平行线
课后作业
一、填空题
1．经过直线外一点,有且只有_______条直线与这条直线平行．如果两条直线都与第三条
直线平行,那么这两条直线也__________.
2．在同一平面内,直线m
和n
满足下列关系,写出其对应的位置关系:
(1)直线m,n
没有交点,则m
与n
______;
(2)直线m,n
只有一个交点,则m
与n_____．
3．如图,直线AB、CD
是一条河的两岸,并且AB∥CD,E
为直线AB、CD
外一点,现想过点E
作岸CD
的平行线,只需过点E
作_______的平行线即可,其理由是______________________.
4．如图取一张长方形的硬纸片ABCD
对折,MN
是折痕,把面ABNM
平摊在桌面上,另一面CDMN
不论怎样改变位置,总有MN∥______,MN
∥________,因此_____∥_______．
5．小明和小刚在铁路的两侧,分别沿着与铁路平行的直线往前走,小明和小刚行走的路线 __________(填“平行”或“相交”),理由是_______________________________________;
6．写出图中圆柱体被切开后的截面中的平行线段:____________．
二、选择题
7．在同一平面内,互不重合的三条直线的公共点的个数是( )
A．只可能是0个,1个或3个
B．只可能是0个,1个或2个
C．只可能是0个,2个或3个
D．0个,1个,2个或3个都有可能
8．过直线外两点作已知直线的平行线( )
A．有且只有一条
B．有两条
C．不存在
D．不存在或只有一条
9．下列说法中:
①不相交的两条直线是平行线;
②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种;
③若线段AB
与CD
没有交点,则AB∥CD;
④若a∥b,b∥c,则a
与c
不相交．
其中正确的有( )
A.1个
B．2个
C．3个
D．4个
三、解答题
10．如图,在∠AOB
的内部有一点P
,已知∠AOB＝60°．
(1)过点P
作PC∥OA,PD∥OB；
(2)量出∠CPD
的度数,说出它与∠AOB
的关系．
11．如图,直线AB∥CD,E
为直线AB
上任意一点,F
为直线CD
上任意一点．
(1)量出点E
到直线CD
的距离；
(2)量出点F
到直线AB
的距离；
(3)你发现了什么规律吗
将你的猜想用自己的语言叙述出来．
12．如图所示,在梯形ABCD
中,AD∥BC,P
是AB
的中点．
(1)过点P
作AD
的平行线交DC
于点Q,PQ
与BC
平行吗
为什么
(2)测量DQ
与CQ
的长,DQ
与CQ
是否相等
(3)通过测量判断等式AD＋BC＝２PQ
是否成立
参考答案
一、填空题
答案：一，平行
解析：平行公理
答案：平行，相交
解析：平行，相交定义
答案：AB，如果两条直线都平行于同一条直线，这两条直线也互相平行.
解析：平行公理
4．答案：AB,CD,AB,CD
解析：平行公理
5．答案：平行
两条铁轨本身是平行的，因此他们沿着铁轨走的路线也是平行的.
解析：当两条直线平行的时候，它们上面的线段也是互相平行的.
6．答案：AB∥CD，AD∥BC
解析：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行.
二、选择题
7．答案：D
解析：当三条直线平行时，交点个数是0，当三条直线交于一点时，交点个数是1，当两条直线平行，第三条直线和它们相交时，交点个数是2，当三条直线两两相交时，交点个数是3.
8．答案：D
解析：如果这两点在平行于已知直线的直线上时，可以做出一条，如果不在这样的直线上，就不能做出.
9．答案：B
解析：（1）必须强调在同一平面内，否则不对.（2）在同一平面内，两条直线的位置关系就是相交或平行.重合是相交的一种特殊情形，故正确.（3）线段因为不能无限延伸，因此仅仅由它们无交点并不能确定它们是否平行，故错误.（4）由平行公理可知这是正确的.
三、解答题
10．答案：
（1）
（2）120°
解析：依据平行线的定义来画图，再用量角器测量即可.
11．答案：相等，从一条直线上任一占向另一条平行线作垂线，长度都是相等的.
解析：自己认真作图，精确测量即可.
12．答案：（1）平行，平行公理
（2）相等
（3）成立
解析：学生精确作图，认真测量即可.2.1.1两条直线的位置关系
一、夯实基础
1.下列说法错误的是（
）
A.
两个互余的角相加等于90°
B.
钝角的平分线把钝角分为两个锐角
C.
互为补角的两个角不可能都是钝角
D.
两个锐角的和必定是直角或钝角
2.如果∠α+∠β=90°，而∠β与∠γ互余，那么∠α与∠γ的关系为（
）
A.
互余
B.
互补
C.
相等
D.
不能确定
3.一个角的余角是它的补角的，则这个角为（
）
A.
60°
B.
45°
C.
30°
D.
90°
4.下列说法正确的是（
）
A.
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
B.有公共顶点并且相等的两个角是对顶角
C.
如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
D.
以上说法都不对
5.
已知∠1=43°27′，则∠1的余角是_________，补角是_________．
二、能力提升
6.如图，已知∠COE=∠BOD=∠AOC=90°，则图中与∠BOC相等的角为_________，与∠BOC互补的角为_________，与∠BOC互余的角为_________．
7.
如图，点A，B，C在一条直线上，已知∠1=53°，∠2=37°，则CD与CE的位置关系是________．
三、课外拓展
8.（杭州）如图所示立方体中，过棱BB1和平面CD1垂直的平面有（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
四、中考链接
9.（济南）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（
）
A.
相等
B.
互余
C.
互补
D.
互为对顶角
10.（哈尔滨）过一个钝角的顶点作这个角两边的垂线，若这两条垂线的夹角为40°，则此钝角为（
）
A.
140°
B.
160°
C.
120°
D.
110°
参考答案
一、夯实基础
1.D
2.C
3.B
4.C
5.
46°33′，136°33′．
二、能力提升
6.与∠B0C相等的角为∠DOE，与∠BOC互补的角为∠AOD，与∠BOC互余的角为∠COD，∠AOB．
7.垂直.
三、课外拓展
8.A.解析：过棱BB1和平面CD1垂直的平面有CBB1C1，所以只有1个．
四、中考链接
9.B
10.A2.2.2探索直线平行的条件
一、选择题
1.下面是甲、乙、丙、丁四人的观点：
甲：同一平面内，两条直线的位置关系有相交、垂直、平行三种；
乙：在同一平面内，不平行的两条直线必垂直；
丙：在同一平面内，不垂直的两条直线必平行；
丁：在同一平面内，不相交的两条直线一定平行．
其中观点正确的是(
)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
2．如图所示，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段AB，AC，AE，ED，EC，DB中，相互平行的线段有(
)
A．4组
B．3组
C．2组
D．1组
二、填空题
3．平行公理是：____________________________________________________________．
4．在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b平行，则记作______．
5．两条直线平行的条件(除平行线定义和平行公理推论外)：
(1)两条直线被第三条直线所截，如果____________，那么这两条直线平行．这个判定方法1可简述为：____________，两直线平行．
(2)两条直线被第三条直线所截，如果____________，那么____________．这个判定方法2可简述为：____________，____________．
(3)两条直线被第三条直线所截，如果____________，那么________．这个判定方法3可简述为：____________，____________．
6．已知：如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
(1)∵∠B＝∠3(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
(2)∵∠1＝∠D(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
(3)∵∠2＝∠A(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
(4)∵∠B＋∠BCE＝180°(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
7.如图，下列条件中：①AC⊥AD，AC⊥BC;②∠1=∠2，∠3=∠D；③∠4=∠5；④∠BAD+∠ABC=180°，其中，可得到AD∥BC的是____（填序号）．
三、解答题
8．已知：点P是∠AOB内一点．过点P分别作直线CD∥OA，直线EF∥OB．
9．已知：如图，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
(1)分析：如图，欲证AB∥CD，只要证∠1＝______．
证法1：
∵∠1＝∠2，(已知)
又∠3＝∠2，(
)
∴∠1＝_______．(
)
∴AB∥CD．(___________，___________)
(2)分析：如图，欲证AB∥CD，只要证∠3＝∠4．
证法2：
∵∠4＝∠1，∠3＝∠2，(
)
又∠1＝∠2，(已知)
从而∠3＝_______．(
)
∴AB∥CD．(___________，___________)
10．已知：如图，CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2．试确定射线DF与AE的位置关系，并说明你的理由．
(1)问题的结论：DF______AE．
(2)证明思路分析：欲证DF______AE，只要证∠3＝______．
(3)证明过程：
证明：∵CD⊥DA，DA⊥AB，(
)
∴∠CDA＝∠DAB＝______°．(垂直定义)
又∠1＝∠2，(
)
从而∠CDA－∠1＝______－______，(等式的性质)
即∠3＝＿＿＿．
∴DF＿＿＿AE．(＿＿＿＿，＿＿＿＿)
11．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°．试确定直线a与直线c的位置关系，并说明你的理由．
(1)问题的结论：a______c．
(2)证明思路分析：欲证a______c，只要证______∥______且______∥______．
(3)证明过程：
证明：∵∠1＝∠2，(
)
∴a∥______．(________，________)①
∵∠3＋∠4＝180°，(
)
∴c∥______．(________，________)②
由①、②，因为a∥______，c∥______，
∴a______c．(________，________)
12.如图所示，已知∠A=∠D,∠B=∠FCB，能否确定ED与CF的位置关系？请说明理由．
参考答案
一、选择题
1.D
解析同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，所以甲的观点错误；垂直是相交的一种特殊情况，所以乙和丙的观点错误．
2.B
解析由平行线的判定和三角尺的特点得∠B=∠D8CE，则AB∥EC（同位角相等，两直线平行）；∠BCA=∠CAE，则AE∥DB(内错角相等，两直线平行)；∠ACE=∠DEC，则AC∥DE（内错角相等，两直线平行）．故选B．
二、填空题
3．经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
4．不相交，a∥b．
5．略．
6．(1)AB，EC，同位角相等，两直线平行．
(2)AC，ED，同位角相等，两直线平行．
(3)AB，EC，内错角相等，两直线平行．
(4)AB，EC，同旁内角互补，两直线平行．
7.①②④
解析①中可得∠DAC=∠BCA，利用“内错角相等，两直线平行”可得结果；②中由∠1=∠2可得EF∥BC,由∠3=∠D可得EF∥AD，根据平行公理的推论可得AD∥BC;③中可得AB∥DC;④中根据“同旁内角互补，两直线平行”可得AD∥BC.
三、解答题
8．略．
9．略．
10．略
11．略
12.解：ED∥CF.理由如下：
∵∠A=∠D，∴ED∥AB．
∵B=∠FCB，∴CF∥AB．
∴ED∥CF.探索平行的条件（二）
课后作业
一、选择题
1、如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是（ ）
A. ∠DAC=∠BCA
B. ∠DCB+∠ABC=180°
C. ∠ABD=∠BDC
D. ∠BAC=∠ACD
2、如图，能判定EB∥AC的条件是（ ）
A. ∠C=∠ABE
B. ∠A=∠EBD
C. ∠C=∠ABC
D. ∠A=∠ABE
3、如图所示，已知∠1=∠2，要使∠3=∠4，只要（ ）
A. ∠1=∠3
B. ∠2=∠4
C. ∠1=∠4
D. AB∥CD
4、如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（ ）
A. ∠BED=∠EFC
B. ∠1=∠2
C. ∠3=∠4
D. ∠BEF+∠B=180°
5、如果∠2=∠4，那么AD∥BC．判断的依据是（ ）
a
A. 两直线平行，内错角相等
B. 两直线平行，同位角相等
C. 内错角相等，两直线平行
D. 同旁内角互补，两直线平行
二、填空题
6、如图，已知∠1=∠2，则图中互相平行的线段是
．
7、如图，∠1=60°，∠2=60°，则直线a与b的位置关系是
．
8、如图，∠1=∠2，则
∥
；若∠3=∠4，则
∥
．
9、如图所示，用两个相同的三角形按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是
．
10、如图，∠ABC=∠BCD，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，则图中互相平行的直线是
，理由是
．
三、解答题
11、已知，如图∠1和∠D互余，CF⊥DF，问AB与CD平行吗？为什么？
12、如图，DE⊥AO于E，BO⊥AO于O，FC⊥AB于C，∠1=∠2，找出图中互相平行的线，并加以说明．
参考答案
1．解析：A、∵∠DAC=∠BCA，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
故A正确；
B、根据“∠DCB+∠ABC=180°”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故B错误；
C、根据“∠ABD=∠BDC”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故C错误；
D、根据“∠BAC=∠ACD”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故D错误；
故选：A．
2．解析：A和B中的角不是三线八角中的角；
C中的角是同一三角形中的角，故不能判定两直线平行．
D中内错角∠A=∠ABE，则EB∥AC．
故选D．
3．解析：假设∠3=∠4，即∠BEF=∠CFE，由内错角相等，两直线平行，可得AB∥CD．
故已知∠1=∠2，要使∠3=∠4，只要AB∥CD．故选D．
4．解析：当∠3=∠4时，则DE∥AC（内错角相等，两直线平行）．
故选：C．
5．解析：∵∠2=∠4
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故选C．
6．解析：∵∠1=∠2（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：AB∥CD．
7．解析：∵∠3=∠2=60°（对顶角相等），
又∵∠1=60°，
∴∠1=∠3，
∴a∥b．
8．解析：∵∠1=∠2，
∴AD∥BC；
∵∠3=∠4，
∴AB∥CD，
故答案为：AD；BC；AB；CD．
9．解析：∵∠PAB=∠ACD，
∴CD∥AP（内错角相等，两直线平行）．
10．解析：∵∠ABC=∠BCD，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∵∠ABC=∠BCD，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠EBC=∠FCB，
∴BE∥FC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：AB∥CD，BE∥CF；内错角相等，两直线平行．
11．解析：
AB∥CD．理由如下：
∵CF⊥DF，
∴∠CFD=90°．
∵∠1+∠CFD+∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°．
∵∠1与∠D互余，
∴∠1+∠D=90°，
∴∠2=∠D，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
12．解析：CF∥OD．
理由：∵DE⊥AO，BO⊥AO，
∴DE∥BO，
∴∠3=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴CF∥OD．2.1.2两条直线的位置关系
一、填空题
1.如图所示，直线AB与直线CD的位置关系是____，记作____，此时，∠AOD=∠____=∠____=∠____=90°．
2.如图所示，OA⊥OB，OC⊥OD，O是垂足，∠BOC=55°，那么∠AOD=____.
3．如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，则∠BOE=____°，∠AOG=____°
二、作图题
4．如图，过A点作CD⊥MN，过A点作PQ⊥EF于B．
图a
图b
图c
5．如图，过A点作BC边所在直线的垂线EF，垂足是D，并量出A点到BC边的距离．
图a
图b
图c
6．如图，已知∠AOB及点P，分别画出点P到射线OA、OB的垂线段PM及PN．
图a
图b
图c
7．如图，小明从A村到B村去取鱼虫，将鱼虫放到河里，请作出小明经过的最短路线．
三、解答题
8.如图所示，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，小明、小颖、小涵三人各抒己见，你认为谁的说法正确？请说明理由．
小明说：“BD，DC，AD的长度分别表示点D到AC、点D到AB的距离、点A到BC的距离．”
小颖说：“DA，DE，DF分别表示点A到BC、点D到AC、点D到AB的距离，”
小涵说：“DA，DE，DF的长度分别表示点A到BC、点D到AC、点D到AB的距离.”
9.如图所示，MN⊥b，ME⊥a，且MN=4
cm，ME=6
cm，则点M到直线b的距离是多少？
10.如图所示，AOB是一条直线，∠AOD：∠DOB=7：3，OD平分∠COB.
