K三关 高二理数人教A版选修2-1（第01章） 含解析
文档属性
| 名称 | K三关 高二理数人教A版选修2-1（第01章） 含解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 935.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-06-29 21:05:17 | ||
图片预览
文档简介
第一章
常用逻辑用语
1.1
命题及其关系
1．命题
一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的_______叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
在本章中，我们只讨论具有“若p，则q”这种形式的命题，通常把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.
注意：（1）一个数学命题要么是真命题，要么是假命题，但不能既真又假，也不能模棱两可、无法判断其真假.数学中的定义、定理、公理都是真命题.
（2）有一些语句，虽然目前还不能判断它的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假.我们把这一类语句也算作命题，如“神农架野人”，虽然目前还不能确定有没有野人，但是随着时间的推移，人们是能够考察清楚的.
（3）数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式.关键是分清命题的条件和结论.
2．四种命题
（1）原命题与逆命题
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”.
（2）否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的___________，我们把这样的两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若，则”.
（3）逆否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的__________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题.
也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若，则”.
注意：在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或重复.
3．四种命题间的相互关系
一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系如图所示：
一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有________真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________.
注意：（1）互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.
（2）在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0，2，4.
K知识参考答案：
1．陈述句
2．（1）结论和条件
（2）条件的否定和结论的否定
（3）结论的否定和条件的否定
3．（1）相同的
（2）没有关系
K—重点
四种命题及其关系，命题真假的判断
K—难点
涉及命题真假判断的多选型试题
K—易错
对于含有大前提的命题，改写时，易忽略大前提
一、命题的概念及真假判断
判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一，是否是“陈述句”；第二，是否“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．
命题真假的判断方法：
（1）真命题的判断方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确地逻辑推理的一个过程，判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.
（2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.
另外，一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断.
下列语句是命题的序号为________.
①风景这边独好；
②求证是无理数；
③函数是上的偶函数；
④火星上有水；
⑤若，则；
⑥.
【答案】③④⑤
【解析】①不是命题.因为评价风景好坏的标准不一致，因此不能作出判断.
②不是命题.因为它是祈使句，不是陈述句，所以不是命题.
③是命题.因为由偶函数的定义可以作出判断，所以是命题.
④是命题.因为随着科学技术的发展和时间的推移是可以作出判断的，所以是命题.
⑤是命题.因为由不能推出，可以作出判断.
⑥不是命题.因为字母的性质不明确，所以不是命题.
【名师点睛】本题中的⑤⑥含有字母，对于判断这种含有字母的语句是否为命题时，需注意字母的性质是否明确.若明确，即能判断其真假，则是命题，否则就不是命题.
指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假：
（1）若，则成等比数列；
（2）正角的正弦值是正数；
（3）函数的图象关于y轴对称；
（4）两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
【解析】（1）命题的条件为“”，结论为“成等比数列”，当时，不成等比数列，所以是假命题.
（2）写成“若p，则q”的形式为：若一个角是正角，则这个角的正弦值是正数.则该命题的条件为“一个角是正角”，结论为“这个角的正弦值是正数”，由于，所以是假命题.
（3）写成“若p，则q”的形式为：若函数为，则其图象关于y轴对称.命题的条件为“函数为”，结论为“该函数的图象关于y轴对称”.由于，所以是偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，是真命题.
（4）写成“若p，则q”的形式为：若有两个正数，则它们的算术平均数不小于它们的几何平均数.
命题的条件为“两个正数”，结论为“它们的算术平均数不小于它们的几何平均数”.
基本不等式一定成立，而表示两个正数的算术平均数，表示两个正数的几何平均数，所以此命题是真命题.
【名师点睛】“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，需要把这个命题补充完整，确定命题的条件和结论.即对于不是“若p，则q”形式的命题，一般先找到条件和结论，然后加上“若”和“则”，即可写成“若p，则q”的形式，从而判断命题的真假.
二、四种命题
由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论.
（1）将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题.
（2）将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题.否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词.
（3）先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题.也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题.
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并分别写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假：
①负数小于零.
②在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行.
【解析】①原命题：若一个数是负数，则它小于零.是真命题.
逆命题：若一个数小于零，则它是负数.是真命题.
否命题：若一个数不是负数，则它不小于零.是真命题.
逆否命题：若一个数不小于零，则它不是负数.是真命题.
②原命题：在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行.是假命题.
逆命题：在空间中，若两条直线平行，则它们平行于同一个平面.是假命题.
否命题：在空间中，若两条直线不平行于同一个平面，则这两条直线不平行.是假命题.
逆否命题：在空间中，若两条直线不平行，则它们不平行于同一个平面.是假命题.
【名师点睛】对于①，“小于”的否定是“不小于”，而不是“大于”，因为“不小于”包括了“大于和等于”.
三、四种命题间的相互关系
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题较困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.
已知奇函数是定义在上的增函数，，若，求证：.
【解析】若，即.
因为是定义在上的增函数，所以.
又是奇函数，所以，则，即.
则原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真命题.
故若，则.
【名师点睛】直接证明本题比较困难，不容易找到思路，转而利用原命题和它的逆否命题有相同的真假性，证明逆否命题为真命题，从而得到原命题为真命题，这是我们所讲的“正难则反”策略，在解题时经常用到，注意掌握.
四、由命题的真假性求参数的值
对于此类问题，若由已知条件可以得出一个真命题，即可据此建立相应的不等式或方程求解.解题时要善于从条件中寻找解题思路，善于构造性质、定理等运用的条件.
（1）已知，求为假命题时的取值范围；
（2）已知在上为减函数，求为真命题时的取值范围.
【解析】（1）为假命题，则为真命题.
由得，解得.
故为假命题时的取值范围是.
（2）当时，，满足在上为减函数；
当时，由已知可得，解得.
故为真命题时的取值范围是.
【名师点睛】本题把分式不等式的解法、函数的单调性和命题结合起来考查，要注意知识的灵活性.
五、改写命题时，忽略大前提
将命题“当时，函数的值随的减小而减小”写成“若，则”的形式，并写出其逆命题、否命题和逆否命题.
【错解】“若，则”的形式：若，则函数的值随的减小而减小.
逆命题：若函数的值随的减小而减小，则.
否命题：若，则函数的值随的不减小而不减小.
逆否命题：若函数的值随的不减小而不减小，则.
【错因分析】原命题有两个条件：和减小，其中是大前提，将原命题改写为“若，则”的形式时，要把置于“若”字的前面，把减小作为条件.
【正解】“若，则”的形式：当时，若减小，则函数的值也减小.
逆命题：当时，若函数的值减小，则也减小.
否命题：当时，若不减小，则函数的值也不减小.
逆否命题：当时，若函数的值不减小，则也不减小.
【名师点睛】（1）有大前提的命题改写成“若，则”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若，则”.
（2）对于含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变.
1．命题“若，则”的逆命题是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．下列语句中是命题的是
A．周期函数的和是周期函数吗？
B．
SKIPIF
1
<
0
C．
D．梯形是不是平面图形呢？
3．以下说法错误的是
A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题
B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题
C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数
D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题
4．命题“若，则”的逆否命题为
A．若，则或
B．若，则或
C．若或，则
D．若或，则
5．给定下列命题：
①“若，则方程”有实数根；
②若，，则；
③对角线相等的四边形是矩形；
④若，则中至少有一个为0.
其中真命题的序号是
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
6．已知命题“若直线与平面垂直,
则直线与平面内的任意一条直线垂直”，则其逆命题、否命题、逆否命题中,
真命题的个数是
A．
B．
C．
D．
7．命题“若实数满足，则”的否命题是
命题（填“真”或“假”）．
8．命题“若且，，则”的条件为__________，结论为__________.
9．已知，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围为________.
10．写出命题“若”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
11．判断命题“已知为实数，如果关于的不等式的解集非空，那么”的逆否命题的真假.
12．“若，则p”为真命题，那么p不能是
A．
B．
C．
D．
13．若的否命题是命题的逆否命题，则命题是命题的
A．逆命题
B．否命题
C．逆否命题
D．与是同一命题
14．有下列四个命题：
（1）“若，则”的否命题；
（2）“若，则”的逆否命题；
（3）“若，则”的否命题；
（4）“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
15．已知命题若，则关于的方程有实根，是的逆命题，下面结论正确的是
A．真假
B．假真
C．真真
D．假假
16．已知A：，B：，请选择适当的实数，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题.
17．已知
p：方程有两个不相等的负实数根；q：方程无实数根．若p为假命题，q为真命题，求实数m的取值范围．
18．已知两个命题，如果对任意的与有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围.
19．（2015年高考山东卷）设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是
A．若方程有实根，则
B．若方程有实根，则
C．若方程没有实根，则
D．若方程没有实根，则
20．（2014年高考陕西卷）原命题为“若，，则为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是
A．真，真，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
21．（2013年高考天津卷理）已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切，
其中真命题的序号是
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
1．A
【解析】“若p，则q”的逆命题是：“若q，则p”.故A正确.
2．B
【解析】命题是可以判断真假的陈述句，4个选项中只有B满足.
3．B
【解析】两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.故B错误.
4．C
【解析】逆否命题需要否定条件和结论，并交换条件和结论的位置，故选C．
5．B
【解析】对于①，，故为真命题；对于②，由不等式的性质知，显然是真命题；对于③，如等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，故为假命题；对于④，显然为真命题.所以选B.
6．D
【解析】因为该命题是正确的，所以逆否命题也是正确的；由于逆命题是正确的，而否命题也是逆命题的逆否命题，故也是正确的，应选D.
7．真
【解析】命题“若实数满足，则”的否命题是“若实数满足，则”，该命题是真命题.
8．且，
【解析】由命题的定义易得.
9．
【解析】因为是假命题，所以，解得；又因为是真命题，所以，解得.故实数的取值范围是.
10．【解析】逆命题：若.是真命题.
否命题：若.是真命题.
逆否命题：若.是真命题.
11．【解析】方法一：已知命题的逆否命题是“已知为实数，如果，那么关于的不等式的解集是空集”.因为对于方程，，所以当时，，，所以不等式的解集是空集，所以逆否命题为真命题.
方法二：先判断原命题的真假，因为关于的不等式的解集非空，所以对于方程，，即，所以正确，即原命题为真命题.因为逆否命题与原命题同真假，所以逆否命题也是真命题.
12．D
【解析】∵时，不一定有，所以p不能是.
13．A
【解析】设：若A，则B，因此的否命题为：若，则，从而命题为：若B，则A，即命题是命题的逆命题，故选A.
14．A
【解析】（1）“若，则”的否命题是“若，则”，当x=0，y=1时，满足，但，故为假命题．
（2）“若，则”为假命题，如当，时，满足，但不成立，即原命题为假命题，则命题的逆否命题也为假命题．
（3）“若，则”的否命题是“若，则”，当x=4时，满足，但，故为假命题．
（4）“对顶角相等”的逆命题为相等的角是对顶角，为假命题．
故真命题的个数是0.故选A．
15．A
【解析】因为，所以，所以方程有实根，所以是真命题．由题意知为“若关于的方程有实根，则”．因为要使方程有实根，则，即，解得，所以是假命题.故选A．
16．【解析】若视A为p，则命题“若p，则q”为“若，则”.由命题为真命题可知，解得；
若视B为p，则命题“若p，则q”为“若，则”.由命题为真命题可知，解得.故取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取，则有真命题“若，则”.
17．【解析】∵p：方程有两个不相等的负实数根，
∴，解得.
∵q：方程无实数根，
∴，解得.
