勾股定理
一、选择题
1.如图，带阴影的长方形的面积是（
）
A.
9
cm2
B.24
cm2
C.
45
cm2
D.51
cm2
2.(易错题)如图,以数轴的单位长为边长作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（
）
A.
B.
1.
4
C.
D.
3．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于(
)．
A.4
B.6
C.8
D.
二、填空题
4．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；
(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；
(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；
(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．
5.等边三角形的边长为1，则等边三角形的高为
，面积为
.
6．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．
7.（应用题）等边△ABC的高为3
cm，以AB为边的正方形面积为____.
8．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．
三、解答题
9．如图，△ABC中，∠C＝90°．
(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S1＋S2与S3的关系；
图①
(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S1＋S2与S3的关系；
图②
(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S1＋S2与S3的关系．
图③
10.如图是一块由边长为20
cm的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点A处，它想先后吃到小朋友撒在B、C处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？
11.如图,是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a,b,斜边长为c)和一个正方形(边长为c)，请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形.
(1)画出拼成的这个图形的示意图；
(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理.
参考答案
1.C解析根据勾股定理得带阴影的长方形的长为,所以带阴影的长方形的面积是15×3＝45(cm2).
2.D解析由勾股定理求得正方形的对角线长为,由作图得,所以点A表示的数是.
3．B．
4．(1)13；
(2)9；
(3)2，；
(4)1，．
5.
解析如图,在等边三角形ABC中,过点A作AD⊥BC,垂足为D,
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD＝30°,BD＝.
在Rt△ABD中,由勾股定理得
,
6．5，5．
7.2cm2
8．4．
9．(1)S1＋S2＝S3；(2)S1＋S2＝S3；(3)S1＋S2＝S3．
10.解：连接AB、BC.
由勾股定理得，
,
所以其最短路程为360
cm.
11.解:(1)(答案不唯一)如图.
(2)验证:∵大正方形的面积可表示为(a＋b)2,又大正方形的面积也可表示为,,即a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab,∴a2＋b2＝c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理
一、选择题
1．已知直角三角形的周长为，斜边为2，则该三角形的面积是(
)．
A.
B.
C.
D.1
2．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于(
)．
A.
B.或
C.
D.或
二、填空题
3．在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB＝______，AB边上的高CE＝______．
4．在△ABC中，若AB＝AC＝20，BC＝24，则BC边上的高AD＝______，AC边上的高BE＝______．
5．在△ABC中，若AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝10，则AC＝______，AB边上的高CD＝______．
6．在△ABC中，若AB＝BC＝CA＝a，则△ABC的面积为______．
7．在△ABC中，若∠ACB＝120°，AC＝BC，AB边上的高CD＝3，则AC＝______，AB＝______，BC边上的高AE＝______．
三、解答题
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，BE＝求AB的长．
9．在数轴上画出表示及的点．
10．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．
11．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．
12．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．
13．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．
14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少
15.如图,C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB丄BD，ED丄BD，连接AC,EC.已知AB
=
5,DE=1,BD=8,设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；
(2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
(3)根据（2)中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值.
16.勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明.著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系（勾股定理)”带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.
定理表述
请你根据图(1)中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述).
尝试证明
以图(1)中的直角三角形为基础，可以构造出以a,b为底，以a+b为髙的直角梯形(如图(2)),请你利用图(2)验证勾股定理.
知识拓展
利用图(2)中的直角梯形，我们可以证明，其证明步骤如下：
∵BC=a+b,AD=
，
又∵在直角梯形ABCD中，有BC
AD（填大小关系），即
，
∴.
