6.4.2乘法公式
一、教学目标
1、会推导并掌握平方差公式.
2、在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．
3、能灵活运用公式进行简单的运算．
二、课时安排：1课时.
三、教学重点：平方差公式.
四、教学难点：灵活运用公式进行简单的运算．
五、教学过程
（一）导入新课
前面我们学习了两数和的平方、两数差的平方，它们的结果都是三项，如果用两数的和与两数的差相乘，结果如何呢？
下面我们学习平方差公式.
（二）讲授新课
实践：
计算下面各题：
(1)(a+5)(a-5)=
a2-25;
(2)(m+3)(m-3)=
m2-9;
(3)(3x+7)(3x-7)=
9x2-25;
(4)(5a+b)(5a-b)=
25a2-b2;
(5)(n+3m)(n-3m)=
n2-9m2.;
(6)(x+2y)(x-2y)=
x2-4y2.
通过计算你发现了什么规律？
两个数的
和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方和.
（三）重难点精讲
思考：
整式乘法具有怎样的特点时，可以用这个规律去简化计算？如何推导这个规律呢？
类似的，可以利用多项式和多项式相乘的知识进行解释：
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
我们把这个规律叫做平方差公式.
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2.
思考：
怎样用图6-8中图形的面积来解释平方差公式？
典例：
例4、运用平方差公式计算：
(1)(m+8)(m-8)
；
(2)(2a+5b)(2a-5b).
跟踪训练：
运用平方差公式计算：
(1)(x+3)(x-3)
；
(2)(3m+2n)(3m-2n).
解：
(1)(x+3)(x-3)
=x2-32
=x2-9;
(2)(3m+2n)(3m-2n)
=(3m)2-(2n)2
=9m2-4n2.
注意：(1)应用这个公式的条件是：两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)公式中的a和b可以表示数或代数式.
典例：
例5、运用平方差公式计算：
(1)(4y+3x)(3x-4y)
；
(2)(-4a-1)(4a-1).
解：
(1)(4y+3x)(3x-4y)
=(3x+4y)(3x-4y)
=(3x)2-(4y)2
=9x2-16y2;
(2)(-4a-1)(4a-1)
=(-1-4a)(-1+4a)
=(-1)2-(4a)2
=1-16a2.
或(2)(-4a-1)(4a-1)
=-(4a+1)(4a-1)
=-〔(4a)2-12〕
=1-16a2.
跟踪训练：
运用平方差公式计算：
(1)(2a+5b)(5b-2a)
；
(2)(-2x-3)(2x-3).
解：
(1)(2a+5b)(5b-2a)
=(5b+2a)(5b-2a)
=(5b)2-(2a)2
=25b2-4a2;
(2)(-2x-3)(2x-3)
=(-3-2x)(-3+2x)
=(-3)2-(2x)2
=9-4x2.
（四）归纳小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
（五）随堂检测
1、判断下列式子能否用平方差公式计算(用对错号表示)：
(1)
(a+2b)(a 2b)
；
(
)
(2)
(a 2b)(2b a)
；
(
)
(3)
(2a+b)(b+2a)；
(
)
(4)
(a 3b)(a+3b)
；
(
)
(5)
(2x+3y)(3y 2x)．
(
)
2、运用平方差公式计算：
(1)
(3x＋2
)(
3x－2
)
；
(2)
(-x+2y)(-x-2y).
六、板书设计
§
6.4.2乘法公式
平方差公式：
字母表示：
例4、例5、
七、作业布置：课本P92
习题
4、(1)(2)(3)(4)
八、教学反思6.4.2乘法公式
一、夯实基础
1、下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是(
)
A.(x+y)(－x－y)
B.(2x+3y)(2x－3z)
C.(－a－b)(a－b)
D.(m－n)(n－m)
2、下列计算正确的是(
)
A.(2x+3)(2x－3)=2x2－9
B.(x+4)(x－4)=x2－4
C.(5+x)(x－6)=x2－30
D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b2
3、(x+2y)(x-2y)=__________.
4、(3a+2b)(___________)=4b2-9a2.
二、能力提升
5、下列运算中，正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
6、下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是(
)
A.(－a－b)(－b+a)
B.(xy+z)(xy－z)
C.(－2a－b)(2a+b)
D.(0.5x－y)(－y－0.5x)
7、在下列各式中，运算结果是的是（
）
A.
B.
C.
D.
8、计算(3m+4)(4-3m)的结果是______
9、计算(2m+1)(4m2+1)(2m-1)=_____.
10、观察下列各式：1×3=22-1，3×5=42-1，5×7=62-1，……请你把发现的规律用含n（n为正整数）的等式表示为_________.
三、课外拓展
11、已知a2-b2=8，a+b=4，求a、b的值.
解：
四、中考链接
12、已知x2+x﹣5=0，则代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值为________．
参考答案
夯实基础
1、C
2、D
3、x2-4y2
4、2b-3a
能力提升
5、D
6、C
7、D
8、16-9m2
9、16m4-1
10、(2n-1)(2n+1)=(2n)2-1
课外拓展
11、a=3，b=1.
