湖南省浏阳二中2016-2017学年高二下学期升高三摸底考试数学理试卷

2017年上学期高二升高三摸底考试数学（理）试卷
　
时量：120分钟
总分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合A={x|y=}，B={x|﹣1≤2x﹣1≤3}，则A∩B=（　　）
A．[0，1]
B．[1，2]
C．[1，]
D．[0，2]
2．设i是虚数单位，若复数的共轭复数为z，则|z|=（　　）
A．i+2
B．i﹣2
C．
D．5
3．命题“ x0≤0，使得x02≥0”的否定是（　　）
A． x≤0，x2＜0
B． x≤0，x2≥0
C． x0＞0，x02＞0
D． x0＜0，x02≤0
4．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．
B．
C．y=±2x
D．
5．在△ABC中，
=，
=，若点D满足=，则=（　　）
A．
+
B．
+
C．
+
D．
+
6．将函数y=3sinx的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）
A．在区间[，]上单调递减
B．在区间[0，]上单调增
C．在区间[0，π]上单调递减
D．在区间[0，π]上单调增
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则S6等于（　　）
A．84
B．57
C．45
D．42
8．
函数,则函数的导数的图象是（
）
A
B
C
D
9．利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则使不等式9a2﹣9a+2＜0成立的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
（
）
11．在二项式（x2﹣）5的展开式中，记x4的系数为a，
则dx=（　　）
A．
B．
C．
D．π
12．若函数f（x）=4x2+2x﹣2+mex有两个不同的零点，则实数m取值范围为（　　）
A．[0，1）
B．[0，2）∪{﹣}
C．（0，2）∪{﹣}
D．[0，2）∪{﹣}
　
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把正确的答案填在答题卡相应的横线上
13．某程序框图如图所示，当输出y的值为时，则输出x的值为______
14．已知都是实数，命题；命题，
则是的______条件.
15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，
若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于　　　　　　．
16．已知数列{an}满足：2an=an+1+an﹣1（n≥2，n∈N
），且a1＞0，
a1、3、a3依次成等比数列，则数列{an}前四项和的最小值为　　　　　　．
　
三、解答题：本大题必做题5小题，选做题3小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知2a2=2b2+2c2﹣bc，且a=2b，
（1）
求cosA；
（2）求cos（A﹣B）..(
12分)
18．某大学自主招生分笔试和面试两部分，老师把参加笔试的
40
名学生的成绩分组：
第1组[75,80），第2组
[80,85），第3组[85,
90），第4组
[90,
95），第5组[95,100），得到频率分布直方图如图所示：
分别求成绩在第4，5组的人数；
若该教师决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名进入面试，
①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲和乙同时进入面试的概率；
②若决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官
D
的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望．(
12分)
19.（本小题满分12分）
已知正四棱柱中，.
⑴求证：∥平面；
⑵求直线与平面所成角的正弦值；
⑶若点平面，平面，在如图所示
的空间直角坐标系中求点的坐标.
20．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）过点M（1，），且左焦点为F1（﹣1，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左右顶点分别为A、B，P为椭圆C上一动点，PA，PB分别交直线x=4于点D、E．
（1）求D、E两点纵坐标的乘积；
（2）若点N（，0），试判断点N与以DE为直径的圆的位置关系，并说明理由．(
12分)
21．已知函数f（x）=（x+m）lnx在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x﹣3平行．
（1）求f（x）在区间[e，+∞）上的最小值；
（2）若对任意x∈（0，1），都有f（x）+2﹣2x＜0成立，求实数a的取值范围．(
12分)
　
请考生在（22），（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C1：ρcos（θ﹣）=，曲线C2：（t为参数）．
（1）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）(
10分)
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2．
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若对任意的实数x，都有f（x）﹣2a2≥|x|﹣3a﹣2，求实数a的取值范围．(
10分)
　
2017年上学期高二升高三摸底考试数学（理）参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．
B．
2．
C．
3．
A．
4.B
5．C．
6.D．
7．
D．
8．
C．
9．
A．
10．D
11．
A．
12．D.
12【解答】解：由f（x）=4x2+2x﹣2+mex=0得﹣mex=4x2+2x﹣2，得m=﹣，
设h（x）=﹣，则h′（x）=﹣==由h′（x）＞0得x＞2或x＜，此时函数递增，由h′（x）＜0得＜x＜2，此时函数递减，即当x=2时，函数取得极小值h（2）=﹣=﹣，
当x=﹣时，函数取得极大值h（﹣）=﹣=2，
当x→+∞时，h（x）＜0，当x→﹣∞时，h（x）→﹣∞，则函数h（x）对应的图象如图：
若函数f（x）=4x2+2x﹣2+mex有两个不同的零点，等价为m=﹣有两个不同的根，
则0≤m＜2或m=﹣，即实数m的取值范围是[0，2）∪{﹣}，故选：D
　二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．16
14．充分不必要
15．8
16．　6　．
16.【解答】解：∵2an=an+1+an﹣1（n≥2，n∈N ），
∴{an}是等差数列．∵a1、3、a3依次成等比数列，
∴9=a1（a1+2d），∴d=﹣a1，数列{an}前四项和S=4a1+6d=a1+，
∵a1＞0，∴S≥=6，∴数列{an}前四项和的最小值为6．故答案为：6．
　
三、解答题：本大题必做题5小题，选做题3小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵2a2=2b2+2c2﹣bc，可得：a2=b2+c2﹣bc，
∴由余弦定理可得：cosA===，…3分
（2）∵cosA＞0，0＜A＜，
∴sinA===…5分
由a=2b，根据正弦定理可得：sinA=2sinB，可得sinB=sinA=，…7分
∵A＞B，∴0＜B＜，∴cosB===，…9分
∴cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=+=…12分
18．（本小题满分12分）
解（Ⅰ）第4组学生人数为
，第5组人数为
所以第4，5组的学生人数分别为8人，4人
-----------------------------------------4分
（Ⅱ）①因为第3组学生人数为，所以第3，4，5中抽取的人数分别是
3人，2人，1人，则甲，乙同时进入面试的概率为
---------------------8分
②由①知，X的可能取值为0，1，2所以
X分布列为
X
0
1
2
P
---------------------------------------------
12分
19.
