课件49张PPT。第一讲 不等式和绝对值不等式
一 不 等 式
1.不等式的基本性质【自主预习】
1.两个实数a,b的大小关系a-b>0 a-b=0 a-b<0 2.不等式的基本性质
(1)对称性:a>b?____.
(2)传递性:a>b,b>c?____.
(3)可加性:____?a+c>b+c.b
ca>b(4)可乘性:如果a>b,c>0,那么______;
如果a>b,c<0,那么______.
(5)乘方:如果a>b>0,那么an__bn(n∈N,n≥2).
(6)开方:如果a>b>0,那么 __ (n∈N,n≥2).ac>bcac>【即时小测】
1.若aA.a2【解析】选A.因为a故B,C,D都正确,A错误.2.下列不等式:
(1)x2+3>2x(x∈R).
(2)a5+b5≥a3b2+a2b3(a,b∈R).
(3)a2+b2≥2(a-b-1).其中正确的个数 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.因为x2+3-2x=(x-1)2+2>0,
所以(1)正确;a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a-b)2(a+b)(a2-ab+b2)正负不确定,
所以(2)不正确;a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0.
所以(3)正确.【知识探究】
探究点 不等式的基本性质
1.若a>b,c>d,那么a-c>b-d吗?
提示:不一定成立,同向不等式具有可加性,但不具有可减性.
如2>1,5>1,但2-5>1-1不成立.2.若a>b,c>d,一定有ac>bd吗?
提示:不一定,如a=-1,b=-2,c=-2,d=-3时就不成立.【归纳总结】
1.符号“?”和“?”的含义
“?”与“?”,即推出关系和等价关系,或者说“不可逆关系”与“可逆关系”,这要求必须熟记和区别不同性质的条件.2.性质(3)的作用
它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边.即a+b>c?a>c-b.性质(3)是可逆的,即a>b?a+c>b+c.3.不等式的单向性和双向性
性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆的.4.注意不等式成立的前提条件
不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的正负,乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N,且n≥2”都需要注意.类型一 作差法比较大小
【典例】设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小.
【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什么?
提示:常用作差比较法.【解析】因为x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4)
=(m-n)m3-n3(m-n)
=(m-n)(m3-n3)
=(m-n)2(m2+mn+n2)又m≠n,所以(m-n)2>0,
因为
所以x-y>0,故x>y.【方法技巧】作差比较法的四个步骤【变式训练】
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是_________.【解析】f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)
=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,
所以f(x)>g(x).
答案:f(x)>g(x)2.若x,y均为正实数,判断x3+y3与x2y+xy2的大小关系.
【解析】x3+y3-x2y-xy2
=x2(x-y)-y2(x-y)
=(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y),因为x>0,y>0,
所以(x-y)2(x+y)≥0,
所以x3+y3≥x2y+xy2.类型二 不等式性质的简单应用
【典例】判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)a>b>0,则
(2)c>a>b>0,则
(3)若 ,则ad>bc.
(4)设a,b为正实数,若a- 提示:关键是利用不等式的性质或者举反例进行判断.【解析】(1)因为a>b>0,所以a>b两边同乘以
得 得 > ,故正确.
(2)因为c-a>0,c-b>0,且c-a所以 >0,
又a>b>0,所以 ,正确.(3)由 ,所以 >0,
即ad>bc且cd>0或ad故不正确.(4)因为a- 0,b>0,
所以a2b-b?ab(a-b)+(a-b)<0?(a-b)(ab+1)<0,
所以a-b<0,即a1.利用不等式的性质判断命题真假的技巧
(1)要判断一个命题为真命题,必须严格证明.
(2)要判断一个命题为假命题,或者举反例,或者由题中条件推出与结论相反的结果.其中,举反例在解选择题时用处很大.2.运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项
(1)倒数法则要求两数同号.
(2)两边同乘以一个数,不等号方向是否改变要视此数的正负而定.
(3)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.【变式训练】1.下列命题中正确的是_________ .
①若a>b>0,c>d>0,那么
②若a,b∈R,则a2+b2+5≥2(2a-b).【解析】因为a>b>0,c>d>0,
所以 >0,故 ①错误.
a2+b2+5-2(2a-b)
=a2+b2+5-4a+2b=(a-2)2+(b+1)2≥0,
所以②正确.
答案:②2.若a则
(2)成立.因为a所以 类型三 利用不等式的性质证明简单不等式
【典例】已知a>b>0,c【解题探究】证明该不等式成立的关键是什么?
提示:证明的关键是由不等式的性质得到a-c与b-d的大小关系.【证明】因为c-d>0,
又a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以0< ,再由0所以 【延伸探究】
1.(改变问法)本题条件不变,证明: 【证明】因为c-d>0,
所以 又a>b>0,
所以
所以
同乘以-1得 2.(变换条件、改变问法)本题中加上条件“e<0”,其
他条件不变,证明:
【证明】因为c-d>0,
又a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以(a-c)2>(b-d)2>0,
所以 又e<0,所以 【方法技巧】利用不等式性质证明简单不等式的实质与技巧
(1)实质:就是根据性质把不等式进行变形,要注意不等式性质成立的条件.(2)技巧:若不能直接由不等式性质得到,可先分析需要证明的不等式的结构.利用不等式的性质进行逆推,寻找使其成立的充分条件.【变式训练】
1.已知a>b>0,c>d>0.求证:
【证明】因为a>b>0,所以0<
因为c>d>0,所以0<
所以 所以 所以
即 又a,c,b,d均大于0,
所以 所以 2.已知a>0,b>0,c>0,d>0,且 ,求证:
【证明】因为a>0,b>0,c>0,d>0且 ,所以ad>bc,
所以ad+cd>bc+cd,即d(a+c)>c(b+d),
所以 自我纠错 作差法比较大小
【典例】设a+b>0,n为偶数,
的大小关系为_______________.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:n为偶数时,an-bn和an-1-bn-1不一定同号,这里忽略了在题设条件a+b>0且没有明确字母的具体值的情况下,要考虑分类讨论,即对a>0,b>0和a,b有一个负值的情况加以讨论.正确解答过程如下:【解析】
(1)当a>0,b>0时,(an-bn)(an-1-bn-1)≥0,(ab)n>0,(2)当a,b有一个为负数时,不妨设a>0,b<0,且a+b>0,
所以a>|b|.又n为偶数,所以(an-bn)·(an-1-bn-1)>0,且(ab)n>0,故
即
综合(1)(2)可知,
答案: 课件65张PPT。2.基本不等式【自主预习】
1.重要不等式
定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2___2ab,当且仅当____
时,等号成立.≥a=b2.基本不等式
(1)定理2:如果a,b>0,那么__________.
当且仅当____时,等号成立.a=b(2)定理2的应用:对两个正实数x,y,
①如果它们的和S是定值,则当且仅当____时,它们的
积P取得最___值;
②如果它们的积P是定值,则当且仅当____时,它们的
和S取得最___值.x=y大x=y小【即时小测】
1.已知x>3,则x+ 的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.5 D.7
【解析】选D.x>3,则
当且仅当x=5时等号成立.2.设x,y∈R+且xy-(x+y)=1,则 ( )
A.x+y≥2( +1) B.xy≤ +1
C.x+y≤( +1)2 D.xy≥2( +1)【解析】选A.因为xy-(x+y)≤xy-
所以xy- ≥1,解得xy≥3+ .
又xy-(x+y)≤ (x+y)2-(x+y),
(x+y)2-(x+y)≥1,解得x+y≥2( +1).3.函数f(x)= 的值域为_________ .
【解析】f(x)=
答案: 【知识探究】
探究点 基本不等式
1.在基本不等式 中,为什么要求a>0,b>0?
提示:因为若a<0,b<0时,不等式显然不成立,若其中有
一个为0时,不能称 为几何平均,故要求a>0,b>0.2.若f(x)=x+ ,则f(x)的最小值为2吗?
提示:f(x)的最小值不是2,只有当x>0时,f(x)的最小
值才是2.【归纳总结】
1.理解基本不等式的两个关键点
一是定理成立的条件是a,b都是正数;二是等号取得的条件是当且仅当a=b时.2.利用 求最值的三个条件
(1)各项或各因式为正.
(2)和或积为定值.
(3)各项或各因式能取得相等的值.3.定理1与定理2的不同点
定理1的适用范围是a,b∈R;定理2的适用范围是a>0,b>0.4.两个不等式定理的常见变形
(1)ab≤ (2)ab≤ (a>0,b>0).
(3) ≥2(ab>0).(4)
(5)a+b≤
上述不等式中等号成立的充要条件均为a=b.类型一 利用基本不等式求最值
【典例】1.(2015·湖南高考)若实数a,b满足
,则ab的最小值为 ( )
A. B.2 C.2 D.4
2.已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求x·y的最大值.【解题探究】1.如何利用条件?
提示:根据 可得a>0,b>0,然后借助基本不
等式 构造关于 的不等式.
2.如何利用“x+2y+xy=30”这个条件?
提示:由x+2y+xy=30,得y= 【解析】1.选C.因为 ,所以a>0,b>0,由
所以ab≥2 (当且仅当
b=2a时取等号),所以ab的最小值为2 .2.由x+2y+xy=30,得y= (0所以x·y=
=34-
因为x+2+ 可得xy≤18.
当且仅当x+2= ,即x=6时,代入y=
得y=3时,x·y取最大值18.【延伸探究】
1.典例中题2若将条件“x+2y+xy=30”改为“x+2y=x·y”,其他条件不变,求x+y的最小值.
【解题指南】将条件x+2y=x·y,变成
然后再乘以x+y,即可利用均值不等式求得.【解析】由x+2y=x·y得,
所以x+y=
≥
当且仅当 ,结合
得x= +2,y=1+ 时,取最小值2 +3.2.典例中题2条件不变,求x+2y的最小值.
【解题指南】利用x+2y+x·y=30,建立关于x+2y的不等式求最值.【解析】由30=x+2y+xy=x+2y+ ·x·2y
≤x+2y+
即(x+2y)2+8(x+2y)-240≥0,
(x+2y+20)(x+2y-12)≥0,
所以x+2y≥12或x+2y≤-20(舍)
故x+2y的最小值为12,当且仅当x=6,y=3时取得.【方法技巧】应用基本不等式求最值的方法与步骤
(1)方法:二看一验证
①一看式子能否出现和(或积)为定值,若不出现,需对式子变形,凑出需要的定值;
②二看所用的两项是否同正,若不满足,通过分类解决,同负时,可提取(-1)变为同正;③验证利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足,则可取最值;若不满足,则可通过函数单调性或导数解决.(2)步骤:【拓展延伸】利用基本不等式解决实际应用问题的方法
利用不等式解决实际应用问题时,首先要仔细阅读题目,弄清要解决的实际问题,确定是求什么量的取值;其次,分析题目中给出的条件,建立y的函数表达式y=f(x);最后,利用不等式的有关知识解题.【变式训练】1.(2015·山东高考)定义运算
“?”:x?y= (x,y∈R,xy≠0),当x>0,y>0时,x?y+(2y)?x的最小值为_________.
【解题指南】本题以新定义形式考查用基本不等式求最值的基本方法.【解析】x>0,y>0时,x?y+(2y)?x=
所以所求的最小值为 .
答案: 2.为确保巴西世界杯总决赛的顺利
进行,组委会决定在位于里约热内卢
的马拉卡纳体育场外临时围建一个
矩形观众候场区,总面积为72m2(如图所示),要求矩形
场地的一面利用体育场的外墙,其余三面用铁栏杆围,并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m的入口.现已知铁栏杆的租用费用为100元/m.设该矩形区域的长为x(单位:m),租用铁栏杆的总费用为y(单位:元).
(1)将y表示为x的函数.
(2)试确定x,使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小,并求出最小费用.【解析】(1)依题意有:y= 其中x>2.
(2)由基本不等式可得:y=
当且仅当 =x,即x=12时取“=”.
综上:当x=12时,租用此区域所用铁栏杆所需费用最
小,最小费用为2200元.【补偿训练】动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间.一面可利用原有的墙,其他各面(不包括上盖和地面)用钢筋网围成.(1)现有36m长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?
(2)若使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?【解题指南】设每间虎笼长xm,宽ym,则问题(1)是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值;而问题(2)则是在xy=24的前提下求4x+6y的最小值,使用基本不等式解决.【解析】设每间虎笼长为xm,宽为ym,
(1)由条件得4x+6y=36,即2x+3y=18.
设每间虎笼面积为S,则S=xy.
方法一:由于2x+3y≥
所以2 ≤18,得xy≤ ,即S≤ ,当且仅当2x=3y时,等号成立.
由
故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大.方法二:由2x+3y=18,得x=9- y.
因为x>0,所以0S=xy=
因为00,
所以S≤ 当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立,
此时x=4.5.
故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.
设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.
方法一:因为2x+3y≥
所以l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,
当且仅当2x=3y时,等号成立.由
故每间虎笼长6m,宽4m时,可使钢筋网总长最小.方法二:由xy=24,得x=
所以l=4x+6y=
当且仅当 =y,即y=4(y=-4舍去)时,等号成立,
此时x=6.
故每间虎笼长6m,宽4m时,可使钢筋网总长最小.类型二 利用基本不等式证明不等式
【典例】已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,证明:
(1)a2+b2+c2≥ .
(2) 【解题探究】典例中如何建立a2与a的不等关系?
提示:由 可建立a2与a的不等关系.【证明】(1)由
相加得:a2+b2+c2+
当且仅当a=b=c= 时取等号.
所以a2+b2+c2≥ .(2)由a>0,b>0,c>0,所以
相加得:
所以
当且仅当a=b=c= 时取等号.【方法技巧】利用基本不等式证明不等式的方法与技巧
(1)方法:用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明.(2)技巧:对含条件的不等式的证明问题,要将条件与结论结合起来,寻找出变形的思路,构造出基本不等式,切忌两次使用基本不等式用传递性证明,有时等号不能同时取到.【变式训练】1.已知a,b都是正数,且a+b=1.
求证: 【证明】
当且仅当 即a=b时,等号成立.
故 2.已知a,b,c都是正数,且a+b+c=1.
求证: 【证明】因为a,b,c都是正数,且a+b+c=1.当且仅当 即a=b=c时,等号成立.
所以 拓展类型 利用基本不等式比较大小
【典例】若a>b>1,P=
(lga+lgb),R=lg ,试比较P,Q,R的大小关系.【解析】因为a>b>1,
所以lga>0,lgb>0,
所以P=
又Q= (lga+lgb)=lg ,而
所以 即Q(1)在应用基本不等式时,一定要注意其前提条件是否满足,即a>0,b>0.(2)若问题中一端出现“和式”,而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,不妨运用基本不等式试试看.【变式训练】1.已知f(x)=lgx,a,b∈R+,
判断P,G,Q的大小关系.【解析】因为a>0,b>0,
所以
当且仅当a=b时取等号.
又函数f(x)=lgx是增函数,
所以P≥G≥Q.2.已知a>b>c,比较 的大小关系.
