勾股定理
教学内容
人教
版
八
年级下册
（课题）勾股定理
教学目标
知识与技能：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。
(二)数学思考：通过观察、
归纳、
猜想和验证勾股定理。
（三）问题解决：体验由特殊到一般的探索数学问题的方法和数形结合的思想。
（四）情感态度：对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育.
教学重点：探索和证明勾股定理。
教学难点：用拼图的方法证明勾股定理。
教具准备：多媒体课件
教学时数：4课时
教学过程：
第
1
课时
基本训练
激趣导入
一、复习提问
1、三角形的三边关系是什么？
2、直角三角形的三边有什么关系？
①两边之和大于第三边；
②斜边大于任何一条直角边；
③30°角所对的直角边等于斜边的一半等.
3、介绍直角三角形各边的古代名：
勾：较短的直角边；股：较长的直角边；弦：斜边
提出目标
指导自学
1、2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会，
这就是当时采用的会徽.
你知道这个图案的名字吗？你知道它
的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？
2、相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.
请同学们也观察一下，看看能发现什么？
(1)
引导学生观察三个正方形之间的面积的关系；
(2)
引导学生把面积的关系转化为边的关系.
结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.
3、等腰直角三角形有上述性质，其它直角三角形也有这个性质吗？（书P65探究）
合作学习
引导发现
4、计算机演示
(1)
如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，改变a、b、c的长度，但始终保持∠ACB=90°，
在运动过程中，测算，，，的值.
取其中几组测算值，让学生观察这几个数值之间的关系？
提问：哪些量是不变的？（∠ACB=90°）
哪些关系是不变的？（）
(2)
演示锐角三角形、钝角三角形三边的平方是否存在这种关系？
因此这个结论只适用于是直角三角形.
三、新课
让学生叙述猜想、画图，并说出已知、求证.
命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么.
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
a，b，c分别为∠A、∠B、∠C的对边.
求证：
到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种.
下面，我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的
提问：拼接后的图形是否是由原4个直角三角形和小正方形没有重叠、没有空隙地拼成的？拼接后的图形是什么图形？
由此得到：
小结：这种证法是面积证法．图形割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积不会改变．
下面介绍另一种拼图的证法：（选讲）
做八个全等的直角三角形和分别以a、b、c为边长的三个正方形.
拼成如下两个图形：
提问：①这两个图形分别是什么图形？（正方形，四条边都相等，四个角都为直角）
②这两个图形的面积相等吗？（相等，都等于）
③如何利用这两个图形证明：？
反馈调节
变式训练
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么.
几何语言：∵Rt△ABC中，∠C=90°
∴（勾股定理）
（或，，等.）
注：①勾股定理存在于直角三角形中，运用勾股定理必须具备“直角”的条件；
②勾股定理说明了直角三角形中三边之间的关系．在直角三角形中，已知任意两边的长，就可以求出第三边的长.
③运用勾股定理要注意哪个角是直角，由此确定哪条边是斜边，抓住“斜边的平方等于两直角边的平方和”；
④无论求斜边，还是求直角边，最后都要开平方.
开平方时，由于边长为正，所以取算术平方根；
⑤勾股定理是直角三角形的一条重要性质，它由一个角是直角作“因”，三边的数量关系作“果”，体现了由“形”到“数”的转化，是数形结合思想的一个典范.
⑥勾股定理不仅是最古老的数学定理之一，也是数学中证法最多的一个定理.
目前世界上已有几百种证法，就连美国第20届总统加菲尔德也提供了一种面积证法.请同学们课下阅读书上P71~72.
例、(1)
已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，求AB.
(2)
已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5，BC=6，求AC.
(3)
已知Rt△ABC中，∠B=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，c∶a=3∶4，b=15，求a，c及斜边高线h.
解：先画图
(1)
∵Rt△ABC中，∠C=90°
∴（勾股定理）
∴===10
(2)
(3)
∵c∶a=3∶4
∴设a=4k，c=3k
∵Rt△ABC中，∠B=90°
∴（勾股定理）
∴
（舍负）
∴a=4k=12，c=3k=9
∵∠ABC=90°，h是斜边高线
∴ac=bh
∴h===
∴a=12，c=9，h=
分层测试
效果回授
如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角
三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小
正方形A、B、C、D的面积之和是 .
