinθ-6cosθ=26+10sin(θ+φ).
其中tanφ= ,且φ的终边过点(4,-3).
因为-10≤10sin(θ+φ)≤10,
所以16≤26+10sin(θ+φ)≤36,
所以(x-3)2+(y+3)2的最大值为36,最小值为16.【延伸探究】
1.若本例条件不变,求 的取值范围.
【解析】方法一:由于 (θ为参数)
所以
所以sinθ-kcosθ=k-3,
即 所以
依题意,得
所以 解得
所以 的取值范围是 方法二:由于 所以问题可以看作圆x2+(y-
1)2=1上的动点P(x,y)与定点A(-1,-2)的连线的斜率.
设直线y+2=k(x+1)与圆相切,则圆心(0,1)到直线kx-
y+k-2=0的距离为1,
即 解得 若过A(-1,-2)的直线的斜率不存在时,显然与圆相切,
结合图形,得 的取值范围是 2.若本例条件变为:已知P(x,y)是极坐标方程ρ= 2sinθ表示的曲线上的任意一点,如何求3x+4y的最大值和最小值?【解析】极坐标方程ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ,直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,得圆的参数方程为
所以3x+4y=3cosθ+4sinθ+4
=4+5sin(θ+φ)∈[-1,9],
所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1.【方法技巧】求有关最值或取值范围问题的技巧
(1)求与圆上的动点有关的最大值、最小值或取值范围问题,常常利用圆的参数方程,将问题转化为三角函数的最大值、最小值或取值范围解决,这样可使问题变得简便.(2)形如y=asinθ+bcosθ的三角函数,通常转化为y=
的形式求最大值、最小值.【变式训练】1.圆x2+y2=1上任意一点的坐标为(x,y),则xy的最大值为________.【解析】圆x2+y2=1的参数方程为
则
所以xy的最大值为
答案:2.(2015·长沙高二检测)在直角坐标平面内,以坐标原
点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点M
的极坐标为 曲线C的参数方程为
(α为参数)求点M到曲线C上的点的距离的最小值.【解析】由点M的极坐标 得直角坐标为(4,4),
由曲线C的参数方程 (α为参数)得普通方
程为(x-1)2+y2=2,圆心坐标为C(1,0),
=5.
所以点M到曲线C上的点的距离的最小值为 3.(2016·成都高二检测)在直角坐标系xOy中,直线l的
方程为x-y+4=0.以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴的
极坐标系中,曲线C的极坐标方程为
(1)求直线l的极坐标方程,曲线C的直角坐标方程.
(2)若点P是曲线C上任意一点,P点的直角坐标为(x,y),
求x+2y的最大值和最小值. 【解析】(1)直线l的方程x-y+4=0,
因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,
所以l的极坐标方程为:ρcosθ-ρsinθ+4=0.
又曲线C的极坐标方程:
所以ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0,
因为ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,
曲线C的直角坐标方程:
(x-2)2+(y-2)2=2.(2)由(1)知曲线C参数方程为 (θ为参数),
所以x+2y=(2+ cosθ)+2(2+ sinθ)
=6+ (cosθ+2sinθ)
=6+ sin(θ+φ).
当sin(θ+φ)=-1时,x+2y有最小值为6- ,
当sin(θ+φ)=1时,x+2y有最大值为6+ .自我纠错 参数方程化为普通方程的综合问题
【典例】已知直线l: (t为参数,α为l的
倾斜角),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立
极坐标系,曲线C为:ρ2-6ρcosθ+5=0.
(1)若直线l与曲线C相切,求α的值.
(2)设曲线C上任意一点的直角坐标为(x,y),求x+y的取
值范围.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:出错的根本原因是忽视了α的取值范围,α∈ [0,π)所以α有两个值
正确解答过程如下:【解析】(1)曲线C:ρ2-6ρcosθ+5=0的直角坐标方程为x2+y2-6x+5=0,即(x-3)2+y2=4,
所以曲线C为圆心为(3,0),半径为2的圆.
直线l的方程为xsinα-ycosα+sinα=0,
因为直线l与曲线C相切,所以
即sinα=
因为α∈[0,π),
所以 (2)设x=3+2cosφ,y=2sinφ,
则x+y=3+2cosφ+2sinφ
所以x+y的取值范围是 课件55张PPT。二
圆锥曲线的参数方程 【自主预习】
椭圆、双曲线、抛物线的普通方程和参数方程y2=2px(p>0)【即时小测】
1.参数方程 (θ为参数)表示的曲线为( )【解析】选B.由参数方程 (θ为参数)得
将两式平方相加,得x2+ =1,表示焦点在y轴
上的椭圆.2.直线y=2x- 与曲线 (φ为参数)的交点坐
标是________.【解析】因为cos2φ=1-2sin2φ,
所以曲线方程化为y=1-2x2,与直线y=2x- 联立,
解得: 由-1≤sinφ≤1,故 不符合题意,舍去,
则直线与曲线的交点坐标为
答案:
【知识探究】
探究点 圆锥曲线的参数方程
1.椭圆的参数方程中参数的几何意义是什么?提示:椭圆的参数方程中,参数φ的几何意义为椭圆上
任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角α区分开来,
除了点M在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外
(即在0到2π的范围内),在其他任何一点,两个角的数
值都不相等.但当0≤α≤ 时,相应地也有0≤φ≤ ,
在其他象限内也有类似范围.2.抛物线y2=2px(p>0)的参数方程 (t为参数)
中参数t的几何意义是什么?
