植树问题（1）1
课题
植树问题（1）1
课型
新授课
设计说明
本节课的主要任务是向学生渗透一种思想，一种在数学上、在研究问题上都很重要的思想——化归思想，这种思想的渗透能很好地帮助学生理解寻求解决复杂问题的一般方法，那就是从简单问题、简单事例入手，寻求规律，通过规律的得出，最终解决问题。因此，本节教学设计通过让学生解决在较短的小路边植树的问题，发现植树问题中棵数、间距与间隔数的关系，从而使学生领悟到当解决复杂问题时，要先从简单问题入手寻找解题规律，如探究在20m的路上栽树时，每隔5米栽一棵（两端要栽），能栽几棵树必须明确4个间隔是什么意思，是怎么得到的，为什么是5棵树，它跟4个间隔有什么关系。在经历了从简单事例入手之后，各部分名称的实际意义已经得到了强化。与此同时，植树问题（两端栽树）的一般解法也已经得到了归纳。通过步步渗透，最后求在100m的小路一边栽多少棵树也是自然而然的事。在这里我着重强调两个方面的内容：一是算式的渗透。用算式来表示学习的过程与结果是数学教学的特色，这一点必须贯穿整个研究过程；二是关注和强化理解间隔数的概念，因为它是解决一切植树问题的基础与起点。只有在理解间隔数的基础上来研究棵数，学生学习起来才不显得那么难。
学习目标
1.理解在一条线段上植树（两端都栽）的情况下“棵数=间隔数+1”的关系。2.能将植树问题推广到生活中的其他问题，会通过画线段图的方法来分析题意。3.培养学生的应用意识和解决实际问题的能力，初步体验数学与生活的密切联系，培养学生的主动探究意识。
学习重点
从实际问题中探索并总结棵数与间隔数之间的关系。
学习难点
运用植树问题的思想方法解决生活中的实际问题。
学前准备
教具准备：PPT课件
课时安排
1课时
教学环节
导
案
学
案
达标检测
一、谜语导入，揭示课题。（5分钟）
1.出示谜语：两棵小树十个杈，不长叶子不开花。能写会算还会画，天天干活不说话。（手）2.介绍间隔。（1）大家的小手上也隐藏着数学的奥秘哟，伸出你的左手，看看5个手指间有几个空？（2）说明：在数学上，我们把像这样的空叫做间隔，手上每两个手指间都有一个间隔。5个手指间有4个间隔，间隔数为4。（师伸出4个手指、3个手指、2个手指）现在有几个间隔？（3）大家发现手指数和间隔数的关系了吗？谁能说一说。3.引入课题。师：在生活中，间隔随处可见。每相邻两颗树之间的一段距离也是一个间隔，这节课我们就一起来研究和解决一些简单的、与间隔有关的问题。（板书课题）
1.学生猜谜语。2.（1）伸出自己的手指观察，思考老师提出的问题。（2）认真思考并回答老师的问题。（3）学生交流后明确：手指数比间隔数多1。3.明确本节课的学习内容，进入新课的学习。
1.数一数。（1）数自己所在的小组，第一名和最后一名同学之间有多少个空隙？（2）数自己的左手或右手的手指间有多少个空隙？答：略。
二、引导探究、发现问题。（25分钟）
1.分析题意，猜测结果。（课件出示教材106页例1）（1）自由读题，说一说从题中你获得了哪些信息？（2）根据学生的汇报和教师说明：两棵树之间的一段距离，我们可以看作一个间隔。（3）学生根据题意，动笔尝试计算。（4）全班交流自己是怎样计算的。（教师板书）2.小组探究，发现规律。师：同学们大胆的猜想，算出了这么多结果，到底该栽多少棵树呢？下面就让我们来验证一下吧!（1）化繁为简。以20米为例，看看20米的路可以栽几棵树，同学们合作讨论，仿照老师的课件演示，用画线段的方法独立完成。（2）师：间隔长度是几米？有几个间隔？种了几棵树？（3）用画线段的方法，独立计算出在“25m的小路一边植树（两端都栽），每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树”。（4）提问：从上面的这些例子中，同学们发现间隔数和棵数之间的规律了吗？（5）应用发现规律口答：30m、35m要栽多少棵树？3.应用规律，解决问题。（1）运用上面学习的知识说说例1的三种解法中哪种解法是正确的？并说明自己的理由。（2）教师总结：当遇到这类问题时，我们可以先化繁为简，然后对简单问题用画线段图或示意图的方法来帮助思考分析，发现规律，然后应用找到的规律来解决问题，使复杂问题简单化。
