6.1平行四边形的性质
第2课时
学习目标：
1.能记住平行四边形的对角线互相平分．2.会用这一性质进行证明和计算．
重点和难点：
运用平行四边形的性质进行证明和计算．
学习过程：
一、阅读教材137-138页内容，解决下列问题：
1、阅读教材138页“平行四边形对角线互相平分”的证明过程，请仿照教材程，通过证明△AOD≌△COB来完成证明。
由此得到平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线
。
几何语言表示：∵四边形ABCD是平行四边形（已知）
∴AO=
=AC，BO=
=BD（平行四边形的对角线互相平分）
试一试：
在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，ΔAOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC和BD的和是________
二、合作探究学习
1.探究1：
如图，已知的周长为60
cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，求这个四边形各边长．
2.探究2：
已知：
如图，□ABCD
的对角
线
AC、BD
交予的点O，
经过点
O
的直线分别
交
BA
的延长线、
DC
的延长线于点
E，
F．
求证：
AE
=
CF．
3、探究3：
如图，在ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．
方法点拔：对于几何计算或证明，分析思路和方法是根本，本题既巩固平行四边形对角线互相平分的性质，又复习勾股定理和平行四边形面积计算的知识．
三.当堂检测：
1.
□ABCD中，对角线AC=8，BD=6，则边BC的取值范围是
；
2.如图在□ABCD中对角线AC、BD相交于点O。点E,F分别在AO，CO上，且AE＝CF。
求证：∠EBO＝∠FDO。
3.如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=90°，OA=6，OB=3.求AD和AC的长度.
4.如图，在中，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F．若的周长为48，DE=5，DF=6。求：AB、BC
四.反思小结
1.归纳一下，平行四边形有哪些性质？
（1）平行四边形是
图形，其对称中心是
.
（2）平行四边形的对边
，
（3）平行四边形的对角
.
（4）平行四边形的对角线
.
2．学到哪些思想方法？
3.还存在哪些困惑？
五.课后作业
1.教材139随堂练习、习题1-4题。
2.如图， ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，求DB′的长．第六章平行四边形检测题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A卷（100分）
一、选择题（每题3分）
1．如图，在ABCD中，下列结论错误的是（
）
A.∠ABD=∠BDC
B.∠BAD=∠BCD
C.AB=CD
D.AC⊥BD
2．下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（
）
A．AB=AD，BC=CD
B．∠A=∠C，∠B=∠D
C．AB∥CD，AB=CD
D．AB=CD，AD=BC
3．如图，为测量池塘边上两点A、B之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14米，那么A、B间的距离是（
）
A．18米
B．24米
C．30米
D．28米
4．若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（
）
A．10
B．9
C．8
D．6
5．如图，在□ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（
）
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
6．如图，在 ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF=3，则CD的长为（
）
A．3
B．6
C．8
D．12
7．A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD；这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共有（
）
A.3种
B.4种
C.5种
D.6种
8．在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A（0，0），B（5，0），D（2，3），则顶点C的坐标是（
）
A、（3，7）
B、（5，3）
C、（7，3）
D、（8，2）
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB=8，AC=12，则BD的长是（
）
A．16
B．18
C．20
D．22
10．如图，点P为□ABCD的边CD上一点，若△PAB、△PCD、△PBC的面积分别为S1、S2和S3，则它们之间的大小关系是（
）
A、S3＝S1＋S2
B、2S3＝S1＋S2
C、S3＞S1＋S2
D、S3＜S1＋S2
二、填空题（每题4分）
11．一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是
边形．
12． ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB=
．
13．如图， ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是
．
14．如图、在□ABCD中，AB=5,AD=3,AE平分∠DAB交BC的廷长线于点F,则CF=_________。
15．如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N．若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则△AOB的面积为
．
三、解答题（每题6分）
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．
（1）若AB=4，BC=6，求EC的长；
（2）若∠F=55°，求∠BAE和∠D的度数．
17．已知：如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，连接DE，DF，BE，BF．四边形DEBF为平行四边形．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
18．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数．
四、解答题（每题8分）
19．如图，在□ABCD中，E、F为对角线BD上的两点．
（1）若AE⊥BD，CF⊥BD，证明BE＝DF．
（2）若AE＝CF，能否说明BE＝DF？若能，请说明理由；若不能，请画出反例．
20．如图，在四边形ABCD中，AB=DC，P是对角线AC的中点，M是AD的中点，N是BC的中点．
（1）若AB=6，求PM的长；
（2）若∠PMN=20°，求∠MPN的度数．
五、解答题（每题10分）
21．如图， ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．
22．如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
B卷（50分）
一、填空题（每题4分）
23．如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝
。
24．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、
AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是
．
25．如图：在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F。若AE=4，AF=6，且□ABCD的周长为40，则ABCD的面积为
26．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为8cm，则平行四边形ABCD的周长为
．
27．如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了
米．
二、解答题（8分）
28．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D’处，折痕为EF.