∵p为假命题，q为真命题，∴，解得．∴m的取值范围是．
18．【解析】∵，∴当是真命题时，.
又∵对任意的，是真命题，即恒成立，有，解得.
故当为真，为假时，得，且或，即.
当为假，为真时，得，且，即.
综上所述，实数的取值范围是或.
19．D
【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D.
20．A
【解析】由为递减数列，所以原命题为真命题.
逆命题：若为递减数列，则，.
若为递减数列，则，即，所以逆命题为真命题.
因为逆否命题的真假和原命题的真假相同，否命题的真假和逆命题的真假相同，所以逆否命题、否命题也为真命题.故选A.
21．C
【解析】①设球的半径为，缩小后半径为r，则r＝，
因为，，所以该球体积缩小到原来的，故①为真命题；
②两组数据的平均数相等，它们的标准差可能不相等，故②为假命题；
③圆的圆心到直线x＋y＋1＝0的距离，因为该距离等于圆的半径，所以直线与圆相切，故③为真命题．故选C.
1.2
充分条件与必要条件
1．充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作_____，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作pq.此时，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
2．充要条件
一般地，如果既有，又有，就记作_______.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.
概括地说，如果，那么p与q互为充要条件.
注意：（1）判断p是q的什么条件，结果只有四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件.（2）充分条件、必要条件具有传递性.
3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
从集合的观点看，设集合，
若，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；
若，则p是q的必要条件或q是p的充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若，且，则p是q的既不充分也不必要条件．
K知识参考答案：
1．
2．
K—重点
充分条件、必要条件的判断
K—难点
充分条件、必要条件概念的理解，充要条件的证明问题
K—易错
易忽视A是B的充分不必要条件（A B且）与A的充分不必要条件是B（B A且AB）两者的不同
一、充分条件与必要条件的判断
充分条件、必要条件的三种判断方法：
（1）定义法：由充分条件、必要条件的概念进行判断，即判断由已知和结论构成的命题及其逆命题的真假，亦同命题真假的判定方法.
（2）等价转化法：利用p q与，q p与，p q与的等价关系.
（3）集合法：即判断满足条件的对象构成的集合与满足结论的对象构成的集合之间的关系.当所要研究的p，q含有变量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合间的包含关系，利用Venn图或数轴解题.
（2015年高考天津卷理科）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】,或，所以
“”是“”的充分而不必要条件，故选A.
【名师点睛】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件的相关问题，将含绝对值的不等式与一元二次不等式、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系起来，体现了综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题.
下列各题中，是的什么条件？
①；
②.
【解析】对于①，因为，但，
所以是的充分条件，但不是的必要条件.
对于②，因为，但，
所以是的必要条件，但不是的充分条件.
【名师点睛】从逻辑关系上看，（1）若p q，但qp，则p是q的充分不必要条件；
（2）若pq，但q p，则p是q的必要不充分条件；
（3）若，且，则p是q的充要条件；
（4）若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.
二、充要条件的证明
对于充要条件的证明问题：
（1）正确找到题目所包含的条件和结论；
（2）证明时结构要清晰，要对充分性和必要性分别进行证明．
证明一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是.
【解析】充分性：若，则，且,
∴方程有两个相异的实数根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.
必要性：若一元二次方程有一正根和一负根，则，，∴.
综上所述，一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是.
【名师点睛】在证明时，要注意由“条件结论”是证明命题的充分性，由“结论条件”是证明命题的必要性.
三、条件的探求
在求某结论的充要条件时，可以从充分性和必要性两方面入手，得到结论的一致性，即为充要条件；也可以将原命题等价转化，获得充要条件.在求某结论的充分不必要条件或必要不充分条件时，一般是先求出结论的充要条件，然后将所得条件的范围缩小或扩大即可得到所需要的结论.
下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由，得；反之不成立.
【名师点睛】寻求的必要条件，即以为条件推出结论；寻求的充分条件，即能推出.
已知方程，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.
【解析】设方程的两根分别为，则使都大于1的充要条件为，即，
结合根与系数的关系有，解得.
即方程的两个根大于1的充要条件为.
【名师点睛】对于不等式（组）的转化必须是等价的，否则求的就不是充要条件.由“
”，但反过来“”，例如取，有，但没有保证两个根都大于1，所以仅是两个根都大于1的必要条件，不是充分条件.
四、根据条件求解参数的值或取值范围
应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据充分条件和必要条件，得到相应的逻辑关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用.
已知：，：．若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．
【解析】解得，即：.
解得，即：.
由是的必要而不充分条件，得，且等号不能同时取到，故.
则实数的取值范围是．
【名师点睛】充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解步骤一般为：①首先要将，等价化简；②根据充分条件、必要条件或充要条件列出关于参数的等式或不等式（组）；③求出参数的值或取值范围．
五、混淆充分条件与必要条件
设，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【错解】选A.
【错因分析】充分条件、必要条件的概念混淆不清.
【正解】若，则，但当时也有，故本题选B．
【名师点睛】“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的
A．充分条件
B．必要条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
2．设，，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
3．设，则是成立的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．使不等式成立的一个必要不充分条件是
A．
B．
C．
D．
5．下列说法正确的是
A．是的充分而不必要条件
B．若，则是的充分条件
C．是的充要条件
D．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
6．中，是的
条件（选填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）
7．已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为
.
8．判断下列各题中是的什么条件：
（1）在中，：，：；
（2）：；：；
（3）：，：；
（4）：，：.
9．已知，求证：的充要条件是.
10．“”是“函数在区间内单调递减”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．给定两个命题p，q，若是q的必要而不充分条件，则p是的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．设甲：，乙：，那么甲是乙的
条件．（填写：充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要或者充要）
13．设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_________．
14．已知命题关于的方程有实数根，命题．
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
15．（2016年高考四川卷）设p:实数x，y满足且，q:实数x，y满足，则p是q的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
16．（2016年高考天津卷）设，，则“”是“”的
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
17．（2016年高考上海卷）设，则“”是“”的
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
18．（2016年高考天津卷理）设{}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，”的
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
19．（2016年高考山东卷理）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
1．B
【解析】根据等价命题，便宜没好货，等价于好货不便宜，故选B.
2．A
【解析】因为，所以，满足.
反之，若，则，或，不一定有.
故“”是“”的充分不必要条件.
3．B
【解析】，所以选B.
4．B
【解析】因为，且，但，所以选B.
5．C
【解析】A中，反之不成立，因此是的必要而不充分条件，故A错；
B中，因此是的必要条件，故B错；
C中，故C正确；
D中一个四边形是矩形的必要条件是它是平行四边形，故D错.从而选C.
6．充分不必要
【解析】，所以是的充分不必要条件.
7．
【解析】，是的充分不必要条件，，则，解得.
8．【解析】（1）由三角形中大角对大边可知，若，则；反之，若，则.因此，是的充要条件.
（2）由可以推出；由不一定有.因此，是的充分不必要条件.
（3）由可以推出或；由可以得出.因此，是的必要不充分条件.
（4）由于，当时，；当时，，故若，不一定有；当，，时，可以推出；当，，时，可以推出.因此，是的既不充分也不必要条件.
9．【解析】必要性：∵，∴，
∴.
充分性：∵，即，
又，∴且，
∴，
∴，即.
综上可知，当时，的充要条件是.
10．A
【解析】当时，在区间上，单调递减，
但在区间上单调递减时，，
所以“”是“函数在区间内单调递减”的充分不必要条件，故选A.
11．A
【解析】由题意知，，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以等价于，所以p是的充分而不必要条件.故选A.
12．必要不充分
【解析】由乙：两式相加得，两式相乘得，所以乙成立能推出甲成立.
在甲中取，则不符合乙的要求，所以甲成立不能推出乙成立，因此甲是乙的必要不充分条件.
13．
【解析】由题意得，解得，所以.
由，解得，即.
要使得是的充分不必要条件，则，解得.
所以实数的取值范围是．
14．【解析】解法一：（1）当命题是真命题时，满足，
则，解得或.
∵是真命题，∴是假命题，即.
故实数的取值范围是.
（2）是的必要不充分条件，∴是的真子集，
即或，解得或.
故实数的取值范围是.
解法二：（1）命题：关于的方程没有实数根，
∵是真命题，∴满足，
即，解得.
故实数的取值范围是.
（2）
由（1）可得当命题是真命题时，实数的取值范围是，
是的必要不充分条件，∴是的真子集，
即或，解得或.
故实数的取值范围是.
15．A
【解析】由且，可得，而当时，不能得出且.故是的充分不必要条件，选A.
【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角函数、不等式等数学知识结合起来考查．在许多情况下可利用充分性、必要性和集合间的包含关系得出结论．
16．C
【解析】，所以充分性不成立；，必要性成立，故选C.
17．A
【解析】，所以是充分非必要条件，选A.
【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好地考查考生分析问题和解决问题的能力、逻辑推理能力等.
18．C
【解析】，故“q<0”是“对任意的正整数n，”的必要而不充分条件，故选C.
19．A
【解析】直线a与直线b相交，则一定相交；若相交，则a,b可能相交，也可能平行，故选A.
小故事：并不是你想象中那样
两个旅行
( http: / / www. / lvyou / "
\t
"_blank )中的天使到一个富有的家庭借宿。这家人对他们并不友好，并且拒绝让他们在舒适的客人卧室过夜，而是在冰冷的地下室给他们找了一个角落。当他们铺床时，较老的天使发现墙上有一个洞，就顺手把它修补好了。年轻的天使问为什么，老天使答到：“有些事并不象它看上去那样。”
第二晚，两人又到了一个非常贫穷的农家借宿。主人夫妇俩对他们非常热情，把仅有的一点点食物拿出来款待客人，然后又让出自己的床铺给两个天使。第二天一早，两个天使发现农夫和他的妻子在哭泣，他们唯一的生活来源——一头奶牛死了。年轻的天使非常愤怒，他质问老天使为什么会这样，第一个家庭什么都有，老天使还帮助他们修补墙洞，第二个家庭尽管如此贫穷还是热情款待客人，而老天使却没有阻止奶牛的死亡。
“有些事并不象它看上去那样。老天使答道，“当我们在地下室过夜时，我从墙洞看到墙里面堆满了金块。因为主人被贪欲所迷惑，不愿意分享他的财富，所以我把墙洞填上了。昨天晚上，死亡之神来召唤农夫的妻子，我让奶牛代替了她。所以有些事并不象它看上去那样。
【小故事大道理】有些时候事情的表面并不是它实际应该的样子。如果你有信念，你只需要坚信付出总会得到回报。你可能不会发现，直到后来……
1.3
简单的逻辑联结词
一、逻辑联结词“且”
1．一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作__________，读作p且q.
2．关于逻辑联结词“且”
（1）“且”的含义与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当，是连词“既……又……”的意思，二者须__________成立．
（2）从如图所示串联开关电路上看，当两个开关S1、S2__________时，灯才能亮；当两个开关S1、S2中一个不闭合或两个都不闭合时，灯都不会亮．
（3）从集合角度理解“且”即集合运算“__________”．
设命题p：，命题q：，
则且．
（4）“”是这样的一个复合命题：当p、q都是真命题时，是__________命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，是__________命题．
二、逻辑联结词“或”
1．一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作__________，读作p或q.
