K三关 高一数学人教A版必修3（第3.3.1节） Word版含解析
文档属性
| 名称 | K三关 高一数学人教A版必修3（第3.3.1节） Word版含解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 478.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-06-29 21:09:41 | ||
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文档简介
第三章概率
3.1随机事件的概率
1．随机事件的概率
（1）随机事件
一般地,我们把在条件S下,______________的事件,叫做相对于条件S的必然事件,简称必然事件.
在条件S下,______________的事件,叫做相对于条件S的不可能事件,简称不可能事件.
______________与______________统称为相对于条件S的确定事件,简称确定事件.
在条件S下______________的事件,叫做相对于条件S的随机事件,简称随机事件.
确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母表示.
（2）频率和概率
对于随机事件，知道它发生的可能性大小是非常重要的.用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们的决策提供关键性的依据.要获得随机事件发生的概率,最直接的方法就是进行试验（观察）.
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数,称事件A出现的比例______________为事件A出现的频率.
一般地，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间0,1］中的某个常数上.这个常数越接近于1,表明事件A发生的频率越大，频数就越多，也就是它发生的可能性越大；反过来，事件发生的可能性越小，频数就越小，这个常数也就越小.因此，我们可以用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小.
对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率随着试验次数的______________稳定于概率，因此可以用来估计概率.
注意：频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值，与试验次数有关.概率是一个确定的数，是客观存在的,与试验做没做、做多少次完全无关.
2．概率的意义
（1）概率的正确理解：随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机性中含有规律性.认识了这种随机性中的规律性,就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性.
（2）决策中的概率思想：如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计学中重要的统计思想方法之一.
3．概率的基本性质
（1）事件的关系与运算
①对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B),记作(或).与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：
不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件.
②如果__________，且__________，那么称事件B与事件A相等,记作.
③若某事件发生当且仅当__________________，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作（或）.与两个集合的并集类比,可用下图表示：
④若某事件发生当且仅当__________________，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）.与两个集合的交集类比,可用下图表示：
⑤若为_____________，即，那么称事件A与事件B互斥.其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生，可用下图表示：
⑥若为_____________，为_____________，那么称事件A与事件B互为对立事件.其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，可用下图表示：
（2）概率的几个基本性质
①由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0~1之间,从而任何事件的概率都在0~1之间,即__________________.
②在每次试验中，必然事件一定发生，因此它的频率为1，从而必然事件的概率为________.
③在每次试验中，不可能事件一定不出现，因此它的频率为0，从而不可能事件的概率为________.
④当事件A与事件B互斥时,发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和,从而的频率.则概率的加法公式为：如果事件A与事件B互斥，则_____________.
⑤若事件A与事件B互为对立事件,则为必然事件,.再由加法公式得_____________.
K知识参考答案：
1．（1）一定会发生一定不会发生必然事件不可能事件可能发生也可能不发生（2）
增加
3．（1）②③事件A发生或事件B发生④事件A发生且事件B发生⑤不可能事件
⑥不可能事件必然事件（2）①②1
③0
④
⑤
K—重点
频率与概率的区别与联系，事件间的关系，概率的加法公式
K—难点
频率与概率的区别与联系，互斥事件与对立事件的区别与联系
K—易错
在应用概率的加法公式时，不要忽略应用的前提是涉及的事件必须是互斥事件
一、事件类型的判断
判断一个事件的类型，即判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，先看条件，再看在该条件下所研究的事件是一定发生（必然事件）、不一定发生（随机事件），还是一定不发生（不可能事件），即可得到事件的类型.
【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
（1）某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军；
（2）某人给其朋友打电话,却忘记他朋友的电话号码的最后一个数字,就随意在键盘上按了一个数字,恰巧是他朋友的电话号码；
（3）同时掷两枚骰子,向上一面的两个点数之和为13；
（4）同时掷两枚骰子,向上一面的两个点数之和不小于2.
