江苏省淮安市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 江苏省淮安市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 192.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-07-13 21:01:20 | ||
图片预览
文档简介
2016-2017学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．2sin15°cos15°=
．
2．一组数据1，3，2，5，4的方差是
．
3．若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为
．
4．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是
．
5．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是
．
6．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为
．
7．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=
．
8．若tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值是
．
9．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若2a7﹣a5﹣3=0，则S17的值是
．
10．已知△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，则AC=
．
11．在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和．若sn=254，则n=
．
12．已知{an}是等差数列，a1=1公差d≠0，Sn为其前n项的和，若a1，a2，a5成等比数列，S10=
．
13．在锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，则tanB+2tanC的最小值是
．
14．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为
．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15．（14分）已知sinα=．
（1）求的值；
（2）求的值．
16．（14分）已知等差数列{an}中，其前n项和为Sn，a2=4，S5=30．
（1）求{an}的首项a1和公差d的值；
（2）设数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前项和Tn．
17．（14分）某学校为了解学校食堂的服
( http: / / www.21cnjy.com )务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；
（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不
( http: / / www.21cnjy.com )得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．
18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．．
（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值；
（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．
19．（16分）如图，GH是东西方向的公路
( http: / / www.21cnjy.com )北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．
（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；
（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．
20．（16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n2﹣4n，数列{bn}中，b1=对任意正整数．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在实数μ，使得数列{3n bn+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；
（3）求证：．
2016-2017学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．（2017春 淮安期末）2sin15°cos15°= ．
【考点】GS：二倍角的正弦．
【专题】56
：三角函数的求值．
【分析】根据式子的特点直接代入倍角的正弦公式求解即可．
【解答】解：原式=sin30°=，
故答案为：．
【点评】本题考查了倍角的正弦公式简单应用，属于基础题．
2．（2017春 淮安期末）一组数据1，3，2，5，4的方差是 2 ．
【考点】BC：极差、方差与标准差．
【专题】38
：对应思想；4R：转化法．
【分析】根据方差公式计算即可．S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
【解答】解：=（1+2+3+4+5）÷5=3，
S2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查方差的定义
( http: / / www.21cnjy.com )．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
3．（2017春 淮安期末）若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为 ．
【考点】3H：函数的最值及其几何意义．
【专题】11
：计算题；35
：转化思想．
【分析】可对解析式x（1﹣x）进行变形，再根据自变量的取值范围判断出最大值在何处取到从而计算出函数的最值．
【解答】解：∵x（1﹣x）=﹣，x∈（0，1）
∴当x=时，x（1﹣x）的最大值为
故答案为：．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义
( http: / / www.21cnjy.com )，正确解答本题关键是将所给的解析式转化为二次函数的顶点式，再根据自变量的取值范围以及二次函数的性质求出最值．