【解题指南】将 表示成 ,用基本
不等式比较大小.
【解析】因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,
所以
当且仅当a-b=b-c即2b=a+c时取等号.自我纠错 正确运用基本不等式
【典例】给出下面三个推导过程:
(1)因为a,b∈(0,+∞),所以
(2)因为x,y∈(0,+∞),所以lgx+lgy≥
(3)因为a∈R,a≠0,所以
其中正确的推导过程的序号为_____________.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是忽视了基本不等式成立的条件,忽视了(2)(3)中的变量可能为负值而致误.正确解答过程如下:【解析】从基本不等式成立的条件考虑.
(1)因为a,b∈(0,+∞),所以 ∈(0,+∞),符合基
本不等式的条件,故(1)的推导过程正确.
(2)虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lgx是负数,
当y∈(0,1)时,lgy是负数,所以(2)的推导过程是错误
的.(3)因为a∈R,不符合基本不等式的条件,
所以 是错误的.
答案:(1)课件47张PPT。3.三个正数的算术-几何平均不等式【自主预习】
1.三个正数的算术-几何平均不等式(定理3)
如果a,b,c∈R+,那么 ≥_______,当且仅当
______时,等号成立.a=b=c2.基本不等式的推广
对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们
的几何平均,即 ___ ,当且
仅当___________时,等号成立.≥a1=a2=…=an【即时小测】
1.函数y=2x2+ (x∈R+)的最小值为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】选A.因为x∈R+,所以
当且仅当x=1时等号成立.2.若n>0,则 的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选C.因为
所以
当且仅当n=4时等号成立.3.若a>b>0,则a+ 的最小值为_________.
【解析】因为a>b>0,所以a-b>0,
所以
当且仅当(a-b)=b= 时等号成立.
答案:3【知识探究】
探究点 三个正数的算术-几何平均不等式
1.不等式 成立时,a,b,c的范围是什么?
提示:a>0,b>0,c>0.2.应用三个正数的算术-几何平均不等式,求最值应注意什么?
提示:三个正数的和为定值,积有最大值;积为定值,和有最小值.求最值时应注意三个条件“一正、二定、三相等”同时具备.【归纳总结】
1.定理3的变形及结论
(1)abc≤ .
(2)a3+b3+c3≥3abc.
(3)
上式中a,b,c均为正数,等号成立的条件均为a=b=c.2.利用定理3可确定代数式或函数的最值
(1)若a,b,c∈R+,且积abc为定值s时,由a+b+c≥
(定值),当且仅当a=b=c时,和a+b+c有最小值3 .
(2)若a,b,c∈R+,且和a+b+c为定值p时,由abc≤
(定值),当且仅当a=b=c时,积abc有最大值 p3.类型一 利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值
【典例】1.求函数y=(1-3x)2·x 的最大值.
2.求函数y=x+ (x>1)的最小值.【解题探究】1.典例1中如何构造式子,使其和为定值?
提示:可将式子(1-3x)2·x化为 (1-3x)(1-3x)·6x
的形式.
2.典例2中如何构造式子,使其积为定值?
提示:可将式子x+ 化为
则其积 为常数.【解析】1.因为00,
所以y=(1-3x)2·x= (1-3x)·(1-3x)·6x
当且仅当1-3x=1-3x=6x,
即x= 时等号成立,此时ymax= .2.因为x>1,所以x-1>0,
当且仅当
即x=3时等号成立,即ymin=4.【延伸探究】1.若将典例1中的条件变为“y=x(1-x2)
(0【解析】因为y=x(1-x2),所以y2=x2(1-x2)2=
2x2(1-x2)(1-x2)·
当且仅当2x2=1-x2=1-x2,即x= 时,等号成立,
所以y≤ ,ymax= .2.若将典例1条件变为“x,y∈R+且x2y=4”,如何求
x+y的最小值?
【解析】因为x,y∈R+且x2y=4,
所以x+y=
当且仅当 =y时等号成立,
又x2y=4,所以当x=2,y=1时,x+y取最小值3.【方法技巧】用平均不等式求最值的注意点
(1)应用平均不等式,要注意三个条件,即“一正、二定、三相等”同时具备时,方可取得最值.其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性,获得定值需要一定的技巧,如配系数、拆项、分离常数、平方变形等.(2)当不具备使用平均不等式的条件时,求函数的最值可考虑利用函数的单调性.【变式训练】
1.如图,一块曲线部分是抛物线形的钢板,其底边长为2,高为1,将此钢板切割成等腰梯形的形状,记CD=2x,梯形面积为S,则S的最大值是_________.【解析】建立如图所示的坐标系,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则B(1,-1),代入抛物线方程可得2p=1,所以抛物线方程为x2=-y,因为CD=2x,所以D(x,-x2),所以梯形的高为1-x2,梯形的面积为S=(x+1)(1-x2),
x∈(0,1),
S=(x+1)(1-x2)= (x+1)2(2-2x)
≤
当且仅当x+1=2-2x,即x= 时,S的最大值是 .
答案: 2.已知x>0,求y= +3x的最小值.
【解析】因为x>0,所以y=
当且仅当 即x=2时等号成立.故y= +3x
的最小值为9.类型二 利用三个正数的算术-几何平均不等式证明
不等式
【典例】设a,b,c为正实数,求证:a3+b3+c3+
【解题探究】典例可分几次使用不等式?
提示:分两次使用不等式.【证明】因为a,b,c为正实数,所以a3+b3+c3≥
=3abc>0,当且仅当a=b=c时,等号成立.又3abc+
当且仅当3abc= 时,等号成立.所以a3+b3+c3+【方法技巧】证明不等式的方法
(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件,看是否满足“一正、二定、三相等”的条件.若满足即可利用平均不等式证明.
(2)若题目不满足该条件,则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子.【变式训练】1.已知x,y均为正数,且x>y,求证:
2x+ ≥2y+3.【证明】因为x>0,y>0,x-y>0,
所以2x+ -2y=2(x-y)+
=(x-y)+(x-y)+
等号成立的条件是 =x-y,即x-y=1.
所以2x+ ≥2y+3.2.(2016·哈尔滨高二检测)已知实数a,b,c,d满足
a>b>c>d,求证: 【证明】因为a>b>c>d,所以a-b>0,b-c>0,
c-d>0,a-d>0,所以
= [(a-b)+(b-c)+(c-d)]
≥
当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,即 【补偿训练】设a,b,c∈R+,求证:
【证明】因为
当且仅当c= 时取等号,所以原不等式成立.拓展类型 平均不等式在解应用题中的应用
【典例】如图所示,在一张半径是2米的
圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道,
灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小;
挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学知道,桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到
桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比,而和这
一点到光源的距离r的平方成反比.即E=k .
这里k是一个和灯光强度有关的常数.那么究竟应该怎
样选择灯的高度h,才能使桌子边缘处最亮?【解析】因为r= ,所以E=
所以E2= ·sin2θ·cos4θ= ·
(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ当且仅当2sin2θ=cos2θ时取等号,即tan2θ= ,tanθ= ,
所以h=2tanθ= ,即h= 米时,E最大,此时桌子边缘
处最亮.故当灯的高度为 米时,才能使桌子边缘处最
亮.【方法技巧】用不等式解决应用问题的方法
解应用问题的关键是读懂题意,建立适当的函数关系式,把所求问题转化为求函数的最值问题,并将函数式配凑成可以利用平均不等式的形式.【变式训练】1.设三角形三边长为3,4,5,P是三角形内的一点,则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是_________.【解析】设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别
是x,y,z,三角形的面积为S.则S= (3x+4y+5z),又因为
32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S=
×3×4=6,
所以3x+4y+5z=2×6=12,所以 ≤3x+4y+5z=12,所以(xyz)max= .
当且仅当3x=4y=5z,即x= ,y=1,z= 时等号成立.
答案: 2.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售
量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系
式y= +10(x-6)2,其中3格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值.
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】(1)因为x=5时,y=11,
所以 +10=11,所以a=2.
(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y= +10(x-6)2,
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)=(x-3) =2+10(x-3)(x-6)2,
3当x=4时,f(x)取最大值,且最大值等于42.
答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.自我纠错 三个正数的算术-几何平均不等式在求最值中的应用
【典例】已知0≤x≤1,求y=x4(1-x2)的最大值.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是错误理解了应用三个正数的算术-几何平均不等式求最值的条件和原则,忽视了等号成立的条件.正确解答过程如下:【解析】y=x4(1-x2)= x2·x2·(2-2x2)
当且仅当x2=2-2x2,即x= 时,y=x4(1-x2)取得最
大值 课件44张PPT。二 绝对值不等式
1.绝对值三角不等式【自主预习】
1.绝对值的几何意义原点距离长度a 2.绝对值三角不等式
(1)定理1:如果a,b∈R,则|a+b|≤________,当且仅
当______时,等号成立.
(2)定理1的推广:如果a,b是实数,则||a|-|b||≤
|a±b|≤|a|+|b|.|a|+|b|ab≥0(3)定理2:如果a,b,c∈R,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,
当且仅当______________时,等号成立.(a-b)(b-c)≥0【即时小测】
1.已知a,b∈R,则使不等式|a+b|<|a|+|b|一定成立的条件是 ( )
A.a+b>0 B.a+b<0 C.ab>0 D.ab<0
【解析】选D.根据绝对值的意义,可知只有当ab<0时,
不等式|a+b|<|a|+|b|成立.2.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值
为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|
=|x-1|+|-x|+|1-y|+|y+1|≥|x-1-x|+|1-y+y+1|=3,
当且仅当x∈[0,1],y∈[-1,1]时,等号成立.3.不等式|x+1|+|x-1|≥a恒成立,则实数a的取值范围为_________.
【解析】因为|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2,
当且仅当-1≤x≤1时等号成立,所以,使不等式|x+1|+|x-1|≥a恒成立的实数a的取值范围为a≤2.
答案:a≤2【知识探究】
探究点 绝对值三角不等式
1.用向量a,b分别替换a,b,当a与b不共线时,有|a+b|<|a|+|b|,其几何意义是什么?
提示:其几何意义是:三角形的两边之和大于第三边.2.不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是什么?
提示:右侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|.【归纳总结】
1.对定理1的两点说明
(1)由于定理1与三角形边之间的联系,故称此不等式为绝对值三角不等式.
(2)定理1可推广到n个实数情况即:
|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.2.定理2的几何解释
在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,
当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.
当点B不在点A,C之间时,
(1)点B在A或C上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.
(2)点B不在A,C上时,|a-c|<|a-b|+|b-c|.类型一 利用绝对值三角不等式证明不等式
【典例】设函数f(x)=x2-2x,实数|x-a|<1.求证:|f(x)-f(a)|<2|a|+3.
【解题探究】典例中对于|f(x)-f(a)|如何构造,使其满足绝对值不等式的形式?
提示:|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a||x+a-2|.【证明】因为函数f(x)=x2-2x,实数|x-a|<1,
所以|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a||x+a-2|
<|x+a-2|=|(x-a)+2a-2|≤|x-a|+|2a-2|<1+|2a|+2=2|a|+3,所以|f(x)-f(a)|<2|a|+3.【方法技巧】两类含绝对值不等式的证明技巧
一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明. 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.【变式训练】1.设m是|a|,|b|和1中最大的一个,当
|x|>m时,求证: <2.
【解题指南】利用m≥|a|,m≥|b|,m≥1求解.【证明】因为|x|>m≥|b|且|x|>m≥1,
所以|x2|>|b|.
又因为|x|>m≥|a|,
所以
故原不等式成立.2.若f(x)=x2-x+c(c为常数),|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
【解题指南】将|f(x)-f(a)|分解成含|x-a|的形式,再利用|x-a|<1证明.【证明】|f(x)-f(a)|=|x2-x+c-(a2-a+c)|
=|x2-x-a2+a|=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|
=|(x-a)+(2a-1)|≤|x-a|+|2a-1|
≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1).类型二 利用绝对值三角不等式求最值或取值范围
【典例】求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值.
【解题探究】典例中求|x-3|-|x+1|的最值可利用哪个绝对值不等式?
提示:根据||a|-|b||≤|a-b|求最值.【解析】因为||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4,
所以-4≤|x-3|-|x+1|≤4.
所以ymax=4,ymin=-4.【延伸探究】
1.典例中函数y取到最大值时,需满足什么条件?
【解析】函数y取到最大值,需要满足
解得x≤-1.2.若将典例条件改为|x-3|+|x+1|>a的解集不是R,求a的取值范围.
【解析】只要a不小于|x-3|+|x+1|的最小值,
则|x-3|+|x+1|>a的解集不是R,
而|x-3|+|x+1|=|3-x|+|x+1|≥|3-x+x+1|=4,当且仅当(3-x)(x+1)≥0,即-1≤x≤3时取最小值4,
所以a的取值范围是[4,+∞).【方法技巧】求f(x)=|x+a|+|x+b|和f(x)=|x+a|-|x+b|的最值的三种方法
(1)转化法:转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.(2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解,但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值.
(3)利用绝对值的几何意义.【变式训练】已知x∈R,求函数f(x)=|x+1|-|x-2|的最大值.
【解析】根据绝对值的三角不等式,有|x+1|-|x-2| ≤|(x+1)-(x-2)|=3.当且仅当x≥2时等号成立.故函数f(x)=|x+1|-|x-2|≤3,所以最大值为3.类型三 绝对值三角不等式的综合应用
【典例】(2014·全国卷Ⅱ)设函数f(x)= +|x-a|
(a>0).
(1)证明:f(x)≥2.
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.【解题探究】1.典例(1)中可利用什么来证明f(x)≥2?
提示:利用绝对值不等式去掉x,再利用平均不等式证明.
2.典例(2)中含绝对值的不等式如何转化为不含绝对值?
提示:可通过对a讨论,去掉绝对值,解不等式.【解析】(1)由a>0,有f(x)=
所以f(x)≥2.
(2)f(3)= +|3-a|.当a>3时,f(3)=a+ ,
由f(3)<5,得3由f(3)<5,得 综上,a的取值范围是 【方法技巧】绝对值不等式综合应用的解题策略
含绝对值的综合问题,综合性强,所用到的知识多,在解题时,要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件,还要注意配方等等价变形,同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时,还要注意等号成立的条件.【变式训练】1.设f(x)=ax2+bx+c,当|x|≤1时,恒有|f(x)|≤1,求证:|f(2)|≤7.
【证明】因为|x|≤1时,有|f(x)|≤1,
所以|f(0)|=|c|≤1,|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,
又f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c所以|f(2)|=|4a+2b+c|
=|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c|
=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|
≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|
≤3+1+3=7.所以|f(2)|≤7.2.已知函数f(x)=lg
(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并给出证明.
(2)若t∈R,求证: 【解析】(1)f(x)在[-1,1]上是减函数.
证明:令
取-1≤x1则u1-u2= 因为|x1|≤1,|x2|≤1,x1所以u1-u2>0,即u1>u2.