2．关于逻辑联结词“或”
（1）“或”的含义和日常语言中的“或者”相当．是“要么……要么……”的意义，二者中有__________成立即可．
（2）从并联开关电路上看，当两个开关S1、S2至少有一个闭合时，灯就亮，只有当两个开关S1和S2__________时，灯才不会亮．
（3）从集合角度理解“或”即集合运算“__________”．
设命题p：，命题q：，
则或．
（4）当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，是__________命题；当p、q两个命题都是假命题时，是__________命题．
逻辑联结词“或”与自然语言中的“或者”、“可能”相当，但自然语言中的“或者”有两种用法：一是“不可兼”的“或”；二是“可兼”的“或”，而我们仅研究可兼“或”在数学中的含义．
三、逻辑联结词“非”
1．一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作__________，读作__________或__________．
2．若p是真命题，则 p是__________命题，若p是假命题，则 p是__________命题．
含有逻辑联结词的命题的真假判断如表：
或
且
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
3．根据“且”、“或”的含义，“p∧q”的否定为“__________”，“p∨q”的否定为“__________”．
K知识参考答案：
一、1．
2．（1）同时
（2）都闭合
（3）交
（4）真
假
二、1．
2．（1）一个
（2）都断开
（3）并
（4）真
假
三、1．
非
的否定
2．假
真
3．
K—重点
了解“或”“且”“非”逻辑联结词的含义
K—难点
掌握的真假性的判断，关键在于与的真假的判断.
K—易错
易混淆否命题与命题的否定
一、含有逻辑联结词的命题的构成形式
找出命题中的逻辑联结词→判断命题的形式→确定命题的构成
指出下列命题的形式及其构成：
（1）若A是一个三角形的最小内角，则A不大于60°；
（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
（3）
或
是不等式的解集.
【解析】（1）这个命题是“非”的形式，其中:若A是一个三角形的最小内角,则A大于60°.
（2）这个命题是“且”的形式，其中：垂直于弦的直径平分这条弦，:垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧.
（3）这个命题是“或”的形式，其中：是不等式的解集；:是不等式的解集.
【名师点睛】正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”是解题的关键，应根据组成命题的语句中所出现的逻辑联结词，进行命题结构的判断.但需注意带有“或”的命题不一定是复合命题，需要分析逻辑关系.
二、判断含有逻辑联结词“且”、“或”的命题的真假
1．判断“”、“”形式复合命题真假的步骤：
第一步，确定复合命题的构成形式；
第二步，判断简单命题p、q的真假；
第三步，根据真值表作出判断．
注意：一真“或”为真，一假“且”为假．
2．不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式．
3．当为真，p与q一真一假；为假时，p与q至少有一个为假
对下列各组命题，利用逻辑联结词“且”构造新命题，并判断它们的真假：
（1）12是3的倍数，12是4的倍数；
（2）,；
（3），则，，则．
【解析】（1）
：“12是3的倍数且是4的倍数”，是真命题.
（2）:“大于3且小于2”，是假命题.
（3）：“，则，且，则”，是假命题．
【易错点睛】（3）中写形式的命题时，有的同学会误写为“且，则”.注意：两个命题的条件不同，结论相同时，不能用“且”联结两个条件.事实上，上述命题是真命题，这与用逻辑联结词联结后的命题的真假性（假命题）不符合.
对下列各组命题，利用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断它们的真假：
（1）正数的平方大于0，负数的平方大于0；
（2）3>4，3<4；
（3）方程的根是，方程的根是.
【解析】（1）
：“正数或负数的平方大于0”，即“非零实数的平方大于0”，是真命题.
（2）：“或”，即“”，是真命题.
（3）：“方程的根是或方程的根是”，是假命题．
【易错点睛】（3）中形式的命题不能写为“方程的根是或”，显然p，q均为假命题，也应为假命题，而上述命题是真命题.
指出下列各命题的构成形式并判断命题的真假．
（1）等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边；
（2）方程的根是4或.
【解析】（1）该命题是“”的形式．
其中p：等腰三角形的顶角平分线垂直于底边；
q：等腰三角形的顶角平分线平分底边．
因为p，q都是真命题，所以该命题是真命题．
（2）该命题是“”的形式．
其中p：方程的一个根是4，
q：方程的一个根是，
因为p，q都是真命题，所以该命题是真命题.
【解题技巧】1．辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．
2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”，“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．
3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．
如a≥3是a>3或a＝3；xy＝0是x＝0或y＝0；x2＋y2＝0是x＝0且y＝0.
三、命题的否定
由命题p写 p时，只否定其结论.
写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（1）；
（2）；
（3）不等式的解集是.
【解析】（1）是一个简单命题，“”的否定是“”，所以“非”：.
由于是真命题,所以命题“非”是假命题.
（2）命题是形式的命题，其否定为的形式，所以“非”：
或.
由于p是真命题,所以命题“非p”是假命题.
（3）“非p”：不等式的解集不是.
由于p是假命题,所以命题“非p”是真命题.
【易错点睛】（3）中“非p”易错写为“不等式的解集是”．其原因是混淆了“否定”与“互补”，A不是B，不能认为是除B以外的所有对象，而应认为是除B以外的某一个对象或某一部分对象.
四、命题的否定与否命题
分清题设和条件，命题的否定只否定结论，而否命题既否定题设，又否定结论．
写出下列各命题的否定形式及否命题．
（1）面积相等的三角形是全等三角形；
（2）若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b全为零．
【解析】（1）否定形式：面积相等的三角形不都是全等三角形．
否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．
（2）否定形式：若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b不全为零．
否命题：若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m、n、a、b不全为零．
【名师点睛】1.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论也否定条件，这是区分两者的关键，解答此类问题，首先要找出命题的条件与结论，再作出准确的否定．
2．注意复合命题“”“p∧q”的否定．
五、求解含逻辑联结词命题中的参数
命题“p或q”是真命题,意味着“p真”“q真”中至少有一个成立,即“p真”或“q真”,此时用逻辑联结词“或”的含义来理解“为什么只求出‘p真’‘q真’时各自对应的参数范围，最后取并集”就易懂了.
这样做避免了将“p真”“q真”中至少有一个成立,分解成“p真q假”“p假q真”“p真q真”三种情况，再分别求解参数范围的繁琐过程.
已知命题p：关于x的不等式的解集为R，命题q：函数是R上的增函数，若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．
【解析】不等式的解集为R，须，即p是真命题时，m<1；
函数是R上的增函数，须，即q是真命题时，m<2.
∵p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p、q中一个为真命题，另一个为假命题．
（1）当p真，q假时，m<1且m≥2，此时无解；
（2）当p假，q真时，m≥1且m<2，此时1≤m<2，因此1≤m<2.
【名师点睛】由简单命题和逻辑联结词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假，若p且q真，则p真，q真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．
六、混淆命题的否定与否命题
已知
，，则 p是 q的什么条件．
【错解】∵p：|5x－2|>3，∴ p：|5x－2|≤3，
∴，即，
又∵q：，∴，
∴，即，
∴ p q且 q p，
故 p是 q的既不充分也不必要条件．
【错因分析】将命题q：的否定形式错误地认为：，∴导致错误．
【正解】∵，∴或，
∴或，∴：.
∵
，∴，∴或，
∴，∴，但，
故是的充分不必要条件．
【规律总结】对命题“若p，则q”来说，其否定形式应是：“若p，则非q”，其否命题应是：“若非p，则非q”
1．“xy≠0”是指
A．x≠0且y≠0
B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0
D．不都是0
2．下列命题：
①2010年2月14日既是春节，又是情人节；
②10的倍数一定是5的倍数；
③梯形不是矩形．
其中使用逻辑联结词的命题有
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．若p、q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有
A．p真q真
B．p假q假
C．p真q假
D．p假q真
4．已知命题p：，命题q：，则下列判断正确的是
A．p假q假
B．“p或q”为真
C．“p且q”为真
D．p假q真
5．命题;命题,下列结论正确的是
A．为真
B．为真
C．为假
D．为真
6．已知命题p,q,则命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知命题,若“p∧q”与“”同时为假命题,则x的值为
A．
B．0
C．1,2
D．
8．“2≤3”中的逻辑联结词是________，它是________命题．（填“真”，“假”）
9．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是____________．
10．设实数满足，其中；实数满足．
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
11．对于命题p和q，若p且q为真命题，则下列四个命题：
①p或 q是真命题；②p且 q是真命题；③ p且 q是假命题；④ p或q是假命题．
其中为真命题的是
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
12．己知命题存在,使,命题集合,有个子集，下列结论:
①命题“且”
是真命题；②命题“且”
是假命题；③命题“或”
是真命题,其中正确的个数是
A．
B．
C．
D．
13．下列命题中既是形式的命题，又是真命题的是
A．10或15是5的倍数
B．方程的两根是和1
C．方程没有实数根
D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
14．（2015-2016学年福建省八县一中高二上学期期末理科数学试卷）已知，命题“”为真，则实数的取值范围是_________.
15．设命题函数的值域为；命题对一切实数恒成立，若命题“”为假命题，求实数的取值范围.
16．（2015-2016学年内蒙古包头市北重五中高二上学期期末理科数学试卷）已知命题有两个不等的负根，命题q:方程无实根，若为真，为假，求m的取值范围.
17．（2014年高考重庆卷理）
已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是
A．
B．
C．
D．
18．（2014年高考辽宁卷理）设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是
A．
B．
C．
D．
19．（2014年高考湖南卷理）已知命题在命题
①中，真命题是
A．①③
B.①④
C.②③
D.②④
20．（2013年高考湖北卷理）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A．
B．
C．
D．
1．A
【解析】xy≠0当且仅当x≠0且y≠0.
2．C 【解析】命题①③使用了逻辑联结词，其中，①使用“且”，③使用“非”．
3．B
【解析】“p或q”的否定是：“ p且 q”是真命题，则 p、 q都是真命题，故p、q都是假命题．
4．B
【解析】∵，∴，∴p真．
∵，∴q假．故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B.
5．A【解析】∵命题为假,命题为真,∴为真,为假,为真,为假.
6．B
【解析】当p或q为真时,可以得到p和q中至少有一个为真,这时q且p不一定为真;反之,当q且p为真时,必有p和q都为真,一定可得p或q为真.故选B.
7．D
【解析】∵为假,∴至少有一个为假.又“”为假,∴为真,从而可知为假.由假
真,可得且,即，解得又，∴的值为.
8．或 真【解析】命题“”是由命题p:
,命题，用“或”联结词构成的新命题，且为真命题，故应填或，真.
9．[1,2）
【解析】或，即，由于命题是假命题，所以，即．
10．【解析】（1）当时，若命题为真，则；若命题为真，则，
∵为真，即，都为真，
∴，即实数的取值范围是
（2）若是的充分不必要条件，则，
所以，实数的取值范围是.
11．C
【解析】若p且q为真命题，则p真，q真， p假， q假，所以p或 q真， p且 q假，故选C.
12．C
【解析】，所以命题为假命题；有个子集，所以命题为真命题；因此“且”是假命题；“且”
是假命题；“或”
是真命题；故选C.
13．
D
【解析】A中的命题是型命题，B中的命题是假命题，C中的命题是的形式，D中的命题为型，且为真命题．
14．
【解析】为真时,.
为真时,或或.
所以“”为真时.
15．【解析】当为真命题时，符合题意.时，．
时，此时为真命题.
当为真命题时：令，
故在恒成立时，为真命题.
为真时，.
为假命题时，.
16．【解析】若方程有两个不等的负根，
则，解得，即；
若方程
无实根，
则，
解得：，即
因p或q为真，所以p、q至少有一个为真，又p且q为假，
所以p、q至少有一个为假，因此，p、q两命题应一真一假，
即p为真，q为假或p为假，q为真．
∴或，解得.