中考链接
12、2(共20张PPT)
七年级下册
6.4.1乘法公式
学校操场中有一块边长为108m的正方形空地，为购买草坪进行绿化，需要计算空地的面积，你能通过画图求得这块正方形空地的面积吗？
如何解决这个问题？下面我们学习完全平方公式.
1、会推导并掌握完全平方公式.
2、在探索完全平方公式的过程中，培养符号感和推理能力．
3、能灵活运用公式进行简单的运算．
1、两数和的平方，等于它们的_________，加上它们的积的_____.
字母表示为：______________________.
2、两数差的平方，等于它们的_________，减去它们的积的_____.
字母表示为：______________________.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
平方和
2倍
平方和
2倍
计算：
(1)(p+1)2=_____________;
(2)(m+2)2=____________;
(3)(p-1)2=_____________;
(4)(m-2)2=_____________.
p2-2p+1
m2+2m+4
p2+2p+1
m2-4m+4
回到情境导入中的问题：
通过画图，我们发现可以将这个正方形分割成四部分(如图6-5)，即两个正方形和两个一模一样的长方形，分别口算四部分的面积就可以求得整个正方形的面积.
如果这块正方形空地的边长是a+b，那么它的面积是多少呢？你能用整式乘法的知识进行解释吗？
如图6-6，我们发现(a+b)2=a2+2ab+b2.可以利用多项式和多项式相乘的知识进行解释：
(a+b)2=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.
这个规律用文字语言如何表述？怎样形式的整式乘法可以使用它简化运算？
两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.
两数和的完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2.
注意：(1)在公式中，字母a和b可以是含字母的代数式，也可以是单独的数.
(2)在运用公式进行运算时，应注意区分哪个是a，哪个是b.
例1、运用两数和的完全平方公式计算：
(1)(x+3)2;
(2)(3m+4n)2.
解：(1)(x+3)2=x2+2·x·3+32=x2+6x+9;
(a+b)2=a2+2·a·b+b2.
(2)(3m+4n)2=(3m)2+2·(3m)·(4n)+(4n)2=9m2+24mn+16n2.
(a
+
b)2
=a2
+
2
·
a
·
b
+
b2.
为了运用公式，需要将谁看成a，将谁看成b
运用两数和的完全平方公式计算：
(1)
(3a+b)2;
(2)(2x+3y)2.
解：(1)(3a+b)2
=(3a)2+2·(3a)·b+b2
=9a2+6ab+b2;
(2)(2x+3y)2
=(2x)2+2·(2x)·(3y)+(3y)2
=4x2+12xy+9y2.
例2、运用两数和的完全平方公式计算：
(1)
1072;
(2)(a+b+c)2.
解：(1)1072
=(100+7)2
=1002+2×100×7+72
=11449;
(2)(a+b+c)2
=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
分析：(1)将1072看成(100+7)2，转化为可用两数和的完全平方公式的形式；
(2)把a+b看成一个整体，将(a+b+c)2写成[(a+b)+c]2的形式，就可以应用公式了.
运用两数和的完全平方公式计算:
(1)
1052
;
(2)
(a+b+3c)2.
解:(1)1052=(100+5)2
=1002
+2×100×5+52
=10000+1000+25
=11025
；
(2)(a+b+3c)2
=[(a+b)+3c]2
=(a+b)2+2(a+b)×3c+(3c)2
=a2+2ab+b2+6ac+6bc+9c2
=a2+b2+9c2+2ab+6ac+6bc.
两数差的完全平方公式如何推导？你能把这个公式用文字语言表达出来吗？
两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍.
两数差的完全平方公式：
(a-b)2=a2-2ab+b2.
注意：同两数和的完全平方公式.
两数和与两数差的完全平方公式，统称为完全平方公式.
例3、运用两数差的完全平方公式计算：
(1)
(2x-1)2;
(2)(3m-2n)2.
解：(1)(2x-1)2
=(2x)2-2·(2x)·1+12
=4x2-4x+1;
(2)(3m-2n)2
=(3m)2-2·(3m)·(2n)+(2n)2
=9m2-12mn+4n2.
仿照用正方形和长方形面积表示两数和的完全平方公式的方法，试解释两数差的完全平方公式，并与同学交流你的想法和结果.
如图6-7，ab表示的是那部分图形的面积？重复减去的面积怎么办？
完全平方公式的结构特点：
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
1、积为二次三项式.
2、积中两项为两数的平方和.
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
1、x+y=4,则x2
+2xy+y2的值是（
）
A、8
B、16
C、2
D、4
B
2、(a-b)2+M=a2
+2ab+b2,则M为（
）
A、ab
B、0
C、2ab
D、4ab
D
3、若使x2-6x+m成为形如(x-a)2的完全平方形式，则m,a的值（
）
A、m=9,a=9
B、m=9,a=3
C、m=3,a=3
D、m=-3,a=-2
B
4、运用完全平方公式计算：
（1）(3x＋y)2;
（2）982.
解：（1）(3x+y)2
=(3x)2＋2×(3x)×y＋y2
=9x2＋6xy＋y2;
（2）982
=(100-2)2
=1002－2×100×2＋4
=9604.
