北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末考试高二数学（理科）试卷含答案

北京市西城区2016—
2017学年度第二学期期末试卷
高二数学（理科）
2017.7
试卷满分：150分
考试时间：120分钟
题号
一
二
三
本卷总分
15
16
17
18
19
20
分数
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.
复数（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
2.
已知函数，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
3.
甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为.
现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
4.
已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（　　）（A）（B）（C）（D）
5.
直线与抛物线所围成的封闭图形的面积是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
6.
用四个数字组成无重复数字的四位数，其中比大的偶数共有（
）
（A）个
（B）个
（C）个
（D）个
7.
函数在区间上的最大、最小值分别为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
8.
5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（　　）（A）总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多（B）总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多（C）总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个（D）总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9.
曲线在处切线的斜率为______.
10.
展开式中的常数项是_______.（用数字作答）
11.
离散型随机变量的分布列为:
且，则_________；
_________.
12.
某班举行的联欢会由个节目组成，节目演出顺序要求如下:
节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种．
13.
若函数在区间上恰有一个极值点，则的取值范围是_____．
14.
已知，对于任意，均成立.
①若，则的最大值为__________；
②在所有符合题意的中，的最小值为_________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
在数列中，，，其中.
(Ⅰ)
计算，，，的值；
(Ⅱ)
根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
16．（本小题满分13分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.
(Ⅰ)求甲投球次，至少命中次的概率；
(Ⅱ)若甲、乙两人各投球次，求两人共命中次的概率.
17．（本小题满分13分）
已知函数.
(Ⅰ)
若，求的极值点和极值；
(Ⅱ)
求在上的最大值.
18．（本小题满分13分）
一个袋中装有黑球，白球和红球共()个,这些球除颜色外完全相同.
已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是.
现从袋中任意摸出个球.
(Ⅰ)
用含的代数式表示摸出的球都是黑球的概率，并写出概率最小时的值.（直接写出的值）
(Ⅱ)
若，且摸出的个球中至少有个白球的概率是，设表示摸出的个球中红球的个数，求随机变量的分布列和数学期望.
19．（本小题满分14分）
已知函数和.
(Ⅰ)
若，求证：的图象在图象的上方；
(Ⅱ)
若和的图象有公共点，且在点处的切线相同，求的取值范围.
20．（本小题满分14分）
已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）证明：当时，方程在区间上只有一个解；
（Ⅲ）设，其中.若恒成立，求的取值范围.
北京市西城区2016
—
2017学年度第二学期期末试卷
高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.7
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.
A；
2.D；
3.
C
；
4.
B
；
5.
C；
6.
D；
7.
C；
8.
B
.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.
；
10.
；
11.
；
12.
；
13.
；
14.
；.
注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
15.（本小题满分13分）
解：
(Ⅰ)
根据已知，；；；.
……………
4分
(Ⅱ)猜想.
……………
6分
证明：①
当时，由已知；
由猜想，，猜想成立.
……………
8分
②假设当（）时猜想成立，即，
……………10分
则时，
.
所以，当时，猜想也成立.
……………12分
由①和②可知，对任意的都成立.
……………13分
16.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件，
则.
……………
2分
故甲投球次至少命中
次的概率为.
…………5分
(Ⅱ)
设“乙投球一次命中”为事件.
由题意得，
……………7分
解得或(舍去)，
所以.
……………8分
甲、乙两人各投球次共命中次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中两次.
……………9分
甲中两次，乙中一次的概率为.…11分
甲中一次，乙中两次的概率为.…12分
事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件概率为.
所以甲、乙两人各投次，共命中次的概率为.
……………13分
17.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)
当时，，.
……………2分
令，得或.
与在上的情况如下：
……………4分
所以，函数的极大值点为，极大值为；极小值点为，极小值为.
……………6分
(Ⅱ)
.
……………7分
①当时，（仅当时，），函数是增函数，
在上的最大值为.
……………8分
②当时，在区间上，函数是增函数.
在上的最大值为.
……………10分
③当时，与在区间上的情况如下：
……………11分
此时，，.
当，即时，在上的最大值为.
12分
当，即时，在上的最大值为.
………13分
综上，当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为.
18.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)
依题意有个黑球.
记“摸出的2球都是黑球”为事件，
则.
……………4分
最小时.
……………5分
(Ⅱ)
依题意有个黑球.
……………6分
设袋中白球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件，
则，整理得，
解得或（舍）.
……………8分
所以袋中红球的个数为(个).随机变量的取值为.
……………9分
；；.
的分布列为：
…………12分
数学期望.
……………13分
19.（本小题满分14分）
解：(Ⅰ)
当时，.
设，.
……………1分
则，
……………2分
所以，在区间上，是减函数；在区间上，是增函数.
……………4分
所以，的最小值为，又，所以恒成立.
即的图象在图象的上方.
……………5分
(Ⅱ)
设，其中.由已知，.
因为在点处的切线相同，
所以.
……………7分
消去得.
根据题意，方程有解.
……………8分
设，则在上有零点.
，
当时，，函数在上单调递增.
当时，，，有零点.
当时，，，有零点.
…11分
当时，令，解得.
与在区间上的情况如下：
令，得
.
此时.所以有零点.
……………13分
综上，所求的取值范围为.
……………14分
20.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知.
……………2分
所以，在区间上，函数在上单调递减，
在区间上，函数在区间上单调递增.
……………4分
（Ⅱ）设，.
……………5分
，由（Ⅰ）知，函数在区间上单调递增.
且，.
所以，在区间上只有一个零点，方程在区间上只有一个解.
……………8分
（Ⅲ）设，，定义域为，
，
……………9分
令，则，
由（Ⅱ）知，在区间上只有一个零点，是增函数，
不妨设的零点为，则，
……………11分
所以，与在区间上的情况如下：
所以，函数的最小值为，
，
由，得，
所以.
……………13分
依题意，即，解得，
所以，的取值范围为.
……………14分
OO
xO
yO
1O
2O