17
．D
【解析】由题设可知：是真命题，是假命题；所以，是假命题，是真命题；
所以，是假命题，是假命题，是假命题，是真命题，故选D.
18．A
【解析】取a＝c＝（1,0），b＝（0,1）知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；
∵a∥b，b∥c，∴存在λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，
∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．
∴p∨q为真命题．
19．C
【解析】当时,两边同乘以可得,所以命题为真命题,当时,因为,所以命题为假命题,则为真命题,所以根据真值表可得②③为真命题,故选C.
20．A
【解析】
“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”.故选A.
老师经典4条语录：
A：这又是一道送分题。
B：体育老师有事去了，这节课我来上。
C：到底是你说还是我说，你说你就上来说！
D：你们是我带过最差的一届！
1.4全称量词与存在量词
1．全称量词和全称命题
（1）短语“__________”“__________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
（2）含有____________的命题，叫做全称命题．
（3）全称命题：“对M中任意一个x，有
成立”，可用符号简记为____________．
2．存在量词和特称命题
（1）短语“__________”“____________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“______”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．
（2）含有____________的命题，叫做特称命题．
（3）特称命题：“存在M中的元素x0，有p（x0）成立”，可用符号简记为________________________．
3．含有一个量词的命题的否定
（1）全称命题
，它的否定：________________；
（2）特称命题，它的否定：________________.
4．命题的否定与否命题
命题的否定只否定______，否命题既否定________，又否定________．
K知识参考答案：
1．（1）所有的 任意一个 （2）全称量词
（3）
2．（1）存在一个 至少有一个
（2）存在量词
（3） x0∈M，p（x0）
3．（1），；（2），
4．结论 结论 条件
K—重点
掌握全称量词与存在量词的的意义以及掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法
K—难点
掌握含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断；明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题.
K—易错
易混淆全称命题与特称命题
一、用量词表示命题
由于叙述的多样性，有些语句不是典型的全称命题或特称命题，但却表达了这两种命题的意思，如果能恰当地引入全称量词或存在量词，即可使题意清晰明了．
用全称量词或存在量词表示下列语句:
（1）有理数都能写成分数形式；
（2）整数中1最小；
（3）方程有实数解；
（4）有一个质数是偶数.
【解析】（1）任意一个有理数都能写成分数形式.
（2）所有的整数中1最小.
（3）存在实数，使成立.
（4）存在一个质数是偶数.
【名师点睛】1．利用相关量词表示命题尤其是全称命题和特称命题，可以更准确地表述命题的含义，这就需要我们对量词及全称命题、特称命题有较好的把握，能够准确体会其意义，并且适当引入量词.
2．全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等.
二、全称命题与特称命题的真假判断
指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．
（1）在平面直角坐标系中，任一有序实数对都对应一点；
（2）存在一个实数，它的绝对值不是正数；
（3）对任意实数，若，则；
（4）存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．
【解析】（1）（3）是全称命题，（2）（4）是特称命题．
（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
（2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．
（3）存在，但tan0＝tanπ，所以该命题是假命题．
（4）存在一个函数，它既是偶函数又是奇函数，所该命题是真命题．
【解题技巧】1．判断命题是全称命题还是特称命题,关键是找出命题中含有的量词,隐含量词需依据命题的特征挖掘出来.
2．（1）要确定一个全称命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称命题是假命题.
（2）要确定一个特称命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该特称命题是假命题.
三、含有一个量词的命题的否定
→→→
写出下列命题的否定，并判断其真假.
（1）每一个素数都是奇数；
（2）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；
（3）有些实数的绝对值是正数；
（4）某些平行四边形是菱形.
【解析】（1）由于全称量词“每一个……”的否定为“存在一个……”，因此，存在一个素数不是奇数，是真命题.
（2）是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”,?存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行,是真命题.
（3）由于特称量词“有些……”的否定为“所有……”，因此，?所有实数的绝对值都不是正数，是假命题.
（4）由于特称量词“某些……”的否定为“每一个……”，因此，?每一个平行四边形都不是菱形，是假命题.
【名师点睛】1．一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
四、利用全称命题与特称命题求参数的取值范围
含有变量的语句为命题,即对变量有了限制条件,而它的真假要根据限制条件中变量的取值来确定.因此可将此类题目看成全称命题来解决,即不等式的解集内的任意一个的取值都使得为真命题.
若命题是真命题，则实数a的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】是真命题，即不等式对恒成立，即恒成立．
当a＋2＝0时，不符合题意．
故有，即
解得.故选B.
（2015-2016学年四川省广元中学高二上学期期末理科数学试卷）若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为
．
【答案】
【解析】∵命题“”是假命题，
∴命题“”是真命题，
即对应的判别式，
即，
∴，
即，
故答案为．
【解题技巧】应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型
1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决．
2．特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
五、对含有一个量词的命题否定不完全
已知命题：存在一个实数，使得，写出.
【错解一】：存在一个实数，使得.
【错解二】：对任意的实数x，都有.
【错因分析】该命题是特称命题，其否定应是全称命题，但错解一得到的仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定.错解二只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定.
【正解】：对任意的实数x，都有.
【名师点睛】对含有量词的命题进行否定时，（1）牢记全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，注意不能只否定结论，而忘记了对量词的否定;也不能只否定量词，而忘记了对结论的否定.（2）牢记命题的否定与原命题的真假性相反，可以以此检验命题的否定是否正确.
1．下列命题是特称命题的是
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
2．下列命题中，是真命题且是全称命题的是
A．对任意的，都有
B．菱形的两条对角线相等
C．
D．对数函数在定义域上是单调函数
3．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是
A．
B．
C．
D．
4．已知命题“，如果，则”，则它的否命题是
A．，如果，则
B．，如果，则
C．，如果，则
D．，如果，则
5．（2016届湖南省高考冲刺卷（理）（三）数学卷）有四个关于三角函数的命题：
或；
；
；
.
其中真命题是
A．
B．
C．
D．
6．下列命题中,既是真命题又是特称命题的是
A．存在一个,使
B．存在实数,使
C．对一切
D．
7．下列特称命题是真命题的序号是__________________．
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在一实数，使；
③存在实数，使函数的值随x的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身．
8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为__________________．
9．判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
（1）三角形的内角和为180°;
（2）每个二次函数的图象都开口向下；
（3）存在一个四边形不是平行四边形.
10．若命题“对任意实数”是真命题,求实数m的取值范围.
11．下列命题中是假命题的是
A．使
B．，函数都不是偶函数
C．使是幂函数，且在上单调递减
D．，函数有零点
12．（2015-2016学年云南省云天化中学高二4月月考理科数学卷）已知命题；命题，则下列判断正确的是
A．是假命题
B．是假命题
C．是真命题
D．
是真命题
13．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是__________________．
14．已知命题，命题，则中是真命题的有__________________．
15．已知为真命题，为真命题，求实数m的取值范围．
16．已知命题p：实数x满足；命题q：实数x满足．
（1）当m＝3时，若“p∧q”为真，求实数x的取值范围；
（2）若“ p”是“ q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
17．（2016年高考浙江卷理）
命题“，使得”的否定形式是
A．，使得
B．，使得
C．，使得
D．，使得
18．（2015年高考新课标Ⅰ理）设命题，则
为
A． n∈N，n2>2n
B． n∈N，n2≤2n
C． n∈N，n2≤2n
D． n∈N，n2＝2n
19．（2013年高考重庆卷理）命题“对任意，都有”的否定为
A．对任意，都有
B．不存在，使得
C．存在,使得
D．存在,使得
20．（2013年高考四川卷理）设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，，则
A．，
B．，
C．，
D．，
21．（2012年高考福建卷理）下列命题中，真命题是
A．
B．
C．的充要条件是
D．是的充分条件
22．（2015年高考山东卷理）若“”是真命题，则实数m的最小值为__________________．
23．（2013年高考湖南卷理）设函数
（1）记集合，则所对应的的零点的取值集合为__________________．
（2）若__________________．（写出所有正确结论的序号）
①
②
③若
1．D
【解析】选项D中含有存在量词“存在”，所以根据特称命题的定义知选D.
2．D
【解析】A中含有全称量词“任意的”，因为；故是假命题．B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是特称命题，故选D.
3．C
【解析】由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.
4．B
【解析】条件ab>0的否定为ab≤0；结论a>0的否定为a≤0，故选B.
5．D
【解析】或，为假命题；为真命题；为真命题，为假命题；为真命题；故选D.
6．A
【解析】只有A,B两个选项中的命题是特称命题,而由于所以不成立,故B中命题为假命题.又因为当时,,故A中命题为真命题.
7．①③④
【解析】①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意，所以不存在实数，使，故②为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.
8．过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内
【解析】原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．
9．【解析】（1）是全称命题且为真命题.
命题的否定:三角形的内角和不全为180°,即存在一个三角形其内角和不等于180°.
（2）是全称命题且为假命题.
命题的否定:存在一个二次函数的图象开口不向下.
（3）是特称命题且为真命题.
命题的否定:所有的四边形都是平行四边形.
10．【解析】由题意知,不等式恒成立,
即不等式恒成立.
（1）当时,不等式可化为,显然不恒成立,不合题意.
（2）当时,要使不等式恒成立,则解得.
综上可知,所求实数的取值范围是.
11．B【解析】对于选项A，如当时，所以选项A的命题为真命题；对于选项B，当时，函数
是偶函数，因此选项B中的命题为假命题；对于选项C，如当时，，在上单调递减，所以选项C中的命题为真命题，对于选项D中，令，则，所以当时，结合函数的图象易知有零点，所以选项D的命题为真命题.
12．D
【解析】命题是假命题；命题是真命题，因此是真命题，为假命题，是假命题，是真命题，故选D.
13．
【解析】由题设可知:“,都有恒成立”,所以,即,也即,所以.
【易错点晴】本题考查的是全称命题的否定与特称命题之间的关系.求解时要充分借助“全称命题的否定是特称命题”、“特称命题的否定是全称命题”这一事实，先搞清所给的命题是全称命题还是特称命题，然后再依据上述结论加以判别求解写出答案.解答本题时，先将问题合理转化为：“,都有恒成立”是真命题,进而获解.常常会和命题四种形式中“否命题”混淆，从造成解答上的错误.
14．
【解析】∵，故是假命题，而存在，使，故q是真命题，因此p∨q是真命题， p是真命题．
15．【解析】由为真命题，即为假命题，由
.
又不恒成立，∴.
又对为真命题，即不等式恒成立，
∴，即，
故m的取值范围是.
16．【解析】（1）若p真：；当时，若真：，∵“”为真，∴.
（2）∵“”是“”的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．q：，
∴，解得.
17．D
【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．
【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．
18．C
【解析】根据定义可知， p为，故选C
.
19．D
【解析】根据定义可知命题的否定为存在，使得.故选D.
20．D
【解析】注意到“任意”的否定是“存在”，“属于”的否定是“不属于”，将改为，将改为，于是有：，，故选D.
【名师点睛】本题考查命题的含义以及全称命题的否定，注意：“任意”的否定是“存在”，“属于”的否定是“不属于”.
21．D
【解析】因为，所以排除A；取则，故排除B；，取，则不能推出，故排除C.故选D.
22．1
【解析】若“”是真命题，则，其中，
∵函数，的最大值为1，∴，即的最小值为1.
23．（1）；（2）①②③【解析】（1）由题设知，，则，即.又从而，，∴，解得.故所求取值集合为；
（2）由题设知
即
∴①正确；由（1）可知②正确；由为钝角三角形，知∴
又，∴
∴
由零点存在性定理可知③正确.故填①②③.