通过本节课的学习你收获了什么？6.4.1乘法公式
一、夯实基础
1、下列运算正确的是（
）
A.(a+3)2＝a2+9
B.(x－y)2＝x2－xy+y2
C.(1－m)2＝1－2m+m2
D.(x2－y2)(x+y)(x－y)＝x4－y4
2、下列各式中，相等关系一定成立的是（
）
A.(x－y)2＝(y－x)2
B.(x+6)(x－6)＝x2－6
C.(x+y)2＝x2+y2
D.x2+2xy2－y2＝(x+y)2
3、两项和（或差）的平方，等于它们的
加上（或减去）它们乘积的2倍，公式为
.
4、
.
二、能力提升
5、若x2-kxy+9y2是一个完全平方式，则k值为（
）
A．3
B．6
C．±6
D．±81
6、下列运算正确的是
（
）
A．
B．
C．
Ｄ．
7、若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式.下列三个代数式：①；②；
③．其中是完全对称式的是(
)
A．①②
B．①③
C．
②③
D．①②③
8、计算：（-xy+5）2
.
解：
9、计算：.
解：
10、先化简，再求值：
，其中．
解：
三、课外拓展
11、已知x+y＝6，xy＝4，求①x2+y2，②(x－y)2，③x2+xy+y2的值.
解：
四、中考链接
12、（武汉）运用乘法公式计算(x＋3)2的结果是（
）
A．x2＋9
B．x2－6x＋9
C．x2＋6x＋9
D．x2＋3x＋9
参考答案
夯实基础
1、C
2、A
3、平方的和，
4、4x2-12xy+9y2
能力提升
5、A
6、C
7、D
8、x2y2-10xy+25
9、
10、解：（1）
.
当，时，.
课外拓展
11、解：①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝62－2×4＝36－8＝28.
②(x－y)2＝(x+y)2－4xy＝62－4×4＝36－16＝20.
③x2+xy+y2＝28+4＝32.
中考链接
12、C6.4.3乘法公式
一、教学目标
1、巩固完全平方公式、平方差公式.
2、能灵活运用完全平方公式、平方差公式解决实际问题.
二、课时安排：1课时.
三、教学重点：巩固完全平方公式、平方差公式.
四、教学难点：灵活运用完全平方公式、平方差公式解决实际问题.
五、教学过程
（一）导入新课
前面我们学习了完全平方公式和平方差公式，怎样运用它们进行综合解决问题呢？
下面我们继续学习乘法公式.
（二）讲授新课
典例：
例6、运用平方差公式计算：
(1)59.8×60.2；
(2)(p+q)(p2+q2)(p-q).
解：(1)59.8×60.2
=(60-0.2)(60+0.2)
=602-(0.2)2
=3600-0.04
=3599.96；
(2)(p+q)(p2+q2)(p-q)
=(p+q)(p-q)(p2+q2)
=(p2-q2)(p2+q2)
=p4-q4.
跟踪训练：
运用平方差公式计算：
(1)101×99；
(2)(2x+1)(4x2+1)(2x-1).
解：(1)101×99
=(100+1)(100-1)
=1002-12
=10000-1
=9999；
(2)(2x+1)(4x2+1)(2x-1)
=(2x+1)(2x-1)(4x2+1)
=(4x2-1)(4x2+1)
=16x4-1.
（三）重难点精讲
典例：
例7、计算：
(1)(2x+1)(2x-1)-(3-2x)(-2x-3)；
(2)(3a-4b)(4b+3a)-(2b-a)(2b+3a).
解：
(1)(2x+1)(2x-1)-(3-2x)(-2x-3)
=
(2x+1)(2x-1)+(3-2x)(3+2x)
=〔(2x)2-1〕+〔32-(2x)2〕
=4x2-1+9-4x2
=8；
(2)(3a-4b)(4b+3a)-(2b-a)(2b+3a)
=〔(3a)2-(4b)2〕-(4b2+6ab-2ab-3a2)
=9a2-16b2-4b2-4ab+3a2
=12a2-4ab-20b2.
例8、运用乘法公式计算：(2y+x)2(x-2y)2.
分析：运用加法交换律，将2y+x变形为x+2y，这样(x+2y)(x-2y)符合平方差公式，然后运用积的乘法公式将原式变形为〔
(x+2y)(x-2y)
〕2，再运用乘法公式计算.
解：(2y+x)2(x-2y)2
=〔
(x+2y)(x-2y)
〕2
=(x2-4y2)2
=x4-8x2y2+16y4.
跟踪训练：
运用乘法公式计算：(a-b+c)2.
解：(a-b+c)2
=〔
(a-b)+c
〕2
=(a-b)2+2(a-b)×c+c2
=a2-2ab+b2+2ac-2bc+c2.
典例：
例9、有一个正方形花园，如果它的边长增加3米，那么花园面积将增加39平方米，求原来花园的面积.
解：如图6-9，设原正方形花园的边长为x米，那么增加后的边长为(x+3)米.由题意，得
(x+3)2-x2=39.
x2+6x+9-x2=39.
x=5.
∴
x2=25.
答：原来花园的面积为25平方米.
（四）归纳小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
（五）随堂检测
1、计算：
(1)(x+2)(x-2)-x(x+3);
(2)(a-6)2-(a+2)(a-3).