(1)求∠AOC的度数．
(2)AB与OC垂直吗？为什么？
11.如图所示，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄，设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最近，请你在AB上分别画出P、Q两点的位置.
12．已知：OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3．求∠BOC的度数．
13．已知平面内有一条直线m及直线外三点A，B，C，分别过这三个点作直线m的垂线，想一想有几个不同的垂足 画图说明．
参考答案
一、填空题
1.
垂直
AB⊥CD
DOB
BOC
COA
解析：如果两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，当两条直线互相垂直时，所组成的四个角的数相等，且均为90°.
2.125°解析：因为OA⊥OB，所以∠AOC=90°-∠BOC=90°-55°=35°，因为OC⊥OD，所以∠COD=90°，所以∠AOD=∠AOC+∠COD=35°+
90°=125°．
3.62
59
解析：∠COE=∠DOF=
28°(对顶角相等)，因为AB⊥CD，所以∠COB=90°（垂直的定义），所以∠BOE=
90°-∠COE=90°-
28°=
62°，∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+28°=118°．因为OG平分∠AOE，所以．
二、作图题
4～7．略．
三、解答题
8.解：线段BD，DC的长度是点D分别到点B，C的距离，是两点间的距离，AD的长才是点A到BC的距离，因此小明的说法错误；
DA，DE，DF指的是垂线段，是几何图形，而不是距离，因此小颖的说法错误；
根据点到直线的距离的概念知，小涵的说法正确.
9.解：由题图可知，MN⊥b，所以点M到直线b的距离是线段MN的长.因为MN=4
cm，所以点M到直线b的距离是4
cm.
10.解：(1)因为∠AOD：∠DOB=7：3，∠AOD+∠DOB=180°，
所以∠AOD=126°，∠BOD=54°，
所以∠AOC=180°-
2∠BOD=
72°．
(2)因为∠AOC=
72°≠90°，所以AB与OC不垂直．
11.解：如图所示，过点M作MP⊥AB于点P，过点N作NQ⊥AB于点Q.
根据垂线段最短，可知P、Q两点就是离村庄最近的位置．
12．30°或150°．
13．如图所示，不同的垂足为三个或两个或一个．这是因为：
(1)当A，B，C三点中任何两点的连线都不与直线m垂直时，则分别过A，B，C三点作直线m的垂线时，有三个不同的垂足．
(2)当A，B，C三点中有且只有两点的连线与直线m垂直时，则分别过A，B，C三点作直线m的垂线时，有两个不同的垂足．
(3)当A，B，C三点共线，且该线与直线m垂直时，则只有一个垂足．2.4用尺规作角
一、夯实基础
1.下列关于尺规的功能说法不正确的是(
)
(A)直尺的功能是：在两点间连接一条线段,将线段向两方延长
(B)直尺的功能是：可作平角和直角
(C)圆规的功能是：以任意长为半径,以任意点为圆心作一个圆
(D)圆规的功能是：以任意长为半径,以任意点为圆心作一段弧
2.如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，弧FG是(
)
(A)以点C为圆心，OD为半径的弧
(B)以点C为圆心，DM为半径的弧
(C)以点E为圆心，OD为半径的弧
(D)以点E为圆心，DM为半径的弧
3.只用无刻度直尺就能作出的是(
)
(A)延长线段AB至C，使BC=AB
(B)过直线l上一点A作l的垂线
(C)作已知角的平分线
(D)从点O再经过点P作射线OP
4.尺规作图的画图工具是_____.
5.如图所示，求作一个角等于已知角∠AOB.
作法：(1)作射线_____.
(2)以_____为圆心，以_____为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D.
(3)以_____为圆心，以_____为半径画弧，交O
′B
′于点D
′.[
(4)以点D
′为圆心，以_____为半径画弧，交前面的弧于点C
′.
(5)过_____作射线O
′A
′.∠A
′O
′B
′就是所求作的角.
6.画线段AB；延长线段AB到点C，使BC=2AB；反向延长线段AB到点D，使AD=AC，则线段CD=_____AB.
二、能力提升
7.已知，如图，∠AOB及其两边上的点C，D，过点C作CE∥OB，过点D作DF∥OA，使CE，DF交于点P.
8.已知：线段a,∠α,∠β.
求作：作一个三角形，使其两角分别等于∠α,∠β，且两角所夹的边长为a.
9.已知：线段a，如图，直线AB与CD相交于点O.利用尺规，按下列要求作图：
(1)在射线OA，OB，OC，OD上作线段OA′，OB′，
OC′，OD′，使它们都与线段a相等.
(2)依次连接A′，C′，B′，D′，A′.你会得到一个什么图形？
三、课外拓展
10.尺规作图：如图，已知△ABC.求作△A1B1C1，使A1B1＝AB，∠B1＝∠B，B1C1＝BC.(作图要求：写已知、求作，不写作法，不证明，保留作图痕迹)
已知：
求作：
四、中考链接
11.(恩施中考)如图,AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2=(
)
(A)50°
(B)60°
(C)65°
(D)90°
参考答案
一、夯实基础
1.【解析】选B.尺规作图中的直尺不含单位长度和角度,不能用直尺作直角,直尺的功能是作直线、射线或线段.
2.【解析】选D.根据尺规作图中作一个角等于已知角的作图方法，可知D正确.
3.【解析】选D.使用的是无刻度的直尺，作图时不能作出BC=AB，所以A不能选；过直线l上一点A作l的垂线时，要有直角三角板或量角器、圆规，只用直尺是不能作出垂线的，所以不能选B；作已知角的平分线，需用圆规，只用直尺是作不出角平分线的，所以不能选C；从点O再经过点P作射线OP，可以只用无刻度直尺就能作出，故选D.
4.【解析】尺规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规.
答案：没有刻度的直尺和圆规
5.【解析】(1)作射线O
′B
′.
(2)以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D.
(3)以点O′为圆心，以线段OD的长为半径画弧，交O′B′于点D′.
(4)以点D′为圆心，以线段CD的长为半径画弧，交前面的弧于点C′.
(5)过点C′作射线O′A′.∠A′O′B′就是所求作的角.
答案：(1)O
′B
′
(2)点O
任意长
(3)点O′
线段OD的长
(4)线段CD的长
(5)点C′
6.【解析】此题要先根据题意画出图形，
如图，设AB=x，则BC=2x，AC=AD=3x，
所以CD=AC+AD=6x，所以CD=6AB.
答案：6
二、能力提升
7.【解析】在图中作∠ACE=∠O，∠BDF=∠O即可，作图痕迹略.
【归纳整合】要过C，D两点作OB和OA的平行线，根据平行线的条件可知：同位角相等，两直线平行.所以分别作∠ACE=∠O；∠BDF=∠O即可.本题体现了数学知识的应用理念，基本作图的目的是培养学生综合画图的能力.
8.【解析】作法：①作线段AB=a;②过点A作∠CAB=∠α,过点B作∠CBA=∠β，两边交于点C.则△ABC就是要求作的图形.
9.【解析】(1)如图,
(2)长方形.
三、课外拓展
10.【解析】已知：△ABC.
求作：△A1B1C1，使A1B1＝AB，∠B1＝∠B，B1C1＝BC.
四、中考链接
11.【解析】选C.AB∥CD，∠1=50°，所以∠BEF=130°，EG平分∠BEF，所以∠BEG=65°，又AB∥CD，所以∠2=∠BEG=65°.2.2.2
探索直线平行的条件
一、选择题:
1.如图1，下列推理错误的是(
)
A.∵∠1＝∠2,∴a∥b
B.∵∠1＝∠3,∴a∥b
C.∵∠3＝∠5,∴c∥d
D.∵∠2＋∠4＝180°,∴c∥d
(1)
(2)
(3)
2.如图2，3条直线两两相交，其中同位角共有（
）
A.6对
B.8对
C.12对
D.16对
3.如图3，在下列四组条件中，能判定AB∥CB的是（
）
A.∠1＝∠2;
B.∠3＝∠4;
C.∠BAD＋∠ABC＝180°;
D.∠ABD＝∠BDC
4.在同一平面内有3条直线，如果其中只有两条平行，那么它们的交点个数为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
5.若两条平行线被第3条直线所截，则一组同位角的平分线互相（
）
A.垂直
B.平行
C.重合
D.相交
6.如图，直线a、b与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2,
②∠3＝∠6,
③∠4＋∠7＝180°,
④∠5＋∠3＝180°，其中能判断a∥b的是（
）
A.①②③④
B.①③④
C.①③
D.②④
二、填空题:
7、如图4，∠1和∠2是直线_______和直线________被直线_____所截得的同位角，∠2和∠3是直线_____和直线________被直线______所截得的__________角。
(4)
(5)
(6)
(7)
8、如图5，AC、BC分别平分∠DAB、∠ABE，且∠1与∠2互余，
则______∥_______，理由是________________________________。
9、如图6所示，是同位角是的______________，是内错角的是________________，是同旁内角关系的是_______________________。
10.如图7，∠B＝∠D＝∠E，那么图形中的平行线有___________________________，理由是_____________________________。
三、解答题:
11.如图，∠ABC＝∠ADC、DE是∠ABC、∠
ADC的角平分线，
∠1＝∠2，求征DC∥AB。（7）
12.已知直线a、b、c在同一平面内，a∥b，a与c相交于p，那么b与c也一定相交，请说明理由，（7分）
13.如图，∠B＝∠C，B、A、D三点在同一直线上，∠DAC＝∠B＋∠C，AE是∠DAC的平分线，求征：AE∥BC。（7分）
14.如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果∠BMN＝∠D
NF，∠1＝∠2，那么MQ∥NP，试写出推理，（7分）
15.如图，已知∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，问直线平行吗？为什么？（8分）
16.平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？（8分）
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.C
5.B
6.B
7.AF，EF，AB；AB，CD，EF，内错
8.GD；HE；同旁内角互补，两直线平行
9.∠1与∠4，∠3与∠4，∠4与∠5
10.CD∥EF，内错角相等，两直线平行
11.∵BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线
∴∠2=∠ABC，∠3=∠ADC
∵∠ABC=∠ADC
∴∠2=∠3
∵∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴DC∥AB
12.假定b与c不相交，即平行，b∥c
∵a∥b
∴a∥c这与a与c相交于p矛盾
故假设不成立
∴b与c一定相交
13.∵∠DAC=∠B+∠C，∠B=∠C
∴∠DAC=2∠B，∠1=∠2
∴∠1=∠B
∴AE∥BC
14.∵∠BMN=∠DNF，∠1=∠2
∴∠BMN+∠1=∠DNF+∠2
即∠QMN=∠PNF，MQ∥NP
15.平行
∵∠1+∠3=90°，∠2+（90°-∠3）
＝180°
∴∠3=90°-∠1，
∠2+90°-90°+∠1=180°
∴∠2+∠1=180°
∴l1∥l2
16.平面上的10条直线，若两两相交，最多出现45个交点，
现在只要求出现31个交点，就要减去14个交点，这样就要出现平行线，在某一方向上有5
条直线互相平行，则减少10个交点，若6条直线平行，则可减少15个交点，
所以这个方向上最多可取5条平线，这时还有4个点要去掉，转一个方向取3条平行线，即可减少3个交点，这时还剩下2条直线与1个要减去的点，只须让其在第三个方向上互相平行，如图所示：
图表
12.2.1探索直线平行的条件
一、选择题
1.如图所示，下列判断错误的是(
)
A.∠1和∠2是同旁内角
B.∠3和∠4是内错角
C.∠5和∠6是同旁内角
D.∠5和∠8是同位角
2．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是
(
)
3．如图，∠1和∠2是内错角，可看成是由直线(
)．
A.AD，BC被AC所截构成
B.AB，CD被AC所截构成
C.AB，CD被AD所截构成
D.AB，CD被BC所截构成
4．如图，直线AB，CD与直线EF，GH分别相交，图中的同旁内角共有(
)．
A.4对
B.8对
C.12对
D.16对
二、填空题
5．如图所示，
(1)∠B和∠ECD可看成是直线AB、CE被直线______所截得的_______角；
(2)∠A和∠ACE可看成是直线_______、______被直线_______所截得的______角．
6．如图所示，
(1)∠AED和∠ABC可看成是直线______、______被直线______所截得的_______角；
(2)∠EDB和∠DBC可看成是直线______、______被直线_______所截得的______角；
(3)∠EDC和∠C可看成是直线_______、______被直线______所截得的______角．
7.如图所示，在∠1、∠2、∠3、∠4中，
(1)同位角有____对，它们是____；
(2)内错角有____对，它们是____；
(3)同旁内角有____对，它们是____．
8.探究题：
(1)如图①，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有____对，同旁内角有____对；
(2)如图②，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有____对，同旁内角有____对；
(3)根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有____对，内错角有____对，同旁内角有____对（用含n的式子表示）．
三、解答题
9.如图所示，二条直线两两相交，形成12个角，其中同位角有几对？内错角有几对？同旁内角有几对？
10.如图所示，图中数字表示的角哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？
参考答案
一、选择题
1.C
2.C解析：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的角叫做同位角，所以C选项中的∠1和∠2不是同位角，故选C．
3．B．
4．D．
二、填空题
5．(1)BD，同位．
(2)AB，CE，AC，内错．
6．(1)ED，BC，AB，同位；
(2)ED，BC，BD，内错；
(3)ED，BC，AC，同旁内．
7.(1)1
∠4与∠1
(2)1
∠2与∠3
(3)2
∠4与∠3，∠1与∠2
8.解：(1)4
2
2;
(2)12
6
6;
(3)2n(n-1)
n(n-1)
n(n-1).
点拨：本题中的规律也可以这样总结：当n条水平线被一条竖直直线所截时，内错角和同旁内角各有n(n-1)对，而同位角的对数是内错角的对数的2倍，因此有2n（n-1）对．
三、解答题
9.解：分直线l1，l2，l3分别是截线三种情况讨论，对于每一种情况，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对，所以三种情况分别共有4×3=12（对），2×3=6（对），2×3=6（对）．所以同位角共有12对，内错角共有6对，同旁内角共有6对.
提示：(1)要求同位角、内错角和同旁内角的对数，题图①中的图形是“三线八角”的基本图形，所以容易得出；(2)把题图②中的图形进行拆分得3个“三线八角”的基本图形，即可求出；(3)当有n条水平直线，可以拆分成个“三线八角”的基本图形，从而得出规律．
10.解：同位角有∠1和∠3，∠5和∠6，内错角有∠2和∠4，∠1和∠6，
同旁内角有∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠4，∠3和∠5.2.1.2两条直线的位置关系
一、夯实基础
1.已知线段AB=10cm，点A、B到直线l的距离分别为6cm，4cm．符合条件的直线l有（
）
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
2.（2006 宁波）如图，直线a⊥b，∠1=50°，则∠2=_________度．
3.如图，OD⊥BC，垂足为D，BD=6cm，OD=8cm，OB=10cm，那么点B到OD的距离是________，点O到BC的距离是________.O、B两点之间的距离是________.
4.如图，O为直线AB上一点，∠BOC=3∠AOC，OC平分∠AOD.则∠AOC=_________，OD与AB的位置关系是_________.
5.条直线互相垂直时，所得的四个角中有_________个直角.
二、能力提升
6.如图，直线AB，CD相交于点O，∠EOC=60°，OA平分∠EOC，那么∠BOD的度数是________．
7.将一张长方形的白纸，按如图所示的折叠，使D到D′，E到E′处，并且BD′与BE′在同一条直线上，那么AB与BC的位置关系是_________.