参考答案
1．C．
2．D
3．
4．16，19.2．
5．5，5．
6．
7．6，，．
8．
提示：设BD＝DC＝m，CE＝EA＝k，则k2＋4m2＝40，4k2＋m2＝25．AB＝
9．图略．
10．BD＝5．提示：设BD＝x，则CD＝30－x．在Rt△ACD中根据勾股定理列出(30－x)2＝(x＋10)2＋202，解得x＝5．
11．BE＝5．提示：设BE＝x，则DE＝BE＝x，AE＝AD－DE＝9－x．在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴32＋(9－x)2＝x2．解得x＝5．
12．EC＝3cm．提示：设EC＝x，则DE＝EF＝8－x，AF＝AD＝10，BF＝，CF＝4．在Rt△CEF中(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3．
13．提示：延长FD到M使DM＝DF，连结AM，EM．
14．提示：过A，C分别作l3的垂线，垂足分别为M，N，则易得△AMB≌△BNC，则
15.思想建立(1)要求AC＋CE的长,只需分别在Rt△ABC和Rt△CDE中利用勾股定理求出AC,CE的长即可；(2)要使AC＋CE的值最小,就须满足AC,CE在同一条直线上；(3)根据题意,先画出满足题意的图形,再根据勾股定理求解即可.
解:(1).
(2)当A,C,E三点共线时,AC＋CE的值最小.
(3)如图所示,作BD＝12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB＝2,ED＝3,连接AE交BD于点C,设BC＝x,则AE的长即为代数式以的最小值,
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得长方形ABDF,则AB＝DF＝2,AF＝BD＝12,EF＝ED＋DF＝3＋2＝5,所以,即的最小值为13.
16.思想建立重要验证勾股定理,就是要证明a2＋b2＝c2.利用面积关系:S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED即可证明a2＋b2＝C2.
解：［定理表述］如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
[尝试证明]∵RtΔABE≌RtΔECD，∴∠AEB=∠EDC.
又∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°.
∵S棒形ABCD=SRtΔABE+SRtΔDEC+SRtΔAED，
∴（a+b）（a+b）=ab+ab+c2，
整理，得a2+b2=c2.
［知识拓展］c
一、夯实基础
1.已知，一直角三角形的两边长为3和4，则第三边长的平方为
．
2.
如图字母B所代表的正方形的面积是
(
)
A.
12
B.
13
C.
144
D.
194
3．（1）在Rt△ABC中，∠C=90°．①若AB=41，AC=9，则BC=_______；（2）若AC=1.5，BC=2，则AB=______.
4.如图，四边形ABCD的面积等于
．
5.一个直角三角形两边长分别为10和24，则第三边长的平方为
．
二、能力提升
6.
一个直角三角形的一条直角边长为5，斜边长为13，则面积为（ ）
A．30
B．32.5
C．60
D．75
7.已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（
）
A、5
B、25
C、7
D、15
8.
两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（
）
A．50cm
B．100cm
C．140cm
D．80cm。
9.
如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积．
.
三、课外拓展
10.
如图2，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.
11.
如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC于C，则四边形ABCD的面积是
．
四、中考链接
12.(2016.黔东南州)2002年8月在北京召开的国际数学家大会会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值为(
)
参考答案
一、夯实基础
1.25或7
2.C
3.(1)40
(2)2.5
4.36
5.676或476
二、能力提升
6.A
7.
C
8.13
9.12.5
三、课外拓展
10.
100平方米
11.48
四、中考链接
12.25勾股定理
一、选择题
1.在
Rt
△ABC
中，∠C
=
90°，AB
=
10，AC
=
6,则BC的长为（）
A.2
B.4
C.8
D.
9
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为(
)．
A.150cm2
B.200cm2
C.225cm2
D.无法计算
3.(教材习题变式）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是（
）
A.
13
B.
26
C.
47
D.
94
二、填空题
4．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．
5．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______．
6．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______．
7．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．
三、解答题
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．
9.以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示的图形，使A、E、B三点在一条直线上，连接CD，由此得到梯形ABCD，观察图形，验证：a2+b2=c2
10.在
Rt△ABC
中，∠C=90°.
(1)
若∠B=30°，AB=6,求
BC
的长；
(2)
若AC:
BC=3
:
4，AB=10,求AC，BC的长.