2、计算：(a+b+3)(a+b-3).
3、先化简，再求值：
(a+b)(a-b)+a(2b-a),其中a=1.5，b=2.
六、板书设计
§
6.4.3乘法公式
例6：例7：
例8：
例9、
七、作业布置：课本P92
习题
4、(5)(6)、6
八、教学反思6.4.1乘法公式
预习案
一、学习目标
1、会推导并掌握完全平方公式.
2、在探索完全平方公式的过程中，培养符号感和推理能力．
3、能灵活运用公式进行简单的运算．
二、预习内容
范围：自学课本P84-P87，完成练习.
三、预习检测
计算：
(1)(p+1)2=_____________;
(2)(m+2)2=____________;
(3)(p-1)2=_____________;
(4)(m-2)2=_____________.
探究案
一、合作探究（10分钟）
探究要点
两数和的完全平方公式.
学校操场中有一块边长为108m的正方形空地，为购买草坪进行绿化，需要计算空地的面积，你能通过画图求得这块正方形空地的面积吗？
如何解决这个问题？
探索：
通过画图，我们发现可以将这个正方形分割成四部分(如图6-5)，即两个正方形和两个一模一样的长方形，分别口算四部分的面积就可以求得整个正方形的面积.
思考：
如果这块正方形空地的边长是a+b，那么它的面积是多少呢？你能用整式乘法的知识进行解释吗？
如图6-6，我们发现(a+b)2=a2+2ab+b2.可以利用多项式和多项式相乘的知识进行解释：
思考：
这个规律用文字语言如何表述？怎样形式的整式乘法可以使用它简化运算？
两数和的完全平方公式：
____________________________
注意：(1)在公式中，字母a和b可以是含字母的代数式，也可以是单独的数.(2)在运用公式进行运算时，应注意区分哪个是a，哪个是b.
典例：
例1、运用两数和的完全平方公式计算：
(1)(x+3)2;
(2)(3m+4n)2.
跟踪训练：
运用两数和的完全平方公式计算：
(1)
(3a+b)2;
(2)(2x+3y)2.
典例：
例2、运用两数和的完全平方公式计算：
(1)
1072;
(2)(a+b+c)2.
分析：(1)将1072看成(100+7)2，转化为可用两数和的完全平方公式的形式；(2)把a+b看成一个整体，将(a+b+c)2写成[(a+b)+c]2的形式，就可以应用公式了.
跟踪训练：
运用两数和的完全平方公式计算:
(1)
1052
;
(2)
(a+b+3c)2.
思考：
两数差的完全平方公式如何推导？你能把这个公式用文字语言表达出来吗？
两数差的完全平方公式：
______________________________
注意：两数和与两数差的完全平方公式，统称为完全平方公式.
典例：
例3、运用两数差的完全平方公式计算：
(1)
(2x-1)2;
(2)(3m-2n)2.
交流：
仿照用正方形和长方形面积表示两数和的完全平方公式的方法，试解释两数差的完全平方公式，并与同学交流你的想法和结果.
二、小组展示（10分钟）
每小组口头或利用投影仪展示一道题,
一个小组展示时，其他组要积极思考，勇于挑错，谁挑出错误或提出有价值的疑问，给谁的小组加分（或奖星）
交流内容
展示小组（随机）
点评小组（随机）
____________
第______组
第______组
____________
第______组
第______组
三、归纳总结
完全平方公式的结构特点：
1、积为二次三项式.
2、积中两项为两数的平方和.
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
四、课堂达标检测
1、x+y=4,则x2
+2xy+y2的值是（
）
A、8
B、16
C、2
D、4
2、(a-b)2+M=a2
+2ab+b2,则M为（
）
A、ab
B、0
C、2ab
D、4ab
3、若使x2-6x+m成为形如(x-a)2的完全平方形式，则m,a的值（
）
A、m=9,a=9
B、m=9,a=3
C、m=3,a=3
D、m=-3,a=-2
4、运用完全平方公式计算：
（1）(3x＋y)2;
（2）982.
解：
五、学习反馈
通过本节课的学习你收获了什么？
参考答案
预习检测
(1)
p2+2p+1
(2)
m2+2m+4
(3)
p2-2p+1
(4)
m2-4m+4
课堂达标检测
1、B
2、D
3、B
4、解：（1）(3x+y)2
=(3x)2＋2×(3x)×y＋y2
=9x2＋6xy＋y2;
（2）982
=(100-2)2
=1002－2×100×2＋4
=9604.6.4.3乘法公式
一、夯实基础
1、a4+(1－a)(1+a)(1+a2)的计算结果是(
)
A.－1
B.1
C.2a4－1
D.1－2a4
2、(4x2－5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算(
)
A.－4x2－5y
B.－4x2+5y
C.(4x2－5y)2
D.(4x+5y)2
3、计算：503×497=_________.
4、计算：1.02×0.98=_______.
二、能力提升
5、若(9+x2)(x+3)·M=81-x4，则M=______.