三、课外拓展
8.我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直段最短”.在此基础上，人们定义了点到点的距离、点到直线的距离，类似地，若点P是O外一点，则点P与O的距离应定义为(
)
A.线段PO的长度
B.线段PA的长度
C.线段PB的长度
D.线段PC的长度
四、中考链接
9.①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；②两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这条直线互相垂直；③两条直线相交，若所成的四个角相等，则这两条直线垂直；④两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线垂直.其中说法正确的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
10.
(四川)如图5-26所示，AB、CD相交于点O，OE⊥AB，那么下列结论错误的是(
)
A.∠AOC与∠COE互为余角
B.∠BOD与∠COE互为余角
C.∠COE与∠BOE互为补角
D.∠AOC与∠BOD是对顶角
参考答案
一、夯实基础
1.A
2.40°
3.6cm,8cm,10cm.
4.45°,垂直.
5.4．
二、能力提升
6.30°.
7.垂直.
三、课外拓展
8.A.
四、中考链接
9.D
10.C2.2.2探索直线平行的条件
一、夯实基础
1.如图，与∠2构成内错角的是（
）
A.∠5
B.∠6
C.∠7
D.∠8
2.如图所示，是内错角是的___________.
3.
如图,若∠1=∠5,则____∥_____;如果∠3+∠4+∠5+∠6=180°,那么____∥_____.
4.如图,下列判断不正确的是(
)
A.因为∠1=∠4,所以DE∥AB
B.因为∠2=∠3,所以AB∥EC
C.因为∠5=∠A,所以AB∥DE
D.因为∠ADE+∠BED=180°,所以AD∥BE
5.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是(
)
A．第一次向左拐300，第二次向右拐300
B．第一次向右拐500，第二次向左拐1300
C．第一次向右拐500，第二次向右拐1300
D．第一次向左拐500，第二次向左拐1300
二、能力提升
6.如图,能判断AB∥CE的条件是(
)
A.∠A=∠ACE
B.∠A=∠ECD
C.∠B=∠BCA
D.∠B=∠ACE
7.
如图，已知∠1=∠2，则在结论：（1）∠3=∠4，（2）AB∥CD，（3）AD∥BC中（
）
A．三个都正确
B．只有一个正确;
C．三个都不正确
D．只有一个不正确
三、课外拓展
8.
如图所示，请填写一个你认为恰当的条件：_________，使AD∥BC．
四、中考链接
9.如图所示，已知∠A=∠1，∠D=∠2，则AB与CD的位置关系是
．
10.如图3所示，下列条件中不能判定DE∥BC的是（
）
A．∠1=∠C
B．∠2=∠3
C．∠1=∠2
D．∠2+∠4=180°
参考答案
一、夯实基础
1.B
2.∠3和∠4
3.AB∥DC,
AD∥BC.
4.B
5.A
二、能力提升
6.A
7.B
三、课外拓展
8.∠ADB=∠DBC等
四、中考链接
9.AB∥DC
10.C2.2.1探索直线平行的条件
一、夯实基础
1.如图，与∠2构成同位角的是（
）
A.∠5
B.∠6
C.∠7
D.∠8
2.如图所示，是同位角是的___________.
3.如图③
，∵∠1=∠2，∴_______∥________（
）
∵∠2=∠3，∴_______∥________（
）
4.如图⑦，∠D=∠EFC，那么（
）
A．AD∥BC
B．AB∥CD
C．EF∥BC
D．AD∥EF
5.如图6，三条直线两两相交，其中同位角共有（
）
A.6对
B.8对
C.12对
D.16对
二、能力提升
6.在同一平面内有3条直线，如果其中只有两条平行，那么它们的交点个数为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
7.若两条平行线被第3条直线所截，则一组同位角的平分线互相（
）
A.垂直
B.平行
C.重合
D.相交
三、课外拓展
8.如图所示，请填写一个你认为恰当的条件：_________，使AB∥DC．
四、中考链接
9.在如图给出的过直线外一点作已知直线l1的平行线l2的方法，其依据是
.
10.如图，直线a、b被直线c所截，若要a∥b，需增加条件
（填一个即可）．
参考答案
一、夯实基础
1.D
2.∠1和∠4
3.AB∥DE,同位角相等，两直线平行；B∥EF,同位角相等，两直线平行.
4.D
5.C
二、能力提升
6.C
7.B
三、课外拓展
8.∠5和∠A.
四、中考链接
9.同位角相等，两直线平行
10.∠1=∠32.3.2
平行线的性质
一、选择题
1.如图2，AB∥CD，则（
）
图2
A.∠1=∠5
B.∠2=∠6
C.∠3=∠7
D.∠5=∠8
2.下列说法，其中是平行线性质的是（
）
①两直线平行，同旁内角互补
②同位角相等，两直线平行
③内错角相等，两直线平行
④垂直于同一条直线的两直线平行
A.①
B.②③
C.④
D.①④
3.如图3，已知∠1=∠2，∠3=125°，那么∠4的度数为（
）
图3
A.45°
B.55°
C.65°
D.75°
4.如图4，已知AB∥DE，∠A=150°，∠D=140°，则∠C的度数是（
）
图4
A.60°
B.75°
C.70°
D.50°
5.若两条平行线被第三条直线所截，则同一对同位角的平分线互相（
）
A.垂直
B.平行
C.重合
D.相交
6．如图，AB，CD相交于点O，∠1=80°，如果DE∥AB，那么∠D的度数为（
）
A．80°
B．90°
C．100°
D．110°
二、判断题
7.在同一平面内的两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等.（
）
8.如图1，如果∠A+∠B=180°，那么∠C+∠D=180°.（
）
图1
9.两直线平行，同旁内角相等.（
）
10.如果两条平行线被第三条直线所截，则一对同旁内角的平分线互相垂直.（
）
11.两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行.（
）
三、填空题
12.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则同旁内角_________.
13.如图5，直线a∥b，若∠1=118°，则∠2=_________.
图5
图6
图7
14.如图6，已知AB∥CD，BC∥DE，那么∠B+∠D=_________.
15.如图7，已知CE是DC的延长线，AB∥DC，AD∥BC，若∠B=60°，则∠BCE=_________，∠D=_________，∠A=_________.
四、填写推理的理由
16.如图8，∵BE平分∠ABC（已知）
图8
∴∠1=∠3（
）
又∵∠1=∠2(已知)
∴_________=∠2
∴_________∥_________（
）
∴∠AED=_________（
）
17.如图9，∵AB∥CD
图9
∴∠A+_________=180°(
)
∵BC∥AD，∴∠A+_________=180°(
)
∴∠B=_________.
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.C
5.B
6.C
7.×
8.√
9.×
10.√
11.×
12.互补
13.62°
14.180°
15.60°
60°
120°
16.角平分线定义
∠3
DE
BC
内错角相等，两直线平行
∠C
两直线平行，同位角相等
17.∠D
两直线平行，同旁内角互补
∠B
两直线平行，同旁内角互补
∠D第2章
相交线与平行线
一、夯实基础
1．如图，∠1＝∠2，则下列结论一定成立的是（ ）
A．AB∥CD B．AD∥BC C．∠B＝∠D D．∠3＝∠4
2.同一平面内的三条直线最多可把平面分成（ ）部分。
A．4 B．5 C．6 D．7
3．在如图所示的长方体中，和平面ABCD垂直的棱有（ ）
A．2条 B．
4条 C．
6条 D．
8条
4．一辆汽车在笔直的公路上，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则这两次拐弯的角度应是（ ）
Ａ．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
Ｂ．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°
Ｃ．第一次向左拐40°，第二次向左拐140°
Ｄ．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°
5．不相邻的两个直角，如果它们有一条公共边，那么另一条边相互（ ）
Ａ．平行
Ｂ．垂直 Ｃ．平行或垂直
Ｄ．或平行或垂直或在同一条直线上
6．下列语句：
⑴过两条平行线，外一点作一条直线，使，则．
⑵过两条平行线，外一点作直线，使，，．
⑶过两条平行线，外一点作一条直线，使，则．
⑷过两条平行线，外一点作一条直线，使，，．其中正确的是（ ）
Ａ．⑴ ⑶
Ｂ．⑵ ⑷
Ｃ．⑴ ⑵ ⑶
Ｄ．全对
7．在下列条件中，不能判定的是
（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
8．下列说法正确的个数是（ ）
①若∠1与∠2是对顶角，则∠1＝∠2；②若∠1与∠2是邻补角，则∠1＝∠2；
③若∠1与∠2不是对顶角，则∠1≠∠2；④若∠1与∠2不是邻补角，则∠1＋∠2≠180°。
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，直线a、b被c所截，则下列式子：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；
③∠1＝∠8；④∠5＋∠8＝180°，能说明a∥b的条件是（ ）
A．①② B．①②③ C．②④ D．①②③④
10．从A地测得B地在南偏东52°的方向上，则A地在B地的（ ）方向上。
A．北偏西52° B．南偏东52° C．西偏北52° D．北偏西38°
二、能力提升
11．如图1，直线AB、CD相交于O，对顶角有＿＿对，它们是＿＿，∠AOD的邻补角是＿＿。
12．如图2，直线l1、l2和l3相交构成8个角，已知∠1＝∠5，则∠5是＿＿＿的对顶角，与∠5相等的角有＿＿个，是＿＿＿＿＿，与∠5互补的角有＿＿个，是＿＿＿＿。
13．如图3，直线AB、CD相交于O，若∠AOD比∠AOC大40°，则∠BOD＝＿＿＿°；若∠AOD＝2∠AOC，则∠BOC＝＿＿＿；若∠AOD＝∠AOC，则∠BOD＝＿＿＿。
14．若C是线段AB的中点，D是线段BC的中点，BD＝3cm，则AD＝＿＿＿＿＿。
课外拓展
15．如图，已知CD⊥AD，DA⊥AB，∠1＝∠2。则DF与AE平行吗？为什么？
16．如图，∠α与∠β有公共顶点，且∠α与∠β的两边互相垂直，∠α＝∠β。
试求∠α与∠β的度数。
17．如图所示，已知：，，，．
求证：．
四、中考链接
18、(济宁)下列说法中，为平行线特征的是（ ）
①两条直线平行，同旁内角互补;
②同位角相等,
两条直线平行;③内错角相等,
两条直线平行;
④垂直于同一条直线的两条直线平行.
A．①
B．②③
C．④
D．②和④
19、(聊城)如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1＝72°，则∠2＝_________。
参考答案
夯实基础
1.B
2．D
3．B
4．A
5.A
6.D
7.D
8.B
9．B
10．C
二、能力提升
11.两对、∠AOC与∠BOD、∠AOD与∠BOC
12.
∠7；3个；∠1、∠3、∠7；4个；∠2、∠4、∠6、∠8；
13.
∠BOD=700、∠BOC=1200、∠BOD=900；
14．9cm
三、课外拓展
15．解：如图：能判断DF∥AE
∵CD⊥AD，DA⊥AB，
∴∠CDA＝∠DAB=90°
又∵∠1＝∠2
∴∠FDA＝∠DAE
∴DF∥AE
16、解：如图：∵∠α与∠β的两边互相垂直
∴∠α+∠β=180°
又∵∠α＝∠β
∴∠β+∠β=180°
∴∠β=105°
∴∠α=75°
17．解：∵，
∴DA∥EB
同理:
FC∥EB
∴
四、中考链接
18．A
19．54°2.1.1两条直线的位置关系
一、选择题
1.如图所示，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是
(
)
2．下列语句错误的有
(
)
①两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角；
②有公共顶点并且相等的两个角是对顶角；
③如果两个角相等，那么这两个角互补；
④如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3.如图所示所示，∠1的邻补角是(
)
A．∠BOC
B．∠BOE和∠AOF
C．∠AOF
D．∠BOC和∠AOF
二、填空题
4．如果两个角有一条______边，并且它们的另一边互为____________，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．
5．如果两个角有______顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的___________，那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．
6．对顶角的重要性质是_________________．
7．如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOE＝90°．
∠1和∠2叫做______角；∠1和∠4互为______角；
∠2和∠3互为_______角；∠1和∠3互为______角；
∠2和∠4互为______角．
三、解答题
8．如图所示，AB，CD，EF交于点O，∠1＝20°，∠BOC＝80°，求∠2的度数．
9．已知：如图，直线a，b，c两两相交，∠1＝2∠3，∠2＝86°．求∠4的度数．
10．(易错题)如图所示，直线AB，CD相交于点∥b，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE=4：1，求∠AOF的度数.
11．如图所示，直线a，b，c两两相交，∠1=
2∠3，∠2=80°，求∠4的度数．
12．已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠DOE＝4∶1．求∠AOF的度数．
13．回答下列问题：
(1)三条直线AB，CD，EF两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外) 几对邻补角
(2)四条直线AB，CD，EF，GH两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外) 几对邻补角
(3)m条直线a1，a2，a3，…，am－1，am相交于点O，则图中一共有几对对顶角(平角除外) 几对邻补角
参考答案
一、选择题
1.C解析：因为∠1+∠2
=180°，所以∠2=140°，故选C．
2.C解析：①两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角有可能是邻补角，所以错误．
②一个角的平分线平分这个角，得到的两个角为有公共顶点并且相等的两个角，而这两个角不是对顶角，所以错误．
③一个角（非平角）的平分线平分这个角，得到的两个角为相等的两个角，但不互补，所以错误.
④因为对顶角相等，所以不相等的角不是对顶角．所以正确，故选C．
3.B
解析由题图可知，与∠1有一条公共边，且另一条边与∠1的另一条边互为反向延长线的角有∠BOE和∠AOF，故选B．72°，则∠AOD=4x°.
二、填空题
4．公共，反向延长线．
5．公共，反向延长线．
6．对顶角相等．
7．略．
三、解答题
8．∠2＝60°．
9．∠4＝43°．
10.解：设∠BOE=x°，则∠AOD=4x°.
因为OE平分∠BOD，所以∠BOD=2∠BOE=2x°.
因为∠AOD+∠BOD=180°，所以6x=180，解得x=30，
所以∠AOD=120°，∠BOD=60°，∠BOE=
30°，∠COE=
150°，
因为OF平分∠COE，所以么，
所以∠BOF
=∠EOF-∠BOE=
45°，
所以∠AOF=180°-∠BOF
=135°．
点拨：求一个角的度数，可将这个角转化为其他几个角的和或差，然后分别求这几个角的度数．有些求角度的问题运用方程思想求解，更加简单明了，
11.解：由对顶角相等可得∠1=∠2=80°，因为∠1=2∠3，所以∠3=40°，所以∠4=∠3=40°（对顶角相等）．
12．120°．提示：设∠DOE＝x°，由∠AOB＝∠AOD＋∠DOB＝6x＝180°，可得x＝30°，∠AOF＝4x＝120°．
13．(1)有6对对顶角，12对邻补角．
(2)有12对对顶角，24对邻补角．
(3)有m(m－1)对对顶角，2m(m－1)对邻补角．平行线的性质
课后作业
一、填空题
1．如图所示，工人师傅在加工零件时，发现AB∥CD，∠A=40°，∠E=80°，小芳用学过的知识，得出∠C=______．
2．如图所示，若AB∥CD，∠1=∠2，∠1=55°，则∠3=______．
二、选择题
3．如图,由AB∥CD,可以得到(
)
A.∠1=∠2
B.∠1=∠4
C.∠2=∠3
D.∠3=∠4
4．如图,AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=(
)
A.
B.
C.
D.
