十字相乘法
学习目标：
1. 理解十字相乘法的概念和意义。
2. 会用十字相乘法把形如x2＋px＋q的二次三项式分解因式。
3. 培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，训练学生思维的灵活性和层次性渗。
重点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋px＋q的二次三项式分解因式。
创设情境
1．口答计算结果：
（1） (x＋2)(x＋1) （2） (x＋2)(x－1) （3）(x－2)(x＋1)
（4） (x－2)(x－1) （5） (x＋2)(x＋3) （6）(x＋2)(x－3)
（7） (x－2)(x＋3) （8） (x－2)(x－3)
2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?
归纳： .21教育网
二．探索尝试
根据上面的公式试将下列多项式写成两个一次因式相乘的形式：
x2＋(2＋3)x＋2×3＝ ；x2＋(－1－2)x＋(－1)×(－2)＝ ；
x2＋(－1＋2)x＋(－1)×2＝ ；x2＋(1－2)x＋1×(－2)＝ .由上面的分析可知形如x2＋px＋q的二次三项式，如果常数项q能分解为两个因数a、b的积，并且a＋b恰好等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2＋px＋q＝x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b) 21cnjy.com
三．例题举例
把下列多项式因式分解
（1）x2－5x－6 （2）x2－5x＋6
（3）x2＋xy－12y2 （4）x4＋5x2－621·cn·jy·com
四.练习：
（1）x2－7x＋6 （2）a2－4a－21 www.21-cn-jy.com
（3）t2－2t－8 （4）m2＋4m－12
（5）x2－13xy－36y2 （6）a2－ab－12b2
五.课堂小结：
对二次三项式x2＋px＋q进行因式分解，应重点掌握以下几点：
1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.
2．符号规律: 当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.
六.课外延伸：
把下列多项式分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
七.思考：
1.请将下列多项式因式分解：
① ②
③
2. 先填空,再分解（尽可能多的）： x2 ( )x + 60 = 21世纪教育网版权所有
3.3 公式法
第1课时 用平方差公式因式分解
要点感知1 把乘法公式从右到左地使用，可以把某些形式的多项式进行__________，这种__________的方法叫做公式法.2-1-c-n-j-y
要点感知2 平方差公式：a2-b2=__________.适用平方差公式因式分解的多项式特点：①必须是__________式；②两项符号__________；③能写成__________的形式.
预习练习2-1 若x2-9=(x-3)(x+a),则a=__________.
2-2 因式分解结果为-(2a+b)(2a-b)的多项式是( )
A.4a2-b2 B.4a2+b2 C.-4a2+b2 D.-4a2-b2
知识点1 用平方差公式因式分解
1.下列多项式中，不能用平方差公式因式分解的是( )
A.x2-y2 B.-x2-y2 C.4x2-y2 D.-4+y2
2.因式分解x2-16的结果为( )
A.(x+8)(x-2) B.(x+4)(x-4) C.(x+2)(x-8) D.(x+1)(x-16)
3.下列多项式中，与-x-y相乘的结果是x2-y2的多项式是( )
A.y-x B.x-y C.x+y D.-x-y21教育名师原创作品
4.下列因式分解正确的是( )
A.(x-3)2-y2=x2-6x+9-y2 B.a2-9b2=(a+9b)(a-9b)
C.4x6-1=(2x3+1)(2x3-1) D.-x2-y2=(x-y)(x+y)
5.因式分解：
(1) a2-1； (2)x2-81；
(3) x2-9y2； (4)(a-2b)2-25b2.
知识点2 两步因式分解
6.若16-xn=(2+x)(2-x)(4+x2),则n的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
7.因式分解a3-a的结果是( )
A.a(a2-1) B.a(a-1)2 C.a(a+1)(a-1) D.(a2+a)(a-1)
8.（2014·中山）把x3-9x因式分解，结果正确的是( )
A.x(x2-9) B.x(x-3)2 C.x(x+3)2 D.x(x+3)(x-3)
9.因式分解：a3-4ab2=__________.
