江苏省盐城市2016-2017学年高二下学期期末考试数学+Word版含答案

2016/2017学年度第二学期高二年级期终考试
数
学
试
题
注意事项：
　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．
　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
　　3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．设（为虚数单位），则
▲
．
2．已知命题：“，使得
”，则命题的真假为
▲
．
3．设，则“”是“”的
▲
条件．（选填：
充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）
4．如图为某天通过204国道某测速点的汽车时速频率分布直方图，则通过该测速点的300辆汽车中时速在的汽车大约有
▲
辆．
5．某程序框图如图所示，则输出的结果为
▲
．
6．在区间上随机取一个实数，则满足的概率为
▲
．
7．已知双曲线的渐近线方程是，则其准线方程为
▲
．
8．若函数在区间上有极值，则的取值范围是
▲
．
9．（理科学生做）从5男3女共8名学生中选出4人组成志愿者服务队，则服务队中至少有1名女生的不同选法共有
▲
种．（用数字作答）
（文科学生做）已知函数，则不等式的解集是
▲
．
10．（理科学生做）的展开式中的常数项是
▲
．
（文科学生做）将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是
▲
．
11．已知圆的内接四边形的面积的最大值为，类比可得椭圆的内接四边形的面积的最大值为
▲
．
12．已知集合和集合，若，则实数的最大值为
▲
．
13．已知点是椭圆的左焦点，若椭圆上存在两点、满足，则椭圆的离心率的取值范围是
▲
．
14．已知，，，，则的取值范围是
▲
．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
（理科学生做）现有一只不透明的袋子里面装有6个小球，其中3个为红球，3个为黑球，这些小球除颜色外无任何差异，现从袋中一次性地随机摸出2个小球．
（1）求这两个小球都是红球的概率；
（2）记摸出的小球中红球的个数为X，求随机变量X的概率分布及其均值E(X
)．
（文科学生做）已知关于的不等式，其中．
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数的取值范围．
16．（本小题满分14分）
（理科学生做）观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并用数学归纳法证明．
，
，
．
（文科学生做）已知函数，，函数的定义域为实数集R，
函数．
（1）若函数是奇函数，判断并证明函数的奇偶性；
（2）若函数是单调增函数，用反证法证明函数的图象与轴至多有一个交点．
17．（本小题满分14分）
（理科学生做）如图，在三棱锥中，底面，，，．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求二面角的余弦值．
（文科学生做）已知函数．
（1）求在区间上的值域；
（2）若，，求的值．
18．（本小题满分16分）
如图所示，矩形ABCD为本市沿海的一块滩涂湿地，其中阴影区域有丹顶鹤活动，曲线AC是以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分，其中AB=1
km，BC=2
km，现准备开发一个面积为0.6
km2的湿地公园，要求不能破坏丹顶鹤活动区域．问：能否在AB边上取点E、在BC边上取点F，使得△BEF区域满足该项目的用地要求？若能，请给出点E、F的选址方案；若不能，请说明理由．
19．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系内，椭圆E：，离心率为，右焦点F到右准线的距离为2，直线l过右焦点F且与椭圆E交于A、B两点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l与x轴垂直，C为椭圆E上的动点，求CA2+CB2的取值范围；
（3）若动直线l与x轴不重合，在x轴上是否存在定点P，使得PF始终平分∠APB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分16分）
已知函数和函数（、为实数，为自然对数的底数，）．
（1）求函数的单调区间；
（2）当，时，判断方程的实数根的个数并证明；
（3）已知，不等式对任意实数恒成立，求的最大值．
2016/2017学年度第二学期高二年级期终考试
数学试题参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1.
1
2.
假
3.
充分不必要
4.
150
5.
1
6.
7.
8.
9.
（理）65
（文）
10.
（理）12
（文）
11.
12.
13.
14.
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．（理科）解：⑴记“取得两个小球都为红球”为事件A，
则
……………………………………………………………………4分
⑵随机变量X的可能取值为：0、1、2
，
……………………………………………………………6分
表示取得两个球都为黑球，，
表示取得一个红球一个黑球，，
表示取得两个球都为红球，，
随机变量X的概率分布如下：
X
0
1
2
P
…………………………12分
=1
………………………………………………………………14分
（注：三个概率每个2分）
（文科）解：⑴由题意知方程的解为，且，
………………2分
所以，解得
.
