第14章 勾股定理 达标检测卷
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第14章达标检测卷
(120分，90分钟)
题 号
一
二
三
总 分
得 分
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )
A．30，40，50
B．7，12，13
C．5，9，12
D．3，4，6
2．用反证法证明“如果在△ABC中，∠C＝90°，那么∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设( )
A．∠A>45°，∠B>45°
B．∠A≥45°，∠B≥45°
C．∠A<45°，∠B<45°
D．∠A≤45°，∠B≤45°
(第3题)
3．如图，图中有一个正方形，此正方形的面积是( )
A．16
B．8
C．4
D．2
4．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是( )
A．∠A＝∠B－∠C
B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2
C．b2＝a2－c2
D．a∶b∶c＝1∶1∶2
5．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
(第6题)
6．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处朝张大爷的房子方向折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时会砸到张大爷的房子吗( )
A．一定不会
B．可能会
C．一定会
D．以上答案都不对
7．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线AC上的D′点处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为( )
A.
B．3
C．1
D.
(第7题)
(第8题)
(第9题)
(第10题)
8．如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，AC＝17，BC＝16，AD＝15，则△ABC的面积为( )
A．128
B．136
C．120
D．240
9．如图，长方体的高为9
m，底面是边长为6
m的正方形，一只蚂蚁从顶点A开始，爬向顶点B.那么它爬行的最短路程为( )
A．10
m
B．12
m
C．15
m
D．20
m
10．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4
cm、3
cm、12
cm，现有一长为16
cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h(cm)的取值范围为( )
A．3B．3≤h≤4
C．2≤h≤4
D．h＝4
二、填空题(每题3分，共30分)
11．若用反证法证明“有两个内角不相等的三角形不是等边三角形”，可先假设这个三角形是________．
12．在△ABC中，AC2－AB2＝BC2，则∠B的度数为________．
13．如图，∠OAB＝∠OBC＝90°，OA＝2，AB＝BC＝1，则OC2＝________.
(第13题)
(第14题)
(第19题)
(第20题)
14．如图，直角三角形三边上的半圆形面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是________．
15．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80
cm，宽为60
cm，对角线长为100
cm，则这个桌面________(填“合格”或“不合格”)．
16．若直角三角形的两边长分别为a、b，且满足(a－3)2＋|b－4|＝0，则该直角三角形的斜边长为________．
17．等腰三角形ABC的腰AB为10
cm，底边BC为16
cm，则面积为________cm2.
18．在△ABC中，AB＝13
cm，AC＝20
cm，BC边上的高为12
cm，则△ABC的面积为________．
19．《中华人民共和国道路管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70
km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶时，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪观测点A正前方50
m的C处，过了6
s后，行驶到B处的小汽车与车速检测仪间的距离变为130
m，请你判断：这辆小汽车________(填“是”或“否”)超速了．
20．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…，依照此方法继续作下去，得OP2
015＝________．
三、解答题(21，22题每题8分，23，24题每题10分，25，26题每题12分，共60分)
21．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角.
22.园丁住宅小区有一块草坪如图，已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB⊥BC，求这块草坪的面积．
(第22题)
23．如图，将断落的电话线拉直，使其一端在电线杆顶端A处，另一端落在地面C处，这时测得BC＝6米，再把电话线沿电线杆拉扯，使AD＝AB，并量出电话线剩余部分(即CD)的长为2米，你能由此算出电线杆AB的高吗？
(第23题)
24．如图，在△ABC中，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，且周长为36
cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1
cm的速度移动；点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2
cm的速度移动，如果P，Q同时出发，问过3
s时，△BPQ的面积为多少？
(第24题)
25．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有一学校，点A到公路MN的距离为80
m，现有一拖拉机在公路MN上以18
km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100
m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？
(第25题)
26．图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为(a＋b)的正方形内．
(1)图乙、图丙中①②③都是正方形．由图可知：①是以________为边长的正方形，②是以________为边长的正方形，③的四条边长都是________，且每个角都是直角，所以③是以________为边长的正方形；
(2)图乙中①的面积为________，②的面积为________，图丙中③的面积为________；
(3)图乙中①②的面积之和为________；
(4)图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？
(第26题)
答案
一、1.A 2.A 3.B 4.D 5.D 6.A 7.A 8.C 9.C 10.B
二、11.等边三角形 12.90° 13.6
14．S1＋S2＝S3 15.合格 16.4或5
17．48 18.126
cm2或66
cm2 19.是
20. 点拨：由勾股定理得：OP4＝＝，∵OP1＝，OP2＝，OP3＝，OP4＝，以此类推可得OPn＝，∴OP2
015＝.本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．
三、21.证明：假设三角形ABC的三个内角∠A、∠B、∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立，所以一个三角形中不能有两个角是直角．
22．解：连接AC.