10.因式分解：
(1)3x2-3y2； (2)(x+p)2-(x+q)2；
(3) xy2-4x； (4) 2x4-2.21*cnjy*com
11.在下列各式中，①-m2-n2；②16x2-9y2；③(-a)2-(-b)2；④-121m2+225n2；⑤(6x)2-9(2y)2.可用平方差公式因式分解的有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
12.已知多项式4x2-(y-z)2的一个因式为2x-y+z，则另一个因式是( )
A.2x-y-z B.2x-y+z C.2x+y+z D.2x+y-z
13.因式分解：
(1)(2014·怀化)2x2-8=__________;
(2)(2013·绵阳)x2y4-x4y2=__________;
(3)4-(3-x)2=__________;
(4)16(a+b)2-9(a-b)2=__________.
14.已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2=__________.
15.写出一个在有理数范围内能用平方差公式因式分解的多项式：____________________.
16.因式分解：
(1)9a2-4b2； (2)x4-16y4;
(3)(a-b)(3a+b)2+(a+3b)2(b-a)； (4)-(x2-y2)(x+y)-(y-x)3.
17.用平方差公式进行简便计算：
(1)4012-5992； (2)152-4×2.52.
18.试说明：两个连续奇数的平方差是8的倍数.
19.已知x,y为正整数,且4x2-9y2=31,你能求出x，y的值吗？
20.如果在一个半径为a的圆内，挖去一个半径为b(b
(1)写出剩余部分面积的代数表达式，并因式分解它;
(2)当a=15.5 cm，b=5.5 cm，π取3时，求剩下部分面积.
21.计算：（1-)(1-)(1-)…(1-)(1-).
参考答案
要点感知1 因式分解 因式分解
要点感知2 (a+b)(a-b) 二项 相反 平方差
预习练习2-1 3
2-2 C
1.B 2.B 3.A 4.C
5.(1)原式=(a+1)(a-1).
(2)原式=x2-92=(x-9)(x+9).
(3)原式=(x+3y)(x-3y).
(4)原式=(a-2b+5b)(a-2b-5b)=(a+3b)(a-7b).
6.C 7.C 8.D 9.a(a+2b)(a-2b)
10.(1)原式=3(x2-y2)=3(x+y)(x-y).
(2)原式=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q).
(3)原式=x(y2-4)=x(y+2)(y-2).
(4)原式=2(x4-1)=2(x2+1)(x2-1)=2(x2+1)(x+1)(x-1).
11.B 12.D
13.(1)2(x+2)(x-2)
(2)-x2y2(x+y)(x-y)
(3)(5-x)(x-1)
(4)(7a+b)(a+7b)
14.12
15.答案不唯一，如：x2-1
16.(1)原式=(3a+2b)(3a-2b).
(2)原式=(x2+4y2)(x2-4y2)=(x2+4y2)(x+2y)(x-2y).
(3)原式=(a-b)[(3a+b)2-(a+3b)2]=(a-b)［(3a+b)+(a+3b)］［(3a+b)-(a+3b)］=8(a+b)(a-b)2.
(4)原式=(x-y)3-(x2-y2)(x+y)=(x-y)3-(x+y)2(x-y)=(x-y)[(x-y)2-(x+y)2]=-4xy(x-y).21cnjy.com
17.(1)原式=(401+599)×(401-599)=-198 000.
(2)原式=152-52=(15+5)×(15-5)=200.
18.设两个连续奇数为2n-1,2n+1(n为正整数).
则(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n,
所以两个连续奇数的平方差是8的倍数.
19.等式左边因式分解,得(2x-3y)(2x+3y),右边的31是一个质数,只可分解为1×31.
因为x,y为正整数，
所以解得
20.(1)πa2-πb2.
原式=π(a2-b2)=π(a+b)(a-b).
(2)当a=15.5 cm，b=5.5 cm，π取3时，原式=3×(15.5+5.5)×(15.5-5.5)=3×21×10=630(cm2).
21.原式=(1+)(1-)(1+)(1-)(1+)(1-)…(1+)(1-)(1+)(1-)
=×××××…×××
=×××××…×××
=×
=.
第2课时 用完全平方公式因式分解
要点感知1 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.
适合用完全平方公式因式分解的多项式的特点：①必须是__________；②两个平方项的符号__________；③第三项是两平方项的__________.2·1·c·n·j·y
预习练习1-1 下列式子中,完全平方式有__________.(填序号)
①x2+4x+4；②1+16a2；③x2+2x-1；④x2+xy+y2；⑤m2+n2+2mn.
1-2 因式分解：x2+6x+9=__________.
