二次函数全章导学案(无答案)
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二次函数
（数学）
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二次函数
1
第一节 二次函数的图象和性质
3
1.1 二次函数
3
1.2 二次函数的图象和性质
7
第二节 二次函数的图象和性质
11
2.1 二次函数的图象和性质
11
2.2 二次函数的图象和性质
14
2.3 二次函数的图象和性质
18
第三节 二次函数的图象和性质
22
3.1 二次函数的图象和性质
22
3.2 用待定系数法求二次函数的解析式
25
专题训练(三) 用待定系数法求二次函数解析式
29
第四节 二次函数与一元二次方程
32
4.1 二次函数与一元二次方程之间的关系
32
4.2 二次函数的图象与字母系数的关系
37
综合练习(一) 二次函数的图象和性质
41
第五节 实际问题与二次函数
45
5.1 二次函数与图形面积
45
5.2 二次函数与商品利润
48
5.3 拱桥问题与运动中的抛物线
51
专题训练(四) 实际问题与二次函数
55
专题训练(五) 二次函数与一次函数、几何类问题
58
第一节 二次函数的图象和性质
1.1 二次函数
设一个正方形的边长为，则该正方形的面积_______，其中变量是______，
____是_____的函数．
2．一般地，形如的函数，叫做二次函数，其中是自变量，分别为二次项系数、一次项系数、常数项．
知识点1：二次函数的定义
1．下列函数是二次函数的是(
)
. .
.
.
2．下列说法中，正确的是(
)
.二次函数中，自变量的取值范围是非零实数
.在圆的面积公式中，是的二次函数
.不是二次函数
.
在中，一次项系数为
3．若是二次函数，则的取值范围是_____．
4．已知二次函数，则二次项系数_____，一次项系数_____，常数项_____．
5．已知两个变量之间的关系式为.
(1)当__________________时，之间是二次函数关系；
(2)当
时，之间是一次函数关系．
6．已知两个变量之间的关系为，若之间是二次函数关系，求的值．
知识点2：实际问题中的二次函数的解析式
7．某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价．若每件商品售价为元，则可卖出件商品，那么商品所赚钱数元与售价元的函数关系式为(
)
.
.
.
.
8．某车的刹车距离与开始刹车时的速度之间满足二次函数，若该车某次的刹车距离为，则开始刹车时的速度为(
)
.
.
.
.
9．某厂今年一月份新产品的研发资金为元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年三月份新产品的研发资金关于的函数关系式为_______．
10．多边形的对角线条数与边数之间的关系式为
，自变量的取值范围是
；当时，多边形的边数
．
11．如图，有一个长为的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度为)围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为平方米．
(1)求与的函数关系式；
(2)如果要围成面积为的花圃，的长为多少？
12.已知二次函数，当时，_____；当_____时，函数值为.
13．边长为的正方形中间挖去一个边长为的小正方形，剩余的四方框的面积为，则与之间的函数关系式为
，它是
函数．
14．设，与成正比例，与成正比例，则与的函数关系是(
)
.正比例函数
.一次函数
.二次函数
.以上都不正确
15．某种正方形合金板材的成本与它的面积成正比，设边长为，当时，
，那么当成本为元时，边长为(
)
.
.
.
.
16.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为
，高为.设底面的宽为，抽屉的体积为时，求与之间的函数关系式．
17．某商店经营一种小商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是元时，平均每天销售量是件，而销售单价每降低元，平均每天就可以多售出件．假定每件商品降价元，商店每天销售这种小商品的利润是元，请写出与之间的函数关系式，并注明的取值范围．
18.一块矩形的草坪，长为，宽为，若将长和宽都增加，设增加的面积为
.
(1)求与的函数关系式；
(2)若使草坪的面积增加，求长和宽都增加多少？
19．如图，在中，，动点从点开始沿边向以的速度移动(不与点重合)，动点从点开始沿边向以的速度移动(不与点重合)．如果分别从同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为.
(1)求与之间函数关系式；
(2)求自变量的取值范围；
(3)四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
1.2 二次函数的图象和性质
1．由解析式画函数图象的步骤是________、________、________．
2．一次函数的图象是__一条直线___．
3．二次函数的图象是一条_______，其对称轴为____轴，顶点坐标为________．
4．抛物线与关于____轴对称．抛物线，当时，开口向_______，顶点是它的最____点；当时，开口向_____，顶点是它的最_____点，随着的增大，开口越来越_______．
知识点1：二次函数的图象及表达式的确定
1．已知二次函数，则其图象经过下列点中的(
)
. .
.
.
2．某同学在画某二次函数的图象时，列出了如下的表格：
(1)根据表格可知这个二次函数的关系式是
；
(2)将表格中的空格补全．
3．已知二次函数的图象经过点．
(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象；
(2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴．
知识点2：二次函数的图象和性质
4．对于函数，下列说法正确的是(
)
．当时，随的增大而减小
．当时，随的增大而减小
．随的增大而减小
．随的增大而增大
5．已知点都在函数的图象上，则(
)
．
.
.
.
6．已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是
．
7．二次函数的图象是一条开口向_____的抛物线，对称轴是
，顶点坐标是
；当
时，随的增大而减小；当时，函数有_______(填“最大”或“最小”)值是_______．
8．如图是一个二次函数的图象，则它的解析式为
，当_____时，函数图象的最低点为
．
9．已知二次函数.
(1)求的值；
(2)当为何值时，二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出取何值时，随的增大而减小；
(3)当为何值时，二次函数的图象有最高点？求出这个最高点，并指出取何值时，随的增大而增大．
10．二次函数和，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是轴，顶点坐标都是原点；③当时，它们的函数值都是随着的增大而增大；④它们开口的大小是一样的．其中正确的说法有(
)
.个
.个
.个
.个
已知，同一坐标系中，函数与的图象有可能是(
)
如图是下列二次函数的图象：①；②；③；④.比较
的大小，用“”连接为
．
(第12题图)
(第14题图)
13．当_____时，抛物线与抛物线关于轴对称；抛物线关于轴对称所得抛物线的解析式为
；当
时，抛物线与抛物线的形状相同．
14．已知二次函数的图象如图所示，将轴沿轴向上平移个单位长度后与抛物线交于两点，则的面积为________．
15．已知正方形的周长为，面积为．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)画出所示函数的图象；
(3)根据函数图象，求出时正方形的周长；
(4)根据列表或图象的性质，求出取何值时
16．二次函数与直线1的图象交于点．
(1)求的值；
(2)写出二次函数的表达式，并指出取何值时，随的增大而增大；
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴．
17．如图，抛物线与直线在第一象限内有一个交点.
(1)你能求出点坐标吗？
(2)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请你求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
第二节 二次函数的图象和性质
2.1 二次函数的图象和性质
1．二次函数的图象是一条
．它与抛物线的___________相同，只是______________不同，它的对称轴为______轴，顶点坐标为____________．
2．二次函数的图象可由抛物线___________得到，当时，抛物线向上平移_____个单位得；当时，抛物线向_____平移个单位得.
知识点1：二次函数的图象和性质
1．抛物线的对称轴是_________，顶点坐标是________，它与抛物线的形状____________．
2．抛物线的开口向______，对称轴是_______，顶点坐标是____________．
3．若点和在二次函数的图象上，且，则与的大小关系为____________．
4．对于二次函数，当______时，最____________；当______时，
随的增大而减小；当__________时，随的增大而增大．
5．已知二次函数.
(1)当为何值时，随的增大而减小？
(2)当为何值时，随的增大而增大？
(3)当为何值时，有最大值？最大值是多少？
(4)求图象与轴、轴的交点坐标．
知识点2：二次函数与之间的平移
6．将二次函数的图象向上平移个单位，则平移后的抛物线的解析式是____________．
7．抛物线向下平移个单位得到抛物线，则______，_____．
8．在同一个直角坐标系中作出的图象．
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线与抛物线有什么关系？
知识点3：抛物线的应用
9．如图，小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分．若命中篮圈中心，则她与篮底的距离是(
)
.
.
.
.
10．如果抛物线向下平移个单位，那么所得新抛物线的解析式是(
)
.
.
.
.
11．已知的图象上有三点，且，则的取值范围是(
)
.
.
.
.
12．已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，则面积为_____．
13．若抛物线与抛物线关于轴对称，则______，________．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，过点作与轴平行的直线交抛物线于点，则的长度为________．
15．直接写出符合下列条件的抛物线的函数关系式：
(1)经过点；
(2)与的开口大小相同，方向相反；
(3)当的值由增加到时，函数值减少.
16．把的图象向上平移个单位．
(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；
(2)画出平移后的函数图象；
(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的的值．
17．已知抛物线的对称轴是轴，顶点坐标是，且经过，求此抛物线的解析式．
18．若二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为(
)
. . . .
