课件14张PPT。人教版九年级上册数学22.1.1二次函数正方体的表面积 正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y.显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为
y=6x2. （1）情境导入本节目标 1.结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.1 .下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为( )
A.y=ax2+bx+c B.y2=x2-4x+1
C.y=x2 D.y=2+2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A.m,n是常数,且m≠0 B.m,n是常数,且n≠0
C.m,n是常数,且m≠n D.m,n为任何实数CC预习反馈生活中的数学问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系？分析：每个队要与其他（n-1）支球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数是
（2）课堂探究即问题2 某种产品现在的年常量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？分析： 这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1+x) t，再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x) t，即两年后的产量（3）课堂探究函数（1）（2）（3）有什么共同点？一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数.二次项系数自变量一次项系数常数项课堂探究例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？典例精析 例2
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？解：由（1）可知,解得由（2）可知,解得m=3. 解题小结：本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题紧扣概念的特征进行解题.尤其第2问要保证二次项系数m+3≠0. 例3 下列函数中，（x是自变量），哪些是二次函数？为什么？
① y=ax2+bx+c ② s=3-2t2 ③y=x2
④ ⑤y=x2+x3+25 ⑥ y=(x+3)2-x2
不一定是，缺少a≠0的条件.不是，右边是分式.不是，x的最高次数是3.y=6x+9 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx,y=ax2+c等.本课小结2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数C1、把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数
为______，常数项为 .C-3x2-1612随堂检测4.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
随堂检测课件18张PPT。人教版九年级上册数学22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质（1） 你们喜欢打篮球吗？（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？情境导入1．知道二次函数的图象是一条抛物线.
2．会画二次函数y=ax2的图象.
3．掌握二次函数y=ax2的性质，并会灵活应用．本节目标1、函数y=2x2的图象的开口 ，对称轴 ，顶点是 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ； 2、函数y=-3x2的图象的开口 ，对称轴 ，顶点是 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ； 向上y轴（0,0）减小增大向下y轴（0,0）增大减小预习反馈你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?94101941. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：课堂探究2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．课堂探究课堂探究y=x2这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴. 对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.课堂探究问题1 从二次函数y=x2的图象你发现了什么性质？ 在对称轴左侧，抛物线从左往右下降；在对称称轴的右侧，抛物线从左往右上升.
顶点坐标是（0，0），是抛物线上的最低点.课堂探究问题2 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a>0)的关系是什么？二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2典例精析解：分别填表，再画出它们的图象，如图84.520.5084.520.584.520.5084.520.5典例精析问题1 从二次函数 开口大小与a的绝对值大小有什么关系？当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.典例精析－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.典例精析问题2 从二次函数
开口大小与a的绝对值大小有什么关系？位置开
口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减归 纳典例精析二次函数y=ax2图象及性质画法描点法以对称轴为中心对称取点图象抛物线轴对称图形性质重点关注4个方面开口方向及大小对称轴顶点坐标增减性本课小结 1.函数y=2x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 2.函数y=－3x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)减小减小增大增大xyyO随堂检测 3、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围是 .k>14、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）随堂检测 5.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）.
（1）则a的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 .
（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 .
抛物线在x轴的 方（除顶点外）.
(4) 若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1
则y1 y2.
2y轴向上（0,0）小上>随堂检测课件17张PPT。人教版九年级上册数学22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质（1） 二次函数y=ax2的图象是什么形状呢？什么确定y=ax2的性质？通常怎样画一个函数的图象？我们来画最简单的二次函数y=x2的图象.还记得如何用
描点法画一个
函数的图象吗？9410149情境导入y=x2O情境导入1.会画二次函数y=ax2+k的图象.
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.
3.比较函数y=ax2与y=ax2+k的联系.本节目标1.说出下列二次函数的开口方向、对称轴
及顶点坐标
(1) y=2(x+3)2
(2) y=-3(x-1)2
(3) y=5(x+2)2
(4) y=-(x-6)2
(5) y=7(x-8)2向上, x=-3,(-3,0)向下, x=1,(1,0)向上, x=-2,(-2,0)向下, x=6,(6,0)向上, x=8,(8,0)预习反馈2.抛物线y=-3(x+2)2开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为________.
3.抛物线y=3x2+0.5 可以看成由抛物线 向 平移 个单位得到的.
