7.2勾股定理
1、在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为__________
2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．
3、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要
__________元．
4、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（
）．
A．小于1m
B．大于1m
C．等于1m
D．小于或等于1m
5、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（
）．
A．h≤17cm
B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm
D．7cm≤h≤16cm
6、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1.4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（取1.732，结果保留三个有效数字）
7.
小明想测量教学楼的高度．他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了2
ｍ，当他把绳子的下端拉开6
m后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高为（
）.
A.
8
m
B.
10
m
C.
12
m
D.
14
m
8.如果梯子的底端离建筑物9
ｍ，那么15
ｍ长的梯子可以到达建筑物的高度是（
）.
A.
10
m
B.
11
m
C.
12
m
D.
13
m
9.
直角三角形三边的长分别为3、4、ｘ，则ｘ可能取的值有（
）.
A.
1个
B.
2
个
C.
3个
D.
无数多个
10、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2，8
cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为_________
cm2．
11、如图，矩形零件上两孔中心A、B的距离是多少（精确到个位）？
参考答案
1、8π提示：在Rt△ABC中，AB2＝AC2－BC2＝172－152＝82，∴AB＝8．∴S半圆＝πR2＝π×（）2＝8π．
2、12或7＋
提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋＝7＋.
3、150a．
4、A提示：移动前后梯子的长度不变，即Rt△AOB和Rt△A′OB′的斜边相等．由勾股定理，得32＋B′O2＝22＋72，B′O＝，6＜B′O＜7，则O＜BB′＜1．
5、D提示：筷子在杯中的最大长度为＝17cm，最短长度为8cm，则筷子露在杯子外面的长度为24－17≤h≤24－8，即7cm≤h≤16cm.
6、解析：构造直角三角形，利用勾股定理建立方程可求得．过点D作DE⊥AB于点E，则ED＝BC＝30米，EB＝DC＝1.4米．设AE＝x米，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，则AD＝2x．由勾股定理得：AE2＋ED2＝AD2，即x2＋302＝（2x）2，解得x＝10≈17.32．∴AB＝AE＋EB≈17.32＋1.4≈18.7（米）．
答：树高AB约为18.7米．
7.A
解：设教学楼的高为x,根据题意得：，解方程得：x=8.
8.C
解：设建筑物的高度为x,根据题意得：，解方程得：x=12.
9.B
斜边可以为4或x,故两个答案。
10.15
根据勾股定理可知：以斜边为边长的正方形的面积是以直角边为边长的两个正方形的面积和。
11．43（提示：做矩形两边的垂线，构造Rt△ABC，利用勾股定理，AB2＝AC2＋BC2＝192＋392＝1882，AB≈43）；7.3.1根号2是有理数吗
1、设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：
a是无理数；
a可以用数轴上的一个点来表示；
3
a是18的算术平方根。其中，所有正确说法的序号是
A.
B.
C.
D.
2、实数π，，0，﹣1中，无理数是（ ）
A．π
B．
C．0
D．﹣1
3、实数（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数是（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
4、下列各数中，3.14159，，
0.131131113…，﹣π，，，无理数的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5、在下列实数中，无理数是（ ）
A．0
B．
C．
D．6
参考答案
1.
C
2.A
3.B
4.B
5.C7.1算术平方根
1、的算术平方根是
；的算术平方根___
__
2、一个数的算术平方根是9，则这个数的平方根是
3、若有意义，则x的取值范围是
，若a≥0，则
0
4、下列叙述错误的是（
）
A、-4是16的平方根
B、17是的算术平方根
C、的算术平方根是
D、0.4的算术平方根是0.02
5、若a是的平方根，b是的算术平方根，求+2b的值.
6、已知a为的整数部分，b-1是400的算术平方根，求的值.
