八年级数学上册第1章全等三角形测试题（含解析）（新版）青岛版

第1章
全等三角形
一、选择题（共4小题）
1．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为（　　）
A．2
B．3
C．
D．
2．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
3．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（　　）
A．∠A=∠C
B．∠D=∠B
C．AD∥BC
D．DF∥BE
　
二、填空题（共5小题）
5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为　　．
6．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=　　．
7．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，△OEF是正三角形，且AE=BF，则∠AOE=　　．
8．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是　　．
9．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是　　．（请写出正确结论的序号）．
　
三、解答题（共21小题）
10．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，∠B=∠DEF，BE=CF．求证：AC=DF．
11．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．
（1）求证：DE=AB．
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．
12．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．
13．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．
14．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD．
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
15．已知：如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE=DE．求证：
（1）∠AEC=∠BED；
（2）AC=BD．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE=DF，AD=2，BC=6，求四边形AEDF的周长．
17．已知，如图，在矩形ABCD中，点E，F在边AD上，且AE=DF，求证：BF=CE．
18．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．
（1）求证：AG=CE；
（2）求证：AG⊥CE．
19．如图，在 ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．
（1）求证：AE=AF；
（2）求∠EAF的度数．
20．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．
（1）求证：∠ABC=∠EDC；
（2）求证：△ABC≌△EDC．
21．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．
（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2，求AB，BD的长；
（2）如图1，求证：HF=EF；
（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．
22．如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥DE．
23．已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．
求证：AD=CE．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．
25．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF=BE．过点F作FG⊥CD，交边AD于点G．求证：DG=DC．
26．如图，在 ABCD中，点E，F在AC上，且∠ABE=∠CDF，求证：BE=DF．
27．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD，请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论．
28．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
29．如图，过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．
30．如图，点B，C是线段AD的三等分点，以BC为直径作⊙O，点P是圆上异于B，C的任意一点，连接PA，PB，PC，PD．
（1）当PB=PC时，求tan∠APB的值；
（2）当P是上异于B，C的任意一点时，求tan∠APB tan∠DPC的值．
　
第1章
全等三角形
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共4小题）
1．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为（　　）
A．2
B．3
C．
D．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】首先延长FD到G，使DG=BE，利用正方形的性质得∠B=∠CDF=∠CDG=90°，CB=CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE=3，设AF=x，利用GF=EF，解得x，利用勾股定理可得CF．
【解答】解：如图，延长FD到G，使DG=BE；
连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，
∴∠GCF=45°，
在△GCF与△ECF中，
，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴GF=EF，
∵CE=3，CB=6，
∴BE===3，
∴AE=3，
设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x，
∴EF==，
∴（9﹣x）2=9+x2，
∴x=4，
即AF=4，
∴GF=5，
∴DF=2，
∴CF===2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键．
　
2．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD=CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE=DF，CE=BF，故①④正确．
【解答】解：∵BF∥AC，
∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，故④正确．
故选A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．
　
3．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；
由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA=60°；
由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP=BQ，即可得出△BPQ为等边三角形；
证明P、B、Q、M四点共圆，由圆周角定理得出∠BMP=∠BMQ，即MB平分∠AMC．
【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
∴②正确；
在△ABP和△DBQ中，，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ为等边三角形，
∴③正确；
∵∠DMA=60°，
∴∠AMC=120°，
∴∠AMC+∠PBQ=180°，
∴P、B、Q、M四点共圆，
∵BP=BQ，
∴，
∴∠BMP=∠BMQ，
即MB平分∠AMC；
∴④正确；
综上所述：正确的结论有4个；
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
　
4．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（　　）
A．∠A=∠C
B．∠D=∠B
C．AD∥BC
D．DF∥BE
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE．
【解答】解：当∠D=∠B时，
在△ADF和△CBE中
∵，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
　
二、填空题（共5小题）
5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为　30°　．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质．
【分析】由正方形和等边三角形的性质得出∠ADE=∠BCE=150°，AD=DE=BC=CE，得出∠DEA=∠CEB=15°，即可得出∠AEB的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC=DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，DE=DC=CE，
∴∠ADE=∠BCE=90°+60°=150°，AD=DE=BC=CE，
∴∠DEA=∠CEB=×（180°﹣150°）=15°，
∴∠AEB=60°﹣15°﹣15°=30°；
