平行四边形的判定
一、选择题
1.在四边形ABCD中，AD//BC，如果要添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，那么这个条件可能是（
）
A.∠A+∠C=180°
B.∠B+∠C=180°
C.∠A+∠B-=180°
D.∠A+∠D=180°
2.(江西抚州一中月考)下面给出的是四边形ABCD中AB，BC，CD，DA的长度之比.其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（
）
A.1:2:3:4.
B.2:2:3:3
C.2:3:2:3
.
D.2:3:3:2
3．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为(
)．
A.1∶2∶3∶4
B.1∶4∶2∶3
C.1∶2∶2∶1
D.1∶2∶1∶2
4．□ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若A点坐标为(－1，2)，则C点的坐标为(
)．
A.(1，－2)
B.(2，－1)
C.(1，－3)
D.(2，－3)
5．已知：园边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：
①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
③如果再加上条件“OA＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是(
)．
A.①②
B.①③④
C.②③
D.②③④
6.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC
的中点，∠B=
50°，∠A
=
26°，将
△ABC
沿
DE
折叠，点A的对应点是点A'，则∠AEA'的度数是（
）
A.
145°
B.
152°
C.
158°
D.
160°
二、填空题
7．平行四边形的判定方法有：
从边的条件有：①两组对边__________的四边形是平行四边形；
②两组对边__________的四边形是平行四边形；
③一组对边__________的四边形是平行四边形．
从对角线的条件有：④两条对角线__________的四边形是平行四边形．
从角的条件有：⑤两组对角______的四边形是平行四边形．
注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形．(填“一定”或“不一定”)
8．四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AC、BD相交于点O，BO＝4，CO＝6，当AO＝______，DO＝______时，这个四边形是平行四边形．
9.
(山东青岛中考模拟)如图,在四边形AB-CD中，点P是对角线BD的中
点，点E，F分别是的中点，AD
=
BC，∠PEF
=
30°，则∠PFE的度数是
.
10．已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，其余一条为边可以画出______个平行四边形．
三、解答题
11．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，已知AE＝CF，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．
12．已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE＋DF的值．
13.
(河北衡水中学月考)如图,在平行四边形ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接
DM，BN.求证：
(1)△AEM≌△CFN；
(2)四边形BMDN是平行四边形.
14.(一题多法)如图,已知在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF丄BD
于点
F，AE=CF，
BF=DE.求证:四边形ABCD是平行四边形.
15．用两个全等的不等边三角形ABC和三角形A′B′C′(如图)，可以拼成几个不同的四边形 其中有几个是平行四边形 请分别画出相应的图形加以说明．
参考答案
1.
D解析
∵∠A+∠D=180°，∴AB∥CD.又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选D.
2.
C
解析
根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可知只有C正确.
3．D．
4．A．
5．C．
6.
B
解析
D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，∴∠ADE=∠B=50°.
∵∠A=26°，∴∠AED=180°-50°-260°=104°.
由折叠的性质可知：∠AED=∠A’ED=104°.
∴∠AEA’=360°-104°-104°=152°.
7．①分别平行；
②分别相等；
③平行且相等；
④互相平分；
⑤分别相等；不一定；
8．6，4；
9.
30°
解析∵点P是BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，∴，.
又∵AD=BC，∴PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF=30°.
10．2．
11．提示：先证四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形，再由GE∥FH，GF∥EH得证．
12．DE＋DF＝10
13.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，AD∥BC，
∴∠EAM=∠FCN，∠E=∠F，
又∵AE=CF，∴ΔAEM≌ΔCFN。
（2）由（1）得AM=CN.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∴BM∥DN，BM=DN，
∴四边形BMDN是平行四边形。
14.证法1：∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF.
又∵AE BD，CF BD，∴∠AEB=∠CFD=90°.
∵在ΔABE和ΔCDF中，
BE=DF，∠AEB=∠CFD，AE=CF.
∴ΔABE≌ΔCDF（SAS），∴AB=CD.
∵在ΔADE和ΔCBF中，
AE=CF，∠AED=∠BFC=90°，DE=BF，
∴ΔADE≌ΔCBF（SAS），∴AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
证法2：同证法1.
得ΔABE≌ΔCDF，
∴∠ABE=∠CDF，∴AB∥CD.
同理可证，AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.
证法3：同证法1.
得ΔABE ΔCDF，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形最平行四边形）.
证法4：连接AC，交BD于点O.
∵∠AEO=∠CFO=90°，∠AOE=∠COF，AE=CF，
∴ΔAOE≌ΔCOF（AAS），∴AO=CO，EO=FO.
∵BF=DE，∴BE=DF，∴BE+EO=DF+FO，即BO=DO.
∴四边形ABCD是平行四边形（两条对角线互相平分的四边形是平行四边形）
15．可拼成6个不同的四边形，其中有三个是平行四边形．拼成的四边形分别如下：18.1.3
平行四边形判定
一、夯实基础
1、下列条件哪个不能判断四边形是平行四边形（ ）
A.
两组对边相等
B.
两组对边平行
C.
对角线相等
D.
对角线相互平分
2、有4个命题：
（1）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；
（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
（3）O是四边形ABCD内一点，若AO=BO=CO=DO，则四边形ABCD是矩形；
（4）若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形．
其中正确的命题个数是（ ）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
3、在四边形ABCD中，若两条对角线AC=BD且AC⊥BD，则这个四边形（ ）
A.
一定是正方形
B.
一定是菱形
C.
一定是平行四边形
D.
可能不是平行四边形
4．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值为（ ）
A.
1：2：3：4
B.
1：4：2：3
C.
1：2：2：1
D.
1：2：1：2
5．若三角形的三边的比是4：5：6，其周长为60cm，那么三角形中最长的中位线长是（ ）
A.
15cm
B.
12cm
C.
10cm
D.
8cm
6．如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ）
A.
5.5
B.
5
C.
4.5
D.