确定所给命题是全称命题还是特称命题
针对量词和结论同时进行否定
命题的否定
判断真假
常用逻辑用语
1.1
命题及其关系
1．命题
一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的_______叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
在本章中，我们只讨论具有“若p，则q”这种形式的命题，通常把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.
注意：（1）一个数学命题要么是真命题，要么是假命题，但不能既真又假，也不能模棱两可、无法判断其真假.数学中的定义、定理、公理都是真命题.
（2）有一些语句，虽然目前还不能判断它的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假.我们把这一类语句也算作命题，如“神农架野人”，虽然目前还不能确定有没有野人，但是随着时间的推移，人们是能够考察清楚的.
（3）数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式.关键是分清命题的条件和结论.
2．四种命题
（1）原命题与逆命题
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”.
（2）否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的___________，我们把这样的两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若，则”.
（3）逆否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的__________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题.
也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若，则”.
注意：在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或重复.
3．四种命题间的相互关系
一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系如图所示：
一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有________真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________.
注意：（1）互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.
（2）在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0，2，4.
K知识参考答案：
1．陈述句
2．（1）结论和条件
（2）条件的否定和结论的否定
（3）结论的否定和条件的否定
3．（1）相同的
（2）没有关系
K—重点
四种命题及其关系，命题真假的判断
K—难点
涉及命题真假判断的多选型试题
K—易错
对于含有大前提的命题，改写时，易忽略大前提
一、命题的概念及真假判断
判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一，是否是“陈述句”；第二，是否“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．
命题真假的判断方法：
（1）真命题的判断方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确地逻辑推理的一个过程，判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.
（2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.
另外，一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断.
下列语句是命题的序号为________.
①风景这边独好；
②求证是无理数；
③函数是上的偶函数；
④火星上有水；
⑤若，则；
⑥.
【答案】③④⑤
【解析】①不是命题.因为评价风景好坏的标准不一致，因此不能作出判断.
②不是命题.因为它是祈使句，不是陈述句，所以不是命题.
③是命题.因为由偶函数的定义可以作出判断，所以是命题.
④是命题.因为随着科学技术的发展和时间的推移是可以作出判断的，所以是命题.
⑤是命题.因为由不能推出，可以作出判断.
⑥不是命题.因为字母的性质不明确，所以不是命题.
【名师点睛】本题中的⑤⑥含有字母，对于判断这种含有字母的语句是否为命题时，需注意字母的性质是否明确.若明确，即能判断其真假，则是命题，否则就不是命题.
指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假：
（1）若，则成等比数列；
（2）正角的正弦值是正数；
（3）函数的图象关于y轴对称；
（4）两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
【解析】（1）命题的条件为“”，结论为“成等比数列”，当时，不成等比数列，所以是假命题.
（2）写成“若p，则q”的形式为：若一个角是正角，则这个角的正弦值是正数.则该命题的条件为“一个角是正角”，结论为“这个角的正弦值是正数”，由于，所以是假命题.
（3）写成“若p，则q”的形式为：若函数为，则其图象关于y轴对称.命题的条件为“函数为”，结论为“该函数的图象关于y轴对称”.由于，所以是偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，是真命题.
（4）写成“若p，则q”的形式为：若有两个正数，则它们的算术平均数不小于它们的几何平均数.
命题的条件为“两个正数”，结论为“它们的算术平均数不小于它们的几何平均数”.
基本不等式一定成立，而表示两个正数的算术平均数，表示两个正数的几何平均数，所以此命题是真命题.
【名师点睛】“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，需要把这个命题补充完整，确定命题的条件和结论.即对于不是“若p，则q”形式的命题，一般先找到条件和结论，然后加上“若”和“则”，即可写成“若p，则q”的形式，从而判断命题的真假.
二、四种命题
由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论.
（1）将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题.
（2）将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题.否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词.
（3）先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题.也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题.
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并分别写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假：
①负数小于零.
②在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行.
【解析】①原命题：若一个数是负数，则它小于零.是真命题.
逆命题：若一个数小于零，则它是负数.是真命题.
否命题：若一个数不是负数，则它不小于零.是真命题.
逆否命题：若一个数不小于零，则它不是负数.是真命题.
②原命题：在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行.是假命题.
逆命题：在空间中，若两条直线平行，则它们平行于同一个平面.是假命题.
否命题：在空间中，若两条直线不平行于同一个平面，则这两条直线不平行.是假命题.
逆否命题：在空间中，若两条直线不平行，则它们不平行于同一个平面.是假命题.
【名师点睛】对于①，“小于”的否定是“不小于”，而不是“大于”，因为“不小于”包括了“大于和等于”.
三、四种命题间的相互关系
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题较困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.
已知奇函数是定义在上的增函数，，若，求证：.
【解析】若，即.
因为是定义在上的增函数，所以.
又是奇函数，所以，则，即.
则原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真命题.
故若，则.
【名师点睛】直接证明本题比较困难，不容易找到思路，转而利用原命题和它的逆否命题有相同的真假性，证明逆否命题为真命题，从而得到原命题为真命题，这是我们所讲的“正难则反”策略，在解题时经常用到，注意掌握.
四、由命题的真假性求参数的值
对于此类问题，若由已知条件可以得出一个真命题，即可据此建立相应的不等式或方程求解.解题时要善于从条件中寻找解题思路，善于构造性质、定理等运用的条件.
（1）已知，求为假命题时的取值范围；
（2）已知在上为减函数，求为真命题时的取值范围.
【解析】（1）为假命题，则为真命题.
由得，解得.
故为假命题时的取值范围是.
（2）当时，，满足在上为减函数；
当时，由已知可得，解得.
故为真命题时的取值范围是.
【名师点睛】本题把分式不等式的解法、函数的单调性和命题结合起来考查，要注意知识的灵活性.
五、改写命题时，忽略大前提
将命题“当时，函数的值随的减小而减小”写成“若，则”的形式，并写出其逆命题、否命题和逆否命题.
【错解】“若，则”的形式：若，则函数的值随的减小而减小.
逆命题：若函数的值随的减小而减小，则.
否命题：若，则函数的值随的不减小而不减小.
逆否命题：若函数的值随的不减小而不减小，则.
【错因分析】原命题有两个条件：和减小，其中是大前提，将原命题改写为“若，则”的形式时，要把置于“若”字的前面，把减小作为条件.
【正解】“若，则”的形式：当时，若减小，则函数的值也减小.
逆命题：当时，若函数的值减小，则也减小.
否命题：当时，若不减小，则函数的值也不减小.
逆否命题：当时，若函数的值不减小，则也不减小.
【名师点睛】（1）有大前提的命题改写成“若，则”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若，则”.
（2）对于含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变.
1．命题“若，则”的逆命题是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．下列语句中是命题的是
A．周期函数的和是周期函数吗？
B．
SKIPIF
1
<
0
C．
D．梯形是不是平面图形呢？
3．以下说法错误的是
A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题
B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题
C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数
D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题
4．命题“若，则”的逆否命题为
A．若，则或
B．若，则或
C．若或，则
D．若或，则
5．给定下列命题：
①“若，则方程”有实数根；
②若，，则；
③对角线相等的四边形是矩形；
④若，则中至少有一个为0.
其中真命题的序号是
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
6．已知命题“若直线与平面垂直,
则直线与平面内的任意一条直线垂直”，则其逆命题、否命题、逆否命题中,
真命题的个数是
A．
B．
C．
D．
7．命题“若实数满足，则”的否命题是
命题（填“真”或“假”）．
8．命题“若且，，则”的条件为__________，结论为__________.
9．已知，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围为________.
10．写出命题“若”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
11．判断命题“已知为实数，如果关于的不等式的解集非空，那么”的逆否命题的真假.
12．“若，则p”为真命题，那么p不能是
A．
B．
C．
D．
13．若的否命题是命题的逆否命题，则命题是命题的
A．逆命题
B．否命题
C．逆否命题
D．与是同一命题
14．有下列四个命题：
（1）“若，则”的否命题；
（2）“若，则”的逆否命题；
（3）“若，则”的否命题；
（4）“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
15．已知命题若，则关于的方程有实根，是的逆命题，下面结论正确的是
A．真假
B．假真
C．真真
D．假假
16．已知A：，B：，请选择适当的实数，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题.
17．已知
p：方程有两个不相等的负实数根；q：方程无实数根．若p为假命题，q为真命题，求实数m的取值范围．
18．已知两个命题，如果对任意的与有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围.
19．（2015年高考山东卷）设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是
A．若方程有实根，则
B．若方程有实根，则
C．若方程没有实根，则
D．若方程没有实根，则
20．（2014年高考陕西卷）原命题为“若，，则为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是
A．真，真，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
21．（2013年高考天津卷理）已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切，
其中真命题的序号是
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
1．A
【解析】“若p，则q”的逆命题是：“若q，则p”.故A正确.
2．B
【解析】命题是可以判断真假的陈述句，4个选项中只有B满足.
3．B
【解析】两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.故B错误.
4．C
【解析】逆否命题需要否定条件和结论，并交换条件和结论的位置，故选C．
5．B
【解析】对于①，，故为真命题；对于②，由不等式的性质知，显然是真命题；对于③，如等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，故为假命题；对于④，显然为真命题.所以选B.
6．D
【解析】因为该命题是正确的，所以逆否命题也是正确的；由于逆命题是正确的，而否命题也是逆命题的逆否命题，故也是正确的，应选D.
7．真
【解析】命题“若实数满足，则”的否命题是“若实数满足，则”，该命题是真命题.
8．且，
【解析】由命题的定义易得.
9．
【解析】因为是假命题，所以，解得；又因为是真命题，所以，解得.故实数的取值范围是.
10．【解析】逆命题：若.是真命题.
否命题：若.是真命题.
逆否命题：若.是真命题.
11．【解析】方法一：已知命题的逆否命题是“已知为实数，如果，那么关于的不等式的解集是空集”.因为对于方程，，所以当时，，，所以不等式的解集是空集，所以逆否命题为真命题.
方法二：先判断原命题的真假，因为关于的不等式的解集非空，所以对于方程，，即，所以正确，即原命题为真命题.因为逆否命题与原命题同真假，所以逆否命题也是真命题.
12．D
【解析】∵时，不一定有，所以p不能是.
13．A
【解析】设：若A，则B，因此的否命题为：若，则，从而命题为：若B，则A，即命题是命题的逆命题，故选A.
14．A
【解析】（1）“若，则”的否命题是“若，则”，当x=0，y=1时，满足，但，故为假命题．
（2）“若，则”为假命题，如当，时，满足，但不成立，即原命题为假命题，则命题的逆否命题也为假命题．
（3）“若，则”的否命题是“若，则”，当x=4时，满足，但，故为假命题．
（4）“对顶角相等”的逆命题为相等的角是对顶角，为假命题．
故真命题的个数是0.故选A．
15．A
【解析】因为，所以，所以方程有实根，所以是真命题．由题意知为“若关于的方程有实根，则”．因为要使方程有实根，则，即，解得，所以是假命题.故选A．
16．【解析】若视A为p，则命题“若p，则q”为“若，则”.由命题为真命题可知，解得；
若视B为p，则命题“若p，则q”为“若，则”.由命题为真命题可知，解得.故取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取，则有真命题“若，则”.
17．【解析】∵p：方程有两个不相等的负实数根，
∴，解得.
∵q：方程无实数根，
∴，解得.
∵p为假命题，q为真命题，∴，解得．∴m的取值范围是．
18．【解析】∵，∴当是真命题时，.