7、若，则的平方根为（
）
A、16
B、
C、
D、
8、的算术平方根是（
）
A、4
B、
C、2
D、
9、如果一个数的算术平方根等于它的平方根，那么这个数是
10、若+=0，则=
11．一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（
）
A．
B．
C．
D．
12、（的整数部分是
；若a<，b=______。
13、如图，实数、在数轴上的位置，
化简
=__________。
参考答案
1、，3
2、
3、x≥-2，≥
4、D
5、由题意知：==
4
，b=2
所以+2b=
4+4=8
6、解：因为a为的整数部分且13<<14，所以a=13，又因为b-1是400的算术平方根，所以b-1=20
b=21
所以=
7、C
8、D
9、0
10、16
11、B
12、9；7，8
13、-2b7.7
用计算器求平方根和立方根
一、选择题
1．被开方的小数点向右移动两位查得的平方根的小数点相应地（
）
A．向左移两位
B．向右移两位
C．向左移一位
D．向右移一位
2．已知：，，则（
）
A．22.50
B．71.15
C．
D．
3．已知，，则的值等于（
）
A．485.8
B．15360
C．0.01536
D．0.04858
4．已知，则下列值为的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．由，下列各式的值可求得的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知，则x等于（
）
A．5.062
B．0.5062
C．0.005062
D．0.05062
7．若，则0.4567的平方根是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
1．，则
，
.
2．若，则
.
3．若，则
.
4．，则
.
5．若，则x=__.
6．若，则
，
.
7．比较大小：
.
8．则x=__.
三、解答题
1．求下列各数的近似值（保留四个有效数字）：
2．求下列各数的平方根（保留三个有效数字）：
42，53.4，7629.3，0.00256，
3．求出下列各组数的算术平方根，保留四个有效数字，并研究一下这些数的算术平方根有什么规律，你自己再按这个规律列出一些数，求出它们的算术平方根，看一看是否符合你找出的规律：（1）46000，460，4.6，0.046，0.00046．（2）460000，4600，46，0.46，0.0046．
4．求下列各数的近似值（保留四个有效数字）：
5．求下列各数的立方根，保留四个有效数字，并研究一下这些数的立方根有什么规律，你自己再按这个规律列出一些数，求出它们的立方根，看一看是否符合你找出的规律：（1）36000，36，0.036；（2）360000，360，0.36；（3）3600，3.6，0.0036．
6．求下列各数的算术平方根（保留四个有效数字）：438000，25.964，0.000512，3.28×104，7.85×106，2.22×10－4．
7．求下列各数的立方根（保留四个有效数字）：927000，－42.369，0.000193，2.81×105，－1.32×106，3.56×10－5．
8．一个面积为60cm2的正方形纸片的边长是多少？用四张这样的纸片拼成一个正方形，拼成的正方形的边长是多少？用一百张这样的纸片拼成一个大正方形，这个大正方形的边长是多少？（精确到0.1cm）
9．如图，一个小正方体的体积为100cm3，这个正方体的棱长是多少cm，要拼成一个如图那样的大正方体，需要多少块体积为100cm3的小正方体？拼成的大正方体的棱长是多少cm？（精确到0.1cm）
10．用六块面积为80cm2的正方形组成一个立方体的六个面，这个立方体的体积是多少立方厘米？
11．在一个长5.80m，宽2.90m，高3.3m的集装箱里，装进体积为0.064m3的正方体的纸箱，最多可装入多少只这样的纸箱？
参考答案
一、选择题
1．
C
2．C
3．D
4．C
5．B
6．
D
7．D
二、填空题
1．17.10，0.1710
2．-0.3684
3．79.37
4．
27.09
5．23600
6．0.3107
0.1442
7．
<
8．-300000
三、解答题
1．9.274，5.089，3.754，190.3，－2.490，8.5772．±6.48，±7.31，±87.3，±0.0515，±2.38，±4.18，±11.32·1·c·n·j·y
3．（1）214.5，21.45，2.145，0.2145，0.02145
（2）678.2，67.82，6.782，0.6782，0.06782
被开方数的小数点向左或向右移动两位，平方根的小数点向左或向右移动一位．
4．4.102，7.446，1.785，2.773，1.876，6.506，
5．（1）33.02，3.302，0.3302；
（2）71.14，7.114，0.7114；（3）15.33，1.533，0.1533．
被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点向左或向右移动一位．
6．66.18，5.095，0.02263，181.1，2802，0.01490
7．97.50，－3.486，0.05779，65.50，－109.7，0.03290
8．7.7cm，15.5cm，77.5cm
9．4.6cm，27块，13.9cm．
10．正方形边长为8.94cm，立方体的体积为714.5cm3．
11．784只．7.6立方根
1.下列说法不正确的是（
）
A.-1的立方根是-1
B.-1的平方是1
C.-1的平方根是-1
D.1的平方根是±1
2.下列说法中正确的是（
）
A.-4没有立方根
B.1的立方根是±1
C.的立方根是
D.-5的立方根是
3.在下列各式中：=,=0.1,=0.1,-=-27,其中正确的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
4.若m<0，则m的立方根是（
）
A.
