课题：1.1.4等腰三角形 课型：新授课 年级：八年级
教学目标：
1.探究并掌握等边三角形的判定方法.
2.探究并掌握含有30°角的直角三角形的性质.
3.在探究过程中，使学生进一步体会分类讨论、转化、逆向思维等数学思想方法，提高学生的能力.教学重点与难点：
重点：
1.等边三角形判定定理的发现与证明.
2.含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
难点：
含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
教法与学法指导：
教法：启发探究式教学．通过创设丰富的问题情境，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动．在师生互动、生生互动的探究活动中，提高学生解决问题的能力．
学法：引导学生“自主探究——合作交流——自我提高”．通过动手操作三角板，拼接等腰及等边三角形改变学生被动接受的学习方式，倡导学生自主参与，小组合作，积极互动，主动获取新知识，培养学生良好的学习习惯．
课前准备：多媒体课件.
教学过程：
一、激趣导入，提出问题
活动内容：欣赏几组图片(多媒体展示):
同学们这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志.
(1)图中的三角形有什么特点？
(2)等边三角形与等腰三角形有什么关系？
(3)等边三角形有哪些特点？
(4)一个三角形满足什么条件时是等边三角形呢？
（教师板书课题）
处理方式:先让学生观察，给学生1分钟思考的时间,然后找学生回答. 教师可让同学代表充分发表自己的看法．
设计意图: 通过生活中的图片引入等边三角形，使学生在愉快的氛围中激发学生学习数学的兴趣，体现了学生走进生活感受数学的高涨热情.并提出等边三角形的判定问题．明确重点的同时，激发学生的求知欲，精美的图片非常吸引学生,使学生很自然的进入本节的学习，进而顺利引入新课．
二、自主合作，解决问题
探究活动1：探究等边三角形的判定方法
问题1：除了三边相等的三角形是等边三角形.还有其他的判定方法吗？你能证明吗？
问题2：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形
问题3：你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗 你能证明你的结论吗 把你的证明思路与同伴交流．
问题4：完成表格
问题5：总结等边三角形的判定方法.
名称 性质 判定
等边三角形
处理方式: 生积极思考，通过老师的点拨，认识到有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，并且需要分类讨论:当这个角分别是底角和顶角的情况, 等腰三角形中，如果顶角是60°，那这个等腰三角形是等边三形;等腰三角形中，如果有一个底角是60°，那这个等腰三角形也是等边三角形．学生合作完成证明.师以顶角为例写出已知和求证.另一个证明要求学生到黑板上完成．在问题3中，同学们总结等边三角形的判定方法：方法一：三边相等的三角形是等边三角形；方法二：三个角相等的三角形是等边三角形；方法三：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
（附证明过程）（顶角是60°时）
已知:如图，△ABC中，AB=AC，∠A=60°.
求证：是等边三角形.
证明：如图
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠A=60°
∴∠B=∠C==60°
∴∠A=∠B=∠C
∴△ABC是等边三角形.
（底角是60°时）
已知: 如图，△ABC中AB=AC，∠B=60°.
求证：是等边三角形.
证明：如图
∵AB=AC，∠B=60°
∴∠B=∠C=60°
∴∠A=180°-60°×2=60°
∴∠A=∠B=∠C
∴△ABC是等边三角形.
（附表格答案）
名称 性质 判定
等边三角形 等边三角形三条边都相等 三条边都相等的三角形是等边三角形
等边三角形三个角都是60° 三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
（教师板书）
设计意图: 等边三角形的判定方法是本节课的重点．通过对不同的三角形加“边”或“角”两方面不同的条件，使学生体会、融合等边三角形的性质和判定的有关知识．条件加在不同的位置也要分情况讨论，这样在探究过程中充分体现了分类的作用，这对学生提高对数学思想方法的认识起到了渗透作用．
探究活动2：含30°角的直角三角形的性质
问题1：请同学们用两个含30°角的全等三角尺，拼成一个三角形．你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？（学生分组合作完成，并展示所拼图形）
问题2：在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．
问题3：在一个含30°角的三角尺中，你能发现什么结论？能用语言形式叙述吗？能证明这个结论吗？
处理方式：问题1要给学生足够的时间动手操作，然后分组展示自己的成果，第（1）个三角形是等边三角形，第（2）图形是等腰三角形.并说明第（1）个三角形为什么是等边三角形的，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC．又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．问题2中根据等边三角形的性质，发现线段间的等量关系有：（1）AB=AC=BC，（2）BD=CD；倍数关系有：（1）BC=2BD=2CD，（2）AB=2BD=2CD,(3) AC=2BD=2CD.由此就得出在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．然后学生尝试证明，小组内交流，教师巡视对证明有困难的小组给予指导.