又在[-1,1]上u>0,故lgu1>lgu2,
得f(x1)>f(x2),所以f(x)在[-1,1]上是减函数.(2)因为
所以 由(1)的结论,有自我纠错 绝对值不等式在证明中的应用
【典例】求证: 【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是用错了绝对值不等式,不能保证1+|a+b|≥1+|a|,1+|a+b|≥1+|b|成立.正确解答过程如下:【解析】当|a+b|=0时,显然成立.
当|a+b|≠0时,
所以不等式成立.课件53张PPT。2.绝对值不等式的解法【自主预习】
1.含绝对值不等式|x|a的解法
(1)|x|(2)|x|>a? _____(a<0)，
___________(a=0),
__________(a>0)._______(a>0),
_____(a≤0).-aa或x<-a2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)|ax+b|≤c?____________.
(2)|ax+b|≥c?__________________.-c≤ax+b≤cax+b≥c或ax+b≤-c3.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的三种解法
(1)利用绝对值不等式的几何意义.
(2)利用x-a=0,x-b=0的解,将数轴分成三个区间,然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之.
(3)通过构造函数,利用函数图象.【即时小测】
1.若不等式|8x+9|<7和不等式x2+ax+b<0的解集相同,则a=_________,b=_________.【解析】由|8x+9|<7得-2所以-a=(-2)+
所以
答案: 2.不等式 的解集是_________ .
【解析】由 知 <0,
解得0答案:{x|0【解析】当x≥-1时,原不等式可化为x+1≥2-x,
解得x≥
当x<-1时,原不等式可化为-(x+1)≥2-x,
此不等式无解.综合上述,不等式|x+1|≥2-x的解集为
答案: 【知识探究】
探究点 绝对值不等式的解法
1.|x|的几何意义是什么?
提示:|x|表示数轴上的点x到原点0的距离.2.|x-a|<|x-b|,|x-a|>|x-b|(a≠b)型的不等式如何来解?
提示:可通过两边平方去绝对值符号的方法求解.【归纳总结】
1.|x-a|±|x-b|的几何意义
数轴上的点x到点a,b的距离之和(差)
2.解含绝对值不等式的关键
解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,转化为不含绝对值的不等式.3.|f(x)|<|g(x)|的解法
关于|f(x)|<|g(x)|的解法可利用|x|0)?x2和不等式ax2+bx-2>0的解集相同,则a,b的值为 ( )
A.a=-8,b=-10 B.a=-4,b=-9
C.a=-1,b=9 D.a=-1,b=2
2.对于x∈R,解不等式|2x-3|-x≥3.【解题探究】1.|8x+9|<7的解集是什么?
提示:
2.典例2中不等式|2x-3|-x≥3等价于什么?
提示:|2x-3|-x≥3?|2x-3|≥x+3.
?2x-3≥x+3或2x-3≤-x-3.【解析】1.选B.|8x+9|<7?-7<8x+9<7,
解得-2因为不等式|8x+9|<7和不等式ax2+bx-2>0的解集相同,
所以-2和 是方程ax2+bx-2=0的两根,
由根与系数的关系得: 2.方法一:原不等式等价于|2x-3|≥x+3,即2x-3≥x+3
或2x-3≤-x-3,解得x≥6或x≤0.所以不等式的解集为
(-∞,0]∪[6,+∞).
方法二:由题知 解得x≥6或x≤0,
所以不等式的解集为(-∞,0]∪[6,+∞).【方法技巧】含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法
(1)形如|f(x)|a(a∈R)型不等式.
①当a>0时,|f(x)||f(x)|>a?f(x)>a或f(x)<-a;②当a=0时,|f(x)||f(x)|>a?f(x)≠0;
③当a<0时,|f(x)||f(x)|>a?f(x)有意义即可.(2)形如|f(x)|g(x)型不等式.
①|f(x)|②|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)可正也可负).(3)形如a<|f(x)|a>0)型不等式.
a<|f(x)|(4)形如|f(x)|f(x)型不等式.
|f(x)|f(x)?f(x)<0.【变式训练】
1.不等式|5x-x2|<6的解集为 ( )
A.{x|x<2或x>3}
B.{x|-1C.{x|-1D.{x|2由5x-x2<6解得x>3或x<2;
由-6<5x-x2解得-1综上知不等式|5x-x2|<6的解集为{x|-1【解题指南】可利用公式转化为|ax+b|>c(c>0)或|ax+b|0)型不等式后逐一求解,也可利用分区讨论法分两种情况去掉绝对值符号,还可用平方法转化为不含绝对值的不等式.【解析】方法一:原不等式等价于不等式组
即 解得-1≤x<1或3所以原不等式的解集为{x|-1≤x<1或3① 或②
由①得3所以原不等式的解集是{x|-1≤x<1或3即 解得
所以-1≤x<1或3所以原不等式的解集是{x|-1≤x<1或3【典例】(2016·商丘高二检测)已知函数f(x)=|2x+1|+|2x+a|.
(1)a=-3时,求不等式f(x)≤6的解集.
(2)若关于x的不等式f(x)>a恒成立,求实数a的取值范围.【解题探究】典例(1)如何去掉|2x+1|+|2x-3|≤6的绝对值符号?
(2)如何求f(x)的最小值?提示:(1)将x分成x> ,- ≤x≤ 和x<- 三种情况,
通过分类讨论去掉绝对值,将原不等式等价转化为三个
一元一次不等式组,解这些不等式组即可得到原不等式
的解集.(2)利用绝对值不等式性质:|a|+|b|≥|a-b|,
求出|2x+1|+|2x+a|的最小值|1-a|.【解析】(1)当a=-3时,f(x)≤6为|2x+1|+|2x-3|≤6,
等价于
解得 所以不等式f(x)≤6的解集为[-1,2].(2)因为|2x+1|+|2x+a|≥|2x+1-(2x+a)|=|1-a|,
所以a<|1-a|,解得a< ,即实数a取值范围 【延伸探究】
1.若将本例条件“f(x)=|2x+1|+|2x+a|”换为“f(x)=|2x+1|-|2x+a|”,且f(x)因为f(x)解得a> ,所以a的取值范围是 2.本例条件不变,若f(x)≤|2x-4|的解集包含[1,2],
求a的取值范围.
【解析】f(x)≤|2x-4|,
即|2x-4|-|2x+1|≥|2x+a|,
而|2x-4|-|2x+1|≤|2x-4-2x-1|=5所以|2x+a|≤5,得
由条件得: 解得-7≤a≤1.
所以a的取值范围是[-7,1].【方法技巧】
1.形如|f(x)|<|g(x)|型不等式的解法
此类问题的简单解法是利用平方法,即
|f(x)|<|g(x)|?[f(x)]2<[g(x)]2
?[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]<0.2.|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
(1)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式有三种解法:分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数据较简单的情况.(2)“零点分段法”的关键在于对绝对值代数意义的理
解,即|x|= 也即x∈R.x为非负数时,|x|为
x;x为负数时,|x|为-x,即x的相反数.(3)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式
的图象解法和画出函数f(x)=|x-a|+|x-b|-c的图象是
密切相关的,正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分
段表达式.不妨设a1.解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
【解析】当x≤-1时,原不等式可化为-(x+1)-(x-1)≥3,
解得x≤- .
当-1当x≥1时,原不等式可化为x+1+x-1≥3
解得x≥ .
综上所述,原不等式的解集是:{x|x≤- 或x≥ }.2.已知函数f(x)=|x-a|-|x+3|,a∈R.
(1)当a=-1时,解不等式f(x)≤1.
(2)若当x∈[0,3]时,f(x)≤4,求a的取值范围.【解析】(1)当a=-1时,不等式为|x+1|-|x+3|≤1.
当x≤-3时,不等式化为-(x+1)+(x+3)≤1,不等式不成
立.
当-3≤x<-1.当x≥-1时,不等式化为(x+1)-(x+3)≤1,不等式必成立.
综上,不等式的解集为 (2)当x∈[0,3]时,f(x)≤4即|x-a|≤x+7,
由此得a≥-7且a≤2x+7,
当x∈[0,3]时,2x+7的最小值为7,
所以a的取值范围是[-7,7].【补偿训练】已知f(x)=|x-3|+|x+1|-6,若不等式f(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围.
【解析】因为对任意x∈R,f(x)≥m+1恒成立,
f(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6
≥|3-x+x+1|-6=4-6=-2,于是有m+1≤-2,得m≤-3.即m的取值范围是(-∞,-3].自我纠错 绝对值不等式的恒成立问题
【典例】求使不等式 (|x+3|-|x+7|)的m的取值范围.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是指数函数与对数函数的单调性记错,底数小于1,应为减函数,所以不等式要变号.【解析】不等式 (|x+3|-|x+7|)即不等式|x+3|-|x+7|> 恒成立.
由绝对值不等式的几何意义知
|x+3|-|x+7|≤|(x+3)-(x+7)|=4,
即 所以m>-2.课件33张PPT。第二讲 证明不等式的基本方法
一 比 较 法【自主预习】
比较法的定义
比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种.(1)作差比较法:要证明a>b,只要证明______;要证明
a差比较法.
(2)作商比较法:若a>0,b>0,要证明a>b,只要证明
>1;要证明b>a,只要证明_____.这种证明不等式的方
法,叫做作商比较法.a-b>0a-b<0【即时小测】
1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是
( )
A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b
【解析】选C.由a+b>0,b<0,得a>-b>0,于是a>-b>b>-a.2.设a,b∈R且a+|b|<0,则下列结论中正确的是( )
A.a-b>0 B.a2+b2<0
C.a2-b2<0 D.a+b<0
【解析】选D.由a+|b|<0,知a<-|b|≤0,
所以a+b【解析】因为a∈R且a≠1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,
即a2+1>2a.
答案:a2+1>2a【知识探究】
探究点 比较法证明不等式
1.作差比较法的主要适用类型是什么?实质是什么?
提示:作差比较法适用于具有多项式结构特征的不等式的证明.实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.2.作商比较法主要适用类型是什么?
提示:作商比较法主要用于积(商)、幂(根式)、指数形式的不等式证明.其证明的一般步骤:作商→变形(化简)→判断商值与1的大小关系→结论.【归纳总结】
1.作差法的依据
若a,b∈R,则a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a2.作差法的步骤
作差→变形→判断符号(与0比较大小)→结论.3.作商法的依据
若a>0,b>0,则 >1?a>b; =1?a=b; <1?a4.作商比较法适用证明的不等式的特点
适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等
式或某些不同底数对数值的大小比较.类型一 作差比较法
【典例】已知a,b∈R,求证:a2+b2+1≥ab+a+b.
【解题探究】典例中作差后,如何与0比较大小?
提示:化为几个完全平方式的和,然后与0比较大小.【证明】因为a2+b2-ab-a-b+1= [(a-b)2+(a-1)2+
(b-1)2]≥0,当且仅当a=b=1时取等号,所以
a2+b2+1≥ab+a+b.【方法技巧】作差比较法证明不等式的技巧
(1)作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多少.(2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.
(3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断差式的符号,常将差式变形为一个常数,或几个因式积的形式,当所得的差式是某字母的二次三项式时,常用判别式法判断符号.【变式训练】1.(2015·浙江高考)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xC.ay+bz+cx D.ay+bx+cz【解析】选B.由x0,故ax+by+cz>az+by+cx;ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x) +c(x-z)=(x-z)(c-b)<0,故ay+bz+cxb>c,证明:a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.
【证明】因为a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=(a2b-bc2) +(b2c-ab2)+(c2a-ca2)=b(a2-c2)+b2(c-a)+ac(c-a)=(a-c)(ba+bc-b2-ac)=(a-c)(a-b)(b-c).
因为a>b>c,所以a-c>0,a-b>0,b-c>0,所以(a-c)(a-b)(b-c)>0,即a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.类型二 作商比较法
【典例】设a>0,b>0,求证:aabb≥
【解题探究】由指数函数的性质可知a,b满足什么条
件时ab>1?
提示:若01;若a>1,则b>0时,ab>1.【证明】因为aabb>0, >0,
所以
所以当a=b时,显然有 =1;
当a>b>0时,
当b>a>0时, 由指数函数的单调性,有
综上可知,对任意a>0,b>0,都有aabb≥ 【延伸探究】
1.典例中的条件不变,试证明:abba≤
【证明】因为abba>0, >0,
所以
所以当a=b时,显然有 =1;当a>b>0时,
当b>a>0时,
由指数函数的单调性,有
综上可知,对任意a>0,b>0,都有abba≤ 2.将典例中的条件改为“a>b>c>0”,求证:
a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.
【证明】由a>b>c>0,得ab+cbc+aca+b>0,a2ab2bc2c>0.
所证不等式左边除以右边,得
=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b= 因为a>b>0,所以 >1,a-b>0,所以 >1.
同理 >1, >1.
所以 >1,所以a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.【方法技巧】作商比较法证明不等式的一般步骤
(1)作商:将不等式左右两边的式子进行作商.
(2)变形:化简商式到最简形式.
(3)判断:判断商与1的大小关系,也就是判断商大于1或小于1或等于1.
(4)得出结论.【变式训练】已知a>2,求证:loga(a-1)【证明】因为a>2,则a-1>1,所以loga(a-1)>0,
log(a+1)a>0,
由于 =loga(a-1)·loga(a+1)因为a>2,所以0因为log(a+1)a>0,所以loga(a-1)【典例】设实数a,b,c满足等式①b+c=6-4a+3a2;
②c-b=4-4a+a2;试比较a,b,c的大小关系.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是应用不等式的性质,或对差式的变形不彻底而引起的.【解析】由②c-b=(a-2)2≥0,知c≥b.
又①-②,得b=a2+1,所以b-a=a2-a+1=
所以b>a,故c≥b>a.课件49张PPT。二 综合法与分析法【自主预习】
1.综合法
一般地,从_________出发,利用定义、公理、定理、
性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这
种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因
导果法.已知条件2.分析法
证明命题时,从___________出发,逐步寻求使它成立
的_________,直至所需条件为_____________________
_________(定义、公理或已证明的定理、性质等),从
而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这
是一种_________的思考和证明方法.要证的结论充分条件已知条件或一个明显成立的事实执果索因【即时小测】
1.关于综合法和分析法说法错误的是 ( )
A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法
B.综合法又叫顺推证法或由因导果法
C.分析法又叫逆推证法或执果索因法
D.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法【解析】选D.根据综合法的定义可得,综合法是执因导果法,是顺推法;根据分析法的定义得,分析法是执果索因法,是逆推证法.2.下列对命题“函数f(x)=x+ 是奇函数”的证明不
是综合法的是 ( )
A.?x∈R且x≠0有f(-x)=(-x)+ =-f(x),
所以f(x)是奇函数
B.?x∈R且x≠0有f(x)+f(-x)=x+(-x)+
所以f(x)=-f(-x),所以f(x)是奇函数C.?x∈R且x≠0,因为f(x)≠0,所以
所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数
D.取x=-1,f(-1)=-1+ =-2,又f(1)=1+ =2,f(-1)
=-f(1),所以f(x)是奇函数【解析】选D.A,B,C都是从已知条件出发,利用奇函数定义,得出结论的,都是综合法;D不是综合法证明.3.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证 ( )
A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1- ≤0
C. -1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0【解析】选D.因为a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2)
=-(a2-1)(b2-1),
故要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证(a2-1)(b2-1)≥0.【知识探究】
探究点 综合法与分析法
1.综合法与分析法证明不等式的逻辑关系是怎样的?