B.－
C.±
D.
5.如果是x－6的三次算术根，那么x的值为（
）
A.0
B.
3
C.5
D.6
6.已知x是5的算术平方根，则x2-13的立方根是（
）
A.-13
B.--13
C.2
D.-2
7.在无理数，，，中，其中在与之间的有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.一个正方体的体积为28360立方厘米，正方体的棱长估计为（
）
A.22厘米
B.27厘米
C.30.5厘米
D.40厘米
9．已知,，则的值等于(
)
A．485.8
B．15360
C．0.01536
D．0.04858
10.若+有意义，则的值是(
)
A.0
B.
C.
D.
11．-的立方根是
，125的立方根是
。
12．的立方根是
.
13．=_____.
14．-3是
的平方根，-3是
的立方根.
15．若，则
16.将数，，，，1按从小到大的顺序排列为
。
17.若x<0，则=______,=______.
18.
若x=()3，则=____.
19.求下列各式中的x.
(1)125x3=8
(2)(-2+x)3=-216
20.已知第一个正方体纸盒的棱长为6
cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127
cm3,求第二个纸盒的棱长.
参考答案
一、
1.C
【思路分析】负数没有平方根,所以本题答案是C.
2.D
【思路分析】任何数都有立方根,且一个数的立方根只有一个,据此可以排除A,B两个选项;由于的算术平方根是,故C选项也是错误的.
3.C
【思路分析】由于=,=0.1,
-=-27,故本题答案是C.
4.A
【思路分析】负数的立方根是负数,任意一个数a的立方根都表示成,故本题答案是A.
5.
D【思路分析】立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。0的立方根是0。本题中6-x的立方根是它的相反数，只有0这种情况。所以6-x=0，所以x=6。
6.D【思路分析】由题意知x2=5,故x2-13=-8,-8的立方根是-2.
7.D【思路分析】借助计算器计算知，，，四个数都在与之间.
8.C【思路分析】正方体体积的立方根就是正方体的棱长.
9.
D【思路分析】开平方时,被开方数的小数点移动两位,结果的小数点向相同的方向移动一位,故本题答案是D.
10.
B【思路分析】由题意可得=0和=0,得x=,故=.
11.
-,5【思路分析】本题直接根据立方根的概念求解.
12.2
【思路分析】意为8的立方根,即2.
13.【思路分析】=.
14.9,-27【思路分析】逆用平方根,立方根的概念求解.
15.0.05
【思路分析】开立方时,被开方数的小数点移动三位,则结果的小数点向相同的方向移动一位.
16.
<<1<<【思路分析】当x>0时,被开方数越大,立方根越大.
17.
–x,x【思路分析】的算术平方根有两个,分别是x,-x,其中正的平方根是它的算术平方根,故其算术平方根是-x;
根据立方根的概念可以判断=x.
18.2
【思路分析】x=()3=-5,所以.
19.(1)
125x3=8
,,即x=;
(2)-2+x=-6,所以x=-4.
【思路分析】先把方程变成的形式,然后求a的立方根即可.
20.设第二个纸盒的棱长为x,则可得,可得=7。
【思路分析】根据两正方体体积之间的关系把问题转化成方程的问题来求解.7.4勾股定理的逆定理
1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（
）
A.9，12，15
B.
