每日一题 高一物理人教版必修2（开普勒行星运动定律） 含解析

2月27日
开普勒行星运动定律
考纲要求：Ⅱ
难易程度：★★★☆☆
火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知
A．火星与木星公转周期相等
B．太阳位于木星运行椭圆轨道的某焦点上
C．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终不变
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【参考答案】B
【试题解析】根据开普勒第三定律，=常量，火星与木星公转半径不相等，所以火星与木星公转周期不相等，A错误；根据开普勒第一定律，所有行星分别沿不同大小的椭圆轨道绕太阳运动，太阳处于椭圆的一个焦点上，B正确；根据开普勒第二定律，对每一个行星而言，太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，行星在椭圆轨道上运动时，轨道半径变化，则运行速度的大小也不断变化，C错误；相同时间内，太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积相等是对同一行星而言的，D错误。
【解题必备】开普勒行星运动定律是开普勒分
( http: / / www.21cnjy.com )析了大量天文观测数据总结出的经验规律，但是根据万有引力定律、运动学规律进行数学推导，开普勒行星运动定律的相关结论都可以推导出来，开普勒行星运动定律没有与万有引力定律相悖之处。
开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运动的情况，实际上任何行星绕恒星（或卫星绕行星）的运动都可以运用开普勒定律进行分析。
一般地，为了方便理解和计算，试题情境中常会
( http: / / www.21cnjy.com )假设天体运动的轨道是圆形，但是实际情况中，天体的轨道不仅不可能为圆形，甚至不是封闭的椭圆形；而一旦出现椭圆轨道的试题情境，在中学的数学水平情况下，开普勒三定律往往能起到解题的关键作用。
因为圆形可以看作一种特殊的椭圆，所以开普勒定律适用于圆形轨道的情况。同时，椭圆可以看作由很多小圆弧组成，一些在圆形轨道运动的相关规律和公式也可以用在椭圆轨道上，如圆轨道上物体的向心力F=，放到椭圆轨道上就是F=，其中vt为沿轨道切线方向的速度，ρ为曲率半径。
某行星沿椭圆轨道运行，远日点与太阳的距离为a，近日点与太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时行星的速率为
A．va
B．va
C．va
D．va
国际天文学联合会大会投票通过了新的行星定义，冥王星被排除在太阳系大行星行列之外，太阳系的大行星数量将由九颗减为八颗。若将八大行星绕太阳运行的轨迹粗略地认为是圆形，各星球半径和轨道半径如下表所示：
行星
水星
金星
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
星球半径（×106
m）
2.44
6.05
6.37
3.39
69.8
58.2
23.7
22.4
轨道半径（×1011
m）
0.579
1.08
1.50
2.28
7.78
14.3
28.7
45.0
从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近
A．80年
B．120年
C．165年
D．200年
地球到太阳的距离为水星到太阳距离的2.6倍，那么地球和水星绕太阳运行的线速度之比为（设地球和水星绕太阳运行的轨道为圆形）
A．
B．
C．
D．
天文学家观察到哈雷彗星的周期是76年，离太阳最近时的距离为8.8×1010
m，但它离太阳最远的距离不能被测出。试根据开普勒定律计算这个最远距离。（已知太阳系的开普勒常量k=3.354×1018
m3/s2）
【参考答案】
C
若取行星在近日点和远日点附近分别运动足够短的时间Δt，如图所示，图中两阴影部分均可近似为扇形，根据开普勒第二定律，太阳和行星的连线在相等时间内扫过的面积相等，则有avaΔt=bvbΔt，可得vb=va，选C。
C
地球的公转周期T1=1年，由开普勒第三定律有=，可得海王星的周期T2=30年≈164.3年，最接近选项C。
D
根据开普勒第三定律有=，又地球和水星都绕太阳做匀速圆周运动，有TE=，TM=，联立解得==，选D。
设哈雷彗星离太阳的最远距离为r1，最近距离为r2=8.8×1010
m，则轨道半长轴R=
根据开普勒第三定律有=k
联立有r1=–r2
代入数据可得哈雷彗星离太阳的最远距离r1=5.3×1012
m
2月28日
万有引力定律
考纲要求：Ⅱ
难易程度：★★★☆☆
在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与
( http: / / www.21cnjy.com )月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
