提公因式法（一）
复习巩固：下列哪些变形是因式分解，为什么？
（1）（a+3）(a
-3)=
a
2-9
（2）m
2-4=(
m+2)(
m-2)
（3）a
2-b2+1=(
a
+b)(
a
-b)+1
（4）2πR+2πr=2π（R+r）
想一想：
多项式
ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式
3x2+x呢？多项式mb2+nb–b呢？
结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．
议一议
多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？那多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？
结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
试一试：找出以下多项式的公因式：
（1）a2b+bc
（2）2x2+4x
（3）-ab2+ab–b
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
做一做
例1：将下列多项式进行分解因式：
（1）3x+
（2）7x–21
（3）8a3b2–12ab3c+ab
（4）–24x3+12x2－28x
归纳：提取公因式的步骤：
（1）观察，找公因式；
（2）提公因式．
跟踪练习：
1、把下列各式因式分解：
（1）4x+8y
（2）am+an
（3）48mn–24m2n3
(4)3x3y+12x2y2-18xy3
2、把下列各式因式分解
（1）7ab-14abx2+49aby
(2)6x2-18xy+6x
(3)-3x3y4+12x2y
（4）-a2b–2ab2+ab
2.把下列各式因式分解：
课堂小结
通过这节课，你认识了什么？还有什么疑问？
当堂检测：
1、将下列多项式进行分解因式：
（1）8x–72
（2）a2b–5ab
（3）4m3–8m2
（4）a2b–2ab2+ab （5）–48mn–24m2n3
（6）–2x2y+4xy2–2xy
扩展延伸
用提公因式法分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
2．利用分解因式计算：4.1因式分解
复习回顾：
计算下列各式
（1）3x(x-1)=
(2)(m+4)(m-4)=
(3)(y-3)2=
尝试用简便算法计算：
(1)
736×95+736×5
(2)
-2.67×
132+25×2.67+7×2.67
下列各式属于整式的有：
①
3
②
5x
③
t2-16+3t
④
⑤
a3-a
⑥
⑦
a
新课探究：
993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，
试一试：把a3-a化成几个整式的乘积的形式；
你该怎样做？把你的想法与同学交流。
做一做：
因式分解概念：
把一个多项式化成几个整式的
的形式，这种变形叫做把这个多项式
.
注意：分解因式要注意以下几点:
①.分解的对象必须是多项式.
②分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
③分解的每个因式必须是整式.④要分解到不能分解为止。
做一做：
计算下列各式:
根据左面的算式填空:
(1)3x(x-1)=
(1)
3x2-3x=
(2)m(a+b+c)
=
(2)
ma+mb+mc=
(3)(m+4)(m-4)=
(3)
m2-16=
(4)(x-3)2
=
(4)
x2-6x+9=
(5)
a(a+1)(a-1)=
(5)
a3-a=
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？举例说明
分解因式与整式乘法是一个
过程，它们之间的区别与联系如下：
因式分解:(1)将一个多项式转化为几个整式______的形式；(2)是多项式的恒等变形
整式乘法:(1)把几个整式_______的形式转化为一个_____的形式；(2)是一种运算
整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形。例：
跟踪练习：
1、判断下列各式哪些是因式分解
(1)、x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2)、2x(x-3y)=2x2-6xy
(3)、(5a-1)2=25a2-10a+1
(4)、x2+4x+4=(x+2)2
(5)、(a-3)(a+3)=a2-9
(6)、m2-42=(m+4)(m-4)
(7)、2πR+
2πr=
2π(R+r)
（8）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1
2、20042+2004能被2005整除吗
小结：分解因式与整式乘法是互逆过程.
课堂小结:通过这节课，你认识了什么？还有什么疑问？
当堂检测
1、从左到右的变形是
.
2、从左到右的变形是
.