(1)、求证：△ABE≌△AD’F;
(2)、连接CF,判断四边形AECF是否为平行四边形？请证明你的结论。
(3)、若AE=5，求四边形AECF的周长。
三、解答题（10分）
29．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm．点P从点A出发，以3cm／s的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以2cm／s的速度沿线段DC向点C运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P，Q停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）、求CD的长．
（2）、当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长．
（3）、当点P在折线BCD上运动时，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为16cm2？若存在，请求出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．
四、解答题（10分）
30．探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．
探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：
．
参考答案
（A卷）
一、选择题
1．D．
2．A．
3．D
4．C．
5．B
6．B
7．B
8．C
9．C
10．A
二、填空题
11．12
12．9.
13．1＜a＜7．
14．2
15．6.
三、解答题
16．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠1=∠2，
又∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=BE=4，
∴EC=BC﹣BE=6﹣4=2；
（2）∵AB∥CD，
∴∠3=∠F=55°，
∴∠1=∠3=55°，
在△ADF中，∠D=180°﹣∠1﹣∠F=70°．
17．证明：如图，连结BD交AC于点O．
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴OD=OB，OE=OF，
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，
∴AE+OE=CF+OF，即OA=OC
∴四边形ABCD是平行四边形．
18．解：设多边形的边数为x
∵多边形的外角和是360°，内角和的度数比外角和的度数的4倍多180度，
∴可得方程（n-2）180°=4×360°+180°
解得x=11．
多边形的边数为11．
内角和度数为：（11-2）×180°=1620°．
四、解答题
19．（1）证明：∵ABCD为平行四边形
∴AB=CD
AB∥CD
∴∠ABE=∠CDF
∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=90°
∴△ABE≌△CDF（AAS）
∴BE=DF
（2）、不能
20．解：（1）∵AB=DC，AB=6，
∴DC=6，
∵点P是AC的中点，点M是AD的中点，
∴PM=DC=×6=3；
（2）∵点P是AC的中点，点N是BC的中点，
∴PN=BC，
∵AB=DC，
∴PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN=20°，
∴∠MPN=180°-∠PMN-∠PNM=140°．
五、解答题
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∴∠ODF=∠OBE，
在△ODF与△OBE中
∴△ODF≌△OBE（AAS）
∴BO=DO；
（2）解：∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=45°，
∴∠DBA=∠A=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠G=∠A=45°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴DF⊥OG，
∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，
∵△ODF≌△OBE（AAS）
∴OE=OF，
∴GF=OF=OE，
即2FG=EF，
∵△DFG是等腰直角三角形，
∴DF=FG=1，∴DG==DO，
∴在等腰RT△ADB
中，DB=2DO=2=AD
∴AD=2，
22．（1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，
∴DO=DA，
∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，
∴∠AEO=60°，
又∵△OBC为等边三角形，
∴∠BCO=∠AEO=60°，
∴BC∥AE，
∵∠BAO=∠COA=90°，
∴CO∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8﹣x，
在Rt△ABO中，
∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8，
∴AB=BO=4
∴OA =BO -AB =8 -4 =48
在Rt△OAG中，OG +OA =AG ，
x +48=（8﹣x） ，
解得：x=1，
∴OG=1．
（B卷）
一、填空题
23．360°．
24．11.
25．48
26．16cm.
27．90
二、解答题
28．解：(1)、∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD，∠B=∠D，AD∥BC
又∵点C与点A重合，点D落在点D′处
∴CD=AD′
即AB=AD′
∵AD∥BC
∴∠BEA=∠EAD
又∵D′F∥AE
∴∠EAD=∠D′FA
∴∠BEA=∠D′FA
∴△ABE≌△AD′F(AAS)
连接CF，四边形AECF为平行四边形
由(1)得：△ABE≌△AD′F
∴AE=AF
根据折叠可得：AE=EC
∴AF=EC
又∵四边形ABCD′是平行四边形
∴BC∥AD′
∴AF∥EC
∴四边形AECF为平行四边形
(3)、∵AE=EC
AE=5
∴四边形AECF的周长=2(AE+EC)=2×(5+5)=20.
