课时提升作业
六
参数方程的概念、圆的参数方程
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.(2016·太原高二检测)下列点在方程(θ为参数)所表示的曲线上的是 ( )
A.(2,7)
B.
C.
D.(1,-1)
【解析】选D.由方程(θ为参数),令x=sin2θ=1,得θ=+kπ,k∈Z,y=cos2θ=-1.
2.若P(2,-1)为圆O′:(0≤θ<2π)的弦的中点,则该弦所在直线l的方程是 ( )
A.x-y-3=0
B.x+2y=0
C.x+y-1=0
D.2x-y-5=0
【解题指南】根据圆O′的参数方程求出点O′的坐标,
则kl=-.
【解析】选A.因为圆心为O′(1,0),所以kPO′=-1,所以kl=1.所以直线l的方程为x-y-3=0.
3.(2016·衡水高二检测)设曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为3x-4y=0,则曲线C上到直线l距离为1的点的个数为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.曲线C:(θ为参数)的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,圆心(2,-1)到直线l:3x-4y=0的距离为d=2,则曲线C上到直线l距离为1的点的个数为3.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.圆心在点(-1,2),半径为5的圆的参数方程为________.
【解析】圆心在点C(a,b),半径为r的圆的参数方程为
(θ∈[0,2π))
答案:(θ∈[0,2π))
5.若点(-3,-3)在参数方程(θ为参数)的曲线上,则θ=________.
【解析】将点(-3,-3)的坐标代入参数方程(θ为参数)得
解得θ=+2kπ,k∈Z.
答案:θ=+2kπ,k∈Z
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,求|AB|.
【解析】极坐标方程为ρcosθ=4的直线为x=4,
所以x=t2=4,
解得t=±2,又y=t3,
所以直线与曲线(t为参数)的两个交点A,B的坐标分别为(4,-8),(4,8),故|AB|=16.
7.将参数方程(t为参数,0≤t≤π)化为普通方程,并说明方程表示的曲线形状.
【解析】因为0≤t≤π,所以-3≤x≤5,-2≤y≤2.
所以(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16,
所以曲线的普通方程为
(x-1)2+(y+2)2=16(-3≤x≤5,-2≤y≤2).
它表示的曲线是以(1,-2)为圆心,4为半径的上半圆.
【误区警示】本题若忽略了参数t的取值范围,在参数方程化为普通方程时,容易错误判断曲线表示以(1,-2)为圆心,4为半径的圆.
8.已知两点P(-2,2),Q(0,2)及一条直线l:y=x,设长为的线段AB在l上运动(A在B的左下方),求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.
【解题指南】作为求轨迹方程的问题,由于直接求普通方程较为困难,故用参数方程求解.
【解析】设A(t,t),B(t+1,t+1),PA与QB的斜率为k1,k2,则k1=,k2=,
从而t==,
所以1+3k1-3k2-k1k2=0,
设点M(x,y),则k1=,k2=,
代入整理有x2-y2+2x-2y+8=0.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·福州高二检测)圆心在点(-1,2),半径为3的圆的参数方程为( )
A.(0≤θ<2π)
B.(0≤θ<2π)
C.(0≤θ<π)
D.(0≤θ<2π)
【解析】选D.圆心在点C(-1,2),半径为3的圆的参数方程为(θ∈[0,2π)).
2.以下参数方程表示y轴的是 ( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(θ为参数)
D.(t为参数)
【解析】选B.参数方程(t为参数)满足表示y轴.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.将参数方程(θ为参数)化为普通方程为________.
【解题指南】注意参数的取值范围,进行等价转化,即两种方程必须是同解方程.
【解析】由得
所以y=x-2,又0≤sin2θ≤1,所以2≤x≤3.
答案:y=x-2(2≤x≤3)
4.已知圆C:(θ∈[0,2π)为参数)与x轴交于A,B两点,则|AB|=______.
【解题指南】利用圆C与x轴交点的纵坐标为0可求出参数θ的值,再代入x=-3+2sinθ求A,B两点的横坐标,从而求|AB|.
【解析】令y=2cosθ=0,则cosθ=0,因为θ∈[0,2π),
故θ=或,当θ=时,x=-3+2sin=-1,
当θ=时,x=-3+2sin=-5,
故|AB|=|-1+5|=4.
答案:4
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.一架飞机以100m/s的速度作水平
( http: / / www.21cnjy.com )直线飞行,在离指定目标的水平距离还有1000m时投放物资,求此时飞机的飞行高度约是多少米 (不计空气阻力,重力加速度g=10m/s2)
【解析】设飞机在点H将物资投出机舱,记此时刻为0s,设在时刻t
s时的坐标为M(x,y),飞机的飞行高度为hm.
如图,建立平面直角坐标系,由于物资做平抛运动,依题意,得即
令x=100t=1000,得t=10(s),
( http: / / www.21cnjy.com )
由y=h-5t2=h-500=0,得h=500m.
答:此时飞机的飞行高度约为500m.
6.已知动点P,Q都在曲线C:(β为参数)上,对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程.
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
【解析】(1)依题意得P(2cosα,2sinα),
Q(2cos2α,2sin2α),
因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α).
M的轨迹的参数方程为
(α为参数,0<α<2π).
(2)M点到坐标原点的距离
d==(0<α<2π).
当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.课时提升作业
七
参数方程和普通方程的互化
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.(2016·常德高二检测)极坐标方程ρ=cosθ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是 ( )
A.圆、直线
B.直线、圆
C.圆、圆
D.直线、直线
【解析】选A.由ρ=cosθ得ρ2=ρcosθ,化为直角坐标方程为x2+y2=x表示圆.
(t为参数)化为普通方程为3x+y+1=0表示直线.
2.(2016·大兴区一模)在方程(θ为参数且θ∈R)所表示的曲线上的点是 ( )
A.(2,-7)
B.
C.
D.(1,0)
【解析】选C.cos2θ=1-2sin2θ=1-2x2=y∈[-1,1],
所以方程(θ为参数且θ∈R)表示x2=(1-y)(y∈[-1,1])
将点代入验证得C适合方程.
3.若x,y满足x2+y2-2x+6y+6=0,必有 ( )
A.1≤x≤3,-5≤y≤-1
B.-1≤x≤3,-5≤y≤-1
C.-1≤x≤2,-3≤y≤-1
D.-1≤x≤3,-3≤y≤-1
【解析】选B.由于方程x2+y2-2x+6y+6=0
即(x-1)2+(y+3)2=4,
所以此圆的参数方程为由于θ∈R,由三角函数的性质,得-1≤x≤3,-5≤y≤-1.
【一题多解】选B.由于方程x2+y2-2x+6y+6=0,即(x-1)2+(y+3)2=4,
所以(y+3)2=4-(x-1)2≥0,即(x-1)2≤4,解得-1≤x≤3,同理,得-5≤y≤-1.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.化曲线的参数方程(k为参数)为普通方程为________________.
【解析】由(k为参数)两式相除,
得k=-,代入y=,得4x2+y2-y=0.
由于y=∈(0,1],
所以曲线的普通方程为4x2+y2-y=0(0答案:4x2+y2-y=0(05.在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是________.
【解析】设倾斜角为的直线l的方程为y=x+b,曲线C:(α为参数)的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=1,圆心C(2,1)到直线x-y+b=0的距离为d=,依题意,得|AB|=2=2,即1-=1,解得b=-1,所以直线方程为x-y-1=0,化为极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=1,即ρ(cosθ-sinθ)=1为所求.
答案:ρ(cosθ-sinθ)=1
【一题多解】设倾斜角为的直线l的方程为y=x+b,曲线C:(α为参数)的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=1,圆心C(2,1),因为直线被圆截得的弦长为2,所以直线x-y+b=0经过圆心,依题意,得b=-1,所以直线方程为x-y-1=0,化为极坐标方程为ρ(cosθ-sinθ)=1.
答案:ρ(cosθ-sinθ)=1
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.判断参数方程(θ为参数)表示的曲线形状.
【解析】由
得
消去参数θ,得x2=1-y.
又x=sinθ-cosθ=sin,y=sin2θ,
所以-≤x≤,-1≤y≤1.
故所求曲线的普通方程为y=1-x2(-≤x≤),这是抛物线弧段.
7.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数)若以直角坐标系xOy的原点为极点,Ox为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin=0,求与直线l垂直且与曲线C相切的直线m的极坐标方程.
【解题指南】将直线和圆的方程化为直角坐标系下的方程,设m:y=x+b,利用直线和圆相切求出直线m,再将方程化为极坐标方程.
【解析】l:y=-x,C:(x-)2+y2=4.
设m:y=x+b,
因为直线m与C相切,可得=2,
所以b=或b=-3,
所以直线m的极坐标方程为
ρcosθ-ρsinθ+=0或ρcosθ-ρsinθ-3=0.
8.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数,r为常数,r>0)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos+2=0.若直线l与曲线C交于A,B两点,且|AB|=2,求r的值.
【解析】由ρcos+2=0,
得ρcosθ-ρsinθ+2=0,
即直线l的方程为x-y+2=0.
由得曲线C的普通方程为x2+y2=r2,圆心坐标为(0,0),
所以,圆心到直线的距离d=,
由|AB|=2=2,得r=2.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·安庆高二检测)下列可以作为直线y=2x+1的参数方程是 ( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
【解析】选C.选项A,D中的变量x,y的取值范围都不是一切实数,选项B表示直线y=2x+3,选项C表示直线y=2x+1.
2.参数方程的曲线上的点与x轴的距离的最大值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.曲线的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=1,曲线的中心即圆心坐标为(1,-2),半径为1,圆心到x轴的距离为2,所以圆上的点与x轴的距离的最大值为2+1=3.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.在平面直角坐标系中,圆C的参数方程为(θ为参数)则坐标原点到圆心的距离为________.
【解析】圆C:(θ为参数)的普通方程为x2+(y-2)2=4,则坐标原点到圆心(0,2)的距离为2.
答案:2
4.过点M(2,1)作曲线C:(θ为参数)的弦,使M为弦的中点,则此弦所在直线的普通方程为________.
【解析】由于曲线表示圆心在原点,半径为4的圆,所以过点M的弦与线段OM垂直,
因为kOM=,所以弦所在直线的斜率是-2,
故所求直线方程为y-1=-2(x-2),
即2x+y-5=0为所求.
答案:2x+y-5=0
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2015·福建高考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l的方程为
ρsin=m(m∈R).
(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程.
(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.
【解题指南】消参以及把代入即可;直接利用点到直线的距离公式计算.
【解析】(1)消去参数t,得到圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9,由
ρsin=m得ρsinθ-ρcosθ-m=0,所以直线l的直角坐标方程为x-y+m=0.
(2)依题意,圆心C到直线l的距离为2,
即=2,解得m=-3±2.
6.(2016·三明高二检测)在直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数)以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(1)求曲线C的直角坐标方程.
(2)若P(x,y)是直线l在曲线C内部分的点,求x-y的取值范围.
【解析】(1)因为ρ=2sinθ,
所以ρ2=2ρsinθ,
所以x2+y2=2y,
即x2+(y-1)2=1,
所以曲线C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1.
(2)方法一:因为x-y=t-=-t-1,而-1≤t≤1.
所以-≤-t≤,
所以-≤-t-1≤-,
即x-y的范围是.
方法二:联立
解得或
所以x-y的范围是.单元质量评估(一)
第一讲
(90分钟 120分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.以直角坐标系的O为极点,x轴正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的单位长度,平面内的点P的极坐标为(3,4),则P在 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.平面内的点P的极坐标为(3,4),
由于π<4<,所以P在第三象限.
2.直角坐标为(3-,3+)的点的极坐标可能是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为ρ==2(ρ>0),点(3-,3+)在第一象限,tanθ===tan,所以点(3-,3+)的极坐标为.