4
二、能力提升
7．在四边形ABCD中，AB=CD，AD≠BC，M、N分别是AD、BC的中点，则AB与MN的大小关系是
．
8、BD、CE是△ABC的中线，G、H分别是BE、CD的中点，BC=8，则GH=
．
9．在四边形ABCD中，已知AD∥BC，若再添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形，则这个条件可以是
．
三、课外拓展
10．已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．
四、中考链接
11.（2016 陕西）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
12.
（2016 天门）在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边相等，一组对角相等
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线
参考答案
一、夯实基础
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】A
二、能力提升
7．【答案】AB＞MN
8．【答案】6
9．【答案】AD=BC
三、课外拓展
10．【答案】
证明：（1）如图，∵AB∥CD，
∴∠B=∠C．
∵在△ABE与△DCF中，
AB=CD
∠B=∠C
BE=CF
∴△ABE≌△DCF（SAS）；
（2）如图，连接AF、DE．
由（1）知，△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，∠AEB=∠DFC，
∴∠AEF=∠DFE，
∴AE∥DF，
∴以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．
四、中考链接
11．【答案】B
12．【答案】C18.1.1
平行四边形性质
一、夯实基础
1、如图，平行四边形ABCD的周长为20，AE平分∠BAD，若CE=2，则AB的长度是（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4
2、在平行四边形ABCD的周长为34cm，两邻边之差为3cm，则两邻边长分别为（ ）
A.
10cm，7cm
B.
18.5cm，15.5cm
C.
11cm，6cm
D.
12cm，5cm
3、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=12，则边AD的长度x的取值范围是（ ）
A.
2＜x＜6
B.
3＜x＜9
C.
1＜x＜9
D.
2＜x＜8
4．关于平行四边形的对称性的描述，错误的是（ ）
A.
平行四边形一定是中心对称图形
B.
平行四边形一定是轴对称图形
C.
平行四边形的对称中心是两条对角线的交点
D.
平行四边形的对称中心只有一个
5．平行四边形的对角线和它的边可以组成全等三角形（ ）
A.
3对
B.
4对
C.
5对
D.
6对
6．下列说法正确的是（ ）
A.
平行四边形对角线相等
B.
平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等
C.
四边形具有平行四边形的所有性质
D.
沿平行四边形一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能互相重合
二、能力提升
7．已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为
．
8、 ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周
cm．
9．在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，且∠EDF=60°，则平行四边形ABCD中∠A的度数是
．
三、课外拓展
10．已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．
四、中考链接
11.（2016 河池）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（ ）
A．150°
B．130°
C．120°
D．100°
12.
（2016 菏泽）在 ABCD中，AB=3，BC=4，当 ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（ ）
①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
参考答案
一、夯实基础
1．【答案】D
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】B
二、能力提升
7．【答案】7
8．【答案】11
9．【答案】60°
三、课外拓展
10．【答案】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CDE=∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD，
同理可得CF=CB，
又∵AD=CB，
∴AE=CF，
∵AB=CD，
∴DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF
（2）△ADE≌△CBF，△DFE≌△BEF．
四、中考链接
11．【答案】C
12．【答案】B平行四边形的性质与判定
一、选择题
1．如图，下列推理不正确的是(
)．
A.∵AB∥CD
∴∠ABC＋∠C＝180°
B.∵∠1＝∠2
∴AD∥BC
C.∵AD∥BC
∴∠3＝∠4
D.∵∠A＋∠ADC＝180°
∴AB∥CD
2.(易错题)如图,在中，延长AB到点E，使BE=AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是（）
A.∠E=∠CDF
B.
EF=DF
C.AD=2BF
D.BE=2CF
二、填空题
3．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作__________。
4．如图，在□ABCD中，AE、AF分别垂直于BC、CD，垂足为E、F，若∠EAF＝30°，AB＝6，AD＝10，则CD＝______；AB与CD的距离为______；AD与BC的距离为______；∠D＝______．
5.(教材习题变式）如图,在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O,
△OBC的周长为
59
cm,AD
的长是28
cm,BD—AC=
14
cm,则对角线AC，BD的长度分别是_____、_______.
三、解答题
6．已知：如图，在□ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∠2＝30°，求∠1、∠3的度数．
7．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，点E在BC上，点F在AD上，AF＝CE，EF与对角线BD交于点O，求证：O是BD的中点．
8．如图，点A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)在反比例函数的图象上．
(1)求m，k的值；
(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．
9.
(湖北黄冈中学单元检测）如图,的周长为30
cm,它的对角线AC和BD
交于O,且△AOB的周长比△BOC的周长大5
cm,
求AB，AD的长.
10．已知：如图，O为□ABCD的对角线AC的串点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE＝OF．
(1)图中共有几对全等三角形 请把它们都写出来；
(2)求证：∠MAE＝∠NCF．
11．某市要在一块□ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是□ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在□ABCD的四条边上，请你设计两种方案：
方案(1)：如图1所示，两个出入口E、F已确定，请在图1上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；
图1
方案(2)：如图2所示，一个出入口M已确定，请在图2上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法．
图2
12.如图所示，已知线段AB//CD，AD与BC
相交于点K，E是线段AD上一动点，连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE
=
AD时，猜想线段AB，BC，CD三者之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并予以证明.
参考答案
1．C．
2.
D
解析∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB，AD=BC，
∴∠C=∠FBE，∠CDF=∠E.
∵BE=AB，∴CD=BE，
∴ΔDCF≌ΔEBF，∴CF=BF，DF=EF，∴BC=2BF，
∴AD=2BF，∴选项A，B，C不符合题意，故选D0
3．平行，□ABCD．
4．6，5，3，30°．
5.
24cm，38cm
解析由ΔOBC的周长为59cm，可得OB+OC+BC=59cm.在平行四边形ABCD中，BC=AD=28cm，所以OB+OC=31cm.因为平行四边形的对角线互相平分，所以BD+AC=2(OB+OC)=62cm.又因为BD-AC=14cm，因此可得AC=24cm，BD=38cm.
