江苏省如皋市2016-2017学年高二下学期期末教学质量调研数学（理）试题（图片版，含答案）

2016～2017学年度高二年级第二学期期末教学质量调研
理科数学试题参考答案及评分标准
Ⅰ卷
一、填空题
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
二、解答题
15．（本题共14分，其中卷面分1分）
解：（1）由题意得，得.……………………………6分
（2）命题为真命题时实数满足，得，
……………………………9分
若为假命题，为假命题时，则实数满足
，得。
……………………………13分
16．（本题共14分，其中卷面分1分）
解：（1）集合
……………………………2分
方法一：（1）当时，，不符合题意。……………………………3分
（2）当时，.
①当，即时，
又因为
所以，即，所以………………5分
②当，即时，
又因为
所以，即，所以
综上所述：实数的取值范围为：或…………7分
方法二：因为，所以对于，
恒成立.
令则
得
所以实数的取值范围为：或
…………7分
（2）方法一：（1）当时，，符合题意。
…………9分
（2）当时，.
①当，即时，
又因为
所以
或者
，
即
或者，
所以
…………11分
②当，即时，
又因为
所以
或者
，
即
或者，
所以
综上所述：实数的取值范围为：
…………13分
方法（二）令
由得
①
即
所以
…………10分
②
即
所以
综上所述：实数的取值范围为：
…………13分
17.
（本题共14分，其中卷面分1分）
（1）解：
时，
则
令得列表
+
-
+
单调递增
单调递减
单调递增
21
由上表知函数的值域为
…………6分
（2）方法一：
①当时，，函数在区间单调递增
所以
即（舍）
…………8分
②当时，，函数在区间单调递减
所以
符合题意
…………10分
③当时,
当时，区间在单调递减
当时，区间在单调递增
所以
化简得：
即
所以或（舍）
注：也可令
则
对
在单调递减
所以不符合题意
综上所述：实数取值范围为
…………13分
方法二：
①当时，，函数在区间单调递减
所以
符合题意
…………8分
②当时，，函数在区间单调递增
所以
不符合题意
…………10分
③当时,
当时，区间在单调递减
当时，区间在单调递增
所以
不符合题意
综上所述：实数取值范围为
…………13分
18.
（本题共16分，其中卷面分1分）
解：（1）在中，，得，
所以
由,
在中，，得，
所以
所以绿化草坪面积
…………4分
又因为
当且当，即。此时
…………6分
所以绿化草坪面积的最大值为平方百米.
…………7分
（2）方法一：在中，，得，
由,
在中，，得，
所以总美化费用为
…………10分
令得列表如下
-
0
-
单调递减
单调递增
所以当时，即时总美化费用最低为4万元。
…………15分
方法二：在中，，得，
由,
在中，，得，
所以总美化费用为
…………10分
令得
所以，
所以在上是单调递减
所以当，时，即时总美化费用最低为4万元。
…………15分
19.
（本题共16分，其中卷面分1分）
（1）解：因为在定义域上是奇函数，
所以
即恒成立，
所以，此时
…………3分
（2）
因为
所以
又因为在定义域上是奇函数，
所以
又因为恒成立
所以在定义域上是单调增函数
所以存在，使不等式成立
等价于存在，成立
…………7分
所以存在，使，即
又因为，当且仅当时取等号
所以，即
…………9分
注：也可令
①对称轴时，即
在是单调增函数的。
由不符合题意
②对称轴时，即
此时只需得或者
所以
综上所述：实数的取值范围为.
(3)函数
令
则在不存在最值等价于
函数在上不存在最值
…………11分
由函数的对称轴为得：成立
令
由
所以在上是单调增函数
又因为
，所以实数的取值范围为：
…………15分
20.
（本题共16分，其中卷面分1分）
（1）当则
又则切线的斜率，
所以函数在处的切线方程为．
…………3分
（2），，则，
令，
①若，则，故，函数在上单调递增，所以函数在上无极值点，故不符题意，舍去；
…………4分
②若，，该二次函数开口向下，对称轴，，
所以在上有且仅有一根，故，
且当时，，，函数在上单调递增；
当时，，，函数在上单调递减；
所以时，函数在定义域上有且仅有一个极值点，符合题意；
…………6分
③若，，该二次函数开口向上，对称轴．
（ⅰ）若，即，，故，函数在上单调递增，所以函数在上无极值点，故不符题意，舍去；
…………7分
（ⅱ）若，即，又，所以方程在上有两根，，故，且
当时，，，函数在上单调递增；
当时，，，函数在上单调递减；
当时，，，函数在上单调递增；
所以函数在上有两个不同的极值点，故不符题意，舍去，
综上所述，实数的取值范围是．
…………9分
（3）由（2）可知，
①当时，函数在上单调递增，所以当时，
，符合题意，
…………10分
②当时，，
（ⅰ）若，即，函数在上单调递减，故，不符题意，舍去，
（ⅱ）若，即，故函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，（事实上，令，，则，函数在上单调递减，所以，即对任意恒成立．）
所以存在，使得，故不符题意，舍去；
…………14分
③当时，，函数在上单调递增，所以当时，，符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
…………15分
Ⅱ卷
21．（本题满分10分）
　　　由
得
所以
…………10分
22．（本题满分10分）
　　　　方法一：由得，所以.
方法二：极坐标的极点为坐标原点，以极轴为建立直角坐标系。
由曲线：即得
即
由直线
得
圆心到直线的距离
所以
解得（负舍）
…………10分
23.
（本题满分10分）
（1）令，则，
所以，故函数的解析式为．
…………3分
（2）当时，，，此时
；
当时，，，此时
；
当时，，，此时
；
当时，，，此时
；
猜想：当，，都有．
…………5分
要证明：当，，都有，
即要证：当，，，
即要证：当，，．
证明：①当时，，，显然，成立；
②假设当时，成立，
那么，当时，，又当时，
，
故，
所以时，结论成立，
由①②，根据数学归纳法可知，当，，都有．
…………10分
24．（本题满分10分）
解：（1），，，
①当时，，在上单调递增；
②当时，令，得，
x
0
↘
极小值
↗
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
…………4分
（2）由（1）可知，若，函数在上单调递增，在上无最小值，与题意矛盾，舍去；
所以，在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为．
因为不等式对任意都成立，
所以，其中，
故，，
令，，，
令，解得，
m
0
↗
极大值
↘
所以，故，
即的最大值为．
…………10分