4．（2016 江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 9 ．
【考点】EF：程序框图．
【专题】11
：计算题；28
：操作型；5K
：算法和程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，
当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5
当a=9，b=5时，满足a＞b，
故输出的a值为9，
故答案为：9
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
5．（2015 怀化模拟）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是 ．
【考点】CF：几何概型．
【专题】11
：计算题；5I
：概率与统计．
【分析】根据题意，事件“灯与两端距
( http: / / www.21cnjy.com )离都大于2m”对应的长度为6m长的线段位于中间的、长度为2米的部分，由此结合几何概型的计算公式，即可算出灯与两端距离都大于2m的概率．
【解答】解：设事件A=“灯与两端距离都大于2m”
根据题意，事件A对应的长度为6m长的线段位于中间的、长度为2米的部分
因此，事件A发生的概率为P（A）==
故答案为：
【点评】本题给出几何概型，求灯与两端距离都大于2m的概率．着重考查了几何概型计算公式及其应用的知识，属于基础题．
6．（2016 盐城一模）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为 ﹣3 ．
【考点】7C：简单线性规划．
【专题】31
：数形结合；4R：转化法；5T
：不等式．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，
平移直线y=x﹣z，当直线经过点A时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．
由，得，
此时zmin=1﹣4=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．
7．（2017春 淮安期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC= ﹣ ．
【考点】HR：余弦定理．
【专题】11
：计算题．
【分析】由已知的a：b：c的比值设出a，b及c，然后利用余弦定理表示出cosC，把设出的a，b及c代入，化简可得cosC的值．
【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，
则根据余弦定理得：cosC===﹣．
故答案为：﹣
【点评】此题考查了余弦定理，以及比例的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
8．（2017春 淮安期末）若tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值是 7 ．
【考点】GR：两角和与差的正切函数．
【专题】33
：函数思想；4A
：数学模型法；56
：三角函数的求值．
【分析】直接由tanβ=tan[（α+β）﹣α]展开两角差的正切得答案．
【解答】解：由tanα=﹣2，tan（α+β）=，
得tanβ=tan[（α+β）﹣α]=．
故答案为：7．
【点评】本题考查了两角和与差的正切函数，关键是“拆角配角”思想的应用，是基础题．
9．（2017春 淮安期末）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若2a7﹣a5﹣3=0，则S17的值是 51 ．
【考点】85：等差数列的前n项和．
【专题】34
：方程思想；4R：转化法；54
：等差数列与等比数列．
【分析】设等差数列{an}的公差为
( http: / / www.21cnjy.com )d，由2a7﹣a5﹣3=0，可得2（a1+6d）﹣（a1+4d）﹣3=0，化为：a9=3．利用S17==17a9，即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵2a7﹣a5﹣3=0，∴2（a1+6d）﹣（a1+4d）﹣3=0，
化为：a1+8d=3，即a9=3．
则S17==17a9=17×3=51．
故答案为：51．
【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（2017春 淮安期末）已知△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，则AC= 1或2 ．
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【专题】58
：解三角形．
【分析】利用余弦定理列出关系式，将c，a及cosA的值代入求出b的值，即为AC的长．
【解答】解：∵AB=c=，BC=a=1，cosA=，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+3﹣3b，
解得：b=1或2，
则AC=1或2．
故答案为：1或2
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
11．（2017春 淮安期末）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和．若sn=254，则n= 7 ．
【考点】89：等比数列的前n项和．
【专题】54
：等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：由数列{an}中，a1=2，an+1=2an，
可知：此数列为等比数列，首项为2，公比为2．
又sn=254，
∴254=，
化为2n=128，
解得n=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（2017春 淮安期末）已知{an}是
( http: / / www.21cnjy.com )等差数列，a1=1公差d≠0，Sn为其前n项的和，若a1，a2，a5成等比数列，S10= 100 ．
【考点】8F：等差数列的性质．
【专题】54
：等差数列与等比数列．
【分析】根据等比数列的性质建立条件关系，求出等差数列的公差，即可得到结论．
【解答】解：若a1，a2，a5成等比数列，
则a1a5=（a2）2，
即a1（a1+4d）=（a1+d）2，
则1+4d=（1+d）2，
即2d=d2，
解得d=2或d=0（舍去），
则S10==10+90=100，
故答案为：100．
【点评】本题主要考查等差数列的性质和数列求和，根据条件求出等差数列的公差是解决本题的关键．
13．（2017春 淮安期末）在锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，则tanB+2tanC的最小值是 3+2 ．