（）
课堂小结
1、勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的又一特征；
2、勾股定理把直角三角形“形”的特征，即一角为90°，转化为数量关系，体现了数形结合的思想.
教学反思：(共9张PPT)
SA+SB=SC
a2+b2=c2
a
b
c
SA
SB
SC
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案
由此可知,利用勾股定理,可以作出长为
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
第七届国际数学
教育大会的会徽
1
数学海螺图：
你能在数轴上表示出
的点吗？
的线段.
-1
0
1
2
3
你能在数轴上表示出
的点吗？
你能在数轴上画出表示
的点吗？
探究1:
√
√
0
1
2
3
4
步骤：
l
A
B
C
1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;
3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示
的点。
你能在数轴上画出表示
的点和
的点吗？
∴点C即为表示
的点
你能在数轴上画出表示
的点吗？
探究1:
0
1
2
3
4
l
A
B
C
你能在数轴上画出表示
的点和
的点吗？
√
√
0
1
2
3
4
A
B
C
1、如图为4×4的正方形网格,以格点与点A为端点,你能画出几条边长为
的线段
A
练习&1
2.如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个 写出落在x轴上的顶点坐标.
Ｏ
Ｄ
⌒
Ｃ
Ｅ
Ｆ
Ｈ
x
y
练习&1
荷花问题
平平湖水清可鉴,
面上半尺生红莲;
出泥不染亭亭立,
忽被强风吹一边;
渔人观看忙向前,
花离原位二尺远;
能算诸君请解题,
湖水如何知深浅.
0.5
x
x+0.5
2
答：湖水深3.75尺.
探究2:
可用勾股定理建立方程.
执竿进屋
笨人持竿要进屋，
无奈门框栏住竹，
横多四尺竖多二，
没法急得放声哭。
有个邻居聪明者，
教他斜竿对两角，
笨人依言试一试，
不多不少刚抵足，
借问竿长多少数，
谁人算出我佩服。
x
4
2
x-2
x-
4
答：竿长10尺.
探究3(共29张PPT)
17.1勾股定理（1）
地砖铺成的地面
B
C
A
a
c
b
相传2500年前,古希腊有一位非常著名的数学家毕达哥拉斯,他善于观察和思考问题,经常从生活中寻找一些数学问题,有一次,他到朋友家做客,发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.
A
B
网格中的直角三角形是否也有这样的性质呢
(每个小方格的边长都是1个单位长度)
C
A的面积(单位面积)
B的面积(单位面积)
C的面积(单位面积)
9
16
25
a
b
c
图2
a
b
c
猜想：直角三角形的两直角边长
分别为a、b，斜边长为c，
那么
b
a
c
a2+b2=c2。
a
c
b
┐
图1
b
a
a
b
c
剪一剪
拼一拼
你能把图1拼成图2的样子吗
如果直角三角形的两直角边长
分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么
a2+b2=c2。
勾股定理：
勾
股
弦
a
b
c
赵爽弦图证法
证法一、
赵爽弦图验证勾股定理
∵s大正方形=
a
b
c
而s大正方形=c2
∴a2+b2=c2
a
b
c
①
②
③
④
⑤
证法二
无字证明
青出
朱入
朱出
朱方
青方
青入
青入
青出
青出
证法三、青朱出入图
朱入
朱出
b
a
b
a
b
a
b
a
c
c
c
c
(a+b)2
=
a2
+
b2
+
2ab
=
c2+2ab
可得:
a2
+
b2
=
c2
证法四
a
a
b
b
c
c
证法五、美国第20任总统伽菲尔德证法：
∵
s梯形=
(a+b)(a+b)=
(a2+2ab+b2)
s梯形=2×
ab+
c2=ab+
c2
∴
a2+ab+
b2=ab+
c2
∴a2+b2=c2
=
a2+ab+
b2
证法六、拼图游戏
证法七、希腊证法
证法七、希腊证法
证法七、希腊证法
证法七、希腊证法
证法七、希腊证法
证法八、达芬奇证明方法
勾股定理有着悠久的历史，几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解，它来源于人们生产实践之中，对人类发展起着十分重要的作用。
