K三关 高二理数人教A版选修2-2（第1.5-1.7节）人教版 含解析

1.5
定积分的概念
1.6
微积分基本定理
1.7
定积分的简单应用
1．定积分的概念
（1）定积分的概念
一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作________，即.
这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.
（2）定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线，和曲线所围成的__________.这就是定积分的几何意义.
（3）定积分的性质
由定积分的定义,可以得到定积分的如下性质：
①为常数）；
②；
③（其中）.
2．微积分基本定理
一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么___________.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.
为了方便，我们常常把记成，即.
微积分基本定理表明，计算定积分的关键是找到满足的函数.通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出.
3．定积分的简单应用
（1）定积分在几何中的应用
定积分在几何中的应用主要是计算由两条曲线
( http: / / www.21cnjy.com )所围图形的面积.由曲边梯形面积的求法，我们可以将求由两条曲线所围图形的面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题，进而用定积分求出面积.
（2）定积分在物理中的应用
①变速直线运动的路程：我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.
②变力做功：一物体在恒力(单位：)的作用下做直线运动，如果物体沿着与相同的方向移动了（单位：），则力所做的功为.
已知某物体在变力的作用下做直线运动，并且该物体沿着与相同的方向从移动到，求变力所做的功，与求曲边梯形的面积及求变速直线运动的路程一样，可用“四步曲”解决，得到.
K知识参考答案：
1．（1）
（2）曲边梯形的面积
（3）①
2．
3．（2）①
②
K—重点
定积分的几何意义，定积分的基本性质，运用微积分基本定理计算定积分，定积分的应用
K—难点
运用微积分基本定理计算定积分，用定积分求几何图形的面积
K—易错
运用微积分基本定理计算定积分时，弄错积分的上、下限
一、利用定积分的几何意义计算定积分
利用定积分所表示的意义求的值的关键是确定由曲线，直线，直线及轴所围成的平面图形的形状.
【例1】利用定积分的几何意义求，其中.
【解析】.
∵为奇函数，∴.利用定积分的几何意义，如图，
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∴，，
故.
【名师点睛】1.利用定积分的几何意义求解时，常见的平面图形的形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形.
2.设函数在闭区间上连续，则若是偶函数，则；若是奇函数，则.
二、利用微积分基本定理计算定积分
求函数在某个区间上的定积分时，要注意：
（1）掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解导数等于被积函数的函数.当这个函数不易求
时，可将被积函数适当变形后再求解.具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差.
（2）精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限.
【例2】计算下列定积分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【解析】（1）.
（2）.
（3）
.
（4）.
【名师点睛】微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到被积函数的一个原函数.
三、定积分在几何中的应用
对于简单图形的面积求解，我们可以直接运用定积分的几何意义，此时，
（1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标.
（2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差.
这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了.
【例3】求由曲线与，，所围成的平面图形的面积（画出图形）.
【解析】画出曲线与，则下图中的阴影部分即为所要求的平面图形.
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解方程组，可得.
故平面图形的面积为
.
所以所求图形的面积为1.
【名师点睛】（1）定积分可正、可负或为零，
( http: / / www.21cnjy.com )而平面图形的面积总是非负的.（2）若图形比较复杂，可以求出曲线的交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下.
四、定积分在物理中的应用
1．已知变速直线运动的方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分.
2．利用定积分求变力做功的问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即可.
【例4】设有一长25
cm的弹簧，若加以1
( http: / / www.21cnjy.com )00
N的力，则弹簧伸长到30
cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25
cm伸长到40
cm所做的功.
【解析】设表示弹簧伸长的量(单位：m)，表示加在弹簧上的力(单位：N).
由题意，得，且当时，，即，解得，则.
故将弹簧由25
cm伸长到40
cm时所做的功为.
【名师点睛】求解时注意单位的换算，把cm换算为m.
1．当的值很大时，函数在区间上的值可以用下列函数值近似代替的是
A．
B．
C．
D．
2．
A．
B．
C．
D．
3．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为和(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是
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A．在t1时刻，甲车在乙车前面
B．t1时刻后，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
4．若，，，则的大小关系为
A．
B．
C．
D．
5．已知函数为偶函数，且，则________.
6．若，则实数等于________.
7．计算下列定积分：
（1）；
（2）.
8．如图，求曲线所围成图形的面积.
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9．物体以的速度在一直线上运动，物体在直线上，且在物体的正前方5m处，同时以的速度与同向运动，出发后物体追上物体所用时间为
A．3
B．4
C．5
D．6
10．已知函数，则
.
11．如图，在边长为1的正方形内，阴影部分是由两曲线围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是，则函数的值域为________.
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12．设，，求的取值范围.
13．（2014·陕西）定积分的值为
A．
B．
C．
D．
14．（2014·山东）直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为
A．
B．
C．2
D．4
15．（2013·湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位：）是
A．
B．
C．
D．
1．C
【解析】用区间内的任意一个函数值都可近似代替这个区间对应的函数值.
2．B
【解析】.
3．A
【解析】由图可知，曲线，直线和t轴所围成图形的面积大于曲线，直线和t轴所围成图形的面积，则在t0时刻，甲车在乙车前面，故C错误；同理，在t1时刻，甲车在乙车前面，故A正确，D错误；t1时刻后，甲车会领先乙车一小段时间，但从两曲线的趋势可预测总会有某时刻乙车会超过甲车，故B错误.
4．B
【解析】，，
，所以.
5．16
【解析】因为函数为偶函数，所以.
6．
【解析】取，则，
所以，解得.
7．【解析】（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
8．【解析】由解得.由解得.
所以所求阴影部分的面积为
.
9．C
【解析】物体经过行驶的路程为，物体经过行驶的路程为，则有，解得.
10．
【解析】，其中
，由定积分的几何意义可知，其表示半径为的圆的面积的，即，故.故填.
11．
【解析】设阴影部分的面积为，则，又正方形的面积为1，所以.故，则的值域为.
12．【解析】，取，则
.所以，即，且.所以.由知.
13．C
【解析】，故选C.
14．D
【解析】由已知得，故选D.
15．C
【解析】令，解得或（舍去）.故所求距离是，故选C.
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