【考点】HW：三角函数的最值．
【专题】35
：转化思想；4R：转化法；56
：三角函数的求值．
【分析】根据sinA=si
( http: / / www.21cnjy.com )nBsinC，得出sin（B+C）=sinBsinC，从而求出tanC、tanB的关系，代入tanB+2tanC中，利用基本不等式求出它的最小值．
【解答】解：锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，
∴sin（B+C）=sinBsinC，
即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC，
∴cosBsinC=sinB（sinC﹣cosC），
∴sinC=（sinC﹣cosC），
两边都除以cosC，得tanC=tanB（tanC﹣1），
∴tanB=；
又tanB＞0，∴tanC﹣1＞0，
∴tanB+2tanC=+2tanC
=+2tanC
=1++2（tanC﹣1）+2≥3+2=3+2，
当且仅当=2（tanC﹣1），即tanC=1+时取“=”；
∴tanB+2tanC的最小值是3+2．
故答案为：3+2．
【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，考查了转化思想，有一定灵活性，是中档题．
14．（2017春 淮安
( http: / / www.21cnjy.com )期末）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为 [2，） ．
【考点】8I：数列与函数的综合；3H：函数的最值及其几何意义；88：等比数列的通项公式．
【专题】35
：转化思想；48
：分析法；54
：等差数列与等比数列；59
：不等式的解法及应用．
【分析】设==q，q＞0，则b=a
( http: / / www.21cnjy.com )q，c=aq2，a+aq＞aq2，aq+aq2＞a，a+aq2＞aq，由此能够求出的取值范围，结合对勾函数的单调性，即可得到所求范围，
【解答】解：a，b，c成等比数列，
设==q，q＞0，
则b=aq，c=aq2，
∴
∴，
解得＜q＜．
则=+=+q，
由f（q）=+q在（，1）递减，在（1，）递增，
可得f（1）取得最小值2，由f（）=f（）=，
即有f（q）∈[2，）．
故答案为：[2，）．
【点评】本题考查数列与函数的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角形三边关系和对勾函数的单调性的灵活运用．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15．（14分）（2017春 淮安期末）已知sinα=．
（1）求的值；
（2）求的值．
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数．
【专题】11
：计算题；33
：函数思想；4R：转化法；56
：三角函数的求值．
【分析】（1）由已知求出cosα，展开两角和的正弦求的值；
（2）由（1）求出sin2α，cos2α的值，再由两角差的余弦得答案．
【解答】解：（1）∵α∈（），sinα=，
∴cosα=﹣．
∴=sincosα+cossinα
=；
（2）∵sin2α=2sinαcosα=，
cos2α=cos2α﹣sin2α=，
∴=
=．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数，是基础题．
16．（14分）（2017春 淮安期末）已知等差数列{an}中，其前n项和为Sn，a2=4，S5=30．
（1）求{an}的首项a1和公差d的值；
（2）设数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前项和Tn．
【考点】8E：数列的求和．
【专题】35
：转化思想；4R：转化法；55
：点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（1）由a2=4，S5=30，得
解得
首项a1和公差d的值
（2）可得
，bn==，累加即可．
【解答】解：（1）因为{an}是等差数列，a2=4，S5=30，
所以
解得
a1=2，d=2
（2）由（1）知
即
所以bn==
于是数列{bn}的前n项和
Tn=b1+b2+b3+…+bn=（1﹣）+（）+…+（）
=1﹣=
【点评】本题考查了等差数列的通项、裂项求和，属于中档题．
17．（14分）（2017春 淮安期末
( http: / / www.21cnjy.com )）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；
（3）学校规定：师生对食堂服务质量
( http: / / www.21cnjy.com )的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．
【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．
【专题】11
：计算题；31
：数形结合；44
：数形结合法；5I
：概率与统计．
【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a的值．
（2）设被抽取的2人中恰好有一人评分在[
( http: / / www.21cnjy.com )40，50）上为事件A．样本中评分在[40，50）的师生人数为2，记为1，2号样本中评分在[50，60）的师生人数为3，记为3，4，5号，由此利用列举法能求出从5人中任意取2人，2人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率．
（3）求出服务质量评分的平均分为76.2＞75，从而得到食堂不需要内部整顿．
【解答】解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，
解得a=0.006．…（4分）
（2）设被抽取的2人中恰好有一人评分在[40，50）上为事件A．…
因为样本中评分在[40，50）的师生人数为：m1=0.004×10×50=2，记为1，2号
样本中评分在[50，60）的师生人数为：m2=0.006×10×50=3，记为3，4，5号…（7分）
所以从5人中任意取2人共有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），
（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种等可能情况，
2人中恰有1人评分在[40，50）上有：
（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共6种等可能情况．