4.写出一个开口向上，对称轴为x=-2，并且与y轴交于点（0，8）的抛物线解析式____________. 下x=-2(-2,0)y=3x2上0.5y=2(x+2)2预习反馈在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．解：先列表：95.53135.5973.51－113.57课堂探究y = 2x2＋1y = 2x2－1 (1)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 二次函数开口方向顶点坐标对称轴向上向上(0,1)(0,-1)y轴y轴课堂探究y = 2x2＋1y = 2x2－1(2) 抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系？ 可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1. 下y=2x2+1上课堂探究二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到.二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图象的关系上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.课堂探究 把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移2个单位呢？典例精析 想一想
1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k ︱单位.第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.典例精析二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质图象性质与y=ax2的关系开口方向由a的符号决定；
k决定顶点位置；
对称轴是y轴.增减性结合开口方向和对称轴才能确定.平移规律：
k正向上；
k负向下.本课小结1、抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ． 2、填表：y = 2x2 －４向上向上向下（0,0）(0,1)(0,-5)y轴y轴y轴有最低点有最低点有最高点随堂检测3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k .在=2>2<2随堂检测5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 .（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.向下平移1个单位.>0=01(0,1)(-1,0),(1,0)开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.随堂检测P33练习：画图像及其进行归纳布置作业课件13张PPT。人教版九年级上册数学22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质（2）情境导入 问题1 二次函数 y=ax2+k（a≠0）与 y=ax2（a ≠ 0） 的图象有何关系？答：二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的图象可以由 y=ax2（a ≠ 0）
的图象平移得到：
当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时，向下平移-k个单位长度得到.答：应该可以.情境导入情境引入1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质
3.比较函数y=ax2 与 y=a(x-h)2的联系.
本节目标1、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是（ ）
A、向上平移2个单位
B、向下平移2个单位
C、向左平移2个单位
D、向右平移2个单位C预习反馈2、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，抛物线是最 点，
当x= 时，y有最 值，其值为 。
抛物线与x轴交点坐标 ，与y轴交点坐标 。 向上直线x=3（3，0）低3小0（3，0）（0，36）预习反馈向右平移
1个单位想一想
抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ 向左平移
1个单位课堂探究二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2的关系可以看作互相平移得到.左右平移规律：
括号内：左加右减；括号外不变.课堂探究典例精析例题2： 在直角坐标系中画出函数 的图象.
①指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
②根据图象回答：当 x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增 大？当x取何值时，y取最大值或最小值？
③怎样平移函数 的图象得到函数 的图象？解:①对称轴是直线x=-3，顶点坐标为(-3,0);
②当x<-3时，y随x的增大而减小；当x>-3时，y随x的的 增大而增大；当x=-3时，y有最小值.
③将函数 的图象沿x轴向左平移3个单位得到函数 的图象.二次函数y=a(x-h)2的图象及性质图象性质对称轴是x=h;
顶点坐标是（h,0)
a的符号决定开口方向.左右平移平移规律：
括号内：左加右减；括号外不变.本课小结1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .
2.二次函数y=2(x- )2图象的对称轴是直线____，顶点是________.
3 .若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为_______________.
y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 y1 〉y2 〉 y3随堂检测 4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.向上直线x=3( 3, 0 )直线x=2直线x=1向下向上(2, 0 )( 1, 0)随堂检测课件17张PPT。人教版九年级上册数学22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质(3)二次函数y=ax2+c的性质开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
c>0c<0c<0c>0(0,c)情境导入本节目标1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用.(重点）
3.理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.（难点）
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（1）y =2( x+3)2+5;（2）y = －3(x－1)2－2;
（3）y = 4(x－3)2+7; （4）y = －5(x+2)2－6.解： （1）a=2>0开口向上，对称轴为x=－3，顶点坐标为（－3，5）;（2）a=－3<0开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为（1,－2）;（3）a=4>0开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3,7）;（4）a=－5<0开口向下，对称轴为x=－2，顶点坐标为（－2, －6）.预习反馈 例3 画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.课堂探究解: 先列表再描点、连线-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5直线x=－1开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-1)课堂探究试一试 画出函数y= 2（x+1）2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-2)y= 2（x+1）2-2课堂探究二次函数y=a（x-h)2 +k的特点a＞0时，开口 , 最 点是顶点;
a＜0时，开口 , 最 点是顶点;
对称轴是 ， 顶点坐标是 .向上低向下高直线x=h(h,k)课堂探究向左平移
1个单位平移方法1向下平移
1个单位课堂探究平移方法2向左平移
1个单位向下平移
1个单位二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系可以看作互相平移得到的.y = ax2y = ax2 + k y = a(x - h )2y = a( x - h )2 + k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变.课堂探究 例4 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?典例精析C(3,0)B(1，3) A解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是∵这段抛物线经过点(3,0)，∴ 0=a(3－1)2＋3.解得:因此抛物线的解析式为:y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).当x=0时,y=2.25.答:水管长应为2.25m.a=典例精析一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质图象特点当a>0,开口向上；当a<0,开口向下.