19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的示意图．已知抛物线对应的函数关系式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为的点处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离．
2.2 二次函数的图象和性质
1．二次函数的图象是_________，它与抛物线的________相同，只是__________不同；它的对称轴为直线___________，顶点坐标为____________．
2．二次函数的图象可由抛物线__________得到，当时，抛物线向______平移个单位得；当h＜0时，抛物线向______平移个单位得.
知识点1：二次函数的图象
1．将抛物线向左平移个单位后，得到的抛物线的解析式是(
)
. .
.
.
2．抛物线不经过的象限是(
)
.第一、二象限
．第二、四象限
．第三、四象限
．第二、三象限
3．已知二次函数的图象是由抛物线向左平移个单位长度得到的，则__________，____________.
4．在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出对称轴及顶点坐标．
知识点2：二次函数的性质
5．二次函数的最小值是(
)
.
.
.
．没有最小值
6．如果二次函数有最大值，那么___，当____时，函数的最大值是____．
7．对于抛物线，开口方向_____，顶点坐标为_________，对称轴为_____．
8．二次函数中，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，则____，此时，二次函数的图象的顶点坐标为_______，当____时，取最_____值，为_____．
9．已知三点都在二次函数的图象上，则
的大小关系为_____________．
10．已知抛物线，当时，有最大值，此抛物线过点，求抛物线的解析式，并指出当为何值时，随的增大而减小．
11．顶点为，开口向下，形状与函数的图象相同的抛物线的解析式是(
)
．
.
.
.
12．平行于轴的直线与抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为(
)
.
.
.
.
13．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为(
)
14．已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是
．
15．已知一条抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是
，则该抛物线的解析式是
．
16．已知抛物线的对称轴为，且过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)画出函数的图象；
(3)从图象上观察，当取何值时，随的增大而增大？当取何值时，函数有最大值(或最小值)
17．已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线都相同，并且它的顶点在抛物线的顶点上．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)求将(1)中的抛物线向左平移个单位后得到的抛物线的解析式；
(3)将(2)中所求抛物线关于轴对称，求所得抛物线的解析式．
18．如图，在中，，为坐标原点，边在轴上，个单位长度，把沿轴正方向平移个单位长度后得.
(1)求以为顶点，且经过点的抛物线的解析式；
(2)若(1)中的抛物线与交于点，与轴交于点，求点的坐标．
2.3 二次函数的图象和性质
1．抛物线与形状_______，位置_______，把抛物线向上(下)和向左(右)平移，可以得到抛物线，平移的方向、距离要根据_____，______的值来决定．
2．抛物线有如下特点：①当时，开口向_______；当时，开口向________；②对称轴是直线________；③顶点坐标是__________．
知识点1：二次函数的图象
1．抛物线的对称轴是(
)
.轴
.直线
.直线
.直线
2．抛物线的顶点坐标是(
)
.
.
.
.
3．把抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得函数的表达式为(
)
.
.
.
.
4．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标：
(1)；
(2).
知识点2：二次函数k的性质
5．在函数中，随的增大而减小，则的取值范围为(
)
.
.
.
.
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是(
)
.
.
.
.
(第6题图)
(第9题图)
7.一小球被抛出后，距离地面的高度和飞行时间满足函数关系式
，则小球距离地面的最大高度是(
)
.
.
.
.
用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长与面积满足函数关系式
，则该矩形面积的最大值为_____．
9．如图是二次函数图象的一部分，该图象在轴右侧与轴交点的坐标是__________．
10．已知抛物线经过点．
(1)求的值；
(2)若点都在该抛物线上，试比较与的大小．
11．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后所得到的抛物线为(
)
.
.
.
.
12．已知二次函数.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③其图象顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．则其中说法正确的有(
)
.个 .个 .个 .个
13．二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过(
)
．第一、二、三象限
.第一、二、四象限
．第二、三、四象限
．第一、三、四象限
14．设是抛物线上三点，则的大小关系为(
)
.
.
.
．
15．二次函数，无论为何实数，其图象的顶点都在(
)
.直线y＝x上
．直线上
.轴上
.轴上
16．把二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到二次函数的图象．
(1)试确定的值；
(2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
17．某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为，此时距喷水管的水平距离为，求在如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式．(不要求写出自变量的取值范围)
18．已知抛物线与轴交点为(在的右边)，与轴的交点为.
(1)写出时与抛物线有关的三个正确结论；
(2)当点在原点的右边，点在原点的下方时，是否存在为等腰三角形的情形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
第三节 二次函数的图象和性质
3.1 二次函数的图象和性质
1．二次函数通过配方可化为的形式，它的对称轴是__________，顶点坐标是__________．如果，当时，随的增大而_________，当时，随的增大而_________；如果，当时，随的增大而__________，当时，随的增大而_________．
2．二次函数)的图象与的图象形状________________，只是__________不同；的图象可以看成是的图象平移得到的，对于抛物线的平移，要先化成顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规则来平移．
知识点1：二次函数)的图象和性质
1．已知抛物线的开口向下，顶点坐标为，那么该二次函数有(
)
.最小值 .最大值
.最小值
.最大值
2．将二次函数化为的形式，结果为(
)
.
.
.
.
3．若抛物线与轴的交点为，则下列说法不正确的是(
)
．抛物线开口向上
．抛物线的对称轴是x＝1
．当时，的最大值为
．抛物线与轴的交点为
4．抛物线的顶点坐标是___________．
5．已知二次函数，当_____时，随的增大而增大；当______时，有最________值是________．
知识点2：二次函数的图象的变换
6．抛物线经过平移得到，平移方法是(
)
．向右平移个单位，再向下平移个单位
．向右平移个单位，再向上平移个单位
．向左平移个单位，再向下平移个单位
．向左平移个单位，再向上平移个单位
7．把抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的解析式为，则(
)
．
.
.
.
8．如图，抛物线与轴相交于点，且过点．
(1)求的值和该抛物线顶点的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
9．已知抛物线与轴交于两点．若点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，则线段的长为_____．
10．二次函数的图象如图所示，则的值是(
)
. . . .
(第10题图)
(第12题图)
11．已知二次函数.若自变量分别取，且，则对应的函数值的大小关系正确的是(
)
.
.
.
.
12．已知二次函数的图象如图所示，当时，下列说法正确的是(
)
．有最小值，最大值
．有最小值，最大值
．有最小值，最大值
.有最小值，最大值
13．如图，抛物线和直线在同一坐标系内的图象正确的是(
)
14．已知二次函数
(1)当实数为何值时，图象经过原点？
(2)当实数在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
15．当分别取时，函数都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．
16．已知二次函数.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点时，求二次函数的解析式；
(2)如图，当时，该抛物线与轴交于点，顶点为，求两点的坐标；
(3)在(2)的条件下，轴上是否存在一点，使得最短？若点存在，求出点坐标；若点不存在，请说明理由．
3.2 用待定系数法求二次函数的解析式
用待定系数法求二次函数的解析式的几种常见的形式：
(1)三点式：已知图象上的三个点的坐标，可设二次函数的解析式为___________________．
(2)顶点式：已知抛物线的顶点坐标及图象上的一个点的坐标，可设二次函数的解析式为____________________．以下有三种特殊情况：
①当已知抛物线的顶点在原点时，我们可设抛物线的解析式为____________________；
②当已知抛物线的顶点在y轴上或以y轴为对称轴，但顶点不一定是原点时，可设抛物线的解析式为______________________；
③当已知抛物线的顶点在轴上，可设抛物线的解析式为________________，其中为抛物线与轴的交点坐标．
(3)交点式：已知抛物线与轴的两个交点坐标及图象上任意一点的坐标，可设抛物线的解析式为_____________________．
知识点1：利用“三点式”求二次函数的解析式
1．由表格中信息可知，若设，则下列与间的函数关系式正确的是(
)
. .
. .
2．已知二次函数的图象经过点，则这个二次函数的解析式为____________________．
3．已知二次函数，当时，；当时，；当时，.求这个二次函数的解析式．
知识点2：利用“顶点式”求二次函数的解析式
4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为(
)
.
.
.
．
5．已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式．
知识点3：利用“交点式”求二次函数的解析式
6．如图，抛物线的函数表达式是(
)
.
.
.
.
7．已知一个二次函数的图象与轴的两个交点的坐标分别为和，与轴的交点坐标为，求这个二次函数的解析式．
8．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是(
)
.
.
.
.
9．二次函数的图象的最高点是，则的值分别是(
)
. .
.
.
