高一数学人教A版必修4（“五点法”作函数 的图象） Word版含解析

2016-2017学年高一数学人教A版必修4（4月24日-4月30日）
4月24日
“五点法”作函数的图象
高考频度：★★☆☆☆
难易程度：★★☆☆☆
作出函数y=sin（x-）在长度为一个周期的闭区间上的简图.
【参考答案】见试题解析
【试题解析】函数y=sin（x-）的周期T==6π,我们用“五点法”作函数在一个周期上的图象.按五个关键点列表如下:
x-
0
π
2π
x
π
4π
7π
sin（x-）
0
0
-
0
描点作图,如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解题必备】用五点法画函数的简图，先作变量代换，令，再用方程思想由X取
0，，，，来确定对应的x值，最后根据x，y的值描点、连线，画出函数的图象.
1．已知函数y=2sin（+）.
（1）试用“五点法”画出它的图象;
（2）求它的振幅、周期和初相.
2．已知函数.
（1）列表并画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图;
（2）求的单调递减区间.
1．【解析】（1）令t=+,列表如下:
x
-
t
0
π
2π
y
0
2
0
-2
0
描点连线并向左右两边分别扩展,得到如图所示的函数图象:
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）振幅A=2,周期T=4π,初相为.
【名师点睛】利用“五点法”作出函数在一个
( http: / / www.21cnjy.com )周期内的图象之后,只需把函数的图象向左右两方伸展出一部分即可.如果要作出函数在指定区间内的图象,则要注意对函数图象端点的处理.
2．【解析】（1）函数的周期,
我们用“五点法”作函数在一个周期上的图象.按五个关键点列表如下:
0
0
3
0
-3
0
描点作图，得到一个周期的简图,图象如下:
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）由得,
所以,函数的单调递减区间为.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
4月25日
三角函数图象之间的变换
高考频度：★★★☆☆
难易程度：★★★☆☆
要得到函数y=cos
x的图象,只需将函数y=sin（2x+）图象上的所有点的
A.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再向左平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再向右平移个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向右平移个单位长度
【参考答案】C
【试题解析】∵y=cos
x=sin（x+）,
∴y=sin（2x+）的图象
y=sin（x+）的图象y=sin（x+）的图象.故选C.
【解题必备】变换作图法作的图象是指由函数y=sinx的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如图所示
( http: / / www.21cnjy.com )
由上可知函数y=sinx到的图象的变换途径为：相位变换→周期变化→振幅变换，或周期变换→相位变化→振幅变换.
1．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象
( http: / / www.21cnjy.com )
A．向右平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向左平移个长度单位
2．函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象
( http: / / www.21cnjy.com )
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位
3．有下列四种变换方式:
①向左平移,再将横坐标变为原来的;
②横坐标变为原来的,再向左平移;
③横坐标变为原来的,再向左平移;
④向左平移,再将横坐标变为原来的;
其中能将正弦曲线的图象变为的图象的是
A．①和②
B．①和③
C．②和③
D．②和④
1．A
【解析】由图象，得：，则，即，因为图象过点，所以，解得，又，所以.则g（x）=sin2x的图象由的图象向右平移个长度单位得到.故选A.
2．D
【解析】由题结合图象可得
故选D.
3．A
【解析】对于①，将正弦曲线向左平移，可得到曲线，再将横坐标变为原来的，可得到曲线，所以正确；
对于②，将横坐标变为原来的，得到曲线，再向左平移，得到曲线，所以正确；
对于③，将横坐标变为原来的，得到曲线，再向左平移，得到曲线，所以错误；
对于④，向左平移，得到曲线，再将横坐标变为原来的，得到曲线，所以错误.故选A.
( http: / / www.21cnjy.com )
4月26日
由图象求函数的解析式
高考频度：★★★★☆
难易程度：★★☆☆☆
函数的部分图象如图所示，则函数表达式为
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．
C．
D．
【参考答案】D
【试题解析】由图知，当时，，，所以，所以．当时，，解得，当时，，所以函数表达式为，故选D．
【解题技巧】根据函数的图象确定函数中的参数主要方法：（1）主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）的值主要由周期的值确定，而的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）值的确定主要是由图象的特殊点的坐标确定．
1．如图所示为函数的部分图象，其中A、B两点之间的距离为5，那么f（ 1）=
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．
C．2
D． 2
2．函数的部分图象如图所示，则的值分别是
A．2，
B．2，
C．4，
D．4，
( http: / / www.21cnjy.com )
1．C
【解析】由题中图象可得，即，由，结合图象可得，由两点之间的距离为5，解得，解得，故函数，故.故选C.
2．
A
【解析】由题意得：又
所以
而，所以
( http: / / www.21cnjy.com )
4月27日
由图象变换求函数的解析式
高考频度：★★★☆☆
难易程度：★★★☆☆
将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是
A．
B．
C．
D．
【参考答案】C
【试题解析】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得．故选C．
【解题必备】1.确定函数的图象经过变换后所得图象对应的函数的解析式,关键是明确左右平移的方向和横纵坐标伸缩的量,确定出的值.