提示:由抛物线参数方程的推导过程可知,参数t表示抛
物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.【归纳总结】
1.椭圆的参数方程 中的参数φ与圆的参数
方程 中的参数θ意义的区别
从椭圆参数方程的推导过程可以看出参数φ是椭圆上
的点M所对应的大圆的半径OA的旋转角,不是OM的旋转
角,而圆的参数方程中的θ是半径OM的旋转角,椭圆参
数方程中的φ称为点M的离心角.2.余切函数、正割函数、余割函数与双曲线的参数方
程
(1)定义.
如图,已知点P(x,y)是角α的终边上异于原点的任一点
(角α的始边是x轴的正半轴,顶点是坐标原点),其到原
点的距离为|OP|=r,则 分别叫做角α的余切函数、正割函数、余割函数,表示为cotα= {α|α≠ kπ,k∈Z};secα= {α|α≠kπ+ k∈Z};cscα=
{α|α≠kπ,k∈Z}.(2)双曲线 (a>0,b>0)的参数方程为
(α为参数,且α≠kπ+ k∈Z)双曲线 (a>0,b>0)的参数方程为 (α为参数,且α≠ kπ,k∈Z)类型一 椭圆的参数方程与应用
【典例】已知曲线C1的参数方程是 (φ为参数)
以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,
曲线C2的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2
上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为
(1)求点A,B,C,D的直角坐标.
(2)求曲线C1的普通方程,判断曲线形状.
(3)设P为C1上任意一点,求 的取
值范围.【解题探究】(1)典例(1)中如何求各点的直角坐标?
提示:先求A点的直角坐标,由对称性求其余各点的坐标.
(2)曲线C1的形状是什么?
提示:将曲线C1的参数方程化为普通方程,是椭圆.(3)如何求距离平方和的取值范围?
提示:利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最值问题.【解析】(1)由曲线C2的极坐标方程ρ=2,可知曲线C2
是圆心在极点,半径为2的圆,正方形ABCD的顶点都在C2
上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为
故 由对称性得,直角坐标分别为(2)由曲线C1的参数方程 (φ为参数)
得 两式平方相加得
所以曲线是焦点在y轴上的椭圆.(3)由于点P为曲线C1 上任意一点,
得P(2cosφ,3sinφ),
则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2
=(2cosφ-1)2+(3sinφ- )2+
(2cosφ+ )2+(3sinφ-1)2+
(2cosφ+1)2+(3sinφ+ )2+(2cosφ- )2+(3sinφ+1)2
=16cos2φ+36sin2φ+16
=32+20sin2φ,
因为32≤32+20sin2φ≤52,
所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围是[32,52].【方法技巧】椭圆的参数方程应用技巧
(1)椭圆的参数方程:中心在原点的椭圆的参数方程
(θ为参数,a>b>0)常数a,b分别是椭圆的长
半轴,短半轴,焦点F(±c,0)在x轴上,其中a2=b2+c2.
椭圆的参数方程也可以是 (θ为参数,a>b>0)(2)与椭圆上的动点有关的最大值、最小值或取值范围问题,常常利用椭圆的参数方程转化为三角函数解决.【变式训练】1.椭圆 (φ为参数)在坐标轴的正半轴上的焦点坐标为________.【解析】将椭圆的参数方程 (φ为参数)化
为普通方程为 由a2=25,b2=9,
得c2=a2-b2=16,
所以c=4,椭圆在坐标轴的正半轴上的焦点坐标为(4,0).
答案:(4,0)2.在平面直角坐标系xOy中,设P(x,y)是椭圆
上的动点,求S=x+y的最大值.【解析】椭圆 的参数方程为
(θ为参数)故可设动点P的坐标为( cosθ,sinθ),
其中0≤θ<2π.
所以S=x+y= cosθ+sinθ=
所以当 时,S取得最大值,Smax=2.类型二 双曲线的参数方程与应用
【典例】已知等轴双曲线C的实轴长为2,焦点在x轴上.
(1)求双曲线的普通方程和参数方程.
(2)已知点P(0,1),点Q在双曲线C上,求 的最小值.【解题探究】(1)求典例中的普通方程和参数方程的思路是什么?
提示:运用待定系数法,设普通方程为x2-y2=a2,求参数a的值,再化为参数方程.
(2)如何求线段长度的最小值?
提示:利用双曲线的参数方程转化为三角函数解决.【解析】(1)设等轴双曲线C的普通方程为x2-y2=a2,
依题意,得2a=2,所以a=1,
所以x2-y2=1,化为参数方程为 (φ为参数)(2)因为点P(0,1),Q在双曲线C上,设Q(secφ,tanφ),
则
当且仅当tanφ= 时, 【延伸探究】
1.若本例条件不变,求双曲线C的焦点到渐近线的距离.