我国著名数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形到宇宙中，如果宇宙有人的话，他们一定会认识这种语言的。这条建议得到许多科学家的赞同。
勾股定理
外星人
★
公元前600年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派发现勾股定理，命名为“毕达哥拉斯定理”
（百牛定理），而且给出了证明。
★
古巴比仑人在公元前19世纪也发现此定理。
★
定理从提出到现在的两千多年中，已经找到证明400多种，由鲁密斯搜集整理的《毕达哥拉斯》一书中就给出370种不同证法。
★
公元前11世纪，周公与商高的对话（记录于公元前1世纪《周髀算经》）中提出“勾三、股四、弦五”。——勾股定理、商高定理
★
《周髀算经》中还记载了公元前六、七世纪的荣方与陈子的对话，再次
提到勾股定理。——陈子定理
学以致用：1.求图中字母所代表的正方形的面积。
24
80
A
B
81
144
A
B
400
625
∟
想一想：
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
58厘米
46厘米
74厘米
１、本节课我们经历了怎样的探究过程？
２、本节课我们学到了什么？
３、学了本节课后我们有什么感想？
梳理反思：
从特殊-----
一般的探究过程
勾股定理
割补法
以形解数法
中国悠久的文化和伟大的古代文明
作业：
１、通过查阅资料，了解勾股定理的文化背景。
２、通过查阅资料，了解勾股定理的证明方法。
再见
在西方人们认为勾股定理是毕达哥拉斯先发现的，并称之为“毕达哥拉斯定理”。不过早在公元前1120年左右中国的商高就在对话中说到：“故折矩，此为勾广三，股修四，经隅五。”你可能认为这是最早的勾股定理，但是具调查在公元前1900年的一块巴比伦上午泥板中，记载了15组勾股数。所以古巴比伦人才是勾股定理最先的发现人。
有关知识：
◆
“勾广三，股修四，径隅五。”
◆
在西方，一般认为这个定理是一个叫做毕达哥拉斯的人发现的，所以称这个定理为毕达哥拉斯定理。
◆
我国著名数学家华罗庚建议：发射一种勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会认识这种“语言”的。
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：
周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”
商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
毕达哥拉斯出生于萨摩斯岛，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何，自然学和哲学。后来来到巴比伦，印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养。大约在公元前530年，又返回萨摩斯岛，后来又迁居意大利的克罗通，创建了自己的学术。毕达哥拉斯学术认为数最崇高，最神秘，他们所讲的是整数。可惜，朝气蓬勃的毕达哥拉斯到了晚年不仅学术保守，还反对新生事物，最后死与非命(共19张PPT)
SA+SB=SC
a2+b2=c2
a
b
c
SA
SB
SC
a
b
c
勾股定理
注：
１．前提条件：直角三角形
２．根据勾股定理，在直角三
角形中已知任何两边可求
第三边
知识&回顾
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2
+
b2
=
c2
勾股定理
a
b
c
c2=a2
+
b2
结论变形
知识&回顾
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2
+
b2
=
c2
勾股定理
a2=c2
-
b2
b2=c2
-a2
在直角三角形中，三边长分别为a
、
b
、
c,其中c为斜边
1. (1)a=3, b=4, 则c=
(2)a=5, b=12, 则c=
2. (1)a=6, c=10, 则b=
(2)b=20, c=25, 则a=
3.
a：b＝3：4，c＝10,则a= ,b=
5
13
8
15
8
6
1.如图，分别以Rt
△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式为
2.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和.