【参考答案】AD
【试题解析】由万有引力定律F=，可得太阳对地球上相同质量水的引力大约是月球的=169倍，A正确，B错误；不同区域的海水与月球的距离不一样，故引力大小也不一样。
【知识补给】
万有引力定律的应用
万有引力定律是对两个质点而言的规律，万有引力定律公式中的r是两质点或两物体重心的距离。
对于在大质量天体附近的小质
( http: / / www.21cnjy.com )量物体的运动，仍然可以使用万有引力定律，这是因为：若把天体分成无数可看成质点的小部分，这些小部分对物体引力的合力，与将天体的全部质量集中到天体重心处时对物体的引力相等。
万有引力是一种会随空间位置变化而发生变化的力，但其仍然是物体之间的相互作用，凡是涉及力的规律、定理、推论，万有引力都适用。
关于引力常量，下列说法中正确的是
A．引力常量的测出使万有引力定律有了真正的实用价值
B．引力常量的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
C．引力常量在数值上等于两质量都为1
kg、可视为质点的物体相距1
m时的相互吸引力大小
D．引力常量是不变的，其值大小与单位制的选择无关
对于万有引力公式F=，下列理解正确的是
A．m1与m2之间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
B．m1与m2之间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，是一对作用力与反作用力
C．当r趋近于零时，F趋向无穷大
D．当r趋近于零时，公式不适用
火星探测器绕火星近地做圆周轨道飞行，其线速度和相应的轨道半径为v0和R0，火星的一颗卫星在圆轨道上的线速度和相应的轨道半径为v和R，则下列关系中正确的是
A．lg()=lg()
B．lg()=2lg()
C．lg()=lg()
D．lg()=2lg()
有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从M中挖去半径为R的球体，如图所示，则剩余部分对质点的万有引力大小为（引力常量为G）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．
C．
D．
【参考答案】
AC
引力常量的测出使万有引力定律有了更大的实用价值，A正确；引力常量是一个普遍适用的常量，其在数值上等于两质量都为1
kg、可视为质点的物体相距1
m时的相互吸引力大小，与所选的单位制有关，C正确，BD错误。
BD
两物体间的万有引力是一对相互作用力，而非平衡力，A错误，B正确；万有引力公式F=只适用于质点间的万有引力的计算，当r→0时，物体不能再视为质点，万有引力公式不再适用，C错误，D正确。
C
由万有引力提供向心力有=，=，解得=，即lg()=lg()，选C。
A
质量为M的球体对质点的万有引力F1==，挖去的球体的质量M′=
SKIPIF
1
<
0
( http: / / www.21cnjy.com )=，质量为M′的球体对质点的万有引力F2==，则剩余部分对质点的万有引力F=F1–F2=，选A。
3月1日
月地检验
考纲要求：Ⅱ
难易程度：★★★★☆
为了验证拉住月球使它围绕地球运动的力与
( http: / / www.21cnjy.com )拉着苹果下落的力以及地球、众行星与太阳之间的作用力是同一性质的力，同样遵从平方反比定律，牛顿进行了著名的“月地检验”。已知月地之间的距离为60R（R为地球半径），月球围绕地球公转的周期为T，引力常量为G，则下列说法中正确的是
A．物体在月球轨道上受到的地球引力是其在地面附近受到的地球引力的
B．由题中信息可以计算出地球的质量
C．物体在月球轨道上绕地球公转的向心加速度是其在地面附近自由下落时的加速度的
D．由题中信息可以计算出月球绕地球公转的线速度为
【参考答案】BC
【试题解析】根据万有引力定律的平方反比关系，可得物体在月球轨道上受到的地球引力大小为物体在地面附近受到的地球引力大小的=，故物体在月球轨道上绕地球公转的向心加速度是其在地面附近自由下落时的加速度的，A错误，C正确；根据公式=，可得地球质量M=，B正确；月球绕地球公转的线速度v=，D错误。
【知识补给】
月地检验中相关物理量的测量
假设太阳光是平行照射到地球的，通过
( http: / / www.21cnjy.com )天文观测可得到月球的公转周期T，通过在地面上实验，由运动学规律可得到重力加速度g。地球半径和月球到地球的距离可由三角函数关系得到。
地球半径R：在一年的同一时间、同一经度的两地竖立细杆，分别测量正午时的影长，再测出两地距离，即可得到地球的半径。
月球到地球的距离：发生月食时，观测
( http: / / www.21cnjy.com )月球经过地球阴影的时间，地球阴影的宽度与地球直径相当，结合月球的公转周期，即可得到月球到地球的距离，约为60R。
比较和，只要二者近似相等，即可验证。