6．∠1＝60°，∠3＝30°．
7．提示：连结BF，DE，证四边形BEDF是平行四边形．
8．(1)m＝3，k＝12；
(2)或
9.
解：∵ΔAOB的周长比ΔBOC的周长大5cm，
∴AO+AB+BO-(BO+OC+BC)=5cm（2分）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，∴AB-BC=5cm.①
∵□ABCD的周长为30cm，∴AB+BC=15cm.②
由①②两式可得AB=10cm，BC=5cm.
又AD=BC，∴AD=5cm.
10．(1)有4对全等三角形．分别为△AOM≌△CON，△AOE≌△COF，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA．
(2)证明：∵OA＝OC，∠1＝∠2，OE＝OF，∴△OAE≌△OCF．∴∠EAO＝∠FCO．
又∵在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO．∴∠EAM＝∠NCF．
11．方案(1)
画法1：
(1)过F作FH∥AB交AD于点H
(2)在DC上任取一点G连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；
画法2：
(1)过F作FH∥AB交AD于点H
(2)过E作EG∥AD交DC于点G连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形
画法3：
(1)在AD上取一点H，使DH＝CF
(2)在CD上任取一点G连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形
方案(2)
画法：(1)过M点作MP∥AB交AD于点P，
(2)在AB上取一点Q，连接PQ，
(3)过M作MN∥PQ交DC于点N，连接QM，PN则四边形QMNP就是所要画的四边形
12.思路建立
要探究AB，BC，CD三者之间的数量关系，无法直接得出，因此需要将它们转化到同一条直线上，延长AB列点G，使BG=AB.连接DG，作CF∥BE交BG于点F，构造平行四边形，再利用平行四边形到的性质即可得到AB=BC+CD.
解：结论是AB=BC+CD.证明如下：延长AB到点G，使BG=AB，连接DG，作CF∥BE交BG于点F，如图所示.
∵，BG=AB.
∴BE∥DG∥CF.
∵CF∥DG，CD∥AG，∴四边形CDGF是平行四边形，
∴CD=GF.
∵BE∥CF，∴∠EBC=∠BCF，∠ABE=∠BFC.
又∵∠ABE=∠EBC，∴∠BCF=∠BFC，∴BC=BF，
∴AB-CD=BG-FG=BF=BC，∴AB=BC+CD.平行四边形的性质
一、选择题
1．如图，将□ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是(
)．
A.AF＝EF
B.AB＝EF
C.AE＝AF
D.AF＝BE
2．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是中心对称图形；
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是(
)．
A.①②④
B.①③④
C.①②③
D.①②③④
3．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有(
)个．
A.1
B.2
C.3
D.无数
4.如图所示，在中，EF//AB,GH//AD，EF与GH相交于点O,则图中的平行四边形共有（
）
A.
12
个
B.
9
个
C.
7
个
D.
5
个
5.在中，对角线AC，BD交于点O，若AC=8，BD=6,则边AB长的取值范围为（
）
A.
1
B.
2C.
6D.
3二、填空题
6．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______．
7．如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______．
8．平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°，则4个内角分别为______．
9．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．
10.(长春103中学月考)如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点C的坐标为(3,4)，点A的坐标为（6,0)，则顶点B的坐标为
.
三、解答题
11．已知：如图，□ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：DE＝BF．
12.如图所示，在中，AE丄BC,交边BC于点E，点F为CD上一点，且DF=BE.过点
F作FG丄CD，交边AD于点G.求证:DG=DC.
13．已知：如图，□ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AE＝CF．
求证：(1)BE＝DF；(2)BE∥DF．
14.如图所示，的相邻边AD
：AB
=
5
:
4,过点A作AE丄BC，AF丄CD，垂足分别为E，F，AE=4
cm，求
AF
的长.
15.(压轴题）分别以(
∠CDA≠90°)的三边
AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形：△ABE，△CDG,△ADF.
(1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF.请判断GF与EF
的关系，并进行证明.
(2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明;若不成立，说明理由.
参考答案
1．D．
2．D；
3．C．
4.
B
解析在□ABCD中，因为EF∥AB，GH∥AD，所以EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，所以除□ABCD外，还有□AGOE，□AGHD，□ABFE，□GBFO，□GBCH，□FCHO，□FCDE，□HDEO，即图中共有9个平行四边形.
5.
A
解析如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=AC=4，BO=BD=3.
在ΔABO中，由三角形三边关系可判断，即4-3即16.16cm，11cm．
7．25°．
8．60°、120°、60°、120°．
9．5cm，5cm．
10.（9，4）
解析在□ABCD中，BC=OA，BC∥OA.因为C（3，4），A（6，0），所以BC=OA=6，所以点B的横坐标为6+3=9.又因为BC∥OA，所以点B的纵坐标与点C的纵坐标相同，即点B的坐标为（9，4）.
11．提示：可由△ADE≌△CBF推出．
12.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D.
∵AE⊥BC，FC⊥CD，∴∠AEB=∠GFD=90°.
又∵DF=BE，∴ΔABE≌ΔGDF(ASA).
∴AB=DG，∴DG=CD.
13．提示：可先证△ABE≌△CDF．
14.
解：∵S□ABCD=BC AE=CD AF，
AF=.
AB=CD，AD=BC，且AD∶AB=5∶4，
∴AF==AE=×4=5(cm).
点拨：平行四边形的面积等于一边长与该边上的高的乘积.
15.
思路建立
（1）要判断GF与EF的关系，就是要判断GF与EF的数量关系和位置关系，观察图形，可猜想GF=EF，而要说明GF=EF，可证明GF、EF分别所在的两个三角形，即ΔGDF与ΔEAF全等，结合□ABCD的性质及等腰三角形的性质即可证得.要说明GF与EF的位置关系，就是要求∠GFE的大小，根据ΔGDF ΔEAF可得∠AFD=∠GFE，而∠AFD=90°，从而得到∠GFE=90°.（2）利用（1）题的方法可得结论仍然成立.
解：（1）GF与EF垂直且相等.