3.将点的柱坐标化为直角坐标为 ( )
A.(,1,3)
B.(1,,3)
C.(1,2,3)
D.(2,1,3)
【解析】选A.设点的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),因为
(ρ,θ,z)=,
由得即
所以点的直角坐标为(,1,3).
4.(2016·漳州高二检测)圆ρ=5cosθ-5sinθ的圆心坐标是 ( )
A.
B.
C.
D.,
【解析】选A.由圆的极坐标方程ρ=5cosθ-5sinθ得ρ2=5ρcosθ-
5ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+y2-5x+5y=0,圆心坐标是,结合选项化为极坐标,选A.
5.(2016·蚌埠高二检测)在极坐标系中,点P(ρ,θ)关于极点对称的点的一个坐标是 ( )
A.(-ρ,-θ)
B.(ρ,-θ)
C.(ρ,π-θ)
D.(ρ,π+θ)
【解析】选D.把点P(ρ,θ)绕极点逆时
( http: / / www.21cnjy.com )针旋转π弧度,即可得到点P关于极点对称的点,故点P(ρ,θ)关于极点对称的点的一个坐标是(ρ,θ+π).
6.(2016·上海高考)下列极坐标方程中,对应的曲线为如图的是 ( )
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A.ρ=6+5cosθ
B.ρ=6+5sinθ
C.ρ=6-5cosθ
D.ρ=6-5sinθ
【解析】选D.当θ=-时,ρ达到最大.
7.(2016·宜春高二检测)在极坐标系中与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为
( )
A.ρcosθ=2
B.ρsinθ=2
C.ρ=4sin
D.ρ=4sin
【解题指南】将极坐标方程化为直角坐标方程判断.
【解析】选A.圆ρ=4sinθ的直角坐标方程为x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,直线
ρcosθ=2的直角坐标方程为x=2与圆相切,直线ρsinθ=2的直角坐标方程为y=2经过圆心,选项C、D表示圆,不满足题意.
8.极坐标方程θ=,θ=(ρ≥0)和ρ=4所表示的曲线围成的图形的面积是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.如图所示,
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射线θ=,θ=(ρ≥0)与圆ρ=4围成的图形面积是阴影扇形的面积:×42×=.
【一题多解】选B.如图所示,围成的图形面积是阴影扇形的面积×π×42=.
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二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
9.规定ρ>0,θ∈[0,2π),曲线x2=4y焦点的极坐标可以为________.
【解析】方程x2=4y的曲线为抛物线,其中p=2,焦点为(0,1),对称轴为y轴,开口向上,
所以抛物线的焦点的极坐标为.
答案:
10.在极坐标系中,点F(1,0)到直线θ=(ρ∈R)的距离是________.
【解析】直线θ=(ρ∈R)的直角坐标方程为y=x,
故点F(1,0)到直线的距离为=.
答案:
11.在极坐标系中,直线ρ(cosθ-sinθ)=2与圆ρ=4sinθ的交点的极坐标为________.
【解析】直线ρ(cosθ-sinθ)=2,即x-y-2=0,圆ρ=4sinθ即x2+(y-2)2=4,表示以(0,2)为圆心、半径等于2的圆,
由求得
故直线和圆的交点坐标为(,1),
故它的极坐标为.
答案:
12.(2016·邢台高二检测)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线
ρsinθ=a相交于A,B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为________.
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【解析】由ρ=4sinθ可得ρ2=4ρsinθ,
所以x2+y2=4y.所以圆的直角坐标方程为x2+y2=4y,其圆心为C(0,2),半径r=2;
由ρsinθ=a,得直线的直角坐标方程为y=a,由于△AOB是等边三角形,所以圆心C是等边△AOB的中心,若设AB的中点为D(如图).
则CD=CB·sin30°=2×=1,即a-2=1,
所以a=3.
答案:3
三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13.(10分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线(x′-5)2+(y′+6)2=1,求曲线C的方程,并判断其形状.
【解析】将代入(x′-5)2+(y′+6)2=1,
得(2x-5)2+(2y+6)2=1,
即+(y+3)2=,
故曲线C是以为圆心,半径为的圆.
14.(10分)(2016·衡水高二检测)极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ2-
8ρsin+13=0,C点为圆心,已知A,B,求△ABC的面积.
【解析】圆C的直角坐标方程为x2+y2+4x-4y+13=0,即(x+2)2+(y-2)2=3.又A(0,-1),B(0,-3),所以AB=2.C到直线AB的距离为2,所以△CAB的面积=2.
15.(10分)在极坐标系中,曲线C:ρ=2sinθ上的两点A,B对应的极角分别为,
,求弦长|AB|的值.
【解析】A,B两点的极坐标分别为,,化为直角坐标为,,
故|AB|==.
16.(10分)已知曲线C1的极坐标方程为ρcos=-1,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos,判断两曲线的位置关系.
【解析】将曲线C1,C2化为直角坐标方程,
得C1:x+y+2=0,
C2:x2+y2-2x-2y=0,
即C2:(x-1)2+(y-1)2=2,
圆心到直线的距离d==>,
所以曲线C1与C2相离.
17.(10分)(2015·全国卷Ⅰ)在直
( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系xOy中.直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程.
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=,设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
【解析】(1)因为x=ρcosθ,y=ρs
( http: / / www.21cnjy.com )inθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.
(2)将θ=代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,
ρ2=.故ρ1-ρ2=,即|MN|=.由于圆C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.
18.(10分)在极坐标系中,从极点O作直线与另一直线l:ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使OM·OP=12.
(1)求点P的轨迹方程.
(2)设R为l上任意一点,试求RP的最小值.
【解析】方法一:
(1)设动点P的极坐标为
(ρ,θ),则点M为(ρ0,θ).
因为OM·OP=12,所以ρ0ρ=12,得ρ0=.
因为M在直线ρcosθ=4上,
所以ρ0cosθ=4.即cosθ=4,
于是ρ=3cosθ(ρ>0)为所求的点P的轨迹方程.
(2)由于点P的轨迹方程为
ρ=3cosθ=2·cosθ,
所以点P的轨迹是圆心为,半径为的圆.
又直线l:ρcosθ=4过点(4,0)且垂直于极轴,点R在直线l上,由此可知RP的最小值为1.
方法二:(1)直线l:ρcosθ=4的直角坐标方程为x=4,设点P(x,y)为轨迹上任意一点,点M(4,y0),
由∥,得y0=(x>0).
又OM·OP=12,则OM2·OP2=144.
所以(x2+y2)=144,
整理得x2+y2=3x(x>0),
这就是点P的轨迹的普通方程.
(2)由上述可知,点P的轨迹是圆心为
,半径为的圆(去掉原点).
又点R在直线l:x=4上,
由此可知RP的最小值为1.
【拓展延伸】求曲线的轨迹方程常用方法
(1)在直角坐标系中,求曲线的轨迹方程的方法有直译法、定义法、相关点法等.在极坐标系中,求曲线的极坐标方程以上方法仍然是适用的.
(2)由于动点P与动点M的
( http: / / www.21cnjy.com )极角相同,所以方法一利用两个动点的极径的关系式,直接求出了动点轨迹的极坐标方程,然后利用极坐标方程的曲线的形状求出了线段长度的最小值.课时提升作业
五
柱坐标系与球坐标系简介
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.(2016·泰安高二检测)设点A的柱坐标为(1,π,0),则点的直角坐标为
( )
A.(-1,0,0)
B.(1,0,0)
C.(0,0,-1)
D.(-1,π,0)
【解析】选A.设点的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),因为(ρ,θ,z)=(1,π,0),
由得即
所以点A(1,π,0)的直角坐标为(-1,0,0).
【补偿训练】点M的直角坐标为(,1,-2),则它的柱坐标为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.ρ==2,tanθ==,θ=,所以点M的柱坐标为.
2.点的球坐标化为直角坐标为 ( )
A.(1,,0)
B.(1,-,0)
C.(-1,,0)
D.(-1,-,0)
【解析】选C.设点的直角坐标为(x,y,z),球坐标为(r,φ,θ),因为(r,φ,θ)=,
由得即
故化为直角坐标为(-1,,0).
3.在球坐标系中,满足θ=,r∈[0,+∞),φ∈[0,π]的动点P(r,φ,θ)的轨迹为 ( )
A.点
B.直线
C.半平面
D.半球面
【解析】选C.由于在球坐标系中,θ=,r∈[0,+∞),φ∈[0,π],故射线OM平分∠xOy,由球坐标系的意义,知动点P(r,φ,θ)的轨迹为二面角x-ON-y的平分面,这是半平面,如图所示.
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二、填空题(每小题6分,共12分)
4.已知在柱坐标系中,点M的柱坐标为,且点M在坐标轴Oy上的射影为N,则|MN|=________.
【解析】设点M在平面xOy上的射影为P,连接PN,
则PN为线段MN在平面xOy上的射影.
因为MN⊥直线Oy,MP⊥平面xOy,
所以PN⊥直线Oy.
所以|OP|=ρ=2,|PN|==1,
在Rt△MNP中,∠MPN=90°,
所以|MN|===.
答案:
5.点M的球坐标为,则M的直角坐标为________.
【解析】因为M的球坐标为,
所以r=4,φ=,θ=
所以x=rsinφcosθ=4×1×=2,
y=rsinφsinθ=4×1×=-2,
z=rcosφ=4×0=0,
故M的直角坐标为(2,-2,0).
答案:(2,-2,0)
【补偿训练】空间点P的柱坐标为,则点P关于z轴的对称点为________.
【解析】点P关于z轴的对称点坐标为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.设点M的直角坐标为(1,-1,),求点M的坐标.
【解析】由坐标变换公式,得r==2,
由rcosφ=z(0≤φ≤π),得cosφ==,
由于0≤φ≤π,所以φ=.
又tanθ==-1(0≤θ<2π,且θ角的终边过点(1,-1)),所以θ=,
故点M的球坐标为.
7.设点M的直角坐标为(1,1,),求点M的柱坐标与球坐标.
【解析】由坐标变换公式,可得ρ==,tanθ==1,θ=(点(1,1)在平面xOy的第一象限),
r===2.
由rcosφ=z=(0≤φ≤π),
得cosφ==,φ=.
所以点M的柱坐标为,
球坐标为.
8.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,如图建立空间直角坐标系A-xyz,Ax为极轴,求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标.
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【解析】点C1的直角坐标为(1,1,1),
设点C1的柱坐标为(ρ,θ,z),球坐标为(r,φ,θ),
其中ρ≥0,r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.
由公式及
得及
得及
结合图形得θ=,
由cosφ=得tanφ=.
所以点C1的直角坐标为(1,1,1),柱坐标为,球坐标为,其中tanφ=,0≤φ≤π.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.若点P的柱坐标为,则P到直线Oy的距离为 ( )
A.1
B.2
C.
D.
【解析】选D.由于点P的柱坐标为(ρ,θ,z)=,故点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为ρcos=,结合图形,得P到直线Oy的距离为.
2.已知点P1的球坐标是,P2的柱坐标是,则|P1P2|= ( )
A.
B.
C.
D.4
【解析】选A.因为点P1的球坐标是,
所以
经计算得P1(2,-2,0),
因为P2的柱坐标是,
所以
经计算得P2(,1,1).
所以|P1P2|
==.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知柱坐标系O-xyz中,点M的柱坐标为,则|OM|=________.
【解析】因为(ρ,θ,z)=,
设点M的直角坐标为(x,y,z),
则x2+y2=ρ2=4,
所以|OM|===3.
答案:3
4.将点的直角坐标(-,,2)化为柱坐标为________,化为球坐标为__________.
【解析】由点的直角坐标(x,y,z)=(-,,2),
得ρ==2,tanθ==-1,
且角θ的终边经过点(-,),得θ=,
所以点的直角坐标(-,,2)化为柱坐标为.