1.（1）学生交流自己了解到的信息。（2）学生认真倾听、思考。（3）学生在草稿本上尝试计算。（4）学生交流自己的计算方法。2.（1）学生动手尝试，教师巡视指导。（2）学生根据自己的操作，汇报结果。（3）学生独立解答，然后汇报，集体修正。（4）同学们讨论后明确：总长÷间距=间隔数，棵数=间隔数+1。（5）举手发言，集体订正。3.（1）自由交流，并说明自己的理由。（2）认真倾听、思考。
2.填一填。（1）在一条路的一边上，每隔10m有一根电线杆（两端都有），一共有24根电线杆，这条路长（230）m。（2）把65棵树栽在一条长640m的水渠一边（两端都栽），每相邻两棵树之间的距离是（10）m。3.（1）一段路长720m，在路的一边每隔3m栽一棵树（两端要栽）。一共要栽多少棵树？720÷3＝240240+1＝241（棵）答：一共要栽241棵。（2）在某城市一条柏油马路上，从始发站到终点站共有14个车站，每两个车站间的平均距离是1200m。这条马路有多长？1200×（14-1）＝15600（m）答：这条马路有15600m长。4.解决问题。一根木头长8m，每2m锯一段。一共要锯多少次？8÷2-1＝3（次）答：一共要锯3次。
三、巩固深化.（8分钟）
1.完成教材109页2题。2.完成教材109页3题。
1.学生分析题意后，画出线段图，独立列出算式，并汇报计算的思路及结果。2.学生在小组内交流，独立解答后，全班交流，订正答案。
教学过程中老师的疑问：
四、课堂总结，布置作业。（2分钟）
1.通过今天的学习，你有什么收获？2.布置作业。
1.交流自己本节课的收获。2.独立完成作业。
五、教学板书
六、教学反思
1.以学生熟悉的手为素材，初步感受手指数与间隔数的关系，使学生感受数学与生活的密切联系，在不知不觉中展开对数学问题的探索，激发探求植树问题的欲望。让学生进一步体会数学源于生活，数学就在我们身边，从而让学生感受到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣，也为下节课做好铺垫。2.利用多媒体课件的演示，加深了学生的印象，也激发了学生的学习兴趣，使课题直观易懂。通过放手让学生自己去探索，使学生体会到了间隔数与棵数之间的关系，初步构建了两端都栽的一种模型。及时的巩固练习使所学知识得到了很好的应用，体现了数学知识在生活中的应用。
教师点评和总结：植树问题（1）2
课题
植树问题（1）2
课型
新授课
设计说明
1.重视数学模型的建立过程。学习数学的目的是为了应用数学，在应用数学解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步。因此，我在教学中设计了“形成猜想——化繁为简——合作交流——发现规律——梳理方法——应用规律”的教学流程，意在让学生经历“猜想——验证——建立数学模型——应用”这一过程，从而建立“植树问题”的数学模型。2.在探究过程中感受数学。课程标准特别强调：数学活动必须给学生提供充分地从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中获得广泛的数学活动经验。整节课，每一个环节我都会让学生动手操作，合作交流。学生在不断地操作和交流中，经历了观察、发现和感受的全过程；学到了解决问题的方法，并获得了更深层次的情感体验。
学习目标
1.理解在一条线段上植树（两端不栽）的情况下“棵数=间隔数-1”的关系。2.会通过线段图来分析理解两端不栽的植树问题。3.能将两端不栽的植树问题推广到生活中去。4.培养应用意识和解决实际问题的能力，增强学生学习数学的兴趣。
学习重点
理解和掌握两端不栽的植树问题的规律。
学习难点
理解两端不栽的植树问题的“棵数”与“间隔数”之间的关系。
学前准备
教具准备：PPT课件
课时安排
1课时
教学环节
导
案
学
案
达标检测
一、对比引入，揭示课题。（5分钟）