证明∵园边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠BAD+∠CDA=180°，
∴ΔABE，ΔCDG，ΔADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠GDC=∠ADF=∠DAF=∠BAE=45°
∴∠FDG=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，
∠EAF=360°-∠BAE-∠DAF-∠BAD=270°-（180°-∠CDA）=90°+∠CDA
∴∠FDG=∠EAF
∵在ΔGDF和ΔEAF中，
∴ΔGDF ΔEAF，∴GF=EF，∠DFG=∠AFE，
∴∠DFG+∠GFA=∠AFE+∠GFA，
即∠AFD=∠GFE.
又∵∠AFD=90°，∴∠GFE=90°，∴GF EF.
（2）成立.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，∴∠DAB+∠ADC=180°.
∵ΔABE，ΔCDG，ΔADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠FAD=∠BAE=45°.
∵∠DAB+∠ADC=180°
∴∠BAE+∠FAD+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°，
∴∠EAF+∠FDC=45°.
∵∠FDC+∠FDG+∠CDG=45°，∴∠FDG=∠EAF.
∵在ΔGDF和ΔEAF中，
∴ΔGDF ΔEAF，∴GF=EF，∠EFA=∠GFD，
∴∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，即∠AFD=∠GFE.
∵又∠AFD=90，∴∠GFE=90，∴GF EF.
点拔：线段的关系包含位置关系与数量关系，注意不要丢解.平行四边形的判定
一、选择题
1．能确定平行四边形的大小和形状的条件是(
)．
A.已知平行四边形的两邻边
B.已知平行四边形的相邻两角
C.已知平行四边形的两对角线
D.已知平行四边形的一边、一对角线和周长
2.（易错题)在四边形ABCD中，AC交BD于点O,且AB//CD，给出以下四种说法：
①如果再加上条件“BC=AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
②如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”，那么四边形ABCD—定是平行四边形；
，
③如果再加上条件“AO=OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
④如果再加上条件“∠DBA
=
∠CAB”，那么四边形
ABCD—定是平行四边形.
其中正确的是（）
A.①②
B.①③④
C.②③
D.②③④
3.(河南实验二中期中)如图所示，在四边形ABCD
中，点E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（
）
A.
AD=BC
B.CD=BF
C.∠A=∠C
D.∠F=∠CDE
4．能判定一个四边形是平行四边形的条件是(
)．
A.一组对边平行，另一组对边相等
B.一组对边平行，一组对角互补
C.一组对角相等，一组邻角互补
D.一组对角相等，另一组对角互补
5．如图，E、F分别是□ABCD的边AB、CD的中点，则图中平行四边形的个数共有(
)．
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
二、填空题
6．四边形ABCD中，若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，则这个四边形______(填
“是”、“不是”或“不一定是”)平行四边形．
7．如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且______∥______时，这个四边形是平行四边形．
8．如图，□ABCD中，CE＝DF，则四边形ABEF是____________．
9．已知三条线段长分别为7，15，20，以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出________个平行四边形．
10.如图,的对角线AC，BD相交于点O,点E,F分别是线段AO，BO的中点.若AC+BD
=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=
厘米.
三、解答题
11．如图，在□ABCD中，E、F分别在边BA、DC的延长线上，已知AE＝CF，P、Q分别是DE和FB的中点，求证：四边形EQFP是平行四边形．
12．已知：如图，△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．求证：CF∥AE.
13．已知：如图，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可)．
(1)连结______；
(2)猜想：______＝______；
(3)证明：
14.
(浙江宁波二中期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE丄BC，CE//AD，若AC=
2，CE=4.
(1)求证:四边形ACED是平行四边形；
(2)求四边形ACEB的周长.
15.已知：如图所示，在中，
点E，F在AC上，且AF=CE，点G，H分别在
AB，CD
上，且AG=CH,
AC
与GH相交于点O.
求证:（1)EG//FH;
(2)GH,EF
互相平分.
16．已知：如图，在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE．
求证：(1)△ACD≌△CBF；
(2)四边形CDEF为平行四边形．
参考答案
1．D．
2.
C解析②和③都能通过证明两个三角肜全等证明AB=CD，从而证明四边形ABCD是平行四边形；而①和④不能.
3.
D
解析
D选项利用AAS可证得ΔCED ΔBEF，
∴CD=BF，∠C=∠EBF，
∴CD=AB，CD∥AF，
∴四边形ABCD是平行四边形.
4．C．
5．C．
6．不一定是．
7．AD，BC．
8．平行四边形．
9．3．
10.
3
解析
此题运用整体思想.根据平行四边形的对角线互相平分，由AC+BD=24厘米，可得OA+OB=12厘米，结合ΔOAB的周长为18厘米，可得AB=6厘米，又因为EF是ΔOAB的中位线，所以厘米.
11．提示：先证四边形EBFD是平行四边形，再由EPQF得证．
12．提示：证四边形AFCE是平行四边形．
13．(1)BF(或DF)；
(2)BF＝DE(或BE＝DF)；
(3)提示：连结DF(或BF)，证四边形DEBF是平行四边形．
14.（1）证明：∵∠ACB=90°，DE BC，
∴AC∥DE.
又∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形.
（2）解：∵四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC=2.
在RtΔCDE中，由勾股定理得
∵D是BC的中点，∴
在ΔABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得
∵D是BC的中点，DE BC，
∴EB=EC=4，
∴四边形ACEB的周长=.
15.思路建立
（1）要证EG∥FH，可证∠GEO=∠HFO.要证∠GEO=∠HFO，可证∠AEG=∠CFH，故先证ΔAGE ΔCHF.
（2）要证GH，EF互相平分，可证四边形GFHE是平行四边形.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA.
∵AF=CE，∴AE=CF.
又∵AG=CH，∴ΔAGE≌ΔCHF.
∴∠AEG=∠CFH，∴∠GEO=∠HFO（等角的补角相等），
∴EG∥FH（内错角相等，两直线平行）.
（2）如图所示，连接GF，EH.
∵ΔAGE ΔCHF，∴GE=FH.