【解析】（1）（2）可能发生也可能不发生,是随机事件；
同时掷两枚骰子,向上一面的两个点数之和的范围是2,12],因此“向上一面的两个点数之和为13”不可能发生,因此（3）是不可能事件；
“向上一面的两个点数之和不小于2”一定发生,因此（4）是必然事件.
二、考查互斥事件、对立事件的概念
互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的,它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生,但不可能两个事件同时发生,也不可能两个事件同时不发生.所以两个事件互斥,它们未必对立；反之两个事件对立,它们一定互斥.
【例2】某商场有甲、乙两种电子产品可供顾客选购.记事件A为“只买甲产品”，事件B为“至少买一种产品”，事件C为“至多买一种产品”，事件D为“不买甲产品”，事件E为“一种产品也不买”.判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E.
【解析】利用互斥事件和对立事件的概念进行判断.
（1）由于事件C“至多买一种产品”中有可能只买甲产品，故事件A与事件C有可能同时发生，故事件A与C不是互斥事件.
（2）事件B“至少买一种产品”与事件E“一种产品也不买”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件.又由于事件B与E必有一个发生，所以事件B与E还是对立事件.
（3）事件B“至少买一种产品”中有可能买乙产品，即与事件D“不买甲产品”有可能同时发生，故事件B与D不是互斥事件.
（4）若顾客只买一种产品，则事件B“至少买一种产品”与事件C“至多买一种产品”就同时发生了，所以事件B与C不是互斥事件.
（5）若顾客一件产品也不买，则事件C“至多买一种产品”与事件E“一种产品也不买”就同时发生了，事实上事件C与E满足，所以二者不是互斥事件.
三、由频率估计随机事件的概率
随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算事件发生的概率.
【例3】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）
30
25
10
结算时间（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55％.
（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）
【解析】（1）由已知得，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均值估计，其估计值为(分钟).
（2）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，
“该顾客一次购物的结算时间为分钟”，
“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得.
是互斥事件，
.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
【名师点睛】本题考查概率、统计的基础知识，考查运算能力、分析问题的能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，知从而解得，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.
四、概率加法公式的应用
概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
求复杂事件的概率通常有两种方法：（1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.
【例4】如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
（1）求此人到达当日空气质量优良的概率;
（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率.
【解析】（1）在3月1日至3月13日这13天中,1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良,而此人任一天到达该地的概率为,所以此人到达当日空气质量优良的概率是.
（2）根据题意,事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”,所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.
【名师点睛】（1）先得出空气质量优良的天数,因为这个人哪一天到达该市的机会均等,故可用概率的加法公式求解；（2）先得出此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的天数即可求出此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率.
五、利用概率知识解决实际生活中的问题
利用概率知识解决生活中的问题，只要是考查概率与频率的关系及由样本数据估计总体的能力，可用样本的频率近似估计总体的概率，或由此列出方程求解.
【例5】某水产试验场实行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵化8513尾鱼苗，根据概率的定义解答下列问题：
（1）这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？
（2）30000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？
（3）要孵化5000尾鱼苗，大概得准备多少个鱼卵？(精确到个位)
【解析】（1）这种鱼卵的孵化概率.
（2）30000个鱼卵大约能孵化尾鱼苗.
（3）设大概需准备x个鱼卵，由题意知，所以(个).所以大概需准备5873个鱼卵.
六、忽略概率加法公式的应用前提致错
【例6】某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：
月收入
1000,
1500)
1500,2000)
2000,
2500)
2500,
3000)
概率
0.12
a
b
0.14
已知月收入在1000,3000)(元)范围内的概率为0.67,求月收入在1500,3000)(元)范围内的概率.
【错解】记这个商店月收入在1000,1500),1500,2000),2000,2500),2500,3000)
(元)范围内的事件分别为A,B,C,D,则月收入在1500,3000)(元)范围内的事件为B+C+D,所以P(B+C+D)=1-P(A)=0.88.
【错因分析】误用P(B+C+D)=1-P(A).事实上,本题中P(A)+P(B)+P(C)+P(D)≠1,故事件A与事件B+C+D并不是对立事件.
【正解】因为事件A,B,C,D互斥,且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.67,所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.