提示:综合法:A?B1?B2?…?Bn?B
(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论).分析法:B?B1?B2?…?Bn?A
(结论)(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知).2.如何理解分析法寻找的是充分条件?
提示:用分析法证明,其叙述格式是:要证明A,只需证明B.即说明只要有B成立,就一定有A成立.因此分析法是“执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件.分析法体现了数学中“正难则反”的原则,也是思维中的逆向思维.逆求(不是逆推)结论成立的充分条件.【归纳总结】
1.综合法和分析法的比较
(1)相同点:都是直接证明.
(2)不同点:综合法:由因导果,形式简洁,易于表达;
分析法:执果索因,利于思考,易于探索.2.证明不等式的通常做法
常用分析法找证题切入点,用综合法写证题过程.类型一 用综合法证明不等式
【典例】(2016·大连高二检测)已知a,b,c均为正实
数,且
(1)证明:
(2)求证: 【解题探究】要证明该题,根据题目的形式,你联想到利用哪个公式解决?
提示:根据题目给出的形式,可根据基本不等式求证.【证明】(1)由a,b,c均为正实数,且
可得
相加可得 即有
当且仅当a=b=c= 取得等号.
故原不等式成立.(2)由a,b,c均为正实数,且
可得
相加可得
即有原不等式成立.【方法技巧】综合法证明不等式的策略
(1)综合法证明不等式,揭示出条件和结论之间的因果联系,为此要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.(2)综合法证明不等式所依赖的已知不等式主要有如下
几个:①a2≥0(a∈R);②(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有
a2+b2≥2ab, ≥ab,a2+b2≥ (a+b)2;③若a,b
为正实数,则 特别 ≥2;④a2+b2+c2≥
ab+bc+ca.(3)在用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质,如同向不等式相加、同向不等式相乘等,但在运用这些性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件.【变式训练】(2015·绥化高二检测)已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.【证明】因为a≠b,所以a-b≠0,所以a2-2ab+b2>0,
所以a2-ab+b2>ab.
而a,b均为正数,所以a+b>0,
所以(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),
所以a3+b3>a2b+ab2成立.【补偿训练】已知a,b,c∈R+,且互不相等,且abc=1,
求证:
【证明】因为a,b,c∈R+,且互不相等,且abc=1,
所以
所以 类型二 用分析法证明不等式
【典例】1.(2016·聊城高二检测)已知a,b,m都是
正数,并且a2.设a>b>c,且a+b+c=0,求证:
(1)b2-ac>0.(2) 【解题探究】1.典例1用分析法证明的关键是什么?
提示:a,b,m都是正数,要证 成立,只需证明
b(a+m)>a(b+m)成立,所以关键是证明b(a+m)>a(b+m)
成立.2.典例2(2)中证明的关键是什么?
提示:证明的关键是对式子两端平方后,能得到显然成立的条件.【证明】1.a,b,m都是正数,
要证 成立,只需证b(a+m)>a(b+m)成立,
即证ba+bm>ab+am,即证bm>am,即证b>a,
而a所以 成立.2.(1)因为a>b>c且a+b+c=0,
所以a>0,c<0,ac<0,故b2-ac>0.
(2)欲证
只需证b2-ac<3a2.
因为c=-(a+b),
只要证明b2+a(a+b)<3a2成立.也就是(a-b)(2a+b)>0.
即证(a-b)(a-c)>0.
因为a>b>c,
所以(a-b)(a-c)>0成立,
从而 成立.【延伸探究】
1.若将典例2中条件改为“a>b>0”,求证:【证明】要证原不等式成立,
只需证
即证
因为a>b>0,所以只需证
即 只需证
因为a>b>0,所以 成立.所以原不等式成立.2.典例2条件改为设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证
明:ab+bc+ac≤ .【证明】由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
得a2+b2+c2≥ab+bc+ca
由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤ .【方法技巧】用分析法证明不等式的思路及注意点
(1)思路:分析法的思索路线是“执果索因”,即从要证的不等式出发,不断地用充分条件来代替前面的不等式,直至找到已知不等式为止.(2)注意点:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好反推符号“?”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.【变式训练】
1.当x≥4时,证明:
【证明】欲证
只需证
即证 展开整理,得
只需证(x-1)(x-4)<(x-2)(x-3),
即x2-5x+4所以原不等式 成立.2.若a,b,c均为正数,求证:
【证明】要证
只要证
只要证 只要证(a+b+c)
因为(a+b+c)
所以原不等式成立.自我纠错 用分析法证明不等式
【典例】已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,求证:【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是证明过程不符合分析法的证明思路.正确解答过程如下:【证明】要证 成立,
只需证明 成立,
即只需证明 ≤1,即
即只需证明ab≤ 成立,由a,b∈(0,+∞),且a+b=1,知ab≤ 显然成立,
于是 ≤2成立,不等式得证.课件50张PPT。三 反证法与放缩法【自主预习】
1.反证法
(1)方法:先假设_________________,以此为出发点,结
合已知条件,应用_______________________等,进行正
确的推理,得到和___________(或已证明的定理、性要证的命题不成立公理、定义、定理、性质命题的条件质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正
确,从而证明___________,我们把它称为反证法.
(2)适用范围:对于那些直接证明比较困难的否定性命
题,唯一性命题或含有“至多”“至少”等字句的问
题,常常用反证法证明.原命题成立2.放缩法
(1)方法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分
的值_____或_____,简化不等式,从而达到证明的目
的,我们把这种方法称为放缩法.
(2)关键:放大(缩小)要适当.放大缩小【即时小测】
1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,可把下列哪些作为条件使用 ( )
(1)结论的反设.(2)已知条件.(3)定义、公理、定理等.(4)原结论.
A.(1)(2) B.(2)(3)
C.(1)(2)(3) D.(1)(2)(4)【解析】选C.根据反证法的定义可知,用反证法证明过程中,可应用(1)结论的反设.(2)已知条件.(3)定义、公理、定理等推出矛盾.2.在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内的一点,∠APB> ∠APC,求证:∠BAP<∠CAP用反证法证明时的假设为__________________.【解析】反证法对结论的否定是全面否定,
∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP=∠CAP或
∠BAP>∠CAP.
答案:∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.【知识探究】
探究点 反证法与放缩法
1.用反证法证明时,导出矛盾有哪几种可能?
提示:①与原命题的条件矛盾;
②与假设矛盾;
③与定义、公理、定理、性质矛盾;
④与客观事实矛盾.2.用反证法证明命题“若p则q”时, ?q假,q即为真吗?
提示:是的.在证明数学问题时,要证明的结论要么正确,要么错误,二者中居其一, ?q是q的反面,若?q为假,则q必为真.【归纳总结】
1.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设2.放缩法证明不等式的理论依据
(1)不等式的传递性.
(2)等量加不等量为不等量.
(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.3.放缩法证明不等式常用的技巧
(1)增项或减项.
(2)在分式中增大或减小分子或分母.
(3)应用重要不等式放缩,如a2+b2≥2ab,
(4)利用函数的单调性等.类型一 利用反证法证明否定性命题
【典例】设0(2-b)·a,(2-c)·b不可能同时大于1.
【解题探究】典例中待证结论的反面是什么?
提示:待证结论的反面为 【证明】假设(2-a)·c>1,(2-b)·a>1,(2-c)·b>1,
则(2-a)·c·(2-b)·a·(2-c)·b>1 ①,
因为0所以(2-a)·a≤ =1.
同理:(2-b)·b≤1,(2-c)·c≤1.所以(2-a)·a·(2-b)·b·(2-c)·c≤1,
这与①式矛盾.
所以假设不成立.
即:(2-a)·c,(2-b)·a,(2-c)·b不可能同时大于1.【方法技巧】
1.用反证法证明的一般步骤
(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立.
(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾.
(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.2.否定性不等式的证法及关注点
当待证不等式的结论为否定性命题时,常采用反证法来证明,对结论的否定要全面不能遗漏,最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾.【变式训练】1.(2016·泰安高二检测)用反证法证明
命题“如果a>b,那么 ”时,假设的内容是( )【解析】选C.结论 的否定是 或
成立.2.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列.
求证: 不成等差数列.
【证明】假设 成等差数列,则
即a+c+ =4b,
又三个正数a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b= .所以a+c+2 =4 ,即a+c-2 =0,
所以( )2=0,所以 ,即a=c.
从而a=b=c,这与已知中a,b,c不成等差数列矛盾,
所以原假设错误,故 不成等差数列.类型二 利用反证法证明“至少”“至多”型问题
【典例】已知f(x)=x2+px+q,求证:
(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.
(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 .【解题探究】典例(2)中待证结论的反设是什么?
提示:反设是|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 .【证明】(1)由于f(x)=x2+px+q,
所以f(1)+f(3)-2f(2)
=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.
(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 ,
则有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,(*)又|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)
=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2.
所以|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥2与(*)矛盾,假设不
成立.
故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 .【延伸探究】
1.若本例条件变为“a3+b3=2”,求证:a+b≤2.
【证明】假设a+b>2,而a2-ab+b2=
但取等号的条件为a=b=0,显然不可能,
所以a2-ab+b2>0.
则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2),而a3+b3=2,故a2-ab+b2<1.
所以1+ab>a2+b2≥2ab.从而ab<1.
所以a2+b2<1+ab<2.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab<2+2ab<4.
而由假设a+b>2,得(a+b)2>4,出现矛盾,故假设不成立,原结论成立,即a+b≤2.2.将典例中的条件改为“设二次函数f(x)=x2+px+1”,求证:|f(1)|,|f(-1)|中至少有一个不小于2.
【证明】假设|f(1)|,|f(-1)|都小于2,
则有|f(1)|+|f(-1)|<4,(*)
又|f(1)|+|f(-1)|≥f(1)+f(-1)
=(1+p+1)+[(-1)2+(-1)p+1]=4.所以|f(1)|+|f(-1)|≥4与(*)矛盾,假设不成立.
故|f(1)|,|f(-1)|中至少有一个不小于2.【方法技巧】“至多”“至少”型问题的证明方法
(1)在证明中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法证明.(2)在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题设条件,因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推出矛盾.【变式训练】若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+ ,b=y2-
2z+ ,c=z2-2x+ ,求证:a,b,c中至少有一个大于零.【证明】假设a,b,c都不大于零,则a≤0,b≤0,c≤0,
所以a+b+c≤0.
而a+b+c=
=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π
=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,所以a+b+c>0,这与
a+b+c≤0矛盾.故a,b,c中至少有一个大于零.类型三 利用放缩法证明不等式
【典例】求证:
(n∈N+且n≥2).
【解题探究】典例中如何将 中的分母适
当放大或缩小转化为求和的形式?
提示: (n∈N+且n≥2).【证明】因为k(k+1)>k2>k(k-1),
所以
即 (k∈N+且k≥2).
分别令k=2,3,…,n得 将这些不等式相加得所以
即
(n∈N+且n≥2)成立.【方法技巧】放缩法证明不等式的技巧
放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个中间量,如将A放大成C,即A(2)在分式中放大(缩小)分子(分母).
(3)应用基本不等式进行放缩.【变式训练】已知S=
(n是大于2的自然数),则有( )
A.S<1 B.2C.1又因为S= >1.【补偿训练】已知an=4n-2n,Tn=
求证:T1+T2+T3+…+Tn< 【证明】因为a1+a2+…+an=41+42+43+…+4n-
(21+22+…+2n)= (4n-1)+2(1-2n),
所以Tn= 从而T1+T2+T3+…+Tn=自我纠错 用放缩法证明不等式
【典例】设n为大于1的自然数,求证【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是证明过程放缩思路错误.正确解答过程如下:【证明】课件50张PPT。第三讲 柯西不等式与排序不等式
一 二维形式的柯西不等式【自主预习】
二维形式的柯西不等式(ac+bd)2【即时小测】
1.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为 ( )
A. B.2 C. D.3
【解析】选C.3=(2x2+y2)(2+1)≥(2x+y)2,
所以- ≤2x+y≤ .
即2x+y的最大值为 .2.已知 =1,则以下成立的是( )
A.a2+b2>1 B.a2+b2=1
C.a2+b2<1 D.a2b2=1【解析】选B.由柯西不等式,得
≤[a2+(1-a2)][(1-b2)+b2]=1,
当且仅当 时,上式取等号,
所以ab= 化为a2b2=(1-a2)(1-b2),
于是a2+b2=1.3.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 的
最小值为_________.
【解析】由柯西不等式知(a2+b2)(m2+n2)≥(am+bn)2,
又a2+b2=5,ma+nb=5,
所以m2+n2≥5,所以
答案: 【知识探究】
探究点 二维形式的的柯西不等式
1.在二维形式的柯西不等式的代数形式中,取等号的
条件可以写成 吗?
提示:不可以.当b=d=0时,等号成立,但 不成立.2.用柯西不等式求最值时的关键是什么?
提示:利用柯西不等式求最值问题,通常设法在不等式一边得到一个常数,并寻求不等式等号成立的条件.【归纳总结】
1.柯西不等式三种形式的关系
根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示.2.理解并记忆三种形式取“=”的条件
(1)代数形式中当且仅当ad=bc时取等号.
(2)向量形式中当 =k 或 =0时取等号.
(3)三角形式中当P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三点共线且P1,P2在原点O两旁时取等号.3.“二维”的含义
“二维”是对向量的个数来说的,在平面上一个向量有两个量:横坐标与纵坐标,因此“二维”就要有四个量,还可以认为是四个数组合成的一种不等关系.4.二维形式的柯西不等式的变式
(1) ≥|ac+bd|.
(2) ≥|ac|+|bd|.
(3) ≥ac+bd.类型一 利用柯西不等式证明不等式
【典例】求证:
【解题探究】本例证明的关键是什么?
提示:关键是根据不等式的结构特征,改变一下多项式的形态结构,达到利用柯西不等式解题的目的.【证明】因为
=(x12+x22)+(y12+y22)+
由柯西不等式,得(x12+x22)( y12+y22)≥(x1y1+x2y2)2,
其中当且仅当x1y2=x2y1时,等号成立.所以 ≥x1y1+x2y2,
所以 ≥(x12+x22)+(y12+y22)
+2(x1y1+x2y2)=(x1+y1)2+(x2+y2)2.
所以
其中等号当且仅当x1y2=x2y1时成立.【方法技巧】利用柯西不等式的代数形式证明不等式的方法
利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时,有时需要将待证不等式进行变形,以具备柯西不等式的运用条件,这种变形往往要认真分析题目的特征,根据题设条件,利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法,才能找到突破口.【变式训练】1.设a,b,c为正数,求证: +
+ ≥ (a+b+c).
