变量与函数
教学内容 人教 版 八 年级下册
（课题）变量与函数
教学目标
知识与技能：掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本概念
(二)数学思考：通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义
（三）问题解决：了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系
（四）情感态度： 引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.21教育网
教学重点：常量和变量、自变量和因变量（函数）基本概念
教学难点：函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法
教具准备：多媒体课件
教学时数：2课时
教学过程：
第 1 课时
基本训练 激趣导入
创设情境
在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．
问题1 如图是某地一天内的气温变化图．
看图回答：
(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．
(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？解 (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；21cnjy.com
(2)这一天中，最高气温是5℃．最低气温是－4℃；
(3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低．
从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？21世纪教育网版权所有
提出目标 指导自学
探究归纳
问题2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：21·cn·jy·com
观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的．
解 随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长．
合作学习 引导发现
问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：www.21-cn-jy.com
观察上表回答：
(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?
(2)波长l越大，频率f 就________．
解 (1) l 与 f 的乘积是一个定值，即
lf＝300 000，
或者说 ．
(2)波长l越大，频率f 就 越小 ．
问题4 圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S＝_________．2·1·c·n·j·y
利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：【来源：21·世纪·教育·网】
由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________．
解 S＝πr2．
圆的半径越大，它的面积就越大．
在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable)．21·世纪*教育网
上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量(independent variable)，y是因变量(dependent variable)，此时也称y是x的函数(fun_ction)．表示函数关系的方法通常有三种：www-2-1-cnjy-com
(1)解析法，如问题3中的，问题4中的S＝π r2，这些表达式称为函数的关系式．
(2)列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表．
(3)图象法，如问题1中的气温曲线．
问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant)，如问题3中的300 000，问题4中的π等．21*cnjy*com
反馈调节 变式训练
例1 下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.
(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?
(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?
(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?
解 (1)平均身高是146.1cm；
(2)约从14岁开始身高增加特别迅速；
(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量．
例2 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：
(1)圆的周长C与半径r的关系式；
(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；
(3)n边形的内角和S与边数n的关系式．
解 (1)C＝2π r，2π是常量，r、C是变量；
(2)s＝60t，60是常量，t、s是变量；
(3)S＝(n－2)×180，2、180是常量，n、S是变量．
分层测试 效果回授
1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子．
2.分别指出下列各关系式中的变量与常量：