∵GE∥FH，∴四边形GFHE是平行四边形，
∴GH，EF互相平分.
点拔：用平行四边形的判定方法和性质可解决有关角的相等或互补，线段相等或倍分、两直线平行等同题，一般是先判定—个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质解决有关问题.
16．提示：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AC＝CB，∠ACD＝∠CBF＝60°．
又∵CD＝BF，∴△ACD≌△CBF．
(2)∵△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，∠CAD＝∠BCF．
∵△AED为等边三角形，∴∠ADE＝60°，且AD＝DE．∴FC＝DE．
∵∠EDB＋60°＝∠BDA＝∠CAD＋∠ACD＝∠BCF＋60°，
∴∠EDB＝∠BCF．∴ED∥FC．
∵EDFC，∴四边形CDEF为平行四边形.18.1.2
平行四边形性质
一、夯实基础
1、如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（ ）
A．10cm
B．8cm
C．6cm
D．4cm
2、如图，在 ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠BCE=35°，则∠D的度数为（ ）
A．55°
B．35°
C．25°
D．30°
3、在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（ ）
A．1：2：3：4
B．1：2：2：1
C．2：2：1：1
D．2：1：2：1
4．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值为（ ）
A.
1：2：3：4
B.
1：4：2：3
C.
1：2：2：1
D.
1：2：1：2
5．如图，在 ABCD中，已知AD=6cm，AB=8cm，CE平分∠BCD交BC边于点E，则AE的长为（ ）
A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．8cm
6．如图， ABCD的对角线相交于点O，AB=6，△OCD的周长为14，则 ABCD的两条对角线长的和是（ ）
A．8
B．16
C．20
D．28
二、能力提升
7．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于F点．
求证：BC=DF．
8、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD
于点M，如果△CDM的周长是40cm，
求平行四边形ABCD的周长．
9．在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AC+BD=30cm，△OCD的周长为20cm，求AB的长．
三、课外拓展
10．如图，在平行四边形BCDE中，F为DE的中点，A为BE与CF延长线的交点，求证：CD=AE．
四、中考链接
11.（2016 丽水）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（ ）
A．13
B．17
C．20
D．26
12.
（2016 绵阳）如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（ ）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．8cm
参考答案
一、夯实基础
1．【答案】D
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】A
6．【答案】B
二、能力提升
7．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，
又∵EC=ED，
∴△EBC≌△EFD（AAS），
∴BC=DF．
8．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，
∵OM⊥AC，
∴AM=CM，
∵△CDM的周长是40cm，
即：DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=40cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AD+CD）=2×40=80（cm）．
∴平行四边形ABCD的周长为80cm．
9．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵AC+BD=30cm，
∴OD+OC=15cm，
∵△OCD的周长为20cm，
∴OC+OD+CD=20cm，
∴CD=AB=5cm，
答：AB的长是5cm．
三、课外拓展
10．【答案】证明：∵四边形BCDE是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠DCF，∠AEF=∠D，
∵F是DE的中点，
∴EF=DF，
∴△AEF≌△CDF，
∴CD=AE．
四、中考链接
11．【答案】B
12．【答案】B平行四边形的性质
一、选择题
1．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为(
)．
A.5
B.6
C.8
D.12
2.如图，在中，下列结论一定正确的是（
）
A.
AC=BD
B.
AC⊥BD
C.
AB=CD
D.AB=BC
3.在中，∠A
:
∠B
:
∠C
:
∠D
的值可能是（）
A.
2
:
5
:
2
:
5
B.
3
:
4
:
4
:
5
C.
4
:
4
:
3
:
2
D.
2
:
3
:
5
:
6
4.
(杭州联考）如图所示，在中，AD=
3
cm，AB
=
2
cm,则的周长等于（
）
A.
10
cm
B.6cm
C.5cm
D.4cm
5．根据如图所示的(1)，(2)，(3)三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是(
)
……
(1)
(2)
(3)
A.3n
B.3n(n＋1)
C.6n
D.6n(n＋1)
二、填空题
6．在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝______，∠B＝______．
7．若□ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是______．
8．若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝______．
9．平行四边形周长是40cm，则每条对角线长不能超过______cm．
10．在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA＝3x，AC＝4x＋12，则OC的长为______．
11.如图所示，在中,∠ABC的平分线交AD于点E,∠C=
110°,BC=4
cm,CD
=3
cm,则∠BED
=
,DE=
.
12.如图,下面两条平行线之间的三个图形，图
的面积最大，图
的面积最小.（填序号）
三、解答题
13．已知：如图，E、F分别为□ABCD的对边AB、CD的中点．
(1)求证：DE＝FB；
(2)若DE、CB的延长线交于G点，求证：CB＝BG．
14．已知：如图，在□ABCD中，从顶点D向AB作垂线，垂足为E，且E是AB的中点，已知□ABCD的周长为8.6cm，△ABD的周长为6cm，求AB、BC的长．
15.
(北京崇文中学期末）图是某城市部分街道示意图，AF//BC，EC丄BC于C，BA//
DE，BD//AE.甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F;乙乘2路车，路线是B→D→C→F.假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站？请说明理由.
参考答案
1．C．
2.
C
解析因为平行四边形的两条对角线不一定相等，所以选项A错误；因为平行四边形的两条对角线不一定垂直，所以选项B错误；因为平行四边形的对边相等，所以选项C正确；因为平行四边形的领边不一定相等，所以选项D错误.故选C.
3.
A
解析因为四边形ABCD为平行四边形，所以∠A=∠C，∠B=∠D，故选A.
4.
A
解析根据平行四边形的对边相等得AD=BC=3cm，AB=CD=2cm，所以平行四边形ABCD的周长为2+2+3+3=10（cm），故选A.
5．B．
6．110°，70°．
7．互相垂直．
8．21cm2．
9．20．
10．18．提示：AC＝2AO.
11.
145°
1cm
解析∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=4cm，AB=CD=3cm，∠A=∠C=110°，∴∠AEB=∠EBC.