1.出示复习题：在一条21米长的小路一旁栽树，每隔3米栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？（1）要求学生说一说自己是怎样解决这个问题的。（2）对于两端都栽的植树问题，棵数和间隔数之间有怎样的关系？2.引入新课。同学们对于上节课的知识掌握得非常好！如果老师把上题改成：在一条21米长的小路的一旁栽树，每隔3米栽一棵（两端不栽），一共要栽多少棵树？（1）想一想，这道题与上一道题比较，有什么变化？（2）说一说你是怎么理解“两端不栽”的？（3）这节课我们就来研究一下“两端不栽”的植树问题，看看棵数与间隔数之间有怎样的关系。（板书课题）
1.（1）学生交流如何解决这个问题。（2）学生明确：棵数=间隔数+1。（3）交流自己的发现。（4）学生思考后自由汇报。2.明确本节课的学习任务。
1.选一选。（1）这排礼炮共有29个间隔，共有（C）门礼炮。A.28
B.29
C.30（2）一列共有25张凳子，有（C）个间隔。A.26
B.25
C.24（3）公交车从东站到西站全长18km，每相邻两站的距离是2km。一共有（C）个站点。（两端也设站点）A.8
B.9
C.10
二、合作探究，发现规律。（25分钟）
1.动手操作，发现规律。（1）教师引导学生用画线段、摆图形、摆小棒等自己喜欢的方法在小组内研究，完成上面引入部分的题目。（2）你是用什么方法操作的？从中你发现了什么规律？（3）教师小结：同学们太了不起了，通过举简单的例子，发现了“两端不栽”的植树问题的规律：棵数=间隔数-1。2.应用规律，自主解决问题。（1）课件出示例2，引导学生读题，说说自己发现的数学信息。（2）学生独立列式解答，并说说解题过程。（3）教师小结：今天我们学习了植树问题的另一种情况，发现了两端不栽的规律：棵数=间隔数-1。以后同学们在做题时，一定要分清是“两端栽树”还“两端不栽”中的哪种情形。
1.（1）学生选择自己喜欢的方式完成。（2）学生汇报自己发现的规律和操作过程。（3）认真倾听老师的小结，明确“两端不栽”的植树问题的规律。2.（1）交流自己了解到的数学信息。（2）学生独立列式解答，并说出每一步求的是什么。（3）倾听老师的讲解，明确解题之前要认真审题，理解题意后再进行列式。
2.（1）教室的两根柱子之间摆了6盆花，每隔3m摆一盆，两根柱子之间的距离为多少米？3×（6+1）＝21（米）答：两根柱子之间的距离为21米。（2）学校门前有一条笔直的小路，在小路的一旁从一头到另一头每隔3m栽一棵树，一共栽了18棵，这条小路长多少米？3×（18+1）＝57（米）答：这条小路长57米。3.在日常生活中你遇到过两端不栽的植树问题吗？（举例说明）举例略。
三、巩固练习。（7分钟）
完成教材107页"做一做"1、2题。
学生在小组内进行简单的操作，理解题意后，独立解答。
教学过程中老师的疑问：
四、课堂总结，布置作业。（3分钟）
1.通过今天的学习，你有什么收获？2.布置作业。
1.交流自己本节课的收获。2.独立完成作业。
五、教学板书
六、教学反思
1.通过自主探索的活动，让学生获得学习成功的体验，增强学生学好数学的信心。结合学生的年龄特点和教学内容，我设计了很多孩子喜闻乐见的教学环节。例如：让学生根据题意大胆进行猜测，激发学习兴趣。再如：在自主探究，发现规律这一环节中让学生选择自己喜欢的方法解题、探究“间隔数”与“棵数”之间的规律。2.渗透一一对应的思想方法，培养学生数学思维能力和解决问题的能力。让学生通过观察、探究、交流等活动，既学会一些解决问题的一般方法和策略又逐步形成求实态度和科学精神。3.注意反映数学与人类生活的密切联系。 本节课的教学内容本来就是来自于生活，通过观察生活找出解决这类问题的规律，从而应用于生活。所以，我设计的每一环节都紧扣生活，以解决生活中的问题为主线，有目的地进行数学学习活动，使学生学得有趣，同时，增强了数学学习的应用价值。
教师点评和总结：(共35张PPT)
第
1
课时
植树问题（一）
7
数学广角——植树问题
R
五年级上册
课后作业
探索新知
课堂小结
当堂检测
（1）不封闭路段两端都植树的问题
（2）不封闭路段两端都不植树的问题
（3）不封闭路段一端植树一端不植树的问题
1
课堂探究点
2
课时流程
探究点
1
不封闭路段两端都植树的问题
例1：同学们在全长100
m的小路一边植树，每隔5
m栽
一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？
1.