对称轴是x=h,
顶点坐标是（h,k).平移规律左右平移：括号内左加右减；
上下平移：括号外上加下减.本课小结向上( 1, －2 )向下向下( 3 , 7)( 2 , －6 )向上直线x=－3直线x=1直线x=3直线x=2(－3, 5 )y=－3(x－1)2－2y = 4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－61.完成下列表格:随堂检测2.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若
（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是 （ ）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④xyO2x=-1B随堂检测3.求二次函数y=x2- 2x-1的顶点坐标、对称轴及其最值.解：y=x2-2x-1=x2-2x+1-1=(x-1)2-2,
∴ 顶点坐标为（1，-2），对称轴是直线x=1.当x=1，时，y最小值=-2.随堂检测课件18张PPT。人教版九年级上册数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的
图象和性质(1)说出二次函数 图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.它是由y=-4x2怎样平移得到的？情境导入本节目标1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点）对称轴是x=3，顶点坐标是（3，-5）对称轴是x=8，顶点坐标是（8,1）对称轴是x=0，顶点坐标是（0，12）根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：预习反馈二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课堂探究配方可得课堂探究答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.答：平移方法1：
先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.课堂探究问题4 如何用描点法画二次函数 的图象？解: 先利用图形的对称性列表7.553.533.557.5然后描点画图，得到图象如右图.O课堂探究问题5 结合二次函数 的图象，说出其性质。x=6当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.试一试
你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？O课堂探究我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？课堂探究y=ax2+bx+c 课堂探究例1 填表：(1,3)x=1最大值1(0,-1)y轴最大值-1最小值-6典例精析例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1D典例精析二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(1)(2)如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大.如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小.本课小结顶点：对称轴：y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)配方法公式法本课小结1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：A.y轴 B.直线x=
C. 直线x=2 D.直线x= 则该二次函数图象的对称轴为( )D随堂检测2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是 .直线x=1（2）随堂检测3.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：直线x=3直线x=8直线x=1.25直线x= 0.5随堂检测课件17张PPT。人教版九年级上册数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的
图象和性质（2） 回顾：用待定系数法求函数的解析式 已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），
所以k+b=3，-2k+b=-12.解得 k=5，b=-2.所以一次函数的解析式为y=3x-6.情境导入本节目标1.会用待定系数法求二次函数的解析式.
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式（1）已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)（2）已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3）解：已知顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k
∵顶点是（1，2）∴设y=a(x-1)2+2，又过点（2，3）
∴a(2-1)2+2=3，∴a=1
∴ y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3解：已知与x轴两交点横坐标，设交点式y=a(x-x1)(x-x2)
由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，∴设y=a(x-1)(x-3),过
（0，-3），∴ a(0-1)(0-3)=-3, ∴a=-1
∴ y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3预习反馈问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分： 课堂探究解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的解析式. 解得∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.待定系数法
步骤：
1.设：
（表达式）
2.代：
（坐标代入）
3.解：
方程（组）
4.还原：
（写解析式）课堂探究这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数解析式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数解析式.一般式法求二次函数解析式的方法课堂探究 解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的解析式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）代入上式得∴a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，∴所求的二次函数的解析式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试出这个二次函数的解析式. 课堂探究交点法求二次函数解析式的方法这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数解析式.课堂探究 选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的解析式.解：设这个二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8， 解得a=-1.∴所求的二次函数的解析式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.课堂探究顶点法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数解析式.课堂探究解：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. 例 已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0）
并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.故所求的抛物线解析式为 y=－x2+1.a-b+c=0，
a+b+c=0，
c=1.解得 a=-1, b=0, c=1典例精析①已知三点坐标②已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x-h)2+k用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标）待定系数法
求二次函数解析式本课小结求二次函数解析式的一般方法： 已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择一般式。 已知图象的顶点坐标和图像上任意一点，通常选择顶点式。yx确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，
恰当地选用一种函数表达式. 本课小结1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 . 注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.xyO12-1-2-3-4321-1345随堂检测2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其解析式是
.y=-2(x-1)2+6随堂检测(2)△ABC的面积是6.随堂检测课件23张PPT。人教版九年级上册数学22.2二次函数与一元二次方程回顾旧知二次函数的一般式：（a≠0）______是自变量，____是____的函数。xyx 当 y = 0 时，ax2 + bx + c = 0情境导入ax2 + bx + c = 0这是什么方程？ 九年级上册中我们学习了“一元二次方程” 一元二次方程与二次函数有什么关系？情境导入本节目标1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.(难点）
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.（重点）
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根. 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？h=20t-5t2课堂探究（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？204解方程：
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.当球飞行2秒时，它的高度为20米.h=20t-5t2课堂探究（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?20.5解方程：
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5米.