6、计算：(2y-1)(4y2+1)(2y+1)
解：
7、3(2a+1)(-2a+1)-(a-3)(3+a)
解：
8、99×101×10001
解：
9、计算：
解：
10、计算：［2x2－(x+y)(x－y)］［(z－x)(x+z)+(y－z)(y+z)］
解：
三、课外拓展
11、先化简，再求值：
2(x－3)(x＋2)－(3＋a)(3－a)，其中，a＝－2，x＝1.
解：
四、中考链接
12、已知x2+x﹣5=0，则代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值为______．
参考答案
夯实基础
1、B
2、A
3、249991
4、0.9996
能力提升
5、3-x
6、16y4-1
7、
8、108-1
9、解：
10、解：
（3）［2x2－(x+y)(x－y)］［(z－x)(x+z)+(y－z)(y+z)］
=［2x2－(x2－y2)］(z2－x2+y2－z2)
＝(x2+y2)(－x2+y2)＝y4－x4.
课外拓展
11、解：2(x－3)(x＋2)－(3＋a)(3－a)
＝2(x2－x－6)－(9－a2)
＝2x2－2x－12－9＋a2
＝2x2－2x－21＋a2，
当a＝－2，x＝1时，原式＝2－2－21＋(－2)2＝－17.
中考链接
12、26.4.3乘法公式
预习案
一、学习目标
1、巩固完全平方公式、平方差公式.
2、能灵活运用完全平方公式、平方差公式解决实际问题.
二、预习内容
范围：自学课本P90-P91，完成练习.
三、预习检测
计算：
(1)(a+1)(a-1)-a(a-2);
(2)(x+5)2-(x-2)(x-3).
解：
探究案
一、合作探究（10分钟）
探究要点
乘法公式的灵活运用
例6、运用平方差公式计算：
(1)59.8×60.2；
(2)(p+q)(p2+q2)(p-q).
解：
跟踪训练：
运用平方差公式计算：
(1)101×99；
(2)(2x+1)(4x2+1)(2x-1).
解：
典例：
例7、计算：
(1)(2x+1)(2x-1)-(3-2x)(-2x-3)；
(2)(3a-4b)(4b+3a)-(2b-a)(2b+3a).
解：
例8、运用乘法公式计算：(2y+x)2(x-2y)2.
分析：运用加法交换律，将2y+x变形为x+2y，这样(x+2y)(x-2y)符合平方差公式，然后运用积的乘法公式将原式变形为〔
(x+2y)(x-2y)
〕2，再运用乘法公式计算.
解：
跟踪训练：
运用乘法公式计算：(a-b+c)2.
解：
典例：
例9、有一个正方形花园，如果它的边长增加3米，那么花园面积将增加39平方米，求原来花园的面积.
解：
二、小组展示（10分钟）
每小组口头或利用投影仪展示一道题,
一个小组展示时，其他组要积极思考，勇于挑错，谁挑出错误或提出有价值的疑问，给谁的小组加分（或奖星）
交流内容
展示小组（随机）
点评小组（随机）
____________
第______组
第______组
____________
第______组
第______组
三、归纳总结
本节的知识点：
1、巩固完全平方公式、平方差公式.
2、能灵活运用完全平方公式、平方差公式解决实际问题.
四、课堂达标检测
1、计算：
(1)(x+2)(x-2)-x(x+3);
(2)(a-6)2-(a+2)(a-3).
2、计算：(a+b+3)(a+b-3).
解：
3、先化简，再求值：
(a+b)(a-b)+a(2b-a),其中a=1.5，b=2.
解：
五、学习反馈
通过本节课的学习你收获了什么？
参考答案
预习检测
解:(1)(a+1)(a-1)-a(a-2)
=
a2-1-a2+2a
=
2a+1;
(2)(x+5)2-(x-2)(x-3)
=(x2+10x+25)-(x2-5x+6)
=
x2+10x+25-x2+5x-6
=15x+19.
课堂达标检测
1、解:(1)(x+2)(x-2)-x(x+3)
=
x2-4-x2-3x
=
-3x-4;
(2)(a-6)2-(a+2)(a-3)
=(a2-12a+36)-(a2-3a+2a-6)
=
a2-12a+36-a2+3a-2a+6
=-11a+42.
2、解：(a+b+3)(a+b 3)
=[(a+b)+3][(a+b) 3]
=(a+b)2 32
=a2+2ab+b2-9.
3、解：(a+b)(a-b)+a(2b-a)
=a2-b2+2ab-a2
=2ab-b2;
当a=1.5,b=2时，
原式=2×1.5×2-22
=2.(共16张PPT)
七年级下册
6.4.2
乘法公式
前面我们学习了两数和的平方、两数差的平方，它们的结果都是三项，如果用两数的和与两数的差相乘，结果如何呢？
下面我们学习平方差公式.
1、会推导并掌握平方差公式.
2、在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．
3、能灵活运用公式进行简单的运算．
1、两个数的
和与这两个数的差的积，等于这两个数的________.
2、(a+b)(a-b)=__________.
平方差
a2-b2
运用平方差公式计算：
1、(x+1)(x-1)=________;
2、(m+2)(m-2)=_______;
3、(2x+1)(2x-1)=________.
