4.1因式分解
学习目标：
1.能记住因式分解的概念；
2.
认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形）；
重点和难点：
理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法；
学习过程：
一、阅读教材92-94页的内容，请回答以下问题：
1.我们知道乘法分配律的字母公式是：，
那么：
，如：
＝
；
＝
；我们发现解决问题的关键是把把我们所熟悉的乘法分配律公式进行了逆用，从而把一个数式化成了几个数乘积的形式。
2.试一试
把化作几个整式的乘积形式。请写出您的分析与解答：
3.把一个多项式化成
的
的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式。
二、合作探究学习
1.探究1：
下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？请说明理由，与同桌进行交流。
（1）
（2）
（3）
（4）
2.探究2：
计算左边下列各式，再把右边各式进行因式分解。
（1）
，则（
）（
）；
（2）
，则（
）（
）；
（3）
，则（
）（
）；
想一想，因式分解与整式乘法有什么关系？
3.
探究3：拓展
当为何值时，有一个因式为？
请写出您的分析与解答：
三、当堂检测：
1.下列程式从左到右的变形为因式分解的是（
）
A．
B.
C.
D.
2.能被整除吗？能被整除吗？
3.在下列各式的右边的括号内填上适当的数或式子，使等式成立：
（1）（
）
（2）（
）
（3）（
）
（4）（
）
四、课堂小结：
因式分解要注意什么？
五、课后作业：
1.教材94页习题4.1
1-5题
2.已知关于的二次三项式，则＝
，＝
；4.3公式法（2）
学习目标：
把握完全平方公式特征，会运用完全平方公式进行因式分解；
重点和难点：
利用整体思想进行因式分解；
学习过程：
一、阅读教材101-103页的内容，请回答以下问题：
1.形如
的式子称为完全平方式，它只有
个
号的平方项，中间是平方项底数积的
倍；简称：首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号看前方。
2.试一试，把下列各式填上适当的项，配成完全平方式：
（1）
；
（2）
；（3）
；
并把因式分解＝
，与同桌交流是怎么完成的。
3.
，
；
二、合作探究学习
1.探究1：因式分解：
（1）；
（2）
；
（3）；
2.探究2：因式分解：
（1）
；
（2）
3.探究3：已知、、为的三边，且满足
，试判断的形状。
三、当堂检测：
1.教材102页随堂练习1－2题
2.利用因式分解进行简便运算：
（1）
（2）
3.已知，则的值为
；
四、课堂小结：
能用完全平方公式分解因式的多项式的特征是什么？
五、课后作业：
1.教材100页习题4.5
1－2题。
2.下列多项式中，不能用完全平方公式因式分解的是（
）
A.
B.
C.
D.
3.因式分解：
；
4.李明想把多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方式，请你帮他想一想，加上的单项式可以是
；（请填上一个你认为正确的即可）。
5.解答下列各题
（1）已知，求、的值；
（2）已知、、为的三边，且满足
，求证：
.※4.4十字相乘法
学习目标：
把握十字相乘法特征，会运用十字相乘法进行因式分解；
重点和难点：
理解十字相乘法，并能利用十字相乘法进行因式分解；
学习过程：
一、阅读以下材料，理解什么是十字相乘法：
把分解因式时：
1、如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数P的符号相同
2、如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数P的符号相同
3、对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数P
如：
分析：
口诀：拆两头，凑中间。
试一试：请把下列二次三项式分解因式：
（1）
（2）
二、合作探究学习
1.探究1：二次项系数不为1的二次三项式
（1）
（2）
（3）
注：当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同。
2.探究2：解方程
3.因式分解：
三、当堂检测：
分解因式：
（1）
（2）
（3）
四、课堂小结：十字相乘法：
（1）二次项系数为1时：
（2）二次系数不为1时：
五、课后作业：
1.若因式分解的结果为，则（，）在坐标平面上第（
）象限。
A.
一
B.
二
C.
三
D.
四
2.如果，那么，的值为（
）
A.
,
B.
,
C.
,
D.
,
3.分解因式：
（1）
（2）
（3）4.2提取公因式（2）
学习目标：
让学生会确定多项式中各项的公因式，会用整体思想提公因式法进行因式分解；
重点和难点：
当公因式是多项式时，利用整体思想进行因式分解；
学习过程：
一、阅读教材97-98页的内容，请回答以下问题：
1.自己回顾一下什么是公因式？并指出下列各组多项式的公因式：
（1）和
（2）和
解：公因式是：
解：公因式是：
2.请在下列各式符号右边的括号前填入“”
或“－”
：
（1）
；
（2）
（3）＝
；
（4）
小结：奇变偶不变。
二、合作探究学习
1.探究1：
例
：把下列各式分解因式：（请仔细观察两道题后再完成哦！）
（1）
（2）
试一试：分解因式：
2.探究2：利用因式分解解方程和进行简便运算：
（1）解方程：
（2）简便运算：
3.探究3：
已知，，求的值。
三、当堂检测：
1.多项式的一个因式是，则另一个因式是（
）
A.
B.
C.
D.