由(x,y,z)=(-,,2),得r==4.
由z=rcosφ(0≤φ≤π),得cosφ=,得φ=;
又tanθ==-1,且角θ的终边经过点(-,),
得θ=,所以点的直角坐标(-,,2)化为球坐标为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.一个圆形体育场,自正
( http: / / www.21cnjy.com )东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区,…,十六区,我们设圆形体育场第一排与体育场中心的距离为200m,每相邻两排的间距为1m,每层看台的高度为0.7m,现在需要确定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的坐标系,把点A的坐标求出来.
【解析】以圆形体育场中心O为极点,选取以O为端点且过正东方向的射线Ox为极轴,在地面上建立极坐标系,则点A与体育场中轴线Oz的距离为203m,极轴Ox按逆时针方向旋转,就是OA在地平面上的射影,A距地面的高度为2.8m,因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置.
所以点A的柱坐标为.
6.一只蚂蚁在一个母线与轴线夹角为的圆锥面上从顶点出发盘旋着向上爬行,已知它上升的速度为v>0,盘旋的角速度为ω>0,求t时刻蚂蚁所在的位置的球坐标.
【解析】取圆锥的顶点O为坐标原点,建立球坐标系,
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设t时刻蚂蚁在点M(r,φ,θ)处,
由题意得θ=ωt,z=vt,φ=,
由于=cosφ=cos=,于是r=2z=2vt,
所以t时刻蚂蚁所在的位置的球坐标为
M,t∈[0,+∞).课时提升作业
二
极坐标系的概念
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.在极坐标系中,下面点与M相同的点为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由于相同的点必须满足极径相等,极角的终边相同,且与的终边相同,所以选D.
2.极坐标系中,极坐标对应的点在 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.因为极坐标对应的点的极径大于0,极角的终边在平面直角坐标系中第三象限,所以点在第三象限.
【补偿训练】在直角坐标系中,以原点
( http: / / www.21cnjy.com )O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系.若点P的直角坐标与其极坐标在数值上相同,则点P在
( )
A.x轴上
B.y轴上
C.射线Ox上
D.射线Oy上
【解析】选C.Ox轴上点的直角坐标为(x′,0)(x′≥0)与其极坐标在数值上相同.
3.(2016·合肥高二检测)在极坐标系中,已知点A(4,1),B,则线段AB的长度是 ( )
A.1
B.
C.7
D.5
【解析】选D.设极点为O.
因为点A(4,1),B.
所以OA⊥OB,
所以AB==5.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.在极坐标系中,若两点A,B的极坐标分别为,,则△AOB(其中O为极点)的面积为_____________.
【解析】由题意,∠AOB=,AO=3,OB=4,
所以△AOB(其中O为极点)的面积为×3×4×sin=3.
答案:3
5.已知在极坐标系中,极点为O,0≤θ<2π,M,在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________.
【解析】在射线OM上符合条件的点为,
在射线OM反向延长线上符合条件的点为.
答案:或
【误区警示】解析中易出现漏掉的错误,应对点M的位置全面考虑.
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.在极坐标系中,分别求下列条件下点M关于极轴的对称点M′的极坐标:
(1)ρ≥0,θ∈[0,2π).
(2)ρ≥0,θ∈R.
【解析】(1)当ρ≥0,θ∈[0,2π)时,点M关于极轴的对称点M′的极坐标为.
(2)当ρ≥0,θ∈R时,点M关于极轴的对称点M′的极坐标为,k∈Z.
7.边长为2的菱形ABCD,一个内角为60°,建立适当的极坐标系,求出菱形四个顶点的极坐标,限定ρ≥0,θ∈[0,2π).
【解析】如图,∠BAD=60°,以A为极点O,AB的方向为极轴的正方向,建立极坐标系,则菱形的四个顶点的极坐标分别为A(0,0),B(2,0),C,D(答案不惟一).
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8.如图,以温州所在城市为极点,正东方向为极轴正方向,建立极坐标系,今有某台风中心在东偏南60°,距离极点800千米处,假设当距离台风中心700千米时应当发布台风蓝色警报,已知福州所在城市的极坐标为.
(1)求台风中心的极坐标.
(2)问福州是否已发布台风蓝色警报
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【解析】(1)由题意知,台风中心距离极点800千米,极角取,所以台风中心的一个极坐标为.
(2)福州所在城市的极坐标为,由(1)得,
福州距离台风中心的距离为
d=
=100×=100>700,
所以该城市还未发布台风蓝色警报.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知极坐标系中,点A,B,若O为极点,则△OAB为 ( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰锐角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选D.由题意,得∠AOB=,
|AB|==,
所以|OB|2+|AB|2=|OA|2且|AB|=|OB|=,
故△OAB为等腰直角三角形.
2.(2016·天水高二检测)已知极坐标系中,极点为O,若等边三角形ABC(顶点A,B,C按顺时针方向排列)的顶点A,B的极坐标分别是,,则顶点C的极坐标为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.如图所示,由于点A,B,故极点O为AB中点,故等边
△ABC的边长|AB|=4,则CO⊥AB,|CO|=2,则C点的极坐标为,即.
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二、填空题(每小题5分,共10分)
3.如图,在极坐标系中,写出点P的极坐标________.
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【解析】如图所示,连接OP.由OA是圆的直径,则∠OPA=90°,
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所以ρ=|OP|=2sin60°=,
所以点P的极坐标为.
答案:
4.(2016·西安高二检测)已知在极坐标系中,△AOB为等边三角形,A,若ρ≥0,θ∈[0,2π),则点B的极坐标为__________.
【解析】设B(ρ,θ),由∠AOB=,得θ-=±+2kπ,k∈Z,即θ=±+2kπ,k∈Z,由=2,得ρ=2,又因为θ∈[0,2π),所以θ=或.所以点B的极坐标为或.
答案:或
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.某大学校园的部分平面示意图如图.
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用点O,A,B,C,D,E,F,G分别
( http: / / www.21cnjy.com )表示校门,器材室,操场,公寓,教学楼,图书馆,车库,花园,其中|AB|=|BC|,|OC|=600m.建立适当的极坐标系,写出除点B外各点的极坐标,限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0).
【解析】以O为极点,OA所在射线为极轴建立极坐标系,因为|OC|=600,∠AOC=,故C.
又|OA|=600×cos=300,
|OD|=600×sin=300,
|OE|=300,|OF|=300,|OG|=150.
故A(300,0),D,E,F(300,π),
G.
6.如果对点的极坐标定义如下:
当已知M(ρ,θ)(ρ>0,θ∈R)时,点M关于极点O的对称点M′(-ρ,θ).
例如,M关于极点O的对称点M′,就是说与表示同一点.
已知A点的极坐标是,分别在下列给定条件下,写出A点的极坐标:
(1)ρ>0,-π<θ≤π.
(2)ρ<0,0≤θ<2π.
(3)ρ<0,-2π<θ≤0.
【解题指南】认真阅读题中的新定义
( http: / / www.21cnjy.com ),正确理解其含义并能应用;数形结合,先求出点A关于极点O的对称点A′的极坐标,再根据图形及题中的限制条件写出点A的极坐标.
【解析】如图所示,
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|OA|=|OA′|=6,
∠xOA′=,∠xOA=,
即点A与A′关于极点O对称.
由极坐标的定义知
(1)当ρ>0,-π<θ≤π时,A.
(2)当ρ<0,0≤θ<2π时,A.
(3)当ρ<0,-2π<θ≤0时,A.综合质量评估
第一、二讲
(90分钟 120分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.极坐标方程ρ2+2ρsin=1表示曲线的中心在 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.极坐标方程ρ2+2ρsin=1,
即ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ=1,化为直角坐标方程为
x2+y2-2x+2y=1,标准方程为(x-1)2+(y+1)2=3,圆心坐标为(1,-1),在第四象限.
2.(2016·北京高二检测)极坐标方程ρ=-4cosθ化为直角坐标方程是 ( )
A.x-4=0
B.x+4=0
C.(x+2)2+y2=4
D.x2+(y+2)2=4
【解析】选C.极坐标方程ρ=-4cosθ即ρ2=-4ρcosθ,所以化为直角坐标方程是x2+y2=-4x,即(x+2)2+y2=4.
3.(2016·淮南高二检测)在极坐标系中,曲线ρ=4cosθ围成的图形面积为
( )
A.π
B.4
C.4π
D.16
【解析】选C.由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,直角坐标方程为x2+y2=4x,所以(x-2)2+y2=4,所以S=πr2=4π.
【补偿训练】已知直线将曲线(θ为参数)平分,则曲线围成图形的面积为 ( )
A.3π
B.4π
C.6π
D.9π
【解析】选D.直线的普通方程为y=-2x+b+4,曲线(θ为参数)的普通方程为(x-2)2+(y-3)2=b2,所以圆的圆心的坐标为(2,3),依题意,得3=-4+b+4,即b=3,所以圆的面积为9π.
4.与普通方程x2+y-1=0等价的参数方程为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.所谓与方程x2+y-1=0等价,是指将参数方程化为普通方程时,形式一致,且x,y的变化范围对应相同,按照这一标准逐一验证.
选项A化为普通方程为
x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1].
选项B化为普通方程为
x2+y-1=0,x∈[0,+∞),y∈(-∞,1].
选项C化为普通方程为
x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1].
选项D化为普通方程为
x2+y-1=0,x∈R,y∈(-∞,1].
5.极坐标方程ρ=sinθ与参数方程(t为参数)所表示的图形分别是 ( )
A.直线、直线
B.直线、圆
C.圆、直线
D.圆、圆
【解析】选C.由ρ=sinθ得ρ2=ρsinθ,
即x2+y2=y,即x2+=,对应图形为圆.
将参数方程消去参数t,得2x-y-5=0,所以对应图形为直线.
6.已知直线l1的极坐标方程为ρsin=2016,直线l2的参数方程为(t为参数)则l1与l2的位置关系为 ( )
A.垂直
B.平行
C.相交但不垂直
D.重合
【解析】选A.由ρsin=2016,得
ρ=2016,
ρsinθ-ρcosθ=2016,
所以y-x=2016,即y=x+2016,
把直线l2的参数方程化为普通方程为
==-1,即y=-x,
所以·=1×(-1)=-1,所以l1⊥l2.
7.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数)圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为 ( )
A.
B.2
C.
D.2
【解析】选D.直线l的普通方程为y=x-4,圆C的直角坐标方程是(x-2)2+y2=4,圆心(2,0)到直线l的距离d==,所以直线l被圆C截得的弦长为2=2.
8.已知抛物线C1:(t为参数),圆C2的极坐标方程为ρ=r(r>0),若斜率为1的直线过抛物线C1的焦点,且与圆C2相切,则r= ( )
A.1
B.
C.
D.2
【解题指南】把抛物线的参数方程、圆的极坐标方程统一成在直角坐标系下的方程后,求出直线的方程,利用直线与圆的位置关系求r.
【解析】选C.抛物线C1的普通方程为y2=8x,焦点为(2,0),故直线方程为y=x-2,即x-y-2=0,圆的直角坐标方程为x2+y2=r2,由题意=r,得r=.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
9.(2016·唐山高二检测)已知直线l:(t为参数)过定点P,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,直线l与曲线C交于A,B两点,则|PA|·|PB|值为________.
【解析】将直线l:(t为参数)代入曲线C:ρ=2sinθ的直角坐标方程x2+y2-2y=0,整理,得t2-(+1)t+1=0,设直线l与曲线C交于A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=1,即|PA|·|PB|==1.
答案:1
10.若直线(t为参数)与曲线(θ为参数,a>0)有且只有一个公共点,则a=________.