你都知道了什么？怎么理解“两端都栽”？
2.
你认为一共要栽多少棵树？
到底一共要栽多少棵树呢，你能想办法验证一下吗？
我们可以以20米、25米为例进行研究，我们可以用什么方法？
提示：
1.我们把100米叫做“总长”。
2.把5米叫做“间隔距离”。
3.我们通常把树与树之间叫做“间隔”。
当遇到较为复杂的数学问题时，可以先从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律解决原来的问题。
每隔5
m栽一棵，共
栽100÷5=20（棵）。
总长（m）
间隔距离（m）
间隔数（个）
棵数（棵）
5
5
10
20
25
30
60
不画图，你能把表格填写完整吗？
你发现了什么规律？
棵数=间隔数+1
1
2
2
3
4
5
5
6
6
7
12
13
间隔数=总长÷间隔距离
问题：在两头种的情况下，棵数为什么会比间隔数多1呢？
这个1多在哪了？你能到图中指一指吗？
100米
棵数=间隔数+1
100÷5+1=21（棵）
间隔数
棵数
+1=
间隔数=总长÷间隔距离
请根据刚才的发现列算式解决例题1
归纳总结：
在一条线段上植树，两端都栽的情况：
间隔数=总长÷间隔距离
棵数=间隔数+1
小试牛刀
5路公共汽车行驶路线全长12
km，相邻两站之间的路程都是1
km。一共设有多少个车站？
12
÷1＝12（个）
12＋1＝13（个）
答：一共设有13个车站。
2.
在一条全长2
km的街道两旁安装路灯（两端也要安装），
每隔50
m安一盏。一共要安装多少盏路灯？
2000÷50＝40（个）
40＋1＝41（盏）
41×2＝82（盏）
答：一共要安装82盏路灯。
3.
园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔6
m
种一棵，一共种了36棵。从第一棵到最后一棵
的距离有多远？
36－1＝35（个）
35×6＝210（米）
答：从第一棵到最后一棵的距离有210米。
探究点
2
不封闭路段两端都不植树的问题
问题：
1.
你都知道了什么？与例题1有什么不同？
2.
你认为一共要栽多少棵树？
例2：大象馆和猴山相距60
m。绿化队要在两馆间的小路两旁栽
树（两端不栽），相邻两棵树之间的距离是3
m。一共要栽
多少棵树？
自学提示：
1.请根据学习例题1的经验，先自主研究。
2.自主探索之后，先与同桌交流，然后在小组内交流。
3.将自己研究的成果，归纳总结出规律用式子去表示。
间隔数=总长÷间隔距离
棵数=间隔数-1
60÷3＝20（个）
20－1＝19（棵）
19×2
＝38（棵）
1.为什么要用20减1呢？减的1你能说一说是在哪里吗？
2.为什么最后用19乘2？
问题：
1.
在两头都不种的情况下，棵数为什么会比间
隔数少1呢？
2.
少的“1”在哪呢，请你到图中指一指。
60米
棵数=间隔数-1
问题：
1.
比较两种情况，有什么相同？有什么不同？
2.
如果你忘记结论，可以怎样做呢？
棵数＝间隔数＋1
棵数＝间隔数－1
100米
60米
两头种
两头不种
归纳总结：
在一条线段上植树（两端都不栽）的情况：
间隔数=总长÷间隔距离
棵数=间隔数-1
小试牛刀
1.