三、解答题
29．解：（1）、过点A作AM∥BC交DC于M（如图）
∵AB∥CD，
∴四边形ABCM是平行四边形．
∴MC＝AB＝10cm，AM＝BC＝8cm．
∵∠BCD＝90°，∴∠AMD＝90°．
∵AD＝10cm，
∴DM＝＝＝6（cm）．
∴CD＝DM＋MC＝10cm＋6cm＝16cm．
（2）、当四边形PBQD为平行四边形时，PB∥DQ且PB＝DQ．
∵点Q在DC上，∴点P在AB上（如图）．
∴0＜t＜．
由题意得PB＝（10－3t）cm，DQ＝2t（cm），
∴10－3t＝2t．解得t＝2（符合题意）．
此时DQ＝4
cm，
∴QC＝12
cm．
∴BQ＝＝＝4（cm）．
∴四边形PBQD的周长＝2（BQ＋DQ）＝（8＋8）cm．
（3）、分以下三种情况讨论：
①若点P在线段BC上（如图），则＜t≤6．
此时BP＝3t－10，CQ＝16－2t，
由S△BPQ＝BP CQ＝（3t－10）（16－2t）＝16，
得3t2－34t＋96＝0．
∵△＝（－34）2－4×3×96＝4，
∴t＝
eq
\f(＋34±,2×3)＝．
∴t＝6或（符合题意）．
②若点P在线段CD上，且点P在点Q的右侧（如图），则6≤t＜．
此时QP＝34－5t．
由S△BPQ＝QP BC＝（34－5t）×8＝16，
解得t＝6（符合题意）．
③若点P在线段CD上，且点P在点Q的左侧（如图），则＜t≤8．
此时PQ＝5t－34．
由S△BPQ＝PQ BC＝（5t－34）×8＝16，
解得t＝（符合题意）．
综上，存在符合题意的时刻，即t的值为，或6，或．
四、解答题
30．解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，
=180°﹣（∠ADC+∠ACD），
=180°﹣（180°﹣∠A），
=90°+∠A；
探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣∠ADC﹣∠BCD，
=180°﹣（∠ADC+∠BCD），
=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B），
=（∠A+∠B）；
探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2） 180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠P=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，
=180°﹣（∠ADC+∠ACD），
=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），
=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，
即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
P
A
B
Q
C
D第六章
平行四边形
回顾与思考
学习目标
1.平行四边形的性质和判定及其应用
2.三角形的中位线定理及应用
3.多边形内角和与外角和定理及应用
重点和难点：
重点是平行四边形的性质和判定、三角形的中位线定理、多边形内角和与外角和定理，难点是上述定理的综合应用。
知识结构大梳理
一、平行四边形的定义及性质
知识点1 平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形是
。
知识点2 平行四边形的性质（边，角，对角线，对称性）
（1）边的性质：平行四边形的对边
。
（2）角的性质：平行四边形的对角
。
（3）对角线的性质：平行四边形的对角线
。
（4）平行四边形是
对称图形。
二、平行四边形的判定:
知识点1 平行四边形的判定
（1）两组对边分别
的四边形是平行四边形（定义）。
（2）两组对边分别
的四边形是平行四边形。
（3）一组对边
的四边形是平行四边形。
（4）对角线
的四边形是平行四边形。
（注意：一组对边平行，另一组对边相等时，不一定是平行四边形。相邻的两组边相等的四边形不一定是平行四边形）
知识点2 两条平行线间的距离的定义
若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为
，实际上平行线间的距离处处
。
三、三角形的中位线
1、三角形中位线的定义：连接三角线两边中点的线段叫做三角形的
。
2、三角形中位线定理：三角形的中位线
于三角线的第三边，且
第三边的一半。
四、多边形的内角与外角和
1、多边形的内角和定理：n变形的内角和等于
（n≥3） 。
2、多边形的外角和定理：多边形的外角和等于
。
名师方法巧点拔
（1）平行四边形与三角形（尤其全等三角形）紧密相关，通过转化思想，常常将四边形转化为三角形进行研究。
（2）运用全等三角形及平行四边形的性质可以证明线段或角相等，在证明线段或角相等时，若证明的线段或角在两个三角形中，则可以证明线段或角所在的三角形全等(若三角形不存在，可以连结辅助线构造全等三角形)。若证明的线段或角在四边形中且所证线段或角是四边形的对边或对角，则可证明该四边形是平行四边形。
（3）平行四边形的判定可根据边：
也可根据对角线
（4）遇到三角形的中点时常用辅助线是
（5）运用平行线间的距离处处相等这一定理及等底等高的两个三角形的面积相等的知识常常可解决有关等积形的问题
重难点突破追踪
知识点一:平行四边形的定义及性质
如图，分别以ABCD的边BC、CD为边向形外作等边三角形BCP和CDQ.
求证：△APQ是等边三角形.
分析：要证△APQ是等边三角形，只需证AP=AQ=PQ，只需证△ABP≌△QDA≌△QCP即可.