【解题指南】根据不等式的结构,分别使用柯西不等式.【证明】由柯西不等式: ≥a+b,
即 ≥a+b.
同理 ≥b+c,
≥c+a.将上面三个同向不等式相加得
( + + )≥2(a+b+c),
于是 + + ≥ (a+b+c).2.已知a1,a2,b1,b2为正实数,求证:(a1b1+a2b2)·
( + )≥(a1+a2)2.
【证明】(a1b1+a2b2)( + )
=［( )2+( )2］［( )2+( )2]
≥( · + · )2
=(a1+a2)2.类型二 利用柯西不等式求最值
【典例】已知x,y,a,b∈R+,且 =1,求x+y的最
小值.【解题探究】解答本例如何将x+y变形,向着柯西不
等式的形式转化?
提示:关键是构造两组数 使得x+y=【解析】构造两组实数
因为x,y,a,b∈R+, =1,
所以x+y=[( )2+( )2] 当且仅当
等号成立.
所以(x+y)min=( + )2.【延伸探究】
1.若把本例中的题设条件“a,b∈R+且 =1”
改为“ =2”,结果如何?【解析】因为 =2,所以x+y=
当且仅当 时等号成立,
所以(x+y)min= .2.把本例已知改为 ,试比较x2+y2与(a+b)2
的大小.
【解析】由已知及柯西不等式得
x2+y2=(x2+y2)
≥ =(a+b)2.
即x2+y2≥(a+b)2.【方法技巧】利用二维形式的柯西不等式求最值的技巧
(1)求某些解析式的最小值时,要把这个解析式看成柯西不等式的左边构造不等式.(2)求某个解析式的最大值时,要把这个解析式看成柯西不等式的右边构造不等式.在构造过程中系数的选择是关键.【变式训练】
1.已知x,y∈R,且xy=1, 的最小值为( )
A.4 B.2 C.1 D.
【解析】选A.
当且仅当x=y=1等号成立.2.(2015·陕西高考)已知关于x的不等式|x+a|解集为{x|2(1)求实数a,b的值.(2)求 的最大值.【解析】(1)由|x+a|则 解得a=-3,b=1.当且仅当
即t=1时等号成立,
故 【补偿训练】设a,b∈R,且a2+b2=10,求3a+b的最大值与最小值.
【解题指南】3a+b是两部分和的形式,将其看作ac+bd的结构,利用柯西不等式求其最值.【解析】利用柯西不等式得,
(3a+b)2=(a·3+b·1)2≤(a2+b2)(32+12)
=10×10=100,
即(3a+b)2≤100,
所以|3a+b|≤10,-10≤3a+b≤10,
当且仅当a=3b时,等号成立.又a2+b2=10,
所以a2=9,b2=1.
所以当a=-3,b=-1时,3a+b有最小值为-10;
当a=3,b=1时,3a+b有最大值为10.类型三 二维形式柯西不等式向量形式的应用
【典例】设a>0,b>0,且a+b=1,
求证: 【解题探究】如何构造向量,用向量形式的柯西不
等式证明?
提示:可构造如下向量形式:【证明】令
则| · |=
而| |=
又| |= ,所以| || |= ,
由| · |≤| || |,得 【延伸探究】在本例题设条件下,如何证明:(ax+by)2≤ax2+by2(其中x>0,y>0).【证明】设m=( x, y),n=( , ),
则|ax+by|=|m·n|≤|m||n|
=
=
所以(ax+by)2≤ax2+by2.【方法技巧】应用二维形式柯西不等式向量形式求最
值及证明不等式的技巧
在应用二维形式柯西不等式向量形式求式子的最值或
证明不等式时要根据式子的结构特征构造两个向量,通
常我们使构造的向量满足积为待求式子或待证不等式
一侧的形式,再利用柯西不等式的向量形式求解或证明.【变式训练】
1.已知a>b>c,若 恒成立,则k的最大
值为_________.【解析】设a= ,b=
由|a·b|≤|a||b|得2≤
即 ,当且仅当a-b=b-c即a+c=2b时,
等号成立.故kmax=4.
答案:42.求函数y= 的最大值及最小值.
【解析】由原函数式得2sinx+(3-y)cosx=4-2y,
设a=(2,3-y),b=(sinx,cosx),
由|a·b|≤|a||b|得|4-2y|≤ ,
解得 ≤y≤3,当且仅当 时,等号成立.
故最大值及最小值分别为3与 .自我纠错 求函数的最值
【典例】已知实数x,y满足 =1,求x2+2y2
的最小值.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是构造柯西不等式的形式错误,以及忽视了等号成立的条件.【解析】由柯西不等式得x2+2y2=(x2+2y2)×1
=(x2+2y2)
当且仅当x2= y2时等号成立,
即x2= +1,y2= +1时,x2+2y2有最小值为3+2 .课件43张PPT。二 一般形式的柯西不等式【自主预习】
1.三维形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则(a12+a22+a32)(b12+b22+
b32)≥_______________,当且仅当_____________或存
在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时等号成立.(a1b1+a2b2+a3b3)2bi=0(i=1,2,3)2.一般形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,
则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)
≥__________________,当且仅当________________
或存在一个数k,使得ai=___(i=1,2,…,n)时,等号成立.(a1b1+a2b2+…+anbn)2bi=0(i=1,2,…,n)kbi【即时小测】
1.若a12+a22+a32=4,b12+b22+b32=9,则a1b1+a2b2+a3b3的最大值为 ( )
A.4 B.6 C.9 D.3【解析】选B.根据柯西不等式,知(a1b1+a2b2+a3b3)2
≤(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)=36，所以-6≤a1b1+a2b2
+ a3b3≤6.2.已知x,y,z,a∈R,且x2+4y2+z2=6,则使不等式
x+2y+3z≤a恒成立的a的最小值为 ( )
A.6 B. C.8 D. 【解析】选B.由x2+4y2+z2=6,利用柯西不等式可得
(x+2y+3z)2≤(x2+4y2+z2)(12+12+32)=66,故有
x+2y+3z≤ ,当且仅当 时,取等号.
再根据不等式x+2y+3z≤a恒成立,可得a≥ 3.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为_________.
【解析】因为(a2+4b2+9c2)(1+1+1)≥(a+2b+3c)2,
所以a2+4b2+9c2≥12.
答案:12【知识探究】
探究点 一般形式的柯西不等式
1.三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成
可以吗?
提示:不可以.因为若出现bi=0(i=1,2,3)的情况,则分
式不成立了,但是,可以利用分式的形式来形象地记忆.2.在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为ai=kbi(i=1,2,3,…,n),可以吗?
提示:不可以.若bi=0,而ai≠0,则k不存在.【归纳总结】
1.对柯西不等式一般形式的说明
一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广,其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结,左边是平方和的积,右边是积的和的平方.在使用时,关键是构造出符合柯西不等式的结构形式.2.等号成立的条件
ai=k·bi(i=1,2,…,n)或bi=0,即: = =…=
或b1=b2=…=bn=0.3.柯西不等式的两个变式
(1)设ai∈R,bi>0(i=1,2,…,n), ,
当且仅当bi=λai时等号成立.
(2)设ai,bi同号且不为0(i=1,2,…,n),则
≥ ,当且仅当bi=λai时,等号成立.类型一 利用柯西不等式证明不等式
【典例】已知a+b+c=1,且a,b,c是正数,求证:
【解题探究】本例不等式右边的9如何拆分才能运用
柯西不等式?
提示:9=(1+1+1)2.【证明】左边=[2(a+b+c)]· =
[(a+b)+(b+c)+(c+a)]· ≥
(1+1+1)2=9.
当且仅当a=b=c= 时,等号成立,所以,原不等式成立.【方法技巧】利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧
(1)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以巧拆常数.
(2)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以重新安排各项的次序.(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子的结构,从而达到使用柯西不等式的目的.
(4)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以添项.【变式训练】
1.已知a,b,c∈R+,求证:【证明】由柯西不等式知
所以原不等式成立.2.已知a1,a2,…,an都是正实数,且a1+a2+…+an=1,求证:【证明】左边=
=[(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an-1+an)+(an+a1)]× 【补偿训练】利用柯西不等式证明a2+b2+c2+d2≥
ab+bc+cd+da.(a,b,c,d是正数)
【证明】(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2)
≥(ab+bc+cd+da)2,
所以a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.类型二 利用柯西不等式求最值
【典例】已知a,b,c均为正数,且a+2b+4c=3.
求 的最小值.
【解题探究】本例中的题设条件如何转化为与所求式子的分母有关的形式?
提示:由a+2b+4c=3可得(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.【解析】因为a+2b+4c=3,所以(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.
因为a,b,c为正数,
所以[(a+1)+2(b+1)+4(c+1)]· 当且仅当(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2,等式成立.
故 的最小值为 .【延伸探究】
1.本例 取得最小值时a,b,c的值是
什么?【解析】由(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2及
(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10得2(c+1)+2 (c+1)
+4(c+1)=10,
所以 2.若本例条件不变,改为求
的最大值.【解析】由柯西不等式得
当且仅当a+1=2b+1=4c+1,即a=1,b= ,c= 时等号
成立,
所以 的最大值为3 .【方法技巧】利用柯西不等式求最值的方法技巧
利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数的最值问题,其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式的结构特征且出现常数结果,同时要注意等号成立的条件.【变式训练】1.设a,b,c为正数,a+2b+3c=13,则
的最大值为 ( )【解析】选C.根据柯西不等式,2.(2015·福建高考)已知a>0,b>0,c>0,函数
f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.
(1)求a+b+c的值.
(2)求 a2+ b2+c2的最小值.
【解题指南】利用绝对值三角不等式和柯西不等式求解.【解析】(1)因为f(x)=|x+a|+|x－b|+c≥|(x+a)－
(x－b)|+c=|a+b|+c,
当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.
又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,
所以f(x)的最小值为a+b+c,
又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c=4,
由柯西不等式得 (4+9+1)
≥ =(a+b+c)2=16,
即 a2+ b2+c2≥ ,当且仅当 ,
即 时等号成立,
故 a2+ b2+c2的最小值为 .自我纠错 求代数式的值
【典例】设x,y,z∈R,且满足:x2+y2+z2=1,
x+2y+3z= ,则x+y+z=_________.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是弄错了柯西不等式等号成立
的条件,实际上本题中柯西不等式等号成立的条件是
正确解答过程如下:【解析】由柯西不等式可知:
(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32),
当且仅当 时取等号,
此时y=2x,z=3x,x+2y+3z=14x= ,所以x= ,y= ,
z= ,
所以x+y+z= = .
答案: 课件45张PPT。三 排序不等式【自主预习】
1.顺序和、乱序和、反序和的概念
设有两个有序实数组:a1≤a2≤…≤an;b1≤b2≤…≤bn,
c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个排列.(1)顺序和:________________.
(2)乱序和:________________.
(3)反序和:_________________.a1b1+a2b2+…+anbna1c1+a2c2+…+ancna1bn+a2bn-1+…+anb12.排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,
…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则_________________
≤a1c1+a2c2+…+ancn≤________________,当且仅当
a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.a1bn+a2bn-1+…+anb1a1b1+a2b2+…+anbn【即时小测】
1.已知a,b,c∈R+,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系
是 ( )
A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2a B.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a
C.a3+b3+c3A.ax+cy+bz B.bx+ay+cz
C.bx+cy+az D.ax+by+cz
【解析】选D.因为a由排序不等式:反序和≤乱序和≤顺序和,
得:顺序和ax+by+cz最大.3.已知a,b,c≥0,且a2+b2+c2=3,则
的最大值是_________.
【解析】因为a,b,c≥0,
不妨设a≤b≤c,则a2≤b2≤c2,
则 当且仅当a=b=c时等号成立,又a2+b2+c2=3,
所以a=b=c=1,
于是 的最大值为3.
答案:3【知识探究】
探究点 排序不等式
1.使用排序不等式的关键是什么?
提示:使用排序不等式,关键是出现有大小顺序的两列数(或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系.2.已知两组数1,2,3和4,5,6,试检验它们的顺序和是
否最大?反序和是否最小?
提示:反序和S1=1×6+2×5+3×4=28,
乱序和S=1×4+2×6+3×5=31,
S=1×5+2×4+3×6=31,
S=1×5+2×6+3×4=29,S=1×6+2×4+3×5=29,
顺序和S2=1×4+2×5+3×6=32.
由以上计算知S1所以顺序和最大,反序和最小.【归纳总结】
1.对排序不等式的理解
排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的
问题,能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分
为三种形式:顺序和、反序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”,两种较为简单的是“顺与反”,而乱序和也就是不按“常理”的顺序了.2.排序不等式的本质
两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大,反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小.3.排序不等式取等号的条件
等号成立的条件是其中一序列为常数序列,即a1=a2=…=an或b1=b2=b3=…=bn.4.排序原理的思想
在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的量,
它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时,
我们可以利用排序原理的思想方法,将它们按一定顺序
排列起来,继而利用不等关系来解题.因此,对于排序原理,我们要记住的是处理问题的这种思想及方法,同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.类型一 利用排序不等式求最值
【典例】设a,b,c为任意正数,求
的最小值.【解题探究】本例中要利用排序原理求解最小值,关键是什么?
提示:关键是找出两组有序数组,然后根据反序和≤乱序和≤顺序和求解最小值.【解析】不妨设a≥b≥c,则a+b≥a+c≥b+c, ≥
≥ ,由排序不等式得,
+ + ≥ + +
+ + ≥ + + 上述两式相加得:
2 ( + + )≥3,即 + + ≥ .
当且仅当a=b=c时, + + 取最小值 .【方法技巧】利用排序原理求最值的方法技巧
求最小(大)值,往往所给式子是顺(反)序和式.然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理适当构造出一个或二个乱序和从而求出其最小(大)值.【变式训练】1.已知两组数1,2,3和4,5,6,若c1,c2,c3是4,5,6的一个排列,则1c1+2c2+3c3的最大值是_________,最小值是_________.
【解析】由反序和≤乱序和≤顺序和知,顺序和最大,反序和最小,故最大值为32;最小值为28.
答案:32 282.设0试求 的最小值.
【解析】令S= 由已知可得: 两式相加得:
所以S≥ 即 的最小值
为 类型二 利用排序不等式证明不等式
【典例】已知a,b,c都是正数,求证: 【解题探究】本例不等式的两端如何分别构造、变形?
提示:将右端 变形为
将左端 构造为 的形式.【证明】由于a,b,c的对称性,不妨设a≥b≥c>0,
则 ≥ ≥ .因而
又a5≥b5≥c5.
由排序不等式,得
≥ =又由不等式性质,知a2≥b2≥c2,
根据排序不等式,得
≥ = + + .
由不等式的传递性知
+ + ≤ = .【延伸探究】本例中若将要证明的不等式改为
如何证明呢?【证明】不妨设a≥b≥c,则 ,bc≤ca≤ab.
由排序原理,得
即 ≥a+b+c.