A+B
C+D
A+B+C+D
E
D
C
B
A
某人拿一根竹竿想进城，可是竹竿太长了，横竖都进不
了城。这时，一位老人给他出了个主意，把竹竿截成两
半……
古代笑话
截竿进城
一个门框尺寸如图所示，一块长３m，宽２.２m的薄木板能否从门框内穿过？为什么？
A
B
C
D
1
m
2
m
3m
2.2m
探究1:
实际问题
数学问题
木板能否进门
比较木板宽与斜边AC长度的大小
AC≥2.2能进，AC<2.2不能进
求AC
勾股定理
A
C
O
B
D
一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,
这时AO的距离为2.5m,
如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗
探究2:
3
2.5
0.5
2
3
分析:DB=OD-OB,求BD,可以
先求OB,OD.
A
C
O
B
D
梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移_______.
在Rt△AOB中，
在Rt△COD中，
OD－OB
=
2.236
－1.658
≈0.58
0.58
m
一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗
3
2.5
2
3
1.658
2.236
探究2:
(2)运用勾股定理解决生活中的一
些实际问题.
(1)将实际问题转化为数学问题,
建立数学模型.
归纳与小结
1、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖住这个洞口，圆的直径至少要多长（结果保留整数）？
50
50
小试身手
：
B
A
2、如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m.
你能求出A、B两点间的距离吗（结果保留整数）？
C
60
20
小试身手
：
1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。飞机每小时飞行多少千米？
A
拓展提高
4000米
5000米
20秒后
B
C
3000米
(千米/时)
2、如果等边三角形的边长是6，你能求高AD的长和这个三角形的面积吗？
A
D
B
C
6
拓展提高
3、如图，在△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足为D，若∠B=300，AD=1求高CD和△ABC的面积。
C
A
B
D
1
2
3
拓展提高
4.一个圆柱状的杯子，由内部测得其底面直径为4cm，高为10cm，现有一支12cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管
露出杯口外.
(填“能”或“不能”)
4
10
能
拓展提高
D
A
B
C
E
《九章算术》：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，请问这个水的深度与这根芦苇的长度各是多少？
X
2
5
2
(X+1)
2
+
=
X
X+1
5
1勾股定理
教学内容
人教
版
八
年级下册
（课题）
教学目标
知识与技能：利用勾股定理解决实际问题。
(二)数学思考：从实际问题中抽象出数学模型，利用勾股定理解决，渗透建模思想和数形结合思想和方程思想。
（三）问题解决：运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题。
（四）情感态度：
1、通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质。
2、通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值。
教学重点：勾股定理的应用。
教学难点：勾股定理在实际生活中的应用。
教具准备：多媒体课件
教学时数：4课时
教学过程：
第
2
课时
基本训练
激趣导入
复习提问
1、勾股定理？应用条件？
2、证明方法？（面积法）
3、在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC的长．
答：AC的长为．
提出目标
指导自学
例1、一个门框的尺寸如图所示：
(1)
若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，能否从门框内通过？
(2)
若有一块长3米，宽1.5米的薄木板，能否从门框内通过？
(3)
若有一块长3米，宽2.2米的薄木板，能否从门框内通过？
分析：(3)
木板的宽2.2米大于1米，所以横着不能从门框内通过．
木板的宽2.2米大于2米，所以竖着不能从门框内通过．
因为对角线AC的长度最大，所以只能试试斜着能否通过．
所以将实际问题转化为数学问题．
解：(3)
∵在Rt△ABC中，∠B=90°
∴AC2=AB2
+BC2
(勾股定理)
∴AC==≈2.236
∵AC≈2.236>2.2
∴木板能从门框内通过（书上P67填空）
小结：此题是将实际为题转化为数学问题，从中抽象出Rt△ABC，并求出斜边AC的长.