∴2人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率为P（A）==．…（10分）
（3）服务质量评分的平均分为：
=45×0.004×10+55×0
( http: / / www.21cnjy.com ).006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10=76.2．…（13分）
∵76.2＞75，∴食堂不需要内部整顿．…（14分）
【点评】本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．
18．（16分）（2017春 淮安期末）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．．
（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值；
（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．
【考点】74：一元二次不等式的解法．
【专题】35
：转化思想；4R：转化法；59
：不等式的解法及应用．
【分析】（1）问题转化为方程ax2+（a﹣2）x﹣2=0有两根且分别为﹣1，2，得到关于a的方程，解出即可；
（2）问题转化为（x+1）（ax﹣2）≤0，通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）因为不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≤0的解集为[﹣1，2]，
所以方程ax2+（a﹣2）x﹣2=0有两根且分别为﹣1，2，
所以△=（a﹣2）2﹣4a （﹣2）≥0且﹣1×2=，解得：a=1；
（2）由ax2+（a﹣2）x﹣2≤0，得（x+1）（ax﹣2）≤0，
当﹣2＜a＜0时，解集为{x|x≤或x≥﹣1}，
当a=﹣2时，解集为R；
当a＜﹣2时，解集为{x|x≤﹣1或x≥}．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是一道中档题．
19．（16分）（2017春 淮安期末
( http: / / www.21cnjy.com )）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．
（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；
（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．
【考点】HS：余弦定理的应用；3H：函数的最值及其几何意义．
【专题】11
：计算题；35
：转化思想；51
：函数的性质及应用．
【分析】（1）在△BCF中，C
( http: / / www.21cnjy.com )F=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，BC=2x．在△ABC中，AB=y，AC=y﹣1，∠ABC=60°，由余弦定理，求解函数的解析式，然后求解定义域．
（2）求出M=30 （2y﹣1）+40x，通过基本不等式求解表达式的最值即可．
【解答】（1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，所以BC=2x．
在△ABC中，AB=y，AC=y﹣1，∠ABC=60°，
由余弦定理，得AC2=BA2+BC2﹣2BA BCcos∠ABC，…（2分）
即
（（y﹣1）2=y2+（2x）2﹣2y 2x cos60°，
所以
．…
由AB﹣AC＜BC，得．又因为
＞0，所以x＞1．
所以函数的定义域是（1，+∞）．…（6分）
（2）M=30 （2y﹣1）+40x．…（8分）
因为．（x＞1），所以M=30
即
M=10．…（10分）
令t=x﹣1，则t＞0．于是M（t）=10（16t+），t＞0，…（12分）
由基本不等式得M（t）≥10（2）=490，
当且仅当t=，即x=时取等号．…（15分）
答：当x=km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元．…（16分）
【点评】本题考查实际问题的应用，基本不等式求解表达式的最值，考查思想以及计算能力．
20．（16分）（2017春 淮安期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n2﹣4n，数列{bn}中，b1=对任意正整数．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在实数μ，使得数列{3n bn+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；
（3）求证：．
【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．
【专题】32
：分类讨论；34
：方程思想；4R：转化法；54
：等差数列与等比数列．
【分析】（1）当n=1时，a1=S1=﹣3，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，可得an．
（2）法一：假设存在实数μ，使数列{3
( http: / / www.21cnjy.com )n bn+μ}是等比数列，且公比为q．因为对任意正整数，，可令n=2，3，得
b2，b3．根据{3nbn+μ}是等比数列，可得：=，解得
μ，代入可得
=﹣3
（n≥2）即可证明．
法二：因为对任意正整数．所以，设3nbn+μ=﹣3（3n﹣1bn﹣1+μ），可得﹣4μ=1，即可证明．
（3）由a2=﹣1，a3=1，可得，，可得，即，利用等比数列的求和公式即可得出．对n分类讨论，利用数列的单调性即可证明．
【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=﹣3，…（1分）
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣4n﹣（n﹣1）2+4（n﹣1），
即an=2n﹣5，…（3分）
n=1也适合，所以an=2n﹣5．…（4分）
（2）法一：
假设存在实数μ，使数列{3n bn+μ}是等比数列，且公比为q．…
因为对任意正整数，，
可令n=2，3，得
b2=，b3=﹣．…（6分）
因为{3nbn+μ}是等比数列，所以=，解得
μ=﹣
…（7分）
从而
===﹣3
（n≥2）…（9分）
所以存在实数μ=﹣，公比为q=﹣3．…（10分）
法二：因为对任意正整数．所以，
设3nbn+μ=﹣3（3n﹣1bn﹣1+μ），则﹣4μ=1，…（8分）
所以存在，且公比．…（10分）
（3）因为a2=﹣1，a3=1，所以，，
所以，即，…（12分）
于是b1+b2+…+bn=+++…===…（13分）
当是奇数时：b1+b2+…+bn=，关于递增，