又∵∠ABE=∠EBC，∴∠AEB=∠ABE==35°，∴AE=AB=3cm，∴DE=AD-AE=4-3=1(cm)，
∠BED=180°-∠AEB=180°-35°=145°.
12.
③
②
解析此题考查了两条平行线之间的距离处处相等，由此可知三个图形的高相等，根据面积公式进行比较便可得出结论.
13．(1)提示：可证△AED≌△CFB；
(2)提示：可由△GEB≌△DEA推出，
14．AB＝2.6cm，BC＝1.7cm．
提示：由已知可推出AD＝BD＝BC．设BC＝xcm，AB＝ycm，
则
解得
15.
思路建立
在两人同时出走、两车速度相同、途中耽误时间相同的情情况下比较谁先到达F站，实质上就是比较两条路线的长短，故把问题转化为比较BA+AE+EF与BD+DC+CF两者的值的大小，利用平行四边形的性质来解决.
解：两人同时到达F站.
理由：因为BA∥DE，BD∥AE，所以四边形ABDE是平行四边形，所以AB=DE，AE=BD，SΔADE=SΔADB
因为EC BC，AF∥BC，所以EC AF，所以SΔADE=·EF，SΔADB=+CF.
又因为SΔADE=SΔADB，所以EF=CF，所以直线DF是EC的垂直平分线，所以DE=DC.
又AB=DE，所以AB=DC，
又因为AE=BD，EF=CF，
所以AB+AE+EF=BD+DC+CF.
因为两人同时出发，两车速度相同，途中耽误时间相同，所以两人同时到达F站.平行四边形的性质与判定
一、选择题
1.（易错题）如图，在中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论错误的是
(
)
A.∠AEF=∠DEC
B.FA:CD=AE:BC
C.FA：AB=FE：EC
D.AB=DC
二、填空题
2.如图，直线l把分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l所在的位置需满足的条件是____．（填上一个你认为合适的条件即可）
3．从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线，如果这两条高线夹角为135°，则这个平行四边形的各内角的度数为______．
4.（梅州）如图，在中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则的周长等于____.
5．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．
6．在□ABCD中，如果一边长为8cm，一条对角线为6cm，则另一条对角线x的取值范围是______．
7．如图，在□ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，则□ABCD的面积是______．
8．如图，在□ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5，，则△CEF的周长为______．
三、解答题
9．已知：如图，△EFC中，A是EF边上一点，AB∥EC，AD∥FC，若∠EAD＝∠FAB．AB＝a，AD＝b．
(1)求证：△EFC是等腰三角形；
(2)求EC＋FC．
10．已知：如图，在□ABCD中，E为AD的中点，CE、BA的延长线交于点F．若BC＝2CD，求证：∠F＝∠BCF．
11．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
12.（青岛）已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△ABD≌△CAE.
(2)连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论.
13．已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．
14．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．
求证：∠AHF＝∠BGF．
15．如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗 为什么
16．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(－2，－1)，且P(－1，－2)是双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
图1
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；
(2)当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等 如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
图2
参考答案
1.B
2.直线l过AC与BD的交点（答案不唯一）
3．45°，135°，45°，135°．
4.20解析：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC,AD=BC,AB=CD,
∴∠AEB=∠EBC,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,
∵AE+DE=AD=BC=6,
∴的周长
=
4+4+6+6=20.
5．16，64×()n－1
．
6．10cm＜x＜22cm．
7．72．提示：作DE∥AM交BC延长线于E，作DF⊥BE于F，可得△BDE是直角三角形，
8．7．
9．(1)提示：先证∠E＝∠F；
(2)EC＋FC＝2a＋2b．
10．提示：先证DC＝AF．
11．提示：可连结BD(或AC)．
12.（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.
又∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°.
∵AE∥BC．∴∠EAC=∠ACB,
∴∠B=∠EAC.
∵CE⊥AE，∴∠CEA=90°,
∴∠CEA=∠ADB.
又AB=AC，∴△ABD≌△CAE(
AAS).
(2)解：AB∥DE且AB=DE.
由(1)△ABD≌△CAF可得AE=BD,
又AE∥BD，所以四边形ABDE是平行四边形．
∴AB∥DE且AB=DE.
13．连结BE，CE
AB□ABECBF＝FC．□ABCDAO＝OC，∴AB＝2OF．
14．提示：连结AC，取AC的中点M，再分别连结ME、MF，可得EM＝FM．
15．提示：AP＝AQ，取BC的中点H，连接MH，NH．证明△MHN是等腰三角形，进而证明∠APQ＝∠AQP．
16．(1)设正比例函数解析式为y＝kx，将点M(－2，－1)坐标代入得，所以正比例函数解析式为，同样可得，反比例函数解析式为；
(2)当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为，于是S△OBQ＝
｜OB·BQ｜＝·m·m＝m2而SOAP＝｜(－1)(－2)｜＝1，所以有，，
解得m＝±2所以点Q的坐标为Q1(2，1)和Q2(－2，－1)；
(3)因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而点P(－1，－2)是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标Q(n，)，
由勾股定理可得OQ2＝n2＋＝(n－)2＋4，
所以当(n－)2＝0即n－＝0时，OQ2有最小值4，
又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，
所以OQ有最小值2．由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2(OP＋OQ)＝2(＋2)＝2＋4．平行四边形的性质与判定
一、填空题
1．(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边____________叫做三角形的中位线．
(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线____________第三边，并且等于____________________________________．
2．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为______．
3．平行四边形长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形各角的度数分别为______．
4．在□ABCD中，BC＝2AB，若E为BC的中点，则∠AED＝______．
5.如图,将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为____°．
6．□ABCD中，对角线AC、BD交于O，且AB＝AC＝2cm，若∠ABC＝60°，则△OAB的周长为______cm．
7．□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠BOC＝120°AD＝7，BD＝10，则□ABCD的面积为______．
8．如图，BD为□ABCD的对角线，M、N分别在AD、AB上，且MN∥BD，则S△DMC___S△BNC．(填“＜”、“＝”或“＞”)
二、解答题
9.如图，在平行四边形ABCD中作高h1、h2，判断h1与h2之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
10．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F．求证：BE＝FC．
11．如图，已知：在□ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、CD的中点，且AB＝2AD．求证：BF∶BD＝∶3．
12.（综合题）已知任意四边形ABCD，且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q．
(1)若四边形ABCD如图(1)所示，判断下列结论是否正确．（正确的在括号里填“√”，错误的在括号里填“×”）
甲：顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形；
(
)
乙：顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形．
(
)
(2)请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断．
(3)若四边形ABCD如图(2)所示，请你判断(1)中甲、乙两个结论是否成立.
