3.2 提公因式法
第1课时 提单项式公因式
要点感知1 几个多项式的__________的因式称为它们的公因式.公因式的确定：(1)系数：各项系数的绝对值的__________；(2)字母及指数：各项都含有的相同字母的__________次幂.
预习练习1-1 多项式18xy+12x2y-6xyz各项的公因式是( )
A.12yz B.6xz C.6xy D.3x
要点感知2 提公因式时，如果多项式的首项的符号为负，常提取一个带“-”号的公因式.
预习练习2-1 多项式-6a2b2-3a2b3+12a3b各项的公因式是( )
A.a2b B.3ab C.-3a2b D.-3a2b2
要点感知3 如果一个多项式的各项有__________，可以把这个__________提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法.2·1·c·n·j·y
预习练习3-1 分解因式：ax-a=__________.
知识点1 公因式
1.把多项式3a2b2-6ab2+15a2b因式分解,应提取的公因式是( )
A.3a2b B.3ab C.15a2b2c D.ab2
2.多项式9x3y2+12x2y2-6xy3中各项的公因式是__________.
知识点2 提单项式公因式因式分解
3.把2a2-4a因式分解的最终结果是( )
A.2a(a-2) B.2(a2-2a) C.a(2a-4) D.(a-2)(a+2)
4.用提公因式法因式分解正确的是( )
A.12abc-9a2b2c2=3abc(4-3ab) B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)【来源：21·世纪·教育·网】
C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c) D.x2y+5xy-y=y(x2+5x)21*cnjy*com
5.因式分解：a2-a=__________.
6.因式分解：
(1)3ay-3by； (2)6a2b2-15a2b3+3a2b.21·世纪*教育网
7.下列各组代数式中没有公因式的是( )
A.4a2bc与6abc2 B.ab与a2b3 C.a与b D.2x与4x
8.多项式-2an-1-4an+1的公因式是M，则M等于( )
A.2an+1 B.-2an C.-2an-1 D.-2an+1
9.将a3b3-a2b3-ab因式分解得( )
A.ab(a2b2-ab2-1) B.ab(a2b2-ab2) C.a(a2b3-ab3-b) D.b(a3b2-a2b2-a)
10.因式分解：
(1) 3ab2-a2b=__________；
(2) 2x2-4x＝__________.
11.利用因式分解计算：2100-2101.
12.(1)已知：a+b=3,ab=2,求a2b+ab2的值；
(2)已知：3a2+2a-3=0,求4-9a2-6a的值.
13.用简便方法计算：123×6.28+628×1.32-15.5×62.8.
参考答案
要点感知1 公共 最大公因数 最低
预习练习1-1 C
预习练习2-1 C
要点感知3 公因式 公因式
预习练习3-1 a(x-1)
1.B 2.3xy2 3.A 4.C 5.a(a-1)
6.(1)原式=3y(a-b).
(2)原式=3a2b(2b-5b2+1).
7.C 8.C 9.A
10.(1)ab(3b-a) (2)2x(x-2)
11.原式=2100×(1-2)=2100×(-1)=-2100.
12.(1)原式=ab(a+b)=2×3=6.
(2)因为3a2+2a-3=0,
所以3a2+2a=3.
所以原式=4-3(3a2+2a)=4-3×3=-5.
13.原式=12.3×62.8+62.8×13.2-15.5×62.8=62.8×(12.3+13.2-15.5)=62.8×10=628.
第2课时 提多项式公因式
要点感知1 (a-b)2n=__________(b-a)2n,(a-b)2n+1=__________(b-a)2n+1(n为正整数).
预习练习1-1 多项式2(a-b)-6b(b-a)的公因式是__________.
要点感知2 用提公因式法因式分解时，如果其中各项的多项式因式互为__________，常变形转化为相同多项式因式，再提取公因式.21cnjy.com
预习练习2-1 因式分解：2x(a-2)+3y(2-a)=__________.