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，
所以AC2＝42＋32＝25，即AC＝5米．
在△ACD中，因为AC2＋CD2＝52＋122＝169＝AD2.
所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.
所以S草坪＝S△ABC＋S△ACD＝×3×4＋×5×12＝36(平方米)．
答：这块草坪的面积是36平方米．
23．解：设AB＝x米，则AC＝AD＋CD＝AB＋CD＝(x＋2)米．在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即(x＋2)2＝x2＋62，解得x＝8.即电线杆AB的高为8米．
24．解：设AB＝3x
cm，则BC＝4x
cm，AC＝5x
cm，
因为△ABC的周长为36
cm，所以AB＋BC＋AC＝36
cm，
即3x＋4x＋5x＝36，解得x＝3，
所以AB＝9
cm，BC＝12
cm，AC＝15
cm.
因为AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形，且∠B＝90°.
过3
s时，BP＝9－3×1＝6(cm)，BQ＝2×3＝6(cm)，
所以S△BPQ＝BP·BQ＝×6×6＝18(cm2)．
故过3
s时，△BPQ的面积为18
cm2.
(第25题)
25．解：如图，设拖拉机行驶到C处刚好开始受到噪音的影响，行驶到D处时，结束了噪音的影响，连接AC，AD，则有CA＝DA＝100
m.
在Rt△ABC中，CB2＝1002－802＝602.
∴CB＝60
m．同理BD＝60
m，∴CD＝120
m.
∵18
km/h＝5
m/s，
∴该校受影响的时间为120÷5＝24(s)．
26．解：(1)a；b；c；c (2)a2；b2；c2 (3)a2＋b2
(4)相等．理由：由图乙和图丙可知大正方形的边长为a＋b，则面积为(a＋b)2，图乙中把大正方形的面积分为了四部分，分别是：边长为a的正方形，边长为b的正方形，还有两个长为a，宽为b的长方形，根据面积相等得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，由图丙可得(a＋b)2＝c2＋4×ab.所以a2＋b2＝c2.所以图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积相等．于是得到直角三角形三边长的关系为a2＋b2＝c2.
(120分，90分钟)
题 号
一
二
三
总 分
得 分
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )
A．30，40，50
B．7，12，13
C．5，9，12
D．3，4，6
2．用反证法证明“如果在△ABC中，∠C＝90°，那么∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设( )
A．∠A>45°，∠B>45°
B．∠A≥45°，∠B≥45°
C．∠A<45°，∠B<45°
D．∠A≤45°，∠B≤45°
(第3题)
3．如图，图中有一个正方形，此正方形的面积是( )
A．16
B．8
C．4
D．2
4．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是( )
A．∠A＝∠B－∠C
B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2
C．b2＝a2－c2
D．a∶b∶c＝1∶1∶2
5．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
(第6题)
6．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处朝张大爷的房子方向折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时会砸到张大爷的房子吗( )
A．一定不会
B．可能会
C．一定会
D．以上答案都不对
7．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线AC上的D′点处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为( )
A.
B．3
C．1
D.
(第7题)
(第8题)
(第9题)
(第10题)
8．如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，AC＝17，BC＝16，AD＝15，则△ABC的面积为( )
A．128
B．136
C．120
D．240
9．如图，长方体的高为9
m，底面是边长为6
m的正方形，一只蚂蚁从顶点A开始，爬向顶点B.那么它爬行的最短路程为( )
A．10
m
B．12
m
C．15
m
D．20
m
10．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4
cm、3
cm、12
cm，现有一长为16
cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h(cm)的取值范围为( )
A．3
C．2≤h≤4
D．h＝4
二、填空题(每题3分，共30分)
11．若用反证法证明“有两个内角不相等的三角形不是等边三角形”，可先假设这个三角形是________．
12．在△ABC中，AC2－AB2＝BC2，则∠B的度数为________．
13．如图，∠OAB＝∠OBC＝90°，OA＝2，AB＝BC＝1，则OC2＝________.
(第13题)
(第14题)
(第19题)
(第20题)
14．如图，直角三角形三边上的半圆形面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是________．
15．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80
cm，宽为60
cm，对角线长为100
cm，则这个桌面________(填“合格”或“不合格”)．
16．若直角三角形的两边长分别为a、b，且满足(a－3)2＋|b－4|＝0，则该直角三角形的斜边长为________．
17．等腰三角形ABC的腰AB为10
cm，底边BC为16
cm，则面积为________cm2.