2.若，，则的值是
；
3.教材98页随堂练习（1）（3）（5）题。
四、课堂小结：
运用整体思想提取因式，有时需要合理地某一项进行变形
，特别强调符号的变化，符号变化的原则是：
；
即：
五、课后作业
1.教材98页习题4.3
1-2题
2.不解方程组
，求的值。
3.观察下列因式分解的过程，回答所提出的问题：
（1）上述因式分解的方法是
，共应用了
次。
（2）若因式分解，则需应用上述方法
次，结果是
；
（3）因式分解：（为正整数）。因式分解
回顾与思考
学习目标：
（1）提高因式分解的基本运算技能
（2）能熟练进行因式分解方法的综合运用．
重点与难点：灵活运用因式分解的方法进行因式分解
学习过程：
一、知识回顾
1、把一个多项式化成
的形式，叫做把这个多项式分解因式。
要弄清楚分解因式的概念，应把握如下特点：
（1）结果一定是
的形式；
（2）每个因式都是
；
（3）各因式一定要分解到
为止。
2、分解因式与
是互逆关系。
3、分解因式常用的方法有：
（1）提公因式法：
（2）应用公式法：①平方差公式：
②完全平方公式：
（3）十字相乘法：=
(4)
分组分解法：
4、分解因式步骤：
（1）首先考虑提取
，然后再考虑套公式；
（2）对于二次三项式联想到平方差公式因式分解；
（3）对于二次三项式联想到完全平方公式，若不行再考虑十字相乘法分解因式；
（4）超过三项的多项式考虑分组分解；
（5）分解完毕不要大意，检查是否分解彻底。
二、当堂检测
教材104页复习题1题完成偶数号题，第2题完成奇数号题，第3－6题。小组派代表展示讲解。
2.分解因式：
（1）
（2）
3.试证明：若为整数，则能被整除；
4.当取何值时，多项式取得最小值，其最小值是多少？
5.
已知、、为的三边，试判断
的大小范围；
三、课后作业：
1.若实数、满足，，则的值是（
）
A.
B.
C.
D.
2.已知代数式，当
时，它有最小值，最小值是
；
3.因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
4.当时，求的值。4.2提取公因式（1）
学习目标：
让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解；
重点和难点：
正确找出多项式中各项的公因式进行因式分解；
学习过程：
一、阅读教材95-96页的内容，请回答以下问题：
1.什么是公因式？
多项式中各项都含有的相同因式，叫做公因式。它可以是数字、
、
；
试一试：请指出下列多项式中各项的公因式：
（1）；
（2）；
（3）
；
（4）；
小结：提取公因式的步骤及注意事项
（1）定
；（2）定
；（3）定
；（4）若是多项式含有相同的多项式，应该看成一个整体；（5）首项为负，则公因式的符号为负。
2.什么是提取公因式分解因式。
如果一个多项式的各项含有
，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提取公因式法。
试一试：把下列各式因式分解
（1）
（2）
解：公因式是：
解：公因式是：
原式＝
原式＝
二、合作探究学习
1.探究1：
因式分解：（1）
（2）
小结：（1）多项式有几项，提公因式后所剩的因式也有几项；
（2）当首项系数为负时，
；
（3）某项与公因式相同时，该项保留因式是
，不是0；
2.
探究2：
利用提取公因式法进行简便运算
（1）
（2）
；
3.
探究3：
已知，试求的值。
请写出您的分析与解答：
三、当堂检测：
1.，，的公因式为
；
2.因式分解：
；
3.利用因式分解进行计算：
4.因式分解：
（1）
（2）
（3）
四、课堂小结：
提取公因式的步骤是什么？
五、课后作业
1.教材96页习题4.2
1-3题
2.求代数式的值：
,其中，；
3.已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求其另一个因式及的值。4.3公式法（1）
学习目标：
把握平方差公式特征，会运用平方差公式进行因式分解；
重点和难点：
利用整体思想进行因式分解；
学习过程：
一、阅读教材99-100页的内容，请回答以下问题：
1.乘法公式：平方差公式：
；等号左右交换位置得到
，这就把多项式变成了整式乘法的形式。这种利用平方差公式进行因式分解的方法称为公式法。如：
，
那么
；
2.平方差公式的特征：项数、次数、系数、符号
二、合作探究学习
1.探究1：把下列各式分解因式：
（1）
（2）
（3）
2.探究2：把下列各式分解因式：
（1）
（2）
3.探究3：
已知、、为的三边，且满足
，试判断的形状。
三、当堂检测：
1.教材100页随堂练习1－2题
2.在有理数范围内，下列多项式中，，，，能用平方差公式分解因式的有（
）个。
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.4个
3.因式分解：
四、课堂小结：
能用平方差公式分解因式的多项式的特征是什么？
1、平方差公式运用的条件：（1）二项式（2）两项的符号相反（3）每项都能化成平方的形式
2、公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式
3、各项都有公因式，一般先提公因式。
五、课后作业：
1.教材100页习题4.4
1－2题。
2.已知，则
，
，此时因式分解得
；
3.已知，，则
；
4.可以被下列（
）两个数整除
A.
2和3
B.
3和5
C.
2和5
D.
3和7
5.已知、满足方程组
，求代数式的值。
6.※4.5
分组分解法
学习目标：
把握分组分解法特征，会运用分组分解法进行因式分解；
重点和难点：
理解分组分解法，并能利用分组分解法进行因式分解；
学习过程：
一、阅读以下材料，理解什么是分组分解法：
分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。分组分解是因式分解的一种复杂的方法，让我们来须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
如：，此题有四项，一、二项为一组，三、四项为另一组，可得：，发现此时可运用提取公因式办法继续分解：，解题格式如下：
解：
试一试：
二、合作探究学习
1.探究1：分组后能提取公因式
2.
探究2：分组后能直接运用公式
3.探究3：整理后再分组
三、当堂检测：
分解因式：
四、课堂小结：分组分解法：
分组后，组与组之间可以出现公因式，或者可以直接利用公式分解。
五、课后作业
1.用分组分解法分解多项式分组正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
2.利用分组分解法分解因式
※3.
利用分组分解法分解因式