【名师点睛】在应用概率加法公式时，一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件.对于事件A，B，有，只有当事件A，B互斥时，等号才成立.
1．下列说法中正确的有：
①任何事件的概率总是在0,1]之间；
②概率是随机的,在试验前不能确定；
③频率是客观存在的,与试验次数无关；
④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.
A．①④B．②③C．①③④D．①②③④
2．10件产品中有8件正品，2件次品，从中随机地取出3件，则下列事件中是必然事件的为
A．3件都是正品B．至少有一件次品
C．3件都是次品D．至少有一件正品
3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,若事件“所取的3个球中至少有1个白球”,则事件的对立事件是
A．1个白球2个红球B．2个白球1个红球
C．3个球都是红球D．至少有一个红球
4．根据某医疗所的调查,某地区居民血型的分布为：O型50%,A型15%,AB型5%,B型30%.现有一血型为A型的感染了病毒的病人需要输血,若在该地区任选一人,那么能为该病人输血的概率为
A．0.15B．0.2
C．0.5D．0.65
5．我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒．则这批米内夹谷约为
A．134石B．169石
C．338石D．1365石
6．函数上是增函数是________事件.
7．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件为出现奇数点，事件为出现2点，已知，则出现奇数点或2点的概率为________.
8．对某厂生产的某种产品进行抽样检查,数据如下：
根据上表所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查 件产品.
9．在乒乓球比赛中,裁判员有时用抛硬币的方法来决定谁先发球,具体规则是：让两名运动员面对面站立,规定一名运动员得正面朝上胜,另一名运动员得反面朝上胜,然后裁判员抛掷硬币,指定获胜的运动员得到先发球权.你认为这个规则公平吗 请用概率的知识加以解释.
10．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C，其概率分别为, ,.
（1）求1张奖券中奖的概率；
（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
11．已知正三棱锥ABCD的所有棱长均相等，从此三棱锥6条棱的中点中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于
A．0B．C．D．1
12．已知40个同学，他们有的步行上学，有的骑车上学，还有的乘车上学.
（1）根据已知的信息，完成下表：
（2）试估计40个同学中任意一名同学不步行上学的概率.
13．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1
t该产品获利润500元，未售出的产品，每1
t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130
t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（1）将T表示为X的函数；
（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.
14．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球各若干个,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率是,试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
15．（2016天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
A．
B．
C．
D．
16．（2015陕西）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
（1）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（2）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.
17．（2014陕西）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额（元）
0
1000
2000
3000
4000
车辆数（辆）
500
130
100
150
120
（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.
1．A
【解析】频率是不能脱离试验次数的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值,故②③不正确.①④显然正确.
2．D
【解析】10件产品中有8件正品，2件次品，从中随机地取出3件，其中必有一件正品，则至少有一件正品是必然事件.
3．C
【解析】本题主要考查事件的对立事件的求法.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,若事件“所取的3个球中至少有1个白球”,则事件的对立事件是:所取的3个球中一个白球也没有,即3个球都是红球.故选C.
4．D
【解析】本题主要考查互斥事件的概率加法公式的应用.A型血或O型血的人能为A型血的人输血,所以该地区任选一人,能为该病人输血的概率为15%+50%=65%=0.65.故选D.
5．B
【解析】本题主要考查了频率和概率的关系以及概率的计算方法.依题意可得这批米内夹谷为石，故选B.
6．随机【解析】本题主要考查事件类型的判断.由指数函数的性质可知函数且）在定义域上是增函数是随机事件.
7．【解析】本题考查了互斥事件的概率加法公式.因为事件A与事件B是互斥事件，所以出现奇数点或2点的概率为.
8．1000
【解析】抽查的产品总件数为1150,合格品件数为1094,合格率为≈0.95,则大约需抽查950÷0.95=
1000件产品.
9．【解析】这个规则是公平的.因为硬币正面朝上与反面朝上是随机的,也就是说,每名运动员取得先发球权的概率都为0.5,所以这个规则是公平的.