方法点拔：构造三角形全等及平行四边形是证明线段相等或角相等常用的方法。
跟踪训练：
（2012浙江杭州）已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=（
）
A．18° B．36° C．72° D．144°
2. （2012四川自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（
）
A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4
3. （2012山东泰安）如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（
）
A．53° B．37° C．47° D．123°
4. （2012广西南宁）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是
5.（2013黑龙江省哈尔滨市）如图，平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为
．
6.（2012湖南永州）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为
．
7.
（2013 徐州）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC交AB于点E，BF平分∠ABC，交CD于点F．
（1）求证：DE=BF；
（2）连接EF，写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）
知识点2： 平行四边形的判定
如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，
求证：四边形DEBF是平行四边形．
方法点拔：要证四边形是平行四边形，应观察：两组对边是否相等（平行）、或一组对边是否平行且相等、对角线是否相互平分，进而转发为证明线段相等或平行，利用全等三角形即可完成。
跟踪训练：
1.（2012四川巴中）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是(
)
A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行，另一组对边相等
C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别相等
2．(2013湖北荆门)四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC ②AD＝BC ③OA＝OC ④OB＝OD 从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有(
)
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
3.（2013四川泸州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（
）
A．AB//DC，AD//BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C.AO＝CO，BO＝DO
D．AB//DC，AD＝BC
4.
（2011 泸州）如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．
3.（2014 泰州）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．
4.
（
2014 广西贺州）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．
（1）求证：BE=DF；
（2）求证：AF∥CE．
5.（2013甘肃兰州）如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
知识点3：三角形的中位线
如图，四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AB=CD,直线EF与直线CD、BA分别交于点M、N
求证：∠1=∠2
方法点拔：遇到三角形或四边行中边的中点时，常常连接中点，利用三角形的中位线定理解决问题；本题还渗透了了转化思想。
跟踪训练：
1.
三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是
.
2.（2012湖南怀化3分）如图，在 ABCD中，AD=8，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=
.
3.
如图，D、E、F分别为△ABC三边上的中点，G为AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点，则PQ∶BE＝
.
4.如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2008个三角形的周长为（
）
A、
B、
C、
D、
5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，EF∥AB交BC于F，若EF=3，求AB的长.
知识点4：多边形的内角和与外角和定理
1．（2013·泰安）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于（ ）
A．90° B．180° C．210° D．270°
2.（2014浙江宁波）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（
）
A.5
B．6
C．7
D．8
3.（2013江苏扬州）一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（
）
A．七边形 B． 六边形 C．五边形 D．四边形
4.（2013广东湛江）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ）
四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
5.（2013湖南郴州）已知一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是
．
6．（2013湖南娄底）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是
．6.4多边形的内角和与外角和
第二课时
学习目标:
能说出多边形的外角的概念，能记住多边形的外角和定理，并能用多边形的外角和定理解决问题。
重点和难点：
多边形的外角和定理的探索和应用．
学习过程：
一、阅读教材155-156页，回答下列问题。
1.多边形的外角的概念
多边形内角的一边与另一边的
所组成的角叫做这个多边形的外角。多边形的一个外角与它相邻的内角的关系是
。
2.多边形的外角和的概念
在每个顶点处取这个多边形的
外角，它们的和叫做这个多边形的
。
3.多边形的外角和定理
教材155页以五边形为例，推导了多边形的外角和定理，基本思路是用内、外角的总和减去内角和得到外角和，你能仿照教材上的方法，从六边形上推导出这个结论吗？
我们可以推断，在其它多边形上仍然存在这个结论.
于是我们得到多边形的外角和定理:
。
试一试：
若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是_______边形．
4.正多边形的每个外角的度数
正n边形的每一个外角都等于
.
试一试：
（1）若正n边形的一个外角为60°,则n的值是(
)
A.4
B.5
C.6
D.8
（2）正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______．
二.合作探究学习
探究1：
1.
一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是 ．
方法点拔：根据题意建立方程是解决多边形內外角和问题常用的方法。
2.探究2：
一个正多边形的一个内角比相邻的外角大36 ，求这个正多边形的边数.
3.探究3：拓展
多边形的内角和与其一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数．
三、当堂检测：
1、一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是（
）边形
A.7
B.6
C.5
D.4
2、一个正多边形，它的一个外角等于它的相邻的内角的，则这个多边形是（
）．
A．正十二边形
B．
正十边形
C．正八边形
D．正六边形
3.
下列命题：① 多边形的外角和小于内角和②三角形的内角和等于外角和③多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和④四边形的内角和等于它的外角和.其中正确的有
（
）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
4.在四边形中，、、、的度数之比为2∶3∶4∶3，则的外角等于（
）
A.60°
B.75°
C.90°
D.120°?
5．正五边形内角和为______度，每个内角为______，每个外角为____
6、一个多边形的每个外角都是120°，则这个多边形是_________形.