要点感知2 因式分解的一般步骤：首先__________，然后再用__________进行因式分解.在因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止.21·世纪*教育网
预习练习2-1 因式分解：3a2+6a+3=__________.
2-2 因式分解：x2y-4xy+4y.
知识点1 用完全平方公式因式分解
1.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.x2+x+1 B.x2+2x-1 C.x2-1 D.x2-6x+9
2.因式分解(x-1)2-2(x-1)+1的结果是( )
A.(x-1)(x-2) B.x2 C.(x+1)2 D.(x-2)2
3.因式分解：
(1) x2+2x+1=__________；
(2) x2-4(x-1)＝__________.
4.利用1个a×a的正方形,1个b×b的正方形和2个a×b的长方形可拼成一个正方形(如图所示),从而可得到因式分解的公式____________________.21·cn·jy·com
5.因式分解：
(1)-x2+4xy-4y2； (2)4a4-12a2y+9y2； (3)(a+b)2-14(a+b)+49.
知识点2 综合运用提公因式法和公式法因式分解
6.把x2y-2y2x+y3因式分解正确的是( )
A.y(x2-2xy+y2) B.x2y-y2(2x-y) C.y(x-y)2 D.y(x+y)2
7.把a3-2a2+a因式分解的结果是( )
A.a2(a-2)+a B.a(a2-2a) C.a(a+1)(a-1) D.a(a-1)2
8.将多项式m2n-2mn+n因式分解的结果是__________.
9.把下列各式因式分解：
(1)2a3-4a2b+2ab2； (2)5xm+1-10xm+5xm-1； (3)(2x-5)2+6(2x-5)+9；
(4)16x4-8x2y2+y4； (5)(a2+ab+b2)2-9a2b2.www-2-1-cnjy-com
10.下列多项式能因式分解的是( )
A.x2+y2 B.-x2-y2 C.-x2+2xy-y2 D.x2-xy+y2
11.(2013·西双版纳)因式分解x3-2x2+x正确的是( )
A.(x-1)2 B.x(x-1)2 C.x(x2-2x+1) D.x(x+1)2
12.下列各式：①x2-2xy-y2；②x2-xy+2y2；③x2+2xy+y2；④x2-2xy+y2,其中能用公式法因式分解的有( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.因式分解：4a3-12a2+9a=__________.
14.多项式ax2-a与多项式x2-2x+1的公因式是__________.
15.因式分解：16-8(x-y)+(x-y)2=__________.
16.若m=2n+1，则m2-4mn+4n2的值是__________.
17.把下列各式因式分解：
(1)16-8xy+x2y2； (2)9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2；21教育网
(3)(2a+b)2-8ab; (4)3a(x2+4)2-48ax2.【出处：21教育名师】
18.利用因式分解计算：
(1)×3.72-3.7×2.7+×2.72； (2)1982-396×202+2022.【版权所有：21教育】
19.在三个整式x2+2xy,y2+2xy,x2中,请你任意选出两个进行加(或减)运算,使所得整式可以因式分解,并进行因式分解.21*cnjy*com
20.若|m+4|与n2-2n+1互为相反数,把多项式x2+4y2-mxy-n因式分解.
21.当a,b为何值时,多项式4a2+b2+4a-6b-8有最小值,并求出这个最小值.
参考答案
要点感知1 三项式 相同 底数的积的2倍
预习练习1-1 ①⑤
1-2 (x+3)2
要点感知2 提取公因式 公式法
预习练习2-1 3(a+1)2
2-2 原式=y(x2-4x+4)=y(x-2)2.
1.D 2.D
3.(1)(x+1)2
(2)(x-2)2
4.a2+2ab+b2=(a+b)2
5.(1)原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.
(2)原式=(2a2-3y)2.
(3)原式=(a+b-7)2.
6.C 7.D 8.n(m-1)2
9.(1)原式=2a(a2-2ab+b2)=2a(a-b)2.
(2)原式=5xm-1(x2-2x+1)=5xm-1(x-1)2.
(3)原式=[(2x-5)+3]2=(2x-2)2=4(x-1)2.
(4)原式=(4x2-y2)2=(2x+y)2(2x-y)2.
(5)原式=(a2+ab+b2+3ab)(a2+ab+b2-3ab)=(a2+4ab+b2)(a-b)2.www.21-cn-jy.com
10.C 11.B 12.B 13.a(2a-3)2 14.x-1 15.（x-y-4）2 16.1【来源：21·世纪·教育·网】
17.(1)原式=(4-xy)2.