故答案为：30°．
【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
　
6．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=　3　．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．
【解答】解：△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AD=AE=2，AC=AB=5，
∴CE=BD=AB﹣AD=3，
故答案为3．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．
　
7．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，△OEF是正三角形，且AE=BF，则∠AOE=　15°　．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．
【分析】根据正方形、等边三角形的性质，可得AO=BO，OE=OF，根据SSS可得△AOE≌△BOF，根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°．
∵△OEF是正三角形，
∴OE=OF，∠EOF=60°．
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（SSS），
∴∠AOE=∠BOF，
∴∠AOE=（∠AOB﹣∠EOF）÷2
=（90°﹣60°）÷2
=15°，
故答案为15°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形、等边三角形的性质，利用SSS证明三角形全等得出∠AOE=∠BOF是解题的关键．
　
8．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是　　．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】压轴题．
【分析】将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可；过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出=，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．
【解答】解：解法一、∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=60°，
∴∠BCD=180°﹣60°=120°，
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB=30°，
如图1，
将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，
则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，
∴∠ABC+∠EBC=（180°﹣CAB+∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）=180°，
∴A、B、E三点共线，
过C作CM⊥AE于M，
∵AC=CE，
∴AM=EM=×（5+3）=4，
在Rt△AMC中，AC===；
解法二、过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
则∠E=∠CFD=∠CFA=90°，
∵点C为弧BD的中点，
∴=，
∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠D=∠CBE，
在△CBE和△CDF中
∴△CBE≌△CDF，
∴BE=DF，
在△AEC和△AFC中
∴△AEC≌△AFC，
∴AE=AF，
设BE=DF=x，
∵AB=3，AD=5，
∴AE=AF=x+3，
∴5=x+3+x，
解得：x=1，
即AE=4，
∴AC==，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．
　
9．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是　①②　．（请写出正确结论的序号）．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定．
【专题】压轴题．
【分析】由三角形ABE与三角形BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EBF与三角形DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF=AD，AE=DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB=AC，∠BAC=120°，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．
【解答】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，
∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，
在△ABC和△EBF中，
，
∴△ABC≌△EBF（SAS），
∴EF=AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD=AD=AC，
∴EF=AD=DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴DF=AB=AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；
∴∠FEA=∠ADF，
∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，
在△FEB和△CDF中，
．
∴△FEB≌△CDF（SAS），选项①正确；
若AB=AC，∠BAC=120°，则有AE=AD，∠EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，
故答案为：①②．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
　
三、解答题（共21小题）
10．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，∠B=∠DEF，BE=CF．求证：AC=DF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据BE=CF，求出BC=EF，根据AAS推出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质推出即可．
【解答】证明：∵BE=CF（已知），
∴BE+EC=EC+CF，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC=DF（全等三角形对应边相等）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ABC≌△DEF，注意：全等三角形的对应边相等．
　
11．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．
（1）求证：DE=AB．
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；矩形的性质；弧长的计算．
【分析】（1）由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，得出∠EAD=∠AFB，由AAS证明△ADE≌△FAB，得出对应边相等即可；
（2）连接DF，先证明△DCF≌△ABF，得出DF=AF，再证明△ADF是等边三角形，得出∠DAE=60°，∠ADE=30°，由AE=BF=1，根据三角函数得出DE，由弧长公式即可求出的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，
∴∠EAD=∠AFB，
∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°，
在△ADE和△FAB中，，
∴△ADE≌△FAB（AAS），
∴DE=AB；
（2）解：连接DF，如图所示：
在△DCF和△ABF中，，
∴△DCF≌△ABF（SAS），
∴DF=AF，
∵AF=AD，
∴DF=AF=AD，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∵△ADE≌△FAB，
∴AE=BF=1，
∴DE=AE=，
∴的长==．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数以及弧长公式；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
　
12．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】先证出∠ABC=∠ABD，再由ASA证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵∠3=∠4，
∴∠ABC=∠ABD，
在△ABC和△ABD中，，
∴△ABC≌△ABD（ASA），
∴AC=AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
　
13．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】先证出∠ACB=∠DCE，再由SAS证明△ABC≌△DEC，得出对应角相等即可．
【解答】证明：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴∠A=∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
　
14．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD．