7、一个多边形的内角和与外角和为540°，则它是
形。
8．若n边形的内角和与外角和之比为9：2，求该多边形的边数．
9、一个多边形的每一个外角都相等，且内角和为2880°，求它的外角的度数.
四、课堂小结
1.本节课学到哪些知识？
2.在数学思想方法上你有什么收获？
3.你还有哪些困惑？
五、课后作业：
1.教材156页随堂练习，157页习题1-5题。
2.补充：如果一个多边形的每一个外角都是锐角，请推断该多边形的边数最小是多少？6.2平行四边形的判定
第二课时
学习目标：
1.能记住用对角线判定平行四边形的方法。2.运用平行四边形的判定方法解决问题。
重点和难点：
平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．
学习过程：
一、阅读教材143-144页的内容，解答下列回题：
1.教材143通过木条实验猜想、并证明了“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”。你能用另一种方法证明此定理吗？
由此得到平行四边形的判定定理3：
的四边形是平行四边形。
用几何语言表示：∵
=
，
=
∴四边形ABCD是平行四边形；
试一试：
四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（
）．
A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形;
B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形;
C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;
D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形
2.补充：两组对角相等的四边形是平行四边形吗？若是，请给出证明。
由此得到平行四边形的判定定理4：
的四边形是平行四边形。
用几何语言表示：∵
=
，
=
∴四边形ABCD是平行四边形；
试一试：
具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（
）．
A．相邻的角互补
B．两组对角分别相等
C．一组对边平行，另一组对边相等
D．对角线交点是两对角线中点
二、合作探究学习
1.探究1
如图所示，D为△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB．
求证：BD+CF=AB．
2.探究2
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作两条直线分别与AB，BC，CD，AD交于G，F，H，E四点。
求证：四边形EGFH是平行四边形。
3.探究3
如图，在
△ABC中，AD是BC边上的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF。
证明：
三、当堂检测
1.在四边形ABCD中，AC交BD交于点O，若OC=
且0D=
，则四边形ABCD是平行四边形。
2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(
)
A.
AB∥CD，AD∥BC
B.
OA=OC，OB=OD
C.
AD=BC，AB∥CD
D.
AB=CD，AD=BC
3.下列说法不正确的是（
）．
A．一组对边平行且相等的四边形
B．两组对边分别相等的四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相平分的四边形
4.
能够判定一个四边形是平行四边形的条件是
(
)
A.
一组对角相等
B.
两条对角线互相平分
C.
两条对角线互相垂直
D.
一对邻角的和为180°
5.
四边形ABCD中,AD∥BC,要判定ABCD是平行四边形,那么还需满足
(
)
A.
∠A+∠C=180°
B.
∠B+∠D=180°
C.
∠A+∠B=180°
D.
∠A+∠D=180°
6.如图所示，在ABCD中，E,F分别是对角线BD上的两点，且BE=DF，要证明四边形AECF是平行四边形，最简单的方法是根据
来证明.
7.已知如图，O为ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD
交于F.
求证：四边形AECF是平行四边形。
四.课堂小结
1.本节课学到哪些知识？
2.本节课在数学思想方法上有什么体会？
五.课后作业
1.第144页随堂练习，第145页习题1-3题
2.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）请连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．
3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造 PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标．
（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形．6.1平行四边形的性质
第1课时
学习目标：
1.能记住平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
2.会用平行四边形的性质进行计算和证明．
重点和难点：
运用平行四边形的性质进行证明．
学习过程：
一.阅读教材135-136页的内容，回答下列问题。
1.平行四边形的定义
的四边形叫平行四边形。
几何语言表示：∵AB∥CD,AD∥BC，∴四边形ABCD是
。反之，∵四边形ABCD是平行四边形，∴
。
2.平行四边形表示方法
如图，四边形ABCD是平行四边形，记作
、读作
。
其中线段BD叫做
。
3.
平行四边形的对称性
在纸上画两个全等的□ABCD和□EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将□ABCD绕点O旋转180 ，观察发现它还和□EFGH
。
由此可知:
平行四边形是
图形，其对称中心是
。
4.
平行四边形性质定理
我们还可以猜想：平行四边形对边相等，平行四边形对角相等。怎样证明呢？
教材136页给出了平行四边形对边相等的证明过程，其主要的思路是通过连接对角线，转化为三角形全等进行证明。请你按此思路完成下面完证明“平行四边形对角相等”的过程。
证明：
于是，我们得到平行四边形的性质定理：
平行四边形性质定理1：平行四边形对边
；
平行四边形性质定理2：平行四边形对角
。
几何语言表示：（1）∵□ABCD
∴ =
， =
；
（2）∵□ABCD
∴∠ =∠
，∠ =∠
；
试一试：
（1）如图，□
ABCD的周长为16cm,AB=3cm,
∠1=400，则BC=
,
CD=
,
AD=
,
∠2=
.