【解析】由于等轴双曲线C的普通方程为x2-y2=1,
一个焦点为F( ,0),一条渐近线方程为x-y=0,
所以焦点到渐近线的距离为 2.若本例条件变为:已知P(0,b),点Q在双曲线 (a>b>0)上,如何求|PQ|的最小值?【解析】由双曲线 得参数方程为
(φ为参数)
则
当且仅当 时, 【方法技巧】双曲线的参数方程中的应用技巧
(1)双曲线的参数方程 (φ为参数)中,
所以cosφ≠0,所以φ≠kπ+ k∈Z,这也与使tanφ有意义的φ的
取值范围相一致.故我们通常规定参数φ的范围为φ∈
[0,2π),且φ≠
(2)双曲线的参数方程中,常用的三角函数关系式为
sin2φ+cos2φ=1?1+tan2φ= =sec2φ?sec2φ-
tan2φ=1.【补偿训练】1.参数方程 (φ为参数)
表示曲线的离心率为________.【解析】参数方程 (φ为参数)即
所以 表示双曲线,
其中c2=a2+b2=9+16=25,所以
答案: 2.(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标
方程为ρ(sinθ-3cosθ)=0,曲线C的参数方程为
(t为参数)l与C相交于A,B两点,则|AB|=______.【解题指南】先将极坐标方程ρ(sinθ-3cosθ)=0和
曲线C的参数方程 (t为参数)化成普通方程,
再求解.【解析】由ρ(sinθ-3cosθ)=0知,直线的方程是y=3x,
由曲线C的参数方程为 (t为参数)消去参数
得,y2-x2=4,解方程组 得
答案: 自我纠错 等价转化求轨迹方程
【典例】已知A,B是抛物线y2=2x上异于顶点的两动点,且OA⊥OB,OM⊥AB,并与AB相交于点M,求点M的轨迹.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因一是忽视了动点M不能到达原点导致求方程增解出错,另外,没有判断轨迹形状导致错误.正确解答过程如下:【解析】方法一:设M(x,y),
由
(2t1t2)2+22t1t2=0,
因为A,B是抛物线上异于顶点的两动点,
所以t1t2=-1.……………………①
所以x(t1+t2)+y=0, (x≠0)…………②
又
且A,M,B共线.
所以 即y(t1+t2)-2t1t2-x=0.……………………………③
将①②代入③,得到x2+y2-2x=0,由于动点M不能到达原点,故轨迹方程为x2+y2-2x=0(x≠0),所以动点M的轨迹是圆心在(1,0),半径为1的圆,且去掉原点.方法二:设
因为OA⊥OB,
所以
得y1y2=-4,
直线AB的方程为即
所以直线AB过定点C(2,0),
又OM⊥AB,所以点M的轨迹是以OC为直径的圆,则点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠0).
所以动点M的轨迹是圆心在(1,0),半径为1的圆,且去掉原点.课件78张PPT。三 直线的参数方程
四 渐开线与摆线【自主预习】
1.直线的参数方程
已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为 点M(x,y)
为直线l上任意一点,则直线l的普通方程和参数方程分
别为y-y0=tanα(x-x0)其中,直线的参数方程中参数t的绝对值|t|=____.2.圆的渐开线及其参数方程
(1)定义.
把线绕在圆周上,假设线的粗细可以忽略,拉着线头
_________,保持线与圆相切,_____的轨迹就叫做圆的
渐开线,相应的_____叫做渐开线的基圆.离开圆周线头定圆(2)参数方程.
设基圆的半径为r,圆的渐开线的参数方程是
__________________________3.摆线及其参数方程
(1)定义.
当一个圆沿着一条定直线_________滚动时,圆周上的
_____________的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫做
_______.无滑动地一个定点运动旋轮线(2)参数方程.
设圆的半径为r,圆滚动的角为φ,那么摆线的参数方程
是_____________ (φ是参数)【即时小测】
1.下列点在直线 (t为参数)上的是 ( )
A.(2,-3) B.(-2,3)
C.(3,-2) D.(-3,2)
【解析】选D.直线经过点(-3,2),倾斜角为α.2.经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是________________.【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点
M到动点P的位移t为参数的参数方程是
(t为参数)即为 (t为参数)
答案: (t为参数)【知识探究】
探究点 直线的参数方程、渐近线与摆线
1.直线的参数方程中,参数的几何意义是什么?
提示:设e表示直线向上方向上的单位向量, 当
参数t>0时, 与e同向;
当参数t<0时, 与e反向;当参数t=0时,点M0,M重合.
故总有 所以参数t为点M0(x0,y0)到直线上点
M(x,y)的有向线段 的数量(即长度+方向),这就是
参数t的几何意义.2.直线的参数方程形式唯一吗?如果不唯一,同一直线不同形式的参数方程中的参数都具有相同的几何意义吗?提示:直线的参数方程形式不唯一,同一直线不同形式
的参数方程中的参数具有不同的意义,甚至不具有明显
的几何意义,如直线x-y=0的参数方程 (t为参数)
中的参数t就不具有明显的几何意义.【归纳总结】
由直线的参数方程中t的几何意义得出的两个结论
(1)设A,B是直线上任意两点,它们对应的参数分别为tA和tB,则
(2)线段AB的中点所对应的参数值等于 类型一 直线的参数方程的形式
【典例】1.化直线l1的普通方程x+ y-1=0为参数方
程,并说明参数的几何意义,说明|t|的几何意义.
