(共17张PPT)
北师大版
八年级
下册
4.1
因式分解
问题1：图片上对开的两列车“整式乘法号”与“因式分解号”上的式子有什么特点？“因式分解号”列车的式子正确吗？
计算：3.14×25.25+3.14
×74.75
计算：992-1
=(99+1)(99-1)
=100×98
=9800
将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗
用a表示任意一个大于1的整数，则：
上面式子化成了几个整式积的形式
因式分解定义
把一个多项式化成____________的形式,这种变形叫做把这个多项式
分解因式与整式乘法是互
为逆运算关系.
多项式的分解因式与整式乘法是方向相反的恒等式.
几个整式的积
分解因式，也叫因式分解。
下列由左边到右边的变形，哪些
是分解因式？哪些不是？说明理由。
(1)
x2+3x+4=(x+2)(x+1)+2
(2)
6x2y3=3xy·2xy2
(3)
(3x-2)(2x+1)=6x2-x-2
4ab+2ac=2a(2b+c)
计算下列个式
:
(1)
3
x(x
-
1)=
_____
(2)
m(a+b+c)
=
_____
(3)
(m+4)(m
-
4)=
____
(4)
(x
-
3)
2
=
_______
(5)
a(a+1)(a
-
1)=
____
根据左面的算式填空
:
(1)
3
x
2
-
3x=_______
(2)
ma+
mb
+mc=______
(3)
m
2
-
16=_________
(4)
x
2
-
6x+9=________
(5)
a
3
-
a=______
3x+3x
ma+mb+mc
m-16
x-6x+9
a
-
a
3
2
2
2
3x(x-1)
m(a+b+c)
(m+4)(m-4)
(x-3)
a(a+1)(a-1)
2
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？
多项式
整式乘积
因式分解
整式乘法
互逆变形
A．a(x＋y)＝ax＋ay
B．x2－4x＋4＝x(x－4)＋4
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
1.
(2013茂名)下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
2：若关于x的多项式
分解因式的结果为
，求
m、n的值.
.
.
的值
求
时，
１当
ac
ab
c
b
a
-
=
=
=
386
.
1
,
386
.
2
,
14
.
3
解:
ab-ac=a(b-c)
当a=3.14,
b=2.386,
c=1.386时,
原式=3.14×(2.386-1.386)
=3.14
能力提升
拓展应用
2.
计算
:
765
2
×
17
－
235
2
×
17
解
:
765
2
×
17
－
235
2
×
17
=17(765
2
－
235
2)
=17(765+235)(765
－
235)
=17
×
1000
×
530=9010000
解
:
∵
2004
2
+2004=2004(2004+1)
=2004
×
2005
∴
2004
2
+2004
能被
2005
整除
3.
能被2005
整除吗
2004
2
+2004
归纳小结
分解因式与整式乘法是互逆过程
.
分解因式要注意的问题:
1.
分解的对象必须是多项式
.
2.
分解的结果一定是几个整式的
乘积的形式
.
3.
要分解到不能分解为止
.
分解因式的概念
267–1是不是质数？曾经在数学界困扰了200多年，直到1903年，在纽约的一次数学报告会上，数学家科乐走上讲台，他没有说一句话，只是用粉笔在黑板上写了两数的演算结果，一个是267–1，另一个是193707721×761838257287，两个算式的结果完全相同，这时，全场爆发出经久不息的掌声。科乐只作了一个简短的无声的报告，可这是他花了3年中全部星期天的时间，才得出的结论。在这简单算式中所蕴含的勇气、毅力和努力，比洋洋洒洒的万言报告更具魅力。课题：4.1因式分解
课型：新授课
年级：八年级
能
教学目标：
1.理解因式分解的概念，能判断一个式子的变形是否为因式分解.
2.在具体情境中，认识因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系解决实际问题．
3.
在学习过程中，培养学生类比的数学思想和逆向运算的能力，逐步形成独立思考，主动探索的习惯.
教学重点与难点：
重点：1.因式分解的概念的理解和应用.
2.探究因式分解与整式乘法的互逆关系.
难点：理解因式分解与整式乘法的区别与联系，并运用它们之间互逆关系解决问题.
教法与学法指导：
教法：类比、探究式教学方法.
学法：自主、合作、探索的学习方式.
课前准备：
教师准备：多媒体课件、投影仪、当堂检测试题题．
学生准备：复习整式乘法．
教学过程：
一、设疑激趣
引出章题
（多媒体展示图片）
问题1：图片上对开的两列车“整式乘法号”与“因式分解号”上的式子有什么特点？“因式分解号”列车的式子正确吗？
处理方式：（1）让学生观察两列车上的式子并写在练习本上，发现它们是互逆变形.