4x2-1
m2-4
x2-1
计算下面各题：
(1)(a+5)(a-5)=________;
(2)(m+3)(m-3)=________;
(3)(3x+7)(3x-7)=________;
(4)(5a+b)(5a-b)=________;
(5)(n+3m)(n-3m)=_________;
(6)(x+2y)(x-2y)=________.
a2-25
m2-9
9x2-49
n2-9m2
25a2-b2
x2-4y2
通过计算你发现了什么规律？
两个数的
和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方和.
整式乘法具有怎样的特点时，可以用这个规律去简化计算？如何推导这个规律呢？
类似的，可以利用多项式和多项式相乘的知识进行解释：
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
我们把这个规律叫做平方差公式.
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2.
怎样用图6-8中图形的面积来解释平方差公式？
例4、运用平方差公式计算：
(1)(m+8)(m-8)
；
(2)(2a+5b)(2a-5b).
解：(1)(m+8)(m-8)=m2-82=m2-64;
(a
+b)(a
-b)=a2
-b2.
(2)(2a+5b)(2a-5b)=(2a)2-(5b)2=4a2-25b2.
为了运用公式，需要将谁看成a，将谁看成b
(a
+
b)(
a
-
b)
=
a2
-
b2.
注意：(1)应用这个公式的条件是：两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)公式中的a和b可以表示数或代数式.
运用平方差公式计算：
(1)(x+3)(x-3)
；
(2)(3m+2n)(3m-2n).
解：(1)(x+3)(x-3)
=x2-32
=x2-9;
(2)(3m+2n)(3m-2n)
=(3m)2-(2n)2
=9m2-4n2.
例5、运用平方差公式计算：
(1)(4y+3x)(3x-4y)
；
(2)(-4a-1)(4a-1).
解：(1)(4y+3x)(3x-4y)
=(3x+4y)(3x-4y)
=(3x)2-(4y)2
=9x2-16y2;
(2)(-4a-1)(4a-1)
=(-1-4a)(-1+4a)
=(-1)2-(4a)2
=1-16a2.
或(2)(-4a-1)(4a-1)
=-(4a+1)(4a-1)
=-〔(4a)2-12〕
=1-16a2.
怎样转化为符合公式条件的形式？
运用平方差公式计算：
(1)(2a+5b)(5b-2a)
；
(2)(-2x-3)(2x-3).
解：(1)(2a+5b)(5b-2a)
=(5b+2a)(5b-2a)
=(5b)2-(2a)2
=25b2-4a2;
(2)(-2x-3)(2x-3)
=(-3-2x)(-3+2x)
=(-3)2-(2x)2
=9-4x2.
(1)
(a+2b)( a 2b)
；
(
)
(2)
(a 2b)(2b a)
；
(
)
(3)
(2a+b)(b+2a)；
(
)
(4)
(a 3b)(a+3b)
；
(
)
(5)
( 2x+3y)(3y 2x)．
(
)
×
1、判断下列式子能否用平方差公式计算(用对错号表示)：
×
×
×
√
2、运用平方差公式计算：
(1)
(3x＋2
)(
3x－2
)
；
(2)
(-x+2y)(-x-2y).
解:(1)(3x＋2)(3x－2)
=(3x)2－22
=9x2－4；
(2)(-x+2y)(-x-2y)
=(-x)2－(2y)2
=
x2－4y2.
通过本节课的学习你收获了什么？6.4.1乘法公式
一、教学目标
1、会推导并掌握完全平方公式.
2、在探索完全平方公式的过程中，培养符号感和推理能力．
3、能灵活运用公式进行简单的运算．
二、课时安排：1课时.
三、教学重点：完全平方公式.
四、教学难点：灵活运用公式进行简单的运算．
五、教学过程
（一）导入新课
学校操场中有一块边长为108m的正方形空地，为购买草坪进行绿化，需要计算空地的面积，你能通过画图求得这块正方形空地的面积吗？
如何解决这个问题？下面我们学习完全平方公式.
（二）讲授新课
探索：
回到情境导入中的问题：
通过画图，我们发现可以将这个正方形分割成四部分(如图6-5)，即两个正方形和两个一模一样的长方形，分别口算四部分的面积就可以求得整个正方形的面积.
（三）重难点精讲
思考：
如果这块正方形空地的边长是a+b，那么它的面积是多少呢？你能用整式乘法的知识进行解释吗？
如图6-6，我们发现(a+b)2=a2+2ab+b2.可以利用多项式和多项式相乘的知识进行解释：
(a+b)2=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.
思考：
这个规律用文字语言如何表述？怎样形式的整式乘法可以使用它简化运算？
两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.
两数和的完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2.
注意：(1)在公式中，字母a和b可以是含字母的代数式，也可以是单独的数.(2)在运用公式进行运算时，应注意区分哪个是a，哪个是b.
典例：
例1、运用两数和的完全平方公式计算：
(1)(x+3)2;
(2)(3m+4n)2.
跟踪训练：
运用两数和的完全平方公式计算：
(1)
(3a+b)2;
(2)(2x+3y)2.
解：(1)(3a+b)2
=(3a)2+2×(3a)×b+b2
=9a2+6ab+b2;
(2)(2x+3y)2
=(2x)2+2×(2x)×(3y)+(3y)2
=4x2+12xy+9y2.