18．在△ABC中，AB＝13
cm，AC＝20
cm，BC边上的高为12
cm，则△ABC的面积为________．
19．《中华人民共和国道路管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70
km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶时，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪观测点A正前方50
m的C处，过了6
s后，行驶到B处的小汽车与车速检测仪间的距离变为130
m，请你判断：这辆小汽车________(填“是”或“否”)超速了．
20．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…，依照此方法继续作下去，得OP2
015＝________．
三、解答题(21，22题每题8分，23，24题每题10分，25，26题每题12分，共60分)
21．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角.
22.园丁住宅小区有一块草坪如图，已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB⊥BC，求这块草坪的面积．
(第22题)
23．如图，将断落的电话线拉直，使其一端在电线杆顶端A处，另一端落在地面C处，这时测得BC＝6米，再把电话线沿电线杆拉扯，使AD＝AB，并量出电话线剩余部分(即CD)的长为2米，你能由此算出电线杆AB的高吗？
(第23题)
24．如图，在△ABC中，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，且周长为36
cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1
cm的速度移动；点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2
cm的速度移动，如果P，Q同时出发，问过3
s时，△BPQ的面积为多少？
(第24题)
25．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有一学校，点A到公路MN的距离为80
m，现有一拖拉机在公路MN上以18
km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100
m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？
(第25题)
26．图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为(a＋b)的正方形内．
(1)图乙、图丙中①②③都是正方形．由图可知：①是以________为边长的正方形，②是以________为边长的正方形，③的四条边长都是________，且每个角都是直角，所以③是以________为边长的正方形；
(2)图乙中①的面积为________，②的面积为________，图丙中③的面积为________；
(3)图乙中①②的面积之和为________；
(4)图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？
(第26题)
答案
一、1.A 2.A 3.B 4.D 5.D 6.A 7.A 8.C 9.C 10.B
二、11.等边三角形 12.90° 13.6
14．S1＋S2＝S3 15.合格 16.4或5
17．48 18.126
cm2或66
cm2 19.是
20. 点拨：由勾股定理得：OP4＝＝，∵OP1＝，OP2＝，OP3＝，OP4＝，以此类推可得OPn＝，∴OP2
015＝.本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．
三、21.证明：假设三角形ABC的三个内角∠A、∠B、∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立，所以一个三角形中不能有两个角是直角．
22．解：连接AC.
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，
所以AC2＝42＋32＝25，即AC＝5米．
在△ACD中，因为AC2＋CD2＝52＋122＝169＝AD2.
所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.
所以S草坪＝S△ABC＋S△ACD＝×3×4＋×5×12＝36(平方米)．
答：这块草坪的面积是36平方米．
23．解：设AB＝x米，则AC＝AD＋CD＝AB＋CD＝(x＋2)米．在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即(x＋2)2＝x2＋62，解得x＝8.即电线杆AB的高为8米．
24．解：设AB＝3x
cm，则BC＝4x
cm，AC＝5x
cm，
因为△ABC的周长为36
cm，所以AB＋BC＋AC＝36
cm，
即3x＋4x＋5x＝36，解得x＝3，
所以AB＝9
cm，BC＝12
cm，AC＝15
cm.
因为AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形，且∠B＝90°.
过3
s时，BP＝9－3×1＝6(cm)，BQ＝2×3＝6(cm)，
所以S△BPQ＝BP·BQ＝×6×6＝18(cm2)．
故过3
s时，△BPQ的面积为18
cm2.
(第25题)
25．解：如图，设拖拉机行驶到C处刚好开始受到噪音的影响，行驶到D处时，结束了噪音的影响，连接AC，AD，则有CA＝DA＝100
m.
在Rt△ABC中，CB2＝1002－802＝602.
∴CB＝60
m．同理BD＝60
m，∴CD＝120
m.
∵18
km/h＝5
m/s，
∴该校受影响的时间为120÷5＝24(s)．
26．解：(1)a；b；c；c (2)a2；b2；c2 (3)a2＋b2
(4)相等．理由：由图乙和图丙可知大正方形的边长为a＋b，则面积为(a＋b)2，图乙中把大正方形的面积分为了四部分，分别是：边长为a的正方形，边长为b的正方形，还有两个长为a，宽为b的长方形，根据面积相等得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，由图丙可得(a＋b)2＝c2＋4×ab.所以a2＋b2＝c2.所以图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积相等．于是得到直角三角形三边长的关系为a2＋b2＝c2.