（2）□
ABCD中，∠A=700，则∠B=
，∠C=
，∠D=
.
二、合作探究学习：
1.探究1：
四边形
ABCD是平行四边形，AD=30，DC=25，∠B=56°
（1）求∠ACD和∠BCD的度数；
（2）AB和BC的长度.
2.探究2：
已知如下图，在ABCD中，AC与BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE=CF．求证：BE=DF．
方法点拔:在证明线段或角相等时，往往可以证明线段或角所在的三角形全等，若三角形不存在，可以连结辅助线构造全等三角形;探究平行四边形时，常将四边形转化为三角形进行研究。
3.探究3：
如图，四边形ABCD是平行四边形,AE平分∠BAC
，DF平分∠ADC
，AB=4,AD=7.
求EF的长。
三、当堂检测：
1．在□ABCD中，已知对角线AC=3cm，若△ABC的周长为8cm，则平行四边形的周长（
）
A．5cm
B．10cm
C．16cm
D．11cm
2．如图，在□ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E，若AB=10，AD=16，则BE为（
）
A．10
B．16
C．6
D．13
3．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝2：3，则∠B＝
，∠C＝
，∠D＝
．
4.已知：如图，在□ABCD
中，E，F分别是边BC
和AD
上的点，AE∥CF，求证：BE
=
DF．
四、课堂小结
1、本堂课你学到哪些知识？
2．本堂课你学哪些数学思想方法？
3.你还有哪些困惑？
五、课后作业
1.教材137习题1-4题。
2.补充题：如图P是等边△ABC内一点，PD∥BC,PE∥AB,PF∥AC,
△ABC的边长为5，则PD+PE+PF=
3.补充题：已知，如图4，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD和延长线上取点E，使DE＝DC，连接AE、BD。
（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连结AF，求∠AFE的度数。6.4多边形的内角和与外角和
第一课时
学习目标:
能记住多边形的内角和公式，会用内角和公式讲行推理和计算.
重点和难点：
多边形的内角和.
学习过程：
一.阅读教材153-154页，回答下列问题。
1.多边形的内角和定理的探索。
观察教材153页中的图6-22，从五边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个五边形分割成
个三角形，每个三角形的内角和为
度，这个五边形的五个内角的和恰好是这
个三角形内角和的总和，也就是
度。
若是从六边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个六边形分割成
个三角形，每个三角形的内角和为
度，这个六边形的六个内角的和恰好是这
个三角形内角和的总和，也就是
度。
若是从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分割成
个三角形，每个三角形的内角和为
度，这个n边形的n个内角的和恰好是这
个三角形内角和的总和，也就是
度。
于是我们得到多边形内角和定理：n边形的内角和等于
。
通过图6-23也可以推导多边形内角和定理，连接n边形内一点和各顶点，可把n边形分割成
个三角形，此时n边形的内角和等于所有三角形的内角和的总和再减去中心的360度，即
-
=
-
=
；
试一试：
请利用多边形内角和公式计算：
n边形
3
4
5
6
7
8
内角和
2.正多边形每个内角的度数。
因为正多边形每个内角都相等，所以每个内角的度数等于内角和除以内角个数，即
正n边形的内角和=
试一试：
正n边形
3
4
5
6
7
8
每个内角的度数
二.合作探究学习
1.探究1：
已知一个多边形的内角和是1080°，求这个多边形的边数．
2.探究2：
已知多边形的每个内角都等于150°，求这个多边形的边数？
思考：解决这个问题的关键是什么？
3.探究3：
如图所示的模板,按规定,AB,CD的延长线相交成80°的角,因交点不在板上,不便测量，质检员测得∠BAE=122°，∠DCF=155°如果你是质检员,如何知道模板是否合格 为什么
三、当堂检测：
1.n边形的内角和等于__________，九边形的内角和等于
，一个多边形的内角和是1440度，那么这是
边形。
2.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（
）
A:360°
B:540°
C:720°
D:900°
3.下列角度中,不能成为多边形内角和的是(
)
A.600°
B.720°
C.900°
D.1080°
4.四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,则∠B+∠D=
.
5.四边形的三个内角分别是76°,88°,60°,则第四个角是（ ）
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．平角
6.四边形的四个内角的度数比为1∶3∶4∶2，则四个内角的度数分别为___________.
7.一个正多边形其周长为96，且内角和为1800°则这个多边形的边长为
。
8.如果一个多边形的边数增加1，那么这个多边形的内角和增加
度？若将n边形的边数增加1倍，则它的内角和增加
度？
9、剪掉一张长方形的一个角后，纸片还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？与同伴交流.