2.化直线l2的参数方程 (t为参数)为普通
方程,并求倾斜角,说明|t|的几何意义.【解题探究】1.典例1中直线的斜率和倾斜角分别是什么?
提示:直线的斜率为 倾斜角为
2.典例2中直线的参数方程是标准形式吗?
提示:不是直线的参数方程的标准形式.【解析】1.令y=0,得x=1,所以直线l1过定点(1,0).
设直线的倾斜角为α,
所以直线l1的参数方程为 t是直线l1上的定点M0(1,0)到t对应的点M(x,y)的有向
线段 的数量.
由
①,②两式平方相加,得(x-1)2+y2=t2.
|t|是定点M0(1,0)到t对应的点M(x,y)的
有向线段 的长.2.方程组变形为
①代入②消去参数t,得直线的点斜式方程
可得 倾斜角 普通方程为①②两式平方相加,得(x+3)2+(y-1)2=4t2,
所以 |t|是定点M0(3,1)到t对应
的点M(x,y)的有向线段 的长的一半.【方法技巧】直线参数方程的标准形式应用技巧
(1)已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为α,点M(x,y)为直线l上任意一点,则直线l的参数方程为
(t为参数) ①参数t的几何意义是有向线段 的数量,
其中e=(cosα,sinα).
我们把①称为直线l的参数方程的标准形式.
令a=cosα,b=sinα,则直线参数方程的标准形式可以是 (t为参数,b≥0,a2+b2=1) ②(2)如果直线的参数方程的一般形式为
③
可以通过转换当d≥0时,令
当d<0时,令
就可以把直线的参数方程化为标准形式②.【变式训练】1.(2016·成都高二检测)将曲线的参数
方程 (t为参数)化为普通方程为________.【解析】由参数方程 消去参数t,得
答案: 2.下列参数方程中,哪些是直线的参数方程的标准形式?若是,求出直线经过的起点坐标和倾斜角,若不是参数方程的标准形式,转化为标准形式(其中,t为参数).【解析】 是直线参数方程的标准形式,其
中,起点坐标为(-1,2), 倾斜角 (2) 不是直线参数方程的标准形式,
令t′=-t,得到标准形式的参数方程为
(t′为参数)3.已知直线l过点P(3,4),且它的倾斜角θ=120°.
(1)写出直线l的参数方程.
(2)求直线l与直线x-y+1=0的交点.【解析】(1)因为直线l过点P(3,4),且它的倾斜角θ=120°,
故直线l的参数方程为
即 (2)方法一:由(1)得
代入x-y+1=0,
得 解得t=0.
故 即交点坐标为(3,4).方法二:由(1)中直线的参数方程
化为普通方程为
由 解得
故两直线的交点为(3,4).类型二 直线的参数方程的综合题
【典例】(2016·合肥高二检测)已知曲线C1:
(t为参数),C2: (θ为参数).
(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什
么曲线.
(2)若曲线C1和C2相交于A,B两点,求|AB|.【解题探究】(1)如何将参数方程化为普通方程?
提示:消去参数即得曲线的普通方程.
(2)如何求线段的长度?
提示:利用直线参数方程的几何意义计算线段长度.【解析】(1)由曲线C1: 消去参数t,得y=x+4,
所以曲线C1表示一条直线.
由曲线C2: 消去参数θ得(x+2)2+(y-1)2=1,
所以曲线C2表示以(-2,1)为圆心,1为半径的圆.(2)方法一:圆心C2(-2,1)到直线x-y+4=0的距离为
所以 方法二:将直线的参数方程C1: (t为参数)
代入曲线C2:(x+2)2+(y-1)2=1,
整理得:t2-3 t+4=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,
则t1+t2=3 ,t1t2=4,
所以 【延伸探究】
1.若本例条件不变,P在曲线C2上,如何求△ABP面积的最大值?【解析】方法一:由上述得,曲线C2上的点P到直线距离
的最大值为 +1,
所以△ABP面积的最大值为S= 方法二:设曲线C2上的点P的坐标为(-2+cosθ,1+ sinθ),点P到直线的距离为
所以△ABP面积的最大值为 2.若本例条件变为直线C1: (t为参数, α∈[0,π))与曲线C2: (θ为参数)交于
A,B两点,如何求|AB|的最大值?此时直线C2的普通方程
是什么?【解析】方法一:直线C1: (t为参数,α∈ [0,π))的普通方程为y=k(x+1),其中k=tanα,α≠ ,
直线经过定点(-1,0),由直线与圆C2:(x+2)2+(y-1)2=1
的位置关系可知,直线经过圆心(-2,1)时,|AB|的最大
值为直径,即|AB|max=2,此时直线的斜率k=-1,α= ,
直线的普通方程为x+y+1=0.方法二:将直线C1: (t为参数,α∈[0,π))
的参数方程代入(x+2)2+(y-1)2=1,整理,得
(1+tcosα)2+(tsinα-1)2=1,
t2+2(cosα-sinα)t+1=0,
设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-2(cosα-sinα),t1t2=1,
所以
当α= 时,|AB|max=2,
此时直线的斜率k=-1,直线的普通方程为x+y+1=0.【方法技巧】
1.利用直线的参数方程判断两直线的位置关系
直线l1:
直线l2:
(1)l1∥l2?a1b2-a2b1=0(l1与l2不重合).