【解析】直线一般方程为x+y-2=0,曲线方程为(x-4)2+y2=a2.由题可知,直线与圆相切,即圆心到直线的距离d===a.
答案:
【补偿训练】(2016·襄阳高二检测)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程是以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρsin=1,则两曲线交点间的距离是________.
【解析】曲线C1的普通方程为y2-x2=4,
由曲线C2的极坐标方程ρsin=1,得直角坐标方程x+y-2=0,将y=-x+2代入y2-x2=4,
得x2-2x=0,解得x1=0,x2=2,y1=2,y2=-4,则两曲线的交点坐标分别为A(0,2),B(2,-4),所以|AB|==4.
答案:4
11.(2016·衡水高二检测)设直线l:(t为参数),曲线C:(θ为参数),直线l与曲线C交于A,B两点,则|AB|=________.
【解题指南】将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,利用直线参数方程参数的几何意义以及公式求弦长.
【解析】将直线l:(t为参数)代入曲线C:x2+y2=1,整理,得t2+t=0,
设直线l与曲线C交于A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-,t1t2=0,
则|AB|=|t1-t2|==.
答案:
12.(2016·黄冈高二检测)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若P点为直线ρcosθ-ρsinθ-4=0上一点,点Q为曲线(t为参数)上一点,则|PQ|的最小值为________.
【解题指南】将直线的极坐标方程化
( http: / / www.21cnjy.com )为直角坐标方程,将曲线的参数方程化为普通方程,转化为直线和曲线相切求解,也可以利用导数的几何意义求出切点的坐标解决.
【解析】直线ρcosθ-ρsinθ-4=0的直角坐标方程为x-y-4=0,曲线(t为参数)的普通方程为y=x2,依题意,设与直线x-y-4=0平行的直线方程为x-y+c=0,即y=x+c,代入y=x2,得x2-4x-4c=0,依题意,Δ=16+16c=0,所以c=-1,即直线x-y-1=0与抛物线y=x2相切,所以平行线间的距离d==.
答案:
【一题多解】直线ρcosθ-ρsinθ-4=0的直角坐标方程为x-y-4=0,曲线(t为参数)的普通方程为y=x2,设抛物线y=x2上一点P(x0,y0),
则y′=x=x0=1,得x0=2,即P(2,1),依题意,P(2,1)到直线x-y-4=0的距离d==为所求.
答案:
三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13.(10分)(2016·衡水高二检测)在极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R),以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为(α为参数)求直线l与曲线C的交点P的直角坐标.
【解析】因为直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R),
所以直线l的普通方程为y=x,①
又因为曲线C的参数方程为(α为参数)
所以曲线C的直角坐标方程为
y=x2(x∈[-2,2]),②
联立①②得或
根据x的范围应舍去
故P点的直角坐标为(0,0).
14.(10分)(2016·全国卷Ⅰ)在直线坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程.
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
【解析】(1)(t为参数),
所以x2+(y-1)2=a2. ①
所以C1为以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
方程为x2+y2-2y+1-a2=0.
因为x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,
所以ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,即为C1的极坐标方程.
(2)C2:ρ=4cosθ,
两边同乘ρ,得ρ2=4ρcosθ,
∵ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,
∴x2+y2=4x.
即(x-2)2+y2=4. ②
C3:化为普通方程为y=2x,
由题意:C1和C2的公共方程所在直线即为C3.
①-②得:4x-2y+1-a2=0,即为C3,
所以1-a2=0,
所以a=1.
15.(10分)(2016·大连高二检测)
( http: / / www.21cnjy.com )在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-1,0),其倾斜角为α,以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+1=0.
(1)写出直线l的参数方程,若直线l与曲线C有公共点,求α的取值范围.
(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.
【解析】(1)因为曲线C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+1=0,
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-6x+1=0.
因为直线l经过点P(-1,0),其倾斜角为α,
所以直线l的参数方程为
(t为参数),
将代入x2+y2-6x+1=0,整理,得t2-8tcosα+8=0,
因为直线l与曲线C有公共点,
所以Δ=64cos2α-32≥0,
即cosα≥或cosα≤-,
因为α∈[0,π),
所以α的取值范围是∪.
(2)已知M(x,y)是曲线C:(x-3)2+y2=8上一点,则(θ为参数)
所以x+y=3+2(sinθ+cosθ)=3+4sin,
所以x+y的取值范围是[-1,7].
16.(10分)(2015·陕西高考)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(1)写出☉C的直角坐标方程.
(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求点P的坐标.
【解题指南】(1)利用直角坐标与极坐标的关系进行代换即得.
(2)直角坐标与极坐标进行坐标代换后,利用两点间的距离公式可求解.
【解析】
(1)由ρ=2sinθ,
得ρ2=2ρsinθ,
从而有x2+y2=2y,
所以x2+(y-)2=3.
(2)设P,又C(0,),
则|PC|==,
故当t=0时,|PC|取得最小值,
此时P点的坐标为(3,0).
17.(10分)(2016·天水高三检测)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=.
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程.
(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.
【解析】(1)由曲线C的极坐标方程是:ρ=,得ρ2sin2θ=2ρcosθ.
所以曲线C的直角坐标方程是:y2=2x.
由直线l的参数方程(t为参数)
得:x-y-4=0,所以直线l的普通方程为:x-y-4=0.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x,得t2-8t+7=0,
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
所以==
==6,
因为原点到直线x-y-4=0的距离
d==2,
所以△AOB的面积是
·d=×6×2=12.
18.(10分)(2016·西安高二检测)已知曲线C1:(θ为参数),曲线C2:(t为参数).
(1)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2公共点的个数.
(2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压
( http: / / www.21cnjy.com )缩为原来的一半,分别得到曲线C1′,C2′,写出C1′,C2′的参数方程.C1′与C2′公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同 说明你的理由.
【解析】(1)C1是圆,C2是直线,C1的普通方程为x2+y2=1,圆心C1(0,0),半径r=1.
C2的普通方程为x-y+=0,因为圆心C1到直线x-y+=0的距离为1,
所以C1与C2只有一个公共点.
(2)压缩后的参数方程分别为
C′1:(θ为参数),
C′2:(t为参数),
化为普通方程为C1′:x2+4y2=1,C2′:y=x+,
联立消元得:2x2+2x+1=0,其判别式Δ=-4×2×1=0,所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点,和原来相同.
【补偿训练】(2016·淮南高二检测)已知直线l:(t为参数)曲线C1:x2+y2=1.
(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|.
(2)若曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
【解析】(1)将直线与曲线的方程联立得t2+t=0,
解得t1=0,t2=-1,
由t的几何意义知|AB|=|t1-t2|=1.
(2)C2:(θ为参数)
设P,直线l:x-y-=0,
点到直线的距离
d==.
当cos=1时,d取最小值,dmin=-(解题方法不唯一).考前过关训练(一)
坐 标 系
(40分钟 80分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设此变换为(λ,μ>0),
则
所以所求变换为
2.在极坐标系中,圆ρ=2被直线ρsinθ=1截得的弦长为 ( )
A.
B.2
C.2
D.3
【解析】选C.圆ρ=2的极坐标方程转化成直角坐标方程为x2+y2=4.直线
ρsinθ=1转化成直角坐标方程为y=1.所以圆心到直线y=1的距离为1.
则弦长l=2=2.
3.已知圆的极坐标方程为ρ=6sinθ,圆心为M,点N的极坐标为,则|MN|=
( )
A.
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.圆的极坐标方程为ρ=6sinθ,
转化成:ρ2=6ρsinθ,
进一步转化成直角坐标方程为x2+(y-3)2=9,
则M(0,3),
点N的极坐标为,
则转化成直角坐标为(3,3),
所以|MN|==3.
4.极坐标方程ρ=cos表示的曲线是 ( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
【解析】选A.极坐标方程ρ=cos,即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+y2-x-y=0,表示圆.
5.(2016·石家庄高
( http: / / www.21cnjy.com )二检测)在极坐标系中,设曲线C1:ρ=2sinθ与C2:ρ=2cosθ的交点分别为A,B,则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为 ( )
A.ρ=
B.ρ=
C.θ=
D.θ=
【解析】选A.曲线C1:ρ=2sinθ的直角坐标方程x2+y2=2y即x2+(y-1)2=1,曲线C2:ρ=2cosθ的直角坐标方程x2+y2=2x即(x-1)2+y2=1,两曲线均为圆,圆心分别C1(0,1),C2(1,0),所以线段AB的中垂线为两圆心连线,其直角坐标方程为x+y=1,化为极坐标方程得ρ=.
6.在极坐标系中,曲线ρ3cosθ+1=0上的点到A(1,0)的距离的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.曲线ρ3cosθ+1=0
化为(x2+y2)x+1=0,
所以y2=-,
设P(x,y)是曲线上的任意一点,
则|PA|=
==,
由y2=-≥0,解得-1≤x<0,
由-2x+≥2=2,
当且仅当x=-时取等号.
所以|PA|min=.
二、填空题(每小题6分,共18分)
7.曲线ρ=sin围成区域的面积为________.
【解析】曲线ρ=sin即ρ=sinθ+cosθ,
即ρ2=ρsinθ+ρcosθ.
化为直角坐标方程,
得+=,
所以圆的面积为S=πr2=.
答案:
8.(2016·绵阳高二检测)已知直线的极坐标方程为ρsin=,则点A到这条直线的距离为________.
【解析】由ρsin=,
得ρ(sinθ+cosθ)=,
所以直线方程为x+y-1=0,
又A为(2,-2),
所以d==.
答案:
9.(2016·湛江高二检测)极坐标系中,曲线ρ=-4sinθ和ρcosθ=1相交于点A,B,则|AB|=________.
【解析】由ρ=-4sin
( http: / / www.21cnjy.com )θ得ρ2=-4ρsinθ,于是在平面直角坐标系中,曲线的直角坐标方程为x2+y2=-4y,所以x2+(y+2)2=4.
而ρcosθ=1表示直线x=1,代入上式得(y+2)2=3,解得y1=-2+,y2=-2-.
易知|AB|=2.
答案:2
三、解答题(10题、11题10分,12题12分,共32分)
10.(2016·大兴高二检测)已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点,求点A到直线
ρcosθ=1距离的最大值和最小值.
【解析】将极坐标方程ρ=3cosθ转化为ρ2=3ρcosθ,化为直角坐标方程为x2+y2=3x,
即+y2=.
直线ρcosθ=1即x=1.
圆心到直线的距离d=所以直线与圆相交.
所求最大值为2,最小值为0.
11.在极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ.现以极点O为原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系.
(1)求圆C的直角坐标方程.
(2)若圆C上的动点P的直角坐标为(x,y),求x+y的最大值,并写出x+y取得最大值时点P的直角坐标.
【解析】(1)由ρ=6cosθ+8sinθ,
得ρ2=6ρcosθ+8ρsinθ,
所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-6x-8y=0,
即(x-3)2+(y-4)2=52.
(2)由(x-3)2+(y-4)2=52,
得+=1,
令
得
所以x+y=7+5sin,
因此当φ=+2kπ,
k∈Z时,x+y取得最大值为7+5,
且当x+y取得最大值时,点P的直角坐标为
.
【一题多解】设x+y=z,则直线x+y-z=0与圆(x-3)2+(y-4)2=52有公共点,
所以圆心C(3,4)到直线的距离满足d≤r,
即≤5,即|z-7|≤5,
解得7-5≤z≤7+5,
因此x+y取得最大值为7+5,
且当x+y取得最大值时,y=7+5-x,
代入(x-3)2+(y-4)2=52,整理,
得2x2-2(6+5)x+(30+43)=0,
解得x=3+,于是y=4+,
所以点P的直角坐标为.
12.在极坐标系中,曲线L:ρsin2θ=2cosθ,过点A(5,α)
作平行于θ=(ρ∈R)的直线l,且l与曲线L分别交于B,C两点.
