浙江省杭州市夏衍中学2016-2017学年高一上学期新生入学考试数学试题

杭州市夏衍中学2016学年第一学期高一新生入学考试
数
学
(问卷)
总分：100分
时间：90分钟
一.
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列运算正确的是（
）
A、a2·a3=a6
B、a8÷a4=a2
C、a3+a3=2a6
D、(a3)2=a6
2．一元二次方程2x2-7x+k=0的一个根是x1=2,则另一个根和k的值是
(
)
A．x2=1
，k=4
B．x2=
-
1,
k=
-4
C
．x2=,k=6
D．x2=
,k=-6
3．如果关于x的一元二次方程中，k
是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率P=
(
)
A．
B．
C．
D．
4．二次函数y=-x2-4x+2的顶点坐标、对称轴分别是(
　)
　　A.(-2,6)，x=-2　B.(2,6)，x=2
　　
C.(2,6)，x=-2　　
D.(-2,6)，x=2
5．已知关于只有一个解，则化简的结果是（
）
A、2a
B、2b
C、2c
D、0
6.
函数的单调递增区间为（
）
A．
B．
C．
D．
7.
下列函数是偶函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
8．已知四边形的两条对角线相等，但不垂直，顺次连结各边中点得四边形，顺次连结各边中点得四边形，以此类推，则为（
）
A．是矩形但不是菱形；
B.
是菱形但不是矩形；
C.既是菱形又是矩形；
D.既非矩形又非菱形.
9．如图
,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.
若
A．40
B．
C．
60
D．不能确定
10．如图为由一些边长为1cm正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外面部分的表面积是________
cm2。
正视图
左视图
俯视图
A．
11
B．15
C．18
D．22
二.
填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．函数中，自变量x的取值范围是
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AC＝10，CD＝6，则sinB的值为_____
13．如图
，在⊙O中，∠ACB＝∠D＝60°，OA＝2，则AC的长为_________
14．同室的4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的
贺年卡，
则4张贺年卡不同的拿法有__________种。
15.
对于正数x，规定f（x）=
,例如f（3）=，f（）=，
计算f（）+
f（）+
f（）+
…f（）+
f（
）+
f（1）+
f（1）+
f（2）+
f（3）+
…
+
f（2014）+
f（2015）+
f（2016）=
.
三.
解答题（共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分10分）
（1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来.
（2）先化简，再求值：已知，求的值．
17.
（本小题满分10分）
已知集合A=，B={x|2（1）求A∪B，(CRA)∩B；
（2）如果A∩C≠φ，求a的取值范围．
18．（本小题满分10分）已知关于ｘ的方程x2-(2k+1)x+4(k-
)=0.
⑴
求证:无论k取何值,这个方程总有实数根;
⑵
若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根,求三角形ABC的周长.
19．（本小题满分10分）
已知函数．（1）用定义证明是偶函数；
（2）用定义证明在上是减函数；
（3）作出函数的图像，并写出函数当时的最大值与最小值．
20.（本小题满分10分）
已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C（0，b），O为原点.
（1）求m的取值范围；
（2）若且OA+OB=3OC，求抛物线的解析式及A、B、C的坐标.
（3）在（2）的情形下，点P、Q分别从A、O两点同时出发以相同的速度沿AB、OC向B、C运动，联结PQ与BC交于M，设AP=k，问是否存在k，使以P、B、M为顶点的三角形与⊿ABC相似.若存在，求所有的k值，若不存在说明理由.
夏衍中学高一新生入学考试
数学参考答案
一.
选择题（每小题3分，共30分）
题次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
A
D
C
D
B
B
C
二.
填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．函数中，自变量x的取值范围是
．
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AC＝10，
CD＝6，则sinB的值为_____。
13．如图
，在⊙O中，∠ACB＝∠D＝60°，OA＝2，则AC的长为_________。
14．同室的4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的
贺年卡，
则4张贺年卡不同的拿法有___9__
种。
15.
对于正数x，规定f（x）=
,例如f（3）=，f（）=，
计算f（）+
f（）+
f（）+
…f（）+
f（
）+
f（1）+
f（1）+
f（2）+
f（3）+
…
+
f（2014）+
f（2015）+
f（2016）=
2016
.
三.
解答题（共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题满分10分）（1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来.
解：
由（1）得：x>-1
由（2）得：
所以原不等式组的解集为：
------------------5分
（2）先化简，再求值：已知，求的值．
解：当时，
------------------10分
17.
（本小题满分10分）
解：（1）A∪B={x|1≤x<10}
(CRA)∩B={x|x<1或x≥7}∩{x|2={x|7≤x<10}
（2）当a>1时满足A∩C≠φ
18．（本小题满分10分）已知关于ｘ的方程x2-(2k+1)x+4(k-
)=0.
⑴
求证:无论k取何值,这个方程总有实数根;⑵
若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根,求三角形ABC的周长.
解：（1）
所以：无论k取何值,这个方程总有实数根。------------------5分
（2）三角形ABC为等腰三角形，可能有两种情况：
1）b或c中至少有一个等于a=
4，即：方程x2-(2k+1)x+4(k-
)=0有一根为4，
可得k=,方程为x2-6x+8=0.另一根为2，此时三角形ABC周长为10；------------8分
2）b=c时，
得k=,方程为x2-
4x+4=0.得b=c=2,
此时ABC不能构成三角形；
综上，三角形ABC周长为10。
--------------------10分
19．（本小题满分10分）
（1）证明：函数的定义域为，对于任意的，都有
，∴是偶函数．
--------3分
（2）证明：在区间上任取，且，则有
，
∵，，∴
即
∴，即在上是减函数．---------------7分
（3）解：最大值为，最小值为．------------------10分
20.（本小题满分10分）
已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C（0，b），O为原点.
（1）求m的取值范围；
（2）若且OA+OB=3OC，求抛物线的解析式及A、B、C的坐标.
（3）在（2）的情形下，点P、Q分别从A、O两点同时出发以相同的速度沿AB、OC向B、C运动，联结PQ与BC交于M，设AP=k，问是否存在k，使以P、B、M为顶点的三角形与⊿ABC相似.若存在，求所有的k值，若不存在说明理由.
解：（1）利用判别式解得
------------------2分
(2)注意条件
可得，从而，
所有，
所以
满足条件的抛物线图象如图所示
依题意
，而，
所以有，解得（舍去）
从而为所求的抛物线解析式
令得A（-8，0）、B（-4，0）、C（0，4）------------------6分
（3）⊿PBM与⊿ABC相似有两种情况：
当PQ∥AC，AP=OQ=k，由，
得，解得
（10分）
2)当PQ与AC不平行，设有∠ACB=∠MPB，
过B作AC的垂线，垂足为D，
利用,求得BD=
由Rt⊿CDB∽Rt⊿POQ，则有，即，化简得,解得或，但由CQ=4-k，知0，综上1）2）所求的k值是或k=2.
------------------10分
B
D
C
α
β
A
A
B
D
C
图4
O
.
A
B
C
D
A
B
D
C
图4
O
.
A
B
C
D