(共30张PPT)
§
1.3 三角函数的诱导公式(一)
第一章
三角函数
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.
2.理解诱导公式的推导过程.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
学习目标
思考 给定角α，角α的终边与单位圆的交点P，如何用角α三角函数来表示？
问题导学
新知探究
点点落实
答 由三角函数的定义知y＝sin
α，x＝cos
α.
∴交点P(cos
α，sin
α)
.
答案
知识点一 诱导公式二
思考 角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点
P(cos
α，sin
α)有怎样的关系？
答
关于原点对称.
答案
公式二
sin(π＋α)＝－sin
α
cos(π＋α)＝－cos
α
tan(π＋α)＝tan
α
思考 角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos
α，sin
α)有怎样的关系？
答
关于x轴对称.
知识点二 诱导公式三
答案
公式三
sin(－α)＝－sin
α
cos(－α)＝cos
α
tan(－α)＝－tan
α
思考 角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos
α，sin
α)有怎样的关系？
知识点三 诱导公式四
答
关于y轴对称.
公式四
sin(π－α)＝sin
α
cos(π－α)＝－cos
α
tan(π－α)＝－tan
α
答案
思考总结
公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？
答 2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
简记为“函数名不变，符号看象限”.
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答案
类型一 给角求值问题
题型探究
重点难点
个个击破
解析答案
例1 求下列各三角函数式的值.
(1)cos
210°；
解 cos
210°＝cos(180°＋30°)
解析答案
反思与感悟
解析答案
(4)cos(－1
920°).
解 cos(－1
920°)＝cos
1
920°
＝cos(5×360°＋120°)
＝cos
120°＝cos(180°－60°)＝－cos
60°
反思与感悟
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：
(1)“负化正”：用公式一或三来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
跟踪训练1 求下列各三角函数式的值：
(1)sin
1
320°；
解 方法一 sin
1
320°＝sin(3×360°＋240°)
方法二 sin
1
320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
解析答案
解析答案
解析答案
(3)tan(－945°).
解 tan(－945°)＝－tan
945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan
225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan
45°＝－1.
类型二 给值(式)求值问题
解析答案
解析 sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sin
α＋cos
α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin
αcos
α
A
反思与感悟
解析答案
1.解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.
2.可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
反思与感悟
类型三 三角函数式的化简
解析答案
反思与感悟
解析答案
三角函数式的化简方法：
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.
反思与感悟
解析答案
返回
解析答案
达标检测
答案
A
A
答案
解析答案
解析 ∵cos(－80°)＝k，∴cos
80°＝k，
B
解析答案
∴α－75°是第三象限角.
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
解析答案
1.明确各诱导公式的作用
规律与方法
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π之间的角求值
公式二
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0～
之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
返回§1.3 三角函数的诱导公式(一)
课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．
1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.
相关角
终边之间的对称关系
π＋α与α
关于________对称
－α与α
关于________对称
π－α与α
关于________对称
2.诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝__________，cos(α＋2kπ)＝________，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.
(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.
(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.
一、选择题
1．sin
585°的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
2．若n为整数，则代数式的化简结果是( )
A．±tan
α
B．－tan
α
C．tan
α
D.tan
α
3．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )
A.
B．±
C.
D．－
4．tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A.
B.
C．－1
D．1
5．记cos(－80°)＝k，那么tan
100°等于( )
A.
B．－
C.
D．－
6．若sin(π－α)＝log8
，且α∈，则cos(π＋α)的值为( )
A.
B．－
C．±
D．以上都不对
二、填空题
7．已知cos(＋θ)＝，则cos(－θ)＝________.
8．三角函数式的化简结果是______.
9．代数式的化简结果是______．
10．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2
009)＝1，则f(2
010)＝____.
三、解答题
11．若cos(α－π)＝－，求的值．
12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan
β＝0.