四、课堂小结
1.本节课学到哪些知识？
2.在数学思想方法上你有什么收获？
3.你还有哪些困惑？
五、课后作业：
1.教材154页随堂练习，155页习题1-4题。
2.
补充：求下列图形中x的值：
3.补充：如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．6.3
平行四边形的判定
第3课时
学习目标：
能说出什么是平行线之间的距离；能综合运用平行线的性质和判定进行证明和计算。
重点和难点：
平行四边形性质和判定的综合运用。
学习过程：
一.阅读教材146页-147页，回答下列问题：
1.
平行线间的距离
已知直线a∥b,A、B是直线a上任意两点，垂足分别为C、D，那么AC与BD
是否相等？
由上面的结论可得：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离
，这个距离称为
。
由上面的证明可知：平行线间的距离处处相等。
用几何语言表示：∵
//
,____⊥_____,____⊥____
∴
=
；
试一试：
如图，方格纸中每个最小正方形的边长为1，则两平行直线AB、CD之间的距离是
。
2.两条平行线之间的平行线段是否相等？
已知：已知直线a∥b，AC∥BD
求证：AC=BD.
证明：
于是我们得到结论：两条平行线所夹的平行线段相等。
用几何语言表示：∵
//
,_____
//_____
∴
=
3.阅读教材146页做一做，此题是平行四边行判定的运用。要在方格纸上画平行四边形，我们既可以从边入手（两组对边
，或两组对边
，或一组对边
），也可以从对角线入手（对角线
），还可以从角入手（两组对角
）。
二.合作探究学习
1.探究1
如图，直线m∥n，思考：△ABC与△ABD面积相等吗？为什么？图中还有没有面积相等的三角形？
试一试：
如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，求△ACE的面积。
方法点拔：等底等高的两个三角形的面积相等，运用这一知识可使有些几何证明很简单。
2.探究2
如图，在□ABCD中，点M，N分别在AD和BC上，点E,F在BD上，且DM=BN,DF=BE.
求证：四边形MENF是平行四边形。
方法点拔：要证明四边形MENF是平行四边形，观察可以发现，最方便是从边上入手，而边相等或边平行可由证三角形全等来得到，而□ABCD恰好可以提供证明三角形全等条件。
三.当堂检测
1.如图，a∥b，点P在直线a上，点A，B，C都在直线b上，PA⊥AC，且PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，则直线a，b间的距离为
。
2.已知点E、F分别在长方形ABCD的边AB、CD上，且AF//CE,AB=3,AD=5,那么平行线AE与CF的距离是
。
3.已知一点到两条平行线的距离分别是1cm和4cm，则这两条平行线之间的距离是
。
4.如图，直线AB//CD,P是AB上的动点，当点P的位置变化时，△PCD的面积将（
）
A．变大
B．不变C．变小
D．变大变小要看P向左还是向右移动
5.
如图，已知：四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF，∠BAC=DCA.求证：四边形ABCD是平行四边形.
四.课堂小结
1.本节课学到哪些知识？
2.你还有哪些困惑？
五.课后作业
1.教材147页随堂练习，148-149页习题1-5题。
2.补充题：
如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、AB上的点，且BE=DF,
BE、DF交于点O，
求证：OC平分∠BOD.
3.我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．试说明直线AE是“好线”的理由；6.2平行四边形的判定
第一课时
学习目标：
1.能说出用边来判定平行四边形的方法有哪些。2.会运用这些判定方法解决问题。
重点和难点：
平行四边形的判定方法及运用。
学习过程：
一、阅读教材140-141页，解答下列问题：
1.首先，平行四边形可以用它的定义来判定，即
的四边形是平行四边形。
几何语言表示：∵
∴
。
2.平行四边形判定定理1
教材140页通过木条实验，猜想“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，教材给出了一种证明方法，基本思路是通过连接对角线，利用三角形全等问题来得到角相等，再由角相等得到线平行，请仿照教材，连接对角线AC来完成证明。
已知：AB=CD,AD=BC
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：
于是我们得到平行四边形判定定理1：两组对边__________的四边形是平行四边形。
几何语言表示：∵
=
，
=
∴
；
试一试：
在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,,则,.
2.
平行四边形判定定理2
教材141页证明了“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，请用另一种方法证明这个定理
已知：AB∥CD,AB=CD
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：
于是我们得到平行四边形判定定理2：一组对边
的四边形是平行四边形。
几何语言表示：
∵
//
，
=
∴
试一试：
在四边形ABCD中，AB=CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可以添加的条件是
。
二、合作探究学习
1.探究1：
如图，在四边形ABCD中，,且AD=BC,
求证：四边形ABCD是平行四边形。
方法点拔：
要证四边形是平行四边形，应观察：两组对边是否相等（平行）、或一组对边是否平行且相等，进而转发为证明线段相等或平行，然后利用全等三角形即可完成。
2.探究2：
已知:如图，在ABCD中，点E，F分别在AB和CD上，AE=CF.求证：四边形DEBF是平行四边形.