得≤b1+b2+…+bn＜．…（14分）
当是偶数时：b1+b2+…+bn=，关于递增，
得
≤b1+b2+…+bn．…（15分）
综上，≤b1+b2+…+bn．…（16分）
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．2sin15°cos15°=
．
2．一组数据1，3，2，5，4的方差是
．
3．若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为
．
4．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是
．
5．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是
．
6．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为
．
7．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=
．
8．若tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值是
．
9．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若2a7﹣a5﹣3=0，则S17的值是
．
10．已知△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，则AC=
．
11．在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和．若sn=254，则n=
．
12．已知{an}是等差数列，a1=1公差d≠0，Sn为其前n项的和，若a1，a2，a5成等比数列，S10=
．
13．在锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，则tanB+2tanC的最小值是
．
14．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为
．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15．（14分）已知sinα=．
（1）求的值；
（2）求的值．
16．（14分）已知等差数列{an}中，其前n项和为Sn，a2=4，S5=30．
（1）求{an}的首项a1和公差d的值；
（2）设数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前项和Tn．
17．（14分）某学校为了解学校食堂的服
( http: / / www.21cnjy.com )务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；
（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不
( http: / / www.21cnjy.com )得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．
18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．．
（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值；
（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．
19．（16分）如图，GH是东西方向的公路
( http: / / www.21cnjy.com )北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．
（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；
（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．
20．（16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n2﹣4n，数列{bn}中，b1=对任意正整数．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在实数μ，使得数列{3n bn+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；
（3）求证：．
2016-2017学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．（2017春 淮安期末）2sin15°cos15°= ．
【考点】GS：二倍角的正弦．
【专题】56
：三角函数的求值．
【分析】根据式子的特点直接代入倍角的正弦公式求解即可．
【解答】解：原式=sin30°=，
故答案为：．
【点评】本题考查了倍角的正弦公式简单应用，属于基础题．
2．（2017春 淮安期末）一组数据1，3，2，5，4的方差是 2 ．
【考点】BC：极差、方差与标准差．
【专题】38
：对应思想；4R：转化法．
【分析】根据方差公式计算即可．S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
【解答】解：=（1+2+3+4+5）÷5=3，
S2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查方差的定义
( http: / / www.21cnjy.com )．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
3．（2017春 淮安期末）若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为 ．
【考点】3H：函数的最值及其几何意义．
【专题】11
：计算题；35
：转化思想．
【分析】可对解析式x（1﹣x）进行变形，再根据自变量的取值范围判断出最大值在何处取到从而计算出函数的最值．
【解答】解：∵x（1﹣x）=﹣，x∈（0，1）
∴当x=时，x（1﹣x）的最大值为
故答案为：．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义
( http: / / www.21cnjy.com )，正确解答本题关键是将所给的解析式转化为二次函数的顶点式，再根据自变量的取值范围以及二次函数的性质求出最值．
4．（2016 江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 9 ．
【考点】EF：程序框图．
【专题】11
：计算题；28
：操作型；5K
：算法和程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，