(2)l1⊥l2?a1a2+b1b2=0.2.标准形式的参数方程中参数的应用
经过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为
(1)若P1,P2是直线l上的两个点,对应的参数分别为
t1,t2,则向量 的数量为t2-t1,所以 =|t2-t1|,
若P1,P2是直线l与某圆锥曲线的两个交点,则弦长|P1P2| =|t2-t1|.(2)若P1P2的中点为P3,且P1,P2,P3对应的参数分别为
t1,t2,t3,则 特别地,若直线l上的两个点
P1,P2的中点为M0(x0,y0),则t1+t2=0,t1t2<0.【变式训练】1.(2016·南昌高二检测)直线l
(t是参数)被圆(x-3)2+(y+1)2=25所截得的弦长为________.【解析】将直线l的参数方程 (t是参数)化为普通方程,得x+y+1=0,
圆心(3,-1)到直线的距离
直线被圆(x-3)2+(y+1)2=25所截得的弦长为
答案: 2.(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,已知直
线l的参数方程为 (t为参数),椭圆C的参数
方程为 (θ为参数),设直线l与椭圆C相交于A,
B两点,求线段AB的长.【解题指南】将参数方程化为普通方程,联立求出点A,B的坐标.【解析】直线l方程化为普通方程为
椭圆C方程化为普通方程为
联立得
因此|AB|= 类型三 圆的渐开线与摆线
【典例3】1.已知圆的渐开线方程为
(φ为参数)则该基圆半径
为________.当圆心角φ=π时,曲线上点A的直角坐标
为________.2.已知一个圆的参数方程为 (θ为参数)那么
圆的摆线方程中与参数 对应的点A与点
之间的距离为________.【解题探究】1.题1中怎样求基圆半径及渐开线上一个
点的坐标?
提示:将渐开线的方程化为 (φ为
参数)的形式,通过观察即可得出基圆半径,将参数φ值
代入方程求点的坐标.2.题2中怎样求摆线上两个点间的距离?
提示:利用已知参数的值求出点的直角坐标,利用两点间的距离公式求距离.【解析】1.圆的渐开线方程变为
(φ为参数)
即 则基圆的半径为
将φ=π代入上式得 得
则点A的坐标为
答案:
2.根据圆的参数方程可知,圆的半径为3,那么它的摆线的参数方程为 把 代入参数方程中可得 即
所以
答案: 【方法技巧】
1.圆的渐开线的参数方程
(1)圆的渐开线的参数方程为 (φ
为参数)
其中r:基圆半径.φ:绳子外端运动时绳
子上的定点M相对于圆心的张角∠AOB.(2)圆的渐开线的参数方程不宜化为普通方程,一是普通方程比较复杂不易理解,二是看不出曲线的坐标所满足条件的含义.2.摆线的参数方程
摆线的参数方程为 (φ为参数)
其中r:生成圆的半径,φ:圆在直线上滚动时,点M绕圆心作圆周运动转过的弧度∠ABO.3.将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标,进而可求渐开线或摆线上两点间的距离.【变式训练】1.已知圆的渐开线的参数方程为
则此渐开线对应基圆的面
积为________,当φ= 时对应的曲线上的点的坐标为
________.【解析】将圆的渐开线的参数方程变为
(φ为参数)则基圆的半径为3,故面积为π×32=9π.
当 时, 得
故 时对应点的坐标为
答案: 2.当 时,求圆的摆线
上对应的点的坐标.【解析】将 代入 得
故 时摆线上点的坐标为(2π-4,4).自我纠错 直线参数方程的标准形式
【典例】(2016·保定高二检测)已知直线l的参数方程
是 (t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ= 2sinθ+4cosθ.
(1)求曲线C的直角坐标方程和参数方程.
(2)求直线l被曲线C截得的弦长.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:出错的根本原因是忽视了直线的参数方程不是标准形式,导致计算弦长错误.
正确解答过程如下:【解析】(1)曲线C的极坐标方程化为ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ,由ρ2=x2+y2,x=ρcosθ, y=ρsinθ得x2+y2=2y+4x,
所以曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
参数方程为 (α为参数).(2)方法一:因为直线l的参数方程是
所以直线l的普通方程是
所以曲线C表示圆心为(2,1),半径为 的圆,
圆心(2,1)到直线l的距离为
所以直线l被圆C截得的弦长为 方法二:将 代入(x-2)2+(y-1)2=5得,4t2-
4 t-1=0,
设直线l与曲线C的交点A,B对应的参数分别为t1,t2,
则
又因为直线l的参数方程可化为 所以直线l被曲线C截得的弦长为|AB|=|2t1-2t2|=
课件39张PPT。第一课
坐 标 系 【网络体系】【核心速填】
1.坐标伸缩变换公式
设点P(x,y)为平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ: ____________的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,
y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称
伸缩变换.2.极坐标与直角坐标的互化公式3.圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式(a>0)a2acosθ-2acosθ2asinθ2acos(θ-φ)-2asinθ4.直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式5.柱坐标、球坐标与直角坐标的互化公式
设空间一点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ, z),球坐标为(r,φ,θ),则【易错警示】
1.关于伸缩变换公式的注意事项
(1)伸缩变换不改变点所在的象限,坐标轴上的点经过伸缩变换仍在坐标轴上.