5．如图所示，AD∥EF∥BC，AC平分∠BCD，图中和α相等的角有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
6．如图所示，两平面镜α、β，的夹角60°，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的反射光线O′B平行于α，则∠1的度数为（
）
A．60°
B．45°
C．30°
D．75°
7.若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相(
)
A.垂直
B.平行
C.重合
D.相交
8.如图3所示,CD∥AB,OE平分∠AOD,OF⊥OE,∠D=50°,则∠BOF为(
)
A.35°
B.30°
C.25°
D.20°
9．如图所示,已知DE∥BC,CD是∠ACB的平分线,∠B=72°,∠ACB=40°,那么∠ BDC等于(
)
A.78°
B.90°
C.88°
D.92°
三、解答题
10．如图所示，L1∥L2，CD⊥L2垂足为C，AO与L1交于B，与CD交于点O，若∠AOD=130°，求∠1的度数．
11．如图，已知B，E分别是线段AC，DF上的点，AF交BD于G，交EC于H，∠1=∠2，∠D=∠C，求证：DF∥AC．
12．如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=58°，求∠BEG度数．
参考答案
答案：40°
解析：过点E作AB的平行线后可得到∠E=∠A+∠C
2.答案：70°
解析：∠3=180°-2∠1=70°
3．答案：B
解析：两直线平行，内错角相等
4．答案：C
解析：∠BAC+∠ACE+∠CEF=∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF
=
5．答案：C
解析：∠FGC=∠FCA=∠BCA=∠DAC
6．答案：A
解析：a∥O′B，∴∠1=180°-60×2=60°
7．答案：B
解析：平行线的性质和判定
8．答案：C
解析：∠BOD=∠D=50°，OF平分∠BOD.
9．答案：C
解析：∠CDE=20°，∠BDE=180°-72°=108°，∠ BDC=88°
10．答案：40°
解析：过O作OE∥L1，∴∠1=∠AOE，而∠AOE=130°-90°=40°，∴∠1=40°
11．答案：∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴BD∥EC
∴∠DBC+∠C+180°，又∵∠D=∠C
∵∠DBC+∠D=180°，∴DF∥AC
12．答案：64°
解析：∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEC，而EF是折痕
∴∠FEG=∠FEC，又∵∠EFG=58°
∴∠BEG=180°-2∠FEC=180°-2×58°=64°2.1.2两条直线的位置关系
一、选择题
1.如图所示，AO⊥BC，OM⊥ON，则图中互余的角有
(
)
A.3对
B.4对
C.5对
D．6对
2.点到直线的距离是指
(
)
A.
直线外一点与这条直线上任意一点的距离’
B．直线外一点到这条直线的垂线的长度
C．直线外一点到这条直线的垂线段
D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度
3．如图，若AO⊥CO，BO⊥DO，且∠BOC＝，则∠AOD等于(
)．
A.180°－2
B.180°－
C.
D.2－90°
二、判断下列语句是否正确
4．点到直线的距离，是过这点画这条直线的垂线，这点与垂足的距离．(
)
5．在三角形ABC中，若∠B＝90°，则AC＞AB．
(
)
6．若两条直线相交所构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直．
(
)
7．平面内，过线段AB外一点有且只有一条直线与AB垂直．
(
)
三、解答题
8.噪音对环境的影响与距离有关，与噪音来源距离越近噪音越大．如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由点A向点B行驶，M是位于公路AB一侧的某所学校．通过画图完成下列问题，并说明理由．
(1)汽车行驶到什么位置时，学校M受噪音影响最严重？
(2)在什么范围内，学校M受噪音影响越来越大？在什么范围内，学校M受噪音影响越来越小？
9.如图所示，村庄A要从河流l引水入庄，需修筑一水渠，请你画出修筑水渠的最短路线．
10.如图所示，O为直线AB上一点，∠BOC=3∠AOC，OC平分∠AOD.
(1)求∠AOC的度数；
(2)推测OD与AB的位置关系，并说明理由.
11.如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OB平分∠DOF，若∠EOC=110°，求∠BOF、∠COF的度数.
12．已知点M，试在平面内作出四条直线l1，l2，l3，l4，使它们分别到点M的距离是1.5cm．
13．一个锐角与一个钝角互为邻角，过顶点作公共边的垂线，若此垂线与锐角的另一边构成直角，与钝角的另一边构成直角，则此锐角与钝角的和等于直角的多少倍
参考答案
一、选择题
1.B
解析：∵AO⊥BC，OM⊥ON，
∴∠BOA=∠AOC=∠MON=90°．
∴图中互余的角有∠BOM与∠MOA，∠MOA与∠AON，∠AON与∠NOC，∠BOM与∠NOC，共4对．
2.D
解析：注意数学语言叙述的规范性与严密性.
3．B．
二、判断下列语句是否正确
4．√，
5．√，
6．√，
7．√，
三、解答题
8.解：(1)如图，根据“垂线段最短”，过点M作线段AB的垂线，垂足为P，所以汽车行驶到P点时，学校M受噪音影响最严重
(2)由(1)可知，
汽车行驶在AP段时，学校M受噪音影响越来越大；汽车行驶在PB段时，学校M受噪音影响越来越小．
9.解：如图所示，过点A作AE⊥l于点E，根据垂线段最短，可知AE就是村庄A修筑水渠的路线．
10.解:(1)因为∠BOC=
3∠AOC，∠BOC+∠AOC=180°，所以∠BOC=135°，∠AOC=
45°．
(2)推测：OD⊥AB.理由：因为OC平分∠AOD，所以∠DOC=∠AOC=45°，所以∠AOD=
90°，所以OD⊥AB．
11.解:∠AOC=∠EOC-∠EOA=110°-90°=20°．
所以∠BOF=∠BOD=∠AOC=20°，
所以∠COF=180°-∠AOC-∠BOF=180°-20°-20°=140°，
12．以点M为圆心，以R＝1.5cm长为半径画圆M，在圆M上任取四点A，B，C，D，依次连接AM，BM，CM，DM，再分别过A，B，C，D点作半径AM，BM，CM，DM的垂线l1，l2，l3，l4，则这四条直线为所求．
13．提示：如图，
∴是倍．用尺规作角
课后作业
一、选择题
1、尺规的作图是指（ ）
A. 用直尺规范作图
B. 用刻度尺和圆规作图
C. 用没有刻度的直尺和圆规作图
D. 直尺和圆规是作图工具
2、下列关于作图的语句中正确的是（ ）
A. 画直线AB=10厘米
B. 画射线OB=10厘米
C. 已知A，B，C三点，过这三点画一条直线
D. 过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行
3、如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A. 同位角相等，两直线平行
B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行
D. 两直线平行，同位角相等
4、如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，作图痕迹⌒MN是（ ）
A. 以点B为圆心，OD为半径的圆
B. 以点B为圆心，DC为半径的圆
C. 以点E为圆心，OD为半径的圆
D. 以点E为圆心，DC为半径的圆
5、如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，⌒FG是（ ）
A. 以点C为圆心，OD为半径的弧
B. 以点C为圆心，DM为半径的弧
C. 以点E为圆心，OD为半径的弧
D. 以点E为圆心，DM为半径的弧
二、填空题
6、如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠ACB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P，使点P落在∠ACB的平分线上．
．
7、如图所示，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作法的合理顺序是
．（将①②③重新排列）
①作射线OC；
②以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于D、E；
③分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．
8、画线段AB；延长线段AB到点C，使BC=2AB；反向延长AB到点D，使AD=AC，则线段CD=
AB．
9、已知∠AOB，点P在OA上，请以P为顶点，PA为一边作∠APC=∠O
（不写作法，但必须保留作图痕迹）
问：PC与OB一定平行吗？
答：
．
10、如图已知∠AOB内有两点，M、N求作一点P，使点P在∠AOB两边距离相等，且到点M、N的距离也相等，保留作图痕迹并完成填空．
解：（1）连接
；作
垂直平分线CD；
（2）作∠AOB的
OE与CD交于点
，所以点
就是要找的点．
三、解答题
11、如图，在方格纸上：
（1）已有的四条线段中，哪些是互相平行的？
（2）过点M画AB的平行线．
（3）过点N画GH的平行线．
12、如图，已知∠α，∠β，用直尺和圆规求作一个∠γ，使得∠γ=∠α-∠β．（只须作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法）
参考答案
1．解析：根据尺规作图的定义可知：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．
故选C．
2．解析：A、直线没有长度，错误；
B、射线没有长度，错误；
C、三点有可能在一条直线上，可画出一条直线，也可能不在一条直线上，此时可画出三条直线，错误；
D、正确．
故选D．
3．解析：图中所示过直线外一点作已知直线的平行线，则利用了同位角相等，两直线平行的判定方法．
故选A．
4．解析：作∠OBF=∠AOB的作法，由图可知，
①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线OA、OB分别为点C，D；
②以点B为圆心，以OC为半径画圆，分别交射线BO、MB分别为点E，F；
③以点E为圆心，以CD为半径画圆，交⌒EF于点N，连接BN即可得出∠OBF，则∠OBF=∠AOB．
故选D．
5．解析：根据题意，所作出的是∠BCN=∠AOB，
根据作一个角等于已知角的作法，⌒FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选D．
6．解析：作法：
7．解析：作法：（1）以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于D、E；
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C，
（3）作射线OC，
所以OC就是所求作的∠AOB的平分线．
故题中的作法应重新排列为：②③①．
故答案为：②③①．
8．解析：（1）画线段AB；
（2）延长线段AB到点C，使BC=2AB；
（3）反向延长AB到点D，使AD=AC；
由图可知，BC=2AB，AD=AC=3AB，故CD=6AB．
9．解析：作图如下：
PC与OB一定平行．
故答案是：平行．
10．解析：如图，
故答案为：（1）MN，MN，
（2）角平分线，P，P．
11．解析：
（1）由图形可得：AB∥CD．
（2）（3）所画图形如下：
12．解析：作图如下，∠BCD即为所求作的∠γ．探索平行的条件(一)
课后作业
一、选择题
1、如图，与∠1是内错角的是（ ）
A. ∠2
B. ∠3
C. ∠4
D. ∠5
2、如图，在所标识的角中，同位角是（ ）
A. ∠1和∠2
B. ∠1和∠3
C. ∠1和∠4
D. ∠2和∠3
3、如图，其中同旁内角有（ ）
A. 2对
B. 4对
C. 6对
D. 8对
4、如图所示，同位角共有（ ）
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
5、已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角是（ ）
A. ∠AMF
B. ∠BMF
C. ∠ENC
D. ∠END
二、填空题
6、如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6中，同旁内角共有
对．
7、如图，与图中的∠1成内错角的角是
．
8、平面内5条直线两两相交，且没有3条直线交于一点，那么图中共有
对同旁内角．
9、如图所示，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为
．
10、如图所示，已知∠C=100°，若增加一个条件，使得AB∥CD，试写出符合要求的一个条件
．
三、解答题
11、如图，直线a、b被直线l所截，已知∠1=40°，试求∠2的同位角及同旁内角的度数．
12、如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
（1）请指出与∠1是同位角的有哪些角？
（2）请指出与∠2是内错角的有哪些角？
参考答案
1．解析：根据内错角的定义，∠1的内错角是∠3．
故选B．
2．解析：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，
A、∠1和∠2是邻补角，故A错误；
B、∠1和∠3是邻补角，故B错误；
C、∠1和∠4是同位角，故C正确；
D、∠2和∠3是对顶角，故D错误．
故选：C．
3．解析：由同旁内角的定义可知：
以AB为截线，有一对同旁内角；以BC为截线，有一对同旁内角；以CD为截线，有2对同旁内角；以AD为截线，有2对同旁内角．
故图中有6对同旁内角，
故选C．
4．解析：如图，∠1与∠2，∠3与∠4分别是两对同位角．
故选B．
5．解析：∵直线AB、CD被直线EF所截，
∴只有∠END与∠EMB在截线EF的同侧，且在AB和CD的同旁，
即∠END是∠EMB的同位角．
故选D．
6．解析：图中同旁内角有：∠2和∠3，∠4和∠5，∠3和∠4，∠2和∠5，∠1和∠6，共5对．
故答案为5．
7．解析：如图，AB与CD被BD所截，
∵∠1和∠BDC在AB与DC之间，且在BD两侧，
∴∠1的内错角是∠BDC．
故答案为：∠BDC．
8．解析：如图所示：
∵平面上5条直线两两相交且无三线共点，
∴共有30条线段．
又∵每条线段两侧各有一对同旁内角内角，
∴共有同旁内角
30×2=60对．
故答案为：60．
9．解析：根据题意，∠1与∠2是三角尺的同一个角，
所以∠1=∠2，
所以，AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：平行．
10．解析：∵∠1=100°，
要使AB∥CD，
则要∠BEC=180°-100°=80°（同旁内角互补两直线平行）．
11．解析：
∵∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°，4=180°-∠1=140°，
即∠2的同位角市140°，∠2的同旁内角是40°．
12．解析：（1）与∠1是同位角的角是∠C，∠MOE，∠AOF；
（2）与∠2是内错角的角是∠MOE，∠AOE．2.1.1
两条直线的位置关系
一、选择题
1．若两个角互补，则（
）
A．这两个角都是锐角
B．这两个角都是钝角
C．这两个角一个是锐角，一个是钝角
D．以上答案都不对
2．一个锐角的余角（
）
A．一定是钝角
B．一定是锐角
C．可能是锐角，也可能是钝角
D．以上答案都不对
3．下列说法正确的是（
）
A．有公共顶点的两个角是对顶角
B．有公共定点且有一条边在同一直线上的两个角是对顶角
C．两边互为反向延长线的两个角是对顶角
D．有公共顶点且相等的两个角是对顶角
4．如图直线AB和CD相交于O，，∴，其推理依据是（
）
A．同角的余角相等
B．等角的余角相等
C．同角的补角相等
D．等角的补角相等
5．互为补角的两个角的度数之比为3：2，则这两个角分别是（
）
A．108°和72°
B．95°和85°
C．100°和80°
D．110°和70°
二、判断题
6.一个锐角的补角，总是大于这个角的余角；（
）
7.一个角的补角，总是大于这个角；（
）
8.相等的角，一定是对顶角；（
）
9.一个锐角的余角，总是锐角；（
）
10.一个角的补角，总是钝角；（
）
11.锐角一定小于余角．（
）
三、填空题
12．如果两个角的和是_________，称这两个角互余；
13．如果两个角的和是平角，称这两个角______；
14．同角的余角______，同角的补角______，对顶角______；
15．两条直线相交所构成的角中，如果有一个角是直角，那么其余的3个角________
16．如图，直线相交于一点O，对顶角一共有__________对；
四、解答题
17．如图，直线AB、CD相交于O，，求的度数．
18．如图所示，直线相交于点O，若已知，你能求出的度数吗？
19．如图，三条直线相交于一点O，求的值．
参考答案
一、选择题
1．D
2．B
3．C
4．D
5．A
二、判断题
6.√
7.×
8.×
9.√
10.×
11.×
三、填空题
12．直角
13．互为补角
14．相等、相等、相等
15．都是直角
16．6
四、解答题
17．75°
18．．
19．180°（提示：和是对顶角，所以，且，故2.1.1两条直线的位置关系
一、选择题
1．图中是对顶角的是(
)．
2．如图，∠1的邻补角是(
)．
(A)∠BOC
(B)∠BOC和∠AOF
(C)∠AOF
(D)∠BOE和∠AOF
3．如图，直线AB与CD相交于点O，若，则∠BOD的度数为(
)．
(A)30°
(B)45°
(C)60°
(D)135°
4．如图所示，直线l1，l2，l3相交于一点，则下列答案中，全对的一组是(
)．
(A)∠1＝90°，∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°
(B)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝30°
(C)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝60°
(D)∠1＝∠3＝90°，∠2＝60°，∠4＝30°
二、填空题
5.如图所示，直线AB与CD相交于点O，∠AOD+∠BOC=100°，则∠AOC=____.