又∵对任意的，是真命题，即恒成立，有，解得.
故当为真，为假时，得，且或，即.
当为假，为真时，得，且，即.
综上所述，实数的取值范围是或.
19．D
【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D.
20．A
【解析】由为递减数列，所以原命题为真命题.
逆命题：若为递减数列，则，.
若为递减数列，则，即，所以逆命题为真命题.
因为逆否命题的真假和原命题的真假相同，否命题的真假和逆命题的真假相同，所以逆否命题、否命题也为真命题.故选A.
21．C
【解析】①设球的半径为，缩小后半径为r，则r＝，
因为，，所以该球体积缩小到原来的，故①为真命题；
②两组数据的平均数相等，它们的标准差可能不相等，故②为假命题；
③圆的圆心到直线x＋y＋1＝0的距离，因为该距离等于圆的半径，所以直线与圆相切，故③为真命题．故选C.
1.2
充分条件与必要条件
1．充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作_____，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作pq.此时，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
2．充要条件
一般地，如果既有，又有，就记作_______.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.
概括地说，如果，那么p与q互为充要条件.
注意：（1）判断p是q的什么条件，结果只有四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件.（2）充分条件、必要条件具有传递性.
3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
从集合的观点看，设集合，
若，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；
若，则p是q的必要条件或q是p的充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若，且，则p是q的既不充分也不必要条件．
K知识参考答案：
1．
2．
K—重点
充分条件、必要条件的判断
K—难点
充分条件、必要条件概念的理解，充要条件的证明问题
K—易错
易忽视A是B的充分不必要条件（A B且）与A的充分不必要条件是B（B A且AB）两者的不同
一、充分条件与必要条件的判断
充分条件、必要条件的三种判断方法：
（1）定义法：由充分条件、必要条件的概念进行判断，即判断由已知和结论构成的命题及其逆命题的真假，亦同命题真假的判定方法.
（2）等价转化法：利用p q与，q p与，p q与的等价关系.
（3）集合法：即判断满足条件的对象构成的集合与满足结论的对象构成的集合之间的关系.当所要研究的p，q含有变量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合间的包含关系，利用Venn图或数轴解题.
（2015年高考天津卷理科）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】,或，所以
“”是“”的充分而不必要条件，故选A.
【名师点睛】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件的相关问题，将含绝对值的不等式与一元二次不等式、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系起来，体现了综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题.
下列各题中，是的什么条件？
①；
②.
【解析】对于①，因为，但，
所以是的充分条件，但不是的必要条件.
对于②，因为，但，
所以是的必要条件，但不是的充分条件.
【名师点睛】从逻辑关系上看，（1）若p q，但qp，则p是q的充分不必要条件；
（2）若pq，但q p，则p是q的必要不充分条件；
（3）若，且，则p是q的充要条件；
（4）若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.
二、充要条件的证明
对于充要条件的证明问题：
（1）正确找到题目所包含的条件和结论；
（2）证明时结构要清晰，要对充分性和必要性分别进行证明．
证明一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是.
【解析】充分性：若，则，且,
∴方程有两个相异的实数根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.
必要性：若一元二次方程有一正根和一负根，则，，∴.
综上所述，一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是.
【名师点睛】在证明时，要注意由“条件结论”是证明命题的充分性，由“结论条件”是证明命题的必要性.
三、条件的探求
在求某结论的充要条件时，可以从充分性和必要性两方面入手，得到结论的一致性，即为充要条件；也可以将原命题等价转化，获得充要条件.在求某结论的充分不必要条件或必要不充分条件时，一般是先求出结论的充要条件，然后将所得条件的范围缩小或扩大即可得到所需要的结论.
下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由，得；反之不成立.
【名师点睛】寻求的必要条件，即以为条件推出结论；寻求的充分条件，即能推出.
已知方程，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.
【解析】设方程的两根分别为，则使都大于1的充要条件为，即，
结合根与系数的关系有，解得.
即方程的两个根大于1的充要条件为.
【名师点睛】对于不等式（组）的转化必须是等价的，否则求的就不是充要条件.由“
”，但反过来“”，例如取，有，但没有保证两个根都大于1，所以仅是两个根都大于1的必要条件，不是充分条件.
四、根据条件求解参数的值或取值范围
应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据充分条件和必要条件，得到相应的逻辑关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用.
已知：，：．若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．
【解析】解得，即：.
解得，即：.
由是的必要而不充分条件，得，且等号不能同时取到，故.
则实数的取值范围是．
【名师点睛】充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解步骤一般为：①首先要将，等价化简；②根据充分条件、必要条件或充要条件列出关于参数的等式或不等式（组）；③求出参数的值或取值范围．
五、混淆充分条件与必要条件
设，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【错解】选A.
【错因分析】充分条件、必要条件的概念混淆不清.
【正解】若，则，但当时也有，故本题选B．
【名师点睛】“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的
A．充分条件
B．必要条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
2．设，，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
3．设，则是成立的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．使不等式成立的一个必要不充分条件是
A．
B．
C．
D．
5．下列说法正确的是
A．是的充分而不必要条件
B．若，则是的充分条件
C．是的充要条件
D．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
6．中，是的
条件（选填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）
7．已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为
.
8．判断下列各题中是的什么条件：
（1）在中，：，：；
（2）：；：；
（3）：，：；
（4）：，：.
9．已知，求证：的充要条件是.
10．“”是“函数在区间内单调递减”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．给定两个命题p，q，若是q的必要而不充分条件，则p是的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．设甲：，乙：，那么甲是乙的
条件．（填写：充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要或者充要）
13．设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_________．
14．已知命题关于的方程有实数根，命题．
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
15．（2016年高考四川卷）设p:实数x，y满足且，q:实数x，y满足，则p是q的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
16．（2016年高考天津卷）设，，则“”是“”的
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
17．（2016年高考上海卷）设，则“”是“”的
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
18．（2016年高考天津卷理）设{}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，”的
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
19．（2016年高考山东卷理）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
1．B
【解析】根据等价命题，便宜没好货，等价于好货不便宜，故选B.
2．A
【解析】因为，所以，满足.
反之，若，则，或，不一定有.
故“”是“”的充分不必要条件.
3．B
【解析】，所以选B.
4．B
【解析】因为，且，但，所以选B.
5．C
【解析】A中，反之不成立，因此是的必要而不充分条件，故A错；
B中，因此是的必要条件，故B错；
C中，故C正确；
D中一个四边形是矩形的必要条件是它是平行四边形，故D错.从而选C.
6．充分不必要
【解析】，所以是的充分不必要条件.
7．
【解析】，是的充分不必要条件，，则，解得.
8．【解析】（1）由三角形中大角对大边可知，若，则；反之，若，则.因此，是的充要条件.
（2）由可以推出；由不一定有.因此，是的充分不必要条件.
（3）由可以推出或；由可以得出.因此，是的必要不充分条件.
（4）由于，当时，；当时，，故若，不一定有；当，，时，可以推出；当，，时，可以推出.因此，是的既不充分也不必要条件.
9．【解析】必要性：∵，∴，
∴.
充分性：∵，即，
又，∴且，
∴，
∴，即.
综上可知，当时，的充要条件是.
10．A
【解析】当时，在区间上，单调递减，
但在区间上单调递减时，，
所以“”是“函数在区间内单调递减”的充分不必要条件，故选A.
11．A
【解析】由题意知，，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以等价于，所以p是的充分而不必要条件.故选A.
12．必要不充分
【解析】由乙：两式相加得，两式相乘得，所以乙成立能推出甲成立.
在甲中取，则不符合乙的要求，所以甲成立不能推出乙成立，因此甲是乙的必要不充分条件.
13．
【解析】由题意得，解得，所以.
由，解得，即.
要使得是的充分不必要条件，则，解得.
所以实数的取值范围是．
14．【解析】解法一：（1）当命题是真命题时，满足，
则，解得或.
∵是真命题，∴是假命题，即.
故实数的取值范围是.
（2）是的必要不充分条件，∴是的真子集，
即或，解得或.
故实数的取值范围是.
解法二：（1）命题：关于的方程没有实数根，
∵是真命题，∴满足，
即，解得.
故实数的取值范围是.
（2）
由（1）可得当命题是真命题时，实数的取值范围是，
是的必要不充分条件，∴是的真子集，
即或，解得或.
故实数的取值范围是.
15．A
【解析】由且，可得，而当时，不能得出且.故是的充分不必要条件，选A.
【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角函数、不等式等数学知识结合起来考查．在许多情况下可利用充分性、必要性和集合间的包含关系得出结论．
16．C
【解析】，所以充分性不成立；，必要性成立，故选C.
17．A
【解析】，所以是充分非必要条件，选A.
【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好地考查考生分析问题和解决问题的能力、逻辑推理能力等.
18．C
【解析】，故“q<0”是“对任意的正整数n，”的必要而不充分条件，故选C.
19．A
【解析】直线a与直线b相交，则一定相交；若相交，则a,b可能相交，也可能平行，故选A.
小故事：并不是你想象中那样
两个旅行
( http: / / www. / lvyou / "
\t
"_blank )中的天使到一个富有的家庭借宿。这家人对他们并不友好，并且拒绝让他们在舒适的客人卧室过夜，而是在冰冷的地下室给他们找了一个角落。当他们铺床时，较老的天使发现墙上有一个洞，就顺手把它修补好了。年轻的天使问为什么，老天使答到：“有些事并不象它看上去那样。”
第二晚，两人又到了一个非常贫穷的农家借宿。主人夫妇俩对他们非常热情，把仅有的一点点食物拿出来款待客人，然后又让出自己的床铺给两个天使。第二天一早，两个天使发现农夫和他的妻子在哭泣，他们唯一的生活来源——一头奶牛死了。年轻的天使非常愤怒，他质问老天使为什么会这样，第一个家庭什么都有，老天使还帮助他们修补墙洞，第二个家庭尽管如此贫穷还是热情款待客人，而老天使却没有阻止奶牛的死亡。
“有些事并不象它看上去那样。老天使答道，“当我们在地下室过夜时，我从墙洞看到墙里面堆满了金块。因为主人被贪欲所迷惑，不愿意分享他的财富，所以我把墙洞填上了。昨天晚上，死亡之神来召唤农夫的妻子，我让奶牛代替了她。所以有些事并不象它看上去那样。
【小故事大道理】有些时候事情的表面并不是它实际应该的样子。如果你有信念，你只需要坚信付出总会得到回报。你可能不会发现，直到后来……
1.3
简单的逻辑联结词
一、逻辑联结词“且”
1．一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作__________，读作p且q.
2．关于逻辑联结词“且”
（1）“且”的含义与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当，是连词“既……又……”的意思，二者须__________成立．
（2）从如图所示串联开关电路上看，当两个开关S1、S2__________时，灯才能亮；当两个开关S1、S2中一个不闭合或两个都不闭合时，灯都不会亮．
（3）从集合角度理解“且”即集合运算“__________”．
设命题p：，命题q：，
则且．
（4）“”是这样的一个复合命题：当p、q都是真命题时，是__________命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，是__________命题．
二、逻辑联结词“或”
1．一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作__________，读作p或q.