因为a,b,c为正数,所以abc>0,a+b+c>0,
所以 ≥abc.【方法技巧】利用排序不等式证明不等式的策略
(1)利用排序不等式证明不等式时,若已知条件中已给出两组量的大小关系,则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和.利用排序不等式证明即可.(2)在排序不等式的条件中,需要限定各数值的大小关系,如果对于它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时,我们要根据各字母在不等式中的地位的对称性将它们按一定顺序排列起来,进而用不等关系来解题.【变式训练】设x,y,z∈R+,且x+y+z=1,则P=
与1的大小关系为 ( )
A.P=1 B.P<1 C.P≥1 D.P≤1【解析】选C.由x,y,z∈R+且x+y+z=1,
不妨设x≥y≥z,则x2≥y2≥z2, .
由排序不等式
=x+y+z=1.
当且仅当x=y=z= 时等号成立,所以P≥1.【补偿训练】已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:
2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).【证明】取两组数a,b,c;a2,b2,c2.不管a,b,c的大小如何,a3+b3+c3都是顺序和,而a2b+b2c+c2a及a2c+b2a+c2b都是乱序和,因此,
a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a,
a3+b3+c3≥a2c+b2a+c2b.
所以2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).自我纠错 判断两数的大小
【典例】一般地,对于n个正数a1,a2,…,an.几何平均数
Gn= ,算术平均数An= ,利用排序
不等式判断Gn,An的大小关系.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是忽视了等号成立的条件.实际上本题当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.正确解答过程如下:【解析】令bi= (i=1,2,…,n),则b1b2…bn=1,
故可取x1,x2,…,xn>0,
使得b1= ,b2= ,…,bn-1= ,bn= .
由排序不等式有:b1+b2+…+bn= ≥
x1· +x2· +…+xn· =n,当且仅当x1=x2=…=xn时取等号,所以
≥n,即 ≥Gn.即An≥Gn.课件65张PPT。第四讲 用数学归纳法证明不等式
一 数学归纳法【自主预习】
1.数学归纳法的定义
一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的
所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:
(1)证明当____时命题成立.n=n0(2)假设当__________________时命题成立,证明______
时命题也成立.
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0
的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.n=k(k∈N+,且k≥n0)n=k+12.数学归纳法的步骤【即时小测】
1.下列四个判断中,正确的是 ( )
A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)当n=1时为1
B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)当n=1时为1+kC.式子 (n∈N*)当n=1时为
D.设f(n)= (n∈N*),则f(k+1)=【解析】选C.A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)当n=1时应为
1+k,故A不正确;B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)当n=1时
应为1,故B不正确;C.式子 (n∈N*)
当n=1时为 正确;
D.设f(n)= (n∈N*),则f(k+1)=
故D不正确.2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)
=2n·1·3·…·(2n-1)”,当“n从k到k+1”左端需
增乘的代数式为( )
A.2k+1 B.2(2k+1)【解析】选B.当n=k时,左端=(k+1)(k+2)(k+3)…(2k),
当n=k+1时,左端=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2),
故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为
=2(2k+1).【知识探究】
探究点 数学归纳法
1.数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?
提示:不一定.2.在用数学归纳法证明数学命题时,只有第一步或只有
第二步可以吗?为什么?
提示:不可以.这两个步骤缺一不可,只完成步骤①而缺
少步骤②,就作出判断可能得出不正确的结论.因为单
靠步骤①,无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否
正确,我们无法判定.同样,只有步骤②而缺少步骤①时,也可能得出不正确的结论,缺少步骤①这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤②也就没有意义了.【归纳总结】
1.数学归纳法的适用范围
数学归纳法可以证明与正整数有关的命题,但是,并不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明.2.数学归纳法中两步的作用
在数学归纳法中第一步“验证n=n0时命题成立”是奠基,是推理证明的基础,第二步是假设与递推,保证了推理的延续性.3.运用数学归纳法的关键
运用归纳假设是关键,在使用归纳假设时,应分析p(k)与p(k+1)的差异与联系,利用拆、添、并、放、缩等手段,或从归纳假设出发,从p(k+1)中分离出p(k)再进行局部调整.类型一 利用数学归纳法证明恒等式
【典例】已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1
(n≥2,n∈N+)
(1)求a2,a3.
(2)求证:an= 【解题探究】本例中当n=k+1时,ak+1与ak的关系式是什么?
提示:由an=3n-1+an-1可知ak+1=3k+ak.【解析】(1)由a1=1,得a2=3+1=4,a3=32+4=13.
(2)用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=1= ,所以命题成立.
②假设n=k(k∈N+,k≥1)时命题成立,即ak= ,
那么当n=k+1时,
ak+1=ak+3k= 即n=k+1时,命题也成立.
由①②知命题对n∈N+都成立.【方法技巧】利用数学归纳法证明恒等式的注意点
利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要准确表达n=n0时命题的形式,二是要准确把握由n=k到n=k+1时,命题结构的变化特点.并且一定要记住:在证明n=k+1成立时,必须使用归纳假设.【变式训练】1.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1
= a≠1,n∈N*”,在验证n=1成立时,左边计算
所得项是 ( )
A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
【解析】选C.因为n=1时,n+1=2,所以左边计算所得
项是1+a+a22.看下面的证明是否正确,如果不正确,指出错误的原
因,并加以改正.
用数学归纳法证明:
1-2+4-8+…+(-1)n-1·2n-1=(-1)n-1·
证明:(1)当n=1时,左边=1,右边= =1,等式成立.(2)假设n=k时,等式成立,即1-2+4-8+…+(-1)k-12k-1
=(-1)k-1·
则当n=k+1时,有
1-2+4-8+…+(-1)k-1·2k-1+(-1)k·2k这就是说,当n=k+1时,等式也成立.
由(1)与(2)知,对任意n∈N+等式成立.【解析】从上面的证明过程可以看出,是用数学归纳法证明等式成立.在第二步中,证n=k+1时没有用上假设,而是直接利用等比数列的求和公式,这是错误的.第二步正确证法应为:当n=k+1时,1-2+4-8+…+(-1)k-1·2k-1+(-1)k2k
=(-1)k-1· +(-1)k·2k
=-(-1)k· +(-1)k·2k+
=
即当n=k+1时,等式也成立.类型二 利用数学归纳法证明整除问题
【典例】设x∈N+,n∈N+,求证:xn+2+(x+1)2n+1能被x2+x+1整除.【解题探究】证明一个与n有关的式子f(n)能被另一个数m(或一个代数式g(m))整除的关键是什么?
提示:关键是找到f(k+1)与f(k)的关系,设法找到被除式中分解出的(x2+x+1).【证明】(1)当n=1时,x3+(x+1)3=[x+(x+1)]·[x2-x(x+1)+(x+1)2]=(2x+1)(x2+x+1),结论成立.
(2)假设n=k时,结论成立,即
xk+2+(x+1)2k+1能被x2+x+1整除,
那么当n=k+1时,x(k+1)+2+(x+1)2(k+1)+1=x·xk+2+(x+1)2(x+1)2k+1
=x[xk+2+(x+1)2k+1]+(x+1)2(x+1)2k+1-x(x+1)2k+1
=x[xk+2+(x+1)2k+1]+(x2+x+1)(x+1)2k+1.
由假设知,xk+2+(x+1)2k+1及x2+x+1均能被x2+x+1整除,故x(k+1)+2+(x+1)2(k+1)+1能被x2+x+1整除,即n=k+1时,结论也成立.
由(1)(2)知,原结论成立.【延伸探究】
1.若将本例中的代数式xn+2+(x+1)2n+1和x2+x+1分别改为42n+1+3n+2和13,如何证明?【证明】(1)当n=1时,42×1+1+31+2=91能被13整除.
(2)假设当n=k时,42k+1+3k+2能被13整除,则当n=k+1时,
42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3
=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)
因为42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除,所以当n=k+1时结论也成立.
由(1)(2)知,当n∈N*时,42n+1+3n+2能被13整除.2.若把本例改为求证:两个连续正整数的积能被2整除.
【证明】设n∈N+,则要证明n(n+1)能被2整除.
(1)当n=1时,1×(1+1)=2,能被2整除,即命题成立.(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,命题成立,即k·(k+1)能被2整除.
那么当n=k+1时,(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1),
由归纳假设知k(k+1)及2(k+1)都能被2整除.所以(k+1)(k+2)能被2整除.故n=k+1时命题也成立.
由(1)(2)可知,命题对一切n∈N+都成立.【方法技巧】用数学归纳法证明整除问题的关键点
(1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论,从而利用归纳假设使问题获证.(2)与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明,其中关键问题是从n=k+1时的表达式中分解出n=k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式.【变式训练】
1.用数学归纳法证明“n∈N*,n(n+1)(2n+1)能被6整除”时,某同学证法如下:
(1)n=1时1×2×3=6能被6整除,
所以n=1时命题成立.(2)假设n=k时成立,即k(k+1)(2k+1)能被6整除,那么n=k+1时,
(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(k+2)[k+(k+3)]
=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3).因为k,k+1,k+2和k+1,k+2,k+3分别是三个连续自然数.
所以其积能被6整除.故n=k+1时命题成立.
综合(1),(2),对一切n∈N*,n(n+1)(2n+1)能被6整除.
这种证明不是数学归纳法,主要原因是_________.【解析】由证明过程知,在证明当n=k+1命题成立的过程中,没有应用归纳假设,故不是数学归纳法.
答案:在证明当n=k+1命题成立的过程中没有应用归纳假设2.证明:62n-1+1能被7整除(n∈N+).
【证明】(1)当n=1时,62-1+1=7能被7整除.
(2)假设当n=k(k∈N+)时,62k-1+1能被7整除.
那么当n=k+1时,62(k+1)-1+1=62k-1+2+1
=36(62k-1+1)-35.因为62k-1+1能被7整除,35也能被7整除,
所以当n=k+1时,62(k+1)-1+1能被7整除.
由(1),(2)知命题成立.类型三 用数学归纳法证明几何问题
【典例】平面上有n(n∈N+,n≥2)条直线,其中任意
两条直线不平行,任意三条直线不过同一点,
求证:这n条直线共有f(n)= 个交点.【解题探究】本例中的初始值应该验证哪个值?
提示:题中的初始值验证应该结合题目中的n≥2,所以需要验证n=2.【证明】(1)当n=2时,两条不平行的直线共有1个交点,
而f(2)= =1,所以命题成立.
(2)假设当n=k(k≥2,且k∈N+)时命题成立,就是该平
面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)=
k(k-1),则当n=k+1时,任取其中一条直线记为l,如图,剩下的k条直线为l1,l2,…,lk.
由归纳假设知,它们之间的交点个数为f(k)= .由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点,
所以直线l与l1,l2,l3,…,lk的交点共有k个.
所以f(k+1)=f(k)+k=
所以当n=k+1时命题成立.
由(1)(2)可知,命题对一切n∈N+且n≥2都成立.【延伸探究】本例中若把条件“n≥2”删掉,其余不变,
你能证明这n条直线把平面分成f(n)= 个部分吗?【证明】(1)当n=1时,一条直线把平面分成两部分,
而f(1)= =2,所以命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即k条直线把平面
分成
f(k)= 个部分.则当n=k+1时,即增加一条直线l,因为任何两条直线都相交,所以l与k条直线都相交,有k个交点;又因为任何三条直线不共点,所以这k个交点不同于k条直线的交点,且k个交点也互不相同,如此k个交点把直线l分成(k+1)段,每一段把它所在的平面区域分成两部分,故新增加了(k+1)个部分.因为f(k+1)=f(k)+k+1= +k+1
= = ,
所以当n=k+1时,命题成立.
由(1)(2)可知,当n∈N+时,命题成立.【方法技巧】利用数学归纳法证明几何问题的技巧
(1)几何问题常常是先探索出满足条件的公式,然后加以证明,探索的方法是由特殊n=1,2,3,…,猜出一般结论.(2)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚n=k与n=k+1时二者的差异,这时常常借助于图形的直观性,然后用数学式子予以描述,建立起f(k)与f(k+1)之间的递推关系,实在分析不出的情况下,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明即可.(3)利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式,还要注意结论要有必要的文字说明.【变式训练】1.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1
边形的内角和f(k+1)=f(k)+ ( )
A. B.π
C.2π D. π
【解析】选B.由n=3到n=4知内角和增加π.2.已知n个圆中每两个圆相交于两点,且无三圆过同一点,用数学归纳法证明这n个圆把平面分成n2-n+2部分.
【证明】(1)当n=1时,1个圆把平面分成两部分,而2=12-1+2,所以当n=1时,命题成立.(2)假设n=k时,命题成立,即k个圆把平面分成k2-k+2部分.
当n=k+1时,平面上增加第k+1个圆,它与原来的k个圆中的每个圆都相交于两个不同点,共2k个交点,而这2k个交点把第k+1个圆分成2k段弧,每段弧把原来的区域隔成了两块区域,所以区域的块数增加了2k块.所以k+1个圆把平面划分的块数为
(k2-k+2)+2k=k2+k+2=(k+1)2-(k+1)+2,
所以当n=k+1时,命题也成立.
根据(1)(2)知,命题对n∈N+都成立.自我纠错 恒等式项数问题
【典例】设f(n)=1+ + +…+ (n∈N+),
求f(n+1)-f(n)的表达式.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是利用数学归纳法处理问题时,
弄错项数而致误.实际上在取第n+1项时,f(n+1)比f(n)
应增加了三项: + + .【解析】因为f(n)=1+ + +…+ ,
所以f(n+1)=1+ + +…+ + + + ,
所以f(n+1)-f(n)= + + .课件69张PPT。二 用数学归纳法证明不等式举例【自主预习】
贝努利(Bernoulli)不等式
如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,则有
___________.(1+x)n>1+nx【即时小测】
1.用数学归纳法证明不等式
成立,起始值至少应取为 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10【解析】选B.左边的和为 =2-21-n,当n=8时,
和为2-2-7> 2.用数学归纳法证明:
(n≥2,n∈N*)时第一步需要证明 ( )【解析】选C.用数学归纳法证明
(n≥2,n∈N*),
第一步应验证不等式为: 【知识探究】
探究点 贝努利不等式
1.在应用贝努利不等式时应注意什么?
提示:在应用贝努利不等式时要注意应用条件x>-1,且x≠0,n是大于1的自然数.2.在利用数学归纳法证明贝努利不等式时n的初始值应选什么?
提示:因为n为大于1的自然数,故n的初始值为2.【归纳总结】
1.贝努利不等式成立的两个条件
一是x的范围是x>-1且x≠0,x∈R.
二是n为大于1的自然数.2.贝努利不等式的推广
当指数n推广到任意实数α时,x>-1时,
①若0<α<1,则(1+x)α≤1+αx;
②若α<0或α>1,则(1+x)α≥1+αx.
当且仅当x=0时等号成立.类型一 用数学归纳法证明有关函数中的不等关系
【典例】已知f(x)= .对于n∈N+,试比较
f( )与 的大小并说明理由.【解题探究】解答本例的解题方向是什么?