（2）让学生判断式子的正误，体会它们之间是一种恒等变形，同时对的成立与未知的因式分解产生好奇，提升本章的学习兴趣.
（3）引出章题目——第四章
因式分解
设计意图：通过一副形象的图画——对开的列车，以及有对比性的两个数学问题，向学生展现本章要学习的主要内容，并渗透本章的重要思想方法——类比法.
二、激趣导入
探究新知
探究活动1
类比因数分解引出因式分解
多媒体展示：（背景音乐：一站到底
开场音乐）
问题1：舜耕中学八年级的“一站到底”活动中，主持人出了一道抢答题计算：3.14×25.25+3.14
×74.75
，结果上期战神小聪一时失误，本期脱颖而出的小慧首先得出了答案，你能知道小慧是怎么快速得到结果的吗？
处理方式：（1）激发学生学习的兴趣，让学生先独立思考，然后找学生回答.
(2)老师紧接展示：=？小聪马上回答“9800.”你知道小聪怎么快速算出的结果吗？学生思考后写出结果；老师追问“你知道计算的依据吗？”
(3)以“一站到底”背景，“主持人为了决出胜负，最后又出了一道有难度的题目，993-99能被100整除吗？结果小聪和小慧都陷入了深思中，他们都拨打场外电话寻求帮助，如果电话打给了你，你能给予帮助吗？”.在学生思考后尝试给出结果，小组内可以讨论交流.
993-99
=
99×992－99×1
=
99（992－1）
=
99（99+1）（99-1）
=
99×98×100
所以993-99能被100的整除.
问题2：993-99还能被哪些正整数整除？
处理方式：（1）给学生观察的时间，并及时鼓励和引导学生，如有的学生可能回答为98,99,100；有的回答可能为990,980；有的可能是9,11,14,7,3等等都要给予肯定和表扬.
(2)学生回答后教师要追问“你知道解决这些问题的关键是什么？”，在学生思考总结后提问并归纳为“关键是把数式化成了几个数的积的形式”.
设计意图：在故事的引领中让学生体会数学的魅力，积蓄求知欲.同时引导学生明确解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式，从而为后续学习奠定基础做好铺垫.
探究活动2
问题3：如果将上面问题中的99换成a，你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？
处理方式：（1）让学生独立运用类比的方法独立完成,教师展示正确结果：
a3－a=a（a2－1）=a（a－1）（a+1）
（2）教师追问：a3－a
的结果的形式是否也是积的形式？类比因数的分解，这种变化应该叫什么呢？引出——因式分解
设计意图：利用类比的方法，由数到式过渡使知识自然迁移，同时引出“因式分解”这一名词，为后续研究其定义做好铺垫.
探究活动2：利用图形理解因式分解
处理方式：（1）学生先思考并独立尝试完成填空,教师要引导数量关系主要指向面积.
（2）找学生叙述解题的方法，可能学生有不同的形式和解释的方法，只有合理都应给予鼓励.
（3）展示答案：
ma+mb+mc=
m（a+b+c）
x2
+
x+
x+1=（x+1）（x+1）或x2
+
2x
+1=
（x+1）2
.
探究活动3：观察下列式子，它们的形式变换有什么特点呢？
（1）a3－a
=a（a－1）（a+1）
（2）
ma+mb+mc=
m（a+b+c）
（3）x2
+
2x
+1=
（x+1）2
处理方式：（1）引导学生观察角度是“形式变换”的特点，及时肯定学生的答案，如：左边是多项式右边是整式乘积的形式.
(2)让学生再举一些类似的例子：如a2-b2=(a+b)(a-b)、…等.
(3)让学生自学课本93页，明确因式分解的定义，并勾画出关键条件.
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.
教师引导学生对概念理解：①分解的结果要以积的形式表示；②每个因式必须是整式；③每个多项式不能再分解为止.
活动内容：概念反馈练习：
下列哪些变形是因式分解，为什么？
（1）（a+3）(a
-3)=
a
2-9
（2）m
2-4=(
m+2)(
m-2)
（3）a
2-b2+1=(
a
+b)(
a
-b)+1
(4)6x2y3=3xy·2xy2
（5）2πR+2πr=2π（R+r）
（6）x2+2+=
处理方式：让学生依据定义逐一判断并说出哪些是，哪些不是，对于不是因式分解要解释出原因，以便学生对于概念有个更加深入的认识.对于（6）题有些学生可能认为是因式分解，此处让学生再看概念,结合关键词进行判断,让学生说出错误的关键是分式而不是整式.最后以（a+3）(a
-3)=
a
2-9和a
2-9=（a+3）(a
-3)为例，说明二者的区别.