(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,取与极坐标相同的长度单位,建立平面直角坐标系,写出曲线L和直线l的普通方程.
(2)求|BC|的长.
【解析】(1)由题意得,点A的直角坐标为(4,3),
曲线L即ρ2sin2θ=2ρcosθ,它的普通方程为:y2=2x,
由于直线l的斜率为1,且过点A(4,3),故直线l的普通方程为:y-3=x-4,即y=x-1.
(2)设B(x1,y1),C(x2,y2),由
可得x2-4x+1=0,
由根与系数的关系得x1+x2=4,x1·x2=1,
由弦长公式得|BC|=|x1-x2|=2.课时提升作业
一
平面直角坐标系
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.(2016·泰安高二检测)函数y=xsinx的图象关于 ( )
A.原点对称
B.y轴对称
C.y=x对称
D.y=-x对称
【解析】选B.函数y=xsinx的定义域为R,且为偶函数,所以函数的图象关于y轴对称.
2.如图曲线的方程为 ( )
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A.|x|+y=1
B.x+|y|=1
C.|x|-|y|=1
D.|x|+|y|=1
【解析】选D.因为曲线关于坐标轴对称,也关于原点对称,且过点(±1,0),(0,±1),故选D.
【补偿训练】如图所示的曲线方程是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.|x|-y=0
B.x-|y|=0
C.x-1=|y|
D.|x|-1=y
【解析】选B.由图象知:一个x对应两个y值且y可以为0.
3.(2016·成都高二检测)在同一坐标系中,将曲线y=3sin2x变为曲线y′=
sinx′的伸缩变换是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设P(x,y)为曲线y=3sin2x上任一点,经过伸缩变换得到P′(x′,y′),
将代入y=3sin2x,
得y′=3sinx′,所以y′=3μsinx′,
由于y′=sinx′,
所以所以所以
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.将复数z=1+i(i为虚数单位)对应的向量绕起点逆时针旋转30°所得复数为________.
【解析】如图,在复平面内,复数z=1+i(i为虚数单位)对应的向量=(1,)=2(cos60°,sin60°),将向量=(1,)绕起点逆时针旋转30°所得向量的坐标为=2(cos90°,sin90°)=(0,2),所以对应的复数z=2i.
( http: / / www.21cnjy.com )
答案:2i
5.将曲线y2=4x按φ:变换后得到曲线的焦点坐标为________.
【解题指南】将变换后的方程化为标准方程y′2=2px′,焦点为(p>0).
【解析】将曲线y2=4x按φ:变换后得到曲线方程为y′2=x′,所以焦点坐标为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.已知一条曲线在x轴的上方,它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程.
【解析】设点M(x,y)是曲线上的任意一点,根据题意,得它到x轴的距离是y,
所以-y=2,
化简整理可得y=x2.
因为曲线在x轴的上方,y>0,虽然原点O的坐标(0,0)满足方程y=x2,但不属于已知曲线,
所以所求曲线方程为y=x2(x≠0).
7.(2016·上饶高二检测)在同一平面直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换:
曲线4x2+9y2=36变成曲线x′2+y′2=1.
【解析】设伸缩变换为
代入x′2+y′2=1,
得(λx)2+(μy)2=1,
即36λ2x2+36μ2y2=36,①
将①式与4x2+9y2=36比较,
得λ=,μ=,
故所求的伸缩变换为
【补偿训练】在平面直角坐标系中,求下列曲线方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形形状.
(1)y2=2x.(2)x2+y2=1.
【解析】(1)由伸缩变换可知
将代入y2=2x,可得
4y′2=6x′,即y′2=x′.
即伸缩变换之后的图形还是抛物线.
(2)将代入x2+y2=1,
得(3x′)2+(2y′)2=1,即+=1.
即伸缩变换后的图形为焦点在y轴上的椭圆.
8.(2016·枣庄高二检测)据气
( http: / / www.21cnjy.com )象部门预报,在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心,正以每小时20km的速度向正北方向移动,距风暴中心450km以内的地区都将受到影响,从现在起多长时间后,该码头将受到热带风暴中心的影响,影响多长时间 (精确到0.1h)
【解题指南】建立平面直角坐标系,在三角形中利用余弦定理和不等式求解.
【解析】以码头为原点O,正东方向为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴到达B点位置.
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在△AOB中,OA=600,AB=20t,∠OAB=45°.根据余弦定理,得6002+400t2-2×20t×600×≤4502,
整理,得4t2-120t+1575≤0,
解之,得≤t≤,
且≈13.7(h),Δt=-=15(h).
答:从现在起13.7小时后,该码头将受到热带风暴中心的影响,影响15小时.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·蚌埠高二检测)如图,在直角坐标系xOy中,射线OP交单位圆O于点P,若∠AOP=θ,则点P的坐标是 ( )
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A.(cosθ,sinθ)
B.(-cosθ,sinθ)
C.(sinθ,cosθ)
D.(-sinθ,cosθ)
【解析】选A.设P(x,y),则cosθ==x,
sinθ==y,
即P点坐标为(cosθ,sinθ).
2.(2016·德州高二检测)过点(-,0)的直线l与曲线x2+y2=1有两个交点,则l的倾斜角的取值范围是 ( )
A.
B.
C.∪
D.∪
【解析】选D.如图,过点(-,0)的直线l与圆x2+y2=1相切时,由几何性质,得两条切线的倾斜角分别为,,结合图形,要满足直线与圆有两个交点,则l的倾斜角的取值范围是∪.
( http: / / www.21cnjy.com )
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.将点(2017,3)向左平移2015个单位得到点P,点P(2,3)经过伸缩变换后得到点的坐标为________.
【解析】将点(2017,3)向左平移2015个单位得到点P(2,3),由伸缩变换公式得
即变换后点的坐标为(1,9).
答案:(1,9)
4.将椭圆+=1按φ:变换后的曲线围成图形的面积为________.
【解析】设椭圆+=1上任意一点的坐标为P(x,y),按φ变换后的对应点的坐标为P′(x′,y′),由φ:得代入椭圆方程,得+=1,即x′2+y′2=1,圆的半径为1,所以圆的面积为π.
答案:π
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.在平面直角坐标系xOy上
( http: / / www.21cnjy.com ),直线l:x=-2交x轴于点A.设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP.当点P在l上运动时,求点M的轨迹E的方程.
【解析】如图所示,连接OM,则|PM|=|OM|.
( http: / / www.21cnjy.com )
因为∠MPO=∠AOP,
所以动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上,
设M(x,y),
①当MP⊥l时,|MP|=|x+2|,|OM|=,|x+2|=,化简得y2=4x+4(x≥-1).
②当M在x的负半轴上时,y=0(x<-1),
综上所述,点M的轨迹E的方程为
y2=4x+4(x≥-1)或y=0(x<-1).
答案:y2=4x+4(x≥-1)或y=0(x<-1)
6.已知椭圆C:+=1,P,Q为椭圆C上的两点,O为原点,直线OP,OQ的斜率的乘积为-,求|OP|2+|OQ|2的值.
【解析】方法一:参数法
设直线OP的方程为y=kx(k≠0),
代入椭圆C:x2+4y2-16=0,得x2=,
所以=x2+y2=.
由于直线OP,OQ的斜率的乘积为-,
故直线OQ的方程为y=-x(k≠0),
用-代换k,得==,
所以+=
==20.
方法二:伸缩变换法
设P(x1,y1),Q(x2,y2)在椭圆上,
根据椭圆方程+=1,令φ:
得到圆O:x′2+y′2=4.
由题意,得kOP·kOQ==-.
因为对应点P′(x′1,y′1),Q′(x′2,y′2)在圆O上,满足kOP′·kOQ′===-1,
所以OP′⊥OQ′,如图,由全等三角形的性质,
( http: / / www.21cnjy.com )
易得x=y,x=
y.
所以+
=+++
=4x+y+4x+y
=(x+y)+(x+y)+3(x+x)
=4+4+3(x+y)=4+4+12=20.课时提升作业
三
极坐标和直角坐标的互化
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.(2016·西安高二检测)若M点的极坐标为,则M点的直角坐标是
( )
A.(-,1)
B.(-,-1)
C.(,-1)
D.(,1)
【解析】选A.由公式得M点的直角坐标为(-,1).
【补偿训练】在极坐标系中,以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴,建立直角坐标系,点M的直角坐标是 ( )
A.(2,1)
B.(,1)
C.(1,)
D.(1,2)
【解析】选B.根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得点M的直角坐标为(,1).
2.设点P对应的复数为-3+3i,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为点P对应的复数为-3+3i,则点P的直角坐标为(-3,3),点P到原点的距离r=3,且点P在第二象限的平分线上,故极角等于,故点P的极坐标为.
3.若点M的极坐标为(5,θ),且tanθ=-,<θ<π,则点M的直角坐标为
( )
A.(3,4)
B.(4,3)
C.(-4,3)
D.(-3,4)
【解析】选D.因为tanθ=-,<θ<π.所以cosθ=-,sinθ=,所以x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4,故点M的直角坐标为(-3,4).
【补偿训练】在极坐标系中,A(3,3π),B,则= ( )
A.5
B.6
C.7
D.8
【解析】选C.由公式将点A(3,3π),B分别化为直角坐标为A(-3,0),
B,
==7.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.已知两点的极坐标A,B,则直线AB的倾斜角为________.
【解析】点A,B的直角坐标分别为(0,3),,
故kAB==-,
故直线AB的倾斜角为.
答案:
5.以极坐标系中的点为圆心,2为半径的圆的直角坐标方程是________.
【解析】设点C在直角坐标系中的坐标为(m,n),可得m=2cos=0,n=2sin=2,
所以点C的直角坐标为(0,2),
结合圆C的半径R=2,
根据圆的标准方程,得圆C的方程为x2+(y-2)2=4.
答案:x2+(y-2)2=4
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.在极坐标系中,已知三点M,N(2,0),P.判断M,N,P三点是否共线 说明理由.
【解析】将极坐标M,N(2,0),P分别化为直角坐标,得M(1,-),N(2,0),P(3,).
方法一:因为kMN=kPN=,
所以M,N,P三点共线.
方法二:因为==(1,).
所以∥,
所以M,N,P三点共线.
7.极坐标系中,已知O是极点,A,B.
(1)求|AB|.
(2)判断△AOB的形状.
【解析】(1)由公式x=ρcosθ,y=ρsinθ求得点A,B的直角坐标分别为A(-3,-3),B(0,-3),得|AB|=3.
(2)由上述得,直线AB平行于x轴,
∠OBA=,∠OAB=.
所以△AOB是直角三角形,其中∠OAB=.
8.已知菱形ABCD的边长为2,∠
( http: / / www.21cnjy.com )BAD=60°,AB,BC,CD,AD的中点分别为E,F,G,H,以菱形的中心为极点O与原点,OA的方向为极轴方向与x轴正方向,建立极坐标系与平面直角坐标系,如图,限定ρ≥0,θ∈[0,2π).
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求点E,F,G,H的极坐标与直角坐标.
(2)判断四边形EFGH的形状.
【解析】(1)由于菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,
所以OB=1,OA=,菱形的顶点的直角坐标分别为A(,0),B(0,1),C(-,0),
D(0,-1),
所以菱形各边中点的直角坐标分别为
E,F,G,
H,菱形各边中点的极坐标分别为
E,F,G,H.
(2)由上述菱形各边中点的直角坐标,得
==(-,0),∥,
故四边形EFGH为平行四边形,
又=(0,1),·=0,故⊥,
所以平行四边形EFGH为矩形.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·上饶高二检测)点M的直角坐标是(3,),则点M的极坐标可能为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.ρ==2,tanθ==,
又θ的终边过点(3,),
所以θ=,
所以M.