h=20t-5t2课堂探究（4）球从飞出到落地要用多少时间？0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.h=20t-5t2课堂探究已知二次函数，求自变量的值解一元二次方程的根二次函数与一元二次方程的关系（1）课堂探究 下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标.
（1） y = 2x2＋x－3
（2） y = 4x2 －4x +1
（3） y = x2 – x+ 1令 y= 0，解一元二次方程的根典例精析（1） y = 2x2＋x－3解：当 y = 0 时，2x2＋x－3 = 0（2x＋3）（x－1） = 0x 1 = ，x 2 = 1 所以与 x 轴有交点，有两个交点。y =a（x－x1）（x－ x 1）二次函数的两点式典例精析 （2） y = 4x2 －4x +1解：当 y = 0 时，4x2 －4x +1 = 0（2x－1）2 = 0x 1 = x 2 = 所以与 x 轴有一个交点。典例精析（3） y = x2 – x+ 1解：当 y = 0 时，x2 – x+ 1 = 0 所以与 x 轴没有交点。因为（-1）2－4×1×1 = －3 < 0典例精析由前面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的．例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).y = x2－2x－2解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为
x1≈-0.7，x2≈2.7.
典例精析 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：有两个交点有两个不相等的实数根只有一个交点有两个相等的实数根没有交点没有实数根b2 – 4ac > 0b2 – 4ac = 0b2 – 4ac < 0本课小结1.不与x轴相交的抛物线是（ ）
A. y = 2x2 – 3 B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －32.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x轴交点情况是（ ）
A. 无交点 B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定DC随堂检测3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点.4.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，则 c =＿＿.11165.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿.b2－4ac < 0随堂检测6.抛物线 y=2x2－3x－5 与y轴交于点＿＿＿＿，与x轴交于点 .7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1－2 ，x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿.(0，－5)(5/2，0) (－1，0)(-2，0) (5/3，0)随堂检测 8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个异号的实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 没有实数根xA1.3.随堂检测课件18张PPT。人教版九年级上册数学22.3.1 实际问题与二次函数1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，y的最 值是 .
2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最___ 值，是 .
3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最_______ 值，是 . x=3（3，5）3小5x=-4（-4，-1）-4大-1x=2（2,1）2大1情境导入本节目标1.掌握图形面积问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数关系式求图形面积的最值；
2.会应用二次函数的性质解决实际问题.
1、二次函数y=2(x-3)2+5，当x= 时,y有最 值是 。
2、二次函数y=x2-4x+9，当x= 时,y有最 值是 。
3、已知当x＝1时，二次函数有最大值为5，且图象过点(0，－3)，此函数关系式
是 。3 小 52 小 5y=-8(x-1)2+5预习反馈4、抛物线 （a≠0）的顶点 是 ，所以当x＝ 时，二次函数
有最小（大）值 .5、利用二次函数解决实际问题要注 意
的取值范围.
自变量x预习反馈 利用二次函数图象求最值问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是： （ ）.小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？问题课堂探究分析：
画出 的图象，借助函数图象解决实际问题：025404540250课堂探究课堂探究从函数的图象看是一条抛物线的一部分可以看出，抛物线的顶点是这个函数的图象的 点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最 值 解：当 = = 时，
h有最大值 = = .