合作学习
引导发现
例2、如图，一个3米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
如果梯子的顶端A沿墙下滑
0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？
（计算结果保留两位小数）
分析：要求出梯子的底端B是否也外移0.5米，实际就是求BD的长，而BD=OD-OB
解：∵在Rt△ABO中，∠AOB=90°
∴OB2=AB2-AO2
(勾股定理)
∴OB===≈1.658
∵OC=AO-AC
∴OC=
2.5-0.5=2
∵在Rt△COD中，∠COD=90°
∴OD2=CD2-CO2
(勾股定理)
∴OD===≈2.236
∴BD=OD
-OB≈2.236
-1.658≈0.58
答：梯的顶端A沿墙下滑0.5米时，梯子的底端B外移约0.58米．
例3、一个大树高8米，折断后大树顶端落在离大树底端2米处，折断处离地面的高度是多少？
分析：方程思想
解：设AB=
x
m，则AC=
(8-x)
m
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°
∴AB2+BC2=AC2
∴
x=3.75
∴折断处离地面的高度是3.75
m.
小结：1、方程思想.
2、勾股定理是此题的等量关系.
反馈调节
变式训练
1、已知：△ABC为等边三角形，AD⊥BC于D，AD=6.
求AC的长.
解：∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC=BC
∵AD⊥BC
∴DC=BC
∴DC=AC
设DC=x，则AC=2x
∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°
∴AD2+DC2=AC2
(勾股定理)
∴
（舍负）
∴
分层测试
效果回授
2、如图，要修建一个蔬菜大棚，大棚的截面是直角三角形，棚宽m=4米，高n=2米，长d=15米，求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少平方米？（结果保留小数点后1位）
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°
∴AB2
=m2+n2
(勾股定理)
∴AB===
∴S=AB d
=×15≈4.472×15=67.08≈68（平方米）
注意：这里要取过剩近似值.
课堂小结
1、勾股定理的作用——它把直角三角形的图形特征转化为边的数量关系。
2、会用勾股定理进行有关计算和证明，要注意利用方程的思想求有关三角形的边长。
3、会从实际问题中抽象出数学模型，从而解决实际问题。
教学反思：勾股定理
教学内容
人教
版
八
年级下册
（课题）勾股定理
教学目标
知识与技能：会在数轴上表示（n为正整数）.
(二)数学思考：利用勾股定理解决数学问题，进一步渗透方程思想和数形结合思想.
（三）问题解决：运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题.
（四）情感态度：
1、通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
2、通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值.
教学重点：勾股定理的应用.
教学难点：利用勾股定理建立方程.
教具准备：多媒体课件
教学时数：4课时
教学过程：
第
3
课时
基本训练
激趣导入
复习提问
1、勾股定理？
2、解决有关直角三角形问题常用方程思想.
提出目标
指导自学
例1、（书P68）我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？
分析：(1)若能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点.
(2)由勾股定理知，直角边为1的等腰Rt△，斜边为．因此在数轴上能表示的点．那么长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？
解：∵在Rt△ABC中，∠OAB=90°，OA=3，AB=2
∴OB==
∴在数轴上取点A，使OA=3，过点A作AB⊥OA于A，
使AB=2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴的交点C即为表示的点.
合作学习
引导发现
思考：怎样在数轴上画出表示（n为正整数）的点？
利用勾股定理，可以做出长为（n为正整数）的线段，进而可以在数轴上画出表示
（n为正整数）的点.（P69）
结论：利用勾股定理，可以做出长为（n为正整数）的线段，进而在数轴上可画出表示
（n是正整数）的点.
练习：书P69练习1，（再练，等）
反馈调节
变式训练
例2、已知：如图，四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°,
∠B=∠D=90°.
求四边形ABCD的面积.
解：延长BC与AD交于点E
∵∠A=60°，∠B=90°
∴∠E=30°
∵在Rt△ABE中，∠E=30°
∴AE=2AB=4
∵在Rt△ABE中，∠B=90°
∴
∴
∵在Rt△DCE中，∠E=30°
∴CE=2CD=2
∵在Rt△DCE中，∠CDE=90°
∴
∴
∴
小结：通过添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.
例3、已知：如图，在△ABC中，ADBC于D，AB=6，AC=4，BC=8，求BD，DC的长.
解：设BD=x，则CD=8-x
∵ADBC
∴∠1=∠2=90°
∵在Rt△ABD中，∠1=90°
∴
∵在Rt△ADC中，∠2=90°
∴
∴（双勾股）
∴
∴BD=，CD=8-x=
小结：当两个直角三角形有公共边时，可以利用公共边作桥梁，建立方程，这种方法称为双勾股.