当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5
当a=9，b=5时，满足a＞b，
故输出的a值为9，
故答案为：9
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
5．（2015 怀化模拟）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是 ．
【考点】CF：几何概型．
【专题】11
：计算题；5I
：概率与统计．
【分析】根据题意，事件“灯与两端距
( http: / / www.21cnjy.com )离都大于2m”对应的长度为6m长的线段位于中间的、长度为2米的部分，由此结合几何概型的计算公式，即可算出灯与两端距离都大于2m的概率．
【解答】解：设事件A=“灯与两端距离都大于2m”
根据题意，事件A对应的长度为6m长的线段位于中间的、长度为2米的部分
因此，事件A发生的概率为P（A）==
故答案为：
【点评】本题给出几何概型，求灯与两端距离都大于2m的概率．着重考查了几何概型计算公式及其应用的知识，属于基础题．
6．（2016 盐城一模）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为 ﹣3 ．
【考点】7C：简单线性规划．
【专题】31
：数形结合；4R：转化法；5T
：不等式．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，
平移直线y=x﹣z，当直线经过点A时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．
由，得，
此时zmin=1﹣4=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．
7．（2017春 淮安期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC= ﹣ ．
【考点】HR：余弦定理．
【专题】11
：计算题．
【分析】由已知的a：b：c的比值设出a，b及c，然后利用余弦定理表示出cosC，把设出的a，b及c代入，化简可得cosC的值．
【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，
则根据余弦定理得：cosC===﹣．
故答案为：﹣
【点评】此题考查了余弦定理，以及比例的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
8．（2017春 淮安期末）若tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值是 7 ．
【考点】GR：两角和与差的正切函数．
【专题】33
：函数思想；4A
：数学模型法；56
：三角函数的求值．
【分析】直接由tanβ=tan[（α+β）﹣α]展开两角差的正切得答案．
【解答】解：由tanα=﹣2，tan（α+β）=，
得tanβ=tan[（α+β）﹣α]=．
故答案为：7．
【点评】本题考查了两角和与差的正切函数，关键是“拆角配角”思想的应用，是基础题．
9．（2017春 淮安期末）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若2a7﹣a5﹣3=0，则S17的值是 51 ．
【考点】85：等差数列的前n项和．
【专题】34
：方程思想；4R：转化法；54
：等差数列与等比数列．
【分析】设等差数列{an}的公差为
( http: / / www.21cnjy.com )d，由2a7﹣a5﹣3=0，可得2（a1+6d）﹣（a1+4d）﹣3=0，化为：a9=3．利用S17==17a9，即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵2a7﹣a5﹣3=0，∴2（a1+6d）﹣（a1+4d）﹣3=0，
化为：a1+8d=3，即a9=3．
则S17==17a9=17×3=51．
故答案为：51．
【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（2017春 淮安期末）已知△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，则AC= 1或2 ．
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【专题】58
：解三角形．
【分析】利用余弦定理列出关系式，将c，a及cosA的值代入求出b的值，即为AC的长．
【解答】解：∵AB=c=，BC=a=1，cosA=，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+3﹣3b，
解得：b=1或2，
则AC=1或2．
故答案为：1或2
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
11．（2017春 淮安期末）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和．若sn=254，则n= 7 ．
【考点】89：等比数列的前n项和．
【专题】54
：等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：由数列{an}中，a1=2，an+1=2an，
可知：此数列为等比数列，首项为2，公比为2．
又sn=254，
∴254=，
化为2n=128，
解得n=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（2017春 淮安期末）已知{an}是
( http: / / www.21cnjy.com )等差数列，a1=1公差d≠0，Sn为其前n项的和，若a1，a2，a5成等比数列，S10= 100 ．
【考点】8F：等差数列的性质．
【专题】54
：等差数列与等比数列．
【分析】根据等比数列的性质建立条件关系，求出等差数列的公差，即可得到结论．
【解答】解：若a1，a2，a5成等比数列，
则a1a5=（a2）2，
即a1（a1+4d）=（a1+d）2，
则1+4d=（1+d）2，
即2d=d2，
解得d=2或d=0（舍去），
则S10==10+90=100，
故答案为：100．
【点评】本题主要考查等差数列的性质和数列求和，根据条件求出等差数列的公差是解决本题的关键．
13．（2017春 淮安期末）在锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，则tanB+2tanC的最小值是 3+2 ．
【考点】HW：三角函数的最值．
【专题】35
：转化思想；4R：转化法；56
：三角函数的求值．
【分析】根据sinA=si
( http: / / www.21cnjy.com )nBsinC，得出sin（B+C）=sinBsinC，从而求出tanC、tanB的关系，代入tanB+2tanC中，利用基本不等式求出它的最小值．