提示:先通过n取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向,再用数学归纳法证明.【解析】根据题意f(x)=
所以要比较f( )与 的大小,只需比较2n与n2
的大小即可,当n=1时,21=2>12=1,
当n=2时,22=4=22,
当n=3时,23=8<32=9,
当n=4时,24=16=42,
当n=5时,25=32>52=25,
当n=6时,26=64>62=36.故猜测当n≥5(n∈N+)时,2n>n2,
下面用数学归纳法加以证明.
(1)当n=5时,2n>n2显然成立.
(2)假设n=k(k≥5,且k∈N+)时,不等式2n>n2成立,
即2k>k2(k≥5),则当n=k+1时,2k+1=2·2k>2·k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2-
2>(k+1)2(因为(k-1)2>2).
由(1)(2)可知,对一切n≥5,n∈N+,2n>n2成立.
综上所述,当n=1或n≥5时,f( )> ;
当n=2或n=4时,f( )= ;
当n=3时,f( )< .【方法技巧】利用数学归纳法解决比较大小问题的方法
利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.【变式训练】1.设f(x)是定义在正整数集上的函数,
且f(x)满足:当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)
≥(k+1)2成立.那么下列命题总成立的是 ( )A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立
C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立【解析】选D.根据题中条件可知:由f(k)≥k2,必能推得f(k+1)≥(k+1)2,但反之不成立,因为D中f(4)=25>42,故可推得k≥4时,f(k)≥k2,故只有D正确.2.(2016·淮南高二检测)已知函数f(x)= (其中e
为自然对数的底数).证明:当x>0时,对任意正整数n都
有f 0时,f(x)= ,
所以f =x2e-x
考虑到:x>0时,不等式f x2e-x所以只要用数学归纳法证明不等式(*)对一切n∈N+
都成立即可.(1)当n=1时,设g(x)=ex-x(x>0).
因为x>0时,g′(x)=ex-1>0,
所以g(x)在(0,+∞)上是增函数,
故g(x)>g(0)=1>0,
即ex>x(x>0),
所以,当n=1时,不等式(*)成立.(2)假设n=k(k∈N+)时,不等式(*)成立,
即xk当n=k+1时,设h(x)=(k+1)!·ex-xk+1(x>0),
有h′(x)=(k+1)!·ex-(k+1)xk
=(k+1)(k!·ex-xk)>0,故h(x)=(k+1)!·ex-xk+1(x>0)为增函数,
所以h(x)>h(0)=(k+1)!>0,
即xk+1<(k+1)!·ex,
这说明当n=k+1时不等式(*)也成立,
根据(1)(2)可知不等式(*)对一切n∈N*都成立,
故原不等式对一切n∈N+都成立.类型二 数学归纳法证明不等式
【典例】已知Sn= (n>1,n∈N+),求证:
(n≥2,n∈N+).【解题探究】本例能否先求Sn,再证明不等式?
提示:不能.若先求Sn再证明会比较困难.【证明】(1)当n=2时,S4=
即当n=2时命题成立.
(2)假设n=k(k≥2,n∈N+)时命题成立,
即
当n=k+1时,故当n=k+1时,命题也成立.
由(1)(2)知,对n∈N+,n≥2, 都成立.【延伸探究】
1.将本例中所要证明的不等式改为:
(n≥2,n∈N+),如何证明?【证明】(1)当n=2时,左边=
因为
所以左边>右边,原不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,
即
则当n=k+1时,左边= 所以,当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)和(2)可知,对n≥2,且n∈N+,不等式都成立.2.若在本例中,条件变为“设f(n)=
(n∈N+),由f(1)=1> ,f(3)>1,f(7)> ,
f(15)>2,…”.试问:f(2n-1)与 大小关系如何?
试猜想并加以证明.【解析】数列1,3,7,15,…,通项公式为an=2n-1,数
列 ,1, ,2,…通项公式为an= ,
所以猜想:f(2n-1)> .下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,f(21-1)=f(1)=1> ,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即f(2k-1)> ,
则f(2k+1-1)=f(2k-1)+ 所以当n=k+1时,不等式也成立.
据(1),(2)知对任何n∈N+原不等式均成立.【方法技巧】用数学归纳法证明不等式的技巧
(1)证明不等式时,由n=k到n=k+1时的推证过程与证明等式有所不同,由于不等式中的不等关系,需要我们在证明时,对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n=k时的假设,所以需要认真分析,适当放缩,才能使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等,才能完成证明过程.【变式训练】1.已知f(n)=1+ + +…+ (n∈N*),
经计算得:f(4)>2,f(8)> f(16)>3,f(32)>
…
观察上述结论,可归纳出一般结论为_________.【解析】将已知计算结果变形为
归纳结论为f(2n)>
答案:f(2n)> 2.证明: (n∈N+,n≥2).
【证明】(1)当n=2时,左边=1+ ,右边=
2- ,由于 ,故不等式成立.(2)假设n=k(k∈N+,k≥2)时命题成立,即
则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.
由(1),(2)知,原不等式对一切n∈N+,n≥2都成立.【补偿训练】数列{an}中,a1=1,an+1=1+ 求证:
当n≥2且n∈N+时,
【证明】(1)当n=2时,a2=1+1=2,且
不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时,有
则当n=k+1时,ak+1=
(分析法证明)要证
只需证ak< 即ak< (由假设可知成立),所以
由(1)(2)知,当n≥2,且n∈N+时,
成立.类型三 利用数学归纳法证明数列不等式
【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足
a1= ,an+2SnSn-1=0(n≥2).
(1)判断 是否为等差数列,并证明你的结论.
(2)证明 (n≥1且n∈N+).【解题探究】本例中an与Sn的关系式是什么?
提示:当n≥2时,an=Sn-Sn-1.【解析】(1) 是等差数列,证明如下:
S1=a1= ,所以 =2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,即Sn-Sn-1=-2SnSn-1.
所以 =2.故 是以2为首项,2为公差的
等差数列.(2)①当n=1时, ,不等式成立.
②假设n=k(k≥1)时,不等式成立,
即 成立,
则当n=k+1时, 即当n=k+1时,不等式成立.
由①,②可知对任意n∈N+不等式都成立.【延伸探究】本例中若将“an+2SnSn-1=0(n≥2)”改为
“an+1= (n∈N+)”,那么数列{a2n}的单调性怎样?
证明你的结论.【解析】由a1= ,an+1= ,得a2= ,a4= ,a6= .
由a2>a4>a6,猜想:数列{a2n}是递减数列.
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,已证命题成立.
(2)假设n=k(k≥1)时命题成立,即a2k>a2k+2,易知an>0,那么:
即a2(k+1)>a2(k+1)+2
也就是说,当n=k+1时,命题也成立.
综上(1)(2)可知,命题成立.【方法技巧】求解数学归纳法与数列的综合问题的策略
(1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识,这是解决这类问题的基础.(2)这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关,有时要证明的式子是直接给出,有时是根据条件从前几项入手,通过观察、猜想,归纳出一个式子,然后再用数学归纳法证明.【变式训练】1.(2014·赣榆县校级期末)已知f(n)=
(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>
时,f(2k+1)-f(2k)等于_________.【解析】因为假设n=k时,f(2k)=
当n=k+1时,f(2k+1)=
所以f(2k+1)-f(2k)=
答案: 2.已知数列 …,Sn为该
数列的前n项和,计算得
观察上述结果,推测出Sn(n∈N+),并用数学归纳法加
以证明.【解析】推测Sn= (n∈N+).
用数学归纳法证明如下:
(1)当n=1时,S1= ,等式成立;
(2)假设当n=k时等式成立,即Sk= ,
那么当n=k+1时,Sk+1=Sk+ 也就是说,当n=k+1时,等式也成立.
根据(1)和(2),可知一切n∈N+,等式均成立.自我纠错 用数学归纳法证明不等式
【典例】用数学归纳法证明:
(其中n∈N*).【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是证明过程中从n=k到n=k+1的证明错误.正确解答过程如下:【证明】(1)当n=1时,1<2成立.
(2)假设当n=k时不等式成立,即
成立,
那么,当n=k+1时,即当n=k+1时,不等式也成立.
综合上述,由(1)(2)知对任意正整数n,不等式
都成立.课件43张PPT。第一课
不等式和绝对值不等式【网络体系】 【核心速填】
1.不等式的基本性质
(1)对称性:a>b?____.
(2)传递性:a>b,b>c?____.
(3)加(减):a>b?________.
(4)乘(除):a>b,c>0?______;a>b,c<0?______.bca+c>b+cac>bcacb>0?_____,n∈N*,且n≥2.
(6)开方:a>b>0?_________,n∈N*,且n≥2.an>bn2.基本不等式
(1)定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥____(当且仅当a=b
时,等号成立).
(2)定理2:如果a,b>0,那么 ≥____(当且仅当a=b
时,等号成立).2ab(3)引理:如果a,b,c∈R+,那么a3+b3+c3≥_____(当且
仅当a=b=c时,等号成立).
(4)定理3:如果a,b,c∈R+,那么 ≥____(当且
仅当a=b=c时,等号成立).
(5)推论:如果a1,a2…an∈R+,那么 ≥
_________(当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立).3abc3.绝对值三角不等式
(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的_____,
|a-b|的几何意义表示数轴上两点间的_____.
(2)|a+b|≤________(a,b∈R,ab≥0时等号成立).
(3)______≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0
时等号成立).距离距离|a|+|b||a-c|(4)||a|-|b||≤|a+b|≤________(a,b∈R,左边“=”
成立的条件是ab≤0,右边“=”成立的条件是ab≥0).
(5)__________≤|a-b|≤|a|+|b|(a,b∈R,左边“=”
成立的条件是ab≥0,右边“=”成立的条件是ab≤0).|a|+|b|||a|-|b||【易错警示】
1.关注不等式性质的条件
(1)要注意不等式的等价性.
(2)应用不等式时,要注意不等式成立的条件.2.基本不等式求最值时的关注点
要注意考虑所给式子是否满足“一正,二定,三相等”的要求.
3.解绝对值不等式的关注点
由绝对值不等式转化为不含绝对值不等式时,要注意转化的等价性,特别是平方时,两边应均为非负数.类型一 不等式的基本性质的应用
【典例1】已知:a>b>0,c<0,求证:
【证明】 ,因为a>b>0,c<0,
所以c(b-a)>0,ab>0,
所以 >0,所以 【方法技巧】不等式的基本性质应用的注意点
(1)注意不等式成立的条件,若弱化或强化了条件都可能得出错误的结论.
(2)注意明确各步推理的依据,以防出现解题失误.【变式训练】1.若a,b是任意实数,且a>b,则( )
A.a2>b2 B. <1
C.lg(a-b)>0 D.
【解析】选D.因为y= 是减函数,
所以a>b? 2.“x>0”是“x+ ≥2”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当x>0时, =2,因为x,
同号,所以当x+ ≥2时,则x>0, >0,所以x>0.3.已知:x>y>0,m>n>0求证:
【证明】因为m>n>0,所以 >0,
因为x>y>0,
所以 >0,
所以 类型二 基本不等式的应用
【典例2】(1)x,y,z∈R+,x-2y+3z=0,求 的最小值.
(2)若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证:【解析】(1)由x-2y+3z=0,得y= ,
则
当且仅当x=3z时,等号成立.(2)因为a,b,c∈R+且a+b+c=1,
所以2=(a+b)+(b+c)+(c+a)
所以[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·
所以【方法技巧】利用基本不等式求最值问题的类型
(1)和为定值时,积有最大值.
(2)积为定值时,和有最小值.
在具体应用基本不等式解题时,一定要注意适用的范围和条件:“一正、二定、三相等”.【变式训练】1.已知x∈R+,则函数y=x2·(1-x)的
最大值为_________.
【解析】y=x2(1-x)=x·x(1-x)
=x·x·(2-2x)× 当且仅当x=2-2x,即x= 时取等号.
此时,ymax= .
答案: 2.求函数y= 的最小值.
【解析】y= +2+2tan2α
=3+ +2tan2α≥3+2 =3+2 .
当且仅当2tan2α=
即tanα= 时,等号成立.所以ymin=3+2 .类型三 绝对值不等式的解法
【典例3】解关于x的不等式|2x-1|<|x|+1.
【解析】当x<0时,原不等式可化为-2x+1<-x+1,
解得x>0,又x<0,故x不存在.
当0≤x< 时,原不等式可化为 得 所以0当x≥ 时,原不等式可化为
得 ≤x<2.
综上,原不等式的解集为{x|0(1)|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).
(2)|f(x)|(3)|f(x)|>g(x)?[f(x)]2>[g(x)]2.(4)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型:
①零点分段讨论法;
②利用|x-a|的几何意义法;
③在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象.【变式训练】1.解不等式|x+1|>|x-3|.
【解析】方法一:由|x+1|>|x-3|两边平方得(x+1)2>(x-3)2,所以8x>8,所以x>1,所以原不等式的解集为{x|x>1}.方法二:当x≤-1时,有-x-1>-x+3,此时x无解;
当-1-x+3,即x>1,
所以此时1当x>3时,有x+1>x-3成立,所以x>3.
所以原不等式解集为{x|x>1}.2.已知函数f(x)=|2x+1|-|x|-2.
(1)解不等式f(x)≥0.
(2)若存在实数x,使得f(x)≤|x|+a,求实数a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)=|2x+1|-|x|-2当x<- 时,由-x-3≥0,可得x≤-3,
当- ≤x<0时,由3x-1≥0,求得x∈?,
当x≥0时,由x-1≥0,求得x≥1.
综上可得,不等式的解集为{x|x≤-3或x≥1}.(2)f(x)≤|x|+a,即 ①,
由题意可得,不等式①有解,
由于 -|x|表示数轴上的x点到- 点的距离减
去它到原点的距离,故
故有 解得a≥-3.类型四 绝对值不等式的恒成立问题
【典例4】(2016·衡阳高二检测)设函数f(x)=
|2x-a|+|2x+1|(a>0),g(x)=x+2.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≤g(x)的解集.
(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≤g(x),
即|2x-1|+|2x+1|≤x+2,解①求得x无解,解②求得0≤x<
解③求得
综上,不等式的解集为 (2)由题意可得|2x-a|+|2x+1|≥x+2恒成立,
转化为|2x-a|+|2x+1|-x-2≥0恒成立,
令h(x)=|2x-a|+|2x+1|-x-2=易得h(x)的最小值为 -1,令 -1≥0,解得a≥2.【方法技巧】对于恒成立不等式求参数范围问题的常见类型及其解法
(1)分离参数法:运用“f(x)≤a?f(x)max≤a,f(x)≥a?f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.(2)更换主元法:不少含参数的不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.
(3)数形结合法:在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可直观地解决问题.【变式训练】1.若不等式|x-a|+|x-2|≥1对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】设y=|x-a|+|x-2|,则ymin=|a-2|
因为不等式|x-a|+|x-2|≥1对任意x恒成立,
所以|a-2|≥1,解得a≥3或a≤1.2.(2016·南昌高二检测)已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.