(2)求曲线经过伸缩变换后的曲线方程,要分清变换前后的点的坐标,常常运用代入法求解.2.点的直角坐标化为极坐标的注意事项
在化点的直角坐标为极坐标时,一般取ρ≥0,θ∈[0,
2π),即θ取最小正角,由tanθ= (x≠0)求θ时,必须
根据角θ的终边经过点(x,y)所在的象限来确定θ的值.类型一 平面直角坐标系
【典例1】说出由曲线y=tanx得到曲线y=3tan2x的变换规律,并求出满足其图形变换的伸缩变换.【解析】y=tanx的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 ,
得到y=tan2x.再将其纵坐标伸长为原来的3倍,横坐标
不变,得到曲线y=3tan2x.
设变换为
则μy=3tan2λx,
即y= tan2λx.与y=tanx比较,则有μ=3,λ= .
所以所求的变换为
【方法技巧】伸缩变换公式及其应用
(1)设点P(x,y)为平面直角坐标系中的任意一点,在变
换φ: 的作用下,点P(x,y)对应到点
P′(x′, y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩
变换,简称伸缩变换.(2)①求曲线关于伸缩变换公式变换后的曲线方程,一般通过设定变换前与变换后曲线上的点的坐标建立联系,这可以通过上标符号进行区分;
②椭圆通过适当的伸缩变换可以为圆.直线和椭圆的位置关系问题利用伸缩变换公式变换为直线和圆的位置关系利于解决.【变式训练】1.圆x2+y2=4经过伸缩变换 后的
图形的方程为________.【解析】由 代入x2+y2=4得
故圆经过已知伸缩变换后的方程为
答案: 2.在伸缩变换 的作用下某曲线C的方程变为y=
cos2x,试求曲线C的方程.【解析】由 得 y=cos x，
即y=cosx,故曲线C的方程为y=cosx.类型二 极坐标系与极坐标方程
【典例2】(2016·晋中高二检测)在极坐标系中,已知☉O1和☉O2的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,ρ= 2asinθ(a为常数),
(1)分别将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)若两圆的圆心距为 ,求a的值.【解析】(1)将极坐标方程ρ=2cosθ,ρ=2asinθ,
分别化为直角坐标方程为
x2+y2-2x=0和x2+y2-2ay=0.
(2)两圆的圆心坐标分别为O1(1,0)和O2(0,a),
由|O1O2|= ,得1+a2=5,解得a=±2.【延伸探究】若本例的条件不变,是否存在实数a,使两圆相切?
【解析】因为两圆x2+y2-2x=0和x2+y2-2ay=0都经过原点,且原点与两圆心不共线,所以不存在实数a使两圆相切.【方法技巧】关于点的极坐标与曲线的极坐标方程的问题
(1)点与直角坐标之间建立的是一一对应关系,而点与极坐标之间不能建立一一对应关系,在ρ>0,极角满足[0,2π)的条件下,点与极坐标是一一对应的.(2)极坐标系中的曲线问题主要涉及直线、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等问题.将极坐标方程转化为直角坐标方程是解决位置关系、计算距离等问题的关键.【变式训练】1.(2016·丰城高二检测)若
是极坐标系中的一点,则
(k∈Z)四点中与P重合的点有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选D.点 的直角坐标为(-1, ),且
(k∈Z)四点的
直角坐标分别为Q(-1, ),R(-1, ),M(-1, ),
N(-1, ),所以与P重合的点有4个.2.在极坐标系中,求由三条曲线θ=0,θ= ,ρcosθ+
ρsinθ=1围成的图形的面积.【解析】曲线ρcosθ+ ρsinθ=1的直角坐标方程为x+ y-1=0.它与x轴的交点为B(1,0).
曲线θ= 的直角坐标方程为 x-y=0.
它们的交点坐标为
所以由三条曲线θ=0,θ= ,ρcosθ+ ρsinθ=
1围成的图形如图所示.所以S= 类型三 柱坐标系与球坐标系
【典例3】已知点A的柱坐标为 ,求它的直角坐
标与球坐标.【解析】由得
故点A的直角坐标为(1,1, ).