【解答】解：锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，
∴sin（B+C）=sinBsinC，
即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC，
∴cosBsinC=sinB（sinC﹣cosC），
∴sinC=（sinC﹣cosC），
两边都除以cosC，得tanC=tanB（tanC﹣1），
∴tanB=；
又tanB＞0，∴tanC﹣1＞0，
∴tanB+2tanC=+2tanC
=+2tanC
=1++2（tanC﹣1）+2≥3+2=3+2，
当且仅当=2（tanC﹣1），即tanC=1+时取“=”；
∴tanB+2tanC的最小值是3+2．
故答案为：3+2．
【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，考查了转化思想，有一定灵活性，是中档题．
14．（2017春 淮安
( http: / / www.21cnjy.com )期末）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为 [2，） ．
【考点】8I：数列与函数的综合；3H：函数的最值及其几何意义；88：等比数列的通项公式．
【专题】35
：转化思想；48
：分析法；54
：等差数列与等比数列；59
：不等式的解法及应用．
【分析】设==q，q＞0，则b=a
( http: / / www.21cnjy.com )q，c=aq2，a+aq＞aq2，aq+aq2＞a，a+aq2＞aq，由此能够求出的取值范围，结合对勾函数的单调性，即可得到所求范围，
【解答】解：a，b，c成等比数列，
设==q，q＞0，
则b=aq，c=aq2，
∴
∴，
解得＜q＜．
则=+=+q，
由f（q）=+q在（，1）递减，在（1，）递增，
可得f（1）取得最小值2，由f（）=f（）=，
即有f（q）∈[2，）．
故答案为：[2，）．
【点评】本题考查数列与函数的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角形三边关系和对勾函数的单调性的灵活运用．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15．（14分）（2017春 淮安期末）已知sinα=．
（1）求的值；
（2）求的值．
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数．
【专题】11
：计算题；33
：函数思想；4R：转化法；56
：三角函数的求值．
【分析】（1）由已知求出cosα，展开两角和的正弦求的值；
（2）由（1）求出sin2α，cos2α的值，再由两角差的余弦得答案．
【解答】解：（1）∵α∈（），sinα=，
∴cosα=﹣．
∴=sincosα+cossinα
=；
（2）∵sin2α=2sinαcosα=，
cos2α=cos2α﹣sin2α=，
∴=
=．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数，是基础题．
16．（14分）（2017春 淮安期末）已知等差数列{an}中，其前n项和为Sn，a2=4，S5=30．
（1）求{an}的首项a1和公差d的值；
（2）设数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前项和Tn．
【考点】8E：数列的求和．
【专题】35
：转化思想；4R：转化法；55
：点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（1）由a2=4，S5=30，得
解得
首项a1和公差d的值
（2）可得
，bn==，累加即可．
【解答】解：（1）因为{an}是等差数列，a2=4，S5=30，
所以
解得
a1=2，d=2
（2）由（1）知
即
所以bn==
于是数列{bn}的前n项和
Tn=b1+b2+b3+…+bn=（1﹣）+（）+…+（）
=1﹣=
【点评】本题考查了等差数列的通项、裂项求和，属于中档题．
17．（14分）（2017春 淮安期末
( http: / / www.21cnjy.com )）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；
（3）学校规定：师生对食堂服务质量
( http: / / www.21cnjy.com )的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．
【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．
【专题】11
：计算题；31
：数形结合；44
：数形结合法；5I
：概率与统计．
【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a的值．
（2）设被抽取的2人中恰好有一人评分在[
( http: / / www.21cnjy.com )40，50）上为事件A．样本中评分在[40，50）的师生人数为2，记为1，2号样本中评分在[50，60）的师生人数为3，记为3，4，5号，由此利用列举法能求出从5人中任意取2人，2人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率．
（3）求出服务质量评分的平均分为76.2＞75，从而得到食堂不需要内部整顿．
【解答】解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，
解得a=0.006．…（4分）
（2）设被抽取的2人中恰好有一人评分在[40，50）上为事件A．…
因为样本中评分在[40，50）的师生人数为：m1=0.004×10×50=2，记为1，2号
样本中评分在[50，60）的师生人数为：m2=0.006×10×50=3，记为3，4，5号…（7分）
所以从5人中任意取2人共有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），
（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种等可能情况，
2人中恰有1人评分在[40，50）上有：
（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共6种等可能情况．
∴2人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率为P（A）==．…（10分）
（3）服务质量评分的平均分为：
=45×0.004×10+55×0
( http: / / www.21cnjy.com ).006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10=76.2．…（13分）