6.如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，若∠1=20°，∠2=40°，则∠3=____，∠4=____，∠5=____，∠6=____．
7.在日常生活中，我们经常会用到剪刀，如图所示，当剪刀口∠AOB增大15°时，∠COD增大____，其根据是____．
三、解答题
8.如图所示，直线AB与CD相交于点O，∠AOC：∠AOD=2：3，求∠BOD的度数．
9.如图所示，AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=120°，求∠BOD、∠AOE的度数．
10.如图所示，三条直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOF
=75°，∠BOD=68°，求∠COE的度数.
11.如图5.1.1-9所示，AB、CD相交于点F，FA是∠CFE的平分线，若∠1=60°，求∠2、∠EFB的度数．
12.如图所示，AD、BC相交于点O，且∠A=∠AOB，∠COD=∠C.
试说明：∠A=∠C.
13.如图所示，已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠COB：∠DOF=3：1，∠BOF=
20°，球∠DOE的度数．
14.如图所示，已知直线AB与直线EF交于点O，且∠AOE=
90°，∠2=∠3，∠1=56°，求∠AOC、∠EOC、∠COP的度数．
15.如图5.1.
1-14所示，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，你能求出∠AOC的度数吗？
参考答案
一、选择题
1．A．
2．D．
3．B．
4．D．
二、填空题
5.130°
解析：∵∠BOC=∠AOD,∠AOD+∠BOC=100°，∴∠BOC=∠AOD=50°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=130°．
6.20°，40°，120°，120°
解析：∠3=∠1=20°，∠4=∠2=40°
（对顶角相等），∠5=180°-∠3-∠4=120°（平角的定义），∠6=∠5
=120°（对顶角相等）．
7.15°，对顶角相等
解析因为∠AOB与∠COD是对顶角，两角始终相等，所以随着∠AOB变化，∠COD也发生同样的变化，故∠AOB增大15°，∠COD也增大15°.
三、解答题
8.解：设∠AOC=2x°，则∠AOD=
3x°，因为∠AOC+∠AOD=180°（邻补角互补），所以2x°+3x°=180°，所以x=36.
所以∠AOD=108°，所以∠BOD=180°-∠AOD=
72°．
9.解：因为∠AOC=120°，所以∠AOD=180°-∠AOC=
60°．
所以∠BOD
=180°
-∠AOD=120°,
．
10
解：∵∠AOF=
75°，∠BOD=68°，
∴∠DOF
=180°-∠AOF-∠BOD=180°-75°-68°=37°，
∴∠COE=∠DOF=37°．
11.解：因为FA是∠CFE的平分线，
所以．
所以∠BFD=∠AFC=
60°，所以∠EFB=∠BFD+∠1=120°．
12
解：因为AD、BC相交于点O（已知），所以∠AOB与∠COD是对顶角（对顶角的定义），所以∠AOB=∠COD（对顶角相等）．
因为∠AOB=∠A（已知），∠COD=∠C(已知)，
所以∠A=∠C（等量代换）．
13
解：∵∠BOF=20°，
∴∠COB+∠DOF=180°-
20°=160°，
∵∠COB：∠DOF=3：1，
∴可设∠COB=3x°，∠DOF=x°，
∴3x+x=160,4x
=160,x=40.
∴∠COB=120°，∠DOF=
40°，
∴∠DOE=180°-40°=140°，
14.解：∠AOC=∠2=90°-∠1=34°．
∠EOC=180°-∠1=124°．
∠CDP=180°-
2∠2
=180°-
2∠AOC=112°，
15.解：∵AB是直线（已知），
∴∠AOE与∠BOE是邻补角（邻补角的定义）．
∴∠AOE+∠BOE=180°（补角的定义）．
又∠AOE=150°（已知），
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-
150°=30°，
∵OE平分∠BOD(已知)，
∴∠BOD=
2∠BOE(角平分线的定义)，
即∠BOD=2×30°=60°．
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD(对顶角相等)．
∴∠AOC=
60°．2.3.1平行线的性质
1.如图所示，m∥n，直线l分别交m、n于点A、点B，AC⊥AB，AC交直线n于点C，若∠1=35°，则∠2等于
(
)
A
35°
B.45°
C.
55°
D.
65°
2.如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE=126°，则∠DBC的度数为____.
3．平行线具有如下性质：
(1)性质1：______被第三条直线所截，同位角______．这个性质可简述为两直线______，同位角______．
(2)性质2：两条平行线__________________，_______相等．这个性质可简述为______
_______，_____________．
(3)性质3：__________________，同旁内角______．这个性质可简述为_____________，
__________________．
4．如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
(1)如果AB∥EF，那么∠2＝______．理由是____________________________________．
(2)如果AB∥DC，那么∠3＝______．理由是____________________________________．
(3)如果AF∥BE，那么∠1＋∠2＝______．理由是______________________________．
(4)如果AF∥BE，∠4＝120°，那么∠5＝______．理由是________________________．
5．如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4．
解题思路分析：欲求∠4，需先证明______∥______．
解：∵∠1＝∠2，(
)
∴______∥______．(__________，__________)
∴∠4＝______＝______°．(__________，__________)
6．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠B．
求证：CD是∠BCE的平分线．
证明思路分析：欲证CD是∠BCE的平分线，
只要证______＝______．
证明：∵AB∥CD，(
)
∴∠2＝______．(____________，____________)
但∠1＝∠B，(
)
∴______＝______．(等量代换)
即CD是________________________．
7．已知：如图，AB∥CD，∠B＝35°，∠1＝75°．求∠A的度数．
解题思路分析：欲求∠A，只要求∠ACD的大小．
解：∵CD∥AB，∠B＝35°，(
)
∴∠2＝∠______＝_______°．(____________，____________)
而∠1＝75°，
∴∠ACD＝∠1＋∠2＝______°．
∵CD∥AB，(
)
∴∠A＋______＝180°．(____________，____________)
∴∠A＝_______＝______．
8.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式：
(1)小于直角的角是锐角；
(2)同位角相等；
(3)两直线平行，同旁内角互补；
(4)内错角相等，两直线平行；
(5)对顶角相等；
(6)不相等的角，不是同位角．
9.如图1，CE∥AB，所以∠ACE=∠A，∠DCE=∠B，所以∠ACD=∠ACE+∠DCE=∠A+∠B．这是一个有用的结论，借用这个结论，在图2所示的四边形ABCD内，引一条和边AB平行的直线，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数．
10．已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB于M点且EF交CD于N点．求证：EF⊥CD．
11．问题探究：
(1)如果一个角的两条边与另一个角的两条边分别平行，那么这两个角的大小有何关系 举例说明．
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的大小有何关系 举例说明．
12．如图，AB，CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A，C两点，点E是橡皮筋上的一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A，∠AEC，∠C之间具有怎样的关系并说明理由．(提示：先画出示意图，再说明理由)．
参考答案
1．C解析：∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°．
又∵∠1=35°，
∴m与AC所夹的角为55°，
∵m∥n，∴∠2=55°，
故选C．
2.54°
解析首先求出∠ADE的邻补角∠ADF=180°-126°=54°，再根据AD∥BC可得∠DBC=∠ADF=54°．
3．(1)两条平行线，相等，平行，相等．
(2)被第三条直线所截，内错角，两直线平行，内错角相等．
(3)两条平行线被第三条直线所截，互补．两直线平行，同旁内角互补．
4．(1)∠5，两直线平行，内错角相等．
(2)∠1，两直线平行，同位角相等．
(3)180°，两直线平行，同旁内角互补．
(4)120°，两直线平行，同位角相等．
5～7
略．
8.解：(1)如果一个角小于直角，那么这个角是锐角；
(2)如果两个角是同位角，那么这两个角相等；
(3)如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；
(4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
(5)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
(6)如果两个角不相等，那么它们不是同位角.
9.解：如图所示，过点D作DE∥AB，交BC于点E，∴∠A+∠ADE=180°，∠B+∠
DEB=180°，
由题意得，∠DEB=∠C+∠EDC，则∠A+∠B+∠C+∠ADC=∠A+∠B+∠C+∠EDC+∠ADE=∠A+∠B+∠DEB+∠ADE=360°，
10.略
11．(1)(2)均是相等或互补．
12．提示：
这是一道结论开放的探究性问题，由于E点位置的不确定性，可引起对E点不同位置的分类讨论．本题可分为AB，CD之间或之外．
如：
结论：①∠AEC＝∠A＋∠C
②∠AEC＋∠A＋∠C＝360°
③∠AEC＝∠C－∠A
④∠AEC＝∠A－∠C
⑤∠AEC＝∠A－∠C
⑥∠AEC＝∠C－∠A．2.3.2平行线的性质
1.如图所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD相等的角有
(
)
A.1个
B.2个
C．3个
D．4个
2.如图所示，CD∥OB，EF∥OA.推理填空：
因为CD∥OB(已知)，
所以∠1=∠2(
)．
因为EF∥OA(已知)，
所以∠O=∠2(
)．
所以∠O=∠1（等量代换）．
因为∠1+∠3=180°(
)，
所以∠O+∠3=180°(
)．
因为∠1=∠4(
)，
所以∠O=∠4(
)．
因为∠5=∠3(
)，
所以∠O+∠5=180°(
)．
3．同时______两条平行线，并且夹在这两条平行线间的______________叫做这两条平行线的距离．
4．已知：如图，DE∥AB．请根据已知条件进行推理，分别得出结论，并在括号内注明理由．
(1)∵DE∥AB，(
)
∴∠2＝______．(__________，__________)
(2)∵DE∥AB，(
)
∴∠3＝______．(__________，__________)
(3)∵DE∥AB(
)，
∴∠1＋______＝180°．(______，______)
5．已知：如图，∠1＋∠2＝180°．求证：∠3＝∠4．
证明思路分析：欲证∠3＝∠4，只要证______∥______．
证明：∵∠1＋∠2＝180°，(
)
∴______∥______．(__________，__________)
∴∠3＝∠4．(______，______)
6．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：BE∥CF．
证明思路分析：欲证BE∥CF，只要证______＝______．
证明：∵AB∥CD，(
)
∴∠ABC＝______．(____________，____________)
∵∠1＝∠2，(
)
∴∠ABC－∠1＝______－______，(
)
即______＝______．
∴BE∥CF．(__________，__________)
7．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝50°．求∠D的度数．
分析：可利用∠DCE作为中间量过渡．
解法1：∵AB∥CD，∠B＝50°，(
)
∴∠DCE＝∠_______＝_______°．(____________，______)
又∵AD∥BC，(
)
∴∠D＝∠______＝_______°．(____________，____________)
想一想：如果以∠A作为中间量，如何求解
解法2：∵AD∥BC，∠B＝50°，(
)
∴∠A＋∠B＝______．(____________，____________)
即∠A＝______－______＝______°－______°＝______°．
∵DC∥AB，(
)
∴∠D＋∠A＝______．(_____________，_____________)
即∠D＝______－______＝______°－______°＝______°．
8．已知：如图，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数．
解：过P点作PM∥AB交AC于点M．
∵AB∥CD，(
)
∴∠BAC＋∠______＝180°．(
)
∵PM∥AB，
∴∠1＝∠_______，(
)
且PM∥_______．(平行于同一直线的两直线也互相平行)
∴∠3＝∠______．(两直线平行，内错角相等)
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，(
)
______，______．(
)
．(
)
∴∠APC＝∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝90°．(
)
总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线______．
9.如图所示，AB∥CD,AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有几个？
10．如图，某县电信公司在由东向西埋设通信电缆，他们从点A埋到点B时突然发现前方是一个具有研究价值的古墓葬群，不得不改变方向绕开古墓葬群，结果改为南偏西44°方向埋设到点C处，再沿古墓葬群边缘埋设到点D处，测得∠BCD=65°，现要恢复原来的正西方向DE，则∠CDE应等于多少度？
11．如图，DE∥BC，∠D∶∠DBC＝2∶1，∠1＝∠2，求∠E的度数．
12．如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．
参考答案
1.D解析：与∠FCD相等的角有∠1、∠F、∠ABG、∠BAF，共4个.
2.两直线平行，内错角相等
两直线平行，同位角相等
平角的定义
等量代换
对顶角相等
等量代换
对顶角相等
等量代换
3．垂直于，线段的长度．
4．(1)已知，∠5，两直线平行，内错角相等．
(2)已知，∠B，两直线平行，同位角相等．
(3)已知，∠2，两直线平行，同旁内角互补．
5～8
略
9.解：图中与∠CAB互余的角有3个：∠ABC、∠3、∠2．
10.解：如图,
作两条与南北方向平行的直线，∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1=
44°，∠2+∠3=65°，∴∠2=44°，∠3=21°，
∴∠4=21°.∵∠CDE=90°+∠4，∴∠CDE=111°.
11．30°．
12．95°．2.1.2两条直线的位置关系
一、选择题
1.下列说法中，正确的是
(
)
A.两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直
B.两条直线相交成四个角，如果有两组角相等，那么这两条直线垂直
C.两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线垂直
D．两条直线相交成四个角，如果有两个角互补，那么这两条直线垂直
2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是
(
)
A.∠2=45°
B.∠1=∠3
C．∠AOD与∠1互为补角
D．∠1的余角等于75°30′
3．如图，BC⊥AC，CD⊥AB，AB＝m，CD＝n，则AC的长的取值范围是(
)．
A.AC＜m
B.AC＞n
C.n≤AC≤m
D.n＜AC＜m
4．如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥BC于点E，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有(
)．
A.3条
B.4条
C.7条
D.8条
二、判断下列语句是否正确
5．连接直线l外一点到直线l上各点的线段中，垂线段最短．
(
)
6．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．
(
)
7．两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直．(
)
8．一条直线的垂线只能画一条．
(
)
三、解答题
9.如图所示，过P点分别作出线段AB、CD的垂线．
10.如图所示，直线AB、CD、EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE=70°，求∠DOG的度数．
11.如图所示，已知AO⊥BO，OD平分∠AOC，∠BOC=3∠AOD，求∠DOC的度数．
12.如图所示，AO⊥BO，DO⊥EO，点C、O、E在一条直线上，∠BOC=
25°，求∠AOD的度数.
13．已知：如图，三条直线AB，CD，EF相交于O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．求∠DOG．
14．从点O引出四条射线OA，OB，OC，OD，且AO⊥BO，CO⊥DO，试探索∠AOC与∠BOD的数量关系．
参考答案
一、选择题
1.C解析：A项可以指对顶角相等；B项可以指两组对顶角相等；
D项可以指邻补角互补．
2.D
解析：因为OE⊥AB，所以∠AOE=
90°．
因为OF平分∠AOE，
所以，所以A正确．
因为∠1与∠3是对顶角，所以∠1=∠3，所以B正确．
因为点A、O、B在同一直线上，所以∠AOD与∠1互为补角，所以C正确.
因为∠1=15°30′，所以∠1的余角=90°-15°30′=74°30′，所以D不正确．
3．D．
4．D．
二、判断下列语句是否正确
5．√，
6．×，
7．√，
8．×.