分层测试
效果回授
已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C’处，BC’与AD交于点E，
AD=6，AB=4，求DE的长.
解：∵矩形ABCD
∴BC=AD=6，CD=AB=4，∠C=90°，AD∥BC
∵矩形ABCD沿直线BD折叠
∴△BC’D≌△BCD
∴BC’=BC=6，C’D=CD=4，∠C’=∠C=90°，∠1=∠2
∵AD∥BC
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
∴BE=DE
设DE=BE=x，则C’E=6-x
∵在Rt△DC’E中，∠C’=90°
∴
∴
∴
六、课堂小结
1、在数轴上画出表示（n为正整数）的点的方法.
2、利用辅助线构造Rt△.
3、利用直角三角形的公共边构造方程，简称“双勾股”.
教学反思：(共15张PPT)
SA+SB=SC
a2+b2=c2
a
b
c
SA
SB
SC
c
a
b
在△ABC中，∠C=90°.
(4)斜边大于直角边;
(1)两锐角互余;
(2)
30°角所对的直角边等于斜边的一半;
C
A
B
(3)勾股定理：
a2+b2
=c2
直角三角形两直角边a、b平方和，
等于斜边c平方。
(2)可用勾股定理建立方程.
(2)
若a=２，c=３，则b=__________；
(3)
若c=13，b=5，则a=__________；
(4)
若a:b=3:4,
c=10,则a=______,b=_______.
(1)
若a=3，ｂ=4，则c=__________；
在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
a
b
c
Ａ
Ｃ
Ｂ
小结
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
5
12
6
8
方程思想
1、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC的长为
.
5
或
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
分类讨论
2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC
∟
D
∟
D
A
B
C
A
B
C
10
17
8
17
10
8
分类讨论
1.小溪边长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树高30尺，另外一棵树高20尺；两棵树干间的距离是50尺，每棵树上都停着一只鸟，忽然两只鸟同时看到两树间水面上游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标。问这条鱼出现在两树之间的何处？
30
20
x
50-x
方程思想
小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
x+1
x
5
1
练习&1
方程思想
2.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
求(1)
△ABC的面积；
(2)求腰AC上的高
A
B
C
15
14
13
D
x
14-x
12
E
方程思想
面积法
1.在 ABC中,
∠C=90°,AC=6,CB=8,则
ABC面积为_____,斜边为上的高为______.
24
4.8
A
B
C
D
练习&2
面积法
2.已知:一个三角ABC,AB=AC=13,BC=10,
(1)求它的面积；(2)求腰AC上的高.
A
B
C
13
13
5
5
12
D
E
(1)如图，在四边形ABCD中，∠BAD
=900，∠DBC
=
900
，
AD
=
3，AB
=
4，BC
=
12，
求CD的长和四边形ABCD的面积。
练习&3
(3)已知：
c
＝10，a＝6，求正三角形的面积.
(2)已知：
c
＝13，a＝5，求阴影部分面积
a
c
c
a
b
3
4
5
12
13
6
30
5
13
12
6
10
8
4
8
D
A
B
C
如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。
解：
∵∠ABD=90°，∠DAB=30°
∴BD=
AD=4
在Rt△ABD中
,根据勾股定理
在Rt△ABC中，
又AD=8
A
B
C
D
30°
8
4
x
x
如图，∠C=90°，图中有阴影的三个半圆的面积有什么关系？
A
C
B
S3
S1
S2
直角三角形ABC的面积为20cm2
,在AB的同侧分别以AB、BC、CA为直径做三个半圆，求阴影部分的面积。
A
C
B
二、方法
一、知识点
善于把实际问题转化为我们熟悉的数学问题
三、数学思想
化归思想
1.勾股定理：直角三角形中两直角边的平方
和等于斜边的平方.即a +b =c
2.勾股定理不仅仅是直角三角形三边的数量
关系,还是一种面积关系.
3.勾股定理的应用.
你能谈谈学习这节内容的收获和体会吗？