∵76.2＞75，∴食堂不需要内部整顿．…（14分）
【点评】本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．
18．（16分）（2017春 淮安期末）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．．
（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值；
（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．
【考点】74：一元二次不等式的解法．
【专题】35
：转化思想；4R：转化法；59
：不等式的解法及应用．
【分析】（1）问题转化为方程ax2+（a﹣2）x﹣2=0有两根且分别为﹣1，2，得到关于a的方程，解出即可；
（2）问题转化为（x+1）（ax﹣2）≤0，通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）因为不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≤0的解集为[﹣1，2]，
所以方程ax2+（a﹣2）x﹣2=0有两根且分别为﹣1，2，
所以△=（a﹣2）2﹣4a （﹣2）≥0且﹣1×2=，解得：a=1；
（2）由ax2+（a﹣2）x﹣2≤0，得（x+1）（ax﹣2）≤0，
当﹣2＜a＜0时，解集为{x|x≤或x≥﹣1}，
当a=﹣2时，解集为R；
当a＜﹣2时，解集为{x|x≤﹣1或x≥}．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是一道中档题．
19．（16分）（2017春 淮安期末
( http: / / www.21cnjy.com )）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．
（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；
（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．
【考点】HS：余弦定理的应用；3H：函数的最值及其几何意义．
【专题】11
：计算题；35
：转化思想；51
：函数的性质及应用．
【分析】（1）在△BCF中，C
( http: / / www.21cnjy.com )F=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，BC=2x．在△ABC中，AB=y，AC=y﹣1，∠ABC=60°，由余弦定理，求解函数的解析式，然后求解定义域．
（2）求出M=30 （2y﹣1）+40x，通过基本不等式求解表达式的最值即可．
【解答】（1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，所以BC=2x．
在△ABC中，AB=y，AC=y﹣1，∠ABC=60°，
由余弦定理，得AC2=BA2+BC2﹣2BA BCcos∠ABC，…（2分）
即
（（y﹣1）2=y2+（2x）2﹣2y 2x cos60°，
所以
．…
由AB﹣AC＜BC，得．又因为
＞0，所以x＞1．
所以函数的定义域是（1，+∞）．…（6分）
（2）M=30 （2y﹣1）+40x．…（8分）
因为．（x＞1），所以M=30
即
M=10．…（10分）
令t=x﹣1，则t＞0．于是M（t）=10（16t+），t＞0，…（12分）
由基本不等式得M（t）≥10（2）=490，
当且仅当t=，即x=时取等号．…（15分）
答：当x=km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元．…（16分）
【点评】本题考查实际问题的应用，基本不等式求解表达式的最值，考查思想以及计算能力．
20．（16分）（2017春 淮安期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n2﹣4n，数列{bn}中，b1=对任意正整数．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在实数μ，使得数列{3n bn+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；
（3）求证：．
【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．
【专题】32
：分类讨论；34
：方程思想；4R：转化法；54
：等差数列与等比数列．
【分析】（1）当n=1时，a1=S1=﹣3，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，可得an．
（2）法一：假设存在实数μ，使数列{3
( http: / / www.21cnjy.com )n bn+μ}是等比数列，且公比为q．因为对任意正整数，，可令n=2，3，得
b2，b3．根据{3nbn+μ}是等比数列，可得：=，解得
μ，代入可得
=﹣3
（n≥2）即可证明．
法二：因为对任意正整数．所以，设3nbn+μ=﹣3（3n﹣1bn﹣1+μ），可得﹣4μ=1，即可证明．
（3）由a2=﹣1，a3=1，可得，，可得，即，利用等比数列的求和公式即可得出．对n分类讨论，利用数列的单调性即可证明．
【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=﹣3，…（1分）
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣4n﹣（n﹣1）2+4（n﹣1），
即an=2n﹣5，…（3分）
n=1也适合，所以an=2n﹣5．…（4分）
（2）法一：
假设存在实数μ，使数列{3n bn+μ}是等比数列，且公比为q．…
因为对任意正整数，，
可令n=2，3，得
b2=，b3=﹣．…（6分）
因为{3nbn+μ}是等比数列，所以=，解得
μ=﹣
…（7分）
从而
===﹣3
（n≥2）…（9分）
所以存在实数μ=﹣，公比为q=﹣3．…（10分）
法二：因为对任意正整数．所以，
设3nbn+μ=﹣3（3n﹣1bn﹣1+μ），则﹣4μ=1，…（8分）
所以存在，且公比．…（10分）
（3）因为a2=﹣1，a3=1，所以，，
所以，即，…（12分）
于是b1+b2+…+bn=+++…===…（13分）
当是奇数时：b1+b2+…+bn=，关于递增，
得≤b1+b2+…+bn＜．…（14分）
当是偶数时：b1+b2+…+bn=，关于递增，
得
≤b1+b2+…+bn．…（15分）
综上，≤b1+b2+…+bn．…（16分）
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
同课章节目录