一条走廊长32
m，每隔4
m摆放一盆植物（两端不放）。
一共要放多少盆植物？
32÷4＝8（个）
8－1＝7（盆）
答：一共要放7盆植物。
5－1＝4（次）
4×8＝32（分钟）
答：锯完一共要花32分钟。
2.
一根木头长10m，要把它平均分成5段。每锯下一段需要
8分钟。锯完一共要花多少分钟？
锯木头时，锯成n段，需要锯（n-1）次，锯每次的时间与次数相乘就是所需时间。
探究点
3
不封闭路段一端植树一端不植树的问题
例3：小明家门前有一条35
m的小路，绿化队要在路旁栽一
排树。每隔5
m栽一棵树（一端栽一端不栽）。一共
要栽多少棵？
该怎样列式计算呢？试一试吧！
35÷5＝7（棵）
答：一共要栽7棵树。
为什么间隔数等于棵树？请用图示加以说明。
问题：1.
植树问题有哪几种情况？
每种情况中棵数与间隔数之间是什么关系？
2.
我们是通过什么方法得到这些结论的？
3.
如果你忘记或者混淆了这些情况，可以怎样做？
棵数＝间隔数＋1
100米
35米
两头种
60米
两头不种
棵数＝间隔数-1
一头种
棵数＝间隔数
间隔数=总长÷间隔距离
棵数=间隔数
归纳总结：
在一条线段上植树（一端栽，一端不栽）的情况：
42÷3＝14（处）
答：全程一共有14处这样的服务点。
1.
马拉松比赛全程约42
km。平均每3
km设置一处饮水服务点
（起点不设，终点设），全程一共有多少处这样的服务点？
小试牛刀
两端都栽
棵数=间隔数+1
两端不栽
棵数=间隔数-1
一端栽一端不栽
棵树=间隔数
间隔数=总长÷间隔距离
植树问题基本解决思路：
1．要在学校门口一条长180
m的林荫路的一侧栽树，起点和终点都栽。如果每相邻两棵树之间的距离是3
m，需要多少棵树？
夯实基础
180÷3＋1＝61(棵)
答：需要61棵树。
2．在一条长40
m的小路两旁，每隔2
m栽一棵树(两端都栽)，一共要栽多少棵树？
(40÷2＋1)×2＝42(棵)
答：一共要栽42棵树。
3．两根电线杆相距200
m，在两根电线杆之间每隔5
m栽一棵树(两端都不栽)，一共可以栽多少棵树？
200÷5－1＝39(棵)
答：一共要栽39棵树。
4．在绿化工程中，要在公园和动物园之间的马路两旁栽树(两端都不栽)，每相邻两棵树之间相距4米，一共要栽多少棵树？
(400÷4－1)×2＝198(棵)
答：一共要栽198棵树。
5．填一填。
学校有一条长为60
m的小道，计划在道路一旁栽树，每隔3
m栽一棵。
想：小道长( )m，每隔( )m栽一棵，有( )个间隔。
(1)如果两端都要栽树，那么一共要栽( )棵树。
(2)如果两端都不栽树，那么一共要栽( )棵树。
60
19
21
20
3
6．在150米长的直跑道的一旁每隔5米插一面彩旗(两端都要插)，可以插多少面彩旗？
150÷5＋1＝31(面)
答：可以插31面彩旗。
7．某大桥的长为4500
m，在桥的两旁每隔45
m装一块广告牌(一端安装，一端不安装)，这座大桥一共可以安装多少块广告牌？
4500÷45×2＝200(块)
答：一共可以安装200块广告牌。
8．在一条长60米的村级小路两旁每隔5米栽一棵树苗，两端都栽，一共要准备多少棵树苗？
(60÷5＋1)×2＝26(棵)
答：一共要准备26棵树苗。
易错辨析
辨析：(60÷5＋1)算出来的是一侧植树多少棵，在两侧植树时要乘以2。
作
业
请完成教材第109页练习二十四第1题、第3
题、第9题。