典例：
例2、运用两数和的完全平方公式计算：
(1)
1072;
(2)(a+b+c)2.
分析：(1)将1072看成(100+7)2，转化为可用两数和的完全平方公式的形式；(2)把a+b看成一个整体，将(a+b+c)2写成[(a+b)+c]2的形式，就可以应用公式了.
解：(1)1072
=(100+7)2
=1002+2×100×7+72
=11449;
(2)(a+b+c)2
=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
跟踪训练：
运用两数和的完全平方公式计算:
(1)
1052
;
(2)
(a+b+3c)2.
解:(1)1052=(100+5)2
=1002
+2×100×5+52
=10000+1000+25
=11025
；
(2)(a+b+3c)2
=[(a+b)+3c]2
=(a+b)2+2(a+b)×3c+(3c)2
=a2+2ab+b2+6ac+6bc+9c2
=a2+b2+9c2+2ab+6ac+6bc.
思考：
两数差的完全平方公式如何推导？你能把这个公式用文字语言表达出来吗？
两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍.
两数差的完全平方公式：
(a-b)2=a2-2ab+b2.
注意：同两数和的完全平方公式.
两数和与两数差的完全平方公式，统称为完全平方公式.
典例：
例3、运用两数差的完全平方公式计算：
(1)
(2x-1)2;
(2)(3m-2n)2.
解：(1)(2x-1)2
=(2x)2-2×(2x)×1+12
=4x2-4x+1;
(2)(3m-2n)2
=(3m)2-2×(3m)×(2n)+(2n)2
=9m2-12mn+4n2.
交流：
仿照用正方形和长方形面积表示两数和的完全平方公式的方法，试解释两数差的完全平方公式，并与同学交流你的想法和结果.
归纳：
完全平方公式的结构特点：
1、积为二次三项式.
2、积中两项为两数的平方和.
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
（四）归纳小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
（五）随堂检测
1、x+y=4,则x2
+2xy+y2的值是（
）
A、8
B、16
C、2
D、4
2、(a-b)2+M=a2
+2ab+b2,则M为（
）
A、ab
B、0
C、2ab
D、4ab
3、若使x2-6x+m成为形如(x-a)2的完全平方形式，则m,a的值（
）
A、m=9,a=9
B、m=9,a=3
C、m=3,a=3
D、m=-3,a=-2
4、运用完全平方公式计算：
（1）(3x＋y)2;
（2）982.
六、板书设计
§6.4.1乘法公式
两数和的完全平方公式：：
两数差的完全平方公式：
例1、例2、例3、
七、作业布置：课本P91
习题
2、3
八、教学反思(共17张PPT)
七年级下册
6.4.3
乘法公式
前面我们学习了完全平方公式和平方差公式，怎样运用它们进行综合解决问题呢？
下面我们继续学习乘法公式.
1、巩固完全平方公式、平方差公式.
2、能灵活运用完全平方公式、平方差公式解决实际问题.
1、加法的交换律：_____________.
2、完全平方公式：_____________________.
3、平方差公式：___________________.
(a+b)(a-b)=a2-b2
a+b=b+a
(a±b)2=a2±2ab+b2
计算：
(1)(a+1)(a-1)-a(a-2);
(2)(x+5)2-(x-2)(x-3).
(2)(x+5)2-(x-2)(x-3)
=(x2+10x+25)-(x2-5x+6)
=
x2+10x+25-x2+5x-6
=15x+19.
解:(1)(a+1)(a-1)-a(a-2)
=
a2-1-a2+2a
=
2a+1;
例6、运用平方差公式计算：
(1)59.8×60.2；
(2)(p+q)(p2+q2)(p-q).
解：(1)59.8×60.2
=(60-0.2)(60+0.2)
=602-(0.2)2
=3600-0.04
=3599.96；
(2)(p+q)(p2+q2)(p-q)
=(p+q)(p-q)(p2+q2)
=(p2-q2)(p2+q2)
=p4-q4.
怎样转化为符合公式条件的形式？
运用平方差公式计算：
(1)101×99；
(2)(2x+1)(4x2+1)(2x-1).
解：(1)101×99
=(100+1)(100-1)
=1002-12
=10000-1
=9999；
(2)(2x+1)(4x2+1)(2x-1)
=(2x+1)(2x-1)(4x2+1)
=(4x2-1)(4x2+1)
=16x4-1.
例7、计算：
(1)(2x+1)(2x-1)-(3-2x)(-2x-3)；
(2)(3a-4b)(4b+3a)-(2b-a)(2b+3a).
不符合公式时，还要按一般的方法运算.
解：(1)(2x+1)(2x-1)-(3-2x)(-2x-3)
=
(2x+1)(2x-1)+(3-2x)(3+2x)
=〔(2x)2-1〕+〔32-(2x)2〕
=4x2-1+9-4x2
=8；
(2)(3a-4b)(4b+3a)-(2b-a)(2b+3a)
=〔(3a)2-(4b)2〕-(4b2+6ab-2ab-3a2)
=9a2-16b2-4b2-4ab+3a2
=12a2-4ab-20b2.
例8、运用乘法公式计算：(2y+x)2(x-2y)2.
