江苏省宿迁市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

宿迁市2016~2017学年度第二学期期末考试
高一数学试卷
（考试时间120分钟，试卷满分160分)
注意事项:
1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方．
2．答题时，请使用0.5毫米的黑色中性笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡面清洁，不折叠，不破损．考试结束后，请将答题卡交回．
参考公式：V柱=Sh，S为底面积，h为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．直线的倾斜角为
▲
．
2．在中，角所对的边分别为．已知，则的度数为
▲
．
3．在等比数列中，公比为，为其前项和．已知，则的值为
▲
．
4．已知正实数满足，则的最大值为
▲
．
5．已知点在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为
▲
．
6．已知一个正三棱柱的侧面积为18，且侧棱长为底面边长的2倍，则该正三棱柱的体积为
▲
．
7．在等差数列中，公差，且成等比数列，则的值为
▲
．
8．已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列四个命题中，所有正确命题的序号为
▲
．
①
若，，则；
②
若，，则；
③
若，，则；
④
若，，则．
9．在中，角所对的边分别为．已知，则的面积为
▲
．
10．若直线与平行，则与之间的距离为
▲
．
11．已知，，则的值为
▲
．
12．已知数列满足，，则数列的前项和
▲
．
13．关于的不等式的解集中恰含有3个整数，则实数的取值集合是
▲
．
14．在中，若，则的最小值为
▲
．
二、解答题:
本大题共6小题，
共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在中，角所对的边分别为．已知，,．
（1）求的值；
（2）求的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，为的中点．
（1）若，，求证：平面；
（2）若，平面平面，求证：．
17．（本小题满分14分）
某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，厚度忽略不计．轴截面如图所示，设．（注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．）
（1）用表示圆柱的高；
（2）实践表明，当球心和圆柱底面圆周上的点的距离达到最大时，景观的观赏效
果最佳，求此时的值．
18．（本小题满分16分）
在中，边，所在直线的方程分别为，，已知是边上一点．
（1）若为边上的高，求直线的方程；
（2）若为边的中线，求的面积．
19．（本小题满分16分）
已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若恒成立，求的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且，.
①求证:数列是等比数列；
②求满足的所有正整数的值．
宿迁市2016~2017学年度第二学期高一年级期末调研测试
数
学（参考答案及评分标准）
一、填空题：
1．；
2．；
3．2；
4．；
5．；
6．；
7．3；
8．②③；
9．；
10．；
11．；
12．；
13．；
14．．
二、解答题:
15．（1）法一：因为，，
所以，
所以，
……………………………………………3分
又因为，
所以．
…………………………7分
法二：在中，，
………………………………3分
又，即，
所以，所以．
………………………………………7分
（2）由（1）得，，
所以，
…………………………………9分
所以，
……………………………………………11分
所以．
……………………………………14分
16．证明：（1）因为，，为中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
……2分
故，
……………………4分
又平面，平面，
所以平面．
…………………7分
（2）因为，为中点，
所以，
…………………9分
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
……………………12分
又平面，
所以．
……………………14分
17．（1）作于点，则在直角三角形中，
因为，
所以，
………………3分
因为四边形是等边圆柱的轴截面，
所以四边形为正方形，
所以．
………………6分
（2）由余弦定理得：
，……8分
…………………………………10分
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，…12分
所以当时，的最大值为．
答：当时，观赏效果最佳．
……………………………………14分
18．（1）由解得，即，
………………………………2分
又，所以，
因为为边上的高，所以，
………………………………4分
为边上一点，所以，
所以直线的方程为．
……………………………6分
（2）法一：设点的坐标为，由为的中点，得点的坐标为，
又点与点分别在直线和上，
所以，解得，
所以点的坐标为，
…………………………8分
由（1）得，又，
所以直线的方程为，
…………………………10分
所以点到直线的距离，
………………12分
又，
…………………………14分
所以，
又为的中点
所以.
…………………………16分
法二：（上同法一）
点的坐标为，
…………………………8分
又为上一点，
所以直线的方程为．
…………………………10分
由（1）知，所以点到直线的距离
，
…………………………12分
又的坐标为，
所以，
…………………………14分
所以．
…………………………16分
法三：若直线的斜率不存在，即的方程为，
由解得，
即的坐标为，同理可得的坐标为，
而，
不是的中点，所以直线的斜率存在．
设直线的方程为
由解得，即的坐标为
同理可得的坐标为，为的中点
所以解得，
所以直线的方程为，即为．
（下同法二）
法四：求正弦值即，长用面积公式（略）．
19．（1）当时，得，
　　　　①当时，得，即，
因为，所以，
所以；
……………………………………………2分
　　　　②当时，得，即，
　　　　　所以，
　　　　　所以．
………………………………4分
综上：．
………………………………………6分
（2）法一：若恒成立，则恒成立，
　　　　所以恒成立，
………………………8分
　　　　令，则（），
所以恒成立，
①当时，；
…………………………………………10分
②当时，
恒成立，
因为（当且仅当时取等号），
所以，
所以；
……………………………………………12分
③当时，恒成立，
因为（当且仅当时取等号），
所以，
所以，
……………………………………………14分
综上：．
……………………………………………16分
法二：因为恒成立，所以，所以，
………………8分
①当时，恒成立，
对称轴，所以在上单调增，
所以只要，得，
………………………10分
所以；
………………………12分
②当时，恒成立，
对称轴，
所以的判别式，
解得或，
………………………14分
又，所以．
综合①②得：．
………………………16分
20．（1）法一：因为数列是正项等差数列，设首项为，公差为，
所以
…………………………………………2分
解得，所以．
…………………………………………4分
法二：因为数列是公差为正数的等差数列,设公差为，
又因为，
所以
，
……………2分
所以，解得或，
又因为，所以，
所以，所以.
…………………………………4分
（2）①证明：由（1）知，因为，
所以，即，
…………………………6分
因为，所以，所以，
所以数列是等比数列.
…………………………………………8分
②由（1）知，所以，
由（2）中①知，所以，
…………………………10分
要使，即，即，
设，求满足的所有正整数，即求的所有正整数，
令，即，
解得，，因为，所以或，
即，当时，数列是单调递减数列，………………14分
又因为，
所以当取时，，当时，，
所以满足的所有取值为.
…………………………………16分
A
B
C
MP
DP
P
（第16题）
O
B
C
D
A
(第17题)
α
A
B
C
MP
DP
P
（第16题）
α
O
B
C
D
A
(第17题)
M