C.0.2，0.3，0.4
D.40，41，9
2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（
）
A.三个内角比为1∶2∶1
B.三边之比为1∶2∶
C.三边之比为∶2∶
D.
三个内角比为1∶2∶3
3.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（
）
A.
B.
C.
D.以上都不对
4.
五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（
）
5.
△ABC的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是
.
6.三边为9、12、15的三角形，其面积为
.
7.已知三角形ABC的三边长为满足，，则此三角形为
三角形.
8.在三角形ABC中，AB=12，AC=5，BC=13，则BC边上的高为AD=
.
9.
如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，
求四边形ABCD的面积.
10.
如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
11.
如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.
12.
观察下列勾股数：
第一组：3=2×1＋1，
4=2×1×（1+1），
5=2×1×（1+1）+1；
第二组：5=2×2＋1，
12=2×2×（2+1），
13=2×2×（2+1）+1；
第三组：7=2×3＋1，
24=2×3×（3+1），
25=2×3×（3+1）+1；
第三组：9=2×4＋1，
40=2×4×（4+1），
41=2×4×（4+1）+1；
……
观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组的各应是多少吗？第组呢？
参考答案
1.C；2.C；3.C，提示：当已经给出的两边分别为直角边时，第三边为斜边=当6为斜边时，第三边为直角边=；4.
C；
5.90°提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为
90°.
6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为
7.直角，提示：
；
8.，提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得；
9.解：连接AC，在Rt△ABC中，
AC2=AB2＋BC2=32＋42=25，
∴
AC=5.
在△ACD中，∵
AC2＋CD2=25＋122=169，
而
AB2=132=169，
∴
AC2＋CD2=AB2，∴
∠ACD=90°．
故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=AB·BC＋AC·CD=×3×4＋×5×12=6＋30=36.
10.
解：由勾股定理得AE2=25，EF2=5，
AF2=20，∵AE2=
EF2
+AF2，
∴△AEF是直角三角形
11.
设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，∴(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，∴10+x=12（米）
12.
解：第七组，
第组，
F
E
A
C
B
D
B
A
C
D
.7.5平方根
1．如果是负数，那么的平方根是（
）．
A．
B．
C．
D．
2．使得有意义的有（
）．
A．个
B．1个
C．无数个
D．以上都不对
3．下列说法中正确的是（
）．
A．若，则
B．是实数，且，则
C．有意义时，
D．0.1的平方根是
4．若一个数的平方根是，则这个数的立方根是（
）．
A．2
B．2
C．4
D．4
5．若，，则的所有可能值为（
）．
A．0
B．10
C．0或10
D．0或10
6．若，且，则、的大小关系是（
）．
A．
B．
C．
D．不能确定
7．设，则下列关于的取值范围正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
8．的立方根与的平方根之和是（
）．
A．0
B．6
C．－12或6
D．0或－6
9．若，满足，则等于（
）．
A．2
B．
C．2
D．
10．若一个数的一个平方根是8，则这个数的立方根是（
）．
A．2
B．4
C．2
D．4
11．下列各式中无论为任何数都没有意义的是（
）．
A．
B．
C．
D．
12．下列结论中，正确的是（
）．
A．的立方根是
B．的平方根是
C．的平方根是
D．一个数的立方根等于这个数的立方，那么这个数为1、0、1
13．的平方根是
，是
的平方根．
14．在下列各数中0，，，，，，，，有平方根的个数是
个．
15．自由落体公式：（是重力加速度，它的值约为），若物体降落的高度，用计算器算出降落的时间
（精确到）．
16．代数式的最大值为
，这是的关系是
．
17．若，则
，若，则
．
18．若，则的值为
．
19．若，，其中、为整数，则
．
20．若的平方根是和，则=
．
参考答案
1．C
；2．B
；3．C
；4．C
；5．C；6．A
；
7．C
；8．D
；9．C
；
10．D；11．C
；12．D
13．±2，．
14．7个．15．．
16．，
的关系是互为相反数．
17．，．
18．的值为4．
19．
0．20．
=256．7.3.2根号2是有理数吗
1、估计的值在（ ）之间．
A.