（附证明过程）
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC=AB．
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°.
延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如图所示)．
∵∠ACB=90°
∴∠ACD=90°
又∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)．
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
∴BC=BD=AB．
（教师板书）
几何语言：∵∠C＝900 ∠A＝300
BC＝
在证明性质之后，教师追问：该定理的作用是什么？该定理可以用来证明线段之间的倍数关系，也可以求线段的长度.老师可以举例，给BC的长，让学生求AC、AB的长；给AB的长，让学生求BC、AC的长；给AC的长，让学生求BC、AB的长.让学生通过计算感知，在直角三角形中，当一个角为300时，再给一条边便可求其余两边.
设计意图： “直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”是本课的难点，在难点的突破上主要采取两种方法：（1）通过三角尺操作的实践活动，（2）对问题的分步引导的方法．这样在难点的突破更具有直观性和可操性．
三、展示汇报，反馈点拨
已知：在△ABC中，已知AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高．求证：CD=．
处理方式：学生思考，并解决问题．因为此三角形为等腰三角形，底角为15°，顶角为150°，所以为等腰钝角三角形，此时强调高应在三角形外部，由此可构造出特殊的直角三角形，进而解决问题，可让一名同学黑板板演，教师纠正学生出现的问题，强调步骤的规范性.
（附证明过程）
证明：在△ABC中，
∵AB=AC，∠B=15°
∴∠ACB=∠B=15°（等边对等角）．
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°
∵CD是腰AB上的高，
∴∠ADC=90°．
∴CD=（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
∴CD=．
设计意图：在有一个角是30°的直角三角形的性质的证明上，则采取延续探究的练习题的再深入探究，很直观地展示了两边的关系和证明思路，学生口述证明，节约了时间.在点拨了例题之后，规范板书，了解解题步骤，给学生以书写指导，同时给学生消化吸收的时间，为接下来巩固练习的解决搭好台阶．
四、巩固训练，拓展提高
A类：
1．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
2．如图，△ABC中AB=AC，AO平分∠BAC，若∠BOC=60°,则△BOC的形状是（ ）
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
3.已知，如图，在△ABC中,∠ACB＝90°,∠A=30°,CD⊥AB于D .
求证: .
B类：
4．已知：一块形如△ABC的空地，AB=2a米,AC=3a米,∠A=150°，若在其中种上单价20元/平方米的草皮，需要多少钱？
处理方式：学生先独立思考在练习本上写出答案,然后相互交流各自的想法,最后小组展示结果.待学生全部完成后学生进行分析讲解,有问题的让学生之间相互进行纠错,评判,反思. 可以由几名学生到黑板板演，其他学生在练习本上完成．然后借助多媒体配合教师巡视并适时点拨，及时点评，展示矫正、规范理解，关注并评价同伴表现，检查自己的完成情况，拓展学生的思路.
设计意图：通过展示结果,及时巩固所学知识,同时教师巡视,有利于查缺补漏,个别辅导,保证学生把基础
知识掌握透彻.对于班额大的班级,充分发挥小组的作用,保证小组学习的顺利进行. 通过设置不同层次的题目，检测纠错并提高认识知识的效率，同时也强化了学生的学习重点，进一步巩固、提升学生所学知识.
五、当堂测试，课堂小结
（一）课堂小结
师:学习如逆水行舟，不进则退.只有不断反思自我,充实自我,才能取得更大的进步!所以每一节课大家都要用心反思,查缺补漏,保证自己的小船稳稳前进!现在谁愿意先来反思一下自己本节课学习的体会
学生反思自己课堂的表现及所学习的知识和方法等内容，大家相互补充.