10．【解析】（1）设D={1张奖券中奖}，A={1张奖券中特等奖}，
B={1张奖券中一等奖}，C={1张奖券中二等奖}，A,B,C两两互斥，
1张奖券中奖包括中特等奖、中一等奖、中二等奖三个事件，所以1张奖券中奖的概率为
.
（2）设E={1张奖券不中特等奖且不中一等奖}，可以用对立事件来解，
事件E的对立事件为“1张奖券中特等奖或中一等奖”，所以.
11．D
【解析】从三棱锥6条棱的中点中任意选3个点能组成两类三角形；一类是等边三角形，另一类是等腰三角形.若任意选3个点连成等边三角形，则剩下的3个点也是等边三角形，且它们全等；若任意选3个点连成等腰三角形，则剩下的3个点也是等腰三角形，且它们全等.这是必然事件，其概率为1.选D.
12．【解析】（1）步行的频数是15，频率是.
骑车的频数是10，则频率是.
乘车的频率是，则频数是.
补全表格如下表所示：
（2）不步行上学包括骑车和乘车两种情形，由（1）可估计其概率为.
13．【解析】（1）当X∈100,130)时，；
当X∈130,150]时，.
所以.
（2）由（1）知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.
14．【解析】从袋中任取一球,记“得到红球”、“得到黑球”、“得到黄球”、“得到绿球”分别为事件A,B,C,D,则事件A,B,C,D两两互斥.
根据题意有P(A)=,,，
.
把P(B),P(C),P(D)看成未知数,则可得方程组，解得.
即得到黑球、黄球、绿球的概率分别是.
15．A
【解析】甲不输的概率为选A.
16．【解析】（1）在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，得在4月份任取一天，西安市在该天不下雨的概率约为.
（2）称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如1日与2日，2日与3日等）.这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为.以频率估计概率，得运动会期间不下雨的概率约为.
17．【解析】（1）设表示事件“赔付金额为3000元”，表示事件“赔付金额为4000元”，且事件，是互斥事件.以频率估计概率得，，
由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为.
（2）设表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的车辆有（辆），而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的车辆有（辆），
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为，由频率估计概率得.
3.1随机事件的概率
1．随机事件的概率
（1）随机事件
一般地,我们把在条件S下,______________的事件,叫做相对于条件S的必然事件,简称必然事件.
在条件S下,______________的事件,叫做相对于条件S的不可能事件,简称不可能事件.
______________与______________统称为相对于条件S的确定事件,简称确定事件.
在条件S下______________的事件,叫做相对于条件S的随机事件,简称随机事件.
确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母表示.
（2）频率和概率
对于随机事件，知道它发生的可能性大小是非常重要的.用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们的决策提供关键性的依据.要获得随机事件发生的概率,最直接的方法就是进行试验（观察）.
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数,称事件A出现的比例______________为事件A出现的频率.
一般地，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间0,1］中的某个常数上.这个常数越接近于1,表明事件A发生的频率越大，频数就越多，也就是它发生的可能性越大；反过来，事件发生的可能性越小，频数就越小，这个常数也就越小.因此，我们可以用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小.
对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率随着试验次数的______________稳定于概率，因此可以用来估计概率.
注意：频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值，与试验次数有关.概率是一个确定的数，是客观存在的,与试验做没做、做多少次完全无关.
2．概率的意义
（1）概率的正确理解：随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机性中含有规律性.认识了这种随机性中的规律性,就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性.
（2）决策中的概率思想：如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计学中重要的统计思想方法之一.
3．概率的基本性质
（1）事件的关系与运算
①对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B),记作(或).与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：
不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件.
②如果__________，且__________，那么称事件B与事件A相等,记作.
③若某事件发生当且仅当__________________，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作（或）.与两个集合的并集类比,可用下图表示：
④若某事件发生当且仅当__________________，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）.与两个集合的交集类比,可用下图表示：
⑤若为_____________，即，那么称事件A与事件B互斥.其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生，可用下图表示：
⑥若为_____________，为_____________，那么称事件A与事件B互为对立事件.其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，可用下图表示：
（2）概率的几个基本性质
①由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0~1之间,从而任何事件的概率都在0~1之间,即__________________.