2.(2016·大庆高二检测)已知定点P,将极点移至O′处,极轴方向不变,则点P的新的极坐标为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设点P的新的极坐标为(ρ,θ),如图.
( http: / / www.21cnjy.com )
则|OO′|=2,又|OP|=4,∠POO′=-=,
在△OPO′中,ρ2=(2)2+42-2×2×4×cos=4,
故ρ=2,又=,
所以sin∠OPO′=×2=,
所以∠OPO′=,所以θ=+=,
故点P的新的极坐标为.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.将向量=(-1,)绕原点逆时针旋转120°得到向量的直角坐标为__________.
【解析】由于M(-1,)的极坐标为,绕极点(即原点)逆时针旋转120°得到的点的极坐标为,化为直角坐标为(-1,-),即为所求.
答案:(-1,-)
4.在极坐标系中,O是极点,点A,B,则点O到AB所在直线的距离是________.
【解题指南】求出点A,B的直角坐标,写出直线的方程,利用点到直线的距离公式求距离.
【解析】点A,B的直角坐标分别为(2,2),
,
则直线AB的方程为=,
即(4-3)x-(4+3)y+24=0,则点O到直线AB的距离为
=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·海口高二检测)在极坐标系中,若点A,B.
(1)求|AB|.
(2)求△AOB的面积(O为极点).
【解析】如图所示
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)∠AOB=-=.
所以|AB|2=32+(4)2-2×3×4cos=93.
所以|AB|=.
(2)S△AOB=OA·OBsin∠AOB=×3×4×=3.
6.已知点M的极坐标为,极点O′在直角坐标系xOy中的直角坐标为(2,3),极轴平行于x轴,极轴的方向与x轴的正方向相同,两坐标系的长度单位相同,求点M的直角坐标.
【解题指南】以极点为原点,建立新的直角坐标系,建立点的新直角坐标与原直角坐标的关系求解.
【解析】以极点O′为坐标原点,极轴方向为x′轴正方向,
( http: / / www.21cnjy.com )
建立新直角坐标系x′O′y′,设点M的新直角坐标为(x′,y′),于是x′=4cos=2,y′=4sin=2,由O′(x′,y′)=O′(0,0),O′(x,y)=O′(2,3),
易得O′(x′,y′)与O′(x,y)的关系为于是点M(x,y)为所以点M的直角坐标为(2+2,5).单元质量评估(二)
第二讲
(90分钟 120分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知点P(3,b)在曲线(t为参数)上,则b的值为 ( )
A.-5
B.3
C.-5或3
D.-2或3
【解析】选C.把点P(3,b)代入得
则
2.方程(t为参数)表示的曲线是 ( )
A.双曲线
B.双曲线的上支
C.双曲线的下支
D.圆
【解析】选B.把参数方程化为
( http: / / www.21cnjy.com )普通方程,再判断表示的曲线类型.注意到2t与2-t互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含t的项:
x2-y2=-=-4,即y2-x2=4.
由于2t>0,2t+2-t≥2=2,
即y≥2.所以y2-x2=4(y≥2).
它表示焦点在y轴上,以原点为中心的双曲线的上支.
3.已知点P(x,y)在曲线C:(θ为参数)上,则x-2y的最大值为
( )
A.2
B.-2
C.1+
D.1-
【解题指南】利用曲线C的参数方程把x-2y转化为关于θ的函数,再求其最大值.
【解析】选C.由题意,得
所以x-2y=1+cosθ-2sinθ
=1-(2sinθ-cosθ)=1-
=1-sin(θ-φ),
所以x-2y的最大值为1+.
4.(2016·合肥高二检测)若圆的方程为(θ为参数),直线的方程为(t为参数),则直线与圆的位置关系是 ( )
A.相交过圆心
B.相交且不过圆心
C.相切
D.相离
【解析】选B.圆(θ为参数)的普通方程为(x+1)2+(y-3)2=4,直线(t为参数)的普通方程为3x-y+2=0,圆心(-1,3)到直线的距离为d==5.直线(t为参数)的倾斜角为α,则cosα= ( )
A.
B.-
C.-
D.-
【解题指南】求出直线的斜率,得到直线的倾斜角的正切值,最后利用同角三角函数的基本关系式解方程即得.
【解析】选B.因为k===-2.
所以tanα=-2,sinα=-2cosα,
又sin2α+cos2α=1,所以5cos2α=1,
因为α∈,所以cosα=-.
【补偿训练】直线l1:(t为参数),如果α为锐角,那么直线l1与直线l2:x+1=0的夹角是 ( )
A.-α
B.+α
C.α
D.π-α
【解析】选A.直线l1可化为y-2=-tanα(x-1),l2的倾斜角为,l1的倾斜角为π-α,故l1与l2的夹角为-α.
6.曲线(φ为参数)的极坐标方程为 ( )
A.ρ=sinθ
B.ρ=sin2θ
C.ρ=2sinθ
D.ρ=2cosθ
【解析】选C.曲线(φ为参数)的普通方程为x2+(y-1)2=1,即x2+y2=2y.化为极坐标方程为ρ=2sinθ.
7.直线l的参数方程为(t为参数)l上的点P1对应的参数是t1,则点P1与P(a,b)之间的距离是 ( )
A.|t1|
B.2|t1|
C.|t1|
D.|t1|
【解题指南】把直线的参数方程化为标准形式,利用标准形式中参数t的几何意义求解.
【解析】选C.直线l的参数方程为
(t为参数)
令t=t′,化为标准形式为(t′为参数)点P1对应的参数是t1,则点P1与P(a,b)之间的距离是|t1|.
8.(2016·衡水高二检测)设P是曲线C:(θ为参数,且0≤θ<2π)上的任意一点,则的取值范围是 ( )
A.
B.∪
C.
D.∪
【解析】选C.曲线C:(θ为参数,0≤θ<2π)的普通方程为:+y2=1,P是曲线C:+y2=1上任意一点,则的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率,可得∈.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
9.(2016·西安高二检测)如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-2y=0的参数方程为________.
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【解题指南】将直线的方程代入圆的方程求y,化为参数方程.
【解析】将直线y=tanθx代入x2+y2-2y=0,
得(1+tan2θ)x2-2tanθx=0,
解得x=2sinθcosθ,
所以y=tanθx=2sin2θ,
所以圆x2+y2-2y=0的参数方程为
答案:(θ为参数)
10.(2016·宜昌高二检测)已知直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0与曲线(θ为参数)有且仅有一个公共点,则正实数a的值为________.
【解析】直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的直角坐标方程为3x+4y+a=0,曲线(θ为参数)的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,因为直线与圆有且仅有一个公共点,则d==1,解得a=2或a=-8,所以正实数a的值为2.
答案:2
11.已知一条直线的参数方程是(t为参数)另一条直线的方程为x-y-2=0,则两条直线的交点与点(1,-5)间的距离为__________.
【解析】把直线(t为参数)代入另一条直线的方程x-y-2=0,
得1+t--2=0,
解得t=4,
所以两条直线的交点为(1+2,1),
交点到点(1,-5)的距离为
=4.
答案:4
12.(2016·衡水高二检测改编)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ+cosθ,曲线C3的极坐标方程为θ=.曲线C3与曲线C1交于点O,A,曲线C3与曲线C2交于点O,B,则|AB|=________.
【解析】(1)曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=1.
即x2+y2-2x=0,
由x=ρcosθ,y=ρsinθ,得ρ2-2ρcosθ=0,
所以曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(2)设点A的极坐标为,
点B的极坐标为,
则ρ1=2cos=,ρ2=sin+cos=+.
所以|AB|=|ρ1-ρ2|=.
答案:
三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13.(10分)求直线(t为参数)被双曲线x2-y2=1截得的弦长.
【解析】把直线的参数方程化为标准参数方程
(b为参数)
代入x2-y2=1,得:-=1,
整理,得:b2-4b-6=0,
设其二根为b1,b2,则b1+b2=4,b1·b2=-6,
弦长为|AB|=|b1-b2|=
===2.
14.(10分)(2016·抚顺高三检测)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴.已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为.若直线l过点P,且倾斜角为,圆C以M为圆心、4为半径.
(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程.
(2)试判定直线l和圆C的位置关系.
【解析】(1)直线l的参数方程为(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ.
(2)因为M对应的直角坐标为(0,4),
直线l化为普通方程为x-y-5-=0,
圆心到l的距离d==>4,
所以直线l与圆C相离.
15.(10分)(2016·衡水高二检测)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρsin=a,
曲线C2的参数方程为(α为参数,0≤α≤π).
(1)求C1的直角坐标方程.
(2)当C1与C2有两个公共点时,求实数a的取值范围.
【解析】(1)曲线C1的极坐标方程为
ρ=a,
所以曲线C1的直角坐标方程为x+y-a=0.
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)曲线C2的直角坐标方程为
(x+1)2+(y+1)2=1(-1≤y≤0),为半圆弧,
如图所示,曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线,
当直线C1过点P时,
利用=1得a=-2+或a=-2-(舍去),
当直线C1过点A,B两点时,a=-1,
所以由图可知,当-1≤a<-2+时,曲线C1与曲线C2有两个公共点.
16.(10分)已知直线y=kx(k>0)交抛物线y=x2-2x+2于P1,P2两点(可以重合),O为原点,点M在线段P1P2上,且满足+=,求点M的轨迹方程.
【解析】设直线y=kx(k>0)的参数方程为,代入抛物线y=x2-2x+2,整理,得t2cos2θ-(2cosθ+sinθ)t+2=0,
所以t1+t2=,t1t2=.
设M点对应的参数为t,由题意,得
=+==,
即2tcosθ+tsinθ=4.
所以2x+y=4,代入y=x2-2x+2,消去y得
x2=2,所以x=±,
所以动点M的轨迹方程为2x+y=4(017.(10分)(2016·营口高三检测)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合.设点O为坐标原点,直线l:(参数t∈R)与曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.
(1)求直线l与曲线C的普通方程.
(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求证:·=0.
【解题指南】(1)消去参数求直线l的普通方程,由x=ρcosθ,y=ρsinθ得曲线C的直角坐标方程.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得x2-12x+16=0,再由根与系数的关系进行求解.
【解析】(1)∵直线l:(参数t∈R),
所以x=y+4,所以直线l:y=x-4,
∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.
所以曲线C的极坐标方程为ρ2sin2θ=4ρcosθ.
即曲线C:y2=4x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得x2-12x+16=0,所以x1+x2=12,x1x2=16,
所以y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16,
所以·=x1x2+y1y2=2x1x2-4(x1+x2)+16=0.
18.(10分)(2016·唐山高二检测)已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0(ρ≥0),直线l的参数方程为(t为参数,0°≤α<180°).
(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程.
(2)若直线l与曲线C有且只有一个交点,求α的值.
【解析】(1)将极坐标与直角坐标互化公式及ρ2=x2+y2,代入
ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0,得x2+4x-x2-y2=0,
因而曲线C的直角坐标方程为y2=4x,
当α=90°时,直线l的普通方程为x=0,y∈R,
当α≠90°时,消去参数t,
得直线l的普通方程为y=x·tanα+1.
(2)由已知,直线l过定点(0,1),
将直线l的参数方程代入到y2=4x,
得t2sin2α+2t(sinα-2cosα)+1=0,
由已知得Δ=4(sinα-2cosα)2-4sin2α=0,
即16cosα(cosα-sinα)=0,
所以cosα=0或cosα=sinα,则α=90°或α=45°,
又当α=0°时直线l化为y=1,x∈R,此时与曲线C也只有一个交点,所求α的值为0°或45°或90°.课时提升作业
四
简单曲线的极坐标方程
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.(2016·安庆高二检测)极坐标方程为(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是
( )
A.两个圆
B.两条直线
C.一条直线和一条射线
D.一个圆和一条射线
【解析】选D.极坐标方程为(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)即ρ=1或θ=π(ρ≥0),表示一个圆和一条射线.