知识点 提多项式公因式因式分解
1.因式分解2a(-a+b)2-(a-b)3，应提取的公因式是( )
A.-a+b B.a-b C.(a-b)2 D.以上都不对
2.观察下列各式：①2a+b和a+b；②5m(a-b)和-a+b；③3(a+b)和-a+b；④2x2+2y2和x2+y2.其中有公因式的是( )21·cn·jy·com
A.①② B.②③ C.③④ D.②④www.21-cn-jy.com
3.因式分解b2(a-3)+b(a-3)的正确结果是( )
A.(a-3)(b2+b) B.b(a-3)(b+1) C.(a-3)(b2-b) D.b(a-3)(b-1)www-2-1-cnjy-com
4.把多项式（1+x）（1-x）-（x-1）提取公因式（x-1）后，余下的因式是( )
A．（x+1） B．-（x+2） C．-（x+1） D．x
5.2（a-b）3-（b-a）2因式分解正确的是( )
A．（a-b）2（2a-2b+1） B．2（a-b）（a-b-1）
C．（b-a）2（2a-2b-1） D．（a-b）2（2a-b-1）2-1-c-n-j-y
6.多项式(x+y-z)(x-y+z)-(y+z-x)(z-x-y)各项的公因式为__________.【来源：21cnj*y.co*m】
7.因式分解：
(1)a(a-b)+b(b-a)； (2)2(x-1)2+4b(1-x)2+6p(x-1)2.【出处：21教育名师】
8.若m-n=-1，则(m-n)2-2m+2n的值是( )
A.3 B.2 C.1 D.-1【版权所有：21教育】
9.已知a-1=b+c,则代数式a(a-b-c)-b(a-b-c)+c(b+c-a)的值为__________.21教育名师原创作品
10.用提公因式法因式分解：
(1)2x(x+y)-4(x+y)2； (2)(a+b)(a+b-1)-a-b+1； (3)(x-a)2+4m(x-a)+(m+n)(a-x).21*cnjy*com
11.化简求值：(3x-1)2(2x-3)-(3x-1)(2x-3)2-x(3x-1)(2x-3)，其中x=.
12.阅读下列材料：
因式分解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2.
解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(1+x)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3.
请用以上的方法因式分解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).21世纪教育网版权所有
参考答案
要点感知1 + -
预习练习1-1 2(a-b)
要点感知2 相反数
预习练习2-1 (a-2)(2x-3y)
1.C 2.D 3.B 4.B 5.C 6.x+y-z
7.(1)原式=(a-b)(a-b)=(a-b)2.
(2)原式=2(x-1)2(1+2b+3p).
8.A 9.1
10.(1)原式=-2(x+y)(x+2y).
(2)原式=(a+b-1)2.
(3)原式=(x-a)(x-a+3m-n).
11.原式=(3x-1)(2x-3)[(3x-1)-(2x-3)-x]=(3x-1)(2x-3)×2=2(3x-1)(2x-3).21教育网
当x=时,原式=2×(3×-1)×(2×-3)=-.
12.原式=(1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(1+x)n-1]=(1+x)2[1+x+x(1+x)+…+x(1+x)n-2]=…=(1+x)n+1.