②在每次试验中，必然事件一定发生，因此它的频率为1，从而必然事件的概率为________.
③在每次试验中，不可能事件一定不出现，因此它的频率为0，从而不可能事件的概率为________.
④当事件A与事件B互斥时,发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和,从而的频率.则概率的加法公式为：如果事件A与事件B互斥，则_____________.
⑤若事件A与事件B互为对立事件,则为必然事件,.再由加法公式得_____________.
K知识参考答案：
1．（1）一定会发生一定不会发生必然事件不可能事件可能发生也可能不发生（2）
增加
3．（1）②③事件A发生或事件B发生④事件A发生且事件B发生⑤不可能事件
⑥不可能事件必然事件（2）①②1
③0
④
⑤
K—重点
频率与概率的区别与联系，事件间的关系，概率的加法公式
K—难点
频率与概率的区别与联系，互斥事件与对立事件的区别与联系
K—易错
在应用概率的加法公式时，不要忽略应用的前提是涉及的事件必须是互斥事件
一、事件类型的判断
判断一个事件的类型，即判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，先看条件，再看在该条件下所研究的事件是一定发生（必然事件）、不一定发生（随机事件），还是一定不发生（不可能事件），即可得到事件的类型.
【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
（1）某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军；
（2）某人给其朋友打电话,却忘记他朋友的电话号码的最后一个数字,就随意在键盘上按了一个数字,恰巧是他朋友的电话号码；
（3）同时掷两枚骰子,向上一面的两个点数之和为13；
（4）同时掷两枚骰子,向上一面的两个点数之和不小于2.
【解析】（1）（2）可能发生也可能不发生,是随机事件；
同时掷两枚骰子,向上一面的两个点数之和的范围是2,12],因此“向上一面的两个点数之和为13”不可能发生,因此（3）是不可能事件；
“向上一面的两个点数之和不小于2”一定发生,因此（4）是必然事件.
二、考查互斥事件、对立事件的概念
互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的,它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生,但不可能两个事件同时发生,也不可能两个事件同时不发生.所以两个事件互斥,它们未必对立；反之两个事件对立,它们一定互斥.
【例2】某商场有甲、乙两种电子产品可供顾客选购.记事件A为“只买甲产品”，事件B为“至少买一种产品”，事件C为“至多买一种产品”，事件D为“不买甲产品”，事件E为“一种产品也不买”.判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E.
【解析】利用互斥事件和对立事件的概念进行判断.
（1）由于事件C“至多买一种产品”中有可能只买甲产品，故事件A与事件C有可能同时发生，故事件A与C不是互斥事件.
（2）事件B“至少买一种产品”与事件E“一种产品也不买”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件.又由于事件B与E必有一个发生，所以事件B与E还是对立事件.
（3）事件B“至少买一种产品”中有可能买乙产品，即与事件D“不买甲产品”有可能同时发生，故事件B与D不是互斥事件.
（4）若顾客只买一种产品，则事件B“至少买一种产品”与事件C“至多买一种产品”就同时发生了，所以事件B与C不是互斥事件.
（5）若顾客一件产品也不买，则事件C“至多买一种产品”与事件E“一种产品也不买”就同时发生了，事实上事件C与E满足，所以二者不是互斥事件.
三、由频率估计随机事件的概率
随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算事件发生的概率.
【例3】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）
30
25
10
结算时间（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55％.
（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）
【解析】（1）由已知得，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均值估计，其估计值为(分钟).
（2）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，
“该顾客一次购物的结算时间为分钟”，
“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得.
是互斥事件，
.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
【名师点睛】本题考查概率、统计的基础知识，考查运算能力、分析问题的能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，知从而解得，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.
四、概率加法公式的应用
概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
求复杂事件的概率通常有两种方法：（1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.
【例4】如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
（1）求此人到达当日空气质量优良的概率;
（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率.