10．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
…
…
…
…
从上表可知，下列说法中正确的是_____．(填序号)
①抛物线与轴的一个交点为；
②函数的最大值为；
③抛物线的对称轴是；
④在对称轴左侧，随增大而增大．
11.已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过，
两点，则这条抛物线的解析式为_________________．
12．将二次函数的图象沿轴对折后得到的图象的解析式为_____________．
13．设抛物线过三点，其中点在直线
上，且点到抛物线对称轴的距离等于，则抛物线的函数解析式为_______________．
已知二次函数的图象的对称轴为，函数的最大值为，且图象经过点，求此二次函数的表达式．
15．已知二次函数的图象经过点，且与轴交于两点．
(1)试确定此二次函数的解析式；
(2)判断点是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出的面积；如果不在，试说明理由．
16．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
(2)已知关于的二次函数和，其中的图象经过点，若与为“同簇二次函数”，求函数的解析式，并求出当时，的最大值．
专题训练(三) 用待定系数法求二次函数解析式
一、已知三点求解析式
1．已知二次函数的图象经过和三点，则该函数的解析式是(
)
. .
.
.
2．如图，二次函数的图象经过三点，求出抛物线的解析式．
二、已知顶点或对称轴求解析式
3．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为，且过点，求该二次函数的解析式．
4．已知抛物线经过两点，且对称轴是直线，求其解析式．
三、已知抛物线与轴的交点求解析式
5．已知抛物线与轴的交点是A(－2，0)，且经过点，则该抛物线的解析式为_______________________．
6．如图，抛物线与轴的两个交点分别为，求这条抛物线的解析式．
四、已知几何图形求解析式
7．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，二次函数的图象经过两点．求该二次函数的解析式．
8．直线过点和两点，它与二次函数的图象在第一象限内交于点，若，求二次函数关系式．
五、已知图形变换求解析式
9．已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线经过坐标原点，并写出的解析式．
六、运用根与系数的关系求解析式
10．已知抛物线.
(1)直线是否经过抛物线的顶点；
(2)设该抛物线与轴交于两点，当，且时，求出这条抛物线的解析式．
第四节 二次函数与一元二次方程
4.1 二次函数与一元二次方程之间的关系
1．一元二次方程的实数根，就是二次函数，当_______时，自变量的值，它是二次函数的图象与轴交点的_________________．
2．抛物线与轴交点个数与一元二次方程根的判别式的关系：当时，抛物线与轴____交点；当时，抛物线与轴有____交点；当时，抛物线与轴有_________交点．
知识点1：二次函数与一元二次方程
1．抛物线与坐标轴的交点个数是(
)
.
.
.
.
2．如图，已知抛物线与轴的一个交点，对称轴是，则该抛物线与轴的另一个交点的坐标是(
)
．
.
.
.
3．抛物线与轴只有一个公共点，则的值为_____．
4．绿茵场上，足球运动员将球踢出，球的飞行高度与前行距离之间的关系为，那么当足球落地时距离原来的位置有______．
知识点2：利用二次函数求一元二次方程的近似解
5．根据下列表格的对应值，判断方程一个解的范围是(
)
.
.
.
.
6．用图象法求一元二次方程的近似解．
知识点3：二次函数与不等式
7．二次函数的图象如图所示，则函数值时的取值范围是(
)
.
.
.
.
(第7题图)
(第8题图)
8．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是(
)
.
.
.
.
9．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：
…
…
…
…
则当时，的取值范围是____________________．
10．已知函数，当时，，则的值可能是(
)
． .
.
.
11．根据下列表格中的对应值，判断方程的根的个数是(
)
.
.
.
.
12．抛物线的图象如图，则关于方程的情况是(
)
．有两个不相等的实数根
.
有两个异号的实数根
．有两个相等的实数根
．没有实数根
13．抛物线与轴的交点坐标分别为____________________．
14．(1)用配方法把二次函数化成的形式；
(2)在直角坐标系中画出的图象；
(3)若是函数图象上的两点，且，请比较
的大小关系；(直接写结果)
(4)把方程的根在函数的图象上表示出来．
15．二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程的两个根；
(2)写出随的增大而减小的自变量的取值范围；
(3)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
16．已知二次函数．
(1)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点？
17．已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，是方程的两根．
(1)若抛物线的顶点为，求的值；
(2)若，求二次函数的解析式．
4.2 二次函数的图象与字母系数的关系
抛物线的图象与字母系数之间的关系：
(1)当时，开口____________，当时，开口_____________；
(2)若对称轴在轴的左边，则__________，若对称轴在轴的右边，则__________；
(3)若抛物线与轴的正半轴相交，则_____，若抛物线与y轴的负半轴相交，则_______，若抛物线经过原点，则_________；
(4)当时，；当时，；当时，；当时，…；
(5)当对称轴时，，所以，此时；当对称轴时，，所以，此时；
(6)二次函数与横轴有两个交点；二次函数与横轴有一个交点；二次函数与横轴无交点．
知识点1：二次函数图象与字母系数的关系
1．二次函数的图象如图所示，则下列关系式错误的是(
)
. .
.
.
(第1题图)
(第2题图)
(第4题图)
2．二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是(
)
.
.
.当时，
.
3．二次函数中，若，则它的图象一定过点(
)
.
.
.
4．二次函数的图象如图所示，若，，
，则中，值小于的数有(
)
.个
.个
.个
.个
知识点2：函数图象的综合
5．若正比例函数，随的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是(
)
6．二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是(
)
7．在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是(
)
8．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是(
)
.
.当时，随的增大而减小
.
.是关于的方程的一个根
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(第8题图)
(第9题图)
(第11题图)
9．二次函数)的图象如图所示，其对称轴为.下列结论中错误的是(
)
.
.
.
.
10．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是(
)
.
.
.
.
已知二次函数的图象如图所示，且关于的一元二次方程
没有实数根，有下列结论：①；②；③.其中正确结论的个数是(
)
.
.
.
.
12．如图，抛物线的对称轴是过点且平行于轴的直线，若点在该抛物线上，则的值为_____．
(第12题图)
(第13题图)
如图，二次函数的图象的顶点为点，其图象与轴的交点，的横坐标分别为，与轴负半轴交于点.在下面四个结论中：①；
②；③；④只有当时，是等腰直角三角形．其中正确的结论是___________．(只填序号)
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的顶点在第一象限，若点的坐标为．试分别判断，，，，
，的符号．
15．已知关于的二次函数的图象经过点，且与轴交于不同的两点，点的坐标是．
(1)求的值；
(2)求的取值范围．
16．如图，直线和抛物线都经过点A(1，0)．
(1)求的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式的解集；(直接写出答案)
(3)若两点都在抛物线上，试比较与的大小．
综合练习(一) 二次函数的图象和性质
一、选择题
1．若抛物线经过点，则它也经过(
)
.
.
.
.
2．二次函数图象上部分点的坐标满足下表：
…
…
…
…
则该函数图象的顶点坐标为(
)
.
.
.
.
3．把抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的解析式为，则(
)
.
.
.
.
4．二次函数的图象如图所示，则它的解析式为(
)
.
.
.
.
(第4题图)
(第6题图)
5．函数与在同一坐标系中的大致图象是(
)
6．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是(
)
.
.
.
.
7．如图为抛物线的图象，为抛物线与坐标轴的交点，且，则下列关系中正确的是(
)
.
.
.
.
(第7题图)
(第8题图)
二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线.下列结论：①4；②；③；④当时，
的值随值的增大而增大．其中正确的结论有(
)
.个
.个
.个
.个
二、填空题
9．已知下列函数：①；②；③.其中图象通过平移可以得到函数的图象的有____________．(填写所有正确选项的序号)
10．已知点在二次函数的图象上，若，则______.(填“”“”或“”)
11．已知以为自变量的二次函数的图象经过原点，则____．
12．已知抛物线的顶点是，对称轴是轴，且经过，则此抛物线的解析式为______，当时，随的增大而_________．
13．如图，已知抛物线经过点，请你确定一个的值，使该抛物线与轴的一个交点在和之间，你所确定的的值是________．
14．已知抛物线的顶点在坐标轴上，则的值是________．
三、解答题
15．已知抛物线经过点．
(1)求的值；
(2)若点,都在该抛物线上，试比较与的大小．
16．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程的根的情况____________________________；
(2)写出随的增大而减小的自变量的取值范围________________；
(3)求函数的表达式．
17．如图，二次函数的图象过原点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在抛物线上存在点，满足，请求出点的坐标．
18．如图，已知二次函数的图象过和三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设二次函数的图象与轴的另一交点为，求点的坐标．
(3)在同一坐标系中画出直线，并写出在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为．
(1)求经过三点的抛物线的解析式；
(2)过点作平行于轴交抛物线于点，写出点的坐标，并求的交点的坐标；
(3)若抛物线的顶点为，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
第五节 实际问题与二次函数
5.1 二次函数与图形面积
1．求二次函数最值的方法：
(1)用配方法将化成的形式，当自变量_____时，函数有最大(小)值为______．
(2)用公式法，当__________时，二次函数有最大(小)值____________．
2．面积最值问题应该设图形一边长为_______，所求面积为因变量，建立__________的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的_____________．
知识点1：用配方法或公式法求二次函数的最大(小)值
1．当时，二次函数的最大值为_____，最小值为_____．
知识点2：二次函数与图形面积问题
2．在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图)，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为，那么与之间的函数关系是(
)
.
