3.1 多项式的因式分解
要点感知1 一般地,对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh,那么我们把g叫做f的一个__________.此时h也是f的一个__________.21教育网
要点感知2 一般地,把一个多项式表示成若干个多项式的__________的形式,称为把这个多项式因式分解.21·cn·jy·com
预习练习2-1 下列各式由左边到右边的变形中,是因式分解的为( )
A.a（x+y）=ax+ay B.x2-4x+4=x（x-4）+4【来源：21·世纪·教育·网】
C.10x2-5x=5x（2x-1） D.x2-16+3x=（x+4）（x-4）+3x【出处：21教育名师】
知识点1 因式分解
1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A.a(x-y)＝ax-ay B.x2+2x+1＝x(x+2)+1【版权所有：21教育】
C.(x+1)(x+3)＝x2+4x+3 D.x3-x＝x(x+1)(x-1)
2.下列因式分解正确的是( )
A．x2-y2= (x-y) 2 B．a2+a+1=(a+1)2 www-2-1-cnjy-com
C．xy-x=x(y-1) D.2x+y= 2(x+y)
3.检验下列因式分解是否正确.
(1)x2-2x=x(x-2)； (2)x2-1=(x+1)(x-1)； 21*cnjy*com
(3)x2-xy-2y2=(x+y)(x-2y)； (4)a2-2ab+4b2=(a-2b)2.21教育名师原创作品
4.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)； (2)a(a-2b)=a2-2ab；2·1·c·n·j·y
(3)(a-1)2=a2-2a+1； (4)a2-6a+9=(a-3)2.
知识点2 因式分解与整式乘法的关系
5.(3x-y)(3x+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( )
A.9x2+y2 B.-9x2+y2 C.9x2-y2 D.-9x2-y2
6.把x2+x+m因式分解得(x-1)(x+2),则m的值为( )
A.2 B.3 C.-2 D.-3
7.在(x+y)(x-y)=x2-y2中,从左向右的变形是,从右向左的变形是__________.
8.已知(x-2)(x-1)=x2-3x+2,则x2-3x+2因式分解为__________.
9.如果多项式2x+B可以分解为2(x+2),那么B=__________.
10.把多项式x2+mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m=__________，n=__________.
11.已知多项式x2+3x+2因式分解的结果是(x+a)(x+b),请你确定a+b与ab的值.
知识点3 最大公因数
12.36和54的最大公因数是( )
A.3 B.6 C.18 D.3621cnjy.com
13.把60写成若干个素数的积的形式为__________.
14.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的个数是( )
①x2-4=x(x-);②a2-1+b2=(a-1)(a+1)+b2;③a2b-ab2=ab(a-b);④(x-2)2=x2-4x+4;⑤x2-1=(x+1)(x-1).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
15.多项式mx+n可分解为m(x-y),则n的值为( )
A.m B.my C.-y D.-mywww.21-cn-jy.com
16.若N=(x-2y)2,则N为( )
A.x2+4xy+4y2 B.x2-4y2 C.x2-4xy+4y2 D.x2-2xy+4y2
17.我们知道:a(b+c)=ab+ac,反过来则有ab+ac=a(b+c),前一个式子是整式乘法,后一个式子是因式分解.请你根据上述结论计算:2 0142-2 014×2 013=__________.
18.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)·(x-13)可因式分解为(3x+a)(x+b)，其中a，b均为整数，则a+3b=__________.
19.检验下列因式分解是否正确.
(1)a3-ab=a(a2-b)； (2)x2-x-6=(x-2)(x-3)；21世纪教育网版权所有
(3)2a2-3ab-2b2=(2a+b)(a-2b)； (4)9m2-6mn+4n2=(3m-2n)2.2-1-c-n-j-y
20.学习了多项式的因式分解后，对于等式x2+1=x(x+)，小峰和小欣两人产生了激烈的争论，小峰说这种变形不是因式分解，但又说不清理由；小欣说是因式分解，因为右边是乘积的形式.你认为他们是否正确，为什么？21·世纪*教育网
21.已知x2+mx-n可以分解为一次因式（x-5)和（x+8)，求（13m-n)2 015的值.