能力提升
13．化简：(其中k∈Z)．
14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos
A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π求值
公式二
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0～求值
2.诱导公式的记忆
这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
§1.3 三角函数的诱导公式(一)
答案
知识梳理
1．原点 x轴 y轴
2．(1)sin
α cos
α tan
α (2)－sin
α －cos
α tan
α (3)－sin
α cos
α －tan
α (4)sin
α －cos
α －tan
α
作业设计
1．A 2.C
3．D [由cos(π＋α)＝－，得cos
α＝，
∴sin(2π＋α)＝sin
α＝－＝－
(α为第四象限角)．]
4．A [原式＝＝＝.]
5．B [∵cos(－80°)＝k，∴cos
80°＝k，
∴sin
80°＝.∴tan
80°＝.
∴tan
100°＝－tan
80°＝－.]
6．B [∵sin(π－α)＝sin
α＝log2
2－＝－，
∴cos(π＋α)＝－cos
α＝－＝－＝－.]
7．－
8．tan
α
解析 原式＝＝＝＝＝tan
α.
9．－1
解析 原式＝
＝＝
＝＝＝－1.
10．3
解析 f(2
009)＝asin(2
009π＋α)＋bcos(2
009π＋β)＋2
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2
＝2－(asin
α＋bcos
β)＝1，
∴asin
α＋bcos
β＝1，
f(2
010)＝asin(2
010π＋α)＋bcos(2
010π＋β)＋2
＝asin
α＋bcos
β＋2＝3.
11．解 原式＝
＝
＝
＝－tan
α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos
α＝－，
∴cos
α＝.∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos
α＝，
sin
α＝＝，∴tan
α＝＝，∴原式＝－.
当α为第四象限角时，cos
α＝，
sin
α＝－＝－，∴tan
α＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.
12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，
∴α＋β＝2kπ＋
(k∈Z)，
∴α＝2kπ＋－β
(k∈Z)．
tan(2α＋β)＋tan
β＝tan＋tan
β
＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan
β
＝tan(4kπ＋π－β)＋tan
β
＝tan(π－β)＋tan
β
＝－tan
β＋tan
β＝0，
∴原式成立．
13．解 当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则
原式＝＝＝＝－1.
当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则
原式＝
＝
＝＝－1.
∴上式的值为－1.
14．解 由条件得sin
A＝sin
B，cos
A＝cos
B，
平方相加得2cos2A＝1，cos
A＝±，
又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.
当A＝π时，cos
B＝－<0，∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cos
B＝，∴B＝，∴C＝π.§1.3 三角函数的诱导公式(二)
课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．
1．诱导公式五～六
(1)公式五：sin＝________；cos＝________.
以－α替代公式五中的α，可得公式六．
(2)公式六：sin＝________；cos＝________.
2．诱导公式五～六的记忆
－α，＋α的三角函数值，等于α的____________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
一、选择题
1．已知f(sin
x)＝cos
3x，则f(cos
10°)的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
2．若sin(3π＋α)＝－，则cos
等于( )
A．－
B.
C.
D．－
3．已知sin＝，则cos的值等于( )
A．－
B.
C.
D.
4．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
5．已知cos＝，且|φ|＜，则tan
φ等于( )
A．－
B.
C．－
D.
6．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )
A.
B.
C．－
D．－
二、填空题
7．若sin＝，则cos＝________.
8．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是______．
9．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
10．已知tan(3π＋α)＝2，则＝________.
三、解答题
11．求证：＝－tan
α.
12．已知sin·cos＝，且<α<，求sin
α与cos
α的值．
能力提升
13．化简：sin＋cos
(k∈Z)．
14．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式
同时成立．
若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．诱导公式统一成“k·±α(k∈Z)”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
§1.3 三角函数的诱导公式(二)
答案
知识梳理
1．(1)cos
α sin
α (2)cos
α －sin
α
2．异名 符号
作业设计
1．A [f(cos
10°)＝f(sin
80°)＝cos
240°＝cos(180°＋60°)＝－cos
60°＝－.]
2．A [∵sin(3π＋α)＝－sin
α＝－，∴sin
α＝.