关于万有引力定律的建立，下列说法中正确的是
A．卡文迪许仅根据牛顿第三定律推出了行星与太阳间的引力大小跟行星与太阳间距离的平方成反比关系
B．“月–地检验”表明物体在地球上受到地球对它的引力是它在月球上受到月球对它的引力的60倍
C．“月–地检验”表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律
D．引力常量
G的大小是牛顿根据大量实验数据得出的
牛顿吸收了胡克等科学家“行星绕太阳做圆周运动时受到的引力与行星到太阳距离的平方成反比”的猜想，运用牛顿运动定律证明了行星受到的引力F∝，论证了太阳受到的引力F∝，进而得到了F=G（M为太阳质量、m为行星质量、r为行星与太阳的距离）。牛顿还认为这种引力存在于所有物体之间，通过苹果和月亮的加速度比例关系，证明了地球对苹果、地球对月亮的引力满足同样的规律，从而提出了万有引力定律。关于这个探索过程，下列说法正确的是
A．根据行星绕太阳运动中F=和=k，可得F∝
B．根据行星绕太阳运动中F=和=k，可得F∝
C．在计算月球的加速度时需要用到月球的半径
D．在计算苹果的加速度时需要用到地球的自转周期
猜想、检验是科学探究的两个重要环节。月–地检验为万有引力定律的发现提供了事实依据。已知地球半径R=6
400
km，地球中心与月球的距离r=60R。请你完成如下探究：
（1）已知地球表面的重力加速度g=9.8
m/s2，计算月球由于受到地球对它的万有引力而产生的加速度g'。
（2）已知月球绕地球公转的周期为27.3天，计算月球绕地球运动的向心加速度a。
（3）比较g'和a的值，你能得出什么结论？
【参考答案】
C
牛顿在前人的研究基础上根据开普勒行星运动定律和牛顿运动定律推出了行星与太阳间引力大小跟行星与太阳间距离的平方成反比关系，卡文迪许利用扭秤实验测定了引力常量，AD错误；“月–地检验”表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律，物体在地球上受到地球对它的引力是它在月球上受到月球对它的引力的6倍，B错误，C正确。
A
根据行星绕太阳运动中，向心力F=和开普勒第三定律=k，可得F=4kπ2∝，A正确；运用力的相互作用原理，即太阳受到的引力也与太阳的质量成正比，故F∝，B错误；在计算月球的加速度时需要用到的是月球到地球的距离，而不是月球的半径，C错误；根据苹果的自由落体运动，由运动学规律即可计算苹果的加速度，不需要用到地球的自转周期，D错误。
（1）由万有引力提供月球绕地球做圆周运动的向心力，有m'g'=
在地球表面有mg=
联立解得g'==2.722×10–3
m/s2
（2）由圆周运动规律，向心加速度a=r()2=2.725×10–3
m/s2
（3）在误差允许范围内可认为g'=a，即地面物体所受地球的引力与地球对月球的引力是同一性质的力
3月2日
天体质量与密度
考纲要求：Ⅱ
难易程度：★★★☆☆
如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是
( http: / / www.21cnjy.com )
A．飞行器轨道半径越大，周期越长
B．飞行器轨道半径越大，速度越大
C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
【参考答案】AC
【试题解析】根据=mR，有T=可知轨道半径越大，则周期越长，A正确；根据=，有v=可知轨道半径越大，则环绕速度越小，B错误；若测得周期，则有M=，若测得张角θ，则该星球半径r=Rsin，可得该星球的密度ρ==，C正确；由周期和轨道半径只能求出星球的质量，但无法求出星球的体积，故无法求出星球的密度，D错误。
【易错提示】求解天体的密度时，一定要注意区别轨道半径和星球半径。
由于均匀薄球壳对其内部质点的合万有引力为零，所以计算物体在星球内部受到的引力时要注意只考率物体所在位置以下的星球质量。
物体在均匀球体（半径为R）附近受到的万有引力F随物体到球心的距离r的变化关系如图所示
( http: / / www.21cnjy.com )
过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51peg
b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51peg
b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，该中心恒星的质量与太阳质量的比值约为
A．
B．1
C．5
D．10
已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零。假想在地球赤道正上方高h处和正下方深为h处各修建一绕地心的环形真空轨道，轨道面与赤道面共面；两物体分别在两轨道中做匀速圆周运动，轨道对物体均无作用力，设地球半径为R，假设地球为密度均匀的球体，则
A．两物体的速度大小之比为
B．两物体的速度大小之比为
C．两物体的加速度大小之比为