2．关于逻辑联结词“或”
（1）“或”的含义和日常语言中的“或者”相当．是“要么……要么……”的意义，二者中有__________成立即可．
（2）从并联开关电路上看，当两个开关S1、S2至少有一个闭合时，灯就亮，只有当两个开关S1和S2__________时，灯才不会亮．
（3）从集合角度理解“或”即集合运算“__________”．
设命题p：，命题q：，
则或．
（4）当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，是__________命题；当p、q两个命题都是假命题时，是__________命题．
逻辑联结词“或”与自然语言中的“或者”、“可能”相当，但自然语言中的“或者”有两种用法：一是“不可兼”的“或”；二是“可兼”的“或”，而我们仅研究可兼“或”在数学中的含义．
三、逻辑联结词“非”
1．一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作__________，读作__________或__________．
2．若p是真命题，则 p是__________命题，若p是假命题，则 p是__________命题．
含有逻辑联结词的命题的真假判断如表：
或
且
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
3．根据“且”、“或”的含义，“p∧q”的否定为“__________”，“p∨q”的否定为“__________”．
K知识参考答案：
一、1．
2．（1）同时
（2）都闭合
（3）交
（4）真
假
二、1．
2．（1）一个
（2）都断开
（3）并
（4）真
假
三、1．
非
的否定
2．假
真
3．
K—重点
了解“或”“且”“非”逻辑联结词的含义
K—难点
掌握的真假性的判断，关键在于与的真假的判断.
K—易错
易混淆否命题与命题的否定
一、含有逻辑联结词的命题的构成形式
找出命题中的逻辑联结词→判断命题的形式→确定命题的构成
指出下列命题的形式及其构成：
（1）若A是一个三角形的最小内角，则A不大于60°；
（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
（3）
或
是不等式的解集.
【解析】（1）这个命题是“非”的形式，其中:若A是一个三角形的最小内角,则A大于60°.
（2）这个命题是“且”的形式，其中：垂直于弦的直径平分这条弦，:垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧.
（3）这个命题是“或”的形式，其中：是不等式的解集；:是不等式的解集.
【名师点睛】正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”是解题的关键，应根据组成命题的语句中所出现的逻辑联结词，进行命题结构的判断.但需注意带有“或”的命题不一定是复合命题，需要分析逻辑关系.
二、判断含有逻辑联结词“且”、“或”的命题的真假
1．判断“”、“”形式复合命题真假的步骤：
第一步，确定复合命题的构成形式；
第二步，判断简单命题p、q的真假；
第三步，根据真值表作出判断．
注意：一真“或”为真，一假“且”为假．
2．不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式．
3．当为真，p与q一真一假；为假时，p与q至少有一个为假
对下列各组命题，利用逻辑联结词“且”构造新命题，并判断它们的真假：
（1）12是3的倍数，12是4的倍数；
（2）,；
（3），则，，则．
【解析】（1）
：“12是3的倍数且是4的倍数”，是真命题.
（2）:“大于3且小于2”，是假命题.
（3）：“，则，且，则”，是假命题．
【易错点睛】（3）中写形式的命题时，有的同学会误写为“且，则”.注意：两个命题的条件不同，结论相同时，不能用“且”联结两个条件.事实上，上述命题是真命题，这与用逻辑联结词联结后的命题的真假性（假命题）不符合.
对下列各组命题，利用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断它们的真假：
（1）正数的平方大于0，负数的平方大于0；
（2）3>4，3<4；
（3）方程的根是，方程的根是.
【解析】（1）
：“正数或负数的平方大于0”，即“非零实数的平方大于0”，是真命题.
（2）：“或”，即“”，是真命题.
（3）：“方程的根是或方程的根是”，是假命题．
【易错点睛】（3）中形式的命题不能写为“方程的根是或”，显然p，q均为假命题，也应为假命题，而上述命题是真命题.
指出下列各命题的构成形式并判断命题的真假．
（1）等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边；
（2）方程的根是4或.
【解析】（1）该命题是“”的形式．
其中p：等腰三角形的顶角平分线垂直于底边；
q：等腰三角形的顶角平分线平分底边．
因为p，q都是真命题，所以该命题是真命题．
（2）该命题是“”的形式．
其中p：方程的一个根是4，
q：方程的一个根是，
因为p，q都是真命题，所以该命题是真命题.
【解题技巧】1．辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．
2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”，“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．
3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．
如a≥3是a>3或a＝3；xy＝0是x＝0或y＝0；x2＋y2＝0是x＝0且y＝0.
三、命题的否定
由命题p写 p时，只否定其结论.
写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（1）；
（2）；
（3）不等式的解集是.
【解析】（1）是一个简单命题，“”的否定是“”，所以“非”：.
由于是真命题,所以命题“非”是假命题.
（2）命题是形式的命题，其否定为的形式，所以“非”：
或.
由于p是真命题,所以命题“非p”是假命题.
（3）“非p”：不等式的解集不是.
由于p是假命题,所以命题“非p”是真命题.
【易错点睛】（3）中“非p”易错写为“不等式的解集是”．其原因是混淆了“否定”与“互补”，A不是B，不能认为是除B以外的所有对象，而应认为是除B以外的某一个对象或某一部分对象.
四、命题的否定与否命题
分清题设和条件，命题的否定只否定结论，而否命题既否定题设，又否定结论．
写出下列各命题的否定形式及否命题．
（1）面积相等的三角形是全等三角形；
（2）若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b全为零．
【解析】（1）否定形式：面积相等的三角形不都是全等三角形．
否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．
（2）否定形式：若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b不全为零．
否命题：若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m、n、a、b不全为零．
【名师点睛】1.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论也否定条件，这是区分两者的关键，解答此类问题，首先要找出命题的条件与结论，再作出准确的否定．
2．注意复合命题“”“p∧q”的否定．
五、求解含逻辑联结词命题中的参数
命题“p或q”是真命题,意味着“p真”“q真”中至少有一个成立,即“p真”或“q真”,此时用逻辑联结词“或”的含义来理解“为什么只求出‘p真’‘q真’时各自对应的参数范围，最后取并集”就易懂了.
这样做避免了将“p真”“q真”中至少有一个成立,分解成“p真q假”“p假q真”“p真q真”三种情况，再分别求解参数范围的繁琐过程.
已知命题p：关于x的不等式的解集为R，命题q：函数是R上的增函数，若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．
【解析】不等式的解集为R，须，即p是真命题时，m<1；
函数是R上的增函数，须，即q是真命题时，m<2.
∵p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p、q中一个为真命题，另一个为假命题．
（1）当p真，q假时，m<1且m≥2，此时无解；
（2）当p假，q真时，m≥1且m<2，此时1≤m<2，因此1≤m<2.
【名师点睛】由简单命题和逻辑联结词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假，若p且q真，则p真，q真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．
六、混淆命题的否定与否命题
已知
，，则 p是 q的什么条件．
【错解】∵p：|5x－2|>3，∴ p：|5x－2|≤3，
∴，即，
又∵q：，∴，
∴，即，
∴ p q且 q p，
故 p是 q的既不充分也不必要条件．
【错因分析】将命题q：的否定形式错误地认为：，∴导致错误．
【正解】∵，∴或，
∴或，∴：.
∵
，∴，∴或，
∴，∴，但，
故是的充分不必要条件．
【规律总结】对命题“若p，则q”来说，其否定形式应是：“若p，则非q”，其否命题应是：“若非p，则非q”
1．“xy≠0”是指
A．x≠0且y≠0
B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0
D．不都是0
2．下列命题：
①2010年2月14日既是春节，又是情人节；
②10的倍数一定是5的倍数；
③梯形不是矩形．
其中使用逻辑联结词的命题有
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．若p、q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有
A．p真q真
B．p假q假
C．p真q假
D．p假q真
4．已知命题p：，命题q：，则下列判断正确的是
A．p假q假
B．“p或q”为真
C．“p且q”为真
D．p假q真
5．命题;命题,下列结论正确的是
A．为真
B．为真
C．为假
D．为真
6．已知命题p,q,则命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知命题,若“p∧q”与“”同时为假命题,则x的值为
A．
B．0
C．1,2
D．
8．“2≤3”中的逻辑联结词是________，它是________命题．（填“真”，“假”）
9．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是____________．
10．设实数满足，其中；实数满足．
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
11．对于命题p和q，若p且q为真命题，则下列四个命题：
①p或 q是真命题；②p且 q是真命题；③ p且 q是假命题；④ p或q是假命题．
其中为真命题的是
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
12．己知命题存在,使,命题集合,有个子集，下列结论:
①命题“且”
是真命题；②命题“且”
是假命题；③命题“或”
是真命题,其中正确的个数是
A．
B．
C．
D．
13．下列命题中既是形式的命题，又是真命题的是
A．10或15是5的倍数
B．方程的两根是和1
C．方程没有实数根
D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
14．（2015-2016学年福建省八县一中高二上学期期末理科数学试卷）已知，命题“”为真，则实数的取值范围是_________.
15．设命题函数的值域为；命题对一切实数恒成立，若命题“”为假命题，求实数的取值范围.
16．（2015-2016学年内蒙古包头市北重五中高二上学期期末理科数学试卷）已知命题有两个不等的负根，命题q:方程无实根，若为真，为假，求m的取值范围.
17．（2014年高考重庆卷理）
已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是
A．
B．
C．
D．
18．（2014年高考辽宁卷理）设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是
A．
B．
C．
D．
19．（2014年高考湖南卷理）已知命题在命题
①中，真命题是
A．①③
B.①④
C.②③
D.②④
20．（2013年高考湖北卷理）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A．
B．
C．
D．
1．A
【解析】xy≠0当且仅当x≠0且y≠0.
2．C 【解析】命题①③使用了逻辑联结词，其中，①使用“且”，③使用“非”．
3．B
【解析】“p或q”的否定是：“ p且 q”是真命题，则 p、 q都是真命题，故p、q都是假命题．
4．B
【解析】∵，∴，∴p真．
∵，∴q假．故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B.
5．A【解析】∵命题为假,命题为真,∴为真,为假,为真,为假.
6．B
【解析】当p或q为真时,可以得到p和q中至少有一个为真,这时q且p不一定为真;反之,当q且p为真时,必有p和q都为真,一定可得p或q为真.故选B.
7．D
【解析】∵为假,∴至少有一个为假.又“”为假,∴为真,从而可知为假.由假
真,可得且,即，解得又，∴的值为.
8．或 真【解析】命题“”是由命题p:
,命题，用“或”联结词构成的新命题，且为真命题，故应填或，真.
9．[1,2）
【解析】或，即，由于命题是假命题，所以，即．
10．【解析】（1）当时，若命题为真，则；若命题为真，则，
∵为真，即，都为真，
∴，即实数的取值范围是
（2）若是的充分不必要条件，则，
所以，实数的取值范围是.
11．C
【解析】若p且q为真命题，则p真，q真， p假， q假，所以p或 q真， p且 q假，故选C.
12．C
【解析】，所以命题为假命题；有个子集，所以命题为真命题；因此“且”是假命题；“且”
是假命题；“或”
是真命题；故选C.
13．
D
【解析】A中的命题是型命题，B中的命题是假命题，C中的命题是的形式，D中的命题为型，且为真命题．
14．
【解析】为真时,.
为真时,或或.
所以“”为真时.
15．【解析】当为真命题时，符合题意.时，．
时，此时为真命题.
当为真命题时：令，
故在恒成立时，为真命题.
为真时，.
为假命题时，.
16．【解析】若方程有两个不等的负根，
则，解得，即；
若方程
无实根，
则，
解得：，即
因p或q为真，所以p、q至少有一个为真，又p且q为假，
所以p、q至少有一个为假，因此，p、q两命题应一真一假，
即p为真，q为假或p为假，q为真．
∴或，解得.
17
．D
【解析】由题设可知：是真命题，是假命题；所以，是假命题，是真命题；
所以，是假命题，是假命题，是假命题，是真命题，故选D.