三、解答题
9.解：如图所示．
10.解：∵∠AOE=
70°，
∴∠BOF=∠AOE=
70°．
∵OG平分∠BOF，
∴，
∵CD⊥EF，
∴∠DOF=90°，
∴∠BOD=
90°-∠BOF=
90°-
70°=20°，
∴∠DOG=∠BOD+∠BOG=20°+35°=55°．
11.解：设∠DOC=x°，因为∠BOC=3∠AOD．所以3x+x+x+90=
360，所以x=54.即∠DOC=54°，
12.解：∠AOE=
90°-∠BOC=90°-25°=65°．
∠AOD=∠DOE+∠AOE=90°+65°=155°．
13．55°．
14．相等或互补．2.3平行线的性质
一、夯实基础
1.如图，已知AB∥CD，∠DFE=135°，则∠ABE的度数为(
)
(A)30°
(B)45°
(C)60°
(D)90°
2.如图,已知AB∥CD,BC
平分∠ABE,
∠C=34°,则∠BED
的度数是(
)
(A)17°
(B)34°
(C)56°
(D)68°
3.如图，三角形ABC的三个顶点分别在直线a,b上，且a∥b，若∠1＝120°，∠2＝80°，则∠3的度数是(
)
(A)40°
(B)60°
(C)80°
(D)120°
4.如图，AB∥CD，CE交AB于点E，EF平分∠BEC，交CD于F.若∠ECF=40°，则∠CFE=_______度.
5.如图,直尺一边AB与量角器的零刻度线CD平行,若量角器的一条刻度线OF的读数为70°,OF
与AB交于点E,那么∠AEF=_______度.
6.如图，AB∥CD，CD∥EF，∠A=110°,∠E=30°，则∠ACE=_______.
二、能力提升
7.如图,直线AB,CD
分别与直线AC
相交于点A,C,与直线BD
相交于点B,D.若∠1=∠2,
∠3=75°,求∠4的度数.
8.如图，∠B,∠D的两边分别平行.
在图①中，∠B与∠D的数量关系为_______.
在图②中，∠B与∠D的数量关系为_______.
试分别说明理由,并用一句话归纳结论.
9.如图，已知AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB，∠PCD的关系，请从你所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.
结论：(1)______________.
(2)
______________.
(3)
______________.
(4)
______________.
选择结论：______________，说明理由.
三、课外拓展
10.如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的关系，并说明理由.
四、中考链接
11.(广元中考)一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向平行行驶，那么这两个拐弯的角度可能是(
)
(A)先向左转130°，再向左转50°
(B)先向左转50°，再向右转50°
(C)先向左转50°，再向右转40°
(D)先向左转50°，再向左转40°
参考答案
一、夯实基础
1.【解析】选B.因为∠DFE=135°，
所以∠CFE=180°-135°=45°，
又因为AB∥CD，
所以∠ABE=∠CFE=45°.故选B.
2.【解析】选D.因为AB∥CD,所以∠ABC=∠C=34°,又因为BC平分∠ABE,所以∠ABE=2∠ABC=68°,所以∠BED=∠ABE=68°.
3.【解析】选A.因为a∥b，
所以∠1＝∠2＋∠3＝120°，
又因为∠2＝80°，
所以∠3＝120°－∠2＝120°－80°＝40°.
4.【解析】因为AB∥CD，
所以∠CFE=∠BEF，∠ECF+∠BEC=180°.
又因为∠ECF=40°，
所以∠BEC=140°.
因为EF平分∠BEC，
所以∠BEF=∠BEC=70°.
所以∠CFE=70°.
答案：70
5.【解析】直尺的对边互相平行,∠COF与∠AEF是同位角,又∠COF=70°,根据两直线平行,同位角相等,得∠AEF=70°.
答案：70
6.【解析】因为AB∥CD，∠A=110°,
所以∠ACD=180°-∠A=180°-110°=70°,
因为CD∥EF，∠E=30°,
所以∠ECD=∠E=30°,
所以∠ACE=∠ACD-∠ECD=70°-30°=40°.
答案：40°
二、能力提升
7.【解析】因为∠1=∠2,所以AB∥CD.
所以∠3=∠4.
因为∠3=75°,
所以∠4=75°.
8.【解析】图①中∠B与∠D相等.理由：
如图(1),因为BE∥DF，
所以∠CME=∠D，
因为AB∥DC，
所以∠B=∠CME，
所以∠B=∠D.
图②中∠B与∠D互补.理由：
如图(2)，因为BE∥DF，
所以∠BND+∠D=180°,
因为AB∥DC，
所以∠B=∠BND，
所以∠B+∠D=180°.
结论：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.
9.【解析】结论：(1)∠PAB+∠APC+∠PCD=360°
(2)∠APC
=∠PAB+∠PCD
(3)∠APC
=∠PCD-∠PAB
(4)∠APC
=∠PAB-∠PCD
选择结论：
答案不惟一，
理由：(1)过点P作PQ∥AB，因为AB∥CD，所以PQ∥CD，由PQ∥AB可得∠PAB+∠APQ=180°；由PQ∥CD得∠PCD+∠CPQ=180°,所以∠PAB+∠APQ+∠PCD+
∠CPQ=360°，即∠PAB+∠APC+∠PCD=360°.
(2)过点P作PQ∥AB，因为AB∥CD，所以PQ∥CD，由PQ∥AB可得∠PAB＝∠APQ；由PQ∥CD得∠PCD＝∠CPQ，所以∠APC
=∠PAB+∠PCD.
(3)因为AB∥CD，所以∠PEB＝∠PCD,又因为∠AEP+∠APC+∠PAB＝180°，∠PEB+∠AEP＝180°，所以∠APC+∠PAB＝∠PCD，
即∠APC
=∠PCD-∠PAB.
(4)
因为AB∥CD，所以∠PED＝∠PAB,又因为∠CEP+∠APC+∠DCP＝180°，
∠PED+∠CEP＝180°，所以∠APC+∠PCD＝∠PAB，
即∠APC
=∠PAB-∠PCD.
三、课外拓展
10.【解析】∠AED=∠ACB.
理由如下：因为∠1=∠DFG(对顶角相等)，
又因为∠1+∠2=180°(已知)，
所以∠DFG+∠2=180°(等量代换)，
所以AB∥EG(同旁内角互补，两直线平行).
所以∠B=∠EGC(两直线平行，同位角相等)，
又因为∠3=∠B(已知)，
所以∠3=∠EGC(等量代换)，
所以DE∥BC(内错角相等，两直线平行)，
所以∠AED=∠ACB(两直线平行，同位角相等).
四、中考链接
11.【解析】选B.先向左转a°，再向右转b°形成的两个角是同位角关系，因为两次拐弯后，仍在原来的方向平行行驶，即两直线平行，所以a°=b°，故选B.相交线与平行线
一、选择题
1.下列说法正确的是
(
)
A.有公共顶点且相等的两个角是对顶角
B.相等的角是对顶角
C.互补的两个角一定是邻补角
D．两个邻补角的和是180°
2.下列说法正确的是
(
)
A.两直线被第三条直线所截得的同位角相等
B.两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补
C．两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直
D．两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直
3.如图所示，BD平分∠ABC，CD∥AB，若∠BCD=70°，则∠ABD的度数为(
)
A.55°
B.50°
C.
45°
D.
40°
4．如图，AB∥CD，若∠2是∠1的4倍，则∠2的度数是(
)．
A.144°
B.135°
C.126°
D.108°
5．如图，直线l1，l2被l3所截得的同旁内角为，，要使l1∥l2，只要使(
)．
A.＋＝90°
B.-＝90°
C.0°＜≤90°，90°≤＜180°
D.
6．如图，AB∥CD，FG⊥CD于N，∠EMB＝，则∠EFG等于(
)．
A.180°－
B.90°＋
C.180°＋
D.270°－
7．在5×5的方格纸中，将图a中的图形N平移后的位置如图b所示，那么正确的平移方法是(
)．
图a
图b
A.先向下移动1格，再向左移动1格
B.先向下移动1格，再向左移动2格
C.先向下移动2格，再向左移动1格
D.先向下移动2格，再向左移动2格
8．在下列四个图中，∠1与∠2是同位角的图是(
)．
图①
图②
图③
图④
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
9．如图，AB∥CD，若EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，EN平分∠AEF，则与∠BEM互余的角有(
)．
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
10．把一张对边互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论正确的有(
)．
(1)∠C′EF＝32°
(2)∠AEC＝148°
(3)∠BGE＝64°
(4)∠BFD＝116°
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题
11.如图所示，已知∠A=∠F，∠C=∠D，求证：BD∥CE.
证明：∵∠A=∠F(已知)，
∴AC∥DF(
)
∴∠D=∠1(
)．
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠1=∠C(等量代换)，
∴BD∥CE(
)．
12.如图所示，直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，∠1=
28°，则∠2=____，∠BOE=____．
13．若角与互补，且，则较小角的余角为＿＿＿＿°．
14．如图，已知直线AB、CD相交于O，如果∠AOC＝2x°，∠BOC＝(x＋y＋9)°，∠BOD＝(y＋4)°，则∠AOD的度数为＿＿＿＿．
15．如图，DC∥EF∥AB，EH∥DB，则图中与∠AHE相等的角有_____________________
_______________________________．
16．王强从A处沿北偏东60°的方向到达B处，又从B处沿南偏西25°的方向到达C处，则王强两次行进路线的夹角为______°．
三、解答题
17.如图所示，直线AB、CD、EF被MN所截，∠1=∠2，∠1+∠3=180°．
试说明：CD∥EF.
18.已知：如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，求证：ED∥FB.
19.如图所示，如何判断这块玻璃板的上、下两边平行？
20.如图所示，已知∠A=70°，D是∠BAC内的一点，DF⊥AB于点F，DG∥AC交AB于点G，DE∥AB交AC于点E，求∠GDF、∠DEC的度数．
21.如图所示，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2．求证：∠E=∠F．
22．已知：如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，EF经过点O且平行于BC，分别与AB，AC交于点E，F．
(1)若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；
(2)若∠ABC＝，∠ACB＝，用，的代数式表示∠BOC的度数．
(3)在第(2)问的条件下，若∠ABC和∠ACB邻补角的平分线交于点O，其他条件不变，请画出相应图形，并用，的代数式表示∠BOC的度数．
23．已知：如图，AC∥BD，折线AMB夹在两条平行线间．
(1)判断∠M，∠A，∠B的关系；
(2)请你尝试改变问题中的某些条件，探索相应的结论．
建议：①折线中折线段数量增加到n条(n＝3，4，…)；
②可如图1，图2，或M点在平行线外侧．
图1
图2
参考答案
1.D
2.D
解析平行线的性质对各选项做出判断：
A、B都漏掉关键词“平行”，应该是“两直线平行，同位角相等”，“两直线平行，同旁内角互补”，故A、B错误；
两平行直线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相平行，不垂直，故C错误；
由两直线平行，同旁内角互补及角平分线的性质，可得D是正确的．故选D．
3.A解析:∵CD∥AB,
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∵∠BCD=70°,
∴∠ABC=
180°-
70°=110°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=55°．
故选A.
4．A．
5．D．
6．B．
7．C．
8．B．
9．B．
10．C．
11.内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
同位角相等，两直线平行
12.62°
118°
13．60．
14．110°
15．∠FEH，∠DGE，∠GDC，∠FGB，∠GBA．
16．35．
17.证明：∵∠1=∠2，
∴CD∥AB，
∵∠1+∠3=180°，
∴EF∥AB，
∴CD∥EF，
18.解：因为∠1=∠2，所以AB∥CD.因为∠1+∠3=180°，所以AB∥EF．所以CD∥EF.
证明：∵∠3=∠4（已知），
∴CF∥BD，
∴∠5=∠FAB．
∵∠5=∠6，
∴∠6=∠FAB，
∴AB∥CD，
∴∠2=∠EGA．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠EGA，
∴ED∥FB.
19.解：画一条直线与上、下两边相交，测量一组内错角，看它们是否相等，如果相等，则上、下两边平行，否则上、下两边不平行.
20.解：因为DG∥AC，所以∠DGF=∠A=70°．又因为DF⊥AB，
所以∠GDF=90°-∠DGF=20°，因为DE∥AB，所以∠DEC=∠A=70°
21.证明：∵∠BAP+∠APD=180°，
∴AB∥CD,
∴∠BAP=∠APC.
又∵∠1=∠2,
∴∠FPA=∠EAP,∴AE∥PF,
∴∠E=∠F.
22．(1)∠BOC＝125°；
(2)；
(3)
23．（1）∠M=∠A+∠B．或∠M+∠A+∠B=360°
（2）略2.4
用尺规作角
一、选择题:
1.
如图1，射线OA表示的方向是（
）
A.西北方向;
B.西南方向;
C.西偏南10°;D.南偏西10°
2.如图2所示，下列说法正确的是（
）
A.OA的方向是北偏东30°;
B.OB的方向是北偏西60°
(1)
(2)
C.OC的方向是北偏西75°;D.OC的方向是南偏西75°
3.画一个钝角∠AOB，然后以O为顶点，以OA为一边，
在角的内部画一条射线OC，使∠AOC＝90°，正确的图形是（
）
二、填空题
4已知线段AB，求作：线段A′B′，使A′B′＝AB.
作法：(1)作射线A′C′.
(2)以点A′为圆心，以____________交A′C′于点B′，_________就是所作的线段．
5已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：(1)作射线O′A′
(2)以点O为圆心，以_________长为半径画弧交OA于点C，交OB于点D．
(3)以点O′为圆心，以________长为半径画弧，交O′A′于点C′．
(4)以点C′为圆心，以_________长为半径画弧，交前面的弧于点D′．
(5)过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求作的角．
三、解答题:
6
如图，已知∠1，∠2，求作一个角，使它等于2∠1－∠2。
7已知，直线AB和AB外一点P，作一条经过点P的直线CD，使CD∥A
B。
8已知，如图，∠AOB及其两边上的点C、D，过点C作CE∥OB，过点D作DF∥OA，CE、DF交于点P。
9如图，已知∠AOB＝α，以P为顶点，PC为一边作∠CPD＝α，并用移动三角尺的方法验证PC与OB，PD与OA是否平行。
10明的一张地图上A、B、C三地，但地图被墨迹污染，C
地具体位置看不清楚了，但知道C地在A地的北偏东30°，在B地的南偏东45°，请你帮他确定C地的位置。
11图，古塔直立地面上，塔的中心线OP与地面上的射线OA
成直角，为了测塔的大致高度，在地面上选取与点O相距50m的点A
，
测得∠OAP，用1cm代表10m（即1∶1000的比例尺），画线段AO，再画射线AP、
OP，使∠PAO＝30°，∠POA＝90°，AP、OP相交于P，量PO
的长（精确到1mm），再按比例尺换算出古塔的高。
参考答案
1.D
2.D
3.D
4AB为半径画弧 A′B′
5任意长 OC CD
6略
7略
8略
9用三角尺平移可以验证得PC∥OB，但PD与OA不一定平行，∠CPD=∠AOB=
∠α，有两解，如图:
10地有A地北偏东30°，与B地南偏东45°两条方向线的交点处
111）椐题意画出图形如图所示，其中AO=5cm，∠PAO=30°,∠POA=90°
（2）量出PO约为2.9cm
（3）设塔的实际高度为xm，据题意，得
∴x=29
∴古塔的实际高度为29m。
图表
12.3.1
平行线的性质
一、选择题
1．如果和是同旁内角，且，那么等于（
）
A．75°
B．105°
C．75°或105°
D．大小不定
2．下面的说法中正确的是（
）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．以上都不对
3．两条平行直线被第三条直线所截，下列说法错误的是（
）
A．同位角的平分线互相平行
B．内错角的平分线互相平行
C．同旁内角的平分线互相垂直
D．A、B、C不全对
4．下列角的平分线中，互相垂直的是（
）
A．平行线的同旁内角的平分线
B．平行线的同位角的平分线
C．平行线的内错角的平分线
D．
对顶角的平分线
5．已知是某两条平行线被第三条直线所截得的同旁内角，若，则等于（
）
A．40°
B．50°
C．130°
D．140°
二、填空题
6．如图，如果，则；
7．如图，如果，则，理由是__________，如果，且AE平分，则．
8．如图：已知：，则
9．如图：已知：，则
三、解答题
10．如图：已知，你能求出和的度数吗？
11．如图，已知平分．回答下列问题：（1）等于多少度？为什么？（2）、各等于多少度？为什么？（3）等于多少度？为什么？
12．如图，已知和互补，，求的度数．
参考答案
1．D
2．D
3．D
4．A
5．C
6．＝、＝、180°；
7．两直线平行、内错角相等；＝；
8．100°；
9．110°
10．
11．（1）
（2），因为CB平分
（3）40°，两直线平行，内错角相等．
12．100°平行线的判定
课后作业
一、选择题
1.