设计意图：通过学生观察分析自然的总结归纳出因式分解的定义，并且通过讨论交流挖掘概念的关键处，利用反馈练习加深学生对知识的理解和掌握.
探究活动4
因式分解与整式乘法的关系
A:计算下列式子：
（1）3x(x-1)=
；
（2）m(a+b-1)=
；
（3）（m+4）(m-4)=
；
（4）（y-3）2=
；
B:
根据上面的算式进行因式分解：
（1）3x2-3x=
；
（2）ma+mb-m=
;
（3）m2-16=
；
（4）y2-6y+9=
．
处理方式：（1）以课本为本，独立完成填空，小组长检查并给予学困生指导点拨.
（2）以追问的方式让学生给两组题目的运算形式是什么？（整式乘法和因式分解）
（3）它们的变形各有什么特点？（在A中，等号左边都是整式乘积的形式，等号右边都是多项式；在B中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.）
（4）因式分解和整式乘法有什么关系？（多项式的因式分解与整式乘法互为逆变形过程.）
分解因式
多项式
整式乘积
整式乘法
设计意图：通过两组互逆关系的练习，类比两种不同的逆运算，进一步让学生体会什么是分解因式，这个时候，分解因式的概念已基本在学生头脑中确立。由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．
三、典例导航
拓展提高
例1：(2013茂名)下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．a(x＋y)＝ax＋ay
B．x2－4x＋4＝x(x－4)＋4
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
例2：若关于x的多项式分解因式的结果为，求的值.
处理方式：（1）先给予学生一定的审题时间，让学生独立尝试完成，教师巡视指导发现问题.（2）例1要让学生逐项说出是或否的理由，引导学生紧扣定义；例2让学生书写解题过程，找1名学生黑板板书.老师根据学情重点点拨.结合学生解题可以出示变式练习：
（投影展示）
变式练习：（2013 株洲）多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m=
，n=
.
设计意图：让学生通过例题学习继续巩固因式分解的定义和因式分解与整式乘法的互逆变形关系.
四、师生交流
归纳小结
活动内容：1.这节课你有什么收获？
2.你能用自己的语言概括吗？你还有什么疑问？
3.这节课用到了我们数学中的什么数学思想？
处理方式：先让学生自己进行小结,然后小组之间进行交流,最后找代表回答.
设计意图：提高学生表达能力，培养学生课后归纳反思的良好学习习惯.
五.
分层评价，当堂达标
A组(每题3分)
1.
下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是
(
)
A.
x2-9+6x＝(x+3)(x-3)+6x
B.
(x+5)(x-2)＝x2+3x-10
C.
x2-8x+16＝(x-4)2
D.
(x-2)(x+3)＝(x+3)(x-2)
2.已知不论x为何值，，则k值为（
）
A.2
B.-2
C.5
D.-3
3.下列各式从左到右的变形（1）；（2）；
（3）；（4），其中是因式分解的个数是（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B组（3题5分，4题6分）
3.根据图示，写出一个因式分解的等式
.
4.分解因式时，甲看错了a的值，分解结果是，乙看错了b的值，分解结果为，求的a,b值.
处理方式：学生独立完成，小组内互批并给予分值，组长组织互纠错题.
设计意图：分层检测，既巩固了知识，又帮助不同学生得到不同的发展.当场面批,有利于个别辅导.
六、分层作业
强化目标
基础题：
课本94页习题4.1第2，3，4题．
兴趣题：.利用因式分解计算．
2013+20132-20142
板书设计
4.1因式分解
1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.2.因式分解和整式乘法互为逆运算.注意事项.
例题演示区
投影仪示范区
学生板演区
附:数学小故事：267–1是不是质数？曾经在数学界困扰了200多年，直到1903年，在纽约的一次数学报告会上，数学家科乐走上讲台，他没有说一句话，只是用粉笔在黑板上写了两数的演算结果，一个是267–1，另一个是193707721×761838257287，两个算式的结果完全相同，这时，全场爆发出经久不息的掌声。科乐只作了一个简短的无声的报告，可这是他花了3年中全部星期天的时间，才得出的结论。在这简单算式中所蕴含的勇气、毅力和努力，比洋洋洒洒的万言报告更具魅力。