D．两物体的加速度大小之比为
中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，它的自转周期为T，该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定不因自转而瓦解。（星体可视为均匀球体，引力常量为G）
土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动，其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为rA=8.0×104
km和rB=1.2×105
km，忽略岩石颗粒间的相互作用。（结果用根式表示）
（1）求岩石颗粒A和B的线速度之比。
（2）土星探测器上有一物体，在地球上重为10
( http: / / www.21cnjy.com )
N，推算出它在距土星中心3.2×105
km处受到土星的引力为0.38
N。已知地球半径为6.4×103
km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？
【参考答案】
B
根据万有引力提供向心力有=mR，M=，“51peg
b”绕其中心恒星做匀速圆周运动的周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，所以该中心恒星与太阳质量的比值约为≈1，选B。
AC
设地球密度为ρ，则在赤道上方的轨道有，向心加速度a1==，在赤道下方的轨道有，向心加速度a2==，解得==，=，AC正确，BD错误。
中子星不瓦解的临界情况是：中子星表面物质随星球自转需要的向心力恰好由星体的引力提供
设中子星的密度为ρ，质量为M，半径为R，位于赤道处的小物块质量为m，则有
=，M=ρV，V=πR3
联立解得ρ=
（1）由万有引力提供岩石颗粒做圆周运动的向心力，有=
可得v=，故==
（2）由万有引力定律，物体在地球上受到的重力G0=
在土星上受到的引力F=
===95，土星质量是地球质量的95倍
3月3日
宇宙速度与黑洞
考纲要求：Ⅱ
难易程度：★★★☆☆
登上火星是人类的梦想，“嫦
( http: / / www.21cnjy.com )娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星的公转均可视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响，火星和地球的部分数据如下表：
行星
半径/m
质量/kg
公转轨道半径/m
地球
6.4×106
6.0×1024
1.5×1011
火星
3.4×106
6.4×1023
2.3×1011
A．火星的第一宇宙速度约为地球的第一宇宙速度的0.45倍
B．火星的第一宇宙速度约为地球的第一宇宙速度的1.4倍
C．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.43倍
D．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.28倍
【参考答案】AC
【试题解析】第一宇宙速度v=，则==0.45，A正确，B错误；根据向心加速度a=，==0.43，C正确，D错误。
【知识补给】
第二宇宙速度的推导
设星球质量为M，半径为R。沿半径方向取极短距离Δr，在Δr范围内可认为万有引力大小恒定，与星球中心距离为R+nΔr处的重力加速度an=（n=0,1,2,…），以第二宇宙速度v从星球表面沿半径方向运动，在Δr范围内有–=2anΔr，当n→∞时，有vn→0
则v2=2(a1+a2+a3+…)Δr=2GMΔr(+++…)
Δr极小，可认为==(–)
则v2=2GM(–+–+……)=，第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍
已知地球自转的角速度为7.29×10–5
rad/s，月球到地球中心的距离为3.84×108
m。在地球表面发射卫星的第一宇宙速度为7.9×103
m/s，第二宇宙速度为11.2×103
m/s，第三宇宙速度为16.7×103
m/s，假设地球上有一棵苹果树长到了接近月球那么高，则当苹果脱离苹果树后，将
A．落向地面
B．成为地球的同步“苹果卫星”
C．成为地球的“苹果月亮”
D．飞向茫茫宇宙
欧洲天文学家在2010年1月利用欧洲南方天文台甚大望远镜在NGC300螺旋星系心中发现了一个黑洞。这个新发现的黑洞与地球的距离大约为600万光年，比此前已知的任何黑洞都要远得多。若该黑洞的半径R约为45
km，则该黑洞表面重力加速度的数量级为
A．108
m/s2

B．1010
m/s2
C．1012
m/s2
D．1014
m/s2
第
67
届国际宇航大会上SpaceX公司的CEO埃隆·马斯克首次对媒体透露了在火星建立社区的“火星移民”计划。假设火星移民通过一代又一代坚韧不拔的努力，不仅完成了“立足”火星的基本任务，而且还掌握了探测太空的完整技术。已知火星半径是地球半径的，火星质量是地球质量的，在地球上发射人造地球卫星的最小发射速度为v，则火星人在火星上发射人造火星卫星时的最小发射速度为