2.由的图象得到的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到.
1．将函数f（x）＝－cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质
A．最大值为1，图象关于直线x＝对称
B．在（0，）上单调递减，为奇函数
C．在（，）上单调递增，为偶函数
D．周期为π，图象关于点（，0）对称
2．若把函数的图象沿x轴向左平移个单位,沿y轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变）,得到函数y=sin
x的图象,则的解析式为
A．y=sin（2x-）+1
B．y=sin（2x-）+1
C．y=sin（x+）-1
D．y=sin（x+）-1
1．B
【解析】由题意得，，
对于选项A，最大值为1正确，而，不关于直线对称，故A错误；对于选项B，当时，，g（x）在上单调递减，显然也是奇函数，故B正确；对于选项C，当时，，不满足单调递增，也不是偶函数，故C错误；对于选项D，周期，，故不关于点对称，故选B．
2．B
【解析】将y=sin
x的图象上每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变）,得到y=sin
2x的图象,再将所得图象向上平移1个单位,得到y=sin
2x+1的图象,再把函数y=sin
2x+1的图象向右平移个单位,得到y=sin2（x-）+1的图象,即函数的图象,所以f（x）=sin
2（x-）+1=sin（2x-）+1,故选B.
( http: / / www.21cnjy.com )
4月28日
三角函数模型的简单应用
高考频度：★☆☆☆☆
难易程度：★★★☆☆
如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需
( http: / / www.21cnjy.com )要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：
（1）求出你与地面的距离y（米）与时间t（分钟）的函数关系式；
（2）当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
( http: / / www.21cnjy.com )
【参考答案】见试题解析
【试题解析】（1）由已知可设y＝40.5－40cos
ωt(t≥0)，由周期为12分钟，可知，当时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以.即ω＝.
所以y＝40.5－40cos
t(t≥0)．
（2）设转第1圈时，第分钟时距地面60.5米，由，得，所以或，解得或，所以（分钟）时，第2次距地面60.5米.故第4次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20(分钟)．
【解题必备】解决此类问题的关键在于根据已知数据确定相应的数学模型，然后根据已知条件确定函数解析式中的各个参数，最后利用模型解决实际问题.
1．黄岩岛是中国中沙群岛中唯一露出水面的岛
( http: / / www.21cnjy.com )礁,黄岩岛四周为距水面0.5米到3米之间的环形礁盘.礁盘外形呈等腰直角三角形,其内部形成一个面积为130平方公里、水深为10~20米的湖.湖东南端有一个宽400米的通道与外海相连,中型渔船和小型舰艇可由此进入维修或者避风,受热带季风的影响,四月份通道一天中整点(偶数)时的水深的近似值如下表:
时间(时)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
水深(米)
7.5
5.7
5
5.7
7.5
10
12.6
14.3
15
14.4
12.5
10.1
7.5
此通道的水深y(米)与时间x(时)可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h(A>0,ω>0,|φ|<π)的函数来刻画.
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）根据以上数据画出其近似图象,并求出水深y(米)与时间x(时)的具体函数关系式;
（2）若某渔船吃水深度为5米,船底与海底的安全间隙为2.5米,该船需进湖休息,一天中什么时刻可以进入湖内
2．弹簧上挂的小球上下振动时，小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数曲线，其图象如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求这条曲线对应的函数解析式；
（2）小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
1．【解析】（1）图象如图所示
( http: / / www.21cnjy.com )
由图可知该函数的最大值为15,最小值为5,最小正周期为24,
即A+h=15,h-A=5,
，
解得A=5,h=10,ω=.又函数的图象过点(16,15),即y=5sin(×16+φ)+10=15,
所以φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<π,所以φ=-.
所以水深y（米）与时间t（时）的函数关系式为y=5sin(x-)+10.
（2）因为该渔船吃水线为5米,船底与海底的安全间隙为2.5米,所以要使该渔船进湖休息,需水深不小于7.5米时进出,
即一天中需y=5sin(x-)+10≥7.5时进出,
解得x=0或8≤x≤24
,
所以一天中0时或8时到24时可以进入湖内休息.
2．【解析】（1）设这条曲线对应的函数解析式为s＝Asin(ωt＋φ)．
由图象可知：A＝4，周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2，
此时所求函数的解析式为s＝4sin(2t＋φ)．
以点为“五点法”作图的第二关键点，则有2×＋φ＝，所以φ＝.
得函数解析式为s＝4sin.
（2）当t＝0时，s＝4sin＝4sin
＝4×＝2(cm)，
所以小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2
cm.