∴小球运动的时间是 时，小球运动到最大高度是 .4533s45m 最高大课堂探究一般地，
当a＞0（a ）时，抛物线 (a≠0)的顶点是最低( )点，也就是说，当x= 时，y有最小（ ）值是 。归纳<0高大课堂探究问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l的值.矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为
m，场地的面积: (0（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.解决这类题目的一般步骤典例精析一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，所以当 时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值 .典例精析1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法.
2.利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键.本课小结1．将一条长为20cm的铁丝剪成两
段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．随堂检测2. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.解： （1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;这时设计费最多，为9×1000=9000（元）∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.随堂检测课件14张PPT。人教版九年级上册数学22.3.2 实际问题与二次函数 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求. 如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？情境导入本节目标1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元.252.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .
每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)
预习反馈 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.180006000（1）销售额= 售价×销售量;（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;（3）单件利润=售价-进价.课堂探究降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：2030020-x300+20xy=(20-x)(300+20x)建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，即：y=-20x2+60x+6000. 例 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？6000课堂探究综合可知，应定价65元时，才能使利润最大。 ②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.③涨价多少元时，利润最大，是多少？ 即定价58.5元时，最大利润是5920元.即：y=-20x2+60x+6000，由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?课堂探究求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.课堂探究 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75∵-1<0,对称轴x=10,∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元；(2)由对称性知y=16时，x=7和13.
故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.典例精析最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价:要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.本课小结 1、某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100-x）件，应如何定价才能使利润最大？随堂检测解：设最大利润为y元，根据题意得 y=（x-30）×（100-x）
=
∴当x=65时，二次函数有最大值1225， ∴定价是65元时，利润最大． 2、一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.
（1）要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多，是多少？随堂检测 解：（1）设市场某天销售这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这种水果涨了x元， 由题意得（10+x）（500﹣20x）=6000， 整理，得 解得 因为顾客得到了实惠，应取x=5.随堂检测 （2）因为每千克这种水果涨价x元时，市场每天销售这种水果所获利润为y元， y关于x的函数解析式为
y=（10+x）（500﹣20x）（0＜x≤25） 而y=（10+x）（500﹣20x）
=
所以，当x=7.5时（0＜7.5≤25），y取得最大值，最大值为6125. 随堂检测课件22张PPT。人教版九年级上册数学22.3.3实际问题与二次函数 我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！情景导入情景导入情景导入如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.（1）y=ax2（2）y=ax2+k（3）y=a(x-h)2+k（4）y=ax2+bx+cOOO本节目标1.会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.
2.建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=
-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.42.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.2预习反馈探究3：如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?-3
(-2,-2) ●
● (2,-2)4米课堂探究解：建立如图所示坐标系,由抛物线经过点（2，-2），可得
● (2,-2)设二次函数解析式为课堂探究 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?4 m4 m请同学们分别求出对应的函数解析式.OO课堂探究解决抛物线型实际问题的一般步骤(1)根据题意建立适当的直角坐标系；
(2)把已知条件转化为点的坐标；
(3)合理设出函数解析式；
(4)利用待定系数法求出函数解析式；
(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 课堂探究 在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？3米4米4米O典例精析ABC因此可设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+4 ①.解得 所以抛物线的解析式是 .当x=8时，则所以此球不能投中.判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；O典例精析若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中?（1）跳得高一点儿；（2）向前平移一点儿.3米8米4米4米O典例精析yx（8，3）（4，4）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10（1）跳得高一点儿；典例精析（8，3）（4，4）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10（７，３）
●（2）向前平移一点儿.x典例精析用二次函数解决抛物线形建筑问题都可以构建二次函数解析式，解此类问题的思想方法是利用 和 思想，合理建立直角坐标系，根据已知数据，运用 求出运动轨迹（即抛物线）的解析式，再用二次的性质去分析解决问题。数形结合函数待定系数法本课小结1、如图所示，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是（ ）
A、x＞3
B、x＜3
C、x＞1
D、x＜1c随堂检测2、某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，如图，大门地面宽AB＝4米，顶部C离地面的高度为4.4米，现在一辆装满货物的汽车欲通过大门，货物顶部离地面的高度为2.8米，装货宽度为2.4米，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？随堂检测解：如图，以AB所在的直线为X轴，以AB的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系
∵AB=4 ∴A(-2，0) B(2，0)
∵OC=4.4 ∴C(0，4.4)
设抛物线所表示的二次函数为y=ax2+4.4
∵抛物线过A(-2,0)
∴4a+4.4=0 ∴a=-1.1
∴抛物线所表示的二次函数为 y=1.1x2+4.4
当x=1.2时，y=-1.1×1.22+4.4=2.816＞2.8 ∴汽车能顺利经过大门随堂检测3.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？OA1.25米OA解：如图建立坐标系，设抛物线顶点
为B，水流落水与x轴交于C点.