A．v
B．v
C．v
D．v
1997年8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国Max
Planck学会的一个研究组宣布了他们的研究结果：银河系的中心可能存在一个大“黑洞”。所谓“黑洞”，是指某些天体的最后演变结果。已知引力常量G=6.67×10–11
N·m2/kg2。
（1）根据长期观测发现，
( http: / / www.21cnjy.com )距离某黑洞6.0×1012
m的另一星体（质量为m）以2×106
m/s的速度绕黑洞旋转，求该黑洞的质量M。（结果保留两位有效数字）
（2）根据天体物理学知识，物体从某天体上的逃逸速度公式为v=，其中M为天体质量，R为天体半径。逃逸速度不小于真空中光速的天体叫黑洞。请估算（1）中黑洞的最大可能半径。（结果保留一位有效数字）
【参考答案】
D
因为地球自转的角速度ω=7.29×10–5
rad/s，月球到地球中心的距离r=3.84×108
m，当苹果树长到了接近月球那么高时，苹果的线速度v=ωr≈28×103
m/s，此速度已经大于地球的第三宇宙速度，且离地球表面已经较远，故当苹果脱离苹果树后将飞向茫茫宇宙，D
正确。
C
黑洞是以光速运行的物体都不能逃逸的天体，其逃逸速度，即第二宇宙速度为光速c，则第一宇宙速度v==，则表面重力加速度g==1×1012
m/s2，选C。
B
在星球表面发射人造卫星时，当卫星轨道半径近似等于星球半径时，发射速度最小，即为第一宇宙速度。设火星人在火星上发射人造火星卫星时的最小发射速度为v'，由万有引力充当向心力有=，解得v'=，同理，地球的第一宇宙速度v=，又R=2R'，M=10M'，联立解得v'=v，选B。
（1）由万有引力等于向心力，有=
解得M==kg=3.6×1035
kg
（2）设黑洞的最大可能半径为R，质量为M，则其逃逸速度=c
解得黑洞的最大可能半径R==m=5×108
m
3月4日
自转与重力
考纲要求：Ⅰ
难易程度：★★★★☆
已知某星球的自转周期为T，物体在该星球
( http: / / www.21cnjy.com )赤道上随该星球自转的向心加速度为a，该星球赤道上物体的重力加速度为g，要使该星球赤道上的物体“飘”起来，该星球的自转周期要变为
A．
B．
C．
D．
【参考答案】C
【试题解析】物体随星球自转过程中，受到的引力，一部分提供自转的向心力，另一部分为重力，当在赤道上时，两者的方向都和万有引力方向相同，竖直向下，即F=mg+ma=mg+，要使该星球赤道上的物体“飘”起来，即万有引力全部充当向心力，有F=，联立解得T'=，选C。
【知识补给】
万有引力和重力的关系
地球在不停地自转，地球表面的物体随地球
( http: / / www.21cnjy.com )自转而做圆周运动，自转圆周运动需要一个向心力，故而重力不直接等于万有引力，在认为重力等于万有引力时，常会有忽略自转这一条件。
( http: / / www.21cnjy.com )
如图所示（真实情况不会有这么大偏差），地球自转的角速度为ω，物体所在纬线圈的度数为θ
万有引力F=，向心力Fn=mω2Rcos
θ
由余弦定理可得，重力mg=
当物体在赤道上时，Fn最大，Fn=mω2R，重力最小，mg=–mω2R
当物体在两极时，Fn=0，重力最大，mg=
假如地球的自转角速度增大，关于物体重力，下列说法中错误的是
A．放在赤道上的物体受到的万有引力不变
B．放在两极上的物体的重力不变
C．放在赤道上的物体的重力减小
D．放在两极上的物体的重力增大
假定太阳系中有一颗质量均匀、可视为球体的小行星，其自转可忽略。若该小行星自转加快，角速度为ω时，该小行星表面的“赤道”上物体对小行星的压力减为原来的。已知引力常量为G，则该小行星的密度ρ为
A．
B．
C．
D．
地球因其自转而导致地球上的物体所受的重力与万有引力的大小之间存在差异，其中，两极处最小（差值为零），赤道处最大（差值也仅约为万有引力的），因此在地球上，我们通常忽略两者的差异，可认为两者相等，而有些星球，却不能忽略。例如，有一个这样的星球，质量为M，半径为R，绕过两极且与赤道平面垂直的轴自转，测得其赤道上一物体的重力是两极上的，已知引力常量为G。求该星球的自转周期。
【参考答案】
D
地球的质量和半径都没有变化，故放在赤道上物体受到的万有引力大小不变，A正确；地球自转速度增大，则同一纬度上物体随地球自转所需向心力增大，在两极，物体转动半径为0，转动所需向心力为0，此时物体的重力与万有引力相等，故自转角速度增大，放在两极的物体的重力不变，B正确，D错误；赤道上的物体的向心力增大，物体的重力将减小，C正确。故选D。
C
忽略小行星的自转时，有mg=，自转角速度为ω时，有–=mω2R，可得小行星的质量M=，小行星的体积V=，则小行星的密度ρ==，选C。
设物体的质量为m，星球的质量为M，星球的自转周期为T
物体在星球两极时，万有引力等于重力，有F==mg