设计意图：学生在学习的过程中会有遗忘,因此必要的反复至关重要,每节课的小结更是必不可少.因为
良好的课堂小结，可以再次激起学生思维的高潮，起到余味无穷、启迪智慧的效果。能使一堂课所讲的知识体现出的数学思想、数学方法系统化.
（二）当堂检测
基础题：
1.课本12页习题1.4第1、2、3题．
提升题：
2.助学10页自主评价．
处理方式：学生先独立完成，教师巡视.做的快的可以边巡视边批改,绝大多数完成后,根据批改情况找
学生错的比较多的问题讲解,由做错的学生进行纠错.留半分钟的时间纠错反思.
设计意图：让学生独立完成,有利于把握学生对本节课的掌握情况.同时老师面批,有利于查缺补漏,因材
施教.最后留给学生反思,将错题真正改正,落实到实处.让学生最大程度地获得新知，同时针对本节课的重点，有目的的设计习题，以检测教学目标达成情况、纠正错误、熟练知识，发现与弥补遗漏；同时可以让学生全面了解自己的学习过程，感受自己的成长和进步，促进学生对学习及时进行反思，为教师全面了解学生的学习状况，改进教学，实施因材施教提供重要依据．
结束语：
师：同学们，本节课的学习你们给我留下了深刻的印象，同时也给了我太多的感动与惊喜，谢谢你们！
同时送给你们一句话共勉：
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.
---达哥拉斯
六、板书设计
1.1 等腰三角形（4）
一、等边三角形的判定方法（1）三边相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 二、含30°角的直角三角形的一个性质如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 练习区
A
B
C
A
B
C
定理：三个角相等的三角形是等边三角形.
定理：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．(共14张PPT)
第一章 三角形的证明
1. 等腰三角形（4）
上课准备：课本，练习本，红笔
上课要求：
1.回答问题声音洪亮，知道老师提出问题答案
的学生把手高高举起示意老师.
2.小组讨论时，组长负责组织组员活动，每个
人都要积极参与讨论.
3.每组组长为记分员.（A1分、B2分、C3分、D4分）
激趣导入 提出问题
这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志.
(1)图中的三角形有什么特点？
(2)等边三角形与等腰三角形有什么关系？
(3)等边三角形有哪些特点？
(4)一个三角形满足什么条件时是等边三角形呢？
求证：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B，
∴BC=AC(等角对等边)．
又∵∠A=∠C，
∴BC=AB(等角对等边)．
∴AB=BC=CA，
即△ABC是等边三角形．
C
B
A
自主合作 解决问题
(1)一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形
(2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗 你能证明你的结论吗 把你的证明思路与同伴交流．
分析：有一个角是60°，在等腰三角形中有两种情况：(1)这个角是底角；(2)这个角是顶角．
自主合作 解决问题
定理：有一个角是60°的等腰
三角形是等边 三角形．
等边三角形的判定定理：
展示汇报 反馈点拨
性质 判定的条件
等腰三角形
(含等边三角形) 等边对等角 等角对等边
“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合 有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形三个角都相等，且每个角都是60° 三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形的性质和判定：
展示汇报 反馈点拨
用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形 能拼出一个等边三角形吗 说说你的理由．
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系 你能证明你的结论吗
D
(
1
)
C
B
A
(
2
)
B
C
A
D
自主合作 解决问题
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC= AB．
D
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
∵∠ACB=90°∴∠ACD=90°
∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
∴BC= BD= AB．
自主合作 解决问题
C
B
A
几何语言：
∵∠C＝900 ∠A＝300
BC＝
等腰三角形的底角为15°腰长为2a，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高；
求：CD的长.
C
B
A
D
展示汇报 反馈点拨
解：∵∠ABC=∠ACB=15°
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°
∴CD= AC= ×2a= a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．
1．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则其底边上的高为 ________ ．
巩固训练 拓展提高
3．如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？
A
B
C
D
E
数学知识
注意事项
三角形内角和定理（4）
思想方法
评价反馈，当堂达标
当堂达标：
基础题：
1.课本12页习题1.4第1、2、3题．
提升题：
2.助学10页自主评价．
当堂测试，课堂小结
要求：同桌互判，打分，组长负责组织
组员整理错题，解疑.
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.
---达哥拉斯