18．A
【解析】取a＝c＝（1,0），b＝（0,1）知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；
∵a∥b，b∥c，∴存在λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，
∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．
∴p∨q为真命题．
19．C
【解析】当时,两边同乘以可得,所以命题为真命题,当时,因为,所以命题为假命题,则为真命题,所以根据真值表可得②③为真命题,故选C.
20．A
【解析】
“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”.故选A.
老师经典4条语录：
A：这又是一道送分题。
B：体育老师有事去了，这节课我来上。
C：到底是你说还是我说，你说你就上来说！
D：你们是我带过最差的一届！
1.4全称量词与存在量词
1．全称量词和全称命题
（1）短语“__________”“__________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
（2）含有____________的命题，叫做全称命题．
（3）全称命题：“对M中任意一个x，有
成立”，可用符号简记为____________．
2．存在量词和特称命题
（1）短语“__________”“____________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“______”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．
（2）含有____________的命题，叫做特称命题．
（3）特称命题：“存在M中的元素x0，有p（x0）成立”，可用符号简记为________________________．
3．含有一个量词的命题的否定
（1）全称命题
，它的否定：________________；
（2）特称命题，它的否定：________________.
4．命题的否定与否命题
命题的否定只否定______，否命题既否定________，又否定________．
K知识参考答案：
1．（1）所有的 任意一个 （2）全称量词
（3）
2．（1）存在一个 至少有一个
（2）存在量词
（3） x0∈M，p（x0）
3．（1），；（2），
4．结论 结论 条件
K—重点
掌握全称量词与存在量词的的意义以及掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法
K—难点
掌握含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断；明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题.
K—易错
易混淆全称命题与特称命题
一、用量词表示命题
由于叙述的多样性，有些语句不是典型的全称命题或特称命题，但却表达了这两种命题的意思，如果能恰当地引入全称量词或存在量词，即可使题意清晰明了．
用全称量词或存在量词表示下列语句:
（1）有理数都能写成分数形式；
（2）整数中1最小；
（3）方程有实数解；
（4）有一个质数是偶数.
【解析】（1）任意一个有理数都能写成分数形式.
（2）所有的整数中1最小.
（3）存在实数，使成立.
（4）存在一个质数是偶数.
【名师点睛】1．利用相关量词表示命题尤其是全称命题和特称命题，可以更准确地表述命题的含义，这就需要我们对量词及全称命题、特称命题有较好的把握，能够准确体会其意义，并且适当引入量词.
2．全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等.
二、全称命题与特称命题的真假判断
指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．
（1）在平面直角坐标系中，任一有序实数对都对应一点；
（2）存在一个实数，它的绝对值不是正数；
（3）对任意实数，若，则；
（4）存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．
【解析】（1）（3）是全称命题，（2）（4）是特称命题．
（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
（2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．
（3）存在，但tan0＝tanπ，所以该命题是假命题．
（4）存在一个函数，它既是偶函数又是奇函数，所该命题是真命题．
【解题技巧】1．判断命题是全称命题还是特称命题,关键是找出命题中含有的量词,隐含量词需依据命题的特征挖掘出来.
2．（1）要确定一个全称命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称命题是假命题.
（2）要确定一个特称命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该特称命题是假命题.
三、含有一个量词的命题的否定
→→→
写出下列命题的否定，并判断其真假.
（1）每一个素数都是奇数；
（2）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；
（3）有些实数的绝对值是正数；
（4）某些平行四边形是菱形.
【解析】（1）由于全称量词“每一个……”的否定为“存在一个……”，因此，存在一个素数不是奇数，是真命题.
（2）是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”,?存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行,是真命题.
（3）由于特称量词“有些……”的否定为“所有……”，因此，?所有实数的绝对值都不是正数，是假命题.
（4）由于特称量词“某些……”的否定为“每一个……”，因此，?每一个平行四边形都不是菱形，是假命题.
【名师点睛】1．一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
四、利用全称命题与特称命题求参数的取值范围
含有变量的语句为命题,即对变量有了限制条件,而它的真假要根据限制条件中变量的取值来确定.因此可将此类题目看成全称命题来解决,即不等式的解集内的任意一个的取值都使得为真命题.
若命题是真命题，则实数a的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】是真命题，即不等式对恒成立，即恒成立．
当a＋2＝0时，不符合题意．
故有，即
解得.故选B.
（2015-2016学年四川省广元中学高二上学期期末理科数学试卷）若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为
．
【答案】
【解析】∵命题“”是假命题，
∴命题“”是真命题，
即对应的判别式，
即，
∴，
即，
故答案为．
【解题技巧】应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型
1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决．
2．特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
五、对含有一个量词的命题否定不完全
已知命题：存在一个实数，使得，写出.
【错解一】：存在一个实数，使得.
【错解二】：对任意的实数x，都有.
【错因分析】该命题是特称命题，其否定应是全称命题，但错解一得到的仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定.错解二只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定.
【正解】：对任意的实数x，都有.
【名师点睛】对含有量词的命题进行否定时，（1）牢记全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，注意不能只否定结论，而忘记了对量词的否定;也不能只否定量词，而忘记了对结论的否定.（2）牢记命题的否定与原命题的真假性相反，可以以此检验命题的否定是否正确.
1．下列命题是特称命题的是
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
2．下列命题中，是真命题且是全称命题的是
A．对任意的，都有
B．菱形的两条对角线相等
C．
D．对数函数在定义域上是单调函数
3．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是
A．
B．
C．
D．
4．已知命题“，如果，则”，则它的否命题是
A．，如果，则
B．，如果，则
C．，如果，则
D．，如果，则
5．（2016届湖南省高考冲刺卷（理）（三）数学卷）有四个关于三角函数的命题：
或；
；
；
.
其中真命题是
A．
B．
C．
D．
6．下列命题中,既是真命题又是特称命题的是
A．存在一个,使
B．存在实数,使
C．对一切
D．
7．下列特称命题是真命题的序号是__________________．
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在一实数，使；
③存在实数，使函数的值随x的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身．
8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为__________________．
9．判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
（1）三角形的内角和为180°;
（2）每个二次函数的图象都开口向下；
（3）存在一个四边形不是平行四边形.
10．若命题“对任意实数”是真命题,求实数m的取值范围.
11．下列命题中是假命题的是
A．使
B．，函数都不是偶函数
C．使是幂函数，且在上单调递减
D．，函数有零点
12．（2015-2016学年云南省云天化中学高二4月月考理科数学卷）已知命题；命题，则下列判断正确的是
A．是假命题
B．是假命题
C．是真命题
D．
是真命题
13．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是__________________．
14．已知命题，命题，则中是真命题的有__________________．
15．已知为真命题，为真命题，求实数m的取值范围．
16．已知命题p：实数x满足；命题q：实数x满足．
（1）当m＝3时，若“p∧q”为真，求实数x的取值范围；
（2）若“ p”是“ q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
17．（2016年高考浙江卷理）
命题“，使得”的否定形式是
A．，使得
B．，使得
C．，使得
D．，使得
18．（2015年高考新课标Ⅰ理）设命题，则
为
A． n∈N，n2>2n
B． n∈N，n2≤2n
C． n∈N，n2≤2n
D． n∈N，n2＝2n
19．（2013年高考重庆卷理）命题“对任意，都有”的否定为
A．对任意，都有
B．不存在，使得
C．存在,使得
D．存在,使得
20．（2013年高考四川卷理）设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，，则
A．，
B．，
C．，
D．，
21．（2012年高考福建卷理）下列命题中，真命题是
A．
B．
C．的充要条件是
D．是的充分条件
22．（2015年高考山东卷理）若“”是真命题，则实数m的最小值为__________________．
23．（2013年高考湖南卷理）设函数
（1）记集合，则所对应的的零点的取值集合为__________________．
（2）若__________________．（写出所有正确结论的序号）
①
②
③若
1．D
【解析】选项D中含有存在量词“存在”，所以根据特称命题的定义知选D.
2．D
【解析】A中含有全称量词“任意的”，因为；故是假命题．B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是特称命题，故选D.
3．C
【解析】由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.
4．B
【解析】条件ab>0的否定为ab≤0；结论a>0的否定为a≤0，故选B.
5．D
【解析】或，为假命题；为真命题；为真命题，为假命题；为真命题；故选D.
6．A
【解析】只有A,B两个选项中的命题是特称命题,而由于所以不成立,故B中命题为假命题.又因为当时,,故A中命题为真命题.
7．①③④
【解析】①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意，所以不存在实数，使，故②为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.
8．过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内
【解析】原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．
9．【解析】（1）是全称命题且为真命题.
命题的否定:三角形的内角和不全为180°,即存在一个三角形其内角和不等于180°.
（2）是全称命题且为假命题.
命题的否定:存在一个二次函数的图象开口不向下.
（3）是特称命题且为真命题.
命题的否定:所有的四边形都是平行四边形.
10．【解析】由题意知,不等式恒成立,
即不等式恒成立.
（1）当时,不等式可化为,显然不恒成立,不合题意.
（2）当时,要使不等式恒成立,则解得.
综上可知,所求实数的取值范围是.
11．B【解析】对于选项A，如当时，所以选项A的命题为真命题；对于选项B，当时，函数
是偶函数，因此选项B中的命题为假命题；对于选项C，如当时，，在上单调递减，所以选项C中的命题为真命题，对于选项D中，令，则，所以当时，结合函数的图象易知有零点，所以选项D的命题为真命题.
12．D
【解析】命题是假命题；命题是真命题，因此是真命题，为假命题，是假命题，是真命题，故选D.
13．
【解析】由题设可知:“,都有恒成立”,所以,即,也即,所以.
【易错点晴】本题考查的是全称命题的否定与特称命题之间的关系.求解时要充分借助“全称命题的否定是特称命题”、“特称命题的否定是全称命题”这一事实，先搞清所给的命题是全称命题还是特称命题，然后再依据上述结论加以判别求解写出答案.解答本题时，先将问题合理转化为：“,都有恒成立”是真命题,进而获解.常常会和命题四种形式中“否命题”混淆，从造成解答上的错误.
14．
【解析】∵，故是假命题，而存在，使，故q是真命题，因此p∨q是真命题， p是真命题．
15．【解析】由为真命题，即为假命题，由
.
又不恒成立，∴.
又对为真命题，即不等式恒成立，
∴，即，
故m的取值范围是.
16．【解析】（1）若p真：；当时，若真：，∵“”为真，∴.
（2）∵“”是“”的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．q：，
∴，解得.
17．D
【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．
【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．
18．C
【解析】根据定义可知， p为，故选C
.
19．D
【解析】根据定义可知命题的否定为存在，使得.故选D.
20．D
【解析】注意到“任意”的否定是“存在”，“属于”的否定是“不属于”，将改为，将改为，于是有：，，故选D.
【名师点睛】本题考查命题的含义以及全称命题的否定，注意：“任意”的否定是“存在”，“属于”的否定是“不属于”.
21．D
【解析】因为，所以排除A；取则，故排除B；，取，则不能推出，故排除C.故选D.
22．1
【解析】若“”是真命题，则，其中，
∵函数，的最大值为1，∴，即的最小值为1.
23．（1）；（2）①②③【解析】（1）由题设知，，则，即.又从而，，∴，解得.故所求取值集合为；
（2）由题设知
即
∴①正确；由（1）可知②正确；由为钝角三角形，知∴
又，∴
∴
由零点存在性定理可知③正确.故填①②③.
确定所给命题是全称命题还是特称命题
针对量词和结论同时进行否定
命题的否定
判断真假