(1)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是；
(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β＝90－α ；
(3)若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y（元）与x间的关系是：y＝ax．2-1-c-n-j-y
3.写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：
(1)每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y（元）与学生数n（个）的关系；
(2)计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n（个）与单价a（元）的关系．
4.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑．若用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式．【来源：21cnj*y.co*m】
教学反思：
课件12张PPT。第十九章 一次函数 19.1.1 变量与函数
第1课时19.1 函数1问题4：章引言中的一张图表和图象反映了什么量随什么量变化而变化？分别是用什么方式反映它们的变化规律的？活动一：阅读章引言问题探究:问题1：在事物的运动变化中，一个量随另一个量变化而变化的现象大量存在，请你再举出一个具有这种特征的相关例子加以说明.问题2：为了刻画变量之间相互依存和变化的关系，我们形成了什么概念？为了更深入地认识现实世界中运动变化的规律，我们需要研究什么内容？问题3：本章我们将主要学习哪些内容？将从哪些方面来展开研究？我们研究这些内容的思想方法是什么？1活动二：创设情境1问题3：在思考（1）~（4）的变化过程中，发生变化的量有限制条件吗？如何限制？活动二：创设情境问题探究:问题1：分别指出思考（1）~（4）的变化过程中所涉及的量，在这些量中哪些量是发生了变化的？哪些量是始终不变的？问题2：在思考（1）~（4）的变化过程中，当一个量发生变化时，另一个量是否也随之发生变化？是哪一个量随哪一个量的变化而变化？（4）涉及的量有：矩形的周长、边长和邻边长，其中边长和邻边长发生了变化，矩形的周长始终不变.（1）涉及的量有：速度、时间和路程，其中时间和路程发生了变化，速度始终不变；（2）涉及的量有：票价、张数和票房收入，其中张数和票房收入发生了变化，票价始终不变；（3）涉及的量有：圆周率π、半径和面积，其中半径和面积发生了变化，圆周率π始终不变； 答：变化过程中，发生变化的量要符合实际问题的意义. 如（1）中的时间t就不能为负数，（2）中票的张数x就只能为自然数.1问题2：在一个变化过程中，理解变量、常量的关键词是什么？活动三：形成概念问题探究: 问题1：请给上述思考（1）~（4）中发生了变化的量和始终不变的量起一个恰当的名称. 在一个变化过程中，我们称数值发生了变化的量为变量（variable），数值始终不变的量为常量（constant）. 在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词分别是：发生了变化和始终不变.1问题探究：活动四：辨析概念变量：月用水量x吨和月应交水费y元，常量：自来水价4元／吨.变量：通话时间t分钟和话费余额w元，常量：通话费0.2元／分钟和存入话费30元.变量：半径r和圆周长c，常量：圆周率π及计算公式中的数字2.变量：第一个抽屉放书量x本和第二个抽屉放书量y本，常量：书的总数10本.1问题探究：
请结合你的生活实际，自己设计一个变化过程，指出其中的变量与常量.活动五：理解概念1问题1：根据销售记录，某型号的服装每天的售价x（元/件）与当日的销售量y（件）的变化关系如下表： 活动六：升华概念在这个变化过程中，有哪些变量？是哪一个量随哪一个量的变化而变化？请大胆猜想它们之间的变化规律，用关系式表示你猜想的变化规律，并指出关系式中的常量.问题探究：变量有：服装每天的售价x（元/件）和当日的销售量y（件），
当日的销售量y随服装每天的售价x的变化而变化.
变化规律满足：y=280－x，关系式中的常量是：数字280.1活动六：升华概念问题2：如图，正形ABCD的边长为4 cm，动点P、Q同时从
点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路
径向点C运动，当P、Q到达点C时都停止运动.设运动时间
为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2）.
（1）在这个运动变化过程中，当运动时间x发生变化时，
四边形PBDQ的面积y是否也随之发生变化？当运动时间
x增大时，四边形PBDQ的面积y如何变化？
（2）在这个运动变化过程中，运动时间x的取值有什么要求吗？为什么？ （1）四边形PBDQ的面积y随运动时间x的变化而变化，当运动时间x增大时，四边形PBDQ的面积y不是一直增大. 当0＜x＜4时，y随x的增大而减小；当x=4时，四边形PBDQ不存在；当4＜x＜8时，y随x的增大而增大.
（2）0＜x＜8，且x≠4.1问题2：在一个变化过程中，量与量之间是否是相互依存和变化的？是否存在变化规律？量的变化是否有限制条件？如何确定变量的变化条件？活动七：课堂小结与作业布置课堂小结：问题1：在一个变化过程中，什么是变量？什么是常量？常量是否都是显现的？请举例说明.11. 指出下列问题中的变量和常量：
（1）购买一些铅笔，单价为0.2元／支，记某同学购买铅笔的数量为x支，应付的总价为y元；
（2）用长为50 cm的铁丝围成一个等腰三角形，记这个等腰三角形的腰长为x cm,底边长为y cm；
（3）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm,BC=4cm.现有一动点P从点B出发，沿射线BA方向以1 cm／s的速度运动，到达点A随即停止运动.记点P的运动时间为x（s），△ACP的面积为y（cm2）.