(1)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x).
(2)若存在x∈R,使得f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=0时,由f(x)≥g(x)得|2x+1|≥|x|,
两边平方整理得3x2+4x+1≥0,
解得x≤-1或x≥- ,
所以原不等式的解集为(-∞,-1]∪ (2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x+1|-|x|,
令h(x)=|2x+1|-|x|,即h(x)=
故h(x)min= ,故可得到实数a的范围为 课件63张PPT。第三课
柯西不等式、
排序不等式与数学归纳法【网络体系】 【核心速填】
1.二维形式的柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式:_____________________
_______________________.若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(2)柯西不等式的向量形式:_____________________
_____________________.当且仅当 是零向量,或存
在实数k,使 =k 时,等号成立.设 是两个向量,则| |·| || · |≤ (3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么
________________________________________ 2.一般形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则
________________________________________________.
当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi
(i=1,2,…,n)时,等号成立.(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)23.排序不等式
设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,
c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则
a1bn+a2bn-1+…+anb1≤________________
≤a1b1+a2b2+…+anbn.a1c1+a2c2+…+ancn4.数学归纳法
一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的
所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:
(1)证明当____时,命题成立.
(2)假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时,命题成立.证明
______时,命题也成立.n=n0n=k+1【易错警示】
关注数学归纳法应用时常出现的三个错误
(1)对假设设而不用.
(2)机械套用数学归纳法中的两个步骤致误.
(3)没有搞清从k到k+1的跨度.＜1- ＜ .类型一 利用柯西不等式证明不等式
【典例1】若n是不小于2的正整数,求证:【证明】1-
所以求证式等价于 < < .由柯西不等式,有
[(n+1)+(n+2)+…+2n]>n2,
于是
> = =
≥ = .＜1- ＜ .又由柯西不等式,有
所以【方法技巧】利用柯西不等式证题的技巧
(1)柯西不等式的一般形式为(a12+a22+…+an2)·(b12+
b22+…+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2(ai,bi∈R,i=1,
2,…,n),形式简洁、美观、对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解.(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数,并向着柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意体会.【变式训练】1.设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:【解题指南】利用柯西不等式的向量形式,目标式的左
边应是两个向量的数量积.由于变量a,b,c的系数都相
等,由整体性可构造向量m=( ),
n=(1,1,1),利用|m·n|≤|m||n|可得证.【证明】令m=( ),n=(1,1,1),则
m·n=
而|m|=
又|n|= ,由|m·n|≤|m||n|,得
所以
当且仅当a=b=c=1时,等号成立.2.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.
(1)求证:
(2)求 的最小值.【解析】(1)根据柯西不等式,得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)]
≥(5x+4y+3z)2,
因为5x+4y+3z=10,
所以 (2)根据基本不等式,得
当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.
根据柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,
即x2+y2+z2≥2,当且仅当 时,等号成立.
综上, ≥2×32=18.类型二 利用排序不等式证明不等式
【典例2】设A,B,C表示△ABC的三个内角的弧度
数,a,b,c表示其对边,求证: 【证明】方法一:不妨设A>B>C,则有a>b>c
由排序原理:顺序和≥乱序和
所以aA+bB+cC≥aB+bC+cA
aA+bB+cC≥aC+bA+cB
aA+bB+cC=aA+bB+cC上述三式相加得
3(aA+bB+cC)≥(A+B+C)(a+b+c)=π(a+b+c)
所以 方法二:不妨设A>B>C,则有a>b>c,
由排序不等式
即aA+bB+cC≥ (a+b+c),
所以 【延伸探究】在本例条件下,你能证明
吗?【证明】能.由00+c(A+B-C)=a(π-2A)+b(π-2B)+c(π-2C)=(a+b+c)π-
2(aA+bB+cC).
得 【方法技巧】利用排序不等式证明不等式的策略
(1)在利用排序不等式证明不等式时,首先考虑构造出两个合适的有序数组,并能根据需要进行恰当地组合.这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择.(2)根据排序不等式的特点,与多变量间的大小顺序有关的不等式问题,利用排序不等式解决往往很简捷.【变式训练】若a1≤a2≤…≤an,而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn,证明:
当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,等号成立.【证明】不妨设a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn.
则由排序原理得:
a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b1+a2b2+…+anbn
a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b2+a2b3+…+anb1
a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b3+a2b4+…+an-1b1+anb2
……a1b1+a2b2+…+anbn≤a1bn+a2b1+…+anbn-1.
将上述n个式子相加,得:n(a1b1+a2b2+…+anbn)
≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)
上式两边除以n2,得
等号当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时成立.类型三 利用柯西不等式和排序不等式求最值
【典例3】(1)已知实数x,y,z满足x2+2y2+3z2=3,求
u=x+2y+3z的最小值和最大值.
(2)设a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整数,求M=
a1+ 的最小值.【解析】(1)因为(x+2y+3z)2
=(x·1+ y· + z· )2
≤[x2+( y)2+( z)2]·[12+( )2+( )2]
=(x2+2y2+3z2)(1+2+3)=18.当且仅当 ,即x=y=z时,等号成立.
所以-3 ≤x+2y+3z≤3 ,
即u的最小值为-3 ,最大值为3 .(2)设b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a4,a5的一个排列,且b1因此b1≥1,b2≥2,b3≥3,b4≥4,b5≥5.
又1≥
由排序不等式,得即M的最小值为 【方法技巧】利用柯西或排序不等式求最值的技巧
(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定,其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理.在这类题目中,利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易.(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时,要关注等号成立的条件,不能忽略.【变式训练】1.设x1,x2,x3,x4是2,3,4,5的任一排列,则2x1+3x2+4x3+5x4的最小值是_________.
【解析】反序和最小,即最小值为2×5+3×4+4×3+5×2=44.
答案:442.已知|x|≤1,|y|≤1,试求x +y 的
最大值.
【解析】由柯西不等式得x +y
当且仅当xy=
即x2+y2=1时,等号成立,所以x +y
的最大值为1.类型四 用数学归纳法证明恒等式
【典例4】用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(2n-1)2 -(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).【证明】(1)当n=1时,
左边=12-22=-3,
右边=-1×(2×1+1)=-3,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),则当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-[2(k+1)]2
=-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2
=-2k2-5k-3
=-(k+1)(2k+3)
=-(k+1)[2(k+1)+1],即当n=k+1时,等式成立.
由(1)(2)可知,对任何n∈N+,等式都成立.【方法技巧】利用数学归纳法证明恒等式的方法
用数学归纳法证明恒等式的关键是证明n=k+1时命题成立,从n=k+1的待证目标恒等式的一端“拼凑”出归纳假设的恒等式的一端,再运用归纳假设即可.同时应注意目标恒等式另一端的变化(即用k+1代替恒等式中的n).【变式训练】1.用数学归纳法证明:
(n∈N+).
【证明】(1)当n=1时,左边=1- ,右边=
,等式成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即
当n=k+1时,所以当n=k+1时,等式也成立.
由(1)(2)可知,对于任意n∈N+等式都成立.2.是否存在常数a,b,使得2+4+6+…+(2n)=an2+bn对一切n∈N+恒成立?若存在,求出a,b的值,并用数学归纳法证明,若不存在,说明理由.【解析】取n=1和2,
即2+4+6+…+(2n)=n2+n.
以下用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,已证.(2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时等式成立,
即2+4+6+…+(2k)=k2+k,
那么,当n=k+1时有2+4+6+…+(2k)+(2k+2)
=k2+k+(2k+2)
=(k2+2k+1)+(k+1)=(k+1)2+(k+1),即当n=k+1时等式成立.
根据(1)(2)知,存在 使得对任意n∈N+,
等式都成立.类型五 利用数学归纳法证明不等式
【典例5】设a,b为正实数,n∈N+.求证:【证明】(1)当n=1时, 显然成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,
即
要证明n=k+1时,不等式成立,即证明: 在 的两边同时乘以 得
要证明
只需证明
因为 ?2(ak+1+bk+1)≥(a+b)(ak+bk)
?2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1)≥0
?ak+1-abk-bak+bk+1≥0?(a-b)(ak-bk)≥0.
又a-b与(ak-bk)同正负(或同时为0),
所以最后一个不等式显然成立,这就证明了当n=k+1时,不等式成立.
综合(1)(2)可知,对任何n∈N+,不等式恒成立.【方法技巧】利用数学归纳法证明不等式的关键
应用数学归纳法证明不等式的关键是在运用归纳假设时,应分析p(k)与p(k+1)的差异及联系,利用拆、添、并、放等手段,从p(k+1)中分离出p(k),再进行局部调整,也可考虑寻求二者的结合点,以便顺利过渡,利用归纳假设,经过适当放缩、恒等变形,得到结论需要的形式.【变式训练】求证:
(n∈N+).
【证明】(1)当n=1时, ,不等式成立.
(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,
即 当n=k+1时,
因此,欲证明n=k+1时,原不等式成立,
只需证明 成立.
即证明 可以转化为证明
也就是证明
而
=k2+3k+2-[2k+1+2 ]
=k2+k+1-2 =[ -1]2>0,于是有 成立.
所以当n=k+1时,原不等式也成立.
由(1),(2)可知,当n∈N+时,原不等式都成立.课件39张PPT。第二课
证明不等式的基本方法【网络体系】【核心速填】
1.比较法
(1)作差比较法的依据:
若a,b∈R,则______?a>b;a-b=0?a=b;______?a(2)作商比较法的依据:
若a>0,b>0,则_____?a>b; =1?a=b;_____?a0a-b<0(3)比较法的步骤:作差(商)→变形→判符号(与0(或1)比较大小)→结论.2.综合法
推证过程:
3.分析法
推证过程: 4.反证法
反设→推理→矛盾→结论.
5.放缩法
分析待证式的形式特点,适当放大或缩小.【易错警示】
(1)利用比较法证明不等式时,最后变形的结果要容易判断其符号,即变形为一个常数,或变形为若干个因式的乘积,或变形为一个或几个平方的和等.(2)用分析法证明不等式时,一定要注意用好反推符号,或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.
(3)用放缩法时,放缩要得当,不能“过大”也不能“过小”.类型一 比较法证明不等式
【典例1】设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
【证明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2)
=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(a-b)(3a2-2b2).
因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0.
从而(3a2-2b2)(a-b)≥0,故3a3+2b3≥3a2b+2ab2成立.【方法技巧】比较法证明不等式的依据及步骤
(1)依据:不等式的意义及实数比较大小的充要条件.
(2)一般步骤:
①作差;
②恒等变形;
③判断结果的符号;④下结论.
其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形.【变式训练】1.(2016·南阳高二检测)已知a,b是正实数,n是正整数.
求证:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).
【证明】(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)
=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=abn+anb-an+1-bn+1
=a(bn-an)+b(an-bn)=(a-b)(bn-an).当a>b>0时,bn-an<0,a-b>0,此时(a-b)(bn-an)<0;
当b>a>0时,bn-an>0,a-b<0,
此时(a-b)(bn-an)<0;
当a=b>0时,bn-an=0,a-b=0,此时(a-b)(bn-an)=0.
综上所述:(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)≤0.
即(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).2.(2016·福州高二检测)已知α∈(0,π),
求证:2sin2α≤ 【证明】2sin2α- =4sinαcosα-
因为α∈(0,π),所以sinα>0,1-cosα>0,
又(2cosα-1)2≥0,所以2sin2α- ≤0,
所以2sin2α≤ .类型二 综合法证明不等式
【典例2】已知a>0,a2-2ab+c2=0且bc>a2,试证明:b>c.
【证明】因为a2-2ab+c2=0,所以a2+c2=2ab.
又a2+c2≥2ac,且a>0,所以2ab≥2ac,所以b≥c.
若b=c,由a2-2ab+c2=0,得a2-2ab+b2=0,所以a=b.
从而a=b=c,这与bc>a2矛盾.从而b>c.【方法技巧】综合法证明不等式的依据、注意点及思考方向
(1)依据:已知的不等式以及逻辑推证的基本理论.(2)注意点:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避免错误,如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中“当且仅当……时,取等号”的理由要理解掌握.(3)思考方向:综合法证明不等式的思考方向是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的不等式成立.【变式训练】1.(2016·昆明高二检测)已知a,b是不相等的正实数,求证:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)>9a2b2.
【解题指南】因为a,b是不相等的正实数,所以a2b+a+b2及ab2+a2+b均可用三正数的均值不等式,从而用综合法可证明.【证明】因为a,b是正实数,
所以a2b+a+b2≥3 =3ab>0,
(当且仅当a2b=a=b2即a=b=1时,等号成立);
同理:ab2+a2+b≥3 =3ab>0,
(当且仅当ab2=a2=b即a=b=1时,等号成立);所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)≥9a2b2,
(当且仅当a=b=1时,等号成立);
因为a≠b,所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)>9a2b2.2.若a,b,c都是正数,能确定 与
的大小吗?
【解析】能确定,因为a,b,c都是正数,
+(b+c)≥4a, +(a+c)≥4b, +(a+b)≥4c,
所以 ≥2(a+b+c),
所以类型三 分析法证明不等式
【典例3】设a,b,c均为大于1的正数,且ab=10.求证:
logac+logbc≥4lgc.【证明】由于a>1,b>1,故要证明logac+logbc≥4lgc,
只要证明 ≥4lgc.
又c>1,故lgc>0,所以只要证 ≥4即 ≥4,
因ab=10,故lga+lgb=1,只要证明 ≥4.(*)由a>1,b>1,故lga>0,lgb>0,
所以0即(*)式成立.所以,原不等式logac+logbc≥4lgc得证.【方法技巧】分析法证明不等式的依据,思维方向及适用方法
(1)依据:分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.(2)思维方向:分析法证明不等式的思维方向是“逆推”,即由待证的不等式出发,逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因),最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.(3)适用方法:当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.【变式训练】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数y=f(x+1)
与f(x)的图象关于y轴对称,求证: 为偶函数.【证明】要证 为偶函数,只需证明其对称轴
为x=0,
即只需证 =0,只要证a=-b,由已知,抛物线f(x+1)
的对称轴x= -1与对称轴x= 关于y轴对称,
所以 -1= ,所以a=-b,所以 为偶函数.类型四 反证法与放缩法证明不等式
【典例4】已知0【解析】假设x(2-y)>1,y(2-z)>1,z(2-x)>1均成立.
则三式相乘有:xyz(2-x)(2-y)(2-z)>1,…①由于0所以三式相乘得0②与①矛盾,故假设不成立.所以x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于1.【方法技巧】
1.反证法
先假设要证明的结论是不正确的,然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析,得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而原来的命题结论正确.2.放缩法
将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小),使不等式由繁化简,达到证明的目的.【变式训练】1.对于任何大于1的自然数n,证明:
【证明】设a>b>0,m>0,则
所以 所以
所以 2.设Sn= 求证:不等式
对所有的正整数n都成立.【证明】因为
且
所以 对所有的正整数n都成立.