13.（永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3．
(1)求证：BN
=DN；
(2)求△ABC的周长．
14．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
求证：四边形DEFG是平行四边形．
15．已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．
16．已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED．
参考答案
1．(1)中点的线段；(2)平行于三角形的，第三边的一半．
2．18．
3．60°，120°，60°，120°．
4．90°．
5.30解析：过点A作AE⊥BC于点E，
∵将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），
∴当时符合要求，此时∠B=
30°，即这个平行四边形的最小内角为30°．
6．
7．
提示：作CE⊥BD于E，设OE＝x，则BE2＋CE2＝BC2，得(x＋5)2＋．解出．S□＝2S△BCD＝BD×CE＝
8．＝．提示：连结BM，DN．
9.解：h1与h2相等且平行．理由：两平行线间的距离处处相等，垂直于同一直线的两直线平行.
10．提示：过E点作EM∥BC，交DC于M，证△AEB≌△AEM．
11．提示：连接DE，先证△ADE是等边三角形，进而证明∠ADB＝90°，∠ABD＝30°．
12.解：(1)√
√
(2)证明(1)中甲结论：
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线．
∴FF∥AC，．
同理，HG∥AC,
，
∴EF∥HG，EF=HC．
∴四边形EFGH是平行四边形．
(3)甲、乙都成立．
13.(1)证明：在△ABN和△ADN中，
∴△ABN≌△ADN,
∴BN=DN.
(2)解：∵△ABN≌△ADN,
∴AD=AB=10,DN=NB,
又∵点M是BC的中点，
∴MN是△BDC的中位线，
∴CD=2MN=6,
故△ABC的周长为AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41.
14．略．
15．提示：取BE的中点P，证明四边形EFPC是平行四边形．
16．ED＝1，提示：延长BE，交AC于F点．平行四边形的性质
一、选择题
1.如图,在平行四边形ABCD中，AD
=
2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（
）
A.
4
B.
3
C.
D.2
2．平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是(
)．
A.8cm和16cm
B.10cm和16cm
C.8cm和14cm
D.8cm和12cm
3．在□ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别是AB和CD的五等分点，点B1、B2、和D1、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD的面积为(
)
A.2
B.
C.
D.15
4.在面积为15的平行四边形ABCD(任何一个内角都非直角）中，过点A作AE垂直直线BC于点E，作垂直直线CD于点F.若AB
=
5，BC=6,则CE+CF的值为（
）
A.
B.
C.或
D.或
二、填空题
5．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______．
6．如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______．
7.(教材习题变式)如图,剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合部分构成一个四边形，这个四边形是
;理由是
.
8．□ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是______．
9．□ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB＝______，BC＝______．
10．在□ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则□ABCD的面积为______．
三、解答题
11．如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADE的平分线交AB于点F，试判断AF与CE是否相等，并说明理由．
12．已知：□ABCD中，AB＝5，AD＝2，∠DAB＝120°，若以点A为原点，直线AB为x轴，如图所示建立直角坐标系，试分别求出B、C、D三点的坐标．
13．已知：如图，在□ABCD中，点E在AC上，AE＝2EC，点F在AB上，BF＝2AF，若△BEF的面积为2cm2，求□ABCD的面积．
14.如图所示，已知与的顶点A，E，F，C在一条直线上，求证:AE=CF.
15.如图,已知直线m//n，A，B为直线n上的两点，C，D为直线m上的两点.
(1)请你判断△ABC与△ABD的面积具有怎样的关系.
(2)若点D在直线m上可以任意移动，△ABD的面积是否发生变化？请说明你的理由.
参考答案
1.
B
解析因为CE平分∠BCD，所以∠BCE=∠DCE.
在□ABCD中，AD∥BC，
所以∠DEC=∠BCE，
所以∠DEC=∠DCE，所以DC=DE.
又因为AB=CD，AD=2AB，
所以AD=2CD=2DE，即AE=ED，
所以AB=AD=AE=3.
2．B．
3．C．
4.
D解析由题意知∠BAD不可能为直角.
当∠BAD为锐角时，如图（1），
根据平行四边形ABCD的面积为15，AB=5，BC=6，得AE=15÷6=，AF=15÷5=3，
由勾股定理，得，，
故，，
所以.
当∠BAD为钝角时，如图（2），
同理有，，
所以，
故选D.
5．平行，相等；相等；互补；互相平分；底边上的高．
6．25°．
7.平行四边形
由定义可知：两组对边平行的四边形是平行四边形
解析根据平行四边形的定义即可求解.
8．1＜AB＜7．
9．20cm，10cm．
10．120cm2．
11．提示：可由△ADF≌△CBE推出．
12．B(5，0)
C(4，)D(－1，)．
13．9．
14.
证明：连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD与四边形EBFD都是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，∴OA-OE=OC-OF，即AE=CF.
点拨：连接对角线，利用平行四边形对角线互相平分可将问题解决.
15.
解：（1）SΔABC=SΔABD.