【解析】（1）在3月1日至3月13日这13天中,1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良,而此人任一天到达该地的概率为,所以此人到达当日空气质量优良的概率是.
（2）根据题意,事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”,所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.
【名师点睛】（1）先得出空气质量优良的天数,因为这个人哪一天到达该市的机会均等,故可用概率的加法公式求解；（2）先得出此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的天数即可求出此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率.
五、利用概率知识解决实际生活中的问题
利用概率知识解决生活中的问题，只要是考查概率与频率的关系及由样本数据估计总体的能力，可用样本的频率近似估计总体的概率，或由此列出方程求解.
【例5】某水产试验场实行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵化8513尾鱼苗，根据概率的定义解答下列问题：
（1）这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？
（2）30000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？
（3）要孵化5000尾鱼苗，大概得准备多少个鱼卵？(精确到个位)
【解析】（1）这种鱼卵的孵化概率.
（2）30000个鱼卵大约能孵化尾鱼苗.
（3）设大概需准备x个鱼卵，由题意知，所以(个).所以大概需准备5873个鱼卵.
六、忽略概率加法公式的应用前提致错
【例6】某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：
月收入
1000,
1500)
1500,2000)
2000,
2500)
2500,
3000)
概率
0.12
a
b
0.14
已知月收入在1000,3000)(元)范围内的概率为0.67,求月收入在1500,3000)(元)范围内的概率.
【错解】记这个商店月收入在1000,1500),1500,2000),2000,2500),2500,3000)
(元)范围内的事件分别为A,B,C,D,则月收入在1500,3000)(元)范围内的事件为B+C+D,所以P(B+C+D)=1-P(A)=0.88.
【错因分析】误用P(B+C+D)=1-P(A).事实上,本题中P(A)+P(B)+P(C)+P(D)≠1,故事件A与事件B+C+D并不是对立事件.
【正解】因为事件A,B,C,D互斥,且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.67,所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.
【名师点睛】在应用概率加法公式时，一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件.对于事件A，B，有，只有当事件A，B互斥时，等号才成立.
1．下列说法中正确的有：
①任何事件的概率总是在0,1]之间；
②概率是随机的,在试验前不能确定；
③频率是客观存在的,与试验次数无关；
④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.
A．①④B．②③C．①③④D．①②③④
2．10件产品中有8件正品，2件次品，从中随机地取出3件，则下列事件中是必然事件的为
A．3件都是正品B．至少有一件次品
C．3件都是次品D．至少有一件正品
3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,若事件“所取的3个球中至少有1个白球”,则事件的对立事件是
A．1个白球2个红球B．2个白球1个红球
C．3个球都是红球D．至少有一个红球
4．根据某医疗所的调查,某地区居民血型的分布为：O型50%,A型15%,AB型5%,B型30%.现有一血型为A型的感染了病毒的病人需要输血,若在该地区任选一人,那么能为该病人输血的概率为
A．0.15B．0.2
C．0.5D．0.65
5．我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒．则这批米内夹谷约为
A．134石B．169石
C．338石D．1365石
6．函数上是增函数是________事件.
7．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件为出现奇数点，事件为出现2点，已知，则出现奇数点或2点的概率为________.
8．对某厂生产的某种产品进行抽样检查,数据如下：
根据上表所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查 件产品.
9．在乒乓球比赛中,裁判员有时用抛硬币的方法来决定谁先发球,具体规则是：让两名运动员面对面站立,规定一名运动员得正面朝上胜,另一名运动员得反面朝上胜,然后裁判员抛掷硬币,指定获胜的运动员得到先发球权.你认为这个规则公平吗 请用概率的知识加以解释.
10．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C，其概率分别为, ,.
（1）求1张奖券中奖的概率；
（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
11．已知正三棱锥ABCD的所有棱长均相等，从此三棱锥6条棱的中点中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于
A．0B．C．D．1
12．已知40个同学，他们有的步行上学，有的骑车上学，还有的乘车上学.
（1）根据已知的信息，完成下表：
（2）试估计40个同学中任意一名同学不步行上学的概率.