( http: / / www.21cnjy.com )
4月29日
周六培优特训
高考频度：★★☆☆☆
难易程度：★★☆☆☆
1．要得到函数y=sin(2x+)的图象,只要将函数y=sin
2x的图象
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
2．已知y=Asin(ωx+φ)在同一周期内,x=时有最大值,
x
= 时有最小值－ ,则函数的解析式为
A．y=2sin()
B．y=sin(3x+ )
C．y=sin
(3x— )
D．y=
sin(3x－ )
3．函数的部分图象如图所示,则函数的解析式为
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．
C．
D．
4．把函数y=sin(5x-)的图象向右平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍,所得到的图象对应的函数解析式为
A．y=sin(10x-)
B．y=sin(10x-)
C．y=sin(10x-)
D．y=sin(10x-)
5．如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为
( http: / / www.21cnjy.com )
A．5
B．6
C．8
D．10
6．函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin(2x+)的图象重合,则φ=　　　　.
7．已知函数f(x)=cos(-2x),x∈R.
（1）求函数f(x)的单调递增区间;
（2）若函数f(x)的图象向右平移φ(0≤φ≤)个单位长度后得到的图象所对应的函数为偶函数,求φ的值.
8．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ-)+1(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
（1）求f()的值;
（2）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.
1．C　【解析】因为y=sin(2x+)=sin
2(x+),所以将函数y=sin
2x的图象上所有点向左平移个单位长度,就可得到函数y=sin
2(x+)=sin(2x+)的图象.
2．B
【解析】由最值得A=T=(=，则ω=3；当x=时，有y=,解得φ=.故选B.
3．A
【解析】由图可知,函数的最小正周期为,所以ω=2,又函数的图象经过点(,1),所以sin(+φ)=1,则+φ=2kπ+(k∈Z),解得φ=2kπ+,又|φ|<,所以φ=,即函数,故选A.
4．D
【解析】将原函数图象向右平移个单位长度,所得图象的函数解析式为y=sin5(x-)-]=sin(5x-),再压缩横坐标得y=sin(10x-)的图象,故选D.
5．C【解析】由题图可知，解得k＝5，即y＝3sin＋5，∴ymax＝3＋5＝8.故选C.
6．
【解析】将函数y=cos(2x+φ)的图象向右平移个单位后,得到y=cos2(x-)+φ]的图象,化简得y=-cos(2x+φ),又可变形为y=sin(2x+φ-).由题意可知φ-+2kπ(k∈Z),所以φ=+2kπ(k∈Z),结合-π≤φ<π知φ=.
7．【解析】（1）f(x)=cos(-2x)=cos(2x-),由-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为-+kπ,+kπ](k∈Z).
（2）函数f(x)=cos(2x-)的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)=cos2(x-φ)-]=cos(2x-2φ-)=cos2x-(2φ+)]的图象,
又g(x)为偶函数,所以2φ+=kπ,k∈Z.
又0≤φ≤,所以φ=.
8．【解析】（1）∵f(x)为偶函数,∴φ-=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ+(k∈Z).
又0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=2sin(ωx+)+1=2cos
ωx+1.
又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为,∴T==2×,
∴ω=2,∴f(x)=2cos
2x+1,
∴f()=2cos(2×)+1=+1.
（2）将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数f(x-)的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到f()的图象,
所以g(x)=f()=2cos
2()+1=2cos()+1.
当2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),
即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减.
∴函数g(x)的单调递减区间是4kπ+,4kπ+](k∈Z).
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
4月30日
周日培优特训
高考频度：★★☆☆☆
难易程度：★★☆☆☆
1．设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．tan
的值是
A．－
B．
C．－
D．
3．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是
A．3　　　　　　　　　　
B．6
C．18
D．36
4．若tan
α＝，则sin2α＋cos2α的值是
A．－
B．
C．5
D．－5
5．若f(x)＝2sin
ωx(0＜ω＜1)在区间上的最大值为，则ω＝________．
6．函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意实数x都有f＝f恒成立，设g(x)＝3cos(ωx＋φ)＋1，则g＝________.
7．函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示．
（1）写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
（2）求f(x)在区间上的最大值和最小值．
( http: / / www.21cnjy.com )
1．B
【解析】∵是第三象限角，∴.∴.∴在第二或第四象限．又∵，∴.∴是第二象限角．
2．B
【解析】tan＝－tan＝tan
＝.
3．C
【解析】∵l＝αr，∴6＝1×r.∴r＝6.∴S＝lr＝×6×6＝18.
4．B【解析】sin2α＋cos2α＝＝＝＝.
5．
【解析】∵0＜ω＜1，x∈，∴ωx∈，∴f(x)max＝2sin
＝，
∴sin
＝，∴＝，即ω＝.
6．1
【解析】∵f＝f，∴函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)关于直线x＝对称，
即f＝±3.∴h(x)＝3cos(ωx＋φ)关于对称，即h＝0.∴g＝h＋1＝1.
7．【解析】（1）f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.
（2）因为x∈，所以2x＋∈，
于是当2x＋＝0，即x＝－时，
f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，即x＝－时，
f(x)取得最小值－3.