故点A的球坐标为 【方法技巧】
1.坐标之间的互化公式其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞2.极坐标系中的面积距离问题
在极坐标系中涉及距离,面积问题有两种思路:一是将点的极坐标化为直角坐标,利用直角坐标系中的公式解题;二是直接利用图形中极径、极角的关系,结合三角形中的定理解题.【变式训练】设点M的球坐标为 ,求它的柱
坐标.【解析】由
故点M的直角坐标为(-1,-1, ),
故ρ= 又θ的终边过点(-1,-1),故θ=
又z= ,
故点M的柱坐标为
课件59张PPT。第二课
参数方程【网络体系】【核心速填】
1.参数方程的定义
在给定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都
是某个变数t的函数 ①并且对于t的每一个允
许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组①就叫做这条曲线的_________,联系变数
x,y的变数t叫做参变数,简称参数.参数方程中的参数
可以是有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明
显意义的变数.参数方程2.常见曲线的参数方程
(1)直线.
直线的标准参数方程即过定点M0(x0,y0),倾斜角为
α(α≠ )的直线l的参数方程的标准形式为
____________(t为参数)(2)圆.
①圆x2+y2=r2的参数方程为____________(θ为参数)
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为
____________(θ为参数)(3)椭圆.
中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆b2x2+a2y2=a2b2的参
数方程为_________ (φ为参数)(4)双曲线.
中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线b2x2-a2y2=a2b2的
参数方程为___________ (φ为参数)(5)抛物线.
抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为__________ (α为参
数)或__________ (t为参数)【易错警示】
(1)直线的标准参数方程为 (t为参数)
①参数t的几何意义:即t为有向线段 的数量,并
注意t的正负值.②参数t的几何意义中有如下常用结论:
(i)若M1,M2为直线上任意两点:M1,M2对应t的值分别为
t1,t2,则|M1M2|=|t1-t2|.
(ii)若M0为M1M2的中点,则有t1+t2=0.
(iii)弦M1M2的中点为M,则M0M=tM= (2)直线的参数方程的一般式 (t为参数)只
有当a2+b2=1且b>0时,具有上述几何意义(若b<0,方程
也具有上述几何意义);
当a2+b2≠0,且b>0时,
参数方程 同样具有上述几何意义.(3)应用上述公式解题时,一定要区分直线的参数方程是否为标准形式,以免出现错误.类型一 参数方程化为普通方程
【典例1】把下列参数方程化成普通方程:
(1) (θ为参数)
(2) (t为参数,a,b>0)【解析】(1)由
所以5x2+4xy+17y2-81=0.(2)由题意,得
所以①2-②2得
所以 =1,其中x>0.【方法技巧】参数方程化为普通方程的注意事项
(1)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致,由参数方程化为普通方程时需要考虑x的取值范围,注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定.(2)消除参数的常用方法有:①代入消参法;②三角消参法;③根据参数方程的特征,采用特殊的消参手段.【变式训练】1.抛物线 (t为参数)的准线方程
是 ( )
A.x=1 B.x=-1
C.y=1 D.y=-1
【解析】选D.化参数方程为直角坐标方程,得x2=4y,其准线方程为y=-1.2.判断方程 (θ是参数且θ∈(0,π))
表示的曲线的形状.【解析】两式平方相减得x2-y2=4,
因为θ∈(0,π),所以x=sinθ+ ≥2,
y=sinθ- = ≤0,
所以方程表示的曲线是等轴双曲线 =1的右支在
x轴及其下方的部分.类型二 直线与圆的参数方程的应用
【典例2】(2016·沈阳高二检测)在直角坐标系xOy中,
曲线C的参数方程为 (α为参数),在以坐标
原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的
极坐标方程为 (1)求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程.
(2)动点A在曲线C上,动点B在直线l上,定点P(-1,1),求|PB|+|AB|的最小值.【解题指南】(1)利用sin2α+cos2α=1消去参数,可得
曲线C的普通方程,根据 即可得直线l在该
直角坐标系下的普通方程.
(2)作点P关于直线的对称点Q,利用|PB|+|AB|=|QB|+
|AB|≥|QC|-1,仅当Q,B,A,C四点共线时,且A在B,C之间
时等号成立,可求得最小值.【解析】(1)由曲线C的参数方程 可得
(x-2)2+y2=1,
由直线l的极坐标方程为 可得ρ(sinθ+cosθ)=4,即x+y=4.(2)方法一:设P关于直线l的对称点为Q(a,b),
故 所以Q(3,5),
由(1)知曲线C为圆,圆心C(2,0),半径r=1,
|PB|+|AB|=|QB|+|AB|≥|QC|-1.仅当Q,B,A,C四点共线时,且A在B,C之间时等号成立,故(|PB|+|AB|)min= -1.
方法二:如图,圆心C关于直线l的对称点为D(4,2),连接
PD,交直线l于点B,|PB|+|AB|=|PB|+|BC|-1=|PB|+|BD|
-1≥|PD|-1= -1.【延伸探究】若本例的条件不变,圆心为C,如何在直线l上求一点B,使|PB|+|BC|取得最小值?求出最小值.【解析】如典例中的解析图可知,圆心C关于直线的对称点为D(4,2),连接PD,交直线l于点B,|PB|+|BC|= |PB|+|BD|≥|PD|=
求得B的坐标为 【方法技巧】几何性质在求最大值或最小值中的应用
(1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值求法,常常利用对称性以及两点之间线段最短解决.