11.（综合题）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70
km/h．如图，一辆小汽车在一条城市道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30
m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50
m.这辆小汽车超速了吗？
参考答案
1.C解析由勾股定理,得BC2＝AB2-AC2＝102-62＝64,所以BC＝＝8,故选C.
2．C．
3.C解析由于在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,故以两直角边为边所作正方形的面积和等于以斜边为边所作正方形的面积.
4．13或
5．a2＋b2，勾股定理．
6．．
7．
8．
9.解：∵Rt△EAD≌Rt△CBE，
∴∠ADE=∠BEC．
∵∠AED+∠ADE=
90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠DEC=180°-90°=90°，
∴△DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于．
∵∠DAE=90°，∠EBC=
90°，
∴AD∥BC.
∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于，
∴,
∴a2
+b2
=c2，
10.解:(1)∵∠C＝90°,∠B＝30°,AB＝6,
.
由勾股定理,得.
(2)设AC＝3x,BC＝4x(x＞0).
根据勾股定理,得AC2＋BC2＝AB2,
∴(3x)2＋(4x)2＝1O2,解得x＝2.∴AC＝6,BC＝8.
11.解：经计算，小汽车的速度为72
km／h,72>70，所以这辆小汽车超速了．勾股定理
一、选择题
1.
(江苏淮阴中学月考）已知某直角三角形的两直角边的长分别为和，则这个直角三角形的周长（
）
A.
B.
C.
26
D.无法确定
2．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高(
)．
A.5m
B.7m
C.8m
D.10m
3.如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为(
)．
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．
5．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．
6．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______(取3)
7.(重庆八中期中)如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC
交
AC
于点
D，且AB=
4,
BD
=
5,则点D到BC的距离是
.
8.在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6.若点P在直线
AC上(不与点A，C重合）,且∠ABP=30°，则CP的长为
.
三、解答题
9．在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米
10．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米 若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元
11.古诗赞美荷花“竹色溪下绿，荷花镜里香”，平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10
cm,忽见
它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40
cm(如图).请部：水深多少？
参考答案
1.B解析由勾股定理得该直角三角形的斜边长为,所以这个直角三角形的周长为.
2．C．
3.
A
4．5．
5．2．
6．25．
7.3解析在Rt△ABD中,由勾股定理得.又点D是∠ABC的平分线上的点,它到BA,BC边的距离相等,所以点D到BC的距离等于DA的长度,为3.
8.解析由于在Rt△ABC中,没有明确∠B和∠C哪个为60°,因此要分别讨论,根据题意画出图形,当∠B＝60°时,点P也有两种情况；当∠C＝60°时,点P只有一种情况.故共有三种情况,分别解答.
(1)如图(1)所示,∠ABP＝30°,
∵∠ABC＝60°,∴∠ACB＝30°.
∵BC＝6,∴AB＝3,∴AC＝.
在Rt△BAP中,设AP＝x,则BP＝2x,故x2＋32-(2x)2,
解得,即,.
(2)如图(2)所示,由图(1)知AB＝3,又∠ABP-30°,
,.
(3)如图(3),∵∠ABC＝∠ABP＝30°,∠BAC＝90°,
∴∠C＝∠P,∴BC＝BP.
∵∠C＝60°,∴△CBP是等边三角形,∴CP＝BC＝6.
故答案为.
9．15米．
10．7米，420元．
11.解:设水深CB为x
cm,
则AC为(x＋10)cm,即CD＝(x＋10)cm.
在Rt△BCD中,由勾股定理得x2＋402＝(x＋10)2.
解得x＝75.
答:水深为75cm17.1.2勾股定理
一、夯实基础
1.
直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为(
).
（A）30
（B）28
（C）56
（D）不能确定
2.
直角三角形的斜边比一直角边长2
cm，另一直角边长为6
cm，则它的斜边长
（A）4
cm
（B）8
cm
（C）10
cm
（D）12
cm
3.
已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
（A）25
（B）14
（C）7
（D）7或25
4.
等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为(
)
（A）13
（B）8
（C）25
（D）64
5.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水平刚好相齐,河水的深度为(
).