1与2之间
B.
2与3之间
C.
3与4之间
D.
4与5之间
2、判断×之值会介于下列哪两个整数之间？（ ）
A．22、23
B．23、24
C．24、25
D．25、26
3.
的整数部分为a，小数部分为b，则b2为(
)
A．2
B．20
C．20－6
D．20+6
4、估计
的大小应在(
)
A.7～8之间
B.8.0～8.5之间
C.
8.5～9.0之间
D.
9.0～9.5之间
5、大于且小于的整数是 2 ．
6、比较大小，填＞或＜号：
11；
．
7、满足的整数是
．
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.C
5.
2
6.
＜；＞
7.
－1
0
1.7.8.2实数
1、估计
的大小应在(
)
A.7～8之间
B.8.0～8.5之间
C.
8.5～9.0之间
D.
9.0～9.5之间
2、的平方根等于（ ）
A.9
B.±9
C.3
D.±3
3、下列计算正确的是（
）
A．=±4
B．3－2=1
C．24÷=4
D．·=2
4、若m是9的平方根，n=（）2，则m、n的关系是（
）
A.m=n
B.m=－n
C.m=±n
D.｜m｜≠｜n｜
5、比较大小，填＞或＜号：
11；
．
6、满足的整数是
．
7．9的平方根是
的算术平方根是______
8．若=－2，则的值是
9、如果=3，那么（a+3）2的值为
10、计算：＝
11、
.
参考答案
1.C
2.
D
3.D
4.
C
5、＜；＞
6、－1
0
1.
7、±3；
8、－5
9、81
10、
11、4；727.8.1实数
1、有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的平方根。其中正确的有（
）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2、下列说法正确是（ ）
A.不存在最小的实数
B.有理数是有限小数
C.无限小数都是无理数
D.带根号的数都是无理数
3．下列实数:
，，,，，，，
0．020020002……中,无理数有(
)个．
A.2
B.3
C.4
D.5
4．下列各数中，互为相反数的是(
)
A.－2与；
B.－2与；
C.－2与；
D.与2．
5.
某位老师在讲“实数”时，画了一个图（如图），即“以数轴的单位线段为边做一个正方形，然后以O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴上于一点A”。则OA的长就是个单位长度，想一想：作这样的图可以说明什么？
A.数轴上的点和有理数一一对应
B.数轴上的点和无理数一一对应
C.数轴上的点和实数一一对应
D.不能说明什么
6．绝对值小于5的所有实数的积为
(
)
A.24
B.576
C.0
D.
10
7、的相反数是
；绝对值是
。
8、下列各数：、、、－、、0.01020304…中是无理数的有_____________.
9、一个正数x的平方根是2a3与5a，则a的值为____________．
10、绝对值小于的整数有_________．
11、－的倒数是________，绝对值是________
参考答案
1.B
2.A
3.
B
4.A
5.C
6.C
7、2－；
8、、、0.01020304…
9、－2
10、－2、－1、0、1、2
11、－7.8.3实数
1、下列各式中，正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
2、下列计算中，正确的是（
）
A.2+3=5
B.（+）·=·=10
C.（3+2）（3－2）=－3
D.（）()=2a+b
3、已知，，则a的值为（ ）
A.0.528
B.0.0528
C.0.00528
D.0.000528
4．实数a、b、c在数轴上的位置如图，则化简
的结果是(
)
A.a－b－c
B.a－b+c
C.－a+b+c
D.－a+b－c
5、若实数x满足｜x｜+x=0，则x是（
）。
A.
零或负数
B.
非负数
C.
非零实数
D.负数
6、利用计算器计算≈
；≈
（结果保留4个有效数字）。
7、若,则x=________，y=________.
8、若三角形的三边a、b、c满足a2－4a+4+=0,则笫三边c的取值范围是_____________
9、计算:
=_____,=_____,=____;……．
通过以上计算,试用含n(n为正整数)的式子表示上面运算揭示的规律:__________________
参考答案
1.D
2.C
3.
C
4.C
5.A
6、1.773；4.344
7、－1，3.
8、19、1,1,1,