物体在星球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一个分力提供，另一分力就是重力mg，有
F=mg+Fn=mg+m()2R
联立可得T=
3月5日
万有引力与航天复习
太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。如图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象，横轴是lg，纵轴是lg，T和R分别是行星绕太阳运行的周期和圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和圆轨道半径。则下列图象中正确的是
A
B
C
D
2013年12月2日1时30分，“嫦娥三号”月球探测器搭载长征三号乙火箭发射升空。该卫星在距月球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，其运行的周期为T，最终在月球表面实现软着陆。若以R表示月球的半径，引力常量为G，忽略月球自转及地球对卫星的影响，下列说法中不正确的是
A．“嫦娥三号”绕月运行时的向心加速度为
B．月球的第一宇宙速度为
C．月球的质量为
D．物体在月球表面自由下落的加速度大小为
太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Glicsc581”运行的行星“Gl–581c”却值得人类期待。该行星表面的温度在0~40
℃之间，质量是地球的6倍，直径是地球的1.5倍，公转周期为13个地球日；恒星“Glicsc581”的质量是太阳质量的0.31倍。该行星与地球均可视为质量分布均匀的球体，绕中心恒星做匀速圆周运动，则
A．在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同
B．如果人到了该行星，其体重是地球上的倍
C．该行星与“Glicsc581”的距离是日地距离的倍
D．恒星“Glicsc581”的密度是地球的倍
如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏差。重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近的重力加速度反常现象。已知引力常量为G。
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常。
（2）若在水平地面上半径L的范围内
( http: / / www.21cnjy.com )发现：重力加速度反常值在δ与kδ（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围的中心。如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。
如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜坡倾角为α，已知该星球半径为R，引力常量为G，忽略星球自转。求：
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）该星球表面的重力加速度；
（2）该星球的密度；
（3）该星球的第一宇宙速度；
（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期。
【参考答案】
B
根据开普勒第三定律有==k，则()3=()2，两边取对数，得lg=lg，选B。
A
“嫦娥三号”绕月运行时的向心加速度a=，A错误；由万有引力充当向心力，有=，r=R+h，可得GM=，则月球的第一宇宙速度v==，B正确；月球的质量M=，C正确；物体在月球表面的重力等于万有引力，则重力加速度g==，D正确。
B
由=，得第一宇宙速度v=，该行星与地球的第一宇宙速度之比为==，A错误；由万有引力近似等于重力，有=g，重力加速度g=，该行星表面与地球表面重力加速度之比为=，gc=g，B正确；行星绕恒星运动时，根据万有引力提供向心力有=，可得行星与恒星的距离r=，该行星与“Glicsc581”的距离和日地距离之比为=，C错误；由于恒星“Glicsc581”的半径未知，无法求出恒星的体积，故不能确定其密度与地球密度的关系，D错误。
（1）如果将球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值
则重力加速度反常Δg==
（2）由（1）可知，重力加速度反常的最大值为，最小值为
则kδ=，δ=
联立可得地下球形空腔球心的深度d=，空腔的体积V=
（1）小球做平抛运动，水平方向有x=v0t，竖直方向有y=gt2
由几何关系有tan
α=
联立解得g=
（2）在星球表面万有引力等于重力，有=mg
可得星球的质量M==
星球的体积V=
则该星球的密度ρ==
（3）该星球的第一宇宙速度v==
（4）绕星球表面运行的卫星的最小周期T==