.
.
.
(第2题图)
(第4题图)
3．已知一个直角三角形两直角边之和为，则这个直角三角形的最大面积为(
)
. .
.
.不确定
4．用长的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是(
)
. .
.
.
如图，利用一面墙(墙的长度不超过)，用长的篱笆围一个矩形场地，当_______时，矩形场地的面积最大，最大值为________．
(第5题图)
(第6题图)
6．如图，在中，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果分别同时出发，当的面积为最大时，运动时间为_________s.
7．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为的边与这条边上的高之和为，这个三角形的面积随的变化而变化．
(1)与之间的函数关系式为_____________________；
(2)当__________时，这个三角形面积最大，最大面积是______________________．
8．如图，一个正方形纸板的边长为，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形(图中阴影部分)．设，阴影部分的面积为．
(1)求关于的函数解析式和自变量的取值范围；
(2)当取何值时，阴影部分的面积达到最大，最大值为多少？
9．将一条长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长为周长各围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是_____________．
10．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，过点作于点，于点，当_________时，四边形的面积最大，最大值为____________．
11．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为，菱形的面积)随其中一条对角线的长的变化而变化．
(1)请直接写出与之间的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)
(2)当是多少时，菱形风筝面积最大？最大面积是多少？
12．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用长的篱笆围成一个矩形花园(篱笆只围两边)，设.
(1)若花园的面积为，求的值；
(2)若在处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值．
13．如图，等腰以的速度沿直线匀速向正方形移动，直到与重合．设移动时，三角形与正方形重合部分的面积为.
(1)当时，的值分别为多少？
(2)求从开始移动时到与重合时，与的函数关系式，并求出的取值范围．
5.2 二次函数与商品利润
1．单件利润＝___________________；
总利润＝_____________________．
2．某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价．若每件商品售价为元，则可卖出件商品，那么商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为(
)
.
.
.
.
知识点：销售中的最大利润
1．“佳宝”牌电缆的日销量与销售价格之间的关系是，则日销售额(元)与销售价格之间的函数关系是_____________．
2．某电脑店销售某种品牌电脑，所获利润y(元)与所销售电脑台数x(台)之间的函数关系满足，则当卖出电脑________台时，可获得最大利润为___________元．
3．出售某种手工艺品，若每个获利元，一天可售出个，则当__________元时，一天出售该种手工艺品的总利润最大．
4．若一种服装销售盈利(万元)与销售数量(万件)满足函数关系式，则盈利(
)
．最大值为万元
．最大值为万元
.最小值为万元
．最大值为万元
5．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获得利润(元)与降价金额(元)之间的关系是，则获利最多为(
)
.元
.元
.元
．元
6．喜迎国庆，某商店销售一种进价为元/件的商品，售价为元/件，每星期可卖出件，若每件商品的售价每上涨元，则每星期就会少卖出件．设每件商品的售价上涨元(为正整数)，每星期销售该商品的利润为元，则与的函数关系为(
)
.
.
．
．
7．某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为元，售价为元，每星期可卖出件．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价元，每星期可多卖出件．
(1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
(2)降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
8．某旅社有张床位，每床每晚收费元时，床位可全部租出．若每床每晚收费提高元，则减少张床位的租出；若每床每晚收费再提高元，则再减少张床位租出．以每次提高元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高(
)
.元或元 ．元 ．元 ．元
9．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车，已知在甲、乙两地的销售利润(单位：万元)与销售量(单位：辆)之间分别满足，若该公司在甲、乙两地共销售辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为_________________万元．
10．某商场试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量(件)与销售单价(元)符合一次函数，且时，；时，.
(1)求一次函数的解析式；
(2)若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
11．心理学家发现，学生对概念的接受能力和提出概念所用的时间(单位：)之间满足函数关系，值越大，表示接受能力越强．
(1)在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第几分钟时，学生的接受能力最强？
12．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月销售量(件)与销售单价(元)之间的关系近似满足一次函数.
(1)李明在开始创业的第个月将销售单价定为元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
(2)设李明获得的利润为(元)，当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于元．如果李明想要每月获得利润不低于元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？
5.3 拱桥问题与运动中的抛物线
建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：
(1)根据题意建立适当的___________________；
(2)把已知条件转化为__________________；
(3)合理设出函数_____________；
(4)利用____________法求出函数解析式；
(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算．
知识点1：二次函数在桥梁中的应用
1．有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面．在如图所示的直角坐标系中，该抛物线的解析式为__________________．
(第1题图)
(第2题图)
2．有一座抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为，跨度为，现把它的图形放在坐标系中(如图)．若在离跨度中心点处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，则这根铁柱的长为__________.
3．如图是一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于两点，拱桥最高点到的距离为为拱桥底部的两点，且，点到直线的距离为，则的长为__________.
知识点2：二次函数在隧道中的应用
4．某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图如示，以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立直角坐标系，则该抛物线的解析式为___________．
知识点3：二次函数在其他建筑问题中的应用
5．如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部地面宽，顶部距地面的高度为，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为，该车要想通过此门，装货后的高度应小于(
)
.
.
.
.
(第5题图)
(第6题图)
6．如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．它的拱宽为，拱高为．建立如图的直角坐标系，则屋顶的轮廓线所在的抛物线的解析式为_______________________．
知识点4：二次函数在运动中的应用
7．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线(单位：)的一部分，则水喷出的最大高度是(
)
.
.
.
.
8．军事演坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度与飞行时间的关系满足.经过____秒炮弹到达它的最高点，最高点的高度是____，经过_____炮弹落到地上爆炸了．
9．竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数解析式为，其图象如图所示．若小球在发射后第与第时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是(
)
.第
.第
.第
.第
(第9题图)
(第10题图)
10．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在位置时，拱顶离水面，水面宽为，水面下降后，水面宽为(
)
.
.
.
.
11．某一型号飞机着陆后滑行的距离与滑行时间之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后滑行_____才能停下来．
12．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端处弹跳到人梯顶端椅子处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分．
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高，在一次表演中，人梯到起跳点的水平距离是，问这次表演是否成功？请说明理由．
13．如图，小河上有一座拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边组成．已知河底是水平的，，抛物线的顶点到的距离是，以所在的直线为轴，抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离(单位：)随时间(单位：)的变化满足函数关系，且当水面到顶点的距离不大于时，需禁止船只通行，请过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
14．如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式.已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为.
(1)
当时，求与的关系式；(不要求写出自变量的取值范围)
(2)
当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
专题训练(四) 实际问题与二次函数
——以利润、隧道、球类运动为背景
一、以利润为背景
1．某商场购进一种每件价格为元的新商品，试销时发现：销售单价(元/件)与每天销售量(件)之间满足如图所示的关系．
(1)求出与之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
2．随着某市近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图②所示．
(1)分别求出利润
与关于投资量的函数关系式；
(2)如果这位专业户以万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润是多少？
二、以桥梁、隧道为背景
3．如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，左边的一条抛物线可以用表示，而且左右两条抛物线关于轴对称．
(1)钢缆最低点到桥面的距离是多少？
(2)两条钢缆的最低点之间的距离是多少？
(3)写出右边钢缆抛物线的解析式．
4.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为，底部宽度为1．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点及抛物线顶点的坐标；
(2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”，使点在抛物线上，点在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
三、以球类运动为背景
5．如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下点打出一球向球洞点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度时，球移动的水平距离为．已知山坡与水平方向的夹角为，两点相距．
(1)求出点的坐标及直线的解析式；
(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从点直接打入球洞点．
6．如图，在水平地面点处有一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为.有人在直线上点(靠点一侧)竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知，网球飞行的最大高度，圆柱形桶的直径为，高为．(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)
(1)如果竖直摆放个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？
(2)当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？
专题训练(五) 二次函数与一次函数、几何类问题
一、二次函数与三角形
1．如图，在直角坐标系中，是等腰，，，抛物线的图象过点．求抛物线的解析式．
2．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，它的对称轴是直线.
(1)求抛物线的解析式；
(2)是线段上的任意一点，当为等腰三角形时，求点的坐标．
二、二次函数与四边形
3．如图，抛物线经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标．
三、二次函数与一次函数
5．如图，二次函数的图象与轴交于两点，且点坐标为，抛物线顶点的纵坐标为，经过点的一次函数的图象交抛物线于点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求当二次函数值小于一次函数值时，的取值范围；
(3)求的面积．
6．如图，一元二次方程的两根是抛物线与轴的两个交点的横坐标，且此抛物线过点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设此抛物线的顶点为，对称轴与线段相交于点，求点和点坐标；
(3)在轴上有一动点，当取得最小值时，求点的坐标．
7．如图，已知直线与抛物线交于两点．
(1)直线总经过一个定点，请直接写出点的坐标；
(2)当时，在直线下方的抛物线上求点，使的面积等于.