∴cos＝cos＝－cos＝－sin
α＝－.]
3．A [cos＝sin＝sin＝－sin＝－.]
4．C [∵sin(π＋α)＋cos＝－sin
α－sin
α＝－m，
∴sin
α＝.cos＋2sin(2π－α)＝－sin
α－2sin
α＝－3sin
α＝－m.]
5．C [由cos＝－sin
φ＝，得sin
φ＝－，
又∵|φ|<，∴φ＝－，∴tan
φ＝－.]
6．D [sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝－.]
7．－
解析 cos＝cos＝－sin＝－.
8．1
解析 原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1.
9.
解析 原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋
＝.
10．2
解析 原式＝＝＝＝2.
11．证明 左边＝
＝
＝
＝＝－＝－tan
α＝右边．
∴原等式成立．
12．解 sin＝－cos
α，
cos＝cos＝－sin
α.
∴sin
α·cos
α＝，即2sin
α·cos
α＝.
①
又∵sin2α＋cos2α＝1，
②
①＋②得(sin
α＋cos
α)2＝，
②－①得(sin
α－cos
α)2＝，
又∵α∈，∴sin
α>cos
α>0，
即sin
α＋cos
α>0，sin
α－cos
α>0，
∴sin
α＋cos
α＝，
③
sin
α－cos
α＝，
④
③＋④得sin
α＝，③－④得cos
α＝.
13．解 原式＝sin＋cos.
当k为奇数时，设k＝2n＋1
(n∈Z)，则
原式＝sin＋cos
＝sin＋cos
＝sin＋
＝sin－cos
＝sin－sin＝0；
当k为偶数时，设k＝2n
(n∈Z)，则
原式＝sin＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin＋sin＝0.
综上所述，原式＝0.
14．解 由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③
又因为sin2α＋sin2α＝1，④
由③④得sin2α＝，即sin
α＝±，
因为α∈，所以α＝或α＝－.
当α＝时，代入②得cos
β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知符合．
当α＝－时，代入②得cos
β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．(共30张PPT)
§
1.3 三角函数的诱导公式(二)
第一章
三角函数
1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.
2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.
3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
答案
知识点一 诱导公式五
答案
答案
答案
知识点二 诱导公式六
公式六
知识点三 诱导公式的理解、记忆与灵活应用
α
sin
α
cos
α
tan
α
公式一
α＋2kπ(k∈Z)
sin
α
cos
α
tan
α
公式二
π＋α
－sin
α
－cos
α
tan
α
公式三
－α
－sin
α
cosα
－tan
α
公式四
π－α
sin
α
－cos
α
－tan
α
公式五
－α
cos
α
sin
α
公式六
＋α
cos
α
－sin
α
1.公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.
2.
±α的正弦、余弦函数值，函数名改变，把α看作锐角，符号看
±α的函数值符号.简记为：“函数名改变，符号看象限”.
六组诱导公式可以统一概括为“k·
±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.
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类型一 利用诱导公式求值
题型探究
重点难点
个个击破
解析答案
反思与感悟
解析答案
反思与感悟
解析答案
类型二 利用诱导公式化简
反思与感悟
解析答案
k为奇数时，可设k＝2m＋1(m∈Z).
仿上化简得：原式＝1.故原式＝1.
用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简.
反思与感悟
解析答案
类型三 诱导公式的综合应用
解析答案
(1)化简f(x)；
解析答案
反思与感悟
解析答案
本题是与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.
反思与感悟
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解析答案
达标检测
D
解析答案
解析 sin(α－180°)－sin(270°－α)
＝－sin(180°－α)－sin[180°＋(90°－α)]
＝－sin
α＋sin(90°－α)＝cos
α－sin
α＝m，
sin(180°＋α)sin(270°＋α)＝－sin
α(－cos
α)＝sin
αcos
α
C
解析答案
解析答案
解析答案
解析答案
解析答案
(3)tan(5π－α).
解析答案
(3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan
α，
1.学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·
±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.
2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.
3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.
规律与方法
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