由题意可知A（ 0，1.25）、
B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）. xy设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0), 点A坐标代入，得a= － 1；当y= 0时， x１= － 0.5（舍去）， x２=2.5∴水池的半径至少要2.5米.∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25. 1.25课件33张PPT。第二十二章
二次函数九年级上册知识梳理类型一：二次函数的平移
【主题训练1】(枣庄中考)将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为( )
A.y=3(x+2)2+3 B.y=3(x-2)2+3
C.y=3(x+2)2-3 D.y=3(x-2)2-3类型归纳【自主解答】选A.由“上加下减”的平移规律可知,将抛物线y=3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为:y=3x2+3;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为:y=3(x+2)2+3.类型归纳【主题升华】
二次函数平移的两种方法
1.确定顶点坐标平移:根据两抛物线前后顶点坐标的位置确定平移的方向与距离.
2.利用规律平移:y=a(x+h)2+k是由y=ax2经过适当的平移得到的,其平移规律是“h左加右减,k上加下减”.即自变量加减左右移,函数值加减上下移.类型归纳类型二：二次函数的图象及性质
【主题训练2】(十堰中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),下列结论:①ab<0;②b2>4a;③0-1时,y>0.其中正确结论的个数是( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个类型归纳【自主解答】选B.①∵对称轴在y轴右侧,∴- >0,∴ <0,
∴a,b异号,∴ab<0,①正确;②把x=0,y=1代入y=ax2+bx+c得c=1,
所以二次函数为y=ax2+bx+1; 又∵图象与x轴有两个交点,
∴b2-4ac>0,∴b2>4a,②正确;③∵当x=1时,图象在x轴上方,
∴a+b+c>0;把x=-1,y=0代入y=ax2+bx+1,得b=a+1,∵图象的开
口向下,∴a<0,∴a+b+c= a+a+1+1=2a+2<2,∴0确;④∵b=a+1,∴a=b-1,∵00<2b<2,∴0-1时,函数图象有部分在x轴上
方,与x轴有交点,有部分在x轴下方,所以y>0,y=0,y<0都有可能.
所以正确的共有4个,选B.类型归纳【主题升华】类型归纳类型三：二次函数与方程、不等式
【主题训练3】(贺州中考)已知二
次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,
给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a-b
=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确
的是 .(填入正确结论的序号)类型归纳【自主解答】∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,
∴b2-4ac>0,即b2>4ac,①是正确的.
∵抛物线的开口方向向上,∴a>0;
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,∴c<0;
∵对称轴x= =1>0,∴a与b异号,则b<0.
∴abc>0,②是正确的.∵抛物线的对称轴x= =1,
∴b=-2a,∴2a+b=0,③是错误的.类型归纳∵当x=-2时,y=4a-2b+c>0,又∵b=-2a,
∴4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c>0,④是错误的.
∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴在x=-1与x=3时函数值相等,由函数图象可知x=-1的函数值为负数,∴x=3时的函数值y=9a+3b+c<0,⑤是正确的.
答案:①②⑤类型归纳【主题升华】
二次函数与方程、不等式的关系
1.二次函数与方程:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标满足ax2+bx+c=0.
2.二次函数与不等式:抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方部分的横坐标满足ax2+bx+c>0;抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方部分的横坐标满足ax2+bx+c<0.类型归纳类型四：二次函数的应用
【主题训练4】(武汉中考)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如表).类型归纳由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数,且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.
(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由.
(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?
(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择?直接写出结果.类型归纳【自主解答】(1)选择二次函数.设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
根据题意,得
∴y关于x的函数解析式为y=-x2-2x+49.
不选另外两个函数的理由:点(0,49)不可能在任何反比例函数图象上,所以y不是x的反比例函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在同一直线上,所以y不是x的一次函数.类型归纳(2)由(1)得y=-x2-2x+49,∴y=-(x+1)2+50.
∵a=-1<0,∴当x=-1时y的最大值为50.
即当温度为-1℃时,这种植物每天高度增长量最大.
(3)-6解决二次函数应用题的两步骤
1.建模:根据数量关系列二次函数关系建模或者根据图象的形状建模.