二次函数
（数学）
TOC
\o
"1-3"
\h
\u
二次函数
1
第一节 二次函数的图象和性质
3
1.1 二次函数
3
1.2 二次函数的图象和性质
7
第二节 二次函数的图象和性质
11
2.1 二次函数的图象和性质
11
2.2 二次函数的图象和性质
14
2.3 二次函数的图象和性质
18
第三节 二次函数的图象和性质
22
3.1 二次函数的图象和性质
22
3.2 用待定系数法求二次函数的解析式
25
专题训练(三) 用待定系数法求二次函数解析式
29
第四节 二次函数与一元二次方程
32
4.1 二次函数与一元二次方程之间的关系
32
4.2 二次函数的图象与字母系数的关系
37
综合练习(一) 二次函数的图象和性质
41
第五节 实际问题与二次函数
45
5.1 二次函数与图形面积
45
5.2 二次函数与商品利润
48
5.3 拱桥问题与运动中的抛物线
51
专题训练(四) 实际问题与二次函数
55
专题训练(五) 二次函数与一次函数、几何类问题
58
第一节 二次函数的图象和性质
1.1 二次函数
设一个正方形的边长为，则该正方形的面积_______，其中变量是______，
____是_____的函数．
2．一般地，形如的函数，叫做二次函数，其中是自变量，分别为二次项系数、一次项系数、常数项．
知识点1：二次函数的定义
1．下列函数是二次函数的是(
)
. .
.
.
2．下列说法中，正确的是(
)
.二次函数中，自变量的取值范围是非零实数
.在圆的面积公式中，是的二次函数
.不是二次函数
.
在中，一次项系数为
3．若是二次函数，则的取值范围是_____．
4．已知二次函数，则二次项系数_____，一次项系数_____，常数项_____．
5．已知两个变量之间的关系式为.
(1)当__________________时，之间是二次函数关系；
(2)当
时，之间是一次函数关系．
6．已知两个变量之间的关系为，若之间是二次函数关系，求的值．
知识点2：实际问题中的二次函数的解析式
7．某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价．若每件商品售价为元，则可卖出件商品，那么商品所赚钱数元与售价元的函数关系式为(
)
.
.
.
.
8．某车的刹车距离与开始刹车时的速度之间满足二次函数，若该车某次的刹车距离为，则开始刹车时的速度为(
)
.
.
.
.
9．某厂今年一月份新产品的研发资金为元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年三月份新产品的研发资金关于的函数关系式为_______．
10．多边形的对角线条数与边数之间的关系式为
，自变量的取值范围是
；当时，多边形的边数
．
11．如图，有一个长为的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度为)围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为平方米．
(1)求与的函数关系式；
(2)如果要围成面积为的花圃，的长为多少？
12.已知二次函数，当时，_____；当_____时，函数值为.
13．边长为的正方形中间挖去一个边长为的小正方形，剩余的四方框的面积为，则与之间的函数关系式为
，它是
函数．
14．设，与成正比例，与成正比例，则与的函数关系是(
)
.正比例函数
.一次函数
.二次函数
.以上都不正确
15．某种正方形合金板材的成本与它的面积成正比，设边长为，当时，
，那么当成本为元时，边长为(
)
.
.
.
.
16.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为
，高为.设底面的宽为，抽屉的体积为时，求与之间的函数关系式．
17．某商店经营一种小商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是元时，平均每天销售量是件，而销售单价每降低元，平均每天就可以多售出件．假定每件商品降价元，商店每天销售这种小商品的利润是元，请写出与之间的函数关系式，并注明的取值范围．
18.一块矩形的草坪，长为，宽为，若将长和宽都增加，设增加的面积为
.
(1)求与的函数关系式；
(2)若使草坪的面积增加，求长和宽都增加多少？
19．如图，在中，，动点从点开始沿边向以的速度移动(不与点重合)，动点从点开始沿边向以的速度移动(不与点重合)．如果分别从同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为.
(1)求与之间函数关系式；
(2)求自变量的取值范围；
(3)四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
1.2 二次函数的图象和性质
1．由解析式画函数图象的步骤是________、________、________．
2．一次函数的图象是__一条直线___．
3．二次函数的图象是一条_______，其对称轴为____轴，顶点坐标为________．
4．抛物线与关于____轴对称．抛物线，当时，开口向_______，顶点是它的最____点；当时，开口向_____，顶点是它的最_____点，随着的增大，开口越来越_______．
知识点1：二次函数的图象及表达式的确定
1．已知二次函数，则其图象经过下列点中的(
)
. .
.
.
2．某同学在画某二次函数的图象时，列出了如下的表格：
(1)根据表格可知这个二次函数的关系式是
；
(2)将表格中的空格补全．
3．已知二次函数的图象经过点．
(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象；
(2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴．
知识点2：二次函数的图象和性质
4．对于函数，下列说法正确的是(
)
．当时，随的增大而减小
．当时，随的增大而减小
．随的增大而减小
．随的增大而增大
5．已知点都在函数的图象上，则(
)
．
.
.
.
6．已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是
．
7．二次函数的图象是一条开口向_____的抛物线，对称轴是
，顶点坐标是
；当
时，随的增大而减小；当时，函数有_______(填“最大”或“最小”)值是_______．
8．如图是一个二次函数的图象，则它的解析式为
，当_____时，函数图象的最低点为
．
9．已知二次函数.
(1)求的值；
(2)当为何值时，二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出取何值时，随的增大而减小；
(3)当为何值时，二次函数的图象有最高点？求出这个最高点，并指出取何值时，随的增大而增大．
10．二次函数和，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是轴，顶点坐标都是原点；③当时，它们的函数值都是随着的增大而增大；④它们开口的大小是一样的．其中正确的说法有(
)
.个
.个
.个
.个
已知，同一坐标系中，函数与的图象有可能是(
)
如图是下列二次函数的图象：①；②；③；④.比较
的大小，用“”连接为
．
(第12题图)
(第14题图)
13．当_____时，抛物线与抛物线关于轴对称；抛物线关于轴对称所得抛物线的解析式为
；当
时，抛物线与抛物线的形状相同．
14．已知二次函数的图象如图所示，将轴沿轴向上平移个单位长度后与抛物线交于两点，则的面积为________．
15．已知正方形的周长为，面积为．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)画出所示函数的图象；
(3)根据函数图象，求出时正方形的周长；
(4)根据列表或图象的性质，求出取何值时
16．二次函数与直线1的图象交于点．
(1)求的值；
(2)写出二次函数的表达式，并指出取何值时，随的增大而增大；
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴．
17．如图，抛物线与直线在第一象限内有一个交点.
(1)你能求出点坐标吗？
(2)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请你求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
第二节 二次函数的图象和性质
2.1 二次函数的图象和性质
1．二次函数的图象是一条
．它与抛物线的___________相同，只是______________不同，它的对称轴为______轴，顶点坐标为____________．
2．二次函数的图象可由抛物线___________得到，当时，抛物线向上平移_____个单位得；当时，抛物线向_____平移个单位得.
知识点1：二次函数的图象和性质
1．抛物线的对称轴是_________，顶点坐标是________，它与抛物线的形状____________．
2．抛物线的开口向______，对称轴是_______，顶点坐标是____________．
3．若点和在二次函数的图象上，且，则与的大小关系为____________．
4．对于二次函数，当______时，最____________；当______时，
随的增大而减小；当__________时，随的增大而增大．
5．已知二次函数.
(1)当为何值时，随的增大而减小？
(2)当为何值时，随的增大而增大？
(3)当为何值时，有最大值？最大值是多少？
(4)求图象与轴、轴的交点坐标．
知识点2：二次函数与之间的平移
6．将二次函数的图象向上平移个单位，则平移后的抛物线的解析式是____________．
7．抛物线向下平移个单位得到抛物线，则______，_____．
8．在同一个直角坐标系中作出的图象．
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线与抛物线有什么关系？
知识点3：抛物线的应用
9．如图，小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分．若命中篮圈中心，则她与篮底的距离是(
)
.
.
.
.
10．如果抛物线向下平移个单位，那么所得新抛物线的解析式是(
)
.
.
.
.
11．已知的图象上有三点，且，则的取值范围是(
)
.
.
.
.
12．已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，则面积为_____．
13．若抛物线与抛物线关于轴对称，则______，________．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，过点作与轴平行的直线交抛物线于点，则的长度为________．
15．直接写出符合下列条件的抛物线的函数关系式：
(1)经过点；
(2)与的开口大小相同，方向相反；
(3)当的值由增加到时，函数值减少.
16．把的图象向上平移个单位．
(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；
(2)画出平移后的函数图象；
(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的的值．
17．已知抛物线的对称轴是轴，顶点坐标是，且经过，求此抛物线的解析式．
18．若二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为(
)
. . . .