（本小题满分12分）
解：⑴证明：∵
，
∴四边形为平行四边形，∥，
又平面，平面，
所以∥平面
4分
⑵在如图所示的空间直角坐标系中，
，
设平面的一个法向量为，则
，取得，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为
8分
⑶因为点到平面的距离为，
所以，即点的坐标为。
12分
20．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得c=1，将点M（1，）代入椭圆方程，
可得+=1，又a2﹣b2=1，解得a=2，b=，
则椭圆的方程为+=1；
（Ⅱ）（1）设P（m，n），则+=1，
即有n2=3（1﹣）=﹣，A（﹣2，0），B（2，0），设D（4，yD），E（4，yE），
由A，P，D共线，可得则kPA=kAD，即为=，
同理可得=，两式相乘，可得=，
则yDyE=12 （﹣） =﹣9；
即有D、E两点纵坐标的乘积为﹣9；
（2）点N在以DE为直径的圆内．
理由：椭圆的右准线为x=4，
设点Q（x，y）是以DE为直径圆上的任意一点，则 =0，
设D（4，y1），E（4，y2），
可得以DE为直径圆的方程为（x﹣4）（x﹣4）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，
由A，P，D共线可得=，可设y1=6k1，
同理可得y2=2k2，
又k1 k2=﹣，
即有x2+y2﹣8x﹣（6k1+2k2）y+7=0．
将N（，0）代入上式的左边，可得
+0﹣8×﹣0+7=﹣＜0，
即有点N在以DE为直径的圆内．
　
21．【解答】解：（1）由f′（x）=lnx+结合题意得：
函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k=f′（1）=1+m=2，
∴m=1，
∵x∈[e，+∞）时，f′（x）=lnx+＞0，
∴函数f（x）在[e，+∞）递增，
∴f（x）min=f（e）=e+1；
（2）对任意x∈（0，1），都有f（x）+2﹣2x＜0成立，
即lnx+2（1﹣x）＜0对任意x∈（0，1）恒成立①，
当x∈（0，1）知lnx＜0，
a＜0时，
lnx+2（1﹣x）＞0，不合题意，
a＞0时，① lnx+＜0对任意x∈（0，1）恒成立，
记h（x）=lnx+，则h′（x）=，
记g（x）=x2+2（1﹣2a）x+1，则方程g（x）=0的根的判别式△=4（1﹣2a）2﹣4=16a（a﹣1），
若a≤1，则△≤0，g（x）≥0，在（0，1]上h′（x）≥0，
∴h（x）在（0，1]上递增，又h（1）=0，
∴对任意x∈（0，1），h（x）＜0恒成立，
若a＞1，△＞0，由g（0）=1＞0，g（1）=4（1﹣a）＜0知存在x0∈（0，1）使得g（x0）=0，
对任意x∈（x0，1），g（x）＜0，h′（x）＜0，
∴h（x）在（x0，1）递减，又h（1）=0，
∴x∈（x0，1）时，h（x）＞0不合题意，
综上，a∈（0，1]．
　
请考生在（22），（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．【解答】解：（1）∵ρcos（θ﹣）= ρcosθ+ρsinθ=2，①
将代入①即可得到曲线C1的直角坐标方程：x+y﹣2=0，
将消去参数t，得到曲线C2的普通方程为（x﹣4）2+（y﹣5）2=25；
（2）由，联立解得：或，
将转化成极坐标（，），
将转化成极坐标（2，），
∴C1与C2交点的极坐标（，），（2，）．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．【解答】解：（1）由不等式f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2≥0，可得①，或②，或③．
解①求得x≤﹣3；解②求得x∈ ，解③求得
x≥1．
综上可得，原不等式的解集为{x|x≤﹣3，或
x≥1}．
（2）若对任意的实数x，都有f（x）﹣2a2≥|x|﹣3a﹣2，则|2x+1|﹣2|x|≥2a2﹣3a
恒成立．
又∵|2x+1|﹣2|x|≤|2x+1﹣2x|=1，∴2a2﹣3a≤1，解得≤a≤1，
即实数a的取值范围为[，1]．
　
侧视图
正视图
俯视图