A.2m
B.2.5cm
C.2.25m
D.3m
二、能力提升
6.△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是(
)
A.42
B.32
C.42或32
D.37或33
7、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（
）
A、5
B、25
C、7
D、15
8.
直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是
(
)
A.
ab=h2
B.
a+b=2h
C.
+=
D.
+=
9.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（
）.
（A）50元
（B）600元
（C）1200元
（D）1500元
三、课外拓展
10.
如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.
11.
在直角三角形中，斜边=2，则6.如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,则这条小路的面积是多少
四、中考链接
12.(2016.哈尔滨)如图,
一艘轮船位于灯塔P的北偏东60度方向,与灯塔P的距离为30海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30度方向上的B处,则此时轮船所在位置B下与灯塔P之间的距离为_________海里.
参考答案
一、夯实基础
1.D
2.C
3.D
4.B
5.A
二、能力提升
6.C
7.
C
8.D
9.B
三、课外拓展
10.
7
11.
解:∵BE==80(m),
∴EC=84-80=4(m),∴S阴=4×60=240(m2).
四、中考链接
12.勾股定理
一、选择题
1．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面
1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB
=
2米，则树高为（）
A.米
B.米
C.米
D.
3
米
2.
(湖南师大附中质量检测）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8
m处，发现此时绳子末端距离地面2
m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为（
）
A.
12
m
B.
13
m
C.
16
m
D.
17m
3.(教材例题变式)一架5
m长的梯子斜靠在—竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1
m，则梯足将滑动（
）
A.
0
m
B.
1
m
C.
2
m
D.
3
m
二、填空题
4．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．
5．如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为______米．
6．长为4
m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．
7.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何 ”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是
尺.
8.(河北石家庄二十三中一模）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在Rt△ABC中，若直角边AC=6，BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是
.
9.
(山东青岛初中学业水平模拟)如图，长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD
于点F，结果发现F点恰好是
DC的中点，若BC=,则AB的长为
.
三、解答题
10．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米
11．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．
12．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积Sn＝______．
参考答案
1．C解析树干垂直于地面,于是树干的两部分和地面的一部分构成了一个直角三角形,运用勾股定理可以计算出(米),所以树高为米.
2.D解析如图所示,作BC⊥AE于点C,则BC＝DE＝8,设AE＝x,则AB＝x,AC＝x-2.在Rt△ABC中,AC2＋BC2＝AB2,即(x-2)2＋82＝x2,解得x＝17.
3.B解析如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5m,BC＝3m.由勾股定理,得AB2＝AC2＋BC2,∴AC＝AB2-BC2＝52-32＝42.AC＝4m.
在Rt△A1B1C中,∠C＝90°,
A1C＝AC-AAl＝4-1＝3(m),
A1B1＝5m.
由勾股定理,得A1＝A1C2＋B1C2.
∴B1C2＝A1-A1C2＝52—32＝42,∴B1C＝4m.
∴BB1＝B1C-BC-4-3＝1(m).
4．10．
5．
6．
7.25解析这种立体图形求最短长度问题,可以展开转化为平面内的问题解决,展开后可转化为图,所以是个直角三角形求斜边的问题,根据勾股定理可求出.
如图,一条直角边(即枯木的高)长20尺,另一条直角边长5×3＝15(尺),因此葛藤的最短长度为(尺).故填25.
8.76解析在题图乙的四个大直角三角形中,两直角边长分别为5,12,所以斜边长为13,所以这个风车的外围周长为4×13＋4×6＝76.
9.解析如图,连接EF,由折叠的性质知∠EGB＝90°,AB＝BG,AE＝EG.又E为AD的中点,∴AE＝ED,∴ED＝EG.又∵EF＝EF,∠EGF＝∠EDF,∴Rt△EGF≌Rt EDF,∴DF＝GF.设FC＝x,则AB＝BG＝2x,∴BF＝3x.在Rt△BFC中,BF2＝BC2＋FC2,即,解得..