19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的示意图．已知抛物线对应的函数关系式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为的点处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离．
2.2 二次函数的图象和性质
1．二次函数的图象是_________，它与抛物线的________相同，只是__________不同；它的对称轴为直线___________，顶点坐标为____________．
2．二次函数的图象可由抛物线__________得到，当时，抛物线向______平移个单位得；当h＜0时，抛物线向______平移个单位得.
知识点1：二次函数的图象
1．将抛物线向左平移个单位后，得到的抛物线的解析式是(
)
. .
.
.
2．抛物线不经过的象限是(
)
.第一、二象限
．第二、四象限
．第三、四象限
．第二、三象限
3．已知二次函数的图象是由抛物线向左平移个单位长度得到的，则__________，____________.
4．在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出对称轴及顶点坐标．
知识点2：二次函数的性质
5．二次函数的最小值是(
)
.
.
.
．没有最小值
6．如果二次函数有最大值，那么___，当____时，函数的最大值是____．
7．对于抛物线，开口方向_____，顶点坐标为_________，对称轴为_____．
8．二次函数中，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，则____，此时，二次函数的图象的顶点坐标为_______，当____时，取最_____值，为_____．
9．已知三点都在二次函数的图象上，则
的大小关系为_____________．
10．已知抛物线，当时，有最大值，此抛物线过点，求抛物线的解析式，并指出当为何值时，随的增大而减小．
11．顶点为，开口向下，形状与函数的图象相同的抛物线的解析式是(
)
．
.
.
.
12．平行于轴的直线与抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为(
)
.
.
.
.
13．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为(
)
14．已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是
．
15．已知一条抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是
，则该抛物线的解析式是
．
16．已知抛物线的对称轴为，且过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)画出函数的图象；
(3)从图象上观察，当取何值时，随的增大而增大？当取何值时，函数有最大值(或最小值)
17．已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线都相同，并且它的顶点在抛物线的顶点上．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)求将(1)中的抛物线向左平移个单位后得到的抛物线的解析式；
(3)将(2)中所求抛物线关于轴对称，求所得抛物线的解析式．
18．如图，在中，，为坐标原点，边在轴上，个单位长度，把沿轴正方向平移个单位长度后得.
(1)求以为顶点，且经过点的抛物线的解析式；
(2)若(1)中的抛物线与交于点，与轴交于点，求点的坐标．
2.3 二次函数的图象和性质
1．抛物线与形状_______，位置_______，把抛物线向上(下)和向左(右)平移，可以得到抛物线，平移的方向、距离要根据_____，______的值来决定．
2．抛物线有如下特点：①当时，开口向_______；当时，开口向________；②对称轴是直线________；③顶点坐标是__________．
知识点1：二次函数的图象
1．抛物线的对称轴是(
)
.轴
.直线
.直线
.直线
2．抛物线的顶点坐标是(
)
.
.
.
.
3．把抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得函数的表达式为(
)
.
.
.
.
4．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标：
(1)；
(2).
知识点2：二次函数k的性质
5．在函数中，随的增大而减小，则的取值范围为(
)
.
.
.
.
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是(
)
.
.
.
.
(第6题图)
(第9题图)
7.一小球被抛出后，距离地面的高度和飞行时间满足函数关系式
，则小球距离地面的最大高度是(
)
.
.
.
.
用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长与面积满足函数关系式
，则该矩形面积的最大值为_____．
9．如图是二次函数图象的一部分，该图象在轴右侧与轴交点的坐标是__________．
10．已知抛物线经过点．
(1)求的值；
(2)若点都在该抛物线上，试比较与的大小．
11．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后所得到的抛物线为(
)
.
.
.
.
12．已知二次函数.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③其图象顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．则其中说法正确的有(
)
.个 .个 .个 .个
13．二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过(
)
．第一、二、三象限
.第一、二、四象限
．第二、三、四象限
．第一、三、四象限
14．设是抛物线上三点，则的大小关系为(
)
.
.
.
．
15．二次函数，无论为何实数，其图象的顶点都在(
)
.直线y＝x上
．直线上
.轴上
.轴上
16．把二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到二次函数的图象．
(1)试确定的值；
(2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
17．某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为，此时距喷水管的水平距离为，求在如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式．(不要求写出自变量的取值范围)
18．已知抛物线与轴交点为(在的右边)，与轴的交点为.
(1)写出时与抛物线有关的三个正确结论；
(2)当点在原点的右边，点在原点的下方时，是否存在为等腰三角形的情形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
第三节 二次函数的图象和性质
3.1 二次函数的图象和性质
1．二次函数通过配方可化为的形式，它的对称轴是__________，顶点坐标是__________．如果，当时，随的增大而_________，当时，随的增大而_________；如果，当时，随的增大而__________，当时，随的增大而_________．
2．二次函数)的图象与的图象形状________________，只是__________不同；的图象可以看成是的图象平移得到的，对于抛物线的平移，要先化成顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规则来平移．
知识点1：二次函数)的图象和性质
1．已知抛物线的开口向下，顶点坐标为，那么该二次函数有(
)
.最小值 .最大值
.最小值
.最大值
2．将二次函数化为的形式，结果为(
)
.
.
.
.
3．若抛物线与轴的交点为，则下列说法不正确的是(
)
．抛物线开口向上
．抛物线的对称轴是x＝1
．当时，的最大值为
．抛物线与轴的交点为
4．抛物线的顶点坐标是___________．
5．已知二次函数，当_____时，随的增大而增大；当______时，有最________值是________．
知识点2：二次函数的图象的变换
6．抛物线经过平移得到，平移方法是(
)
．向右平移个单位，再向下平移个单位
．向右平移个单位，再向上平移个单位
．向左平移个单位，再向下平移个单位
．向左平移个单位，再向上平移个单位
7．把抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的解析式为，则(
)
．
.
.
.
8．如图，抛物线与轴相交于点，且过点．
(1)求的值和该抛物线顶点的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
9．已知抛物线与轴交于两点．若点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，则线段的长为_____．
10．二次函数的图象如图所示，则的值是(
)
. . . .
(第10题图)
(第12题图)
11．已知二次函数.若自变量分别取，且，则对应的函数值的大小关系正确的是(
)
.
.
.
.
12．已知二次函数的图象如图所示，当时，下列说法正确的是(
)
．有最小值，最大值
．有最小值，最大值
．有最小值，最大值
.有最小值，最大值
13．如图，抛物线和直线在同一坐标系内的图象正确的是(
)
14．已知二次函数
(1)当实数为何值时，图象经过原点？
(2)当实数在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
15．当分别取时，函数都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．
16．已知二次函数.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点时，求二次函数的解析式；
(2)如图，当时，该抛物线与轴交于点，顶点为，求两点的坐标；
(3)在(2)的条件下，轴上是否存在一点，使得最短？若点存在，求出点坐标；若点不存在，请说明理由．
3.2 用待定系数法求二次函数的解析式
用待定系数法求二次函数的解析式的几种常见的形式：
(1)三点式：已知图象上的三个点的坐标，可设二次函数的解析式为___________________．
(2)顶点式：已知抛物线的顶点坐标及图象上的一个点的坐标，可设二次函数的解析式为____________________．以下有三种特殊情况：
①当已知抛物线的顶点在原点时，我们可设抛物线的解析式为____________________；
②当已知抛物线的顶点在y轴上或以y轴为对称轴，但顶点不一定是原点时，可设抛物线的解析式为______________________；
③当已知抛物线的顶点在轴上，可设抛物线的解析式为________________，其中为抛物线与轴的交点坐标．
(3)交点式：已知抛物线与轴的两个交点坐标及图象上任意一点的坐标，可设抛物线的解析式为_____________________．
知识点1：利用“三点式”求二次函数的解析式
1．由表格中信息可知，若设，则下列与间的函数关系式正确的是(
)
. .
. .
2．已知二次函数的图象经过点，则这个二次函数的解析式为____________________．
3．已知二次函数，当时，；当时，；当时，.求这个二次函数的解析式．
知识点2：利用“顶点式”求二次函数的解析式
4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为(
)
.
.
.
．
5．已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式．
知识点3：利用“交点式”求二次函数的解析式
6．如图，抛物线的函数表达式是(
)
.
.
.
.
7．已知一个二次函数的图象与轴的两个交点的坐标分别为和，与轴的交点坐标为，求这个二次函数的解析式．
8．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是(
)
.
.
.
.
9．二次函数的图象的最高点是，则的值分别是(
)
. .
.
.