（4）出售某种文具盒，若每个获利 x元，一天可售出（6－x）个，一天出售该种文具盒的总利润为 y元．
2. 指出第1题的4个问题中x的取值范围，并写出能反映y与x的变化关系的式子.作业布置：1再见1变量与函数
教学内容 人教 版 八 年级下册
（课题）变量与函数
教学目标
知识与技能：掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制
(二)数学思考：掌握根据函数自变量的值求对应的函数值
（三）问题解决：联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法
（四）情感态度： 使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识
教学重点：函数关系式直观得到自变量取值范围
教学难点：函数自变量的值求对应的函数值
教具准备：多媒体课件
教学时数：2课时
教学过程：
第 2 课时
基本训练 激趣导入
创设情境
问题1 填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．
解 如图能发现涂黑的格子成一条直线．
函数关系式：y＝10－x．
提出目标 指导自学
问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．
解 y与x的函数关系式：y＝180－2x．
问题3 如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式．21cnjy.com
解 y与x的函数关系式：．
合作学习 引导发现
探究归纳
思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．
(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？21·cn·jy·com
分析 问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围．
问题2，因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°．
问题3，开始时A点与M点重合，MA长度为0cm，随着△ABC不断向右运动过程中，MA长度逐渐增长，最后A点与N点重合时，MA长度达到10cm．www.21-cn-jy.com
解 (1)问题1，自变量x的取值范围是：1≤x≤9；
问题2，自变量x的取值范围是：0＜x＜90；
问题3，自变量x的取值范围是：0≤x≤10．
(2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4． 上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：2·1·c·n·j·y
s＝60t， S＝πR2．
在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S＝πR2中自变量R的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系，那么自变量R的取值范围就应该是R＞0．21·世纪*教育网
对于函数 y＝x(30－x)，当自变量x＝5时，对应的函数y的值是
y＝5×(30－5)＝5×25＝125．
125叫做这个函数当x＝5时的函数值．
反馈调节 变式训练
例1 求下列函数中自变量x的取值范围：(1) y＝3x－1； (2) y＝2x2＋7；(3)； (4)．21教育网
分析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在(1)，(2)中，x取任意实数，3x－1与2x2＋7都有意义；而在(3)中，x＝－2时，没有意义；在(4)中，x＜2时，没有意义．【来源：21·世纪·教育·网】
解 (1)x取值范围是任意实数；
(2)x取值范围是任意实数；
(3)x的取值范围是x≠－2；
(4)x的取值范围是x≥2．
归纳 四个小题代表三类题型．(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式．
例2 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：
(1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式；
(2)已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x(cm)，求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式；www-2-1-cnjy-com
(3)在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环．设圆环的面积为S(cm2)，求S关于r的函数关系式．21世纪教育网版权所有
解 (1) y＝0.50x，x可取任意正数；
(2)，x可取任意正数；
(3)S＝100π－πr2，r的取值范围是0＜r＜10．
例3 在上面的问题(3)中，当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是多少?
解 设重叠部分面积为y cm2，MA长为x cm， y与x之间的函数关系式为
当x＝1时，
所以当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是cm2．
例4 求下列函数当x = 2时的函数值：
(1)y = 2x-5 ； (2)y =－3x2 ；
(3)； (4)．
分析 函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值．
解 (1)当x = 2时，y = 2×2－5 =－1；
(2)当x = 2时，y =－3×22 =－12；
(3)当x = 2时，y == 2；
(4)当x = 2时，y == 0．
分层测试 效果回授
1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：
(1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm．求y和x间的关系式；2-1-c-n-j-y
(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式；21*cnjy*com
(3)矩形的周长为12 cm，求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm时这个矩形的面积．【来源：21cnj*y.co*m】
2.求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y＝－2x－5x2； (3) y＝x(x＋3)；
(3)； (4)．
3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离s（米）由下式给出：s＝10t＋2t2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？【出处：21教育名师】
4.当x＝2及x＝－3时，分别求出下列函数的函数值：
(1) y＝(x+1)(x－2)；(2)y＝2x2－3x＋2； (3)．
教学反思：
课件13张PPT。第十九章 一次函数 19.1.1 变量与函数
第2课时19.1 函数1活动一：创设情境问 题 探 究问题3：在上面的4个问题中，两个变量之间的对应关系有什么共同特征？请你再举出一些对应关系具有这种共同特征的例子.问题1：在上一节课“活动二”的问题（1）~（4）中，是否都存在两个变量？请你用所学知识写出能表示同一个问题中的两个变量之间对应关系的式子.问题2：在上面的4个问题中，是哪一个量随哪一个量的变化而变化？当一个变量取定一个值时，另一个变量的值是唯一确定的吗？问题（1）~（4）中都存在两个变量，表示两个变量之间的关系式分别为：
（1）s=60t；（2）y=10x；（3）S=πr2；（4）y=5－x.以上四个变化过程中，两个变量之间的对应关系都满足：对于一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.1活动二：再设情境问 题 探 究问题：分别指出思考（1）~（2）中所涉及的两个变量，在这两个变量中，是哪一个量随哪一个量的变化而变化？两个变量之间的对应关系是否与上面4个思考中对应关系的共同特征一致？这两个变化都满足y随x的变化而变化，且当x取定一个值时，y都有唯一确定的值与其对应.1活动三：形成概念问题2：在这个定义中，前提条件是什么？对应关系是什么？如何理解“x的每一个确定的值”中的“确定”？x的取值有限制范围吗？问 题 探 究 问题1：函数是反映一个变化过程中的两个变量之间的一种特殊对应关系，请你根据上述6个问题中两个变量之间对应关系的共同特征，用恰当的语言给函数下定义.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量（independent variable），y是x的函数（fun_ction）.前提条件是：一个变化过程中只有两个变量；两个变量之间的对应关系是“x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”. “x的每一个确定的值”中的“确定”是指x的取值要符合变化过程的实际意义.1活动三：形成概念问题3：如何理解“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”这句话？请举例说明.