（2）ΔABD的面积不发生变化.理由:
因为不论点D在直线m上移动到哪一个位置，点D到直线n的距离都不变，所以ΔABD的面积不变.平行四边形的判定
一、选择题
1．下列命题中，正确的是(
)．
A.两组角相等的四边形是平行四边形
B.一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形
C.一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2.(教材习题变式）如图,在△ABC中，D，E，F
分别是边BC，AB，CA的中点，则图中平行四边形的个数为（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
3．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是(
)．
A.AD＝BC，AB∥CD
B.∠A＝∠B，∠C＝∠D
C.AB＝BC，AD＝DC
D.AB∥CD，CD＝AB
4．如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有(
)．
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
5.(沈阳实验学校一模)如图,甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：
甲：连接BD，CE，两线段相交于点
P，点P即为所求.
乙：先取CD的中点M，连接AM，再以点A为圆心，AB
的长为半径画弧，交AM于点P，点P即为所求.
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（
）
A.两人皆正确
B.两人皆错误
C.甲正确，乙错误
D.甲错误，乙正确
二、填空题
6．一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形为______．
7.
如图所示，在四边形ABCD中，AB//CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，可以添加的条件是
.(只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段）
8．如图，□ABCD，EF∥AB，GH∥AD，MN∥AD，图中共有______个平行四边形．
9．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．
三、解答题
10．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点，求证：四边形ENFM是平行四边形．
11．如图，在□ABCD中，E、F分别在DA、BC的延长线上，已知AE＝CF，FA与BE的延长线相交于点R，EC与DF的延长线相交于点S，求证：四边形RESF是平行四边形．
12．如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点(不与B、C重合)，AD与EF交于点O，连结EF、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件______．(只添加一个条件)
证明：
13．已知：如图，△ABC，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．
(1)猜想DF与AE的关系；
(2)证明你的猜想．
14.如图所示，在△ABC中，点D是
AB的中点，CE平分∠ACB，AE丄CE于点E.求证:DE//BC.
15．若一次函数y＝2x－1和反比例函数的图象都经过点(1，1)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，利用图象求点A的坐标；
(3)利用(2)的结果，若点B的坐标为(2，0)，且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标．
16.
(重庆一中月考）已知:如图,
点G为平行四边形ABCD中BC边的中点，点E在
AD边上，且∠1=∠2.
(1)
求证:E是AD的中点；
(2)
若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3
=∠2，求证:CD=BF+DF.
参考答案
1．D．
2.
C解析∵D，E，F分别是边BC，AB，CA的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，EF∥BC，∴四边形BDFE、四边形EDCF与四边形AEDF都是平行四边形，故选C.
3．D．
4．B．
5．C
解析
此题需要运用数形结合思想，画出图形，结合图形进行分折.按甲的方法画图，如图（1），正五边形的每个内角的度数是，AB=BC=CD=DE=AE，∴，同理∠CBD=∠CDB=36，∴∠ABP=∠AEP=108°-36°=72°，∴∠BPE=360°-∠A-∠ABP-∠AEP=360°-108°-72°-72°=108°=∠A，∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确.按乙的方法画圈，如图（2），由正五边形的对称性及∠BAE=108°，得∠BAM=∠EAM=54°.
∵AB=AE=AP，∴，∠AEP=∠APE=63°，∴∠BPE=∠APB+∠APE=126°，∴∠BAE≠∠BPE，∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误.故选C.
6．平行四边形．提示：由已知可得(a－c)2＋(b－d)2＝0，从而
7.
答案不唯一，如：AB=CD（或AD∥BC等）
解析
在四边形ABCD中．AB∥CD，此时要得到四边形ABCD是平行四边形，可以从边考虑，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知，只需AB=CD即可.由两组对边分别平行的四边形是平行四边形知，只需AD∥BC即可，此外还可考虑角，如∠B=∠D，或∠A=∠C，或∠A+∠B=180°，或∠C+∠D=180°.
8．18．
9．平行四边形．
10．提示：先证四边形BFDE是平行四边形，再由EMNF得证．
11．提示：先证四边形EBFD是平行四边形，再证△REA≌△SFC，既而得到RESF．
12．提示：D是BC的中点．
13．提示：(1)DF与AE互相平分；(2)连结DE，AF．证明四边形ADEF是平行四边形．
14.思路建立
欲证DE∥BC，因为点D是AB的中点，由三角形的中位线定理想到E是某一线段的中点，所以延长AE交BC于点F，只需证DE是ΔABF的中位线即可.
证明：如图所示，延长AE交BC于点F，
∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2.
∵AE CE，
∴∠AEC=∠FEC.
又∵CE=CE，
∴ΔAEC ΔFEC，
∴AE=FE，即E为AF的中点.
又∵D是AB的中点，
∴DE为ΔABF的中位线.
∴由三角形中位线的性质知DE∥BF，即DE∥BC。
点拔：遇到三角形的中位线就要想到线段间的位置（平行）关系和数量关系.
15．(1)；(2)；
(3)P1(－1.5，－2)，P2(－2.5，－2)或P3
(2.5，2)．
16.思路建立
（1）要证明E是AD的中点，可转化为证明，结合已知条件可证明ΔAEB≌ΔCGD，得到AE=CG，再利用等量代换及平行四边形的性质得.
（2）要证明CD=BF+DF，就需要将CD、BF、DF转化到一条直线上，从而想到延长DF、BE相交于点H，通过证明BF=HF，CD=DH来证明结论.
证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C.
在ΔAEBΔCGD中，
∴ΔAEB ΔCGD，∴AE=CG.
∵G为BC的中点，∴，∴.
∵AD=BC，∴，∴E是AD的中点.
（2）如图，延长DF，BE相交于点H.
由（1）知E为AD的中点，G为BC的中点，∴，.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴DE=BG，DE∥BG，
∴四边形EBGD为平行四边形，
∴BE∥DG，∴∠H=∠2.
∵∠3=∠2，∴∠H=∠3，∴BF=HF.
∵∠1=∠2，∴∠H=∠1.
∵E为AD的中点，∴AE=DE.
在ΔAEB和ΔDEH中，
∴ΔAEB≌ΔDEH，∴AB=DH，
∵AB=CD，∴CD=DH.
∵DH=HF+FD，HF=BF，
∴DH=BF+FD，∴CD=BF+FD.