3、下列各式从左到右的变形（1）；（2）；
（3）；（4），其中是因式分解的个数是（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4、能被2000整除吗？
拓展延伸：
已知，试求的值。4.3公式法
复习巩固：完成下列各式：
（1）（x+5）（x-5）
=
；（2）（3x+y）（3x-y）=
；（3）（3m+2n）（3m–2n）=
．
你发现它们有什么共同特征：
事实上，将上面的乘法公式反过来，就得到
新课探究：
合作交流：利用上面的公式，完成下列例题：
例1：将下列各式分解因式
跟踪练习：
(1)
(2)
（1）
（2）
例2：将下列各式分解因式
(2)
跟踪练习：
（2）
（3）
（4）
注意：当多项式的各项含有公因式时，通常先提取公因式
然后再进一步应用公式
当堂检测：
3.分解因式：(1)-x2+y2=
；(2)0.25a2-y2=
．
4.下列各式中能用平方差公式分解因式的是（
）
A.
B.
C.2
D.
5.一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（
）
A.
B.
C.
D.
6.下列各式中不能用平方差公式分解的是（
）
A.
B.
C.
D。
7.分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
3、把下列各式因式分解：
（1）4m2-9n2
（2）3x-12x3
（3）m4-16n4
（4）
2m-2m5
（5）9(m+n)2-16(m-n)2
（6）9(a+b)2-(a-b)2
拓展提高：
观察下列各式：
32-12=8=8×1；52-32=18=8×2；72-52=24=8×3；92-72=32=8×4；
你发现了什么规律？用含n的等式表示，并说明其中的道理。4.2提公因式法（二)
复习巩固：1、公因式的定义
2、把下列各式因式分解：
（1）am+an
（2）a2b–5ab
（3）m2n+mn2–mn
（4）–2x2y+4xy2–2xy
探索新知（
例题讲解）
想一想：找出下列各式的公因式：
（1）a(x+1)-b(x+1)
(2)xy(a-2)+2x2(a-2)
(3)3x(m+n)+6xy(m+n)
例2：因式分解：
（1）a（x–3）+2b（x–3）
（2）
跟踪练习
（1）x(a+b)+y(a+b)
（2）3a(x-y)-(x-y)
（3）2(m-n)2-m(m-n)
做一做
在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：
（1）2–a=
（a–2）
（2）y–x=
（x–y）
（3）b+a=
（a+b）
（4）（b–a）2=
（a–b）2
（5）–m–n=
（m+n）
（6）–s2+t2=
（s2–t2）
例3：将下列各式因式分解：
（1）a（x–y）+b（y–x）
（2）3（m–n）3–6（n–m）2
跟踪练习：把下列各式因式分解：
（1）6（p+q）2–12（q+p）
（2）a（m–2）+b（2–m）
（3）2（y–x）2+3（x–y）
（4）mn（m–n）–m（n–m）2
课堂小结
通过这节课，你认识了什么？还有什么疑问？
当堂检测：
1、把下列各式分解因式
（1）7（a-1）+x(a-1)
（2）
3(a-b)2+6(a-b)
（3）5（x－y）3+10（y－x）2
（4）x(x-y)2-y(y-x)2
（5）m(a2+b2)+n(a2+b2)
（6）18(a-b)3-12b(b-a)2
（7）
(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)
（8）x(x+y)(x-y)-x(x+y)2
问题解决：
某大学有三块草坪，第一块草坪面积为，第二块草坪面积为，第三块草坪面积为，求这三块草坪的总面积。
【扩展延伸】
1．若，则_______________
2.
长，宽分别为，的矩形，周长为14，面积为10，则的值为_________
3
先分解因式，再计算求值
，其中第四章
因式分解
知识点一：分解因式概念:
例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（
）。
A.
B.
C.
D.
知识点二：利用提公因式法分解因式
例2.把下列各式分解因式
⑴
⑵
知识点三：利用公式法分解因式
例3.把下列各式分解因式
⑴
⑵
⑶
练一练：把下列各式分解因式
（1）（a2+4）2–16a2
（2）
知识点四：综合运用多种方法分解因式
例4.把下列各式分解因式
⑴
⑵
⑶
⑷
知识点五：运用分解因式进行计算和求值
例5.利用分解因式计算：
⑴
⑵
⑶（–2）101+（–2）100
例6．已知
，求
的值。
例7.已知x+y=1，求的值．
例8.计算下列各式：
你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：
达标检测
1.中各项的公因式是_______.
2、；；.
3、多项式与的公因式是
.
4、利用因式分解计算：
.
5、若，则=________，=________。
6.若是的完全平方式，则=__________.