2.(2016·西安高二检测)在极坐标系中,圆ρ=2sinθ的圆心的极坐标是( )
A.(1,π)
B.
C.
D.(1,0)
【解析】选C.由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,
化为直角坐标方程为x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1,圆心坐标为(0,1),化为极坐标为.
【补偿训练】在极坐标系中,圆ρ=2sinθ的周长为 ( )
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
【解析】选B.由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,
化为直角坐标方程为x2+y2-2y=0,
即x2+(y-1)2=1,圆的半径为1,所以圆的周长为2π.
3.(2016·成都高二检测)在极坐标系中,点到直线ρsin=-的距离是 ( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选B.在极坐标系中,点的直角坐标为(1,1),直线ρsin
=-即ρ=-,化为直角坐标方程为x-y=,即x-y-=0,由点到直线的距离公式,得d==.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.(2016·安阳高二检测)在极坐标系中,过点A引圆ρ=4sinθ的一条切线,则切线长为________.
【解题指南】先将圆的极坐标方程转化为普通方程,将点的极坐标转化为直角坐标,再利用解直角三角形求其切线长.
【解析】圆的普通方程为x2+(y-2)2=4,点A的直角坐标为(0,-4),点A与圆心的距离为|-4-2|=6,所以切线长为=4.
答案:4
5.过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是________.
【解析】点P的直角坐标为(1,),所以经过该点垂直于极轴的直线的直角坐标方程为x=1,化为极坐标方程为ρcosθ=1.
答案:ρcosθ=1
【补偿训练】过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程是________.
【解析】点P的直角坐标为(1,),所以经过该点平行于极轴的直线的直角坐标方程为y=,化为极坐标方程为ρsinθ=.
答案:ρsinθ=
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.(2015·江苏高考)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,求圆C的半径.
【解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,化简得ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0.
令y=ρsinθ,x=ρcosθ,
得x2+y2-2x+2y-4=0,
即(x-1)2+(y+1)2=6,
所以圆C的半径为.
7.(2016·广安高二检测)求圆心为,半径为a的圆的极坐标方程.
【解析】圆经过极点O,过圆和极轴的另
( http: / / www.21cnjy.com )一个交点,作极轴的垂线,交圆于点A,那么|OA|=2a,设M(ρ,θ)为圆上除点O,A外的任一点,则OM⊥AM,在Rt△AMO中,|OM|=||OA|cos∠MOA|,
即ρ=2acos或ρ=2acos,
所以ρ=-2asinθ,
可以验证点O(0,0),A的坐标满足上式,
所以所求极坐标方程是:ρ=-2asinθ.
8.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin=,圆C:+=r2.
(1)求圆心C的极坐标.
(2)当r为何值时,圆C上的点到直线l的最大距离为3.
【解析】(1)由+=r2
得圆心C:.
所以圆心C的极坐标.
(2)由ρsin=,得ρ(cosθ+sinθ)=1,
所以直线l:x+y-1=0.
圆C:+=r2的圆心
到直线l的距离为:
d==1+,
因为圆C上的点到直线l的最大距离为3,
所以1++r=3.r=2-,
所以当r=2-时,圆C上的点到直线l的最大距离为3.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·衡水高二检测)极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为 ( )
A.一条射线和一个圆
B.两条直线
C.一条直线和一个圆
D.一个圆
【解析】选C.极坐标方程ρcosθ=2sin2θ变为ρcosθ=2sinθcosθ,即
cosθ(ρ-2sinθ)=0,所以cosθ=0或ρ=2sinθ,表示一条直线和一个圆.
2.(2016·九江高二检测)极坐标系内,点到直线ρcosθ=2的距离是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解题指南】将点的极坐标化为直角坐标,将直线的极坐标方程化为直角坐标方程计算.
【解析】选B.点的直角坐标为(0,1),直线ρcosθ=2的直角坐标方程为x=2,故点(0,1)到直线x=2的距离是d=2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.在极坐标系中,直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长为________.
【解析】因为ρsin=2,
所以ρsinθ+ρcosθ=2,化成直角坐标方程为:
x+y-2=0,
圆ρ=4化成直角坐标方程为x2+y2=16,半径R=4,
圆心到直线的距离为:d==2,
所以截得的弦长为:2×=2×=4.
答案:4
4.(2015·汕头高二检测)在极坐标系中,圆ρ=2上的点到直线ρ(cosθ+
sinθ)=6的距离的最小值是________.
【解析】ρ=2的直角坐标方程为x2+y2=4,ρ(cosθ+sinθ)=6的直角坐标方程为x+y-6=0,圆心到直线的距离为d=3,所以圆上的点到直线的距离的最小值为3-2=1.
答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标.
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
【解题指南】利用公式将极坐标方程化为直角坐标方程.
【解析】(1)由ρcos=1,得
ρ=1.
从而C的直角坐标方程为x+y=1.即x+y=2.
当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0);
当θ=时,ρ=,所以N.
(2)M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为,所以P点的直角坐标为,
则P点的极坐标为.
所以直线OP的极坐标方程为θ=,ρ∈(-∞,+∞).
6.(2016·衡水高二检测)已知☉O1与☉O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ.
(1)写出☉O1和☉O2的圆心的极坐标.
(2)求经过☉O1和☉O2交点的直线的极坐标方程.
【解析】(1)☉O1和☉O2的圆心的极坐标分别为(2,0),.
(2)以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,
在直角坐标系下☉O1与☉O2的方程分别为x2+y2-4x=0,x2+y2+4y=0,
则经过☉O1和☉O2交点的直线的方程为y=-x,
其极坐标方程为θ=-(ρ∈R).课时提升作业
九
直线的参数方程 渐开线与摆线
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.直线不经过( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解答】选D.直线经过点(-3,2),倾斜角α=,所以不经过第四象限.
【补偿训练】直线 的倾斜角为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.方法一:直线的普通方程为y-2=(x+3),所以由直线的斜率得倾斜角为.
方法二:直线
即
所以直线的倾斜角为.
2.(2016·衡水高二检测)若直线的参数方程为(t为参数),则直线的斜率为 ( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.直线的普通方程为y=-x+,所以直线的斜率为-.
3.已知直线l过点P(1,2),其参数方程为(t是参数),直线l与直线2x+y-2=0交于点Q,则|PQ|= ( )
A.1
B.
C.2
D.2
【解析】选D.方法一:将直线l的参数方程(t是参数)化为普通方程y=-x+3,代入2x+y-2=0,
得x=-1,y=4,即Q(-1,4),
所以|PQ|2=4+4=8,|PQ|=2.
方法二:将直线l的方程化为标准形式代入2x+y-2=0得t′=2,
所以PQ=|t′|=2.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.(2015·重庆高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=4,则直线l与曲线C的交点的极坐标为__________.
【解题指南】首先将直线与曲线C的方程化为直角坐标系下的方程,然后求出交点坐标再化为极坐标即可.
【解析】因为直线l的参数方程为
所以直线l的普通方程为y=x+2.
因为曲线C的极坐标方程为
ρ2cos2θ=4,
可得曲线C的直角坐标方程为x2-y2=4(x<0).
联立解得交点坐标为(-2,0),
所以交点的极坐标为(2,π).
答案:(2,π)
5.已知直线l:(t为参数)圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,则圆心C到直线l的距离为________.
【解析】直线l的普通方程为2x-y+1
( http: / / www.21cnjy.com )=0,圆ρ=2cosθ的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0).
故圆心到直线的距离为=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.已知直线l过点A(-2,3),倾斜角为135°,求直线l的参数方程,并且求直线上与点A距离为3的点的坐标.
【解析】直线l1的参数方程为
(t为参数)
即 ①
设直线上与点A距离为3的点为B,且点B对应的参数为t,则|AB|=|t|=3.
所以t=±3.把t=±3代入①,得
当t=3时,点B在点A的上方,点B的坐标为(-5,6);
当t=-3时,点B在点A的下方,点B的坐标为(1,0).
7.(2015·湖南高考)已知直线l:(t为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)设点M的直角坐标为,直线l与曲线C的交点为A,B,求·的值.
【解题指南】(1)利用ρ2=x2+y2,ρcosθ=x即可将已知条件中的极坐标方程转化为直角坐标方程.
(2)联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程,利用参数的几何意义结合根与系数的关系即可求解.
【解析】(1)ρ=2cosθ等价于ρ2=2ρcosθ, ①
将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入①式即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0. ②
(2)将代入②,得t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知·==18.
8.(2016·唐山高二检测)已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=.
(1)写出直线l的参数方程.
(2)设l与圆x2+y2=4相交于A,B两点,求P点到A,B两点的距离之积|PA||PB|和距离之和|PA|+|PB|.
【解析】(1)(t为参数)
(2)将(t为参数),
代入x2+y2=4得,t2+(1+)t-2=0,
由根与系数的关系,得t1+t2=-(+1),t1t2=-2,
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=,
|PA||PB|=|t1t2|=2.
【补偿训练】(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,且t≠0)其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标.
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.
联立解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.
因此点A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2cosα,α).
所以|AB|=|2sinα-2cosα|=4.
当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·邯郸高二检测)在参数方程(t为参数)所表示的曲线上有B,C两点,它们对应的参数值分别为t1,t2,则线段BC的中点M对应的参数值是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.在参数方程(t为参数)
所表示的曲线上有B,C两点,它们对应的参数值分别为t1,t2,则B(a+t1cosθ,b+
t1sinθ),C(a+t2cosθ,b+t2sinθ),线段BC的中点M,对应的参数值是.
2.(2016·龙岩高二检测)若曲线(t为参数)与曲线ρ=2相交于B,C两点,则|BC|的值为 ( )
A.2
B.2
C.7
D.
【解析】选D.曲线ρ=2的直角坐标方程为x2+y2=8,直线的普通方程为x+y-1=0,圆心到直线的距离为d=,由弦长公式,得|BC|=2=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)则该摆线一个拱的高度是________.
【解析】由圆的摆线的参数方程(φ为参数)知圆的半径r=3,所以摆线一个拱的高度是3×2=6.
答案:6
4.(2015·广州高二检测)在直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为(θ为参数)和(t为参数)以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线C1与C2的公共点的极坐标为________.
【解析】曲线C1:(θ为参数)的普通方程为x2+y2=2,C2:(t为参数)的普通方程为x+y-2=0.圆心(0,0)到此直线的距离为d===r,所以直线和圆相切,切点为(1,1),化为极坐标为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·安庆高二检测)过点P(-1,0)作倾斜角为α的直线与曲线+=1相交于M,N两点.
(1)写出直线MN的参数方程.
(2)求·的最小值.
【解析】(1)因为直线MN过点P(-1,0)且倾斜角为α,所以直线MN的参数方程为:(t为参数).
(2)将直线MN的参数方程代入曲线+=1,
得2(-1+tcosα)2+3(tsinα)2=6,
整理得(3-cos2α)·t2-4cosα·t-4=0,
设M,N对应的参数分别为t1,t2,
则|PM|·|PN|=|t1·t2|=,
当cosα=0时,|PM|·|PN|取得最小值为.
6.以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程为(t为参数,0<α<π)曲线C的极坐标方程ρ=.
(1)求曲线C的直角坐标方程.
(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当α变化时,求|AB|的最小值.
【解析】(1)由ρ=,得ρ2sin2θ=2ρcosθ,
所以曲线C的直角坐标方程为y2=2x.
(2)将直线l的参数方程代入y2=2x,
得t2sin2α-2tcosα-1=0,
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
则t1+t2=,t1·t2=-,
所以|AB|=|t1-t2|=
==,
当α=时,|AB|取得最小值2.考前过关训练(二)
参数方程
(40分钟 80分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.下列点在曲线(θ为参数)上的是 ( )
A.(1,1)
B.