10．米．
11．10万元．提示：作A点关于CD的对称点A′，连结A′B，与CD交点为O．
12．128，2n－1．17.1.3勾股定理
一、夯实基础
1.
已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A、6cm2
B、8cm2
C、10cm2
D、12cm2
2．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A、25海里
B、30海里
C、35海里
D、40海里
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（
）
A、4
B、3
C、5
D、5
4.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（
）
A、2㎝
B、3㎝
C、4㎝
D、5㎝
5.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
二、能力提升
6.
如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要
元钱。
7.
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.
8.
一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为
．
9.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝30cm2，则AB＝
.
三、课外拓展
10.
一架2.5米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端0.7米.如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将滑动
米。
11.如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少
四、中考链接
12.(2016.烟台)如图,
O为数轴原点,A,B两点分别对应-3.3,作腰长为4的等腰三角形ABC,连接OC,以O为圆心,CO长为半径画弧交数轴于点M,则点M对应的实数为_________.
参考答案
一、夯实基础
1.A
2.D
3.B
4.B
5.
二、能力提升
6.612
7.
49
8.6,8,10
9.13cm
三、课外拓展
10.
0.8m
11.25cm.
四、中考链接
12.
A
B
E
F
D
C
北
南
A
东
A
B
D
C
A
C
D
B
E
第题图
5m
13m
A
B
C
D勾股定理
一、选择题
1．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为(
)．
A.8
B.4
C.6
D.无法计算
2．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有(
)．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.（无锡）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B'F的长为
(
)
A.
B．
C．
D．
二、填空题
4．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．
5.如图，写出字母所代表的正方形面积，SA=____，SB=____.
6.（易错题）一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的三边长分别为____.
7.如图,在
Rt△ABC
中，∠C=90°，BC=3
cm,AC=
4
cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C
落在AB边的C'点处，那么△ADC'的面积是
.
三、解答题
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；
(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；
(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；
(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高hc；
(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．
9.
(1)观察图①②并填写下表（图中每个小方格的边长为1):
A的面积
(单位面积）
B的面积
(单位面积）
C的面积
(单位面积）
图①
图②
(2)
三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？
(3)
三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间存在什么关系？
10.（讨论题）下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，请回答下面的问题：
学习了勾股定理的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4，请你求出第三边长．”经片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“第三边长是5．”王华同学说：“第三边长是．”还有一些同学也提出了不同的看法。
(1)假如你也在课堂上，你对这两位同学的说法有什么意见？为什么？
(2)通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）
参考答案
1．A．
2．B．
3.B解析：根据折叠的性质可知CD=AC=3,B'C=BC=4，
∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B'CF，CE⊥AB，
∴B'D=4-3=1，∠DCE+∠B'CF=∠ACE+∠BCF,
∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF
=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B'FC=135°，
∴∠B'FD=90°，
∵,
∴AC·BC=AB·CE．
∵根据勾股定理可求得AB=5，
∴，∴，，
∴，
∴.
4．132cm．
5.625
144
6.6，8，10
7.解析:在图形的折叠问题中常利用方程思想求解.根据勾股定理,得出AB＝5cm.又由已知得出BC ＝BC＝3cm,∠AC D＝90°.设C D＝x
cm,则(4-x)2-x2＝22,解得,,即△ADC 的面积是cm2.
8．(1)a＝45cm．b＝60cm；
(2)540；
(3)a＝30，c＝34；
(4)6；
(5)12．
9.分析:运用数方格的方法计算三个正方形的面积,注意用对称割补的方法将不完整的空格补齐,便于计算面积.
解:(1)如下表:
A的面积(单位面积)
B的面积(单位面积)
C的面积(单位面积)
图①
16
9
25
图②
4
9
13
(2)三个正方形A,B,C的面积之间的关系为SA＋SB＝SC.
(3)三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间的关系:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
10.解：(1)两位同学的说法都不完全正确，因为4既可作为直角边长又可作为斜边长．
(2)解决问题时要考虑全面．（答案不唯一，回答合理即可）