下列说法正确的是（
）
A.
同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种
B.
同一平面内，不相交的两条线段平行
C.
不相交的两条直线是平行线
D.
同一平面内，不相交的两条射线平行
2.
下列四种说法中正确的有（
）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
A.
1种
B.
2种
C.
3种
D.
4种
3.
如图所示，给出下列四个条件：①AC＝BD；②∠DAC＝∠BCA；③∠ABD＝∠CDB；④∠ADB＝∠CBD，其中能使AD∥BC的条件是（
）
A.
①②
B.
③④
C.
②④
D.
①③④
4.
如图所示，下列条件中，能判断直线l1∥l2的是（
）
A.
∠2＝∠1
B.
∠1＝∠4
C.
∠2＝∠4
D.
∠4＋∠2＝180°
5.
在同一平面内有三条直线，如果要使其中两条且只有两条平行，那么它们（
）
A.
没有交点
B.
只有一个交点
C.
有两个交点
D.
有三个交点
6.
如图所示的四个图形中，∠1＝∠2，能判定AB∥CD的是（
）
7.
如图所示，要得到DE∥BC，则需要条件（
）
A.
CD⊥AB，GF⊥AB
B.
∠4＋∠5＝180°
C.
∠1＝∠3
D.
∠2＝∠3
8.
如图所示，下列说法正确的是（
）
A.
若∠3＝∠5，则CD∥EF
B.
若∠2＝∠6，则CD∥EF
C.
若∠4＝∠3，则CD∥EF
D.
若∠1＝∠6，则GH∥AB
9.
如图所示，小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（
）
A.
右转80°
B.
左转80°
C.
右转100°
D.
左转100°
二、解答题
10.
如图所示，回答下列问题，并说明理由。
（1）由∠C＝∠2，可判定哪两条直线平行？
（2）由∠2＝∠3，可判定哪两条直线平行？
（3）由∠C＋∠D＝180°，可判定哪两条直线平行？
11.
如图所示，AB∥EF，∠1＝60°，∠2＝120°，试说明CD∥EF。
12．
如图所示，已知DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，∠1＝∠2，∠ADC＝∠ABC，则AB与DC有怎样的位置关系？为什么？
参考答案
答案
A
解析：两条线段或两条射线平行，是指它们所在的直线平行，两条线段或射线不相交，不能保证它们所在的直线不相交，故B、D错误；平行线一定是在同一个平面内，在六面体中，很容易找到既不相交，也不平行的直线，故C错误；根据平行线的定义，易知A正确，故选A。
答案
C
解析：垂线的性质与平行公理在语言表述上极为相似，应注意：垂线性质中“经过一点”，这一点既可以在直线上，也可以在直线外，可以分别叙述，而平行公理必须是“过直线外一点”。
答案C
解析：由∠DAC＝∠BCA（内错角相等，两直线平行）可得AD∥BC，由∠ADB＝∠CBD（内错角相等，两直线平行）也可得AD∥BC，故选C，由AC＝BD不能得任何直线平行，由∠ABD＝∠CDB可得AB∥CD。
答案
D
解析：∠4和∠2是直线l1、l2被一条直线所截形成的同旁内角。
答案
C
解析：两条平行线没有交点，第三条直线与它们都不平行，则这两条平行线与第三条直线相交，所以这三条直线有两个交点。
答案C
解析：选项A、B、D中∠1与∠2均不能形成内错角或同位角，选项C中，∠1和∠2是直线AB和CD被直线AC所截形成的内错角，所以若∠1＝∠2，则AB∥CD。
答案C
解析：∠1和∠3是直线DE和BC被直线CD所截形成的内错角，所以要得到DE∥BC，需∠1＝∠3。
答案
C
解析：∠4和∠3是直线EF和CD被直线GB所截形成的内错角，所以∠4＝∠3时，CD∥EF。
答案A
解析：如图所示，根据题意可知∠CBD＝60°＋20°＝80°，要把方向调整到与出发时一致，即CE∥BD，只要∠CBD＝∠ECF即可，所以∠ECF＝80°，因此方向调整应是右转80°。
解：因为∠1＝60°，∠2＝120°（已知），
所以∠1＋∠2＝180°，
所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
因为AB∥EF（已知），
所以CD∥EF（平行于同一直线的两直线平行）。
解：AB∥DC.
理由：因为DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，
所以∠3＝∠ADC，∠1＝∠ABC，
又因为∠ADC＝∠ABC，
所以∠3＝∠1，
又因为∠1＝∠2，
所以∠3＝∠2，
所以AB∥DC.
解：能.
因为MG、NH分别平分∠AMN和∠MND，
所以∠1＝∠AMN，∠2＝∠MND（角平分线的定义），
因为∠1＝∠2，
所以∠AMN＝∠MND（等量代换），
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
因为∠1＝∠GMN，∠2＝∠MNH（角平分线的定义），
所以∠GMN＝∠MNH（等量代换），
所以MG∥NH（内错角相等，两直线平行）。2.2.1
探索直线平行的条件
一、选择题
1．如图，下列条件中能判定的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，下列推理中正确的是（
）
A．
∴
B．
∴
C．
∴
D．
∴
3．已知如图AB、BE被AC所截，下列说法不正确的是（
）
A．与是同旁内角
B．与是内错角
C．与是同位角
D．
与不是同位角
4．已知如图：直线AB、CD被直线EF所截，则（
）
A．同位角相等
B．内错角相等
C．同旁内角互补
D．两对同旁内角的和是360°
5．已知如图直线被直线c所截，下列条件能判断的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，直线都与c相交，由下列条件能推出的是（
）
①
②
③
④
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
二、填空题
7．如图，；．；理由是____________．
8．如图，，理由是____
__；
若，要使．
9．如图，与______互补，可以判定，与______互补，可以判定．
10．在横线上填空，并在括号内填写理由．
（1）
∴（
）
（2）
∴（
）
11．点D、E、F分别在AB、AC、BC上
（1）
∴
（2）
∴
（3）
∴
（4）
∴
三、解答题
12．如图，直线DE、FM，分别交的两边于N、G，P、Q，若吗？如果平行请说明理由．
13．如图，已知：，则BC与EF平行吗？为什么？
参考答案
1．D
2．D
3．C
4．D
5．C
6．D
7．，同位角相等，两直线平行；
8．180°，同旁内角互补两直线平行；50°
9．
10．（1）同位角相等，两直线平行
（2）内错角相等，两直线平行
11．（1）
（2）
（3）
（4）
12．平行，因为，所以，所以根据“同位角相等，两直线平行可得．
13．平行2.1.2
两条直线的位置关系
一、填空题：
1、在一个平面内过直线上一点A画的平行线，能画出
条；过直线上一点A画的垂线，能画出
条.
2、如果两条直线相交成
，那么两条直线互相垂直.
3、如图，找出其中互相垂直的线段.
4、如图，通过画图并量得点A到直线的距离等于
厘米.（精确到0.1厘米）
二、判断题：
5、在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（
）
6、过直线上一点不存在直线与已知直线垂直.（
）
7、过直线外一点A作的垂线，垂线的长度叫做点A到直线的距离.（
）
8、一条线段有无数条垂线.（
）
9、如图，线段AB与线段CD不可能互相垂直，因为它们不可能相交.（
）
10、互相垂直的两条直线形成的四个角都等于90 .（
）
三、作图解答题：
11、在下列各图中，用三角板分别过点C画线段AB的垂线.
（1）
（2）
（3）
（4）
12、按照题目的要求，分别画出图形，并回答有关问题.
画长3cm的线段AB，取AB的中点O，过O作线段AB的垂线，在上任取一点P，连接PA，PB，量一量线段PA，PB的长度，你发现什么结论？
13画一个∠ABC，作出∠ABC的角平分线BD，在BD上任取一点P（除B点外），过P分别作PM⊥BA，PN⊥BC，垂足分别是M，N，量一量线段PM，PN的长度，你发现什么结论？
14、如图，在方格纸上，过点A作直线的垂线，多点B作直线m的垂线.
15、分别过点P作线段MN的垂线.
16、按题目要求画图，并回答相关问题.
画两条直线m，n，使m∥n，在直线m上任取两点A，B，分别过A，B作直线n的垂线，垂足分别为C，D，量一量线段AC，BD的长，你发现了什么结论？
17如图，点P是∠AOB内一点，过点P作PM⊥OA，垂足为M，作PN⊥OB，垂足为N，量一量∠MPN和∠O，你发现了什么结论？
18、如图，在方格纸上，分别过A画AD的垂线、过B画EF的垂线、过C画GF的垂线.
参考答案
1、0
1
2、直角（填90 也对）
3、OA⊥OD，OB⊥OC，OC⊥OE，
4、略
5、√
6、×
7、×
8、√
9、×
10、√
11、略
12、图略
PA=PB
13图略
PM=PN
14、略
15、略
16、图略
AC=BD
17、图略
∠MPN+∠Ｏ＝180
18、略2.1.1两条直线的位置关系
一、选择、填空题
1.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE=90°，OF平分∠AOE，∠BOD=15°30′，则下列结论中不正确的是(
)
A．∠AOF=45°
B．∠BOD=∠AOC
C．∠BOD的余角等于75°30′
D.∠AOD与∠BOD互为补角
2．如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOE＝90°．
若∠1＝20°，那么∠2＝______；
∠3＝∠BOE－∠______＝______°－______°＝______°；
∠4＝∠______－∠1＝______°－______°＝______°．
3．如图，直线AB与CD相交于O点，且∠COE＝90°，则
(1)与∠BOD互补的角有________________________；
(2)与∠BOD互余的角有________________________；
(3)与∠EOA互余的角有________________________；
(4)若∠BOD＝42°17′，则∠AOD＝__________；∠EOD＝______；∠AOE＝______．
4.如图所示，点O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，若∠COE=
64°，则∠AOD=____°．
二、判断正误
5．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
(
)
6．如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．
(
)
7．有一条公共边的两个角是邻补角．
(
)
8．如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角．
(
)
9．对顶角的角平分线在同一直线上．
(
)
10．有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角．
(
)
三、解答题
11．如图，直线AB，CD相交于点O，∠EOB=90°，OC平分∠AOF，∠AOF=40°，求∠EOD的度数.
12.如图所示，已知∠AOB与∠BOC互为邻补角，OD平分∠AOB，OE在∠BOC的内部，
,∠COE,∠DOE=72°，求∠COE的度数．
13.古城黄冈旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋荫“便是其八景之一，为了实地测量“柏子塔”外墙底部的底角(如图中∠ABC)的大小，小明同学设计的两种测量方案：
方案1，作AB的延长线，量出∠CBD的度数，便知∠ABC的度数；
方案2，作AB的延长线及CB的延长线，量出∠DBE的度数，便知∠ABC的度数．
聪明的同学，你能解释他这样做的道理吗？
14．如图，有两堵围墙，有人想测量地面上两堵围墙内所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量
15．如图，O是直线CD上一点，射线OA，OB在直线CD的两侧，且使∠AOC＝∠BOD，试确定∠AOC与∠BOD是否为对顶角，并说明你的理由．
参考答案
一、选择、填空题
1.C解析∵OE⊥AB,∴∠AOE=90°，
∵OF平分∠AOE,
∴，
∴A项不符合题意；
又∠BOD和∠AOC是对顶角，∴∠BOD=∠AOC，
∴B项不符合题意；
∵∠BOD的余角=90°-15°30′=
74°30′，∴C项符合题意；
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOD和∠BOD互为补角，∴D项不符合题意．
2.略
3．(1)∠BOC，∠AOD；
(2)∠AOE；
(3)∠AOC，∠BOD；
(4)137°43′，90°，47°43′．
4.26解析：∵OE平分∠BOC,∠COE=64°,
∴∠BOC=2∠COE=128°,
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-128°=
52°.
∵OD平分∠AOC,
∴.
二、判断正误
5．×
6．×
7．×
8．√
9．√
10．×
三、解答题
11.解：因为OC平分∠AOF,∠AOF=40°，
所以∠，
所以∠BOD=20°，
（3分）
因为/EOB=
90°，
（1分）
所以∠EOD=∠EOB-∠BOD=
70°．
12.思路建立
本题要求∠COE的度数，根据题中角之间的关系，挖掘题中隐含的条件，例如∠AOC=180°，再根据角之间的关系设∠BOE=x°，由∠AOD+∠DOE+∠COE=180°，列方程求解即可．
解：设∠BOE=x°，
则∠COE=2x°，∠AOD=∠BOD=(72-x)°，
由∠AOD+∠DOE+∠COE=180°，得72-x+72+2x=180,
解得x=36，所以2x=72．
所以∠COE的度数为72°．
13.解：方案1利用了邻补角的性质，因为∠CBD+∠ABC=180°，即∠ABC=180°-∠CBD，所以只要量出∠CBD的度数便可求出∠ABC的度数；
方案2利用对顶角的性质，因为∠DBE=∠ABC，所以只要量出∠DBE的度数便可以知道∠ABC的度数.
方法：对于实际问题中我们无法直接进行测量的角，往往采用转化思想，把实际问题转化为关于对顶角、邻补角的问题后求解其度数．
14．只要延长BO(或AO)至C，测出∠AOB的邻补角∠AOC(或∠BOC)的大小后，就可知道∠AOB的度数．
15．∠AOC与∠BOD是对顶角，说理提示：只要说明A，O，B三点共线．
证明：∵射线OA的端点在直线CD上，
∴∠AOC与∠AOD互为邻补角，即∠AOC＋∠AOD＝180°，
又∵∠BOD＝∠AOC，从而∠BOD＋∠AOD＝180°，
∴∠AOB是平角，从而A，O，B三点共线．∴∠AOC与∠BOD是对顶角．2.1.2两条直线的位置关系
一、选择题
1．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下面的结论中，正确的有
(
)
①AB与AC互相垂直；
②AD与AC互相垂直；
③点C到AB的垂线段是线段AC；
④点A到BC的距离是线段AB；
⑤线段AB的长度是点B到AC的距离．
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
3.下列说法正确的有
(
)
①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
③在同一平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线；
④在同—平面内，有且只有—条直线垂直于已知直线．
A.1个
B．2个
C．3个
D．4个
4.点P为直线m外一点°点A，B，C为直线m上三点，PA=4
cm，PB=5
cm，PC=2
cm，则点P到直线m的距离为
(
)
A.4
cm
B.2cm
C.小于2
cm
D．不大于2
cm
5.如图所示，直线AB经过点O，若OC⊥OD，则图中∠1与∠2的关系是
(
)
A．互为对顶角
B.互为余角
C.互为补角
D．互为邻补角
6．如图，点P为直线m外一点，点P到直线m上的三点A、B、C的距离分别为PA＝4cm，PB＝6cm，PC＝3cm，则点P到直线m的距离为(
)．
A.3cm
B.小于3cm
C.不大于3cm
D.以上结论都不对
7．若直线a与直线b相交于点A，则直线b上到直线a距离等于2cm的点的个数是(
)．
A.0
B.1
C.2
D.3
二、填空题
8．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线______，其中一条直线叫做另一条直线的______线，它们的交点叫做______．
9．垂线的性质
性质1：平面内，过一点____________与已知直线垂直．
性质2：连接直线外一点与直线上各点的_________中，_________最短．
10．直线外一点到这条直线的__________________叫做点到直线的距离．
11．如图，直线AB，CD互相垂直，记作______；直线AB，CD互相垂直，垂足为O点，记作____________；线段PO的长度是点_________到直线_________的距离；点M到直线AB的距离是_______________．
三、解答题
12.为了解决位于一条河流AB两侧C，D两个村的农田灌溉问题，现有两种铺设管道的方案（如图所示）：
方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足分别为E，F，沿CE，DF铺设管道；
方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？
13.如图所示，已知线段AB，过线段AB的两个端点的直线相交于点C，你能过C点作线段AB的垂线吗？
14.如图所示，直线AB、CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O，∠DOF=32°，你能求出∠AOE的度数吗？
参考答案
一、选择题
1.D
解析到l1距离为2的直线有2条，到l2距离为1的直线有2条，这4条直线有4个交点，这4个交点就是“距离坐标”是(2，1)的点.