2.应用:利用二次函数的性质解决问题.类型归纳（2016·浙江省绍兴市·10分）课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后
，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．典例精析【解析】（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可；
（2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可．解：（1）由已知可得：AD= ，
则S=1× m2，
（2）设AB=xm，则AD=3- m，
∵ ，
∴ ，
设窗户面积为S，由已知得：
，
当x= m时，且x= m在 的范围内 ， ，
∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大典例精析本课小结1.引导学生整理把握本章知识点并熟练掌握。
2.结合知识点进行归纳总结；
3.灵活应用知识点。1.(茂名中考)下列二次函数的图象,不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是( )
A.y=3x2+2 B.y=3(x-1)2
C.y=3(x-1)2+2 D.y=2x2
【解析】选D.函数y=3x2的图象平移后,二次项系数仍然是3,不可能变为2,所以D选项中二次函数的图象不能通过函数y=3x2的图象平移得到.随堂检测2.(衢州中考)抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4,则b,c的值为( )
A.b=2,c=-6 B.b=2,c=0
C.b=-6,c=8 D.b=-6,c=2随堂检测【解析】选B.平移后的顶点为(1,-4),根据平移前后是相反的
过程可知(1,-4)向左平移2个单位,再向上平移3个单位得到y=x2+bx+c的顶点为(-1,-1),所以原抛物线的解析式y=(x+1)2-1,化成一般形式为y=x2+2x,故b=2,c=0.类型归纳3.(长沙中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,
则下列关系式错误的是( )
A.a>0
B.c>0
C.b2-4ac>0
D.a+b+c>0随堂检测【解析】选D.随堂检测4.(陕西中考)已知两点A(-5,y1),B(3,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,点C(x0,y0)是该抛物线的顶点,若y1>y2 ≥y0,则x0的取值范围是( )
A.x0>-5 B.x0>-1
C.-5y2≥y0,∴抛物线开口向上,且对称轴不可能
在A点的左侧;若对称轴在B点或其右侧,此时满足题意,则有
x0≥3;若对称轴在A,B两点之间,当y1=y2时,有x0=-1,当y1>y2时,
应有x0> ,即3>x0>-1,综上可得x0的取值范围是x0>-1.随堂检测5.(绵阳中考)二次函数y=ax2+bx+c
的图象如图所示,给出下列结论:①2a+b>0;
②b>a>c;③若-1④3|a|+|c|<2|b|.其中正确的结论是
(写出你认为正确的所有结论序号).随堂检测【解析】对称轴x= ＞1，所以b>－2a，即2a+b>0，故①正
确；抛物线开口向下，a＜0，与y轴交于负半轴，c＜0，对称
轴x= ＞0，∴b＞0.根据图象无法确定a与c的大小，故②不
正确；因为－1＜m＜n＜1，∴ ＜1，而对称轴x= ＞
1，所以 ＜ ，即m+n＜ ，故③正确；因为x=1时，
a+b+c＞0，而2a+b>0，∴2a+b+a+b+c>0，所以3|a|－2|b|
+|c|=－3a－2b－c=-(3a+2b+c)<0，即3|a|+|c|＜2|b|，故
④正确.
答案：①③④随堂检测6.(仙桃中考)2013年5月26日,中国羽毛球队蝉联苏迪曼
杯团体赛冠军,成就了首个五连冠霸业.比赛中羽毛球的某次运
动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素,羽毛
球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系
则羽毛球飞出的水平距离为 m.随堂检测【解析】令y=0，得： 解得：x1=5，x2=-1(不合题意，舍去)，所以羽毛球飞出的水平距离为5 m.
答案：5随堂检测7.(鞍山中考)某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售,每月能卖出3万件;若按每件6元的价格销售,每月能卖出2万件,假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系.
(1)试求y与x之间的函数关系式.
(2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少?随堂检测【解析】(1)由题意,可设y=kx+b(k≠0),把(5,30000),(6,20000)代入得
所以y与x之间的关系式为:y=-10000x+80000.
(2)设每月的利润为W,则W=(x-4)(-10000x+80000)
=-10000(x-4)(x-8)=-10000(x2-12x+32)
=-10000[(x-6)2-4]=-10000(x-6)2+40000.
所以当x=6时,W取得最大值,最大值为40000元.
答:当销售价格定为每件6元时,每月的利润最大,每月的最大利润为40000元.随堂检测