分析：运用加法交换律，将2y+x变形为x+2y，这样(x+2y)(x-2y)符合平方差公式，然后运用积的乘法公式将原式变形为〔
(x+2y)(x-2y)
〕2，再运用乘法公式计算.
解：(2y+x)2(x-2y)2
=〔
(x+2y)(x-2y)
〕2
=(x2-4y2)2
=x4-8x2y2+16y4.
运用乘法公式计算：(a-b+c)2.
解：(a-b+c)2
=〔
(a-b)+c
〕2
=(a-b)2+2(a-b)×c+c2
=a2-2ab+b2+2ac-2bc+c2.
例9、有一个正方形花园，如果它的边长增加3米，那么花园面积将增加39平方米，求原来花园的面积.
解：如图6-9，设原正方形花园的边长为x米，那么增加后的边长为(x+3)米.由题意，得
(x+3)2-x2=39.
x2+6x+9-x2=39.
x=5.
∴
x2=25.
答：原来花园的面积为25平方米.
1、计算：
(1)(x+2)(x-2)-x(x+3);
(2)(a-6)2-(a+2)(a-3).
(2)(a-6)2-(a+2)(a-3)
=(a2-12a+36)-(a2-3a+2a-6)
=
a2-12a+36-a2+3a-2a+6
=-11a+42.
解:(1)(x+2)(x-2)-x(x+3)
=
x2-4-x2-3x
=
-3x-4;
解：(a+b+3)(a+b 3)
=[(a+b)+3][(a+b) 3]
=(a+b)2 32
=a2+2ab+b2-9.
2、计算：(a+b+3)(a+b-3).
将(a+b)看作一个整体，解题中渗透了整体的思想.
3、先化简，再求值：
(a+b)(a-b)+a(2b-a),其中a=1.5，b=2.
解：(a+b)(a-b)+a(2b-a)
=a2-b2+2ab-a2
=2ab-b2;
当a=1.5,b=2时，
原式=2×1.5×2-22
=2.
通过本节课的学习你收获了什么？6.4.2乘法公式
预习案
一、学习目标
1、会推导并掌握平方差公式.
2、在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．
3、能灵活运用公式进行简单的运算．
二、预习内容
范围：自学课本P87-P89，完成练习.
三、预习检测
运用平方差公式计算：
(1)(x+1)(x-1)=________;
(2)(m+2)(m-2)=_______;
(3)(2x+1)(2x-1)=_______.
探究案
一、合作探究（10分钟）
探究要点
平方差公式及其字母表示.
实践：
计算下面各题：
(1)(a+5)(a-5)=
__________;
(2)(m+3)(m-3)=
__________;
(3)(3x+7)(3x-7)=
__________;
(4)(5a+b)(5a-b)=__________;
(5)(n+3m)(n-3m)=
__________.;
(6)(x+2y)(x-2y)=__
____.
通过计算你发现了什么规律？
思考：
整式乘法具有怎样的特点时，可以用这个规律去简化计算？如何推导这个规律呢？
类似的，可以利用多项式和多项式相乘的知识进行解释：
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
我们把这个规律叫做平方差公式.
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2.
思考：
怎样用图6-8中图形的面积来解释平方差公式？
典例：
例4、运用平方差公式计算：
(1)(m+8)(m-8)
；
(2)(2a+5b)(2a-5b).
跟踪训练：
运用平方差公式计算：
(1)(x+3)(x-3)
；
(2)(3m+2n)(3m-2n).
解：
注意：(1)应用这个公式的条件是：两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)公式中的a和b可以表示数或代数式.
典例：
例5、运用平方差公式计算：
(1)(4y+3x)(3x-4y)
；
(2)(-4a-1)(4a-1).
解：
跟踪训练：
运用平方差公式计算：
(1)(2a+5b)(5b-2a)
；
(2)(-2x-3)(2x-3).
解：
二、小组展示（10分钟）
每小组口头或利用投影仪展示一道题,
一个小组展示时，其他组要积极思考，勇于挑错，谁挑出错误或提出有价值的疑问，给谁的小组加分（或奖星）
交流内容
展示小组（随机）
点评小组（随机）
____________
第______组
第______组
____________
第______组
第______组
三、归纳总结
本节的知识点：
1、平方差公式.
2、灵活运用公式进行简单的运算．
四、课堂达标检测
1、判断下列式子能否用平方差公式计算(用对错号表示)：
(1)
(a+2b)(a 2b)
；
(
)
(2)
(a 2b)(2b a)
；
(
)
(3)
(2a+b)(b+2a)；
(
)
(4)
(a 3b)(a+3b)
；
(
)
(5)
(2x+3y)(3y 2x)．
(
)
2、运用平方差公式计算：
(1)(3x＋2
)(
3x－2
)
；
(2)
(-x+2y)(-x-2y).
解：
五、学习反馈
通过本节课的学习你收获了什么？
参考答案
预习检测
x2-1
m2-4
4x2-1
课堂达标检测
1、(1)
×
(2)×
(3)×
(4)
√
(5)×
2、解:
(1)(3x＋2)(3x－2)
=(3x)2－22
=9x2－4；
(2)(-x+2y)(-x-2y)
=(-x)2－(2y)2
=
x2－4y2.