问题4：函数值由谁来确定？怎样求函数值？问 题 探 究指明了变量x与y的对应关系可以是：“一对一”“二对一”或“多对一”，如果是“一对多”的情况就不是函数了.确定函数值必须是首先确定两个变量之间的对应关系，然后确定自变量的值，根据对应关系确定函数值.1活动四：辨析概念问 题 探 究S=x2，S是x的函数，x是自变量；y=0.1x，y是x的函数，x是自变量；v=10－0.05t，v是t的函数，t是自变量.1活动四：辨析概念 问题2：下列式子中的y是x的函数吗？为什么？若y不是x的函数，怎样改变，才能使y是x的函数？问 题 探 究问题3：变量x与y的对应关系如下表所示：问：变量y是x的函数吗？为什么？若要使y是x的函数，可以怎样改动表格？（1）、（2）中y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应；（3）中，y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值与其对应.将关系式改为 或 ，都能使y是x的函数.y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值与其对应. 要使y是x的函数，可以将表格中y的每一个值中的“±”改为“＋”或“－”.1问题4：下列曲线中，表示y不是x的函数是（ ），怎样改动这条曲线，才能使y是x的函数？活动四：辨析概念问 题 探 究选B. 将第一象限或第三象限的曲线去掉等，只要满足“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”，都能使y是x的函数.1活动五：运用概念问 题 探 究教材例1：
汽车油箱有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程 x（单位：km）的增加而减少，平均油耗为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子；
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？解：（1）关系式为：y=50－0.1x；
（2） 0≤x≤500；
（3）∵当x=200时，y=50－0.1×200=30，
∴汽车行驶200 km时，油箱中还有30L汽油.1 我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）.
（1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？活动六：升华概念问 题 探 究解：（1）当0＜x≤3时，y=8；
当x＞3时，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6.
当x=2时，y=8；x=6时，y=1.8×6＋2.6=13.4.
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.1问题4：如何确定函数值？活动七：课堂小结与作业布置问 题 探 究问题1：在一个变化过程中，对于变量x和y而言，满足什么对应关系时，y才是x的函数？两个变量满足“一对多”的关系是函数吗？问题2：自变量的取值范围如何确定？受哪些因素的限制？问题3：在解决什么问题时，往往需要建立函数模型？根据什么建立函数模型？建立函数模型最常见的方式是什么？课堂小结11.完成教材第75页练习第2题，习题19.1第1~5题及第10、11题.2. 下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（ ）作业布置 3. 甲、乙两辆汽车分别从相距200 km的A、B两地同时出发，相向而行，甲的平均速度为60 km／h，乙的平均速度为 40 km／h，当甲乙两车相遇时，两车都停止运动，设甲车的运动时间为x（h），甲、乙两车相距为y（km）.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子；
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）当甲车行驶1h时，两车相距多远？
（4）求当两车相距50 km时，甲车行驶的时间 .1再见1