3.探究3：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．
（1）求证：BE=DF；
求证：AF∥CE．
方法点拔：对于平行四边形的性质和判定的综合运用，第一个平行四边形的性质所得的边相等（或角相等）作为判定第二个四边形是平行四边形的条件。
三.当堂检测
1.学行四边形后，小明同学回家用细木棒钉制了一个，第二天他拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示，可有的同学不服气，认为小明做的不是平行四边形，于是小明用刻度尺量了量四边形的边，数据如图所示（单位：cm），于是小明底气十足的说：“我的四边形一定是平行四边形。”他的根据是：
。
2.下列几个条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是（
）
A.
两组对边分别相等
B.一组对边平行且相等
C.两组对边分别平行
D.
一组对边相等，另一组对边平行
3．能够判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（
）．
A．AB∥CD，AD=BC
B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC
D．AB=AD，CB=CD
4.
已知：如图，在ABCD中，E，F分别为AD和CB的中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.
5.如图，已知AC是□ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，
求证：四边形BMDN是平行四边形.
四.课堂小结
1.从边上判定四边形是平行四边形的方法有哪些？
2.你学到哪些解决数学问题的方法？
3.你还有什么困惑？
五.课后作业
1.教材142-143页的随堂练习1-2题，习题1-3题。
2.如图，△DAB、△EBC、△FAC都是等边三角形，试说明四边形AFED是平行四边形．6.3三角形的中位线
学习目标：
能说出三角形中位线的概念，能记住三角形中位线定理。
会运用三角形中位线定理解决问题。
重点和难点：
三角形中位线定理的应用。
学习过程：
一.阅读教材150-151页的内容，回答下列问题：
1.三角形的中位线的定义：连结三角形两边中点的线段叫做
．
试一试：
（1）如图，在ABC中，D为AB的中点，E为AC的中点，则线段_____是ABC的中位线.
线段
是ABC的中线.
（2）思考：三角形的中位线与三角形的中线有什么区别
三角形的中位线是连结
的线段
三角形的中线是连结
的线段
2.
通过剪纸我们猜想：三角形的中位线
第三边，并且等于
。
你能证明这个猜想吗？
已知：在△ABC
中，DE是△ABC
的中位线，
求证：DE
∥
BC
且
证明：
方法点拔：通过倍长中位线，构造三角形全等，进一步判定平行四边形DBCF，从而证明结论。
于是我们得到三角形的中位线定理：三角形的中位线
第三边，并且等于
。
用几何语言表示这个定理：
∵
，∴
且
；
试一试：
1、如图所示，EF是△ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_______cm．
2．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为______．
3．已知：三角形的各边分别为8cm
、10cm和12cm
，求连结各边中点所成三角形的周长．
二.合作探究学习：
1.探究1：
已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．
求证：四边形DFGE是平行四边形．
2.探究2：
如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，并与同伴交流。
结论：连接四边形四条边中点所得的四边形是
。
3.探究3：
已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．求证：OG=OH．
方法点拔：遇到线段中点时，常用辅助线是连接中点，构造三角形中位线，用中位线定理可解决问题。（作三角形中线并延长其中线长也是常用方法）。
三.当堂检测
1.
如图，EF∥GH∥MN，AE=EG=GM=MB，GH=4，则EF=______，BC=________．
2.三角形的三边长分别为6cm、8cm、10cm,则它的中位线构成的三角形的周长与面积分别为
和
.
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则连结两条直角边中点的线段长为_______．
4.等腰三角形的两条中位线长分别是3和4,则它的周长是_______.
5、如图,在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（
）
A．10
B．20
C．30
D．40
6.
已知.如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB．求证.OE∥BC且OE=1/2BC．
7.如图，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作两个等边△ABM和△CAN．D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，FE，求证：DE=EF．
8.已知△ABC的周长为1，连结△ABC的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（
）
、
B、
C、
D、
四.课堂小结：
1.本节课主要学到哪些知识？
2.我还有哪些困惑？
五.课外作业
1.教材152页随堂练习1-2题，习题1-4题。
2.
如图，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=BD．
3.如图，小红作出了边长为1的第1个正三角形△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2B2C2，作出了第二个正三角形△A2B2C2，算出第2个正△A2B2C2的面积，用同样的方法作出了第3个正△A3B3C3，算出第3个正△A3B3C3的面积，依此方法作下去，由此可得第n次作出的正△AnBnCn的面积是_______．