13．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1
t该产品获利润500元，未售出的产品，每1
t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130
t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（1）将T表示为X的函数；
（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.
14．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球各若干个,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率是,试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
15．（2016天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
A．
B．
C．
D．
16．（2015陕西）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
（1）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（2）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.
17．（2014陕西）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额（元）
0
1000
2000
3000
4000
车辆数（辆）
500
130
100
150
120
（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.
1．A
【解析】频率是不能脱离试验次数的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值,故②③不正确.①④显然正确.
2．D
【解析】10件产品中有8件正品，2件次品，从中随机地取出3件，其中必有一件正品，则至少有一件正品是必然事件.
3．C
【解析】本题主要考查事件的对立事件的求法.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,若事件“所取的3个球中至少有1个白球”,则事件的对立事件是:所取的3个球中一个白球也没有,即3个球都是红球.故选C.
4．D
【解析】本题主要考查互斥事件的概率加法公式的应用.A型血或O型血的人能为A型血的人输血,所以该地区任选一人,能为该病人输血的概率为15%+50%=65%=0.65.故选D.
5．B
【解析】本题主要考查了频率和概率的关系以及概率的计算方法.依题意可得这批米内夹谷为石，故选B.
6．随机【解析】本题主要考查事件类型的判断.由指数函数的性质可知函数且）在定义域上是增函数是随机事件.
7．【解析】本题考查了互斥事件的概率加法公式.因为事件A与事件B是互斥事件，所以出现奇数点或2点的概率为.
8．1000
【解析】抽查的产品总件数为1150,合格品件数为1094,合格率为≈0.95,则大约需抽查950÷0.95=
1000件产品.
9．【解析】这个规则是公平的.因为硬币正面朝上与反面朝上是随机的,也就是说,每名运动员取得先发球权的概率都为0.5,所以这个规则是公平的.
10．【解析】（1）设D={1张奖券中奖}，A={1张奖券中特等奖}，
B={1张奖券中一等奖}，C={1张奖券中二等奖}，A,B,C两两互斥，
1张奖券中奖包括中特等奖、中一等奖、中二等奖三个事件，所以1张奖券中奖的概率为
.
（2）设E={1张奖券不中特等奖且不中一等奖}，可以用对立事件来解，
事件E的对立事件为“1张奖券中特等奖或中一等奖”，所以.
11．D
【解析】从三棱锥6条棱的中点中任意选3个点能组成两类三角形；一类是等边三角形，另一类是等腰三角形.若任意选3个点连成等边三角形，则剩下的3个点也是等边三角形，且它们全等；若任意选3个点连成等腰三角形，则剩下的3个点也是等腰三角形，且它们全等.这是必然事件，其概率为1.选D.
12．【解析】（1）步行的频数是15，频率是.
骑车的频数是10，则频率是.
乘车的频率是，则频数是.
补全表格如下表所示：
（2）不步行上学包括骑车和乘车两种情形，由（1）可估计其概率为.
13．【解析】（1）当X∈100,130)时，；
当X∈130,150]时，.
所以.
（2）由（1）知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.
14．【解析】从袋中任取一球,记“得到红球”、“得到黑球”、“得到黄球”、“得到绿球”分别为事件A,B,C,D,则事件A,B,C,D两两互斥.
根据题意有P(A)=,,，
.
把P(B),P(C),P(D)看成未知数,则可得方程组，解得.
即得到黑球、黄球、绿球的概率分别是.
15．A
【解析】甲不输的概率为选A.
16．【解析】（1）在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，得在4月份任取一天，西安市在该天不下雨的概率约为.
（2）称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如1日与2日，2日与3日等）.这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为.以频率估计概率，得运动会期间不下雨的概率约为.
17．【解析】（1）设表示事件“赔付金额为3000元”，表示事件“赔付金额为4000元”，且事件，是互斥事件.以频率估计概率得，，
由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为.
（2）设表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的车辆有（辆），而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的车辆有（辆），
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为，由频率估计概率得.