22.如果x2-ax+5有一个因式是x+5,求a的值,并求另一个因式.
23.两位同学将一个二次三项式因式分解，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9)，另一位同学因看错了常数项而分解成2(x-2)·(x-4)，试求原多项式.21*cnjy*com
参考答案
要点感知1 因式 因式
要点感知2 乘积
预习练习2-1 C
1.D 2.C
3.(1)正确；(2)正确；(3)正确；(4)不正确.
4.(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解.
5.C 6.C 7.整式乘法因式分解 8.(x-2)(x-1) 9.4 10.61【来源：21cnj*y.co*m】
11.由题意，知x2+3x+2=(x+a)(x+b),
所以x2+3x+2=x2+(a+b)x+ab,
因此有a+b=3,ab=2.
12.C 13.2×2×3×5
14.B 15.D 16.C 17.2 014 18.-31
19.(1)正确；(2)不正确；(3)正确；(4)不正确.
20.小欣的说法不正确，这种变形不是因式分解.因为因式分解是把一个多项式化为若干个多项式乘积的形式，等式右边中的x+不是多项式(分母含有字母x)，因此这种变形不是因式分解.
21.x2+mx-n=(x-5)(x+8).
即(x-5)(x+8)=x2+3x-40=x2+mx-n.
所以m=3,n=40.
所以(13m-n)2 015=-1.
22.因为5=1×5,5=(-1)×(-5),
又x2-ax+5有一个因式是x+5,
因此5只能分解为1×5,
所以x2-ax+5可以分解为(x+5)(x+1),
即x2-ax+5=(x+5)(x+1).
而(x+5)(x+1)=x2+6x+5,
所以a=-6,且另一个因式为x+1.
23.设原多项式为ax2+bx+c(其中a，b，c均为常数，且abc≠0).
因为2(x-1)(x-9)=2(x2-10x+9)=2x2-20x+18，
所以a=2，c=18.
又因为2(x-2)(x-4)=2(x2-6x+8)=2x2-12x+16，
所以b=-12.
所以原多项式为2x2-12x+18.
3.1多项式的因式分解
学习目标：
1、理解因式分解的概念和意义，认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形。
2、培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。 3、培养学生接受矛盾的对立统一观点，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
重点：因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。21cnjy.com
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P55-57
说一说：（1）21等于3乘哪个整数？
（）等于 乘哪个多项式？
学一学：看谁算得快：（抢答）请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。
(1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________；
(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；
(3)若x=-3,则20x2+60x=__________
议一议：观察： a2-b2=(a+b)(a-b)?，?
a2-2ab+b2 = (a-b)2?，?
20x2+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？)21世纪教育网版权所有
【归纳总结】把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式称为吧这个多项式因式分解，也叫分解因式。
选一选：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
(1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ；
(2)2m(m-n)=2m2-2mn
(3)3a2+6a = 3a（a+2）
填一填：
继续观察：(a+b)(a-b)= a2-b2?,
(a-b)2= a2-2ab+b2，??
20x(x+3)= 20x2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？21教育网
????? 因式分解
?结合：a2-b2 （a+b）（a-b）
?? ?????????整式乘法
说明：从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法，因式分解与整式乘法是相反变形。
【课堂展示】P56例题1，例题2
合作探究——不议不讲
互动探究一：若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m=???? ,n=?????
互动探究二：机动题：（填空）x2-8x+m=(x-4)(???? ),且m=????
【当堂检测】：
1. 检验下列因式分解是否正确：
(1)x2y-xy2=xy(x-y)；
(2)2x2-1=(2x+1)(2x-1)；
(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2).
2. 计算下列各题，并说明你的算法
(1)872+87×13
(2)1012-992