(2)原式=［3(a-b)+2(a+b)］2=(5a-b)2.
(3)原式=4a2+4ab+b2-8ab=4a2-4ab+b2=(2a-b)2.
(4)原式=3a［(x2+4)2-16x2］=3a(x+2)2(x-2)2.
18.(1)原式=×(3.7-2.7)2=.
(2)原式=(198-202)2=16.
19.(x2+2xy)+x2=2x2+2xy=2x(x+y)；
或(y2+2xy)+x2=(x+y)2；
或(x2+2xy)-(y2+2xy)=x2-y2=(x+y)(x-y)；
或(y2+2xy)-(x2+2xy)=y2-x2=(y+x)(y-x).
20.由题意可得|m+4|+（n-1）2=0,
所以解得
所以，原式=x2+4y2+4xy-1=（x+2y）2-1=（x+2y+1）（x+2y-1）.
21.4a2+b2+4a-6b-8=(4a2+4a+1)+(b2-6b+9)-18=(2a+1)2+(b-3)2-18,21世纪教育网版权所有
当2a+1=0,b-3=0时,原多项式有最小值.
这时a=-,b=3,这个最小值是-18.
3.3公式法（1）
学习目标：
1、会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力．
2、经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性．
3、培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值．
重点：利用平方差公式分解因式．
难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P63-64
说一说：平方差公式：（a+b）（a－b）= a2－b2．
平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．21世纪教育网版权所有
学一学：请同学们计算下列各式．
（1）（a+5）（a－5）； （2）（4m+3n）（4m－3n）．
议一议：如何把和 进行因式分解
用平方差公式因式分解．
平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）．
【归纳总结】
运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．21教育网
选一选：下列分解因式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
填一填： （ ） （ ）
【课堂展示】把下列各式分解因式：（投影显示或板书）
（1）x2－9y2； （2）m2（16x－y）+n2（y－16x）．
解：（1）x2－9y2= （x+3y）（x－3y）
（2）m2（16x－y）+n2（y－16x）
=（16x－y）（m2－n2）
=（16x－y）（m+n）（m－n）．
合作探究——不议不讲
互动探究一：P63例题2
互动探究二：P64例题3
互动探究三：P64例题4
【当堂检测】：
选择题
（1）把多项式分解因式等于（ ）
A 、 B、
C、m(a-2)(m-1) D、m(a-2)(m+1)
（2）分解因式得（ ）
A、 B、
C、 D、
2.填空题
（1）简便计算：
（2）因式分解
3.把下列多项式因式分解
（1） （2）
4.利用分解因式证明：能被120整除。
3.3公式法（2）
学习目标：
1、 领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．
2、 经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．
3、 培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．
重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．难点：灵活地应用公式法进行因式分解．
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P65-66
说一说：完全平方公式：
学一学：计算下列各式：
（1）（m－4n）2； （2）（m+4n）2；
（3）（a+b）2； （4）（a－b）2．
议一议：怎样把下列多项式分解因式：
（1）m2－8mn+16n2 （2）m2+8mn+16n2；
（3）a2+2ab+b2； （4）a2－2ab+b2．
【归纳总结】完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2．
多项式因式分解的公式，主要的有以下三个：
a2－b2=（a+b）（a－b）； a2±ab+b2=（a±b）2．
在运用公式因式分解时，要注意：
（1）每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；21世纪教育网版权所有
（2）在有些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解；21教育网
（3）当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，然后再运用公式分解．
填一填：因式分解。
【课堂展示】P65-66例题8把因式分解
合作探究——不议不讲
互动探究一：如果x2+axy+16y2是完全平方，求a的值．
【思路点拨】根据完全平方式的定义，解此题时应分两种情况，即两数和的平方或者两数差的平方，由此相应求出a的值。21cnjy.com
互动探究二：已知x+y=7，xy=10，求下列各式的值．
（1）x2+y2； （2）（x－y）2
【当堂检测】：
1.填空题
（1）若，那么m=________。
（2）若
（3）已知正方形的面积是 （x>0，y>0）,利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式 。21·cn·jy·com
2.选择题
（1） 下列各式是完全平方式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（2）因式分解的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
3.分解因式，提公因式法和运用公式法
（1） （2）