C.
D.
【解析】选D.曲线(θ为参数)的普通方程为x2+y2=1,只有选项D的坐标满足条件.
2.对于参数方程为和的曲线,正确的结论是
( )
A.是倾斜角为30°的平行线
B.是倾斜角为30°的同一直线
C.是倾斜角为150°的同一直线
D.是过点(1,2)的相交直线
【解析】选C.因为两条直线的斜率分别为
=-,=-.斜率相等,且都经过点(1,2),所以是倾斜角为150°的同一直线.
3.(2016·西安高二检测)直线l:(t为参数)与圆C:(θ为参数)的位置关系是 ( )
A.相离
B.相切
C.相交且过圆心
D.相交但不过圆心
【解析】选D.直线l的普通方程为x-y+1=0,圆C的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心C(2,1)到直线l的距离为d==4.曲线(θ为参数)的焦点坐标为 ( )
A.(±3,0)
B.(0,±3)
C.(±6,0)
D.(0,±6)
【解析】选D.曲线(θ为参数)的普通方程为+=1,这是焦点在纵轴上的椭圆,
c2=a2-b2=62,所以焦点坐标为(0,±6).
5.参数方程(α为参数)的普通方程为 ( )
A.y2-x2=1
B.x2-y2=1
C.y2-x2=1(|x|≤)
D.x2-y2=1(|x|≤)
【解析】选C.x2==1+sinα,
y2=2+sinα,所以y2-x2=1.
又x=sin+cos=sin∈[-,],即|x|≤.
6.已知直线l的参数方程为(t为参数)圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ,则直线l与圆C的位置关系为 ( )
A.相离
B.相切
C.相交
D.由参数确定
【解析】选C.将直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程,得2x-y+1=0.
将圆C的极坐标方程ρ=2sinθ化为直角坐标方程,得x2+y2-2y=0,即x2+(y-)2=2,
圆心到直线的距离为d=所以直线l与圆C相交.
二、填空题(每小题6分,共18分)
7.直线l的斜率是-1,且过曲线(θ为参数)的对称中心,则直线l的方程是________.
【解析】曲线化为普通方程是(x-2)2+(y-3)2=4,此圆的对称中心即为圆心(2,3),所求直线是x+y-5=0.
答案:x+y-5=0
8.点P(x,y)是椭圆4x2+9y2=36上的一个动点,则x+2y的最大值为________.
【解析】椭圆的标准方程为+=1,
设P(3cosθ,2sinθ),得
x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin(θ+φ)≤5.
所以x+2y的最大值为5.
答案:5
9.(2016·太原高二检测)已知抛物线C的参数方程为(t为参数).若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点,且与圆(x-4)2+y2=r2(r>0)相切,则r=________.
【解题提示】化抛物线的参数方程为普通方程,求出焦点,写出直线方程,求圆心到直线的距离即可.
【解析】抛物线的普通方程为y2=8x,过焦点(2,0)且斜率为1的直线为x-y-2=0,圆心(4,0)到直线的距离为,因为直线和圆相切,故圆的半径为r=d=.
答案:
三、解答题(10题、11题10分,12题12分,共32分)
10.如图,双曲线b2x2-a2y2=a2b2的动弦CD与实轴AA′垂直,求动直线A′C与AD的交点P的轨迹.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】设A′(-a,0),
A(a,0),C(asecθ,btanθ),
则D(asecθ,-btanθ).
从而,A′C的方程为
=(x≠-a). ①
AD的方程为=(x≠a). ②
①×②,得=-.
所以+=1(x≠±a).
11.(2016·福州高二检测)已知直线l的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,在曲线C:(θ为参数)上求一点,使它到直线l的距离最小,并求出该点坐标和最小距离.
【解析】直线l的直角坐标方程是x+y-1=0,
设所求的点为P(-1+cosθ,sinθ),
则P到直线l的距离
d==.
当θ+=2kπ+,k∈Z,即θ=2kπ+,k∈Z时,
d的最小值为-1,此时P.
12.(2016·安庆高二检测)以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数)曲线C的极坐标方程为(1+sin2θ)ρ2=2.
(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程.
(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,若点P为(1,0),求+.
【解析】(1)消去参数t得直线l的普通方程为x-y-=0,曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2,化成直角坐标方程为x2+2y2=2,即+y2=1.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C:x2+2y2=2,得7t2+4t-4=0.
设A,B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1,t2,
则t1+t2=-,t1t2=-,
所以+=+
===.
【补偿训练】(2016·沈阳高二检测)已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ=,以极点为原点,极轴为x轴正方向建立直角坐标系,点M(-1,0),直线l与曲线C交于A,B两点.
(1)求直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程.
(2)线段MA,MB长度分别记为|MA|,|MB|,求|MA|·|MB|的值.
【解析】(1)直线l:(t为参数)
的直角坐标方程为x-y+1=0,
所以极坐标方程为ρcos=-1,
曲线C:ρ=,即(ρcosθ)2=ρsinθ,
所以曲线的普通方程为y=x2.
(2)将(t为参数)
代入y=x2得t2-3t+2=0,
所以t1t2=2,所以|MA|·|MB|=|t1t2|=2.课时提升作业
八
圆锥曲线的参数方程
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.参数方程(φ为参数)表示 ( )
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.双曲线
【解析】选C.参数方程(φ为参数)的普通方程为+y2=1,表示椭圆.
2.曲线(φ为参数)的焦点与原点的距离为 ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.曲线(φ为参数)的普通方程为-=1,得c==5,所以焦点与原点的距离为5.
3.已知曲线的参数方程为它表示的曲线是 ( )
A.直线
B.双曲线
C.椭圆
D.抛物线
【解析】选D.将曲线的参数方程消去参数t,得到普通方程为y2=6-2x,它表示的曲线是抛物线.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.已知曲线C的参数方程是(θ为参数),当θ=时,曲线上对应点的坐标是________.
【解析】当θ=时,
故曲线上对应点的坐标是.
答案:
5.已知椭圆C:+=1和直线l:x-2y+c=0有公共点,则实数c的取值范围是________.
【解题指南】利用椭圆的参数方程转化为三角函数求值域.
【解析】设M(2cosθ,sinθ),θ∈[0,2π)是椭圆和直线的公共点,则有
2cosθ-2sinθ+c=0,
所以c=2sinθ-2cosθ=4sin∈[-4,4].
答案:[-4,4]
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.已知直线l:x+2y-6=0与抛物线y2=2x交于A,B两点,O为原点,求∠AOB的值.
【解析】设抛物线y2=2x的参数方程为(t是参数)
代入x+2y-6=0,
整理得3t2+2t-3=0,①
因为A,B对应的参数t1,t2分别是方程①的两根,
所以t1t2=-1,
因为t表示抛物线上除原点外任一点与原点连线的斜率的倒数,
所以·=-1,即kOA·kOB=-1,
所以∠AOB=90°.
7.如图所示,已知点M是椭圆+=1(a>b>0)上在第一象限的点,A(a,0)和B(0,b)是椭圆的两个顶点,O为原点,求四边形MAOB的面积的最大值.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解题指南】将椭圆的直角坐标方程化为参数方程,表示出点M的坐标,将四边形MAOB的面积表示为椭圆参数的函数,利用三角函数的知识求解.
【解析】点M是椭圆+=1(a>b>0)上在第一象限的点,由于椭圆+=1的参数方程为(φ为参数)故可设M(acosφ,bsinφ),其中0<φ<,因此,
S四边形MAOB=S△MAO+S△MOB=OA·yM+OB·xM=ab(sinφ+cosφ)=absin.所以,当φ=时,四边形MAOB的面积有最大值,最大值为ab.
8.(2016·株洲高二检测)已知圆锥曲线(θ是参数)和定点A(0,),F1,F2是圆锥曲线的左、右焦点.
(1)求经过点F1垂直于直线AF2的直线l的参数方程.
(2)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AF2的极坐标方程.
【解析】(1)圆锥曲线
化为普通方程为+=1,
所以F1(-1,0),F2(1,0),则直线AF2的斜率k=-,于是经过点F1垂直于直线AF2的直线l的斜率k′=,直线l的倾斜角是30°,所以直线l的参数方程是
(t为参数),即(t为参数).
(2)直线AF2的斜率k=-,倾斜角是120°,设P(ρ,θ)是直线AF2上任一点,则=,ρsin(120°-θ)=sin60°,则ρsinθ+ρcosθ=.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.方程(t为参数)表示的图形是 ( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.双曲线一支
【解析】选D.由(t为参数)
得x2-y2=e2t+2+e-2t-(e2t-2+e-2t)=4且x=et+e-t≥2,故曲线为双曲线的右支.
2.曲线(θ为参数)的一个焦点坐标为 ( )
A.(3,0)
B.(4,0)
C.(-5,0)
D.(0,5)
【解析】选C.由于sec2φ-tan2φ=1,所以曲线的普通方程为-=1,
所以双曲线的焦点为(±5,0).
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·深圳高二检测)在直角坐标系中,已知直线l:(s为参数)与曲线C:(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|=________.
【解题指南】将直线和曲线的参数方程化为普通方程联立方程组,求交点的坐标计算距离.
【解析】直线l:(s为参数)的普通方程为
y=3-x,曲线C:(t为参数)的普通方程为y=(x-3)2,依题意,得(x-3)2=3-x,解得x1=3,y1=0;x2=2,y2=1,所以坐标为A(3,0),B(2,1),
则|AB|=.
答案:
4.(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数)则C1与C2交点的直角坐标为____________.
【解题指南】先将曲线C1的极坐标方程转化为直角坐标方程,曲线C2的参数方程转化为普通方程,再联立方程组求解.
【解析】曲线C1的直角坐标方程为x+y=-2,
曲线C2的普通方程为y2=8x,
由得
所以C1与C2交点的直角坐标为(2,-4).
答案:(2,-4)
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.椭圆+=(a>b>0)与x轴的正方向交于点A,O为原点,若这个椭圆上总存在点P,使OP⊥AP,求椭圆离心率e的取值范围.
【解题指南】利用椭圆的参数方程设点的坐标,通过直线垂直,转化为直线的斜率之积互为负倒数解决.
【解析】设椭圆的参数方程为(a>b>0),
则椭圆上的P(acosθ,bsinθ),A(a,0).
因为OP⊥AP,所以·=-1,
即(a2-b2)cos2θ-a2cosθ+b2=0,
解得cosθ=或cosθ=1(舍去).
因为-1把b2=a2-c2代入得-1<<1,
即-1<-1<1,解得6.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(a>b>0,φ为参数)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2是圆心在极轴上,且经过极点的圆,已知曲线C1上的点M对应的参数φ=,射线θ=与曲线C2交于点D.
(1)求曲线C1,C2的普通方程.
(2)若点A(ρ1,θ),B在曲线C1上,求+的值.
【解析】(1)方法一:将M及对应的参数φ=代入得
得所以曲线C1的方程为(φ为参数)化为普通方程为+y2=1.
设圆C2的半径为R,由题意得圆C2的方程为ρ=2Rcosθ,
将点D代入ρ=2Rcosθ得1=2Rcos,
解得R=1,所以曲线C2的方程为ρ=2cosθ.
化为普通方程为(x-1)2+y2=1.
方法二:将点M及对应的参数φ=代入得
解得
故曲线C1的方程为+y2=1.
由题意设圆C2的半径为R,
则方程为(x-R)2+y2=R2,
由D化直角坐标为代入(x-R)2+y2=R2得R=1,
故圆C2的方程为(x-1)2+y2=1.
(2)因为点A(ρ1,θ),B在曲线C1上,
所以+sin2θ=1,+
sin2=1,
即+cos2θ=1,
所以+=+=.