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD；
（2）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30°，即可证得△ABE是等腰三角形，解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AB=CD；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD，BE=CF，
∵AB=CF，∠B=30°，
∴AB=BE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠D=．
【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据AAS证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
　
15．已知：如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE=DE．求证：
（1）∠AEC=∠BED；
（2）AC=BD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据CE=DE得出∠ECD=∠EDC，再利用平行线的性质进行证明即可；
（2）根据SAS证明△AEC与△BED全等，再利用全等三角形的性质证明即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC，
∵CE=DE，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠AEC=∠BED；
（2）∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（SAS），
∴AC=BD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质，关键是根据SAS证明全等．
　
16．如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE=DF，AD=2，BC=6，求四边形AEDF的周长．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
【分析】先由SSS证明△ADE≌△ADF，得出∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，再由等腰三角形的三线合一性质得出BD=CD=BC=3，AD⊥BC，根据勾股定理求出AB，由直角三角形斜边上的中线性质得出DE=AB，DF=AC，证出AE=AF=DE=DF，即可求出结果．
【解答】解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，
∴AE=BE=AB，AF=CF=AC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在△ADE和△ADF中，，
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠DAE=∠DAF，
即AD平分∠BAC，
∴BD=CD=BC=3，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AB===，
∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，E，F分别是边AB，AC的中点，
∴DE=AB，DF=AC，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF的周长=4AE=2AB=2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
　
17．已知，如图，在矩形ABCD中，点E，F在边AD上，且AE=DF，求证：BF=CE．
【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】证明题．
【分析】由矩形的性质得出∠A=∠D=90°，AB=DC，再证出AF=DE，由SAS证明△ABF≌△DCE，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
∵AE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴BF=CE．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
　
18．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．
（1）求证：AG=CE；
（2）求证：AG⊥CE．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）由正方形的性质得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，由SAS证明△ABG≌△CBE，得出对应边相等即可；
（2）由△ABG≌△CBE，得出对应角相等∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，
∴∠ABG=∠CBE，
在△ABG和△CBE中，，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG=CE；
（2）证明：如图所示：∵△ABG≌△CBE，
∴∠BAG=∠BCE，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAG+∠AMB=90°，
∵∠AMB=∠CMN，
∴∠BCE+∠CMN=90°，
∴∠CNM=90°，
∴AG⊥CE．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线的证法；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
　
19．如图，在 ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．
（1）求证：AE=AF；
（2）求∠EAF的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根据SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，
∵△BCE和△CDF都是正三角形，
∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，
∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，
在△ABE和△FDA中，，
∴△ABE≌△FDA（SAS），
∴AE=AF；
（2）解：∵△ABE≌△FDA，
∴∠AEB=∠FAD，
∵∠ABE=60°+60°=120°，
∴∠AEB+∠BAE=60°，
∴∠FAD+∠BAE=60°，
∴∠EAF=120°﹣60°=60°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
　
20．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．
（1）求证：∠ABC=∠EDC；
（2）求证：△ABC≌△EDC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，从而求出∠B=∠CDE；
（2）根据“边角边”证明即可．
【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，
∴∠B+∠ADC=180°，
又∵∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠CDE，
（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据四边形的内角和定理以及邻补角的定义，利用同角的补角相等求出夹角相等是证明三角形全等的关键，也是本题的难点．
　
21．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．
（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2，求AB，BD的长；
（2）如图1，求证：HF=EF；
（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
【专题】压轴题．
【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果；
（2）如图1，连接AF，证出△DAE≌△ADH，△DHF≌△AEF，即可得到结果；
（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM，在Rt△ADE中，AD=2AE，根据三角形的中位线的性质得到AD=2FM，于是得到FM=AE，由∠CAE=∠CAB=30°∠CMF=∠AMF﹣AMC=30°，证得△ACE≌△MCF，问题即可得证．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2×2=4，
∵AD⊥AB，∠CAB=60°，
∴∠DAC=30°，
∵AH=AC=，
∴AD==2，
∴BD==2；
（2）如图1，连接AF，
∵AE是∠BAC角平分线，
∴∠HAE=30°，
∴∠ADE=∠DAH=30°，
在△DAE与△ADH中，
，
∴△DAE≌△ADH，
∴DH=AE，
∵点F是BD的中点，
∴DF=AF，
∵∠EAF=∠EAB﹣∠FAB=30°﹣∠FAB
∠FDH=∠FDA﹣∠HDA=∠FDA﹣60°=（90°﹣∠FBA）﹣60°=30°﹣∠FBA，
∴∠EAF=∠FDH，
在△DHF与△AEF中，
，
∴△DHF≌△AEF，
∴HF=EF；
（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM，
∵F、M分别是BD、AB的中点，
∴FM∥AD，即FM⊥AB．
在Rt△ADE中，AD=2AE，