(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题,常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等.【变式训练】1.(2016·成都高二检测)已知极坐标的
极点在直角坐标系的原点O处,极轴与x轴的正半轴重合.
曲线C的参数方程为 (φ为参数),直线l的极坐
标方程是ρ(cosθ+2sinθ)=15.若点P,Q分别是曲线C
和直线l上的动点,则P,Q两点之间距离的最小值是( )【解析】选C.曲线C的参数方程为 (φ为参数)
的普通方程为 =1,直线l:ρ(cosθ+2sinθ)=15
的直角坐标方程是x+2y-15=0.
因为点P,Q分别是曲线C和直线l上的动点,设P(3cosθ,
2sinθ),P到直线的距离为d= 2.(2016·黄石高二检测)已知曲线C的极坐标方程是
ρ=2sinθ,直线l的参数方程是 (t为参数).
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)设直线l与x轴的交点是M,N是曲线C上一动点,求|MN|
的最大值.【解题指南】(1)利用公式 将极坐标方程化
为直角坐标方程.
(2)将直线的参数方程化为普通方程,利用几何性质计
算最大值.【解析】(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ,
又x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.(2)将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得y=- (x -2),令y=0,得x=2,即M点的坐标为(2,0).
又曲线C为圆,圆C的圆心坐标为(0,1),半径r=1,
则|MC|= .所以|MN|≤|MC|+r= +1.
所以|MN|的最大值为 +1.类型三 直线与圆锥曲线的综合题
【典例3】求椭圆 =1上的点到直线l:x+2y-10=0
的最小距离及相应的点P的坐标.【解析】设椭圆 =1上的点P(2cosθ, sinθ), P到直线l:x+2y-10=0的距离为d=
当且仅当sin(θ+ ) =1即θ= 时取等号,最小距离为
此时点P(2cos , sin )，即P 为所求.
【方法技巧】椭圆的参数方程以及应用
长半轴为a,短半轴为b,中心在原点的椭圆 =1
(a>b>0)的参数方程为 (θ为参数)椭圆的参
数方程在计算最大值、最小值和取值范围等问题中有
着广泛的应用,通常将上述问题转化为三角函数的性质
加以解决.【变式训练】1.(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程.(2)直线l的参数方程是 (t为参数),l与C交于
A,B两点,|AB|= ,求l的斜率.【解析】(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0,
由 可知圆C的极坐标方程为
ρ2+12ρcosθ+11=0.(2)由题意可得直线过原点且斜率存在,
记直线的斜率为k,则直线的方程为kx-y=0,
由垂径定理及点到直线距离公式知:
即 整理得k2= ,则k=± .2.(2016·临汾高二检测)在平面直角坐标系xOy中,曲
线C的参数方程为 (t为参数)以坐标原点为
极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐
标方程为3ρcosθ+2ρsinθ=12.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程.
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,M为曲线C与y轴负半轴的交点,求四边形OMAB的面积.【解析】(1)由
所以 =(cost)2+(sint)2=1.
所以曲线C的普通方程为
在3ρcosθ+2ρsinθ=12中,由ρcosθ=x,ρsinθ=
y得3x+2y-12=0.
所以直线l的直角坐标方程为3x+2y-12=0.(2)由(1)可得M(0,-2 ),联立方程
易得A(4,0),B(2,3),
所以四边形OMAB的面积为 ×4×(3+2 )=6+4 .类型四 用参数法求轨迹方程
【典例4】过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【解析】设M(x,y),设直线l1的方程为y-4=k(x-2),
(k≠0)
由l1⊥l2,则直线l2的方程为y-4=- (x-2),
所以l1与x轴交点A的坐标为
l2与y轴交点B的坐标为 因为M为AB的中点,所以 (k为参数)
消去参数k,得x+2y-5=0.
另外,当k=0时,l1与x轴无交点;
当k不存在时,AB中点为M(1,2),满足上述轨迹方程.
综上所述,M的轨迹方程为x+2y-5=0.【方法技巧】建立参数求动点轨迹方程的方法步骤
(1)首先根据运动系统的运动规律设参数,然后运用这些参数列式,再从这些式子中消参,最后讨论轨迹的纯粹性和完备性.
(2)参数法求轨迹方程的关键是设参数,参数不同,整个思维和运算过程不同,若设参数不当,则会增大运算量.(3)用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横、纵坐标等.也可以没有具体的意义,选定参变量还要特别注意参数的取值范围.【变式训练】1.动圆x2+y2-2axcosθ-2bysinθ=0(a,b是正常数,a≠b,θ是参数)的圆心的轨迹是 ( )
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线【解析】选C.动圆x2+y2-2axcosθ-2bysinθ=0(a,b是
正常数,a≠b,θ是参数)的圆心坐标的参数方程为
普通方程为 =1(a>0,b>0,a≠b),这
是椭圆的普通方程.2.过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB,求弦AB的中点M的轨迹方程.【解析】设M(x,y),直线OA的斜率为k(k≠0),
则直线OB的斜率为- .直线OA的方程为y=kx,
同理可得B(2pk2,-2pk).
由中点坐标公式,得 (k为参数)
消去k,即得点M的轨迹方程y2=p(x-2p).