10．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
…
…
…
…
从上表可知，下列说法中正确的是_____．(填序号)
①抛物线与轴的一个交点为；
②函数的最大值为；
③抛物线的对称轴是；
④在对称轴左侧，随增大而增大．
11.已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过，
两点，则这条抛物线的解析式为_________________．
12．将二次函数的图象沿轴对折后得到的图象的解析式为_____________．
13．设抛物线过三点，其中点在直线
上，且点到抛物线对称轴的距离等于，则抛物线的函数解析式为_______________．
已知二次函数的图象的对称轴为，函数的最大值为，且图象经过点，求此二次函数的表达式．
15．已知二次函数的图象经过点，且与轴交于两点．
(1)试确定此二次函数的解析式；
(2)判断点是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出的面积；如果不在，试说明理由．
16．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
(2)已知关于的二次函数和，其中的图象经过点，若与为“同簇二次函数”，求函数的解析式，并求出当时，的最大值．
专题训练(三) 用待定系数法求二次函数解析式
一、已知三点求解析式
1．已知二次函数的图象经过和三点，则该函数的解析式是(
)
. .
.
.
2．如图，二次函数的图象经过三点，求出抛物线的解析式．
二、已知顶点或对称轴求解析式
3．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为，且过点，求该二次函数的解析式．
4．已知抛物线经过两点，且对称轴是直线，求其解析式．
三、已知抛物线与轴的交点求解析式
5．已知抛物线与轴的交点是A(－2，0)，且经过点，则该抛物线的解析式为_______________________．
6．如图，抛物线与轴的两个交点分别为，求这条抛物线的解析式．
四、已知几何图形求解析式
7．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，二次函数的图象经过两点．求该二次函数的解析式．
8．直线过点和两点，它与二次函数的图象在第一象限内交于点，若，求二次函数关系式．
五、已知图形变换求解析式
9．已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线经过坐标原点，并写出的解析式．
六、运用根与系数的关系求解析式
10．已知抛物线.
(1)直线是否经过抛物线的顶点；
(2)设该抛物线与轴交于两点，当，且时，求出这条抛物线的解析式．
第四节 二次函数与一元二次方程
4.1 二次函数与一元二次方程之间的关系
1．一元二次方程的实数根，就是二次函数，当_______时，自变量的值，它是二次函数的图象与轴交点的_________________．
2．抛物线与轴交点个数与一元二次方程根的判别式的关系：当时，抛物线与轴____交点；当时，抛物线与轴有____交点；当时，抛物线与轴有_________交点．
知识点1：二次函数与一元二次方程
1．抛物线与坐标轴的交点个数是(
)
.
.
.
.
2．如图，已知抛物线与轴的一个交点，对称轴是，则该抛物线与轴的另一个交点的坐标是(
)
．
.
.
.
3．抛物线与轴只有一个公共点，则的值为_____．
4．绿茵场上，足球运动员将球踢出，球的飞行高度与前行距离之间的关系为，那么当足球落地时距离原来的位置有______．
知识点2：利用二次函数求一元二次方程的近似解
5．根据下列表格的对应值，判断方程一个解的范围是(
)
.
.
.
.
6．用图象法求一元二次方程的近似解．
知识点3：二次函数与不等式
7．二次函数的图象如图所示，则函数值时的取值范围是(
)
.
.
.
.
(第7题图)
(第8题图)
8．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是(
)
.
.
.
.
9．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：
…
…
…
…
则当时，的取值范围是____________________．
10．已知函数，当时，，则的值可能是(
)
． .
.
.
11．根据下列表格中的对应值，判断方程的根的个数是(
)
.
.
.
.
12．抛物线的图象如图，则关于方程的情况是(
)
．有两个不相等的实数根
.
有两个异号的实数根
．有两个相等的实数根
．没有实数根
13．抛物线与轴的交点坐标分别为____________________．
14．(1)用配方法把二次函数化成的形式；
(2)在直角坐标系中画出的图象；
(3)若是函数图象上的两点，且，请比较
的大小关系；(直接写结果)
(4)把方程的根在函数的图象上表示出来．
15．二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程的两个根；
(2)写出随的增大而减小的自变量的取值范围；
(3)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
16．已知二次函数．
(1)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点？
17．已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，是方程的两根．
(1)若抛物线的顶点为，求的值；
(2)若，求二次函数的解析式．
4.2 二次函数的图象与字母系数的关系
抛物线的图象与字母系数之间的关系：
(1)当时，开口____________，当时，开口_____________；
(2)若对称轴在轴的左边，则__________，若对称轴在轴的右边，则__________；
(3)若抛物线与轴的正半轴相交，则_____，若抛物线与y轴的负半轴相交，则_______，若抛物线经过原点，则_________；
(4)当时，；当时，；当时，；当时，…；
(5)当对称轴时，，所以，此时；当对称轴时，，所以，此时；
(6)二次函数与横轴有两个交点；二次函数与横轴有一个交点；二次函数与横轴无交点．
知识点1：二次函数图象与字母系数的关系
1．二次函数的图象如图所示，则下列关系式错误的是(
)
. .
.
.
(第1题图)
(第2题图)
(第4题图)
2．二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是(
)
.
.
.当时，
.
3．二次函数中，若，则它的图象一定过点(
)
.
.
.
4．二次函数的图象如图所示，若，，
，则中，值小于的数有(
)
.个
.个
.个
.个
知识点2：函数图象的综合
5．若正比例函数，随的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是(
)
6．二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是(
)
7．在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是(
)
8．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是(
)
.
.当时，随的增大而减小
.
.是关于的方程的一个根
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(第8题图)
(第9题图)
(第11题图)
9．二次函数)的图象如图所示，其对称轴为.下列结论中错误的是(
)
.
.
.
.
10．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是(
)
.
.
.
.
已知二次函数的图象如图所示，且关于的一元二次方程
没有实数根，有下列结论：①；②；③.其中正确结论的个数是(
)
.
.
.
.
12．如图，抛物线的对称轴是过点且平行于轴的直线，若点在该抛物线上，则的值为_____．
(第12题图)
(第13题图)
如图，二次函数的图象的顶点为点，其图象与轴的交点，的横坐标分别为，与轴负半轴交于点.在下面四个结论中：①；
②；③；④只有当时，是等腰直角三角形．其中正确的结论是___________．(只填序号)
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的顶点在第一象限，若点的坐标为．试分别判断，，，，
，的符号．
15．已知关于的二次函数的图象经过点，且与轴交于不同的两点，点的坐标是．
(1)求的值；
(2)求的取值范围．
16．如图，直线和抛物线都经过点A(1，0)．
(1)求的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式的解集；(直接写出答案)
(3)若两点都在抛物线上，试比较与的大小．
综合练习(一) 二次函数的图象和性质
一、选择题
1．若抛物线经过点，则它也经过(
)
.
.
.
.
2．二次函数图象上部分点的坐标满足下表：
…
…
…
…
则该函数图象的顶点坐标为(
)
.
.
.
.
3．把抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的解析式为，则(
)
.
.
.
.
4．二次函数的图象如图所示，则它的解析式为(
)
.
.
.
.
(第4题图)
(第6题图)
5．函数与在同一坐标系中的大致图象是(
)
6．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是(
)
.
.
.
.
7．如图为抛物线的图象，为抛物线与坐标轴的交点，且，则下列关系中正确的是(
)
.
.
.
.
(第7题图)
(第8题图)
二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线.下列结论：①4；②；③；④当时，
的值随值的增大而增大．其中正确的结论有(
)
.个
.个
.个
.个
二、填空题
9．已知下列函数：①；②；③.其中图象通过平移可以得到函数的图象的有____________．(填写所有正确选项的序号)
10．已知点在二次函数的图象上，若，则______.(填“”“”或“”)
11．已知以为自变量的二次函数的图象经过原点，则____．
12．已知抛物线的顶点是，对称轴是轴，且经过，则此抛物线的解析式为______，当时，随的增大而_________．
13．如图，已知抛物线经过点，请你确定一个的值，使该抛物线与轴的一个交点在和之间，你所确定的的值是________．
14．已知抛物线的顶点在坐标轴上，则的值是________．
三、解答题
15．已知抛物线经过点．
(1)求的值；
(2)若点,都在该抛物线上，试比较与的大小．
16．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程的根的情况____________________________；
(2)写出随的增大而减小的自变量的取值范围________________；
(3)求函数的表达式．
17．如图，二次函数的图象过原点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在抛物线上存在点，满足，请求出点的坐标．
18．如图，已知二次函数的图象过和三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设二次函数的图象与轴的另一交点为，求点的坐标．
(3)在同一坐标系中画出直线，并写出在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为．
(1)求经过三点的抛物线的解析式；
(2)过点作平行于轴交抛物线于点，写出点的坐标，并求的交点的坐标；
(3)若抛物线的顶点为，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
第五节 实际问题与二次函数
5.1 二次函数与图形面积
1．求二次函数最值的方法：
(1)用配方法将化成的形式，当自变量_____时，函数有最大(小)值为______．
(2)用公式法，当__________时，二次函数有最大(小)值____________．
2．面积最值问题应该设图形一边长为_______，所求面积为因变量，建立__________的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的_____________．
知识点1：用配方法或公式法求二次函数的最大(小)值
1．当时，二次函数的最大值为_____，最小值为_____．
知识点2：二次函数与图形面积问题
2．在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图)，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为，那么与之间的函数关系是(
)
.