……………………………4分
⑵问题可化为对任意实数恒成立，
①当时，恒成立；
……………………………………6分
②当时，，解得；
………………………………12分
综上①②得．
…………………………………………………14分
16．（理科）解：归纳猜想得：，．
……………4分
（注：如答成一样给分）
证明如下：①当时，左边，右边，猜想成立；
……………………………6分
②假设（）时猜想成立，即成立，
当时，右边
=左边
所以时猜想也成立.
…………………………………………………………………………12分
由①②可得，，成立.
………………………14分
（文科）解：⑴由题意知的定义域为，
……………………………………………2分
又是奇函数
，所以，
……………………………………………4分
∴
∴为奇函数.
……………………………………7分
⑵假设函数的图象与轴有两个交点，不妨设其横坐标为，且，
则，
………………………………………8分
又，所以为单调增函数，
………………………………10分
所以，
又因为为单调增函数，所以，
所以，即，
这与矛盾，
………………………………………………………12分
所以假设不成立，所以函数的图象与轴至多有一个交点.
………………………14分
17．（理科）解：⑴如图，以为原点,在平面ABC内作垂直于AC的射线为x轴，以射线AC为y轴，
射线AP为z轴建立如图所示空间直角坐标系，
……………………………………………………………2分
则P(0,0,4)，B(,1,0)，，故，
由x轴⊥平面PAC得平面PAC的一个法向量为，
……………………………………………5分
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.……………8分
⑵，，
设为平面的一个法向量，
则，
，
取得，，即为平面的一个法向量，………………………………11分
平面PAC的一个法向量为，
设二面角的平面角为，则为锐角，则，
即二面角的余弦值为．……………………………………………………………………14分
（文科）解：⑴
…………………………………………………………4分
，，，
在区间上的值域为.…………………………………………………………………7分
⑵，，
…………………………………………9分
，
又，，，
……………………11分
.
………………………………………………………………14分
18．解：（法一）△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6
km2，……2分
以为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，
设曲线AC所在的抛物线的方程为，代入点得，
得曲线AC的方程为，……………………………………………………………………4分
欲使得△BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切，设切点为，，
由得，故点处切线的斜率为，切线的方程为，
即，
………………………………………………………6分
当时显然不合题意，故，
令得，令得，
则，
设，，…………………………………9分
（注：学生写成不扣分）
则，
令得，令得，
故在上递增，在上递减，故，…………………………………14分
而，故该方案所得△BEF区域不能满足该项目的用地要求．
…………………………………16分
(法二）转化为当时，直线EF的方程与抛物线弧AC的方程联列所得方程组至多有一个解.
(法三)
转化为当时，抛物线弧AC上所有的点都在直线EF上方的区域，进一步转化为不等式恒成立问题.
19．解：⑴由题意得：，得，，
……………………………2分
∵，∴，∴椭圆的标准方程为：.
……………………………4分
⑵当直线AB与轴垂直时，，设点，
则
，
又点C在椭圆上，∴
，消去得，，
∴
得取值范围为.
……………………………………………8分
⑶假设在轴上存在点P满足题意，不妨设，设，
设直线AB的方程为：，联列，消去得，
则，，
………………………………………………………………12分
由PF平分∠APB知：，
…………………………………………13分
又，
又，，得，
即，得，
所以存在点P（4,0）满足题意．
………………………………………………………………16分
20．解：⑴，
①当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；……………2分
②当时，由得，由得，
故的单调递减区间为，单调递增区间为.………………………………………4分
⑵当，时，方程即为，
由(1)知在上递减，而，故在上有且仅有1个零点，………6分
由⑴知在上递增，而，，且的图像在上是连续不间断的，故在上有且仅有1个零点，所以在上也有且仅有1个零点，
综上，方程有且仅有两个实数根.
………………………………………………………………8分
⑶设，
①当时，恒成立，则恒成立，
而，与恒成立矛盾，故不合题意；…………………………………10分
②当时，恒成立，则恒成立，
1°当时，由恒成立可得，；
……………………………11分
2°当时，，而，故，
故，与恒成立矛盾，故不合题意；………………………………………13分
3°当时，由（1）可知，而恒成立，
故，得，故，
记，，
则，由得，由得，
故在上单调递增，在上单调递减，
，，当且仅当，时取等号；
综上①②两种情况得的最大值为．……………………………………………………………………16分
（第4题图）
开始
结束
S←1
n←7
S>150
S←S+n
n←n-2
否
是
输出n
（第5题图）
A
B
C
P
（第17题图 理）
A
B
C
D
E
F
（第18题图）
F
A
B
O
x
y
（第19题图）
A
B
C
P
（第17题图）
x
y
z
A
B
C
D
E
F
（第18题图）
x
y
P