∵DF=BF，AM=BM，
∴AD=2FM，
∴FM=AE，
∵∠ABC=30°，
∴AC=CM=AB=AM，
∵∠CAE=∠CAB=30°∠CMF=∠AMF﹣∠AMC=30°，
在△ACE与△MCF中，
，
∴△ACE≌△MCF，
∴CE=CF，∠ACE=∠MCF，
∵∠ACM=60°，
∴∠ECF=60°，
∴△CEF是等边三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
　
22．如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥DE．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）由SAS容易证明△ABC≌△DEF；
（2）由△ABC≌△DEF，得出对应角相等∠B=∠DEF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，
∴∠ACB=∠DFE=90°，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
　
23．已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．
求证：AD=CE．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再证明△ADG是等边三角形，得出AD=GD，即可得出结论．
【解答】证明：作DG∥BC交AC于G，如图所示：
则∠DGF=∠ECF，
在△DFG和△EFC中，，
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴GD=CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，
∴∠A=∠ADG=∠AGD，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD=GD，
∴AD=CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
　
24．如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据平行线的性质得出∠EAC=∠ACB，再利用ASA证出△ABD≌△CAE，从而得出AD=CE．
【解答】证明：∵AE∥BD，
∴∠EAC=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE，
∴AD=CE．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、平行线的性质，关键是利用ASA证出△ABD≌△CAE．
　
25．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF=BE．过点F作FG⊥CD，交边AD于点G．求证：DG=DC．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】先根据平行四边形的性质得到∠B=∠D，AB=CD，再利用垂直的定义得∠AEB=∠GFD=90°，于是可根据“ASA”判定△AEB≌△GFD，根据全等的性质得AB=DC，所以有DG=DC．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，
∵AE⊥BC，FG⊥CD，
∴∠AEB=∠GFD=90°，
在△AEB和△GFD中，
，
∴△AEB≌△GFD，
∴AB=DG，
∴DG=DC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了平行四边形的性质．
　
26．如图，在 ABCD中，点E，F在AC上，且∠ABE=∠CDF，求证：BE=DF．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据平行四边形的性质，证明AB=CD，AB∥CD，进而证明∠BAC=∠DCF，根据ASA即可证明△ABE≌△CDF，根据全等三角形的对应边相等即可证明．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∴△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF．
【点评】本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明．
　
27．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD，请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】AC与BD垂直，理由为：利用SSS得到三角形ABD与三角形CBD全等，利用全等三角形对应角相等得到BD为角平分线，利用三线合一性质即可得证．
【解答】解：AC⊥BD，理由为：
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABO=∠CBO，
∵AB=CB，
∴BD⊥AC．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
　
28．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；
（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是 ，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AE=DF，从而可证 AEDF实菱形．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，
同理∠DAE=∠FDA，
∵AD=DA，
∴△ADE≌△DAF，
∴AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠DAF=∠FDA．
∴AF=DF．
∴平行四边形AEDF为菱形．
【点评】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．
　
29．如图，过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【分析】（1）当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON．首先根据OC是∠AOB的平分线，CD∥OB，判断出∠DOC=∠DC0，所以OD=CD=DM+CM；然后根据E是线段OC的中点，CD∥OB，推得CM=ON，即可判断出OD=DM+ON，据此解答即可．
（2）当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=ON﹣DM．由（1），可得OD=DC=CM﹣DM，再根据CM=ON，推得OD=ON﹣DM即可．
【解答】解：（1）当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON．
证明：如图1，，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOC=∠C0B，
又∵CD∥OB，
∴∠DCO=∠C0B，
∴∠DOC=∠DC0，
∴OD=CD=DM+CM，
∵E是线段OC的中点，
∴CE=OE，
∵CD∥OB，
∴，
∴CM=ON，
又∵OD=DM+CM，
∴OD=DM+ON．
（2）当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=ON﹣DM．
证明：如图2，，
由（1），可得
OD=DC=CM﹣DM，
又∵CM=ON，
∴OD=DC=CM﹣DM=ON﹣DM，
即OD=ON﹣DM．
【点评】（1）此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
（2）此题还考查了等腰三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
　
30．如图，点B，C是线段AD的三等分点，以BC为直径作⊙O，点P是圆上异于B，C的任意一点，连接PA，PB，PC，PD．
（1）当PB=PC时，求tan∠APB的值；
（2）当P是上异于B，C的任意一点时，求tan∠APB tan∠DPC的值．
【考点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．
【专题】压轴题．
【分析】（1）首先过点B作BE∥PC，与PA交于点E，根据AB=BC，可得，推得EB=PB；然后根据BC是⊙O的直径，求tan∠APB的值是多少即可．
（2）首先过点A作AE∥PC，与PB的延长线交于点E，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△ABE△CBP，即可判断出BE=BP，AE=CP；最后推得tan∠APB=，tan∠DPC=，据此求出tan∠APB tan∠DPC的值是多少即可．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BE∥PC，与PA交于点E，
，
∵AB=BC，
∴，
∴EB=，
∵PB=，
∴EB=PB，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC=90°，∠PBE=90°，
∴tan∠APB=．
（2）如图2，过点A作AE∥PC，与PB的延长线交于点E，
，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC=90°，∠AEP=90°，
在△ABE和△CBP中，
∴△ABE≌△CBP，
∴BE=BP，AE=CP，
∴tan∠APB=，
∴tan∠DPC=，
∴tan∠APB tan∠DPC=，
即tan∠APB tan∠DPC的值为．
【点评】（1）此题主要考查了全等三角形的判定，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（3）此题还考查了解直角三角形问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确解直角三角形时要用到的关系．