.
.
.
(第2题图)
(第4题图)
3．已知一个直角三角形两直角边之和为，则这个直角三角形的最大面积为(
)
. .
.
.不确定
4．用长的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是(
)
. .
.
.
如图，利用一面墙(墙的长度不超过)，用长的篱笆围一个矩形场地，当_______时，矩形场地的面积最大，最大值为________．
(第5题图)
(第6题图)
6．如图，在中，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果分别同时出发，当的面积为最大时，运动时间为_________s.
7．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为的边与这条边上的高之和为，这个三角形的面积随的变化而变化．
(1)与之间的函数关系式为_____________________；
(2)当__________时，这个三角形面积最大，最大面积是______________________．
8．如图，一个正方形纸板的边长为，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形(图中阴影部分)．设，阴影部分的面积为．
(1)求关于的函数解析式和自变量的取值范围；
(2)当取何值时，阴影部分的面积达到最大，最大值为多少？
9．将一条长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长为周长各围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是_____________．
10．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，过点作于点，于点，当_________时，四边形的面积最大，最大值为____________．
11．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为，菱形的面积)随其中一条对角线的长的变化而变化．
(1)请直接写出与之间的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)
(2)当是多少时，菱形风筝面积最大？最大面积是多少？
12．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用长的篱笆围成一个矩形花园(篱笆只围两边)，设.
(1)若花园的面积为，求的值；
(2)若在处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值．
13．如图，等腰以的速度沿直线匀速向正方形移动，直到与重合．设移动时，三角形与正方形重合部分的面积为.
(1)当时，的值分别为多少？
(2)求从开始移动时到与重合时，与的函数关系式，并求出的取值范围．
5.2 二次函数与商品利润
1．单件利润＝___________________；
总利润＝_____________________．
2．某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价．若每件商品售价为元，则可卖出件商品，那么商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为(
)
.
.
.
.
知识点：销售中的最大利润
1．“佳宝”牌电缆的日销量与销售价格之间的关系是，则日销售额(元)与销售价格之间的函数关系是_____________．
2．某电脑店销售某种品牌电脑，所获利润y(元)与所销售电脑台数x(台)之间的函数关系满足，则当卖出电脑________台时，可获得最大利润为___________元．
3．出售某种手工艺品，若每个获利元，一天可售出个，则当__________元时，一天出售该种手工艺品的总利润最大．
4．若一种服装销售盈利(万元)与销售数量(万件)满足函数关系式，则盈利(
)
．最大值为万元
．最大值为万元
.最小值为万元
．最大值为万元
5．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获得利润(元)与降价金额(元)之间的关系是，则获利最多为(
)
.元
.元
.元
．元
6．喜迎国庆，某商店销售一种进价为元/件的商品，售价为元/件，每星期可卖出件，若每件商品的售价每上涨元，则每星期就会少卖出件．设每件商品的售价上涨元(为正整数)，每星期销售该商品的利润为元，则与的函数关系为(
)
.
.
．
．
7．某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为元，售价为元，每星期可卖出件．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价元，每星期可多卖出件．
(1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
(2)降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
8．某旅社有张床位，每床每晚收费元时，床位可全部租出．若每床每晚收费提高元，则减少张床位的租出；若每床每晚收费再提高元，则再减少张床位租出．以每次提高元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高(
)
.元或元 ．元 ．元 ．元
9．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车，已知在甲、乙两地的销售利润(单位：万元)与销售量(单位：辆)之间分别满足，若该公司在甲、乙两地共销售辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为_________________万元．
10．某商场试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量(件)与销售单价(元)符合一次函数，且时，；时，.
(1)求一次函数的解析式；
(2)若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
11．心理学家发现，学生对概念的接受能力和提出概念所用的时间(单位：)之间满足函数关系，值越大，表示接受能力越强．
(1)在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第几分钟时，学生的接受能力最强？
12．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月销售量(件)与销售单价(元)之间的关系近似满足一次函数.
(1)李明在开始创业的第个月将销售单价定为元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
(2)设李明获得的利润为(元)，当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于元．如果李明想要每月获得利润不低于元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？
5.3 拱桥问题与运动中的抛物线
建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：
(1)根据题意建立适当的___________________；
(2)把已知条件转化为__________________；
(3)合理设出函数_____________；
(4)利用____________法求出函数解析式；
(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算．
知识点1：二次函数在桥梁中的应用
1．有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面．在如图所示的直角坐标系中，该抛物线的解析式为__________________．
(第1题图)
(第2题图)
2．有一座抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为，跨度为，现把它的图形放在坐标系中(如图)．若在离跨度中心点处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，则这根铁柱的长为__________.
3．如图是一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于两点，拱桥最高点到的距离为为拱桥底部的两点，且，点到直线的距离为，则的长为__________.
知识点2：二次函数在隧道中的应用
4．某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图如示，以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立直角坐标系，则该抛物线的解析式为___________．
知识点3：二次函数在其他建筑问题中的应用
5．如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部地面宽，顶部距地面的高度为，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为，该车要想通过此门，装货后的高度应小于(
)
.
.
.
.
(第5题图)
(第6题图)
6．如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．它的拱宽为，拱高为．建立如图的直角坐标系，则屋顶的轮廓线所在的抛物线的解析式为_______________________．
知识点4：二次函数在运动中的应用
7．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线(单位：)的一部分，则水喷出的最大高度是(
)
.
.
.
.
8．军事演坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度与飞行时间的关系满足.经过____秒炮弹到达它的最高点，最高点的高度是____，经过_____炮弹落到地上爆炸了．
9．竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数解析式为，其图象如图所示．若小球在发射后第与第时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是(
)
.第
.第
.第
.第
(第9题图)
(第10题图)
10．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在位置时，拱顶离水面，水面宽为，水面下降后，水面宽为(
)
.
.
.
.
11．某一型号飞机着陆后滑行的距离与滑行时间之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后滑行_____才能停下来．
12．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端处弹跳到人梯顶端椅子处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分．
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高，在一次表演中，人梯到起跳点的水平距离是，问这次表演是否成功？请说明理由．
13．如图，小河上有一座拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边组成．已知河底是水平的，，抛物线的顶点到的距离是，以所在的直线为轴，抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离(单位：)随时间(单位：)的变化满足函数关系，且当水面到顶点的距离不大于时，需禁止船只通行，请过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
14．如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式.已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为.
(1)
当时，求与的关系式；(不要求写出自变量的取值范围)
(2)
当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
专题训练(四) 实际问题与二次函数
——以利润、隧道、球类运动为背景
一、以利润为背景
1．某商场购进一种每件价格为元的新商品，试销时发现：销售单价(元/件)与每天销售量(件)之间满足如图所示的关系．
(1)求出与之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
2．随着某市近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图②所示．
(1)分别求出利润
与关于投资量的函数关系式；
(2)如果这位专业户以万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润是多少？
二、以桥梁、隧道为背景
3．如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，左边的一条抛物线可以用表示，而且左右两条抛物线关于轴对称．
(1)钢缆最低点到桥面的距离是多少？
(2)两条钢缆的最低点之间的距离是多少？
(3)写出右边钢缆抛物线的解析式．
4.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为，底部宽度为1．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点及抛物线顶点的坐标；
(2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”，使点在抛物线上，点在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
三、以球类运动为背景
5．如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下点打出一球向球洞点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度时，球移动的水平距离为．已知山坡与水平方向的夹角为，两点相距．
(1)求出点的坐标及直线的解析式；
(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从点直接打入球洞点．
6．如图，在水平地面点处有一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为.有人在直线上点(靠点一侧)竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知，网球飞行的最大高度，圆柱形桶的直径为，高为．(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)
(1)如果竖直摆放个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？
(2)当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？
专题训练(五) 二次函数与一次函数、几何类问题
一、二次函数与三角形
1．如图，在直角坐标系中，是等腰，，，抛物线的图象过点．求抛物线的解析式．
2．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，它的对称轴是直线.
(1)求抛物线的解析式；
(2)是线段上的任意一点，当为等腰三角形时，求点的坐标．
二、二次函数与四边形
3．如图，抛物线经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标．
三、二次函数与一次函数
5．如图，二次函数的图象与轴交于两点，且点坐标为，抛物线顶点的纵坐标为，经过点的一次函数的图象交抛物线于点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求当二次函数值小于一次函数值时，的取值范围；
(3)求的面积．
6．如图，一元二次方程的两根是抛物线与轴的两个交点的横坐标，且此抛物线过点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设此抛物线的顶点为，对称轴与线段相交于点，求点和点坐标；
(3)在轴上有一动点，当取得最小值时，求点的坐标．
7．如图，已知直线与抛物线交于两点．
(1)直线总经过一个定点，请直接写出点的坐标；
(2)当时，在直线下方的抛物线上求点，使的面积等于.
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