2.B解析：①③⑤正确．AB与Ac互相垂直；AD与AC不垂直；点C到AB的垂线段是线段AC；点A到BC的距离是线段AD的长；线段AB的长度是点B到AC的距离．
3.B解析：垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①②正确，③错误．在同一平面内，一条直线的垂线有无数条，故④错误，故选B．
4.D解析：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．点到直线的距离就是点到直线的垂线段的长度，因为在PA、PB、PC三条线段中，PC最短，所以根据垂线段最短，可知到直线m的距离不大于2
cm.故选D．
5．B解析：∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∴∠1+∠2
=180°-∠COD=180°-
90°=90°，
∴∠1与∠2互为余角故选B．
6．B
7．C．
二、填空题
8．互相垂直，垂，垂足．
9．有且只有一条直线，所有线段，垂线段．
10．垂线段的长度．
11．AB⊥CD；AB⊥CD，垂足是O(或简写成AB⊥CD于O)；P；CD；线段MO的长度．
三、解答题
12.解：按方案一铺设管道更省材料，理由如下：因为CE⊥AB，DF⊥AB，而CD不垂直于AB．根据“垂线段最短”可知CE13．解：能，过C点作CP⊥AB，交线段AB的延长线于点P，则直线CP即为所求作的垂线，图略．
14.解：因为直线AB、CD互相垂直（已知），
所以∠BOD=
90°（垂直的定义）．
所以∠BOF+∠DOF
=90°．
因为∠DOF=32°（已知），
所以∠BOF=
90°-∠DOF=
58°．
因为直线AB与直线EF交于点O（已知），
所以∠AOE=∠BOF（对顶角相等）．
所以∠AOE=58°．探索平行的条件（三）
课后作业
一、选择题
1、如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（ ）
A. ∠1=∠2
B. ∠1=∠5
C. ∠1+∠3=180°
D. ∠3=∠5
2、如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A. ∠3=∠4
B. ∠D=∠DCE
C. ∠1=∠2
D. ∠D+∠ACD=180°
3、对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是（ ）
A. ∠1=∠2
B. ∠2=∠4
C. ∠3=∠4
D. ∠1+∠4=180°
4、如图所示，已知∠1=∠2，要使∠3=∠4，只要（ ）
A. ∠1=∠3
B. ∠2=∠4
C. ∠1=∠4
D. AB∥CD
5、一个弯形管道ABCD的弯角∠ABC=130°，∠BCD=50°，则管道AB与CD的位置关系是（ ）
A. 平行
B. 垂直
C. 相交但不垂直
D. 无法确定
二、填空题
6、如图，已知C、D、E三点在同一直线上，∠1=105°，∠A=75°．
求证：AB∥CD．
证明一：∵C、D、E三点在同一直线上，
∴∠1+∠2=180°（平角定义），
∵∠1=105°，
∴∠2=75°（
） ，
又∵∠A=75°，
∴∠2=∠A，
∴AB∥CD
．
证明二：∵C、D、E三点在同一直线上，
∴∠1和∠A是直线AB和直线CD被直线AD所截得到的同旁内角（同旁内角定义），
又∵∠A=75°，∠1=105°，
∴∠A+∠1=75°+105°=180°，
∴AB∥CD
．
7、如图，两直线a，b被第三条直线c所截，若∠1=50°，∠2=130°，则直线a，b的位置关系是
．
8、如图所示，已知∠1=∠2，则再添上条件
可使AB∥CD．
9、如图所示，若∠1=∠C=60°，∠D=120°，那么平行线有
．
10、如图是由五个同样的三角形组成的图案，三角形的三个角分别为36°，72°，72°，则图中共有
对平行线．
三、解答题
11、如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°，求证：AB∥EF．
12、在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直线是否平行？为什么？
参考答案
1．解析：A、根据∠1=∠2不能推出l1∥l2，故A选项错误；
B、∵∠5=∠3，∠1=∠5，
∴∠1=∠3，
即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2，故B选项错误；
C、∵∠1+∠3=180°，
∴l1∥l2，故C选项正确；
D、根据∠3=∠5不能推出l1∥l2，故D选项错误；
故选：
C．
2．解析：A、∵∠3=∠4，
∴AC∥BD．
本选项不能判断AB∥CD，故A错误；
B、∵∠D=∠DCE，
∴AC∥BD．
本选项不能判断AB∥CD，故B错误；
C、∵∠1=∠2，
∴AB∥CD．
本选项能判断AB∥CD，故C正确；
D、∵∠D+∠ACD=180°，
∴AC∥BD．
故本选项不能判断AB∥CD，故D错误．
故选：C．
3．解析：A、∠1=∠2，因为它们不是a、b被截得的同位角或内错角，不符合题意；
B、∠2=∠4，因为它们不是a、b被截得的同位角或内错角，不符合题意；
C、∠3=∠4，因为它们不是a、b被截得的同位角或内错角，不符合题意；
D、∠1+∠4=180°，∠1的对顶角与∠4是a、b被截得的同旁内角，符合题意．
故选D．
4．解析：假设∠3=∠4，即∠BEF=∠CFE，由内错角相等，两直线平行，可得AB∥CD．
故已知∠1=∠2，要使∠3=∠4，只要AB∥CD．故选D．
5．解析：∵∠ABC+∠BCD=130°+50°=180°，
∴AB∥CD．
故选A．
6．解析：证明一：∵C、D、E三点在同一直线上，
∴∠1+∠2=180°（平角定义），
∵∠1=105°，
∴∠2=75°（邻补角的定义），
又∵∠A=75°，
∴∠2=∠A，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
证明二：∵C、D、E三点在同一直线上，
∴∠1和∠A是直线AB和直线CD被直线AD所截得到的同旁内角（同旁内角定义），
又∵∠A=75°，∠1=105°，
∴∠A+∠1=75°+105°=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为邻补角的定义，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行．
7．解析：∵∠2+∠3=180°，∠2=130°，
∴∠3=50°，
∵∠1=50°，
∴∠1=∠3，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
8．解析：添加条件是∠ABM=∠CDM，
理由是：∵∠ABM=∠CDM，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠ABM=∠CDM．
9．解析：∵∠1=∠C=60°，
∴AB∥CD；
∵∠C=60°，∠D=120°，
∴∠C+∠D=180°，
∴BC∥AD．
故答案为AB∥CD；BC∥AD．
10．解析：∵∠BAG=∠AHE=72°，∴AB∥EI；
∵∠BFC=∠FCD=72°，∴BG∥CD；
∵∠CBF=∠BGA=72°，∴BC∥AH；
∵∠EDI=∠CKD=72°，∴DE∥CF；
∵∠AEH=∠EID=72°，∴AE∥DK．
故共有5对平行线．
11．解析：
作CM∥AB，DN∥EF，如图，
∴∠1=∠B=25°，∠4=∠E=10°，
∴∠2=∠BCD-∠1=45°-25°=20°，
∠3=∠CDE-∠4=30°-10°=20°，
∴∠2=∠3，
∴CM∥DN，
∴AB∥EF．
12．解析：①通过度量∠3的度数，若满足∠2+∠3=180°，
根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论；
②通过度量∠4的度数，若满足∠2=∠4，
根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论；
③通过度量∠5的度数，若满足∠2=∠5，
根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论．2.2.1探索直线平行的条件
一、选择题
1．如图所示，与∠A组成同位角，与∠B组成内错角的角分别有
(
)
A.2对，4对
B．4对，2对
C.2对，2对
D．4对，4对
2.如图所示，下列判断正确的是(
)
A.有4对同位角，4对内错角，2对同旁内角
B．有4对同位角，4对内错角，4对同旁内角
C.有6对同位角，4对内错角，4对同旁内角
D．以上判断都不对
3．已知图①～④，
图①
图②
图③
图④
在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有(
)．
A.①②③④
B.①②③
C.①③
D.①
4．如图，下列结论正确的是(
)．
A.∠5与∠2是对顶角
.B.∠1与∠3是同位角
C.∠2与∠3是同旁内角
D.∠1与∠2是同旁内角
二、填空题
5．如图，若直线a，b被直线c所截，在所构成的八个角中指出，下列各对角之间是属于哪种特殊位置关系的角
(1)∠1与∠2是______；(2)∠5与∠7是______；
(3)∠1与∠5是_______；(4)∠5与∠3是_____；
(5)∠5与∠4是_______；(6)∠8与∠4是______；
(7)∠4与∠6是_______；(8)∠6与∠3是______；
(9)∠3与∠7是______；(10)∠6与∠2是______．
6．如图所示，图中用数字标出的角中，同位角有______；内错角有______；同旁内角有______．
7.如图所示，____是∠1和∠6的同位角，____是∠1和∠6的内错角，____是∠6的同旁内角．
8.如图所示，直线AF和AC被直线EB所截，∠EBC的同位角是____，∠EBC的同旁内角是____，∠EBC的内错角是____；直线DC、AC被直线AF所截，∠FAC的同位角是____，∠FAC的内错角是____，∠FAC的同旁内角是____.
三、解答题
9.如图所示，三角形ABC、四边形ABCD、五边形ABCDE中各有多少对同旁内角？分别是哪几对同旁内角？
10.图所示的∠1与∠2都是同旁内角吗？
参考答案
一、选择题
1.D
2.C
3．C．
4．D．
二、填空题
5．(1)邻补角，(2)对顶角，(3)同位角，(4)内错角，
(5)同旁内角，(6)同位角，(7)内错角，(8)同旁内角，
(9)同位角，(10)同位角．
6．同位角有：∠3与∠7、∠4与∠6、∠2与∠8；
内错角有：∠1与∠4、∠3与∠5、∠2与∠6、∠4与∠8；
同旁内角有：∠2与∠4、∠2与∠5、∠4与∠5、∠3与∠6．
7.∠3
∠5
∠4
解析：两个角都在截线的同旁，且分别处在被截的两条直线同侧，具有这样的位置关系的一对角叫做同位角，
∴∠3是∠1和∠6的同位角；
∵两个角分别在截线的两侧，且在被截的两条直线之间，具有这样的位置关系的一对角叫做内错角，
∴∠5是∠1和∠6的内错角；
∵两个角都在截线的同一侧，且在被截的两条直线之间，具有这样的位置关系的一对角叫做同旁内角，
∴∠4是∠6的同旁内角．
8.∠EOF
∠BOF
∠AOB
∠FOC
∠AOD
∠AOC
三、解答题
9.解：在三角形ABC中，∠A与∠B，∠B与∠C，∠C与∠A均为同旁内角，共有3对.
在四边形ABCD中，∠A与∠B，∠B与∠C，∠C与∠D，∠A与∠D均为同旁内角，共有4对．
在五边形ABCDE中，∠A与∠B，∠B与∠C，∠C与∠D，∠D与∠E，∠A与∠E均为同旁内角，共有5对.
10.解：题图中的∠1与∠2都是同旁内角.2.2.2探索直线平行的条件
一、选择题
1.如图所示，给出下列条件：①∠1=∠2;②∠3=∠4;③∠A=∠CDE;④∠A+∠ADC=180°．其中，能推出AR∥CD的条件为
（
）
A.①④
B.②③
C.①③
D.①③④
2．如图，桌面上的木条b，c固定，木条a在桌面上绕点O旋转n°（0)
A．20
B．30
C．70
D．80
二、填空题
3．在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______．
4．平行公理的推论是如果两条直线都与______，那么这两条直线也______．即三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则______．
5．已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行 并写出推理的根据．
(1)如果∠2＝∠3，那么____________．
(____________，____________)
(2)如果∠2＝∠5，那么____________．
(____________，____________)
(3)如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．
(____________，____________)
(4)如果∠5＝∠3，那么____________．
(____________，____________)
(5)如果∠4＋∠6＝180°，那么____________．
(____________，____________)
(6)如果∠6＝∠3，那么____________．
(____________，____________)
6.如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB∥AC的条件：____.
三、解答题
7．已知：三角形ABC及BC边的中点D．过D点作DF∥CA交AB于M，再过D点作DE∥AB交AC于N点．
8．已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC．且∠1＝∠3．
求证：AB∥DC．
证明：∵∠ABC＝∠ADC，
(
)
又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，
(
)
∴∠______＝∠______．(
)
∵∠1＝∠3，(
)
∴∠2＝∠______．(等量代换)
∴______∥______．(
)
9.如图所示，已知EF⊥EG，MG⊥EG，∠1=
35°，∠2=35°，EF与MG平行吗？AB与CD平行吗？为什么？
10．绘图员画图时经常使用丁字尺，丁字尺分尺头、尺身两部分，尺头的里边和尺身的上边应平直，并且一般互相垂直，也有把尺头和尺身用螺栓连接起来，可以转动尺头，使它和尺身成一定的角度．用丁字尺画平行线的方法如下面的三个图所示．画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是什么
11．如图所示，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE，使DE∥BC，如果∠ABC=30°，那么∠BDE应该是多少度？
参考答案
一、选择题
1.D解析：①∵∠1=∠2，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴①符合题意；
②∵∠3=∠4，∴BC∥AD（内错角相等，两直线平行），但不能推出AB∥CD，∴②不符合题意；
③∵∠A=∠CDE，∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)，∴③符合题意；
④∵∠A+∠ADC=180°，∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)，∴④符合题意．故选D．
2.B解析
根据“内错角相等，两直线平行’可得n°=100°-
70°=
30°.
二、填空题
3．相交、平行．
4．第三条直线平行，互相平行，a∥c.
5．(1)EF∥DC，内错角相等，两直线平行．
(2)AB∥EF，同位角相等，两直线平行．
(3)AD∥BC，同旁内角互补，两直线平行．
(4)AB∥DC，内错角相等，两直线平行．
(5)AB∥DC，同旁内角互补，两直线平行．
(6)AD∥BC，同位角相等，两直线平行．
6.∠C=∠EBD（答案不唯一）
三、解答题
7．略．
8．略．
9.解：EF∥MG，AB∥CD．
因为EF⊥EG，MG⊥EG，所以∠FEG=∠MGH=90°，所以EF∥MG(同位角相等，两直线平行)．
因为∠1=35°，∠2=35°，所以∠AEL=∠CGE=55°，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
10．同位角相等，两直线平行．
11.解：∠BDE应该是150°．