提公因式法（1）
学习目标：
1．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．
2．使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解．
3．培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．21世纪教育网版权所有
重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式，难点：正确地确定多项式的最大公因式．
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P59-60
说一说：下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？
（1）2x2+4=2（x2+2）； （2）2t2－3t+1=（2t3－3t2+t）；21教育网
（3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2； （4）m（x+y）=mx+my；
学一学：
多项式中各项含有相同因式吗？，它们共有的因式是什么？请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由21·cn·jy·com
议一议：1．多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？
2．多项式4x2－x和xy2－yz－y呢？
【归纳总结】如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2·1·c·n·j·y
选一选：
多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ ）
A．-6ab2c B．-ab2 C．-6ab2 D．-6a3b2c
填一填：在下列括号内填写适当的多项式
（1）（ ）
（2）（ ）
提问： 多项式4x2－8x6，16a3b2－4a3b2－8ab4各项的公因式是什么？
师生共识：提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式。
提公因式法关键是如何找公因式．方法是：一看系数、二看字母．公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．www.21-cn-jy.com
【课堂展示】【例】把－4x2yz－12xy2z+4xyz分解因式．
解：－4x2yz－12xy2z+4xyz
=－（4x2yz+12xy2z－4xyz）
=－4xyz（x+3y－1）
合作探究——不议不讲
互动探究一：P59例题1
互动探究二：P60例题2
互动探究三：P60例题3
【当堂检测】：
1.说出下列多项式中各项的公因式
（1）
（2）
（3）（m,n均为大于1的整数）
2. 用简便的方法计算：0.84×12+12×0.6－0.44×12．
3．把下列多项式因式分解
（1） （2）
（3）
提公因式法（2）
学习目标：
1、理解公因式的概念，会找出多项式的公因式，并能用提取公因式法因式分解.
2、初步形成观察、分析、概括的能力和逆向思维方。
3、在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣。
重点：掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解。
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P60-61
说一说：说出下列多项式各项的公因式
（1）2ax+4ay (2) 9x+6x +3x (3) 4a-6a
(4) 4xy-12xy (5) -5ax+15ax (6) –x+2x-3x
学一学：复习，什么叫提公因式？怎样确定公因式？
议一议：1.下列多项式中各项的公因式是什么？
（1）
（2）
(1)当首项系数为负时,通常应提取负因数,在提取“－”号时,余下的各项都变号。
(2)提取公因式要彻底；注意易犯的错误：①提取不尽②漏项③疏忽变号④只提取部分公因式，整个式子未成乘积形式。21cnjy.com
2.①多项式2（a-b）2-（a-b），此题公因式是什么?怎样解？
【解】（教师板书解题过程，突出对留下的多项式中的处理步骤应引起学生注意）
②如何把2(a-b)2 – a + b 分解因式
提问:①此题有没有公因式?②通过怎样变形会有公因式?③怎样分解因式?
【解】2(a-b)2 – a + b = 2(a-b)2 –( a – b)
= (a-b)[ 2(a-b) –1]
= (a-b)( 2a-2b –1)
③然后可追加一问：2（a-b）2-（b-a）3呢？
【归纳总结】
提取公因式的一般步骤：
①确定应提取的公因式:②用公因式去除这个多项式,把所得的商作为另一个因式:③把多项式写成这两个因式的积的形式。【来源：21·世纪·教育·网】
选一选：将多项式a（x-y）+2bx-2by分解因式，正确的结果是（ ）
A．（x-y）（-a+2b） B．（x-y）（a+2b）
C．（x-y）（a-2b） D．-（x-y）（a+2b）
填一填：（1）ma+mb+mc=m（________）； （2）3a2-6ab+a= （3a-6b+1）；
（3）–x – y = (x+y) （4）-15a2+5a=-5a( )；
合作探究——不议不讲
互动探究一：P61例题4
互动探究二：P61例题5
互动探究三：P61例题6
【当堂检测】：
1.选择题
（1）多项式-2an-1-4an+1的公因式是M，则M等于（ ）
A．2an-1 B．-2an C．-2an-1 D．-2an+21·世纪*教育网
（2）下列因式分解不正确的是（ ）
A．-2ab2+4a2b=2ab（-b+2a） B．3m（a-b）-9n（b-a）=3（a-b）（m+3n）
C．-5ab+15a2bx+25ab3y=-5ab（-3ax-5b2y） D．3ay2-6ay-3a=3a（y2-2y-1）
（3）将多项式a（x-y）+2bx-2by分解因式，正确的结果是（ ）
A．（x-y）（-a+2b） B．（x-y）（a+2b）
C．（x-y）（a-2b） D．-（x-y）（a+2b）
2．把下列各式分解因式：
（1）（a+b）-（a+b）2； （2）x（x-y）+y（y-x）；
（3） （4）
